Үш еселі интеграл

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе

Анықталмаған интеграл
4
1.1. Анықталмаған интеграл ұғымы
4
1.2. Анықталмаған интеграл қасиеттері
5
1.3. Анықталмаған интеграл кестесі
6
Анықталған интеграл
7
2.1. Анықталған интеграл ұғымы
7
2.2. Анықталған интеграл қасиеттері
7
2.3. Ньютон-Лейбниц формуласы
9
Анықталған интегралдың қолданылулары
9
Қисық доғасының ұзындығы
9
Жазық фигура ауданы
11
Айналу денесінің көлемі
13
Қос интеграл
13
Квадратталатын фигуралар және ауданның анықтамасы
13
Қос интеграл анықтамасы
15
Үш еселі интеграл
17
Үш еселі интегралдың анықтамасы
17
Үш еселі интегралдың қасиеттері
18
VI. Үш еселі интегралдың кейбір қолданбалары
19
6.1. Дене массасы
19
6.2. Дене көлемі
20
6.3. Статикалық моменттер
20
6.4. Дененің ауырлық центрі
21
6.5. Дененің инерция моменттері
21
VII. Үш еселі интегралды есептеу
22
7.1. Декарт координата жүйесіндегі үш еселі интеграл
22
7.2. Үш еселі интегралда айнымалыларды алмастыру
24
VIII. Есептер
28
Қорытынды

Пайдалынылған әдебиеттер

Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда Үш еселі интеграл тақырыбын қарастырамын.
Интеграл (лат.integer-бүтін)-математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан- туындысы бойынша функцияны іздеу(мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т.б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. "Интеграл" сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған;өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.
Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады. Интегралдық есептеудің аудан мен көлемді табуға байланысты бірқатар есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9-15 ғғ. Орта және Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Тек 16-17-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. "Интегралдық есептеу" термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді.Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты. 19-ғасырдың басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық есептеу мен дифференциялдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді дамытуға 19-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. Жалпы үш еселі интеграл дененің көлемін есептеу және пайдалану жолдары, физикалық және механикалық қолданулары қарастырылады.
Мақсаты: Үш еселі интеграл және оның қолданбаларын, есептеулерін толық қарастыру.
Міндеті: Үш еселі интегралмен танысу, есептерін шығаруды үйрену, қолданылуларын ажырата білу.

I. Анықталмаған интеграл
1.1. Анықталмаған интеграл ұғымы
Бізге f(x) функцияның f'(x) туындысы белгілі, енді осы fx функциясының өзін табу керек.
Анықтама. Егер (a,b) аралығындағы ∀x∈a,b үшін

F'x=f(x)

теңдігі орындалса, онда осы аралықта Fx функцияны f(x) функцияның алғашқы функциясы деп атайды.
f(x) функцияның алғашқы функциясы шексіз аралықта да және [a, b] кесіндіде де осылайша анықталады, бірақ a және b нүктелерде біржақты туындыларды қарастыру керек.
Мысал 1. fx=22x функцияның (0, +infinity) аралығындағы алғашқы функциясы Fx=x , себебі x '=22x , (∀x∈(0, +infinity)) .
Теорема 1. Егер Fx функциясы (a,b) интервалындағы f(x) функцияның алғашқы функциясы болса, онда Fx+С функциясы да осы интервалда f(x)-тің алғашқы функциясы болады, мұндағы С-кез келген тұрақты сан.
Дәлелдеуі: Егер F'x=f(x) , ∀x∈a,b теңдігі орындалса, онда (Fx+С)' = F'x+C'=f(x).
Теорема 2. F1x және F2x функциялары (a,b) интервалында f(x) функцияның алғашқы функциялары болса, онда F1x - F2x=C , ∀x∈a,b , мұндағы С-кез келген тұрақты сан.
Дәлелдеуі: Теореманың шарты бойынша F'1x =F'2x= f(x). Фx=F1x - F2x функциясын қарастырайық. Онда Ф'x=(F1x - F2x)'=F'1x -F'2x= fx-fx=0, ∀x∈a,b. Осыдан белгілі теорема бойынша Фx=С, ∀x∈a,b, F1x - F2x=C.
Сонымен Fx функциясы (a,b) аралығындағы f(x) функцияның алғашқы функциясы болса, онда осы аралықта f(x) функциясының кез келген алғашқы функциясын Фx=Fx+С деп алуға болады.
Анықтама. (a,b) интервалындағы f(x) функцияның алғашқы функцияларының Fx+С жиынын f(x) функцияның анықталмаған интегралы деп атайды да, fxdx символымен белгілейді.
Мұндағы f(x) интеграл астындағы функция, - анықталмаған интегралдың белгісі, fxdx интеграл астындағы өрнек деп аталады. Сонымен анықтама бойынша
fxdx=F(x)+C

1.2. Анықталмаған интегралдың қасиеттері

(a,b) аралығында Fx функциясы f(x) функцияның алғашқы функциясы болсын.
1) Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең, ал анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең, яғни
dfxdx=fxdx, fxdx'=fx.
Шынында да,
dfxdx=dFx+C=dFx+dC=F'xdx=f(x)dx және fxdx'=Fx+C'=F'x+C'=F'x+0=fx.
2) Қайсыбір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен кез келген тұрақты санның қосындысына тең, яғни
dFx=Fx+C.
Дәлелдеуі: Шынында да,
dFx=F'(x)dx=f(x)dx=Fx+C.
3) Анықталмаған интеграл сызықты, яғни
(αfx+βgx)dx=αfxdx+βgxdx+C, ∀α,β∈R (1.1)
Дәлелдеуі: Дифференциалдау амалының сызықтығын
αfxdx+βgxdx+C'=αfxdx'+βgxdx'+C'=αfx +βfx. (1.2)
((αfx+βgx)dx)'=αfx+βfx (1.3)
(1.2) және (1.3)-тен αfxdx+βgxdx және (αfx+βgx)dx функциялары αfx+βfx функцияның алғашқы функциялары екендігі шығады. Ал бір функцияның екі алғашқы функциясының айырмашылығы тұрақты санда ғана. Сондықтан (1.1) теңдік дұрыс.
4) Егер Fx функциясы fx функциясының алғашқы функциясы болса, онда
f(ax+b)dx=1aFax+b+C, a,b∈R.
Дәлелдеуі: 1aFax+b+C'=1a∙a∙F'ax+b+C'=fax+b.

1.3. Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі

1) dx=x+C
2) xndx=xn+1n+1+C, (n!=-1)
3) dxx=lnx+C
4) axdx=axlna+C -- exdx=ex+C
5) sinxdx=-cosx+C
6) cosxdx=sinx+C
7) dxcos2x=tgx+C
8) dxsin2x=-ctgx+C
9) dxa2-x2=arcsinxa+C -- Дербес түрі dx1-x2=arcsinx+C
10) dxx2+a2=1aarctgxa+C -- dx1+x2=arctgx+C
11) dxx2-a2=12alnx-ax+a+C -- dxx2-1=12lnx-1x+1+C
12) dxx2+-a=lnx+x2+-a+C
13) shxdx=chx+C
14) chxdx=shx+C
15) dxch2x=thx+C
16) dxsh2x=-cthx+C
17) dxsinx=lntgx2+C
18) dxcosx=lntgPI4+-x2+C
19) a2-x2dx=x2a2-x2+a22arcsinxa+C
20) x2+-a2dx=x2x2+-a2+-a22lnx+x2+-a2+C.

II. Анықталған интеграл
2.1. Анықталған интеграл ұғымы
[a, b] кесінді де y=f(x) функциясы анықталсын. a=x0x1x2...xn=b нүктелер арқылы [a, b] кесіндіні n дербес бөліктерге x0;x1,x1;x2,...,xn-1;xn бөлеміз. Дербес бөліктердің ең үлкенінің ұзындығын ∆=max⁡{∆xi} деп белгілейміз, мұндағы ∆xi=xi-xi-1, i=1,2,...,n. Әрбір дербес кесіндіден xi-1;xi, i=1,2,...,n кез келген ξi∈xi-1;xi нүктені таңдап алып, осы нүктедегі функцияның мәнін f(ξi) деп белгілеп мынадай қосындыны құрайық

Sn=fξ1∆x1+fξ2∆x2+...+fξn∆xn=i=1nfξi ∆xi (1.1)

(1.1) қосынды Риманның интегралдық қосындысы деп аталады. Енді осы (1.1) интегралдық қосындының ∆--0 ұмтылғандағы шегін қарастырайық
I=limn--infinitySn=lim∆--0i=1nfξi ∆xi (1.2)
Анықтама. Егер (1.2) қосындының шегі ∆--0 ұмтылғанда бар болса және ол шек [a, b] кесіндіні қалай бөлшектегенге және ξi нүктелерін қалай таңдап алғанға байланысты болмаса, онда ол шек y=f(x) функцияның [a, b] кесіндідегі анықталған интегралы деп аталады да, мына таңбалықпен белгіленеді
I=abf(x)dx=lim∆--0i=1nfξi∆xi (1.3)
Кейде (1.3) функцияның [a, b] кесіндідегі Риман интегралы деп те аталады. a және b сандары интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері, f(x) - интеграл астындағы функция, fxdx - интеграл астындағы өрнек , х - интегралдау айнымалысы, [a, b] - интегралдау аймағы (облысы) деп аталады.
Теорема. Егер y=f(x) функцияның [a, b] кесіндіде үзіліссіз болса, онда (1.3) интегралы бар боолады.

2.2. Анықталған интегралдың қасиеттері

f(x) және g(x) функциялары [a, b] кесіндіде интегралданатын болсын.
Онда мынандай қасиеттер орын алады:
1) abf(x)dx=0.
Дәлелдеуі: Ұзындығы нөлге тең кесіндідегі анықталған интегралдың анықтамасынан шығады.
2) abdx=b-a.
Дәлелдеуі: Интегралдық қосындыдағы fx=1 тең. Сондықтан
Sn=i=1n1∙∆xi=i=1n∆xi=b-a⇒abdx=limn- -infinitySn=lim∆--0i=1n∆xi=b-a.

3) abf(x)dx=abf(t)dt=abf(z)dz

яғни анықталған интегралдың мәні интеграл астындағы айнымалыны қадай белгілегенге байланысты емес. Себебі (1.3) қосындының шегі функцияның аргументін қандай әріппен белгілегенге байланысты емес.

4) ∀α,β∈R үшін ab[αf(x)+-βg(x)]dx=αabf(x)dx+-βabg( x)dx.
Дәлелдеуі: Анықтама бойынша
abαfx+βgxdx=lim∆--0i=1nαfξi∆xi+βgξ i∆xi=αlim∆--0i=1nfξi∆xi+
+βlim∆--0i=1ngξi∆xi=αabfxdx+βabgxd x.

5) Егер fx=0, ∀x∈a,b, ab болса, онда abf(x)dx=0 болады.
6) Егер fx=gx, ∀x∈a,b, ab болса, онда abf(x)dx=abgxdx, ab.
7) abf(x)dx=abfxdx, теңсіздігі дұрыс егер ab болса.

8) mb-a=abfxdx=Mb-a.

9) abfxdx=-abfxdx

10) Кез келген a, b, c үшін мына теңдік дұрыс

abfxdx=acfxdx+cbfxdx.

11) Орташа мән туралы теорема. Егер fx функциясы [a, b] кесіндіде үзіліссіз болса, онда ξ∈[a, b] нүктесі табылып

abfxdx=fξb-a болады.

2.3. Ньютон-Лейбниц формуласы
abfxdx=Fb-F(a)
Дәлелдеуі: F(x) функциясы fx функцияның [a, b] кесіндідегі алғашқы функциясы болсын. Олай болса Фx=Fx+С болады, онда
axftdt=Fx+C, ∀x∈a,b (1)
Егер x = a болса, онда (1)-формуладан
aaf(t)dt=0=Fa+C⇒C=-Fa.
Сонымен
axftdt=Fx-Fa, ∀x∈a,b (2)
(2) формулада x = b болғанда н. Ойланысты емес.ілегенге байланысты емес. ады.сондықтан ақты санның қосындысына тең, яғни
abftdt=Fb-Fa=Fx ab
мұндағы Fx функция fx функцияның a,b кесіндідегі кез келген алғашқы функциясы.
Мысал 1:
23x2dx=13x323=1333-23=193 .
Мысал 2:

-11dx1+x2=arctg⃒1-1=arctg1-arctg-1= PI4+PI4=PI2

III. Анықталған интегралдың қолданылуы

Қисық доғасының ұзындығы.
Егер
x=φ(t)y=ψ(t), atb (1)
теңдеулеріндегі φ мен ψ функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда ол теңдеулер t параметрінің көмегімен берілген жазықтағы үзіліссіз қисықты анықтайды. t параметрі өссе, (φ(t),ψ(t)) нүктесі жазықтықта қозғалып отырады. t-нің әр түрлі мәндеріне, мысалы, t=t1, t=t2 (t1!=t2) мәндерінде жазықтықтын бiр ғана нүктесі сәйкес келуі де мүмкін:
(φt1,ψt1=φt2,ψt2)
Егер φ(t) мен ψ(t) функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар болса және
φ'(t)2+ψ'(t)20, ∀t∈[a,b] (2)
орындалса, онда (1) - тегіс қисық деп аталады.
Егер
Г: x=φ(t)y=ψtz=χ(t) a=t=b (3)
теңдеулеріндегі φ,ψ,x функциялары [а,b]-да үзіліссіз болса, онда олар кеңістіктегі үзіліссіз қисықты анықтайды. Ол қисықты Г арқылы белгілейік. Егер φ,ψ,x функцияларының [а,b]-да үзіліссіз туындылары бар және олар бip мезгілде нөлге тең емес, яғни
φ'(t)2+ψ'(t)2+χ'(t)20, ∀t∈[a,b] (4)
болса, онда Г - тегіс қисық деп аталады.
Теорема.
Г: x=φ(t)y=ψtz=χ(t) a=t=b
теңдеулерімен берілген тегіс қисық - түзуленетін қисық және оның ұзындығы
Г=ab[φ'(t)]2+[ψ'(t)]2+[χ'(t)]2dt (5)
тең.
Осы доғаның дифференциалы
dS=φ'(u)2+ψ'(u)2+χ'(u)2dt (6)
Г ⊂ R2 қисығы үзіліссіз дифференциалданатын
Г: y = f(x), а=х=b (7)
функциясы арқылы берілсе, онда
Г: x=xy=f(x), a=x=b
яғни, қисықты х - параметрі арқылы берілді деп есептеуге болады. Олай болса, (5) бойынша
Г: ab1+[f'(x)]2dx=ab1+dydx2dx (8)
ал доға дифференциалы
dS=1+dydx2dx=dx2+dy2 (9)
тең.
Егер Г R2 қисығы поляр координаттары арқылы
Г: р = р(φ), α=φ=β берілсе, онда
Г=αβρ2+ρ'2 (10)

3.2. Жазық фигура ауданы.
Егер [а,b] кесіндісінде функция f(x)=0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасы бойынша y = f(x) қисығымен, Ох-өсімен және х=а, х=b түзулерімен шенелген қисық сызықты трапеция ауданы
S=abfxdx=abydx (11)
тең.
Егер [а,b]-де f(x)=0 болса, онда (11) анықталған интегралда =0 болады, ал оның абсолют шамасы сәйкес қисық сызықты трапецияның ауданына тең.
Егер f(x) таңбасы [а,b]-де ақырлы сан рет өзгерсе, онда y = f(x), Ох, х=а, х=b қисықтарымен шенелген жазық фигура ауданы үшін [а,b] кeciндiciн f(x) таңбасы тұрақты болатындай бөліктерге бөліп, осы бөліктер бойынша алынған интегралдардың абсолют шамаларының қосындысын алуға болады немесе
S=abf(x)dx (12)
интегралын есептеу керек (29-сурет)

29-сурет
Егер y=f1(x), y = f2(x), x=a, х=b (f1(x)=f2(x), ) қисықтарымен шенелген фигура ауданын табу керек болса, онда
S=abf2xdx-abf1xdx=ab[f2x-f1(x)]dx (13)
аламыз (30-сурет)

30-сурет
Егер қисық x=φ(t), y=ψ(t), α=t=β (φ(α) =a, φ(β) =b) параметрлік теңдеулермен берілсе, онда (11)-интегралда x=φ(t) айнымалы алмастыруын жасай отырып
(dx=φtdt, y=fx=fφt=ψ(t))
S=αβψtφ'(t)dt (14)

31-сурет
О полюстен шығатын φ = α, φ= β сәулелерімен және поляр координаталары бойынша үзіліссіз r = f (φ) функциясымен берілген қисықпен шенелген фигураның S ауданын келесі түрде анықтауға болады (31-сурет).
S=limmax∆φ--012i=0n-1f2φi∆φi=12αβr 2dφ=12αβf2(φ)dφ (15)
тең деп саналады.

3.3. Айналу дененің көлемі.
Тік бұрыш х,y координаталар жуйесіне үзіліссіз оң y = f(x), a=x=b функциясымен сипатталған Г қисығы берілсін. Г қисығының х өсін айналуынан шыққан бетпен және х = а, х=b жазықтықтарымен шенелген

32-сурет
айналу денесінің V көлемінт есептеу керек болсын (32-сурет). Айналу денесінің көлемі.
V=PIabf2dx (16)

Қос интеграл
Квадратталатын фигуралар және ауданның анықтамасы
Бұл ұғым жазықтықта жатқан көп фигураның ауданы туралы ұғым.
Біз қос интеграл ұғымы мен қолдануларын толыққанды түсіндіре алу үшін ең алдымен квадратталған фигуралар мен ауданының анықтамасын қарастырып кетуді жөн санадық.
Көп бұрышты ұғым деп саны шектелген көпбұрыштардан құралған жиынды түсінеміз.

Көпбұрышты фигураның ауданы теріс емес санмен өрнектеледі.
Көп бұрышты фигураның мынадай қасиеттері бар:
1.Бір сарындылық. Егер көп бұрышты P фигура Q фигурасының ішінде жатса,

2.Аддитивтік. Егер көп бұрышты фигуралар мен -ның ортақ ішкі нүктелері жоқ болып, ал көпбұрышты фигура сол фигуралардың біріктірмесі болса,

3.Инварианттық. Егер көп бұрышты фигуралар мен өзара конгурентті болса,

Көпбұрышты ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.