ВЕКТОР ЖӘНЕ ВЕКТОРЛЫҚ ШАМАЛАР

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

әл -Фараби атындағы қазақ ұлттық университеті

Факультеті: «Физика техникалық »

Кафедрасы: «Қатты дене физикасы және бейсызық физика кафедрасы »

СӨЖ

Тақырыбы : Векторлар және оларға қолданылатын операциялар

Орындаған : Төлеген Ұ. Н ФиАс 1 крус

Тексерген: Тұрмұхамбетов А. Ж

Алматы 2022

МАЗМҰНЫ

1. КІРІСПЕ . …1 2. ВЕКТОР ЖӘНЕ ВЕКТОРЛЫҚ ШАМАЛАР. 2

2. 1. Еркін, сырғанақ және тұрақты векторлар 3

2. 2. Вектордың проекциялары, координаталары 4

3 ВЕКТОРЛАРҒА СЫЗЫҚТЫҚ АМАЛДАР ҚОЛДАНУ8

4. ВЕКТОР ТУЫНДЫСЫ. . . . 10

5. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР11

КІРІСПЕ

Физикада кездесетін кейбір шамалар тек сан мәнімен, яғни абсалют шамасымен ғана анықталады. Мысалы: уақыт, масса, температура, және т. б. Бұл шамаларды скаляр шамалар деп атайды. Ал кейбір шамалар сан мәнімен ғана емес, сонымен қатар бағытымен де анықталады. Мәселен : жылдамдық, үдеу, күш, импульс . Бұл векторлық шамалар деп аталады.

Векторлар техника ғылымдарының қауырт дамуына байланысты 18 ғасырда бастау алып, 19 ғасырдың жартысында есептеудің талапқа сай жаңа түрін іздестіру барысында дүниеге келді. Векторлық есептеулердің жасы жас болғанымен бастау кезі сонау ерте заман данышпаны Аристотельдің «Механикалық проблемалар» атты еңбегінде кездеседі. Аристотель бұл еңбегінде бір нүктеге түсірілген және өзара бұрыш жасай бағытталған екі күштің әсерінен жүрген жолын табуды екінші мәселе етіп қойды. 18 ғасырда Аристотельдің қозғалыстар параллелограммы қайтадан жандана түсті. Галилео Галилей күш және оның денені қозғайтын құраушысының арасындағы метрикалық байланысты зерттеді. Оның еңбектеріне, қарап Галилейдің тең әсерлі күш, қорытқы жылдамдық ұғымдарына өте жақын, қапталдас келгенін көруге болады. Ағылшын математигі, әрі физигі Исак Ньютон қозғаласытарды жасауға алғаш рет параллелограмм ережесін пайдаланады. Неміс математигі Готфрид Вильгелм Лейбниц геометриялық есептеудің идеясын берді, бірақ дамытпады. Механикадағы векторлық алгебраның негізін салушы Джон Валлис механикадағы геометриялық аппарат жасауға жаңа қадам жасады. Ол екі үш күштің әсерлі және қорытқы жылдамдығын анықтауға қолданылатын параллелограмм ережесін берді. Күштерді, жылдамдықтарды қосу, жіктеу, векторларды санға көбейту амалдарын алғаш рет берген де осы адам. Сонымен векторлық алгебраның негізін қалаған оқымысты-Джон Валлис. Механиканы вектор негізінде құрудың жалпы схемасын жасап шыққан Сен-Венан еді. Ол 1845 жылы жариялаған еңбегінде ( О геометрических суммах и разностях их применнения для упрощения механики) скаляр көбейтінді, векторлық көбейтінді, векторлық функцияны дифференциялау, интегралдау ережелерін береді. Сен-Венан векторлық есептеулер саласына қомақты үлес қосты, механикада қолданылатын векторлық аппараты жетілдіруде жемісті еңбек етті. 1844 жылы У. Гамильтон векторлық есептеулерге арналған алғашқы мақалалары Г. Грасманның * Учение о претяженности * атты көлемді еңбегі жарияланды. 1853 жылы Гамильтонның *Лекции о кватерлонах* атты енбегі жарық көрді. Бұлардың әрқайсысы есептеудің жаңа әрі әмбебап түрін жасады, векторлық есептеулерге көп енбек сіңірді. Вектор ұғымын 1846 жылы ғылымға енгізген Гамильтон болды. Д. Валлис, Л. Карно, Сен-Венан- бұлар векторлық алгебра және векторлық анализдің ұғымдарын ғылымға енгізді. Олар механикага қажетті геометриялық аппарат жасау жолында жемісті еңбек етті. Бірақ векторлық есептеулердің негізін салушылар Ирландия математигі, астрономы Уильям Гамильтон және неміс физигі, математигі Герман Грассман деп айтылып жүр

ВЕКТОР ЖӘНЕ ВЕКТОРЛЫҚ ШАМАЛАР

Вектор - физикалық шама, оның өлшемі де, бағыты да болады. Векторлық шамаларға күшті, орын ауыстыруды, жылдамдық, үдеуді және тағы басқа шамалар жатады. Мысалы, денеге әсер ететін күш - вектор. Нысанның орын ауыстыруы да вектор болып табылады, өйткені жылжуды есептеу кезінде белгілі бір бағыттағы қашықтық ескеріледі. Векторларды бағытталған кесінді түрінде кескіндейді және бір әріппен немесе вектордың басы мен ұшын көрсететін екі әріппен белгілеп төбесіне стрелка қояды. А және В нүктелерінің реттелген қосағын бағытталған кесінді дейді. Ал өзара тең барлық бағытталған кесінділер жиынтығын вектор дейміз. Жазықтықтың әрбір нүктесінде а векторын құратын бағытталған кесінділердің бірі бар. Мысалы АВ және СД а векторын құратын бағытталған кесінділер жиынтығынан болса, онда АВ бағытталған кесіндісі А нүктесінен салынған, ал СД бағытталған кесіндісі С нүктесінен салынған а векторы болып табылады. А және В нүктелерінің арақашықтығын АВ бағытталған кесіндісінің ұзындығы дейді. Жазықтықтың әрбір нүктесінде а векторын құрайтын бағытталған кесінділерінің бірі бар. Мысалы АВ және СД а векторын құрайтын бағытталған кесінділер жиынтығынан болса, онда АВ бағытталған кесінідсі А нүктесінен салынған, ал СД бағытталған кесіндісі С нүктесінен салынған а векторы болып табылады. Вектордың ұзындығын оның модулы дейді (абсолют шамасы деп те атайды) . Модульда бағыт болмайды, ол - скаляр шама. а векторының модулы а немесе а немесе деп белгіленеді. Бұл үш белгі біріне-бірі пара-пар. Сол сияқты, АВ, АВ, белгілері АВ векторының модулын өрнектейді.

Векторлық шама (1 дәрежелі тензор) . Ол, бір жағынан, скалярға (0 дәрежелі тензорлар) екінші жағынан, тензорлық шамаларға (қатаң айтқанда, 2 немесе одан да көп дәрежелі тензорларға) қарсы. Ол мүлдем басқа математикалық сипаттағы кейбір объектілерге қарсы тұруы мүмкін. Көп жағдайда вектор термині физикада «физикалық кеңістік» деп аталатын векторды белгілеу үшін қолданылады, яғни классикалық физиканың кәдімгі үшөлшемді кеңістігінде немесе төрт өлшемді кеңістік-уақытында қазіргі физика (соңғы жағдайда вектор мен векторлық шама ұғымы 4 вектор мен 4 векторлық шама ұғымымен сәйкес келеді. Тұтастай алғанда, физикада вектор ұғымы математикадағы ұғыммен толық сәйкес келеді. Алайда, қазіргі математикада бұл ұғымның шамадан тыс абстрактілі болуымен байланысты терминологиялық ерекшелігі бар. Математикада «векторды» айта отырып, жалпы алғанда вектор шамасын түсінуге болады, яғни кез келген өлшем мен сипаттағы кез келген ерікті абстрактілі сызықтық кеңістіктің кез келген векторы, егер ерекше күш жұмсамаса, тіпті шатасуға әкелуі мүмкін. Екі вектор бірдей көлемде және бағытта болғанда тең болады. Мысалы, екі көлік бар делік, біреуі сағатына 30 км жылдамдықпен солтүстікке, ал екінші бір машина батысқа қарай 30 км / сағ жылдамдықпен қозғалады. Сонда екі көліктің жылдамдығы бірдей болмайды, өйткені жылдамдық векторының бағыты бірдей емес. Егер екі көлік те солтүстікке бағытталған болса, онда жылдамдықтар бірдей болар еді. Векторларды ұзындығының шамасына пропорционалды түзу сызық сегменттері арқылы ұсынуға болады. Үшбұрыш заңы мен көпбұрыш заңын қолдана отырып, бір типтегі векторларды қосуға болады; яғни екі жылдамдықты қосуға болады, бірақ жылдамдыққа күш қосу мүмкін емес. 2

Еркін, сырғанақ және тұрақты векторлар

Кейде, векторлар ретінде “барлық” тең бағытталған кесінділер жиыны орнына осы жиынның әлдебір өзгертілген түрін (факторжиынын) айтады. Осылайша «еркін» (барлық ұзындықтары мен бағыттары бірдей векторларды бір (толықтай бірдей) деп қарастырады), «сырғанақ» (еркін мағынасы байынша тең векторларды егер бас нүктелері мен соңғы нүктелері бір түзудің бойында жатса) және «тұрақты» векторлар (іс жүзінде бағытталған кесінділердің бас нүктелері әр-түрлі болса - векторлар тең емес деген сөз) . Қарапайым сөзбен айтқанда, векторларды бағытына қарай еркін, сырғанақ, тұрақты векторлар деп бөліп қарастырамыз. Ал сырғанақ векторларға бағыты мен ұзындығын өзгертпей түзуінің бойымен қозғалуына рұқсат етілген

Сырғанақ векторлар әсіресе механикада пайдаланылады. Механикадағы ең қарапайым мысал - күш. Өзі жатқан түзу бойымен вектор бас нүктесін көшіргенмен қай нүктеге қатысты есептесе де күш моменті өзгермейді; керісінше, басын басқа түзуге көшірсе тіпті вектордың бығыты мен ұзындығын сақтағанның өзінде күш моменті әрдайым дерлік өзгереді: сондықтан күшті еркін вектор ретінде санауға болмайды.

Еркін вектор деп сол вектор жаьқан түзудің бойымен жылжытуға болатын және өзіне өзі параллель көшірілетін векторды айтады, яғни вектордың бастапқы нүктесі кеңістіктегі кез келген бір нүктеге көшірілетін болса, еркін вектор деп аталады. Механикада, физикада векторлардың осы үш түрі де кездеседі, ал механикалық геометрияда әрқашанда еркін векторлар қолданылады. Еркін векторлар жиыны мен олардың кеңістіктегі параллель жылжыту жиыны арасындағы изоморфизмді ескерсе, егерде қосу операциясын жылжыту композицияларымен теңестірсе, онда кеңістікті параллель жылжыту жиынын анықтау үшін де пайдалануға болады. Кез келген вектордың сандық мәні оның модулі деп аталады. Модуль - скалярлық шама. Ұзындығы а векторының ұзындығына тең, а бағыты оның бағытына қарама-қарсы вектор былай белгіленеді. Ұзындығы нөлге тең вектор нөлдік вектор деп аталады. Егер екі вектордың бастапқы нүктелерінің орналасуы байланысыз, өлшемдері және бағыттары бірдей болатын болса, онда олар тең векторлар деп аталады. А, в векторлары бір түзу бойында, паралель түзулер бойында жатса оларды коллинеар векторлар дейді, белгілеулері А//В. Екі вектор өзара коллинеар болуы үшін олардың координаталарының пропорционал болуы қажетті және жеткілікті. Егер үш векторлар бір жазықтықта немесе параллель жазықтықтарда орналасса, оларды компланар векторлар деп атайды. Егер үш векторлардың ішінде біреуі нөлдік вектор болса, онда қалған екі векторлар коллинеарлы болады, онда мұндай векторлар компланарлы болады.

Вектордың проекциялары, координаталары

Бастапқы нүктесі, өлшеу бірлігі және оң бағыты анықталған түзуді координаталық ось дейміз. Белгілеуі - l, m, Ox, Oy, Oz…

Егер вектордың басы А ( х ₁ , у ₁ , z ₁ ) ж әне ұшы В ( х ₂ , у _2, z ₂ ) нүктелерінде жатса, онда х2- х1 ; у2- у1 ; z2 - z1 ; сандары АВ векторының координаталары деп аталады.

Қолайлылық үшін вектор координаталарын х2-х1 = Х т. с. с түрінде белгілейміз.

Геометрияда сәйкесінше координаттары бірдей векторларды бірдей векторлар деп санайды. Соңдықтан векторларды a, b, c, … деп бір ғана әріппен белгілейміз. a векторының координаттарын (ax, ay) деп белгілейміз. Ал a векторының өзін кейде {ax, ay} деп те белгілейді.

Координаталық осьтермен оң бағытталған і (1, 0 ) және к ( 0, 1 ) бірлік векторларын координаталық векторлар немесе орттар дейді.

Кез келген нөлдік емес а ( а ₁ , а ₂ ) векторын бір ғана жолмен і (1, 0 ) және к ( 0, 1 ) векторлары бойынша жіктеуге болады. Яғни а = a ₁ і + a ₂ k.

Айталық а ( а1, а2, а3 ) және в ( в1, в2 в3 ) нөлдік емес векторлары берілсін, онда

Коллениарлық шарты :

$\frac{а1}{b1}$ = $\frac{a2}{b2}$ = $\frac{a3}{b3}$ = $\gamma$

в а, в, с векторлары- коллинеар

ВЕКТОРЛАРҒА СЫЗЫҚТЫҚ АМАЛДАР ҚОЛДАНУ

Векторларға сызықтық амалдар қолдану деп векторларды қосу және азайту, сондай ақ санды векторға скаляр көбейтуді айтады. Векторларға қолданылатын амалдарға келетін болсақ, а векторының ұшы мен векторының басын беттестіріп салайық. Сонда а векторының басын в векторының ұшымен қосатын с векторының а, в векторларының қосындысы деп атайды.

а( а 1, а 2) және в ( в1, в2) векторларының қосындысы деп

с=( a +b) = (а1+в1 ; а2+в2 ) векторын айтады.

Сонымен қатар, векторлардың қосындысын екі әдіспен- параллелограмм ережесімен немесе үшбұрыш ережесімен табуға болады:

Векторларды қосу идеясы басқа векторлармен бірдей әсер ететін бір векторды таба алатындығымыздан туындады. Егер белгілі бір нүктеге жету үшін бізге алдымен бір бағытта А километр, екінші бағытта В километр жүру керек болса, онда біз үшінші бағытта С километр жүру арқылы соңғы нүктеге жетер едік. Векторларды қосуда үшбұрыш ережесін қолдануға болады. Ол үшін берілген векторларды бірінші вектордың ұшы екінші вектордың басымен түйісетіндей етіп, өз-өзіне паралель көшіреміз. Сонда бірінші вектордың басынан екінші вектордың ұшына қарай жүргізілген вектор сол екі вектордың қосындысын береді. Бір жазықтықта жатқан векторларды оңай қосу үшін құраушыларға жіктейміз. Қысқаша айтатын болсақ төменде берілген вектордың х осьіндегі проекциясын алу үшін көлеңке түсіру арқылы көрсек болады. Немесе у осьіндегі проекциясын алу үшін у осьіне қарсы жарық түсіріп, вектордың көлеңкесін есептесек болады.

Бірнеше вектордың қосындысы үшбұрыш ережесінің

Жалпы болып келетін көпбұрыш ережесімен анықталады.

Векторды қосудың қаситтері :

1. а + b = b +a ( ауыстырымдылық қасиеті )

2. (a +b) + c= a +(b+ c) ( терімділік қасиеті)

3. Кез келген а векторы үшін а +0= а болатындай нольдік 0 векторы бар болады. ( нольдік вектордың ерекше рөлі)

4. Кез келген а векторы үшін а + (- а ) =0 болатындай қарама-қарсы векторы бар болады.

Векторларды косу ережесінен векторларды азайту ережесін шығарып алуға болады. Мысалы, с = а - b векторын табу керек болсын. Бұл теңдікті с = a + ( - b) түрінде жазуға болады, яғни векторлардың айырымын табу үшін а азайғыш векторға модулі азайткыш векторға тең, бірақ оған карама-карсы бағытталған - b векторын қосу керек. Немесе екі векторды өздеріне параллель көшіріп, бастары бір нүктеден шығатындай етіп орналастырамыз. Содан соң олардың ұштарын азайтқыштан (b) азайғышка (a ) қарай бағытталған вектормен қосамыз. Міне, осы с векторы қорытқы вектор болады.

Координаталары бойынша айырымды а с

c = a- b = ( а ₁ - в _{1 ;} а ₂ -в ₂ ) а

түрінде табылады. в

Векторларды азайту ережесі:

а және в векторларының а-в айырмасы а векторы мен в-ге қарама-қарсы вектордың қосындысы болып табылады.

Сонымен, екі вектордың айырмасын алу үшін сол векторларды бір ғана нүктеден бастап алып, азайтқыш вектордың ұшын азайғыш вектордың ұшымен қосса жеткілікті.

Векторды санға көбейту

Анықтама:а ( а ₁ , а ₂ ) векторын n санына көбейткенде а мен бағыттас ( егер n > 0 болса) немесе қарама-қарсы бағытталған (егер n < 0 болса ) коллинеар n а = ( n a ₁ ; n a ₂ ) векторын аламыз.

Егер векторды 1 санына көбейтсек, тең векторларды аламыз.

Егер векторды −1 санына көбейтсек, қарама -қарсы векторларды аламыз.

Векторды санға скаляр көбейту .

Айталық а (а ₁ : а ₂ ) және в ( в1, в2) векторлары берілсін. Онда а ( а ₁ : а ₂ ) және в( в ₁ : в ₂ ) векторларының скаляр көбейтіндісі деп а ₁ в ₁ + а ₂ в ₂ сандарын айтады.