Комбинаториканың негізгі формулалары: терулер, орналастырулар және алмастырулар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 6 бет
Таңдаулыға:

Жоспар

I Кіріспе

II Негізгі бөлім

Комбинаториканың негізгі формулалары. Терулер
Орналастырулар
Алмастырулар

III Қорытынды

VI Пайдаланылған әдебиеттер

Кіріспе

Комбинаториа (лат. Combino - жалғастырамын) - комбинаторикалық анализ деп те аталады.

Комбинаторикалық анализ комбинаторикалық математика, комбинаторика - математиканың кез келген шектеулі жиын (шектеудің кейбір шарттарын шексіз жиын) бөліктерінің орналастырылуы мен өзара орналасуына байланысты мәселелерін зерттейтін бөлімі.

Комбинаторикалық сипаттағы идеялар ықтималдық теориясы, алгебра тәрізді математикалық бөлімдерінде өте кең тараған. Комбинаторикалық анализ есептері ерте кезден - ақ белгілі болған. Оның дамуына көптеген математиктер елеулі үлес қосты. Бірақ комбинаторикалық анализ өз алдына пән ретінде тек 20 ғасырда ғана қалыптаса бастады. Комбиторикалық графтар теориясы, шектеулі автоматтар теориясы тәрізді математиканың салаларымен тығыз байланысты. Оның тәжірибелері ғылыми тәжірибелерді жоспарлауды және оларға талдау жасауда, сызықтық және динамикалық бағдарламалауда, математикалық экономикада, т. б. ғылым мен техникалық көптеген салаларында қолданылады. Комбинаторикалық анализ проблемасының үш түрі бар.

Санап шығу есептерінде объектілердің шектеулі жиынынды кездесетін шарттарды қанағаттандыратын орналастырулар саны қарастырады. Іс жүзінде мұндай есептер жасаушы функциялар әдісі мен Д. Пойаның (1887-1985) (американдық математик) санап шығу әдісінің көмегімен шешіледі.

Салу есептерінде кейбір қасиеттері сақталатын шектеулі жиын бөліктері конфигурациясының болуы, егер болса оның салынатындығы туралы мәселелер қарастырылады. Таңдап алу есептерінде ішкі жиын бөліктерінің кейбір құрамын таңдап алу шарттары зерттеледі. мұндай есептерді шешкенде комбинаторлық ойлармен қатар алгебралық аппарат та қолданылады.

Комбинаториканың негізгі формулалары

Терулер. Мысал келтіруден басталық. Айталық, a, b, c және d элементтері берілсін.

Осы элементтерден 2 элемент алып, бір бірінен айырмашылығы ең болмағанда бір элементте болатын қосылыстар жасалық: ab, ac, ad, bc, bd, cd. Міне берілген 4 элементтен 2-ден жасалған және айырмашылықтары элементтерде болатын қосылыстар осылар. Осындай қосылыстар терулер деп аталады.

Анықтама. Берілген n элементтен k-дан жасалған терулер дегеніміз - бір - бірінен айырмашылықтары ең болмағанда бір элементінде болатын қосылыстар.

n элементтен k-дан жасалған терулер санын деп белгілейміз. Мысалы, жоғарыдағы терулер саны

Теорема. Мына формула орынды

(1)

(1) формула сырт пішініне қарағанда күрделі көрінгенмен оны есептеген кезде өте оңай жүргізіледі: бөлшектің алымына төменгі индекстен басталған және бірінен кейін бірі 1-ге кеміп отырған натурал сандардың көбейтіндісі және де көбейткіштерінің саны жоғарғы индекске тең, ал бөлшектің бөлімінде 1-ден бастап жоғарғы индекске дейінгі натурал сандардың көбейтіндісі тұр. Мәселен,

Демек, 10 элементтен 3-тен 120 әр түрлі терулер жасауға болады.

Тәжірибелік есептерде теру қосылысы « n элементтен k элементін алу» жағдайында пайда болады. Мәселен, қалың жұртшылыққа кең тараған «36-дан 5» спортлото ойынындағы әр билетті толтыру - 36-дан 5-тен жасалған теру. Демек, барлық мұндай терулер саны

Мұны «36-дан 5» спортлото билеттерін әр түрлі толтырулардың барлық жағдайлары деп те түсіну керек.

Мысал: 10 сауын сиырын олардың сүттілігіне не басқа да өзгешеліктеріне қарамай екі сауыншыға тең етіп қанша әдіспен бөліп беруге болады?

Шешуі: Мұнда «10-нан 5 элементті алу» екендігін түсіну қиын емес. Сонда сұрап отырған әдістер саны -

(7) формула бойынша есептесек

Теру сандарының мынадай қасиеттері бар.

1. Теру саны үшін факториал таңбасын пайдаланып,

(2)

Бұл теңдіктердің орынды болатындығы (2) теңдіктен көрініп тұр. Теру саны арқылы Ньютон биномы деп аталатын жіктеуді келісті түрде жазуға болады:

Сөйтіп, биномдық жіктеудегі коэффициенттер - теру сандары. Ескерте кетелік, келісім бойынша

теңдігін анықтама есебінде қабылдайды.

Орналастырулар. Бұл қосылыстың анықтамасын беруден басталық.

Анықтама. n элементтен k-дан алынған орналастырулар дегеніміз бір - бірінен өзгешеліктері әрі элементтерінде, әрі элементтердің реттерінде болатын қосылыстар.

Мәселен, a, b, c, d төрт элементтерінен екіден жасалған орналатырулар мыналар:

аb, ac, ad, bc, cd, bd,

ba, ca, da, cb, db, dc.

Барлығы - 12. сөйтіп, орналастырулар әрі теру болады. Практикалық есептерде орналастырулар «n элементтерден k элементті бірдіндеп алғаннан» келіп шығады.

n элеметтен k-дан жасалған орналастырулар санын әдетте деп белгілейді.

Теорема. Орналастырулар саны үшін

(3)

формуласы орынды.

Теру санының формуласын қолдануда оңай: төменгі индекстен бастап көбейткіштер құру керек; келесі көбейткіш ілгеріден бірді алып тастағаннан шығады; көбейткіштердің саны жоғарғы индекске тең. Mәселен бұл санды 10 қозыны 3 көгекөгендедің барлық мүмкін болатын жағдайлары деп те түсінуге болады, өйткені қозыларды көгенге біртіндеп көгендейді.

Алмастырулар

Анықтама. n элементтен n-нен жасалған орналастыруларды n элементтен жасалған алмастылуралт дейді.

Алмастырулар саны үшін Р таңбалауы қолданылады.

Теорема. Алмастырулар саны үшін мына формула:

(4)

орынды.

Сонымен, n элементтен жасалған алмастырулар дегеніміз, бір-бірінен өзгешеліктері элементтердің реттеріндеғана болатын қосылыстар.

Ескерте кетелік, теру, орналастыру және алмастыру сандарының арасында мынадай байланыс бар.

Бір-бірлеп алынған комбинация. Бұл қосылыс жайында оқулықтарда аз айтылады, ал оның қолданылуы бірінші сыныптың бағдарламасынан бастап кездеседі деп айтсақ, жаңылыспаған болар едік. Айталық k элементтер тобы берілсін: бірінші топта n ₁ элемент, екінші топта n ₂ элемент және т. б. , k-ші топта n _k элемент болсын делік:

Бірінші топ элементтері: а ₁ , а ₂ , . . . , а _n .

Екінші топ элементтері: b ₁ , b ₂ , . . . , b _n .

k-ші топ элементтері: с ₁ , с ₂ , . . . , с _n .

Бірінші топтан бір элемент - а _і ₁ , екінші топтан бір элемент - b _і ₂ т. т., k-ші топтан бір элемент - с _і _k алып, соларды алынған реттеріне қарай бір - бірлеп жазып, мынадай қосылыс жасалық: