Эквивалентті шексіз аз шама және оның қолданулары

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны
Кіріспе

Шек
4

Шектер теориясы
4
Фукнкцияның шегі
4
Шегі бар функциялардың қасиеттер
6
Бір жақты шектер
10

Тамаша шектер
11

2.1. Бірінші және екінші тамаша шектер
11
2.2. Бірінші тамаша шектердің кейбір салдары
13
2.3. Екінші тамаша шектердің кейбір салдары
14

Ақырсыз шектер
14

3.1. Ақырсыз шектерге тұжырымдар
14
3.2. Ақырсыз аз және ақырсыз үлкен функциялардың қасиеттері
16
3.3. Ақырсыз аз функцияларды салыстыру
17
3.4. Эквивалентті ақырсыз аз функцияларды шектер табу үшін қолдану
19
3.5. Жиі кездесетін шектер
20

Ақырсыз шектерге арналған есептер
20

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе
Мен өзімнің курстық жұмысымда Эквивалентті шексіз аз шама және оның қолданулары туралы қарастырамын. Математиканы негіздеудің көптеген мәселелеріне сын көзбен қайта қарау әрекетіне тоқталайық. Ол ең әуелі математиканың жаңа тарауларын қамтиды. Шексіз аз шамалар жайлы бұрынғы анық емес бұлдыр түсініктің орнына шек ұғымын дәл анықтайтын тұжырымдар пайда болды (О. Коши, Б. Больцано, К. Вейерштрасс).
Шектердің қазіргі теориясы XIX ғ- дың басында қалыптаса бастады. Шек ұғымы алғаш рет О. Коши еңбектерінде қолданылды. Тізбек пен функция шектерінің теориясы Б. Больцано мен К. Вейерштрасстың еңбектері негізінде қалыптасты.
Шек ұғымы математикалық талдауда іргелі ұғым болып табылады. Шек жөнінде алғашқы мағұлмат сонау мектеп курсында кездеседі. Мәселен, алгебрада шек ұғымы шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның мүшелер қосындысымен байланысса, геометрияда шек ұғымы шеңбердің ұзындығын дөңгелек және бет ауданын, дене көлемін есептеумен байланысады.
Мақсаты: Эквивалентті шексіз аз шамалар және оның қолданулары.
Міндеті: : Шектер теориясымен танысып, функцияның шектерін және шексіз аз шамаларды қарастырып, оларға мысалдар келтіру.

I. Шек
1.1. Шектер теориясы
Сандық тізбек деп N натурал сандар жиынында анықталған сандық функцияны (немес N жиынының R жиынына бейнеленуін) атайды. Бұл функцияның f әріпімен белгілейік. Сонда анықтама бойынша 1 санына f(1) мәні, 2 санына f(2) мәні т.с.с. сәйкес келеді. Жалпы алғанда ондай сәйкестікті былай белгілейді:
n -- f(n).
Бұл шамаларды сәйкес түрде f1= f(1), f2= f(2),..., fn= f(n),... арқылы белгілеп, оларды тізбектің бірінші, екінші, және т.с.с. n - ші мүшелері деп атайды, n - ші мүшені тізбектің жалпы мүшесі дейді. Жалпы мүшесі fn болатын тізбекті f1,f2,...,fn,... немесе fn арқылы белгілейді. Осылайша белгілеуде n номері N натурал сандар жиынының барлық мәндерін қабылдайды деп түсініледі.
1- анықтама. Егер кез келген оң ԑ санына сайкес натурал nƐ саны табылып, барлық n ˃ nԑ номерлері үшін xn-a˂ ԑ теңсіздігі орындалса, онда a саны xn тізбегінің шегі деп аталады және былай жазылады: limn--infinityxn= a немесе n--infinity (символдар арқылы: limn--infinityxn ⇔∀ԑ ˃ 0Ǝ nԑǀn˃ nԑ⇒ǀxn-aǀ˂ԑ). Шегі бар болатын тізбек жинақталатын тізбек деп, ал шегі болмайтын тізбек жинақталмайтын тізбек деп аталады. Модуль қасиетінің негізінде ǀxn-aǀ˂ԑ теңсіздігі -ԑ ˂xn- a˂ ԑ немесе a-ԑ˂xn˂ a+ԑ теңсіздігімен пара пар, олай болса, барлық n ˃ nԑ үшін xn∈ Uԑ(a), яғни a нүктесінің ԑ- маңайы тізбектің n ˃ nԑ нөмірлі барлық мүшелерін қамтиды. Бұдан тізбек шегінің тағы бір анықтамасына келеміз.
2- анықтама. Егер a нүктесінің кез- келген ԑ маңайы xn тізбегінің саны арқылы x1,x2,...,xnԑ мүшелерінен өзге барлық мүшелерін қамтитын болса, онда осы a санын xn тізбегінің шегі деп атайды.

1.2. Функцияның шегі
Функцияның нүктедегі шегінің бір- бірімен эквивалентті екі анықтамасын келтірейік.
1- анықтама. (функция шегінің Коши бойынша анықтамасы немесе ≪ε-δ тілінде≫) .
Егер f фуекциясы x0 нүктесінің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы x0 нүктеден басқа, және кез келген ε 0 санына δ(x0, ε) 0 саны табылып, 0 x-x0δ шартын қанағаттандыратын барлық x үшін мына теңсіздік орындалса
fx-A ε, (1)
Онда A саны f функцисының x0 нүктесіндегі шегі деп аталады.
Функцияның шегін limx-x0fx =A немесе fx--A (x--x0) деп белгілейміз.
Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады
limx-x0fx =A⇔(∀ԑ 0)(∃δ0)(∀x : 0x-x0δ ): fx-Aε (2)
немесе
limx-x0fx =A⇔(∀ԑ 0)(∃δ0) (∀x ∈δ0(x0)): fx-Aε (3)
2- анықтама. (Функция шегінің Гейне бойынша анықтамасы).
Егер f функциясы x0 нүктесінің кейбір аймағында анықталса, мүмкін, осы x0 нүктеден басқа, және осы x0 нүктесіне жинақталатын кез келген xn, xn !=x0, тізбекке сәйкес функция мәндерен тұратын fxn тізбектің шегі A болса n--infinity, яғни мына теңсіздік орындалса
limn--infinityfxn =A (4)
онда A саны f функцисының x0 нүктесіндегі шегі деп аталады.
Бұл анықтаманы қысқаша былай жазуға болады
limx-x0fx =A⇔(∀xn)( limn--infinityxn =x0, xn !=x0): limn--infinityxn =A. (5)
Мысал 1. fx= sin1x функцияның x--x0 шегі бар ма?
Шешімі. Кез келген екі тізбекті қарастырайық xnʹ = 1PIn және xnʹʹ = 1PI2+2PIn.
Бұл екі тізбектің шектері нөлге тең, яғни limn--infinityxnʹ =0, limn--infinityxnʹʹ =0, бірақ xnʹ!=0, xnʹʹ!=0, ∀ n.
Сонымен fxnʹ= sinPIn=0, n=1,2,..., fxnʹʹ= sin(PI2+2PIn)=1, n=1,2,...,
Сондықтан limn--infinityfxnʹ= 0, limn--infinityfxnʹʹ= 1.
fx= sin1x функцияның x--x0 шегі жоқ.
Мысал 2. fx=2x2+x-1x-1, limx--0fx - барма?
limn--infinityxn =0, болатын xn тізбегін қарастырайық xn !=0, ∀n∈ N.
limn--infinityfxn= limn--infinity2x2+x-1x-1= 2(limn--infinityxn)2+limn--infini tyxn- 1limn--infinityxn- 1=1.
fx функциясының x--x0 шегі бар себебі функцияның мәндерінен құрылған тізбектің шегі fxn тізбекті қалай алсақта n--infinity ұмтылғанда бірге тең.
1.3. Шегі бар функциялардың қасиеттері
а саны f(х) функцияның анықталу облысының шектік нүктесі болсын. Функцияның шегіне тəн келесі қасиеттерді дəлелдеуге болады.
1) Егер тəуелсіз айнымалы х, а санына ұмтылғанда, функция f(х) b санына ұмтылса жəне bА болса (мұнда А-тұрақты), онда осы а санына өте жақын, бірақ оған тең емес х-тің мəндері үшін функция f(х) төмендегі теңсіздікті
f(х)A (6)
қанағаттандырады.
Бұл теореманы дəлелдеу үшін алдын ала берілетін оң ε санын былай сайлап алайық: ε b−А, бұл арадан,
b −ε А.
Функция шегінің анықтамасы бойынша осы берілген ε саны бойынша δ саны табылып,
x-aδ
теңсіздік орындалысымен мына теңсіздік
fх-bε
орындалуы керек. Ал кейінгі теңсіздік мынадай
b - ε fх b + ε (7)
қос теңсіздікпен парапарлығы бізге белгілі. х-тің а-ға өте жуық мəндері үшін (7) теңсіздік орындалатын болды: олай болса х-тің бұл мəндері үшін (6) теңсіздік сөзсіз орындалады.
Сонымен, теорема немесе қасиет дəлелденді.
Егер bВ болса, онда функция f(х) тəуелсіз айнымалы x-тің а санына тым жуық мəндері үшін мына теңсіздікті f(х)В қанағаттандырады.
2) Егер тəуелсіз айнымалы х, а-ға ұмтылғанда, функция f(х) шекке ұмтылса, онда х-тің а санына тым жуық мəндері үшін функцияның өзі де оң болады егер функция теріс шекке ұмтылса, онда функция да теріс болады.
3) Егер айнымалы х тұрақты а санына ұмтылғанда, функция f(х) шектеулі b' санына ұмтылса, онда х-тің а-ға тым жуық мəндері үшін функция шектелген болады, былайша айтқанда оның абсолют шамасы бір тұрақты М санынан асып кетпейді, яғни
fх=M, мұнда x-a=δ.
Айтылып отырған қасиеттің дұрыстығы (7) теңсіздіктен-ақ көрініп тұр.
4) Саны шектеулі функциялардың алгебралық қосындысының шегі олардың шектерінің қосындысына тең. Бұл қасиетті екі функция үшін дəлелдейік.
Айталық,
limx--afx= b, limx--aφx= c,
Онда
limx--afx+φφ= limx--afx+limx--aφx=b+c.
Міне, осыны дәлелдеу керек.
Теореманың шарттары бойыншамына теңсіздікті
x-aδ
қанағаттандыратын барлық х-тер үшін келесі теңсіздіктер
fх-bε2, φx-сε2 (8)
орындалуы керек.
Мына теңбе - теңдікті
fx+φφ-b+c= fх-b+ φx-с
қарайық. Ал
fx+φφ-b+c=fх-b+φx-с.
(8) теңсіздіктерді еске алсақ,
fx+φφ-b+cε2+ε2 = ε,
Кейінгі теңсіздіктің орындалуы теореманың дұрыстығын дəлелдейді.
5) Саны шектеулі функциялардың көбейтіндісінің шегі олардың шектерінің көбейтіндісіне тең.
Айталық,
limx--afx= b, limx--aφx= c,
сонда
limx--afx · φφ= limx--afx · limx--aφx=b · c.
Осыны дəлелдеу керек.
Теореманың шарттары бойынша алдын ала берілген оң құнарсыз аз ε санына сəйкес δ саны табылып, мына теңсіздіктің (х−а)δ орындалуынан келесі тенсіздіктер
fх-bε2с, φx-сε2М (9)
Орындалады, мұнда М - тұрақты оң сан.
3) Қасиет бойынша мына теңсіздікті x-aδ қанағаттандыратын барлық х- тер үшін төмендегі теңсіздік
fх=M (10)
орындалуға тиіс.
Келесі тепе-теңдікті
fxφφ-bc= fxφx-с +сfх-b
қарайық . Абсолют шама жөніндегі қаралып өткен теорема бойынша
fxφφ-bc=fxφx-с+сfх-b.
(9) және (10) теңсіздіктерді еске алсақ,
fxφφ-bcε2+ε2 = ε.
Бұл теңсіздіктің орындалуы теореманы дəлелдейді.
Осы дəлелденген теоремадан мына салдар келіп туады: тұрақты санды шек таңбасының сыртына шығаруға немесе оның ішіне еңгізуге болады, яғни
limx--akfx=k limx--afx.
6) Екі функцияның бөліндісінің шегі олардың шектерінің бөліндісіне тең (егер бөлгіш функцияның шегі нольге тең болмаса).
Айталық,
limx--afx= b, limx--aφx= c, (c!=0)
онда,
limx--afxφx = limx--afxlimx--aφx = bс.
Теореманың шарты бойынша алдын ала берілген оң ε санына сәйкес δ саны табылып мына теңсіздіктің x-aδ орындалуынан мына теңсіздік
φx-с ε немесе с - ε φx с + ε (11)
орындалады. Кейінгі теңсіздіктен мынаны табамыз
1с - ε1φx1с+ε
Бұл арадан мынадай қортындыға келеміз:
(а−δ, а+δ), аймақтың ішінде жатқан барлық х-тер үшін функция шектелген, былайша айтқанда
1φx=М (12)
мұнда М - тұрақты оң сан.
Енді мына айырманы қарайық 1φx-1с қарайық:
1φx-1с =с-φx с · φx
бұл арадан
1φx-1с =1сφxφx-с.
(11) жəне (12) теңсіздіктерді еске алсақ, онда (а−δ, а+δ) аймақтың барлық нүктелері үшін төмендегі теңсіздік орындалады:
1φx-1с Мεс
ε- ең құнарсыз аз сан, сондықтан
limx--a1φx = 1с = 1 limx--aφx (13)
Енді fxφx бөліндіні мына түрде жазуға болады
fxφx = fx·1φx. (14)
(14) теңдіктің оң жағын екі функцияның көбейтіндісі деп қарауға болады. Ендеше оған (5) қасиетті қолданамыз, сонда
limx--afxφx = limx--afx· limx--a1φx.
(13) теңсіздікті еске алып табамыз:
limx--afxφx = limx--afxlimx--0φx
Сонымен , теорема дəлелденді.
Біркелкі функцияның шегі туралы төмендегі теореманы дəлелдейік.
7) а берілген біркелкі f(х) функцияның анықталу облысының шектік нүктесі болсын жəне бұл сан х-тің барлық мəндерінен үлкен болсын. Сонда, егер үдеме функция f(х) жоғары, жағынан шектелген болса, яғни
f(х) = М,
онда тəуелсіз айнымалы х, а санына ұмтылғанда айтылып отырған функцияның шектеулі шегі болады.
Функция f(х) жоғарғы жағынан шектелгендіктен, оның өз анықталу облысында қабылдайтын мəндерінің жиыны жоғарғы жағынан шектелген жиын болып табылады. Сондықтан жиынның дəл жоғарғы шекаралығы болады, оны біз L арқылы белгілейік.
Жоғарғы шекаралықтың қасиеті бойынша оң ε саны қаншама шама аз болса да функцияның анықталу облысында жатқан жəне а санынан кіші х' мəн (х'а) үшін, төмендегі теңсіздік:
fxʹL-ε
орындалуға тиіс. Функция f(х) үдеме болғандықтан, х х болғанда
f(х) f(x') болады. Ендеше
fxL-ε
Екінші жағынан
fx=L L+ε.
Сөйтіп тəуелсіз айнымалы х-тің а санына аса жақын мəндері үшін, функция f(х) келесі теңсіздікті
L-ε fx L+ε
Немесе fx-L ε қанағаттандырады.
Кейінгі теңсіздіктің орындалуы теореманың дұрыстығын дəлелдейді.
Осы дəлелденген теорема біркелкі кеміме функция үшін де дұрыс болатындығын оқушылардың өздері де дəлелдей алады.
2. Функцияның ең үлкен жəне ең кіші шектері туралы бір екі ауыз сөз айта кетейік.
Тəуелсіз айнымалы х тұрақты а санына ұмтылғанда f(х) функцияның тиянақты шегі болмағанымен, осы а санына жинақталымды жеке x1 ,x2,..., x3,...--a тізбектер үшін мына шектің limn--infinityfxn= болуы мүмкін: бұл шекті бөлімше шек деп атайды.
Функцияның бөлімше шектерінің ішінен ең үлкенін жəне ең кішісін табуға болады; бұларды былай белгілейміз:
limx--afx, limx--afx.
Функцияның тиянақты шегі болу үшін оның ең үлкен шегі мен ең кіші шегінің өзара тең болуы қажетті жəне жеткілікті.

1.4. Біржақты шектер
Функция шегінің анықтамасында limx-x0fx =A, аргумент x x0- ге кез келген тәсілмен ұмытылады. Сонымен x x0- ге сол жақтан немесе оң жақтан функцияның шегі x-тің x0- ге қалай ұмтылған тәсіліне байланысты болады. Сондықтан бір жақты шек ұғымын кіргіземіз.
Анықтама. Егер кез келген ε 0 саны үшін δ = δ(ε)0 саны табылып кез келген x∈ (x0-δ,x0) үшін мына теңсіздік орындалса
fx-A1ε, (15)
онда A1 санын f функциясының x0 нүктесіндегі сол жақты шегі дейді.
Сол жақты шек былай жазылады
limx-x0-0fx =A1 немесе fx0-0=A1 (16)
Тура осылай оң жақты шекте анықталады. A2 санын f функциясының x0 нүктесіндегі оң жақты шегі дейді, егер
(∀ε0δ=δ)(∃ (ε))(∀x∈(x0,x0+δ )): fx-A2ε ⇔limx-x0+0fx =A2 (17)
Оң жақты шек қысқаша былай жазылады fx0+0=A2.
Сол жақты және оң жақты шектер біржақты шектер деп аталады. Егер сол жақты fx0-0 және оң жақты fx0+0 шектер бар болса және олар бір- біріне тең болса, онда функцияның x0 нүктеде шегі бар, яғни
fx0-0= fx0+0= A
болса, онда limx-x0fx =A. Егер fx0-0!= fx0+0, онда limx-x0fx шегі болмайды.

II. Тамаша шектер
2.1. Бірінші және екінші тамаша шектер
00 және 1infinity анықталмағандықтарды ашуға көбінесе келесі екі мысал пайдаланылады:
1°. limx--0sinxx=1 (бірінші тамаша шек).
2°. limx--01+x1x=e (екінші тамаша шек).
1° теңдікті дәлелдейік.
x--0+, яғни x айнымалы 0-ге оң жақтан ұмтылсын 0xPI2. Центрлік бұрышы x радианға тең бірлік дөңгелекті қарастырайық (26-сурет). Бұл суреттен OA=OB=1, BC=tgx, OB⊥AD, AD=sinx, S∆OABScek.OABS∆OCB екені көрінеді.

S∆OAB=12sinx, Sceкт.OAB=12x, S∆OCB=12tgx өрнектерін соңғы қос теңсіздікке қойсақ, 12sinx12x12tgx ⇒sinxxtgx⇒
⇒1sinx1xcosxsinx ⇒ cosxsinxx1. (18)
cos(-x) және sinxx функциялары жұп болғандықтан, ∀x∈-PI2,PI2, x!=0 нүктелері үшін cos(-x) = cos(x), sin⁡(-x)(-x)=sinxx болады да, (18) қос теңсіздік, х нөлге сол жақтан ұмтылғанда да, яғни -PI2x0 нүктелері үшін де орындалады.

Олай болса келесі қатыстарды жазуға болады:
∀x!=0, -PI2xPI2, cosxsinxx1.
Енді cosx функциясының кез келген х нүктесіндегі үзіліссіздігінен limx--0cosx=coslimx--0x=1 аламыз.
Енді 2° теңдікті дәлелдейік.
Алдымен
limx--+infinity1+1xx=e (19)
теңдігін дәлелдейік. Егер nkk=1infinity - оң бүтін сандардан құралған кез келген өспелі тізбек болса, онда limn--infinity1+1nn=e теңдігінен келесі теңдікті аламыз:
limk--infinity1+1nknk=e. (20)
xk кез келген +infinity-ке ұмтылатын тізбек болсын.
Берілген xk саны үшін nk=xknk+1 орындалатындай ең үлкен бүтін nk санын табуға болады. Онда
1+1xkxk=1+1nkxk=1+1nknk+1=1+1nknk ∙1+1nk
және
1+1xkxk=1+1nk+1xk=1+1nk+1nk=
=1+1nk+1nk+1∙11+1nk+1
демек, барлық k үшін
1+1nk+1nk+1∙11+1nk+1=1+1xkxk=1+1n knk∙1+1nk теңсіздіктері орындалады. Бұндағы екі шеткі өрнектің шегі е болады, өйткені limk--infinity11+1nk+1=lim⁡k--inf inity1+1nk=1, және (20) бойынша
limk--infinity1+1nk+1nk+1=limk--i nfinity1+1nknk=е.

Сондықтан
∀xk--+infinity k--infinity, limk--infinity1+1xkxk=e
аламыз. Гейне анықтамасы бойынша (19) теңдік дәлелденді.
Енді келесі теңдікті дәлелдейік

limx--infinity1+1xx=e. (21)

Егер xk---infinity k--infinity ұмтылатын кез келген тізбек болса, онда yk=xk---infinity k--infinity. Осы ауыстыруды ескеріп,
1+1xkxk=1-1yk-yk=ykyk-1yk=1+yk-1yk- 1(yk-1)+1=

=1+1yk-1yk-1∙1+1yk-1 аламыз.

Ал yk--+infinity k--infinity ұмтылатындықтан, соңғы өрнектің бірінші көбейткішінің шегі (19) бойынша е-ге тең, ал екінші көбейткішінің шегі 1-ге тең. Олай болса кез келген xk---infinity k--infinity үшін limk--infinity1+1xkxk=e аламыз. (21) теңдік дәлелдендеі.
(19) мен (21) теңдіктерден

limx--infinity1+1xx=e. (22)
теңдігін аламыз. Мұнда 1x=t деп алсақ,
limt--infinity1+t1t=e. (22')

2.2. Бірінші тамаша шектердің кейбір салдары
Элементар функциялардың үзіліссіздігі функция шектерін табуда кеңінен қолданылып келеді. Ілгеріде жиі қолданылатын шектерді қарастырып өтеміз.
Салдар.
1) limx--0tanxx=1; 2) limx--0arcsinxx=1; 3) limx--0arctanxx=1;
Осы шектерді есептеп шығарайық.
1) limx--0tanxx=limx--0sinxxxcosx = limx--0sinxxlimx--0xcosx=1,
мұндағы limx--0cosx=coslimx--0x=cos0=1 (косинус функциясы
x =0 нүктесінде үзіліссіз болатыны себепті).
2) y=sinx функциясы -PI2;+PI2 кесіндісінде қатаң бірсарынды және үзіліссіз, ал оған кері x = arcsiny функциясы да -1;1 sin0=0 болғандықтан, x--0 және y--0 шарттары мәндес болады. Шекті ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.