Гормоникалық талдаудың гормоникалық талдау іс-тәжірибелік әдістері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 35 бет
Таңдаулыға:

Тарау І Гормоникалық талдаудың гормоникалық талдау іс-тәжірибелік
әдістері
§ 1 Эмперикалық қисықтардың гармоникалық талдауы

Жоғарыда көргеніміздей, егер Дирихле шарттарын қанағаттандаратын
периодты функциясы берілсе, онда бұл функцияның кез-келген
ретті гормоникаларын жұп-жұптан анықтайтын Фурье коэффиценттері

формулаларымен табылады.
Іс жүзінде, алайда, көп жағдайда функция аналитикалық өрнегі
белгісіз қандай да бір қисық түрінде графиктін түрде берілді.
Бұндай эмперикалық қисықтар әдетте қандай да бір айнымалы шаманың
өзге бір шаманың өзгеруіне байланысты өзгерісін графиктік түрде
тіркейтін құрылғының көмегімен алынады. Осындай құрылғыларға,
мысалы, осциллографтар, торсиографтар және т.б. жатады.
Сонымен қатар, функция аргументін белгілі бір мәндеріне сәйкес
қандай да бір саны шектеулі өзінің дербес мәндерімен ғана жиі
беріледі. (функцияның кестелі тәсілмен берілуі). Функцияның бұл
дербес мәндері қарастырылып отырған айнымалы шаманы бақылау және
өлшеу нәтижесі болып табылады. Мысалы, берілген жерде тәуліктің
белгілі бір аралықтарына ауа температурасын бақылау нәтижесінде
сандық мәндер қатары пайда болады, оларды функцияның дербес мәндері
ретінде қарастыруға болады, яғни осы жағдайдағы жергілікті ауаның
температурасы.
Егер функциясы аналитикалық өрнегі белгісіз эмпирикалық
қисық түрінде берілген жағдайда (*) формулалардың тікелей
қолданылуы мүмкін болмайтыны анық. Егер де функция тек өзінің
дербес мәндерімен берілсе, онда жоғарыдағы талқылаулар мен
тұжырымдар тіпті қолданылмайды.
Бұл жағдайларда функцияның гармоникаларға бөлінуі басқаша
түрде қойылуы мүмкін.
Қандай да периодты эмпирикалық қисық бар болсын периоды
2-ге тең деп алайық. Бұл периодты р тең бөліктеріне бөлеміз.
Абциссаның бөліну нүктелері
...
ал сәйкес ординаталар болсын нометриялық полиналды
алайық.
Онда келесі есепті қоюға болады полиналы бөліну
нүктелерінде осы нүктелердегі ордината мәндеріне жақындайтындай
коэффиценттерінің мәндерін анықтау керек; басқаша айтқанда, полиномды
бөліну нүктелерінде берілген ординаталардан ауытқу квадраттарының
қосындысы осы нүктелерде минимальды болатындай коэффиценттің мәндерін
анықтау керек, яғни
қосындысы ең аз болуы керек.
Дәл осы есепті өзгеріссіз функция тек өзінің дербес
мәндерімен белгілі жағдай үшін де қоюға болады.
Жоғарыдағы аталған шарттарды қанағаттандыратын полиномының
коэффиценттерін анықтау процессі эмпирикалық қисықтың немесе
функцияның дербес мәндер қатарының гормоникалық талдауы.

§ 2 Бессель формулалары
Жоғарыдағы қойылған есепті шығару берілген теориялық
сәйкес --дан бойынша дербес туынды алып, оларды нөлге
теңестіру керек. Нәтижесінде белгісізі бар, дәл саны
келесі теңдеулер алынады. Нормаль теңдеулер деп аталатын
(1.2)
Бұл теңдеулер жүйесін шешу алдын-ала келесі қажетті
формулаларды шығарып алайық.
Ең бірінші және қосындыларының мәндерін анықтаймыз.
Бұл үшін екінші қосындыны і-ға көбейтіп, бірінші қосындыға
қосамыз; сонда деп белгілеп, біз келесіні аламыз:

екенін ескертеміз. Екіншіден, болғандықтан р-ға
еселі емес Сондықтан Ендеше,
(1.4)
(1.5)
Әрі қарай келесі қосындының мәндерін анықтаймыз.

Тікелей келесі аламыз.

(1.5) негізінде болғаннан басқа жағдайларда соңғы
теңсіздіктердің оң жағындағы барлық қосындылар 0-ге тең. Сондықтан

формуласын аламыз болғанда келесіні аламыз:

(1.7)

(1.8)

Жоғарыдағы аталған теңдеулер жүйесінің шешіміне келейік.
(1.4), (1.5), (1.6), (1.7) формулаларын ескере отырып, (1.1)
теңдігінен келесіні аламыз.

(1.2) теңдеулерінен келесіні аламыз.

3) теңдіктерінен аналогиялы түрде келесіге ие боламыз.

(1.11)

Дербес жағдай. Дербес жағдайда, тригонометриялық
полиномының мүшелерр саны қисықтың эквидистантты ординаталар санына
немесе функция берілген эквидистантты мәндер санына тең етіп
алынуы мүмкін. Бұл жағдайда полиномның бөліну нүктелерінде
функцияның сәйкес ординаталарынан ауытқуы нөлге те болатындай,
полином коэффиценттерінің мәндерін анықтауға болады. Графиктік
мағынадағы бұл полиномын бейнелейтін қисық, өзінің таңдалған
немесе берілген нүктелері арқылы өтетіндей коэффициенттердің
мәндерін табуға болатынын білдіреді.
Біз мұнда екі жағдайды ерекшелейміз.
Егер таңдап алынған немесе бар ординаталар саны Р тақ болса
онда полиносның барлық 2v+1 коэффиценттері (1.11) формула
бойынша анықталады.
Егер таңдап алынған немесе бар ординаталар саны р жұп
болса, яғни онда (1.2) формуладан мынаны аламыз.

мұндағы , болғанда екінші қосынды р-ға тең, ал біріншісі
мынаны береді:
ендеше
(1.12)
Сонымен қатар,
Бұл жағдайда, ендеше, тұрақты мүшесі, ал кейін
конустық коэфиценттері және синустық коэффиценттері
анықталуы мүмкін.
Сондықтан қарастырылып отырған жағдайда Бессель формулалары
келесі түрге ие болады.
(1.13)
Бұл жағдайда болғандықтан, (1.13) формулаларын келесі
түрде жазуға болады:
(1.14)
Жоғарыда аталған талаптарды қанағаттандыратын
тригонометриялық полиномын анықтау процессі, яғни полиномының
коэффиценттерін Бессель формулалары бойынша табу эмперикалық қисықтың
немесе дербес мәндерімен берілген функцияның гармоникалық талдауы
деп аталады. Жоғарыда айтқанымыздай қосындысымен анықталатын
синусонданы берілген эмперикалық қисықтың R-ретті гармоникасы д.а.,
Мұнда бұл гармоникалық жиілігі мен бастапқы фазасы бұрыңғы

теңдеулерімен анықталады.

§ 3 Гармоникалық талдаудың іс-тәжірибелік әдістері туралы жалпы
ескертулер

Периодты функцияларды құраушы гармоникаларға жіктеудің әртүрлі
әдістері бар. Осы әдістердің теориялық негіздемесімен алғандағы
барлығының жиынтығы іс-тәжірибелік гармникалық талдауды құрайды.
Гормоникалық талдаудың нақты тәсілдерін келесі топтарға бөлуге
болады:
1) арифметикалық немесе аналитикалық әдістер;
2) графиктік әдістер;
3) аралас әдістер;
4) анализатор деп аталатын немесе аналогиялық құрылғылардың
қолданылуы
5) арнай кестелердің қолданылуы
Арифметикалық талдау дегеніміз талдау есептеу жолының
көмегімен орындалатын діс, ал графиктік әдістер гармоникаларды
сәйкес графиктік салулардың көмегімен алуға мүмкіндік береді.
Арифметикалық әдістер гармоникалардың саны едәуір көп болғанда
өте көп есептеулер жүргізуді талап ететіндіктен, бұл есептеулерді
жеңілдетуге арналған тәсілдер саны жеткілікті. Олардың қатарына
келесілер жатады.
1) топтау схемалары;
2) шаблондар;
3) транспараттар;
4) Кестелер;
5) номограммалар және т.б.
Графиктік әдістердің ішінде техникада жиі кездесетін қисықтардың
гормоникаларын анықтауға мүмкіндік беретін топ бар. Бұл ең бірінші
абцисса өсіне қатысты жылжытылған симметриялы қисықтар. Бұл
жағдайда, алдыңғы парагратардан білетініміздей жұп ретті
гармоникалар жоқ. Бұндай алдына дербес мақсаттар қоятын әдістерге,
мысалы Мейрер, Шрутк, Пихельмайер және т.б. әдістер жатады.
Іс-тәжірибелік гармоникалық талдаудың әдістері Фуры
коэффиценттерін анықтау мақсатында пайдаланылады. Соңғысын тауып,
одан кейін гармониклардың жиілігі мен бастапқы фазаларын анықтайды.
Бұндай әдістерге, мысалы, Роте мен Мейскер әдістері жатады; дәл
осы мақсат Шарт анализаторын қолдану арқылы орындалады.
Барлық әдістер кез-келген санды гармоникалар табуға болатынын
теориялық жағынан растайды. Алайда, гармоникалар санының артуымен не
есептеулер қиындығы, не талдау жүргізетін техникалық құрылғылар
конструкцясының күрделілігі арта түседі, ал бұл саны көп
гармоникаларды анықтаудың іс-тәжірибелік мүмкіндігіне шек қояды.
әдетте әдістер 11,17,23 гармоникаларды анықтауға мүмкіндік береді.
Тек Герицидің едеуір жақсартылған механикалық анализаторы 50-ретті
қоса алғандағыға дейінгі гармоникаларды алуға мүмкіндік береді.
Алайда, қазіргі заманда осындай жоғары ретті гармоникаларды алудың
іс-тәжірибелік қажеттігі тірті жоқтың қасы екенін ескерту қажет.

Тарау ІІ Арифметикалық әдістер және топтау схемалары
§ 3 Китнер иен Перридің арифметикалық тәсілдері

Эмперикалық қисықтың ординаталарын немесе бақыланушы
функцияның мәндерін гармоникалық талдауда арифметикалық әдістерді
қолданғанда жұп санын алу қолайлырақ. Бұл жағдайда, (1.14)
формулаларынан байқайтынымыздай функцияның мәндері көбейтілетін
синус пен косинус аргументтері үш көбейткіштен тұрады, анығырақ
гармониканың ретін анықтайтын сандар, көбейтілетін ординаталардың
индексі және көбейткіші. Мысалыға, болғанда кестеде
келтірілген бұрыштар қатарын аламыз.
Китнер тәсілі (1.13) формулаларын тікелей қолданудан тұрады
және қарапайымдырақ болып табылады. Оның мәні мынада: берілген
тек қатарға барлық эквидистантт ординаталарды, жанындағы тік қатарға
барлық эквидистантты ординаталарды, жанындағы тік қатарға –
берілген коэффиценттерін анықтау үшін қажет косинустардың
немесе синустардың сәйкес барлық мәндерін тізіп жазып шығады; бұл
сәйкес жұптас сандардың көбейтіндісін келесі екі қатарға жазады,
балы көбейтіділерге арналған. Бұл екі тік қатардың қосындымсының
алгебралық қосындысын ға бөліп, немесе
коэффиценттерін алады.
Алдынырақ Перри ұсынған тәсіл де негізінен осы тәсілге
келтіріледі.
Кейінгі екі кестеде жағдайда үшін және мәндері
берілген, олар аталған және аналогиялы тәсілдерді пайдаланылады.
Р.А. Воронов Перри әдісінің графиктік интерполяциясын берген.

R\[pic1 2 3 ... 17 18
]
0 0 0 0 ... 0 0
1 200 400 600 ... 3400 3600
2 400 800 1200 ... 6800 7200
3 600 1200 1800 ... 10200 10800
4 800 1600 2400 ... 13600 14400
5 1000 2000 3000 ... 17000 18000
6 1200 2400 3600 ... 20400 21600
7 1400 2800 4200 ... 23800 25200
8 1600 3200 4800 ... 27200 28800
9 1800 3600 5400 ... 30600 32400

Аталған тәсілдер есептеулерге көп уақыт жұмсауды талар етеді.
Келтірілген кесте мен формулалардан көрініп тұрғандай берілген
бөліну саны 2v болғанда ординаталарды әр түрлі ретті
гармоникалардың фурье коэффицентттерін анықтауда түрлі ретпен
қайталанатын косинустар мен синустардың мәндерінің бір санына
көбейтуге тур а келеді.

К-=1,2,3,4,5 және 1-ден 24-ке дейінгі үшін болғандағы
мәндерінің кестесі

R=,2,3,4,5 және 1-ден 24-ке дейінгі үшін болғандағы
мәндерінің кестесі

Бұдан көбейтінділер санын азайту үшін Фурьенің берілген
екоэффиценттерін анықтауға косинус немесе синустың бір мәніне
көбейтілетін барлық ординаталарды бірге топтауға мүмкін болатыны
шығады.
Осыған байланысты бірқатар топтау схемалары ұсынылған, олардың
негізінде кейбір ординаталар топтарын қосып, кейін ғана оларды
белгілі бір сандарға көбейтуге болады. Бұл схемалардың негізгі т
үрлері төменде сипатталған.

§ 4 Лар топтауы

Лар дыбыс тербелістерін зерттей отырып, алғаш рет ординаталарды
топтау әдісін қолданады. Қисықтың толқын ұзындығы 24 тең
бөліктерге бөле отырып, (1.14) Бессель формулаларынан келіп
шығып, ол топтардың келесі схемасын қолданады:

Қисықтың 11-ретті қоса алғандағыға дейінгі гармоникаларға жіктеуге
Лар топтауы енгізетін қысқартуларға қарамастан, бәрібір іс-
тәжірибеде оның пайдалануы өте көп есептеулер жүргізумен
байланысты.

§ 5 Рунгенің топтау схемалары.
Рунгенің схемалары есептеулерді үлкен тездікпен орындау
мағынасына едеіур жақсартылған болып табылады. Бұл схемалардың
құрылуы келесіге негізделген.
Алдыңғыдай көбейткішін арқылы белгілеп, (1.14)
формуласынан
формулаларын аламыз.
Сонымен қатар,

(2.1) қатарынан у0 енетін мүшесін есептемегенде басы мен соңынан
бірдей қашықтықтағы екі мүшесін аламыз.
және
онда теңдігінің негізінде келесіге не боламыз.

яғни, косинустық коэффиценттерді анықталғанда, у0 енетін мүшесін
есепке алмағанда қатардың басы мен санынан тең қашықтықтағы
мүшелердің косинустық көбейткіштері өзара тең.
Дәл осылай у0 енетін мүшесін есепке алмастан (2.2)
қатарының басы мен соңынан тең қашықтықтағы екі мүшесін алып
келесіге ие боламыз.

яғни, синустық коэффиценттерді анықталғанда, у0 енетін мүшесін есепке
алмағанда қатардың басы мен соңымен тең қашықтытағы мүшелерінің
алмағанда қатардың басы мен соңынна тең қашықтықтағы мүшелерінің
синустық көбейткіштері абсюлют мәндері жағынан тең де, ал
таңбалары қарама-қарсы.
Бұл жағдай абсолют мәндері тең көбейткіштерге ие ординаталарды
топтауға мүмкіндік береді.
Дербес жағдай І. болсын, онда абсолют мәндері бірдей
көбейткіштерге келесі ординаталар жұбы ие болады.
у1 мен у11 ; у2 мен у10; у3 пен у9; у4 пен у5; пен у7,
ал у0 мен у6 жалғыз қалады. Сондықтан ордината мәндерінің келесі
екі қатарын жазамыз:
у0, у1, у2, у3, у4, у5, у6, у7,
у8, у9, у10, у11.
Бұл қатарларда қосу және алу арқылы, келесі екі жаңа
қатарды аламыз:

Мұнда
(2.1) және (2.2.) теңдіктерінің негізінде болғанда

(2.3)
(2.3) схема бойынша есептеулер жүргізудің орнына бірдей
көбейткіштерге ие және шамаларын әрі қарай
тоатастыруға болатыны анық. Әрі қарайғы топтау анықтаушы
гармоникалық R ретіне тәуелді.
Жұп ретті гармоникалар үшін R=2R1 екенін аламыз. (2.3)
қатарларының басы мен соңынан тең қашықтықтағы мүшелерін алып,
келесіге ие боламыз.

Тақ ретті гармоникалар үшін болады (2.3) қатарларының
басы мен санынан тең қашықтықтағы мүшелері үшін келесі қатынас
орынды.
Сондықтан (2.3) формулаларының екінші қатарынада u0 мен
u6, u1 мен u5, ... ординаталарының алдындағы көбейткіштер R-ның
жұп мәндері үшін шамасы мен таңбалары бойынша тең болады, R-ның
тақ мәндері үшін абсолют мәндері бойынша тең, бірақ таңбасы
бойынша қарам-қарсы болады. (2.3) формулаларының үшінші қатары
үшін кері жағдай орындалады. Сондықтан u0 мен v6, үшін келесі
қатарларды жазамыз, ал кейін оларды қосып, аламыз.

Сонымен келсені аламыз:
үшін
үшін (2.4)
Қарстырылып отырған жағдайда болғандықтан, бұнда
кездесетін барлық синустар мен косинустар тек келесі мәндерге ие
бола алады:

4) теңдіктерін анықтайтын барлық рекеттер жиынтығын
төмендегісі схемаға келтіруге болады.
Табылған мәндерін келесі схемаға енгіземіз:
0,5

Бұл мәндерді сол қатардағы бірінші тік қорда тұрған сандарға,
яғни (0,5; 0,866; 1) сәйкесінше көбейтіп, көбейтіндінің нәтижесін
тордағы дәл
сол орынға орналастырады. Кейін әрбір тік қатардың мүшелерін
қосып, он екі санды адламыз: және олар келесідей
орналастырамыз:
(ІІ)
Бұл тік қатарларда тұрған соандарды қосып, алып, мына
схемаға ие боламыз:
(ІІІ)
Онда бұл схемада тұрған сандар төмендегі схемадағы
сәйкесінше коэффициенттердің мәндерін береді.

(2.4) теңдіктерімен өрнектелген әрекеттер көсетілген ірекеттер
тізбегіне пара-пар екенін тексері оңай.
Есептеулер нәтижелері бірден барлық және коэффиценттерін
беретінін атап өту қажет.

мысал: 1-фигура көрсетілген қисықтың ординатасы 12 тең
аралықты бөлуде у0 – ден бастап у11 – ді қоса келесі мәндерге ие:
+20;+31;+38;+37;+22;-13;-50; -48; -25; -10;+3;+10.
Сондықтан келесіні жазамыз;

u қатарын келесі түрде қайта жазып, бір қатарда тұрған
сандарды
қосып, аламыз.

v қатарымен де дәл солай етеміз;

Бұл нәтижелер (ІІ) схемаға қойып, сәйкесінше 05:0,866:1, мәндеріне
көбейтіп келесі нәтижені аламыз:
0,5 22 -19 -10 28 0,866 88,34 71,02
-12,12 -10,39 1 +8 +7 70 -30 -27 26 47 9
+8 +7 92 88,34 -49 -37 26 75 71,02 -12,12 -10,39 9 P0 P,1
P1 P,2 P12 P3 q1 q1, q2 q2, q2, q3 Бұдан соң (ІІІ) схемаға
сәйкес келесіге ие боламыз:

нәтижесінде

Дербес жағдай ІІ. 2v=24 болсын. Бөлінетін қисық Ох осіне
қатысты кососимметриялы. Онда жұп ретті гармоникалар жоқ болады.
Бұл жағдайда келесідей әрекетті орындаймыз.
Ординаталардың қатар мәндерін алдыңғыдай жазамыз.

Қосындылары
Айырымы
Онда (2.3) теңдіктерін келесі түрде жазуға болады
(2.5)
мұндағы
Бұл жағдайда қисықтар ерекше сипатына қарай R тақ сан
болғандықтан, қатрдың басы мен соңынан тең қашықтықтағы мүшелерінің
косинусын, яғни және алып, келесіге ие баламыз.

яғни қатардың басы мен соңынан тең қашықтағы косинустар абсолют
мәні бойынша тең, таңбалары бойынша қарама-қарсы.
Дәл осылай,

теңдігін аламыз, яғни қатардың басы мен соңынан тең қашықтықтағы
синустар абсолют мәндері және таңбалары бойынша бірдей.
Сондықтан былай жазамыз:
Айырмалар Қосындылар
онда (2.5) теңдеуінің орнына
(2.6)
теңдіктерін аламыз, мұндағы R = 1,3,...,11
-1; 0;+1;+2;+3;+4 мәндерін қабылдайтындай R -мен R=2h+3 қатынасы арқылы
h шамасын есептеуге енгіземіз.
Сонда келесіге ие боламыз.

Егер = =
= =
деп белгілесек, онда аламыз.
Сондықтан (2.6) теңдіктерінің орнына

деп жазңға болады.
Егер R - ны h-пен алмастырсақ, ah пен мәндерін (2.5)
теңдігінен алынған А4 мәндерімен, сонымен қатар b пен
мәндерін Bh мәндерімен салыстыра отырып, бұл формулалардың
ұқсастығын көреміз. Сондықтан кейінгі топтауды дәл алдыңғыдай
етіп орындаймыз, яғни келеміні аламыз.
Косинустық мүшелер үшін Синустық мүшелер үшін

қосындылар қосындалар
айырмалар айырмалар
мен үшін аналогиялы болады.
сандары (І) схемадағы сандары ның орнына қойып,
сәйкесінше 0,5; 0,866 және 1-ге көбейтеміз.
Кейінгі топтаулар дәл алдыңғыдай орындалады.
Рунге схемаларын. Эмде нақтылады. Төменде бұл схемалар кездейсоқ
қисық пен және бөліну сандары үшін келтірілген.
(қосымшаны қараңыз).
Кездейсоқ қисық үшін Рунге - Эмге топтау схемасы,

Қосындылар
Айырмалар

Қосындылар

Айырмалар

Қосындылар
Айырмалар

Кездейсоқ қисық үшін Рунге - Эмденің топтау схемалары;

Схемаларды пайдалану үшін схемаға дәл тор дайындайды. Бұл
тордан негатив секілді жасайды, яғни схемада толтырылмаған тор
көздерді штрихтайды. Осылай дайындалған бланк-негативті есептеулердің
нәтижелерімен схемада көрсетілген ретпен штрихталмаған тор көздерге
берілген сандарды жазып толтырамыз.
Бұдан соң әрбір жазылған санды берілген қатарға сәйкес
косинус немесе синустың мәніне көбейтіп, көбейтіндіні жаңа тордағы
дәл осы орынға жазады. Содан қатарда схемада көрсметілгендей
орналасқан мүшелердің қосындысының қосындысы немесе айырымын алып,
немесе мәндерін аламыз.
С.В. Абальник Рунгенің топтау схемасының басқа түрөзгерісін
келтіреді.

§7 Рунге топтауын жалпылау
§ 6 параграфта қарастырылған топтау схемаларды жалпы түрге
келтіруге болады.
Эквидистантты бөлінулер саны алдыңғыдай 2 – ға тең болсын.
жоғарыдағыдай 2 ординаталарды екі қатарға орналастырамыз да,
бірінен соң бірі тұрған ординаталардың қосындысы мен айырмаларын
аламыз.
Сонда келесіні аламыз.

___________________________________ ____________________
қосынды
айырмалар
мұндағы
3) теңдіктерін жалпылап, келесіні аламыз:
мұндағы
v жұп сан делік, яғни периодтың бөліну саны 4-ке еселі
болғандықтан,
(2.7)
сандарын алдыңғыға аналогиялы түрде екі қатарға орналастырамыз
және бірінен соң бірі тұрған сандардың қосындысы мен айырмаларын
аламыз:

қосындалар
Айырмалар , мұндағы ,
7) негізде келесіге ие боламыз:
R - ның жұп мәндері үшін:

(2.8)

R - ның тақ мәндері үшін:

cандарын аналогиялы түрде топтар, келесіні аламыз:

онда үшін
және үшін екенін аламыз.
Әрі қарай, жұп сан делік, яғни периодтың бөліну саны
8-ге еселі

болғандықтан болады.
Сондықтан сандарын қатарына аналогиялы түрде екі
қатарға орналастырып, бірінен соң бірі тұрған сандардың қосындысы
мен айырмаларын аламыз. Нәтижесінде келесіні аламыз.

Қосындылар
Айырмалар
(2.7) мен (2.8) теңдіктеріне аналогиялы түрде мына формулаларды
аламыз.

Дәл осылай келесіні аламыз.

___________________________________ ____________________
қосындылар
___________________________________ _____________________
айырмалар
___________________________________ _____________________________

Есептеуді қысқатуды әрі қарай жалғастыруға болады. Бұл үшін
өрнегінде жұп индексті қосылғыштар қосындысын деп, ал тақ
индексті қосылғыштар қосындысы арқылы белгілейміз, сондықтан

болғандықтан
Егер әрі қарай, өрнегіндегі жұп және тақ индексті
қосылғыштардың қосындысын және арқылы белгілесек, онда
аналогиялы жолмен

теңдіктерін аламыз.
Сондықтан жоғарыда келтірілген формулалардан келіп шығып мен
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.