Көпбұрыштар ауданын оқытудың теориялық негіздері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 61 бет
Таңдаулыға:

арнасы ол емес. Геометрияда қолданылатын мәселелер сан алуан. Сондықтан геометрия ерте заманның өзінде-ақ кеңістіктік пішіндер мен қатынастар жөніндегі ғылым ретінде қалыптасқан. Жер өлшеу ғылымын, соңғы мағынадағы геометриядан айырып айту үшін, Аристотель геодезия деп атаған. Геометрияны тек жер өлшеу жұмыстары ғана тудырған жоқ. Бұл бағытта ғылыми-практикалық деректердің молайып, қорлануына үй, көпір, пирамида, әскери бекіністер, т.б. құрылыстар салу, арналар қазу, ыдыстардың сыйымдылығын өлшеу, құрылыстарға қажетті материалдардың шамасын алдын ала есептеу елеулі әсер етті. Геометрия ұғымдары дүниеде кездесетін заттардың дербес физикалық қасиеттерін еске алмай, абстракциялап (яғни, дерексіздендіріп), олардың тек мөлшері мен өзара орналасуын ғана қарастыру нәтижесінде пайда болған. Қалыпқа салынып соғылған кірпіштердің, құрылысқа арналып шабылған қырлы тастардың, шеберлердің кесіп, сүргілеп тегістеген бұйымдарының сыртқы тұрпаты - пішіні бірдей болады. Мұндай пішін төрт бұрышты призма деп аталады. Үш бұрышты, бес бұрышты, т.б. призмалар болады. Геометрияда призманың қандай материалдан жасалғандығы есепке алынбайды, оның тек мөлшері мен орналасуы ғана зерттеледі. Цилиндр, конус, шар, т.б. ұғымдар да осылай қалыптасқан. Сонымен геометриялық денелер - температурасы, массасы, жасалған материалы мен жеке қасиеттері қарастырылмайтын физикалық денелер. [28]-[40].
Жіңішке жіп, бір тал қыл, сәуле, сым, т.б. негізінде шектеусіз жіңішке сызық ұғымы шыққан. Геометриялық денелерді ойша топшылап, шектеусіз кішірейте беруге болады. Осыдан нүкте ұғымы шығады. Нүкте дененің әбден кішірейіп, тоқтаған шектік жағдайы деп есептеледі. Геометрия тұрғысынан алғанда нүктені одан әрі кішірейтуге болмайды. Геометриялық денелердің, беттердің, сызықтардың және нүктелердің кез келген жиыны фигура деп аталады. Геометрия алғашқы кезде фигуралардың мөлшерлерін, өзара орналасу тәртібін, бір түрден екінші түрге көшу жолдарын зерттейтін ғылым болды және геометрия математиканың көптеген саласымен астасып жатады.
Геометрия - ерте замандарда шыққан ғылымдардың бірі, оның тарихы да әріректен басталады. Сапалық өзгерістерге ұшырап, жаңа сатыларға көтерілу дәрежесіне қарай геометрияның даму жолын төрт дәуірге бөлуге болады.
Бірінші дәуір өте ерте заман мен біздің заманымыздан бұрынғы 5 ғасыр аралығын қамтиды. Қарапайым геометриялық ұғымдар әр кезде және әр жерде шыққан. Алғашқы мәліметтер Ежелгі Шығыс елдерінде - Мысыр мен Вавилонда, Грекияда, кейінірек Үндістанда пайда болған. Ертедегі мысырлықтар Нілдің жағасындағы құнарлы топыраққа бидай егіп күнелткен. Ніл жыл сайын тасып, жағадағы телімшелердің белгіленген шекараларын бұзып кетіп отырған. Ал шаруалар су қайтқан сайын өз жерлерін өлшеп барып, айырып алатын болған. Телімшелердің ұзындығын, енін, жиек сызығын үнемі өлшеу нәтижесінде қарапайым ережелер пайда болған. Нілдің таситын және қайтатын уақыттарын бақылау нәтижесінде Мысыр күнтізбесі шыққан. Уақыт есебі жұлдыздардың өзара және көкжиекпен жасайтын бұрыштарын (бұл бұрыштардың төбелері бақылаушы тұрған жерде болады) өлшеуді қажет етеді. Мысыр патшалары - перғауындар (фараондар) өздеріне ескерткіш және зират ретінде, тірі күндерінде, зәулім құрылыстар - пирамидалар салдырған. Пирамида салу жұмыстары өлшеу әдістерін бірсыдырғы жүйеге келтіре отырып, кеңістіктік геометрия мен механиканың дамуына ықпал етті. Бізге жеткен математикалық папирустар Ежелгі Мысыр математикасының бертінгі ғасырларына жатады. Папирустардағы аудан мен көлем жөніндегі есептердің көпшілігі дұрыс шығарылған. Бірақ ережелердің ешқайсысы дәлелденбеген. Үшбұрыштың, трапецияның, дөңгелектің ауданы жуық түрде есептелген, табандары квадрат болып келген қиық пирамиданың көлемі дәл табылған. Ежелгі Вавилон геометриясының деректері балшықтан иленіп жасалған тақташаларға жазылып қалған. Оларға қарағанда ұзындық, аудан, көлем жөніндегі мысырлықтар білген есептерді вавилондықтар да шығара білген. Вавилондықтар кейбір дұрыс көпбұрыштарды, қиық конусты, т.б. қарастырған, шеңберді 360 градусқа бөлуді шығарған, есептерді теңдеулерге келтіруді жақсы білген, геометрияны астрономияға қолдана бастаған. Вавилондықтарға Пифагор теоремасы да белгілі болған. Кейбір геометриялық деректер Ежелгі Үндістан мен Қытайда да кездеседі.
Екінші дәуір - Евклидтен Рене Декартқа дейінгі кезең; ол екі мың жылға созылды. Евклид геометрияның өзіне дейінгі табыстарын жинап, талдап, қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрынғы 300 ж. шамасында Негіздер атты, он үш бөлімнен құралған шығарма жазды. Негіздерде 121 анықтама, 5 қағида, 9 аксиома, 373 теорема келтірілген. Осы күнгі элементар геометрия, жалпы алғанда, Евклид қалыбынан шыққан. Геометрияға Архимед пен Аполлоний де ірі үлес қосты. Астрономиямен шұғылданған - Гиппарх, Клавдий Птолемей, Менелай, т.б. сфералық геометрия мен тригонометрияны қалыптастырды. Евклид, Архимед, Аполлоний заманы грек геометриясының алтын ғасыры болған еді. Орта Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-Жауһари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-Кәши, т.б. болды. Екінші дәуірдің аяғында геометрия Батыс Еуропада жандана бастады. Бұл кезде Иоганн Кеплер мен италия математигі Бонавентура Кавальеридің еңбектері тарихи белес болды.
Үшінші дәуір Рене Декарттан Николай Лобачевскийге дейінгі екі жүз жылды қамтиды. Бұл дәуірде аналитикалық, проективтік және дифференциалдық геометриялар пайда болды. Аналитикалық геометрия координаттар әдісіне сүйенеді. Онда нүктенің орны сандар арқылы, ал сызықтар мен беттер теңдеулер арқылы анықталады. Геометрияның бұл саласының іргесін Декарт пен француз математигі Пьер Ферма қалады, ал оны француз математигі Алекси Клеро мен Леонард Эйлер кемелдендірді. Фигураларды проекциялар арқылы түрлендіру жолдарын зерттеу нәтижесінде проективтік геометрия қалыптасты. Бұл бағытта француз математигі Жерар Дезарг, Блез Паскаль, француз математигі Жан Понселе, т.б. жемісті еңбек етті. Кеңістіктегі фигураны жазықтықта кескіндеу жолдарын талдап, француз математигі Гаспар Монж сызба геометрияны жасады. Сызба геометрия проективтік геометрияның тарауы болып саналады. Эйлер мен Монж дифференциалдық есептеу әдістерін геометрияға қолдана бастаған болатын. Карл Гаусс бұл мәселені одан әрі дамытып, классикалық дифференциалдық геометрияны қалыптастырды. Төртінші дәуір Лобачевский еңбектерінен басталады. Өз зерттеулерінде Лобачевский үш принципке сүйенді. Олар: Евклид геометриясы болуға тиіс және ол бірден-бір геометрия емес; аксиомаларды өзгертіп, жаңа геометрия жасауға болады; нақты кеңістікке қандай геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе көрсетеді. Лобачевский Евклидтің бесінші қағидасын (постулатын) өзінің басқа аксиомасымен (Лобачевский аксиомасы деп аталатын) ауыстырып, жаңа геометрия жасады. Бұл геометрияға Гаусс пен венгр математигі Янош Больяй да жақын келді. Бесінші қағида орнына өз аксиомасын (Риман аксиомасы деп аталатын) алып, Бернхард Риман эллипстік геометрияның негізін салды. Риман кеңістікті кез келген біртектес объектілер мен құбылыстардың үздіксіз жиыны ретінде түсіну қажеттігін көрсетті. Бұл идеяның құлашы кең болды. Соның арқасында кеңістіктің көптеген математикалық теориялары жасалды. Қазіргі геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды. Геометрия табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда қуатты құрал болып табылады. Ол математикалық анализге, механикаға, физикаға, астрономияға, геодезияға, картографияға, кристаллографияға, т.б. ғылымдарға елеулі ықпал етеді.

1 Көпбұрыштар ауданын оқытудың теориялық негіздері
1.1. Көпбұрыштар ауданын есептеудің ежелгі әдістері

Аудандарды есептеуге байланысты білім негіздері бұрынғы мыңжылдықтар үлесінде десек болады.
4-5 мың жылдар бұрын тіктөртбұрыштар мен трапециялар ауданын вавилондықтар квадрат бірліктерінде анықтаған екен. Аудан табуда квадраттың қызметі тамаша эталон болып табылады: Қабырғаларының теңдігі, тең және тік бұрыштары, симметриялылығы және жалпы формасының тамашалығы. Квадратты салу оңайлығы сонда, яғни жазықтықты бос орынсыз толтыру.
Ежелгі Қытайда ауданның өлшем бірлігі тіктөртбұрыш болды. Тасқалаушылар тікбұрышты үй қабырғасының ауданын анықтау үшін оның биіктігін еніне көбейтіп тапқан екен. Осыдан геометриядағы анықтама қабылданды: яғни тіктөртбұрыш ауданы оның сыбайлас қабырғаларының көбейтіндісіне тең. Мұндағы ең бірінші мәселе екі қабырғасы да бір өлшем бірлігінде анықталуы керек. Олардың көбейтіндісі тіктөртбұрыштың ауданын анықтайтын сәйкес квадрат бірлігінде болуы шарт. Егер биіктік пен ені дециметр бірлігінде болса, онда көбейтінді де бірдей өлшем бірлігінде болар еді. Егер қабырға қаптайтын Плоткалардың аудандарын қоссақ, қаптауға сәйкес қабырғаның саны анықталар еді. Бір - бірімен қиылыспайтын аудандарды табу үшін оларды қоссақ жеткілікті.
Ежелгі Египеттіктер 4000 жыл бұрын дәл осы қасиеттерді пайдаланып, тіктөртбұрыштардың ауданын табудың осы ережелерін пайдаланған, яғни үшбұрыш пен трапеция: табаны екіге бөлініп биіктігіне көбейтілген; трапеция үшін параллель қабырғаларының қосындысының жартысы биіктігіне көбейтілген және т.б.; Қабырғалары болатын төртбұрыштың ауданын табу үшін келесі формула қолданылған (1-сурет):
(1.1)
яғни қарама-қарсы қабырғаларының қосындысының жартысының көбейтіндісі.

1-сурет- Төртбұрыш

Бұл формула кез келген тіктөртбұрыш үшін қате болып табылады. Бұл формула бойынша барлық ромбтың ауданы бірдей болар еді. Ромб ауданына келсек оның төбелеріндегі бұрыштардың өлшеміне тәуелді болар еді. Берілген төртбұрыш ауданы тіктөртбұрыш үшін ғана дұрыс. Бұл формуланың көмегімен тіктөртбұрыштың ауданын немесе соған жақын тіктөртбұрыш ауданын табуға болады.
Тең бүйірлі үшбұрыш ауданын табу үшін египеттіктер үшбұрыш ауданын табу үшін болғанда
жуықтап келесі формуламен есептеді:

2-сурет-Тең бүйірлі үшбұрыш

(1.2)

Мұндағы қате азаюы, АВ мен АD айырмасынның азаюына тікелей байланысты, басқаша айтқанда В ( мен С) D табанының А-ға тұруынан. Сондықтан да (1.2) формуласымен есептеу үшін төбедегі бұрыштың аздығына байланысты пайдаланылады.
Ежелгі гректер көпбұрыштар ауданын дұрыс есептеуді баяғыдан - ақ білді. Евклид өзінің Бастамасында аудан ұғымын фигура ретінде, яғни жазықтықтармен қоршалған, тұйық сызықтармен шектелген жазықтықтың бөлігін айтып өтті. Евклид аудан нәтижелерін санмен емес әртүрлі фигуралармен салыстырды.
Евклид ежелгі ғалымдар сияқты фигуралардың аудандарын басқа фигуралар, теңшамалы фигуралар аудандары арқылы қарастырды. Құрама фигураның ауданы өзгермейді деп есептелуі үшін оның аудандары қиылыспаса болды, дұрыс деп есептелді. Тіктөртбұрыш формуласымен бірге басқа фигуралар аудандарында іздеу арқылы табылды.
Сонымен үшбұрыш болса, оларды бірдей өлшемді төртбұрыштарға бөліп, содан соң ауданын тауып отырды. Осыдан үшбұрыш ауданы оның табанының жартысын биіктігіне көбейткенге тең болатындығы шықты. Осылай бөліктеп қою арқылы параллелеограмм ауданы табанының жартысы мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысы, трапеция ауданы - табандарының қосындысының жартысы мен биіктігінің көбейтіндісіне тең. Тасқалаушылар күрделі қабырғаларды конфигурациялау үшін қабырға аудандарын анықтауда барлық қаптайтын плиткаларды қосып есептеу арқылы тапты. Кейбір плиткаларды кесіп, келтіру керек болды. Жұмысқа пайдаланылған барлық плиткаларды есептеп, торкөздерге бөліп,осылайша ауданды есептеген. Төркөздердің кішкентай болып бөлінуіне байланысты, яғни неғұрлым кішіреюіне байланысты ауданды табу мүмкіндігінше дәл есептелді.
Біздің заманымыздың бірінші ғасырында өмір сүрген Герон Александрийскийдің еңбектері басты қолданбалы сипатқа ие болуымен қатар, бұрынғы грек-математик-энциклапедистерінің бәрі болды. Ол мықты, сауатты инженер болуымен қатар, Герон Механик деген атқа ие болды. Герон өзінің Диоптрика деген еңбегінде түрлі машиналарды сипаттаумен бірге пратикалық өлшеу құралдарын да тапты.
Героннның кітаптарының бірі Геометрика деп аталды және онда формулалар жинағы мен сәйкес есептер болды. Онда квадраттар, тіктөртбұрыштар және үшбұрыштар ауданын табуға арналған мысалдар қарастырылды. Үшбұрыштың ауданын табуға байланысты Герон былай дейді: Үшбұрыштың қабырғаларының өлшемі -13,14,15 болсын, Оның ауданын табу үшін 13+14+15=42, оның жартысы 21. 21 ден барлық үш қабырғаны шетінен алып тастасақ, яғни 21-13=8, 21-14=7, 21-15=6. 8*7*6*21=7056. Ал енді бәрін түбір астынан шығарсақ 84 - ке тең. Міне үшбұрыш ауданын осылайша есептеп табамыз.
Метрика деген еңбегінде Герон жоғарыда көрсеткен формуланы дәлелдеген:
, (1.3)
мұндағы - қабырғалары, - үшбұрыш периметрінің жартысы. Бүгінде бұл формула Герон формуласы деген атқа ие. Шындығында бұл формула б.з.д. 3 ғасырда өмір сүрген Архимедтің жаңалығы болып табылады. Герон ережесімен ауданды есептеудің практикалық формуласын ежелгі грек, рим және ортағасырлық жер өлшеушілер мен техниктер ұдайы пайдаланған.

1.2 Аудан, Көпбұрыш түсініктері, Көпбұрыш ауданын табудың әр түрлі тәсілдері
F фигурасының S(F) ауданы дегеніміз, фигураның ауданын құрайтын өлшем бірлігі. Десек те бұл анықтама емес, тек ауданды сипаттау десек болады. Оңай түсіну үшін қабырғалары 3 және 5 см болатын тіктөртбұрыштың ауданы дегеніміз 15 см квадрат болатын, 15 квадратқа бөлуге болады.

3-сурет-Тіктөртбұрыш

,а
3-сурет-Тіктөртбұрыш

,а

Дөңгелек радиусы 2 см болатындай етіп құру үшін неше квадрат табу керек (4-сурет ) шындығында белгісіз

4-сурет
4-сурет

Ауданның қатаң математикалық анықтамасын мөлдір сеткадан тұратын квадраттары бар палетканы пайдаланып алуға болады. Палетканы жазықтықта жатыр деп елестетейік.
Басқаша айтқанда, жазықтық қабырғалары 1- ге тең квадраттарға бөлінген. Егер F фигурасы толықтай фигураның ішінде жатса, мысалы 81 квадрат палеткада жатса, онда фигурада 43 квадрат бар деген сөз (5-сурет), яғни .
5-сурет

Мұғалім жеке көзқарасы бар, соны қорғай білетін жеке тұлға, зерттеушілік, ойшылдық қасиеті бар маман, білімді де білікті, көп оқыйтын, көп тоқитын, білімін күнделікті ісіне шебер қолдана білетін, өзінің оқушысын өз бетінше білім алуға үйрете білу керек.
ХХІ ғасыр - бұл техникасы күрлелескен,қоғамыдық қарым-қатынас шиленіскен қоғам айналадағы дүниеге, адамның денсаулығына, кәсіби мәдениеттілігіне мұқият қарайтын дәуір.
Бүгінгі білім мазмұны мұғалім мен оқушының арасындағы байланысты субьективті деңгейде көтерудегі демократиялық бастамалардың барлығы мұғалімдер арқылы жүзеге асырылады.
Бүгінгідей дамыған қоғамда, технологиялық күрделескен қоғамда бірғана тәсілмен өмір сүру, бір ғана шешім өте аздық етеді. Жән-жақтылы зерттеп,әртүрлі жолын білу қыйынды жеңілдетеді.
Көпбұрыштың анықтамаларын қарастырайық:
Анықтама: Барлық қабырғалары және барлық бұрыштары тең дөңес көпбұрышты дұрыс көпбұрыш деп атайды. Дұрыс n бұрыштың қабырғасын an деп белгілесек, барлық қабырғалары тең болғандықтан, оның периметрі Pn = n:: аn болады. Дұрыс n бұрыштың бұрыштары тең, ал барлық бұрыштарының қосындысы 180˚(n - 2) болғандықтан, оның әрбір бұрышы α болады.
1 - мысал.
Дұрыс он бесбұрыштың бұрышын есептеп табу керек. Шешуі. n = 15 деп алып, α формуласын пайдаланамыз. Сонда α = ::180˚ = 156˚ Жауабы:156°
2 - мысал.
Бұрышы 144° болатын дұрыс n бұрыштың қабырғалар санын анықтау керек.
Шешуі: α формуласының көмегімен α = 144˚ деп алып, дұрыс
көпбұрыштың n бұрыштар санын табамыз: 144˚ = , n = 10 Жауабы: n = 10(он бұрыш)
1) бұрыштарының қосындысын;
2) әрбір бұрышын;
3) әрбір төбесіндегі сыртқы бұрышын;
4) бір төбеден шығатын диагональдар санын;
5) барлық диагональдарының санын
6) егер периметрі 24,6 м болса, әрбір қабырғасын табыңдар.
Берілгені: Шешуі:
1) α=140˚ α = 1) 140˚ = n = 9
2) α=150˚ 2) 150˚ = n = 12 3) α=168˚
3) 168˚ = n = 30 n=?
Жауабы: 9; 12; 30.
Трапецияны шешу тәсілі
Мектеп оқушыларының геометриялық есептерді нашар шығаратыны белгілі.Оның бірнеше себебі бар.Біріншіден геометриялық есептер оқушылардан шығармашылық қасиеттерді талап етеді.Екіншіден оқушыларға берілетін теориялық мағлұматтар геометриялық есептерді шығаруды жеңілдететін жұмысшы құрал бола алмай тұр.
Жалпы геометрияда тіктөртбұрышты,ромбыны,квадратты параллелограмнан өрбітіп дамытады.Ал трапецияны Екі қабырғасы параллель,ал былайғы екі қабырғасы параллель емес төртбұрыш трапеция деп және оның параллель қабырғалары (а,в) табандары, ал былайғы екі қабырғасы (с,d) бүйір қабырғалары деп анықтама беріледі.Трапецияның үш түрі болатындығы айтылады.
Жоғарыда айтылғандай трапецияны да тіктөртбұрышты,ромбыны,квадрат секілді параллелограмнан таратып, трапецияның параллелограмға ұқсас түрлерінен бастап, белгілі трапецияларды айтар болсақ, трапеция тақырыбының ауқымы арта түсері анық.
Осы орайда мектебімізде үйірме сабақтарында трапецияның оқулықтарда айтыла бермейтін түрлері мен қасиеттері үйретілген еді. Солардың бірі мынадай:
Теорема 1. Тең бүйірлі трапецияның диагональдары өзара перпендикуляр болса,онда трапецияның орта сызығы биіктікке тең болады.

Дәлелдеуі: Трапецияның ауданы екі үшбұрыштың аудандарының қосындысына тең. ∆АОВ,∆СОД-тең бүйірлі тікбұрышты үшбұрыштар АО2 +ОВ 2=а2, 2АО2=a2
CO2+OD2=в2,2СО2 =в2. АД=ВС
(*) формуласына қойсақ, онда
Трапецияның ауданы екеуін теңестіріп,бұдан
Теорема дәлелденді.
1.есеп №293 (B деңгей)
Бер:АВСД - тең бүйірлі трапеция.
АВ =24 см
ДС=40 см
АД┴ВС
тк: SABCD
Шешуі:1 теорема бойынша МN=ВК
S=32*32=1024см2
Жауабы: S=1024 cм2
Теорема 2. Кез келген трапецияның екі табанының қосындысы оның диагоналдарының үлкен табанға түсірілген проекцияларының қосындысына немесе айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: а+в= d11d12
Трапеция тең бүйірлі болғанда,оның диагональдары тең болатыны және диагональдарының үлкен табанға түсірілген проекциялары да тең болатыны белгілі. Трапецияның ауданын есептейтін формуласына қою арқылымына формула шығады.S= t*һ (1), мұндағы t- диагоналдың үлкен табанға түсірілген проекциясы, һ-трапецияның биіктігі.
2-есеп
Тең бүйірлі трапецияның диагоналы 10см-ге, ал ауданы 48см2-ге тең. Трапецияның биіктігін табыңдар
Берілгені: AC=10см, S=48см2
Табу керек: CH
Шешуі: ∆ ACN
AH Оны (1) формулаға қойып,теңдігі шығады.Бұдан
100-CH2*CH2=2304, CH4-100CH2+2304=0 CH2=x деп алсақ, x2-100x+2304=0
x=50
x1=36, x2=64.Яғни, биіктік 6см және 8см.

3-теорема. Кез келген трапецияның диагональдарының квадраттарының айырмасы олардың үлкен табанға түсірілген проекцияларының квадраттарының сәйкес айырмасына тең болады.
Оны формула түрінде берсек: d12-d22=d1'-(d2') (1.4)
Математикалық есептерді шығару кезінде орындалатын дағдылар қажет болады: есептің берілгендеріне талдау жасау, бұрын өтілген есептермен салыстыру, қасиеттерді анықтау, қарапайым моделдерді құрастыру, ойша экспериментті іске асыру, біріктіру, есеп шығаруға қажетті ақпаратты таңдау, оны бір жүйеге келтіру, бұл ақпаратты қысқаша мәтін, символика, график түрінде тұжырымдап есеп шығаруға қолдану, есеп шешімін жалпылау, берілгендер арасындағы ерекше жағдайды зерттеу, есеп шығару кезінде осы заманғы психологияның жетістіктерін пайдалану.
Есептерді бір сыныптың әр оқушылары әр түрлі формада түсінеді. Математикаға қабілетті оқушы көпбұрыштың дербес элементтерін, біртұтас комплекстегі өзара байланысты элементтерді, комплекстегі әрбір элементтердің түсінеді. Орташа оқитын оқушы есептің дербес элементтерін ғана түсіне алады. Сондықтан көпбұрыштың ауданын шешуді үйреткен кезде есептегі қабырғалар,бұрыштар арасындағы қатысты арнайы талдау керек. Элементтер есептер шартын талдауға қажетті тәсілдерді таңдап алуға мүмкіндік береді. көпбұрыштың ауданын шығару кезінде көбінесе бұрын өтілгендерді еске түсіруге тура келеді. Қабілетті оқушы ең қажетті жалпыланған, құрылымы қабаттасқан ақпаратты есінде қалдырады. Есте сақталған ақпарат мида қалады, есте қалғандары пайдалануға жеңіл, оңай есте сақталады. Есептерді шешу кезіндегі жалпылау тек ойды дамытып қана қоймай, еске сақтауды да және жалпыланған ассоциацияны да қалыптастырады. Есеп шығару кезінде осылардың бәрін ескеру керек.
Ойлауды үйрену
Математикалық есептер мен жаттығулардың тиімділігі көбінесе оқушылардың есептер шешу кезіндегі шығармашылық белсенділігінің дәрежесіне тікелей байланысты. Есеп оқушылардың сабақтағы ойлау қызметін белсенді қалыпқа келтіреді. Есептер оқушылардың ойын оятып, оларды жұмыс істеуге, ойлауға бағыттайды.
Оқушылардың ойлау дағдысын дамыта отырып, дамуға - салу, түрлендіру, тұжырымдарды еске сақтау арқылы дәл ойлауға, талқылай білуге, айғақтарды қарастыра білуге, жалпы және жеке ой қорытындыларын жасауға үйренеді. көпбұрыштың ауданын табудың қанша тәсілдерің қарастыру арқылы ойлау қабілетнің ұшқырлығын дамытады.

1.3 Көпбұрыштар туралы түсініктер
Бір түзуде жатпайтын кесінділерінен тұратын фигураны сынық сызық деп атайды. нүктелері сынық сызықтың төбелері деп, ал кесінділері буындары деп аталады. Егер өзін-өзі қимаса, яғни оның бірде бір буыны қалған буындарымен қилыспаса, онда ол жай сынық сызық деп аталады.
Жай тұйық сынық сызықтан және онымен шектелген жазықтықтың бөлігінен тұратын фигура көпбұрыш деп аталады. Сынық сызықтың буындары көпбұрыштың қабырғалары деп, ал төбелері көпбұрыштың төбелері деп аталады. Көршілес емес төбелерді қосатын кесінділерге көпбұрыштың диагональдары дейміз.
Көпбұрыштың төбелерінің саны оның қабырғаларының саны мен бұрыштарының санына тең. Көпбұрыштар бұрыштарының санымен аталады. Мысалы үшбұрыш, төртбұрыш, т.с.с. көпұрышы бар көпбұрыш бұрыш деп аталады.
Көршілес екі төбеден өтетін әрбір түзуге қарағанда осы түзудің бір жағында жататын көпбұрышты дөңес көпбұрыш деп атаймыз. Осыдан былай біз тек дөңес көпбұрыштарды қарастыратын боламыз және оларды қысқаша көпбұрыш дейміз.
Көпбұрыштардың қасиеттері:
1. бұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы -қа тең, мұндағы - қабырғалары (немесе бұрыштар) саны.
2. Кез келген көпбұрыштың сыртқы бұрыштарының қосындысы әрқашан болады.
3. Кез келген көпбұрыштың диагональдарының саны - ге тең, - қабырғалар саны.
4. Барлық қабырғалары және барлық бұрыштары өзара тең көпбұрыш дұрыс көпбұрыш деп аталады.
5. Егер көпбұрыштың төбелерінің бәрі бір шеңбердің бойында жатса, ол шеңберге іштей сызылған дейміз.
6. Егер көпбұрыштың қабырғаларының бәрі де шеңберді жанап тұрса, көпбұрыш шеңберге сырттай сызылған дейміз.

1.4 Төртбұрыштар ауданы

Ішкі бұрыштарының қосындысы : α+β+δ+γ=3600

6-сурет

Ауданы: ,мұндағы - диагональдар, ал - олардың арасындағы бұрыш.

7-сурет

Егер қарсы жатқан қабырғаларының қосындылары тең болса, төртбұрышты сырттай шеңберге сызуға болады: .
Аудан: , Мұндағы
( жартыпериметр),
r - іштей сызылған шеңбердің радиусы.
8-сурет

Егер қарсы жатқан бұрыштарының қосындыларының -қа тең болса, төртбұрышты шеңберге іштей сызуға болады:
α+β= δ+γ=

9-сурет

Ауданы:
,
мұндағы
10-сурет

Птоломей теоремасы: Қарсы жатқан қабырғаларының көбейтінділерінің қосындысы диагональдарының көбейтіндісіне тең:

1.5 Параллелограмм ауданы

Параллелограмм деп - қарама-қарсы қабырғалары қос-қостан параллель болатын төртбұрыш аталады.
Параллелограмм қасиеттері :
:: Қарама-қарсы жатқа қабырғалары қос-қостан параллель және тең.
::
11-сурет

Қарама-қарсы жатқан бұрыштар қос-қостан тең.

12-сурет

:: Бір қабырғасына іргелес бұрыштарының қосындысы -қа тең
α+β=180°
:: Диагональдары қиылысу нүктесінде тең екіге бөлінеді.
:: Диагональдарының квадраттарының қосындысы екі еселенген қабырғаларының квадраттарының қосынддысына тең:
::
:: Әрбір диагональ параллелограмды тең екі үшбұрышқа бөледі.
:: Диагональдары параллелограмды 4 теңшамалы үшбұрыштарға бөледі.
:: Параллелограмм ауданы:
:: Бір қабырғасы және оған түсірілген биіктік арқылы:
:: Іргелес екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрыш арқылы:
::
:: Диагональдары және олардың арасындағы бұрыш арқылы:

13-сурет

1-мысал: Периметрі 90-ға, ал биіктіктері 12 және 15 болатын параллелограмның ауданын табыңыз.

14-сурет

Шешуі: Параллелограмның қабырғаларын a және b деп алайық, онда:

Жауабы: 300.
2-мысал: ABCD параллелограмында А төбесінен жүргізілген биссектриса ВС қабырғасымен К нүктесінде қиылысады. Егер BK=KC=5, AK=8 берілсе, параллелограмнаң ауданын анықтаңыз.

15-сурет

Шешуі: Параллель түзулердің қасиеті бойынша: AB=BK.
ΔABK- теңбүйірлі.
В төбесінен АК-ға биіктік жүргізейік: (Пифагор теоремасы бойынша)

Жауабы:48

1.6 Ромб ауданы
1
Ромб деп - барлық қабырғалары тең параллелограмды айтамыз.
Ромбының белгілері мен қасиеттері:
* Барлық қабырғалары тең:

* Диагональдары өзара перпендикуляр және қиылысу нүктемінде қақ бөлінеді: .
* Диагональдары бұрыштардың биссектрисалары болып табылады.
Ромбыға іштей сызылған шеңбер
Кез келген ромбыға іштей шеңбер сызуға болады. Іштей сызылған шеңбердің радиусы келесі қатынастарды қанағаттандырады:
, мұндағы - ромб биіктігі;
, мұндағы және - ромбының диагональдары.
Ромбының ауданы:
* Бір қабырғасы мен биіктігі арқылы:
* Қабырғасы және іштей сызылған шеңбер радиусы арқылы:
* Қабырғасы және бұрыштары арқылы:
* Диагональдары арқылы:
3 - мысал: Ромбының диагональдары 12 см және 16 см. Ромб периметрін табыңыз.
Шешуі: Диагональдары перпендикуляр және қақ бөлінгендіктен: AE = EC = 8 және BE = ED = 6. ΔABE:
Барлық қабырғалары тең болғандықтан,
Жауабы: 40
4 - мысал: Ромбының екі бұрышы арасындағы қатынас 1:2 сандарымен берілген . Егер оның кіші диагоналі 12 см - ге тең болса, ромбының периметрін табыңыз.
Шешуі:

Сонымен, ΔABD - теңқабырғалы: АВ=12, .
Жауабы: 48
5 - мысал: Ромбының периметрі 40 см, ал іштей сызылған шеңбердің радиусы 4 см. Сүйір бұрышының синусын анықтаңыз.
Шешуі:
Іштей сызылған радиус - ге тең, сондықтан = 8 cм; Ромбының бір қабырғасы a = 10 см.

Жауабы: 0,8

1.7 Тіктөртбұрыш ауданы

Тіктөртбұрыш деп - барлық бұрыштары тік параллелограмды атаймыз.
Қасиеттері:
* Диагональдары тең және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді.
Тіктөртбұрышқа сырттай сызылған шеңбер:
* Кез келген тіктөртбұрышқа сырттай шеңбер сызуға болады.
* Сырттай сызылған шеңбер радиусы
, мұндағы - тіктөртбұрыш диагоналі.
Тіктөртбұрыш ауданы:
* Қабырғалары арқылы: .
* Диагональдары және олардың арасындағы бұрыш арқылы: .
6 - мысал: Қабырғасы 10 см - ге тең тіктөртбұрыштың диагоналімен арсындағы бұрышы - қа тең. Тіктөртбұрыш периметрін табыңыз.
Шешуі: ΔАВС үшбұрышында:

Жауабы:
7 - мысал: ABCD тіктөртбұрышының ВС қабырғасынан М нүктесі алынған. Осы нүктеден АВ және AD қабырғаларына қараған бұрыштар тең. Егер АB = 80, ал AD = 89 болса, М нүктесі ВС қабырғасын қандай кесінділерге бөледі?
Шешуі: деп алайық.
ΔDMC :
ΔАВМ :

CM = 39, BM = 89-39 = 50.
Жауабы: 39 және 50.

1.8 Квадрат ауданы

Квадрат деп - барлық қабырғалары тең тіктөртбұрыш аталады.
Қасиеттері:
* Барлық қабырғалары және бұрыштары тең.
* Диагональдары тең, өзара перпендикуляр және қиылысу нүктесінде қақ бөлінеді.
Сырттай сызылған шеңбердің радиусы квадраттың қабырғасы a және диагоналі d арқылы келесі түрде өрнектеледі:
. Іштей сызылған шеңбердің радиусы қабырғаның жартысына тең: . Квадрат ауданы: және .

1.9 Трапеция ауданы

Трапеция деп - екі қабырғасы ғана параллель болатын дөңес төртбұрыш аталады. Трапецияның параллель қабырғалары табандары ал параллель емес қабырғалары бүйір қабырғалары деп аталады. Бүйір қабырғалары тең трапеция теңбүйірлі трапеция деп аталады.
Трапеция элементтері:
a , b - табандары; m , n - бүйір қабырғалары; - диагональдары ;
h - биіктік (төбесінен табанына түсірілген перпендикуляр);
MN - орта сызық ( бүйір қабырғаларының ортасын қосатын және табандарына параллель сызық).
Трапеция ауданы:
* Табандарының қосындысының жартысы және биіктігі арқылы:
* Орта сызығы арқылы:
* Диаггональдары және олардың арасындағы бұрыш арқылы:
Трапецияның қасиеттері:
* Орта сызығы табандарына параллель, олардың қосындысының жартысына тең және биіктікті қақ бөледі:
MN ‖ a, MN ‖ b,
* Кез келген бүйір қабырғасына іргелес жатқан бұрыштарының қосындысы - қа тең.
Төменде көрсетілгендей , АОВ және DOC үшбұрыштары теңшамалы.
Шеңберге іштей тек теңбүйірлі трапецияны сызуға болады.
ABCD трапециясында:
Егер MN - орта сызығы және HD = MN болса, онда .
Егер болса, онда BH=HD.
8 - мысал: ABCD трапециясында - AD және ВС қатынастары 4:3 болатын табандар, ал трапеция ауданы 70 - ке тең. АВС үшбұрышының ауданын табыңыз.
Шешуі:
.
болғандықтан , мұндағы BH - трапеция биіктігі, онда

Олай болса, .
Жауабы: 30
9-мысал: Трапецияның бүйір қабырғалары тең үш бөлікке бөлінген және табандарына параллель кесінділер жүргізілген. Егер табандары 2 см және 5 см-ге тең болса, кесінділердің ұзындығын табыңыз.
Шешуі:
MBCN трапециясында : (орта сызық) .
AEFD трапециясында : (орта сызық)

Жауабы: 3 және 4

1-кесте

Қабыр
ғалар саны
Сырттай сызылған шеңбер радиусы
Іштей сызылған шеңбердің радиусы
Аудан
3

4

5

6

8

10

1.10 Дұрыс көпбұрыштар аудандарын есептеу формулалары

Кез-келген сынығын салыңдар. Сынықтың ұзындығы A1,A2,A3,A4 ... An,A1,Anкесіндісінен ұзын болатынын дәлелдеңдер.

Дәлелдеу A1A2 мен A2A3 буындарын бір ғана A1A3 буынымен алмастырамыз. Үшбұрыш теңсіздігі бойынша A1A2+? A2A3A1A3
Енді алынған A1A3A4...An сынығында тағы да A1A3,A3A4 буынын A1Anбуынымен алмастыралық A1A3+? A3A4A1A4тап осылайша әрі қарай жалғастыра отырып A1An+1+? An-1AnA1An аламыз. Бұдан бастапқыA1A2...A3 сынығының ұзындығы A1Anбуынының ұзындығынан үлкен болатынын аламыз. Сынықтың ұзындығы кесіндісінің ұзындығына тең болуы үшін сынықтың төбелері бір түзудің бойында жатуы керек.
1 есеп Тұйықталған сынықтың кез-келген екі төбесінің ара қашықтығы сынық жарым ұзындығынан кем болатыны
2 теорияманы дәлелдеңдер. Тұйықталған сынық көпбұрыш болады. Алдымен үшбұрыш үшін дәлелдейік.

Айталық ∆ABC берілген болсын. ,

AC12(AB+BC+AC) екендігін дәлелдеу керек болсын. жағдайын қарастырайық.
, үшбұрыш теңсіздігі орындалады. Қалған екі жағдай осылайша дәлелденеді. Сынықтың буындары 3-тен артық болған жағдайлары дәлелденген теңсіздіктегі теңсіздіктің оң жағының сан мәнін үлкейтеді. Бұл жағдайларда да теңсіздік тура болады.
болғанда

екендігі
теңсіздігінен шығады.
Әрі қарай да солай кете береді. Теорема дәлелденді.
3 есеп. ABCD төртбұрышында және диагональдары жүргізілген. Диагональдардың ұзындықтарының қосындысы төртбұрыштың периметрінен кіші болатынын дәлелдеңдер.

Дәлелдеу және диагональдарын жүргіземіз. Үшбұрыш теңсіздігі бойынша үшбұрыштарында Көпбұрыштардың ішінде дұрыс көпбұрыштармен жеке танысу себебіміз, табиғатта және техникада, тұрмысты дұрыс көпбұрыштар көп кездеседі және қолданылады. Оның көп кездесу себебі дұрыс көпбұрыштар симметриялылығымен ерекшеленеді. Әсіресе сәндік-әсемдік жұмыстарында сәндік архитектураларда қолданылады. Мысалы көшелердегі төселген тастар, немесе кафельдер де дұрыс көпбұрыштардан құралған. Сондықтан дұрыс көпбұрыштарды білу және сыза білуге адамдар ертеден құщтар болған.
Олар дұрыстылығымен, симметриялығымен адамзатқа сүйкімді екен.
Табиғаттың өзі әсемдік пен сәндіктен құралған екен. Химиядан білеміз, бензолмолекуласы дұрыс алтыбұрыш, кристалдар.
Көпбұрыш - жазықтықтағы кез келген тұйық сынық сызық. Сынық сызықтың әрбір бөлігі көпбұрыштың қабырғасы, ал олардың ұштары көпбұрыштың төбелері деп аталады. Егер сынық сызық қарапайым болса, онда көпбұрыш қарапайым көпбұрыш деп, ал күрделі болса, жұлдыз тәрізді көпбұрыш деп аталады. Көпбұрыш жазықтықты бірнеше облысқа бөледі. Қарапайым көпбұрыш жазықтықты біреуінде түзу толығынан жататын, ал екіншісінде толық жатпайтын екі облысқа бөледі. Біріншісін көпбұрыштың сыртқы облысы, екіншісін ішкі облысы дейді. Көпбұрыш осы облыстардың шекарасы болады. Көпбұрыш пен оның ішкі облысын біріктірсек, екі өлшемді көпбұрыш шығады. Егер көпбұрыштың төбелері кез келген қабырғасы арқылы жүргізілген түзудің бір жағында жатса, онда оны дөңес көпбұрыш дейді. Төбесі арқылы өтетін қабырғалардың ішкі облыс жағынан жасайтын бұрышын көпбұрыштың ішкі бұрышы дейді.
Кез келген n қабырғалы өзара қиылыспайтын көпбұрыштың ішкі бұрыштарының қосындысы (n - 2)180°-қа тең. Әрбір қарапайым көпбұрыштың кем дегенде бір бұрышы жазық бұрыштан кіші болады. Бір қабырғаның ұштары болмайтын екі төбені қосатын кесіндіні көпбұрыштың диагоналы дейді. Егер көпбұрыштың барлық қабырғалары мен ішкі бұрыштары өзара тең болса, онда оны дұрыс көпбұрыш деп атайды. Дұрыс көпбұрыш әрқашанда дөңес болады. Тек үшбұрыштың ғана қабырғаларының теңдігінен бұрыштарының теңдігі шығады. Жалпы жағдайда олай болмайды. Қабырғалары тең, бірақ бұрыштары әр түрлі n бұрышты көпбұрыш (n3) және бұрыштары тең, бірақ қабырғалары әр түрлі n бұрышты көпбұрыш болуы мүмкін. Дұрыс көпбұрыштың барлық төбелері арқылы өтетін сырттай шеңбер сызуға болады. 1801 ж. неміс математигі Карл Гаусс циркульдің және сызғыштың көмегімен қабырғалары m = 2np1p2...pk түрінде берілген (мұндағы p1, p2, ..., pk - әр түрлі гаусстық жай сандар) дұрыс көпбұрышты салуға болатындығын көрсетті. Қазіргі кезде гаусстық санның (p) мынадай 5 түрі белгілі: 3, 5, 17, 257, 65337. Зерттеу жұмыстарының нәтижесінде m = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, ... болғанда көпбұрышты салуға болатындығы, ал m = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, ... болғанда көпбұрышты салуға болмайтындығы анықталды. Бесбұрыштан бастап дөңес емес дұрыс көпбұрыш (өзара қиылысатын немесе жұлдызшалы) кездеседі. Олардың барлық қабырғалары тең, барлығының бұрыштары тең және бағыттары бірдей болады. Мұндай көпбұрыштардың төбелері бір шеңбердің бойында жатады.

2 Көпбұрыштардың этнопедагогикадағы ролі
2.1. Көпбұрыштардың бізді қоршаған табиғатта кездесуі

# Үлкен алаңды кішкентай бөліктерге үнемдеп бөлуді аралар қайдан үйренді?
# Алты-бұрыш призмаға ұқсатып салынған ұяның бір жақ шетін жабуға қолданылатын материал ысырап болмауы үшін қандай геометриялық тәсіл қолдану керек?
# Аралардың әрнәрсені үнемдеп қолдануы, геометрия білімі және құрылыс маманынан кем түспейтін шеберлігі олардың өте ақылды болуынан ба, әлде Ұлы Жаратушының араларға дарытқан қасиеті ме?
# Дұрыс алтыбұр-ыштың теңбүйірлі үшбұрыш және шаршыдан ұтымды жақтары...
Тарих беттеріне көз жүгіртсек, ара ұясындағы таңғажайып құрылыс жобасы адамдарды әрқашан қызықтырып, таңдандырып келген. Алтыбұрыштарды қатар-қатар дұрыс қою арқылы салынған бұл ұя тамаша есептелген. Қабырғаларының орташа қалыңдығы - 0,1 мм. Бұл орташа мәннен ауытқу да өте аз, ең көп дегенде 0,02 мм ғана ауытқу болуы мүмкін. Ұя салу барысында пайдаланылған геометриялық қағидалардың өте жақсы таңдалып, дәл орнында қолданылғанын түсіну үшін сәл де болса математикадан хабардар болған жөн.
Шеңбер - берілген нүктеден бірдей қашықтықта жатқан жазықтықтың барлық нүктелерінен тұратын геометриялық фигура. Оның периметрін басқа фигуралардың периметрлерімен салыстырғанда, ең аз периметр шеңбер периметрі екенін көреміз. Мысалы, ауданы 10 см2 болатын теңқабырғалы үшбұрыш, шаршы және шеңбердің периметрлерін салыстырған кезде, шеңбердің периметрі ең аз екенін көреміз. Бірақ, ара ұясының құрылысы дәл бұлай жүргізілмейді. Периметрі ең аз фигура қолданыла отырып, ара ұясының барлық алаңы өзара тең кішкентай бөліктерге бөлінеді. Егер бүкіл алаңды ауданы өзара тең кішкентай шеңберлер арқылы бөліктерге бөлсек, жоғарыда атап өткендей периметрі ең аз фигура қолданған боламыз, бірақ көршілес шеңберлердің арасында бос орындар қалады, яғни ол бос орындарға артық материал жұмсалады деген сөз. Ал, бұның үнемшіл араларға ұнамасы сөзсіз.
Сөйтіп, біздің алдымызға ең аз периметрлі және барынша аз материал пайдаланылатын фигура табу мәселесі қойылып отыр. Бұл мәселені шешу үшін геометрия қағидаларына жүгінеміз. Геометриялық фигураларды зерттеу барысында ара ұясын салу құрылысында көпбұрыштарды қолдану қажеттігін байқаймыз. Ендеше, қабырға саны n-ге тең, аудандары өзара тең көпбұрыштар қарастырайық. Бұлардың ішінде периметрі ең аз болатын дұрыс көпбұрыштарды, яғни дұрыс n-бұрыштар екені айқын. Дұрыс көпбұрыш дегеніміз барлық қабырғалары мен бұрыштары бір-біріне тең фигура. Мысалы, ауданы өзара тең үшбұрыштар арасында теңқабырғалы үшбұрыштың периметрі, ал төртбұрыштардың арасында шаршының периметрі ең аз болады. Дәл осылай, бесбұрыш пен алтыбұрыштарды қарастырсақ, ең аз периметр дұрыс бесбұрыш пен дұрыс алтыбұрышта болады. Шеңбердің ішіне әрқашан осындай дұрыс көпбұрыш сызуға болады, оның төбелері шеңбердің қабырғасында орналасады.
Ендігі туындайтын сұрақ, бөліктерге бөлу барысында қандай дұрыс көпбұрыш қолдануымыз керек, яғни қабырға саны қаншаға тең болуы қажет. Шеңбер ішіне сызылған n қабырғалы дұрыс көпбұрыштың бір бөлігі 1-суретте көрсетілген. Суреттен байқайтынымыз көпбұрыштың бір ішкі бұрышы 180 - 360n градусқа тең. Берілген үлкен алаңды кішкентай бөліктерге бөлу кезінде көршілес көпбұрыштардың бір қабырғалары беттесуі керек және араларында бос орын қалмауы тиіс. Ол үшін көршілес көпбұрыштардың беттескен қабырғаларына тән ішкі бұрыштардың қосындысы 360 градус болуы керек (2-сурет). Басқаша айтар болсақ, бір ішкі бұрыштың натурал еселігі 360 градус болуы тиіс. N - көршілес ішкі бұрыштардың саны деп алсақ, бұл есепті төмендегі теңдеу арқылы беруге болады (N-натурал сан):
N(180 - 360 n)=360
Жоғарыдағы теңдеуден N санының мәнін былай анықтаймыз:
N=2n (n-2) = 2 + 4 (n-2)
N - натурал сан және n - көпбұрыштың қабырға саны (яғни ол да натурал сан) екенін ескерсек, n = 2, 3, 6 екенін тез байқаймыз. 6-дан үлкен сандар үшін N саны натурал болмайды, демек, көпбұрыш қабырғасы 6-дан көп бола алмайды екен. Яғни бір алаңды бос орын қалдырмай бөлгіңіз келсе, теңқабырғалы үшбұрыш, шаршы немесе дұрыс алтыбұрыш қолдануымыз керек. Дұрыс бесбұрыш қажетті шешім бола алмайды. Өйткені, 3-суретте үш дұрыс бесбұрыш қатар-қатар қойылған кезде 36 градустық бос орын қалып қойғанын көруге болады. Ал, дұрыс алтыбұрыштарды қатар-қатар қойған кезімізде ешқандай ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.