Эквивалентті шексіз аз шама және оның қолданулары

Мазмұны

Кіріспе

Мен өзімнің курстық жұмысымда Эквивалентті шексіз аз шама және оның қолданулары туралы қарастырамын. Математиканы негіздеудің көптеген мәселелеріне сын көзбен қайта қарау әрекетіне тоқталайық. Ол ең әуелі математиканың жаңа тарауларын қамтиды. Шексіз аз шамалар жайлы бұрынғы анық емес бұлдыр түсініктің орнына шек ұғымын дәл анықтайтын тұжырымдар пайда болды (О. Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс) .

Шектердің қазіргі теориясы XIX ғ- дың басында қалыптаса бастады. Шек ұғымы алғаш рет О. Коши еңбектерінде қолданылды. Тізбек пен функция шектерінің теориясы Б. Больцано мен К. Вейерштрасстың еңбектері негізінде қалыптасты.

Шек ұғымы математикалық талдауда іргелі ұғым болып табылады. Шек жөнінде алғашқы мағұлмат сонау мектеп курсында кездеседі. Мәселен, алгебрада шек ұғымы шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелер қосындысымен байланысса, геометрияда шек ұғымы шеңбердің ұзындығын дөңгелек және бет ауданын, дене көлемін есептеумен байланысады.

Мақсаты : Эквивалентті шексіз аз шамалар және оның қолданулары.

Міндеті : : Шектер теориясымен танысып, функцияның шектерін және шексіз аз шамаларды қарастырып, оларға мысалдар келтіру.

I. Шек

1. 1. Шектер теориясы

Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны (немес N жиынының $\mathsf{R}$ жиынына бейнеленуін) атайды. Бұл функцияның f әріпімен белгілейік. Сонда анықтама бойынша 1 санына $f$ (1) мәні, 2 санына $f$ (2) мәні т. с. с. сәйкес келеді. Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:

n → $f$ (n) .

Бұл шамаларды сәйкес түрде $f_{1}$ = $f$ (1), $f_{2}$ = $f$ (2), …, $f_{n}$ = $f$ (n), … арқылы белгілеп, оларды тізбектің бірінші, екінші, және т. с. с. n - ші мүшелері деп атайды, n - ші мүшені тізбектің жалпы мүшесі дейді. Жалпы мүшесі $f_{n}\$ болатын тізбекті $\left\{ f_{1}{, f}_{2}, \ldots, f_{n}, \ldots \right\}$ немесе $\left\{ f_{n} \right\}$ арқылы белгілейді. Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.

1- анықтама . Егер кез келген оң ԑ санына сайкес натурал $n_{Ɛ}$ саны табылып, барлық $\ n\$ ˃ ${\ n}_{ԑ}$ номерлері үшін $\left x_{n} - a \right$ ˂ ԑ теңсіздігі орындалса, онда $a\$ саны $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады: $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ = $a$ немесе n→∞ (символдар арқылы: $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ ⇔∀ԑ ˃ 0Ǝ ${\ n}_{ԑ}$ ǀn˃ ${\ n}_{ԑ}$ ⇒ǀ $x_{n} - a$ ǀ˂ԑ) . Шегі бар болатын тізбек жинақталатын тізбек деп, ал шегі болмайтын тізбек жинақталмайтын тізбек деп аталады. Модуль қасиетінің негізінде ǀ $x_{n} - a$ ǀ˂ԑ теңсіздігі -ԑ ˂ $x_{n} - \ a˂\ ԑ$ немесе $a - ԑ$ ˂ $x_{n}˂$ $a + ԑ$ теңсіздігімен пара пар, олай болса, барлық $n\$ ˃ ${\ n}_{ԑ}$ үшін $x_{n} \in$ $U_{ԑ}$ (a), яғни $a\$ нүктесінің ԑ- маңайы тізбектің $n\$ ˃ ${\ n}_{ԑ}$ нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды. Бұдан тізбек шегінің тағы бір анықтамасына келеміз.

2- анықтама. Егер $a$ нүктесінің кез- келген ԑ маңайы $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегінің саны арқылы $\left\{ x_{1}{, x}_{2}{, \ldots, x}_{n_{ԑ}} \right\}$ мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда осы $a\$ санын $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегінің шегі деп атайды.

1. 2. Функцияның шегі

Функцияның нүктедегі шегінің бір- бірімен эквивалентті екі анықтамасын келтірейік.

1- анықтама. (функция шегінің Коши бойынша анықтамасы немесе $\ll \varepsilon - \delta\ тілінде \gg$ ) .

Егер f фуекциясы $x_{0}\$ нүктесінің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы $x_{0}$ нүктеден басқа, және кез келген $\varepsilon >$ 0 санына $\delta(x_{0}, \ \varepsilon) \ >$ 0 саны табылып, 0 $< \left x - x_{0} \right < \delta$ шартын қанағаттандыратын барлық $x\$ үшін мына теңсіздік орындалса

$\left f(x) - A \right$ $< \varepsilon$ , (1)

Онда $A$ саны $f$ функцисының $x_{0}\$ нүктесіндегі шегі деп аталады.

Функцияның шегін $\lim_{x - x_{0}}{f(x) }$ $= A\$ немесе $f(x) \rightarrow A$ ( $x \rightarrow x_{0}$ ) деп белгілейміз.

Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады

$\lim_{x - x_{0}}{f(x) }$ $= A$ ⇔(∀ԑ > 0) (∃ $\delta > 0$ ) (∀ x : 0 $\left x - x_{0} \right < \delta$ ) : $\left f(x) - A \right < \varepsilon$ (2)

немесе

$\lim_{x - x_{0}}{f(x) }$ $= A$ ⇔(∀ԑ > 0) (∃ $\delta > 0$ ) (∀ x $\ \in \bigcup_{\delta}^{0}{(x_{0}) }$ ) : $\left f(x) - A \right < \varepsilon$ (3)

2- анықтама. (Функция шегінің Гейне бойынша анықтамасы) .

Егер f функциясы $x_{0}\$ нүктесінің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы $x_{0}$ нүктеден басқа, және осы $x_{0}$ нүктесіне жинақталатын кез келген $\left\{ x_{n} \right\}$ , $x_{n}$ $\neq x_{0}$ , тізбекке сәйкес функция мәндерен тұратын $\left\{ f\left( x_{n} \right) \right\}$ тізбектің шегі $A$ болса $n \rightarrow \infty,$ яғни мына теңсіздік орындалса

$\lim_{n \rightarrow \infty}{f\left( x_{n} \right) }$ $= A$ (4)

онда $A$ саны $f$ функцисының $x_{0}\$ нүктесіндегі шегі деп аталады.

Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады

$\lim_{x - x_{0}}{f(x) }$ $= A$ ⇔(∀ $\left\{ x_{n} \right\}$ ) ( $\ \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ $= x_{0}, \ \ x_{n}$ $\neq x_{0}$ ) : $\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ $= A$ . (5)

Мысал 1. $f(x)$ = $\sin\frac{1}{x}$ функцияның $x \rightarrow x_{0}$ шегі бар ма?

Шешімі. Кез келген екі тізбекті қарастырайық ${x_{n}}^{ʹ}$ = $\frac{1}{\pi n}$ және ${x_{n}}^{ʹʹ}$ = $\frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$ .

Бұл екі тізбектің шектері нөлге тең, яғни $\lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}^{ʹ}$ $= 0$ , $\ \lim_{n \rightarrow \infty}{x_{n}}^{ʹʹ}$ $= 0$ , бірақ ${x_{n}}^{ʹ} \neq 0$ , ${x_{n}}^{ʹʹ} \neq 0$ , ∀ $\ n.$

Сонымен $f\left( {x_{n}}^{ʹ} \right)$ = $\sin{\pi n} = 0, \ \ n = 1, 2, \ldots, \ \ \ \ \ \ \ \ f\left( {x_{n}}^{ʹʹ} \right)$ = $\sin{(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) } = 1, \ \ n = 1, 2, \ldots,$

Сондықтан $\underset{n \rightarrow \infty}{\ \ \ lim}{f\left( {x_{n}}^{ʹ} \right) = \ }0$ , $\underset{n \rightarrow \infty}{\ \ \ lim}{f\left( {x_{n}}^{ʹʹ} \right) = \ }$ 1.

$f(x)$ = $\sin\frac{1}{x}$ функцияның $x \rightarrow x_{0}$ шегі жоқ.

Мысал 2. $f(x)$ = $\frac{2x^{2} + x - 1}{x - 1}$ , $\lim_{x \rightarrow 0}{f(x) }$ - барма?

$\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}$ $= 0$ , болатын $\left\{ x_{n} \right\}$ тізбегін қарастырайық $x_{n}$ $\neq 0$ , ∀ n $\in$ N.

$\underset{n \rightarrow \infty}{\ \ \ lim}{f\left( x_{n} \right) = \ }\underset{n \rightarrow \infty}{\ \ lim}{\frac{2x^{2} + x - 1}{x - 1} = \ }\frac{2{(\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n}) }^{2} + \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} - \ 1}{\lim_{n \rightarrow \infty}x_{n} - \ 1}$ =1.

$f(x) \$ функциясының $x \rightarrow x_{0}$ шегі бар себебі функцияның мәндерінен құрылған тізбектің шегі $\left\{ f\left( x_{n} \right) \right\}$ тізбекті қалай алсақта $n \rightarrow \infty$ ұмтылғанда бірге тең.

1. 3. Шегі бар функциялардың қасиеттері

а саны f(х) функцияның анықталу облысының шектік нүктесі болсын. Функцияның шегіне тəн келесі қасиеттерді дəлелдеуге болады.

1) Егер тəуелсіз айнымалы х, а санына ұмтылғанда, функция f(х) b санына ұмтылса жəне b>А болса (мұнда А-тұрақты), онда осы а санына өте жақын, бірақ оған тең емес х-тің мəндері үшін функция f(х) төмендегі теңсіздікті

f(х) >A (6)

қанағаттандырады.

Бұл теореманы дəлелдеу үшін алдын ала берілетін оң ε санын былай сайлап алайық: ε< b−А , бұл арадан,

b −ε > А.

Функция шегінің анықтамасы бойынша осы берілген ε саны бойынша δ саны табылып,

$$x - a < \delta$$

теңсіздік орындалысымен мына теңсіздік

$$\left f(х) - b \right < \varepsilon$$

орындалуы керек. Ал кейінгі теңсіздік мынадай

b $\ - \ \varepsilon < \ f(х) <$ b $\ + \ \varepsilon$ (7)

қос теңсіздікпен парапарлығы бізге белгілі. х-тің а- ға өте жуық мəндері үшін (7) теңсіздік орындалатын болды: олай болса х-тің бұл мəндері үшін (6) теңсіздік сөзсіз орындалады.

Сонымен, теорема немесе қасиет дəлелденді.

Егер b<В болса, онда функция f(х) тəуелсіз айнымалы x -тің а санына тым жуық мəндері үшін мына теңсіздікті f(х) <В қанағаттандырады.

2) Егер тəуелсіз айнымалы х , а -ға ұмтылғанда, функция f(х) шекке ұмтылса, онда х -тің а санына тым жуық мəндері үшін функцияның өзі де оң болады егер функция теріс шекке ұмтылса, онда функция да теріс болады.

3) Егер айнымалы х тұрақты а санына ұмтылғанда, функция f(х) шектеулі b' санына ұмтылса, онда х -тің а -ға тым жуық мəндері үшін функция шектелген болады, былайша айтқанда оның абсолют шамасы бір тұрақты М санынан асып кетпейді, яғни

$\left f(х) \right \leq M$ , мұнда $x - a \leq \delta$ .

Айтылып отырған қасиеттің дұрыстығы (7) теңсіздіктен-ақ көрініп тұр.

4) Саны шектеулі функциялардың алгебралық қосындысының шегі олардың шектерінің қосындысына тең. Бұл қасиетті екі функция үшін дəлелдейік.

Айталық,

$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) }$ = b, $\lim_{x \rightarrow a}{\varphi(x) }$ = c,

Онда

$\lim_{x \rightarrow a}\left\lbrack f(x) + \varphi(\varphi) \right\rbrack$ = $\lim_{x \rightarrow a}{f(x) } + \lim_{x \rightarrow a}{\varphi(x) } = b + c$ .

Міне, осыны дәлелдеу керек.

Теореманың шарттары бойыншамына теңсіздікті

$$x - a < \delta$$

қанағаттандыратын барлық х-тер үшін келесі теңсіздіктер

$\left f(х) - b \right < \frac{\varepsilon}{2}$ , $\left \varphi(x) - с \right < \frac{\varepsilon}{2}$ (8)

орындалуы керек.

Мына теңбе -теңдікті

$$f(x) + \varphi(\varphi) - (b + c) = \ f(х) - b + \ \varphi(x) - с$$

қарайық. Ал

$\left f(x) + \varphi(\varphi) - (b + c) \right \leq \left f(х) - b \right + \left \varphi(x) - с \right$ .

(8) теңсіздіктерді еске алсақ,

$\left f(x) + \varphi(\varphi) - (b + c) \right < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\ = \ \varepsilon$ ,

Кейінгі теңсіздіктің орындалуы теореманың дұрыстығын дəлелдейді.

5) Саны шектеулі функциялардың көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне тең.

Айталық,

$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) }$ = b, $\lim_{x \rightarrow a}{\varphi(x) }$ = c,

сонда

$\lim_{x \rightarrow a}\left\lbrack f(x) \ ·\ \varphi(\varphi) \right\rbrack$ = $\lim_{x \rightarrow a}{f(x) }\ ·\ \lim_{x \rightarrow a}{\varphi(x) } = b\ ·\ c$ .

Осыны дəлелдеу керек.

Теореманың шарттары бойынша алдын ала берілген оң құнарсыз аз ε санына сəйкес δ саны табылып, мына теңсіздіктің (х−а) <δ орындалуынан келесі тенсіздіктер

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left f(х) - b \right < \frac{\varepsilon}{2с}$ , $\left \varphi(x) - с \right < \frac{\varepsilon}{2М}$ (9)

Орындалады, мұнда М - тұрақты оң сан.

3) Қасиет бойынша мына теңсіздікті $\ x - a < \delta$ қанағаттандыратын барлық х - тер үшін төмендегі теңсіздік

$\left f(х) \right \leq M$ (10)

орындалуға тиіс.

Келесі тепе-теңдікті

$f(x) \varphi(\varphi) - bc = \ f(x) \left\lbrack \varphi(x) - с \right\rbrack$ +с $\left\lbrack f(х) - b \right\rbrack$

қарайық . Абсолют шама жөніндегі қаралып өткен теорема бойынша

$\left f(x) \varphi(\varphi) - bc \right \leq \left f(x) \right\left \varphi(x) - с \right + с\left f(х) - b \right$ .

(9) және (10) теңсіздіктерді еске алсақ,

$\left f(x) \varphi(\varphi) - bc \right < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}\ = \ \varepsilon$ .

Бұл теңсіздіктің орындалуы теореманы дəлелдейді.

Осы дəлелденген теоремадан мына салдар келіп туады: тұрақты санды шек таңбасының сыртына шығаруға немесе оның ішіне еңгізуге болады, яғни

$\lim_{x \rightarrow a}\left\lbrack kf(x) \right\rbrack$ = k $\lim_{x \rightarrow a}{f(x) }$ .

6) Екі функцияның бөліндісінің шегі олардың шектерінің бөліндісіне тең (егер бөлгіш функцияның шегі нольге тең болмаса) .

Айталық,

$\lim_{x \rightarrow a}{f(x) }$ = b, $\lim_{x \rightarrow a}{\varphi(x) }$ = c, (c $\neq 0)$

онда,

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x) }{\varphi(x) }$ = $\ \frac{\lim_{x \rightarrow a}{f(x) }}{\lim_{x \rightarrow a}{\varphi(x) }}$ = $\frac{b}{с}$ .

Теореманың шарты бойынша алдын ала берілген оң $\varepsilon$ санына сәйкес $\delta$ саны табылып мына теңсіздіктің $x - a < \delta\$ орындалуынан мына теңсіздік

$\left \varphi(x) - с \right < \ \varepsilon$ немесе с - $\ \varepsilon <$ $\varphi(x) <$ с + $\varepsilon$ (11)

орындалады. Кейінгі теңсіздіктен мынаны табамыз

$$\frac{1}{с\ - \ \varepsilon} > \frac{1}{\varphi(x) } > \frac{1}{с + \varepsilon}$$

Бұл арадан мынадай қортындыға келеміз:

(а−δ, а+δ), аймақтың ішінде жатқан барлық х -тер үшін функция шектелген, былайша айтқанда

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{\left \varphi(x) \right} \leq М$ (12)

мұнда М - тұрақты оң сан.

Енді мына айырманы қарайық $\frac{1}{\varphi(x) } - \frac{1}{с\ }$ қарайық:

$\frac{1}{\varphi(x) } - \frac{1}{с\ }$ = $\frac{с - \varphi(x) \ }{с\ ·\ \varphi(x) }$

бұл арадан

$\left \frac{1}{\varphi(x) } - \frac{1}{с\ } \right$ = $\frac{1}{с\left \varphi(x) \right}\left \varphi(x) - с \right$ .

(11) жəне (12) теңсіздіктерді еске алсақ, онда (а−δ, а+δ) аймақтың барлық нүктелері үшін төмендегі теңсіздік орындалады:

$$\left \frac{1}{\varphi(x) } - \frac{1}{с\ } \right < \frac{М\varepsilon}{с}$$

$\varepsilon$ - ең құнарсыз аз сан, сондықтан

$\underset{x \rightarrow a}{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ lim}\frac{1}{\varphi(x) }$ = $\ \frac{1}{с\ }\$ = $\ \frac{1\ }{\lim_{x \rightarrow a}{\varphi(x) }}$ (13)

Енді $\frac{f(x) }{\varphi(x) }$ бөліндіні мына түрде жазуға болады

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{f(x) }{\varphi(x) }\$ = $\ f(x) ·\frac{1}{\varphi(x) }$ . (14)

(14) теңдіктің оң жағын екі функцияның көбейтіндісі деп қарауға болады. Ендеше оған (5) қасиетті қолданамыз, сонда

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x) }{\varphi(x) }$ = $\underset{x \rightarrow a}{\ lim}{f(x) }·\underset{x \rightarrow a}{\ lim}\frac{1}{\varphi(x) }$ .

(13) теңсіздікті еске алып табамыз:

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x) }{\varphi(x) }$ = $\ \frac{\lim_{x \rightarrow a}{f(x) }}{\lim_{x \rightarrow 0}{\varphi(x) }}$

Сонымен, теорема дəлелденді.

Біркелкі функцияның шегі туралы төмендегі теореманы дəлелдейік.

... жалғасы

Импульс моменті

Магнит өрісін оқытудың әдістемесі

Ашық кілтті қолданатын алгоритмдер

Геометриялық есептерді шешу

КОМПЛЕКС САНДАР МЕН ОЛАРҒА ҚОЛДАНЫЛАТЫН АМАЛДАР

Биологиялық ұлпаларға жоғары интенсивті сәуле әсері

Көп аргументті функциялардың интегралдық есептеулері

ЭЛЕКТРОСТАТИКА БӨЛІМІН ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕЛІК ЕРЕКШЕЛІКТЕРІ

Үш еселі интегралдың қолданылуы

Үзіліссіз кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс