Үш еселі интеграл

Мазмұны

Кіріспе

Мен өзімнің курстық жұмысымда «Үш еселі интеграл» тақырыбын қарастырамын.

Интеграл ( лат. integer-бүтін) -математиканың маңызды ұғымдарының бірі. Интеграл ұғымы бір жағынан- туындысы бойынша функцияны іздеу(мысалы, қозғалған нүктенің жүріп өткен жолын өрнектейтін функцияны сол нүктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, көлем және доға ұзындығын өлшеу, күштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жұмысын табу, т. б. қажеттіліктерден пайда болды. Осыған қатысты интеграл анықталмаған интеграл және анықталған интеграл болып ажыратылады. Міне, осыларды есептеу интегралдық есептеудің міндеті болып саналады. “Интеграл” сөзін алғаш рет (1690) швейцариялық ғалым Якоб Бернулли қолданған; өзінің шексіз аз бөліктерінің қосындысы түрінде қарастырылатын бүтін шама.

Интеграл ұғымы көп айнымалысы бар функцияларға да қолданылады. Интегралдық есептеудің аудан мен көлемді табуға байланысты бірқатар есептерін ежелгі грек математиктері шешкен. 9-15 ғғ. Орта және Таяу Шығыс ғалымдары Архимед еңбектерін араб тіліне аударып, ежелгі математиканың табыстарын кейінгі ұрпақтарға жеткізді. Бірақ оларды одан әрі дамыта алмады. Тек 16-17-ғасырларда ғана табиғаттану ғылымдарының жетістіктері интегралдық есептеудің одан әрі дамуын қажет етті. Интегралдық есептеудің негізгі ұғымдары мен идеялық жүйесін бір-біріне тәуелсіз түрде Исаак Ньютон мен Готфрид Лейбниц жасады. “Интегралдық есептеу” термині мен интеграл таңбасы Лейбництен бастап қолданылып келеді. Интегралдық есептеудің әрі қарай дамуы швейцариялық математик Иоганн Бернуллидің әсіресе, Леонард Эйлердің есімдерімен тығыз байланысты. 19-ғасырдың басында француз математигі Огюстен Луи Коши шектер теориясы негізінде интегралдық есептеу мен дифференциялдық есептеуді қайта құрды. Интегралдық есептеуді дамытуға 19-ғасырда орыс ғалымдары Михаил Остроградский, Виктор Буняковский және Пафнутий Чебышев үлкен үлес қосты. Жалпы үш еселі интеграл дененің көлемін есептеу және пайдалану жолдары, физикалық және механикалық қолданулары қарастырылады.

Мақсаты: Үш еселі интеграл және оның қолданбаларын, есептеулерін толық қарастыру.

Міндеті: Үш еселі интегралмен танысу, есептерін шығаруды үйрену, қолданылуларын ажырата білу.

I. Анықталмаған интеграл

1. 1. Анықталмаған интеграл ұғымы

Бізге $f(x)$ функцияның $f'(x)$ туындысы белгілі, енді осы $f(x)$ функциясының өзін табу керек.

Анықтама. Егер $(a, b)$ аралығындағы $\forall x \in (a, b)$ үшін

$$F'(x) = f(x)$$

теңдігі орындалса, онда осы аралықта $F(x)$ функцияны $f(x)$ функцияның алғашқы функциясы деп атайды.

$f(x)$ функцияның алғашқы функциясы шексіз аралықта да және [a, b] кесіндіде де осылайша анықталады, бірақ a және b нүктелерде біржақты туындыларды қарастыру керек.

Мысал 1. $f(x) = \frac{2}{2\sqrt{x}}$ функцияның $(0, \ + \infty)$ аралығындағы алғашқы функциясы $F(x) = \sqrt{x}$ , себебі $\left( \sqrt{x}\ \right) ' = \frac{2}{2\sqrt{x}}\$ , $(\forall x \in (0, \ + \infty) )$ .

Теорема 1. Егер $F(x)$ функциясы $(a, b)$ интервалындағы $f(x)$ функцияның алғашқы функциясы болса, онда $F(x) + С$ функциясы да осы интервалда $f(x)$ -тің алғашқы функциясы болады, мұндағы С-кез келген тұрақты сан.

Дәлелдеуі: Егер $F'(x) = f(x)$ , $\forall x \in (a, b)$ теңдігі орындалса, онда ( $F(x) + С$ ) ' = $F'(x) + C' = f(x)$ .

Теорема 2. $F_{1}(x)$ және $F_{2}(x)$ функциялары $(a, b)$ интервалында $f(x)$ функцияның алғашқы функциялары болса, онда $F_{1}(x)$ $- \ F_{2}(x) = C$ , $\forall x \in (a, b)$ , мұндағы С-кез келген тұрақты сан.

Дәлелдеуі: Теореманың шарты бойынша ${F'}_{1}(x)$ $= {F'}_{2}(x) = \ f(x)$ . $Ф(x) = F_{1}(x)$ $- \ F_{2}(x)$ функциясын қарастырайық. Онда $Ф'(x) = {(F}_{1}(x)$ $- \ F_{2}(x) ) ' = {F'}_{1}(x)$ $- {F'}_{2}(x) = \ f(x) - f(x) = 0$ , $\forall x \in (a, b)$ . Осыдан белгілі теорема бойынша $Ф(x) = С,$ $\forall x \in (a, b)$ , $F_{1}(x)$ $- \ F_{2}(x) = C$ .

Сонымен $F(x)$ функциясы $(a, b)$ аралығындағы $f(x)$ функцияның алғашқы функциясы болса, онда осы аралықта $f(x)$ функциясының кез келген алғашқы функциясын $Ф(x) = F(x) + С$ деп алуға болады.

Анықтама. $(a, b)$ интервалындағы $f(x)$ функцияның алғашқы функцияларының $F(x) + С$ жиынын $f(x)$ функцияның анықталмаған интегралы деп атайды да, $\int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx}}$ символымен белгілейді.

Мұндағы $f(x)$ интеграл астындағы функция, $\int_{}^{}\mathbf{- \ анықталмаған\ интегралдың\ белгісі}$ , $\int_{}^{}{f(x) dx}$ интеграл астындағы өрнек деп аталады. Сонымен анықтама бойынша

$$\int_{}^{}{\mathbf{f}\left( \mathbf{x} \right) \mathbf{dx = F(x) + C}}$$

1. 2. Анықталмаған интегралдың қасиеттері

$(a, b)$ аралығында $F(x)$ функциясы $f(x)$ функцияның алғашқы функциясы болсын.

1) Анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең, ал анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функцияға тең, яғни

$$d\left( \int_{}^{}{f(x) dx} \right) = f(x) dx, \ \ \ \ \ \ \left( \int_{}^{}{f(x) dx} \right) ' = f(x) .$$

Шынында да,

$d\left( \int_{}^{}{f(x) dx} \right) = d\left( F(x) + C \right) = dF(x) + dC = F'(x) dx = f(x) dx$ және $\left( \int_{}^{}{f(x) dx} \right) ' = \left( F(x) + C \right) ' = F'(x) + C' = F'(x) + 0 = f(x) .$

2) Қайсыбір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен кез келген тұрақты санның қосындысына тең, яғни

$$\int_{}^{}{dF}(x) = F(x) + C.$$

Дәлелдеуі: Шынында да,

$$\int_{}^{}{dF}(x) = \int_{}^{}{F'(x) }dx = \int_{}^{}{f(x) }dx = F(x) + C.$$

3) Анықталмаған интеграл сызықты, яғни

$\int_{}^{}{(\alpha f}(x) + \beta g(x) ) dx = \alpha\int_{}^{}f(x) dx + \beta\int_{}^{}g(x) dx + C, \ \ \ \ \forall\alpha, \beta \in R$ (1. 1)

Дәлелдеуі: Дифференциалдау амалының сызықтығын

$$\left( \alpha\int_{}^{}f(x) dx + \beta\int_{}^{}g(x) dx + C \right) ' = \alpha\left( \int_{}^{}f(x) dx \right) ' + \beta\left( \int_{}^{}g(x) dx \right) ' + C' = \alpha f(x) + \beta f(x) . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 2) \$$

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\int_{}^{}{(\alpha f}(x) + \beta g(x) ) dx) ' = \alpha f(x) + \beta f(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 3)$$

(1. 2) және (1. 3) -тен $\alpha\int_{}^{}f(x) dx + \beta\int_{}^{}g(x) dx$ және $\int_{}^{}{(\alpha f}(x) + \beta g(x) ) dx$ функциялары $\alpha f(x) + \beta f(x)$ функцияның алғашқы функциялары екендігі шығады. Ал бір функцияның екі алғашқы функциясының айырмашылығы тұрақты санда ғана. Сондықтан (1. 1) теңдік дұрыс.

4) Егер $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясының алғашқы функциясы болса, онда

$$\int_{}^{}{f(ax + b) }dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C, \ \ \ \ \ \ \ a, b \in R.$$

Дәлелдеуі: $\left( \frac{1}{a}F(ax + b) + C \right) ' = \frac{1}{a} \bullet a \bullet F'(ax + b) + C' = f(ax + b) .$

1. 3. Анықталмаған интегралдың негізгі кестесі

1) $\int_{}^{}{dx = x + C}$

2) $\int_{}^{}{x^{n}dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}} + C, \ \ (n \neq - 1)$

3) $\int_{}^{}\frac{dx}{x} = \lnx + C$

4) $\int_{}^{}{a^{x}dx = \frac{a^{x}}{lna}} + C$ → $\int_{}^{}{e^{x}dx} = e^{x} + C$

5) $\int_{}^{}{sinxdx = - cosx + C}$

6) $\int_{}^{}{cosxdx = sinx + C}$

7) $\int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = tgx + C}$

8) $\int_{}^{}\frac{dx}{\sin^{2}x} = - ctgx + C$

9) $\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = arcsin\frac{x}{a} + C}$ → Дербес түрі $\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = arcsinx + C}$

10) $\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} + a^{2}} = \frac{1}{a}arctg\frac{x}{a} + C}$ → $\int_{}^{}\frac{dx}{1{+ x}^{2}} = arctgx + C$

11) $\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} - a^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\left \frac{x - a}{x + a} \right + C}$ → $\int_{}^{}{\frac{dx}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}\ln\left \frac{x - 1}{x + 1} \right + C}$

12) $\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt{x^{2} \pm a}} = ln\left x + \sqrt{x^{2} \pm a} \right + C$

13) $\int_{}^{}{shxdx} = chx + C$

14) $\int_{}^{}{chxdx} = shx + C$

15) $\int_{}^{}\frac{dx}{{ch}^{2}x} = thx + C$

16) $\int_{}^{}\frac{dx}{{sh}^{2}x} = - cthx + C$

17) $\int_{}^{}\frac{dx}{sinx} = \ln\left tg\frac{x}{2} \right + C$

18) $\int_{}^{}\frac{dx}{cosx} = \ln\left tg\left( \frac{\pi}{4} \pm \frac{x}{2} \right) \right + C$

19) $\int_{}^{}\sqrt{a^{2} - x^{2}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2} - x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C$

20) $\int_{}^{}\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}dx = \frac{x}{2}\sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \pm \frac{a^{2}}{2}\ln\left x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}} \right + C.$

II. Анықталған интеграл

2. 1. Анықталған интеграл ұғымы

[a, b] кесінді де $y = f(x)$ функциясы анықталсын. $a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{n} = b$ нүктелер арқылы [a, b] кесіндіні n дербес бөліктерге $\left\lbrack x_{0}; x_{1} \right\rbrack, \left\lbrack x_{1}; x_{2} \right\rbrack, \ldots, \left\lbrack x_{n - 1}; x_{n} \right\rbrack$ бөлеміз. Дербес бөліктердің ең үлкенінің ұзындығын $\mathrm{\Delta} = max\{\mathrm{\Delta}x_{i}\}$ деп белгілейміз, мұндағы $\mathrm{\Delta}x_{i} = x_{i} - x_{i - 1}, \ \ \ \ i = 1, 2, \ldots, n.$ Әрбір дербес кесіндіден $\left\lbrack x_{i - 1}; x_{i} \right\rbrack, \ \ \ \ i = 1, 2, \ldots, n$ кез келген $\xi_{i} \in \left\lbrack x_{i - 1}; x_{i} \right\rbrack$ нүктені таңдап алып, осы нүктедегі функцияның мәнін $f(\xi_{i})$ деп белгілеп мынадай қосындыны құрайық

$S_{n} = f\left( \xi_{1} \right) \mathrm{\Delta}x_{1} + f\left( \xi_{2} \right) \mathrm{\Delta}x_{2} + \ldots + f\left( \xi_{n} \right) \mathrm{\Delta}x_{n} = \sum_{i = 1}^{n}{f\left( \xi_{i} \right) \mathrm{\Delta}x_{i}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 1)$

(1. 1) қосынды Риманның интегралдық қосындысы деп аталады. Енді осы (1. 1) интегралдық қосындының $\mathrm{\Delta} \rightarrow 0$ ұмтылғандағы шегін қарастырайық

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{\mathrm{\Delta} \rightarrow 0}{\sum_{i = 1}^{n}{f\left( \xi_{i} \right) \mathrm{\Delta}x_{i}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 2) \ \$$

Анықтама. Егер (1. 2) қосындының шегі $\mathrm{\Delta} \rightarrow 0$ ұмтылғанда бар болса және ол шек [a, b] кесіндіні қалай бөлшектегенге және $\xi_{i}$ нүктелерін қалай таңдап алғанға байланысты болмаса, онда ол шек $y = f(x)$ функцияның [a, b] кесіндідегі анықталған интегралы деп аталады да, мына таңбалықпен белгіленеді

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ I = \int_{a}^{b}{f(x) }dx = \lim_{\mathrm{\Delta} \rightarrow 0}{\sum_{i = 1}^{n}{f\left( \xi_{i} \right) \mathrm{\Delta}x_{i}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1. 3) \ \$$

Кейде (1. 3) функцияның [a, b] кесіндідегі Риман интегралы деп те аталады. a және b сандары интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері, $f(x)$ - интеграл астындағы функция, $f(x) dx$ - интеграл астындағы өрнек, х - интегралдау айнымалысы, [a, b] - интегралдау аймағы (облысы) деп аталады.

Теорема. Егер $y = f(x)$ функцияның [a, b] кесіндіде үзіліссіз болса, онда (1. 3) интегралы бар боолады.

2. 2. Анықталған интегралдың қасиеттері

$f(x)$ және $g(x)$ функциялары [a, b] кесіндіде интегралданатын болсын.

Онда мынандай қасиеттер орын алады:

$1) \ \int_{a}^{b}{f(x) }dx = 0. \$

Дәлелдеуі : Ұзындығы нөлге тең кесіндідегі анықталған интегралдың анықтамасынан шығады.

2) $\int_{a}^{b}{dx} = b - a.$

Дәлелдеуі: Интегралдық қосындыдағы $f(x) = 1$ тең. Сондықтан

$$S_{n} = \sum_{i = 1}^{n}{1 \bullet \mathrm{\Delta}x_{i}} = \sum_{i = 1}^{n}{\mathrm{\Delta}x_{i}} = b - a \Rightarrow \int_{a}^{b}{dx} = \lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = \lim_{\mathrm{\Delta} \rightarrow 0}{\sum_{i = 1}^{n}{\mathrm{\Delta}x_{i}}} = b - a.$$

3) $\int_{a}^{b}{f(x) }dx = \int_{a}^{b}{f(t) }dt = \int_{a}^{b}{f(z) }dz$

яғни анықталған интегралдың мәні интеграл астындағы айнымалыны қадай белгілегенге байланысты емес. Себебі (1. 3) қосындының шегі функцияның аргументін қандай әріппен белгілегенге байланысты емес.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс