Сызықтық емес программалаудың классикалық әдістері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Сызықтық емес программалаудың классикалық әдістері.

Теорема 1. (Экстремумның бар болуының қажеттілік шарты) . Егер дифференциалданатын функцияның нүктесінде максимум немесе минимум мәні бар болатын болса, онда бұл нүктеде оның туындысы нольге айналады, яғни .

Туындысы нольге айналатын немесе үзіліс нүктесі болатын аргумент мәндері сыни (күдікті) нүктелер немесе сыни (күдікті) мәндер деп аталады.

Функцияның экстремумдарын табу үшін барлық сыни (күдікті) нүктелерді табады, одан кейін әрбір сыни (күдікті) нүктені жеке зерттей отырып, бұл нүктеде максимум немесе минимум бар ма, әлде максимум да, минимум да жоқ па соны анықтайды.

Сыни нүктелердегі функцияны зерттеуде келесі теоремаға сүйенеміз.

Теорема 2. (Экстремумның бар болуының жеткілікті шарты) . функциясы сыни (күдікті) нүктесі жататын қандай да бір интервалда үздіксіз функция, және осы интервалдың барлық нүктелерінде дифференциалданатын болсын. Егер осы нүкте арқылы солдан оңға өткенде туынды таңбасы плюстен минуске өзгерсе, онда үшін функцияның максимумы бар болады. Егер нүктесі арқылы солдан оңға өткенде туынды таңбасы минустен плюске өзгерсе, онда нүктесінде функцияның минимумы бар болады.

Сонымен,

егер а) болса, онда нүктесінде функцияның максимумы болады;

ал егер б) болса, онда нүктесінде функцияның минимумы болады.

1-сурет теорема2-ның мағынасын көрнекі бейнелейді.

Сурет 1

нүктесінде бар болсын және нүктесіне жақын барлық үшін төмендегі теңсіздіктер орындалсын

Сонда үшін, қисыққа жүргізілген жанама осімен сүйір бұрыш жасайды - функция өседі, ал үшін, қисыққа жүргізілген жанама осімен тұйық бұрыш құрайды - функция кемиді; үшін функция өсуден кемуге ауысады, яғни максимумы бар.

Егер нүктесінде болса және нүктесіне жақын барлық үшін төмендегі теңсіздіктер орындалса

онда үшін, қисыққа жүргізілген жанама осімен тұйық бұрыш жасайды - функция кемиді, ал үшін, қисыққа жүргізілген жанама осімен сүйір бұрыш құрайды - функция өседі; үшін функция кемуден өсуге ауысады, яғни минимумы бар.

Егер нүктесінде болса және нүктесіне жақын барлық үшін төмендегі теңсіздіктер орындалса

онда үшін де, үшін де функция өседі. Сондықтан үшін функцияның максимумы да, минимумы да болмайды.

Бірінші ретті туынды көмегімен дифференциалданатын функцияны максимум және минимумға зерттеу схемасы:

Функцияның бірінші ретті туындысын, яғнитабамыз
аргументінің сыни (күдікті) мәндерін табамыз; ол үшін:

а) бірінші туындыны нольге теңестіреміз және алынған теңдеудің нақты түбірлерін табамыз;

б) туындысында үзіліс нүктесі болатын -тің мәндерін табамыз

Сыни (күдікті) нүктенің оң және сол жақтарында туындының таңбасын зерттейміз. Туынды белгісі екі сыни (күдікті) нүктенің арасындағы аралықта өзгеріссіз болғандықтан (сурет 1), мысалы, сыни (күдікті) нүктесінің сол және оң жақтағы туынды таңбасын зерттеу үшін, жәненүктелеріндегі туындының таңбасын анықтау жеткілікті

( , мұндағы және
жақын сыни (күдікті) нүктелер) .