Ойындар моделі туралы жалпы мағлұмат

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 20 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..5
1 Ойындар
теориясы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..6
1.1 Есептің оптимал
шешімдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
..6
1.2 Қосындысы нөл болатын екі жақтың
ойыны ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...7
1.3 Шешуші нүктесі жоқ ойындарды
шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
2 Ойындар теориясының
моделі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... .13
2.1 Ойындар моделі туралы жалпы
мағлұмат ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13
2.2 Нөлдік қосынды болатын матрицалық ойындар шешімі ... ... ... ... ... 14
2.3 Таза стратегиялардағы матрицалық ойындар
шешімі ... ... ... ... ... ... .15
2.4 Аралас стратегиялардағы матрицалық ойындар шешімі ... ... ... ... ... 16
2.5 Программаны қалыптастыру
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..17
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... 21
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 22

Қосымша

КІРІСПЕ

Бұл курстық жұмысында ойындарды матрицалық ойындарды қолданып
матрица құру арқылы Ойыншылар ұтысын есептеуге болады .
Есептің оптимал шешімдері шарттары анықтау, тәуекел және анықталмаған
кездерде орындалатын амалдар қарастырылады.
Ойындар теориясы анықтылмағандық жағдайда оптимал шешімді табуға
арналған , яғни ол есептің шешімін табуға қажетті информациялар жеткіліксіз
болған кездерді қарастырады. Бұл есептерді тиімді шешу үшін талдауды
қосындысы нөл болатын екі жақтың ойыны , шешуші нүктесі жоқ ойындарды шешу
,нөлдік қосынды болатын матрицалық ойындар шешімі ,таза стратегиялардағы
матрицалық ойындар шешімі, аралас стратегиялардағы матрицалық ойындар
шешімі әдістері бойынша

1 Ойындар теориясы туралы ұғым

1.1 Есептің оптимал шешімдері

Есептің оптимал шешімдері шарттары анықталған, тәуекел және
анықталмаған кездерде де таңдалып алынады.
Ойындар теориясы анықтылмағандық жағдайда оптимал шешімді табуға
арналған , яғни ол есептің шешімін табуға қажетті информациялар жеткіліксіз
болған кездерді қарастырады.
Мұндай ойынға бірнеше ойыншылар қатысады.
Қатысушылардыңмақсаттарына сәйкес келмеуі өзара даулы жағдайды
туғызады.Мұндай жағдайлардытаңдау қажеттігі ойын теориясының тууына себеп
болады .Ойын теориясының әдістері көп рет қайталанатын ерекшелік даулы
жағдайларды шешуге арналған. Ойын теориясының әдістері көп рет қайталанатын
даулы жағдайларды шешуге арналған.Ойын теориясының мақсаты көп рет
қайталанатын дауға қатысушылардың әрекеттеріне ұтымды ұсыныстар беру.
Ойын теориясының негізін салушы американ математигі Дж Фон Нейман
1928 ж. ойын теориясының негізгі теоремасы – мини-макс теоремасын дәлелдеп
берді.Ойын теориясы 1944 ж. Дж Фон Нейман және тО.Моргенштерннің “Ойын
теориясы және экономикалық тәртіп’ атты кітабы жарыққа шыққан соң жылдам
дами бастады.Ойын теориясының дамуына электронды есептегіш машиналарының
жетілдірілуі де үлкен әсерін тигізді.
Даулы жағдайлар адам қызметінің көптеген салаларында кездеседі.
Жоспарлауда , әскери әрекеттерде , техникалық системалардың сенімділігін
талдауда ойын теориясы кеңінен дамыған математикалық пәндердің бір тарауы.
экономикалық системалардың модельдерін есептеп шығаратын ойын теориясының
әдістері табылады .
Математикалық системаларды емес , ал олардың модельднрін оқытады
Ойын теориясында даулы жағдайлардың модельдері қарастырылады . Нақты даулы
жағдайлар өте күрднлі болады , себебі оларға көп факторлар әсер етеді.
Сондықтан даулы жағдайоардың математикалық талдауы мүмкін болуы үшін,
негізгі факторларын ғана есепке алатын модель жасау керек.Мұндай қысқаша
модель ойын деп аталады.Сонымен, ойын – даулы жағдайдың моделі.Нақты даулы
жағдайлардан ойынның айырмашылығы ол белгілі бір ереже бойынша жүргізілнді
және оны қатысушылар мүлтіксіз орындайды.Ереже ойынға қатысушылардың
әрекеттерінің мүмкін варианттарын және ойын қорытындысын анықтайды .Ойын
теориясында келесі терминерқолданылады.
Ойыншылар – дауға қатысушылар. Олар жеке, ұжым (команда, спорт
командалары , фирмалар) мақсаттары бір болады.
Ұтыс (ұтылыс) – даудың қортындысы.

Ойында екі және одан көп ойыншылар болады .Біріншісінде ойын жұп ,
екіншісінде көптік деп аталады .Ойын теориясындағы жүріс ереже бойынша бір
жақтың әрекеті және оның іске асуы . Әрекеттердің өзі стратегия днп аталады
Даулы жағдайлардышешу үшін ойыншыларға әйтеуір бір стратегияны таңдау
қажет. Егер мүмкін стратегия саны ойыншылар үшін аяқталса , ондай ойын
аяқталған деп , болмаса шексіз деп аталады .
Ойындар біржүрісті және көпжүрісті болады . Біржүрісті ойында
әрбір ойыншы бір-бірден жүреді де ойын қорытындысы белгілі болады (мысалы
тиын ойнау , ақсүйек) .
Жүрістер дербес және кздейсоқ болады .Кейбір ойындарда кездейсоқ
жүрістер болады . Ойыншылардың информация алуына байланысты ойындар толық
және толық емес информациялы болады .

1.2.Қосындысы нөл болатын екі жақтың ойыны

Ойын теориясында ерекше дамыған әдістердің бірі қосындысы нөл
болатын екі жақтың ойыны , яғни ойыншылардың ұтыстарының қосындысы нөлге
тең (бір ойыншының ұтысы екінші оцыншының ұтылысына тең , әрбір ойыншы өзге
ойыншының есебінен ұтады) .Мұндай ойындар антогонисттік деп аталады .
Қосындысы нөл болатын екі жақтың ойынын қарастырайық .
Ойынға қатысушыларды А және В деп белгілейміз . Бұл ойынды төлем
матрицасы немесе (m×n) ретті ойын матрицасы түрінде сипаттауға болады . Бұл
матрицаның жолдары (А1,А2, ... ,Аm) А ойыншысының таза стратегиясы , ал
бағаналары (В1,В2, ... ,Вn) В ойыншысының таза стратегиясы болып табылады .
Әрбір ойыншыға төлем матрицасының барлық элементтері белгілі деп
есептелінеді .Aij элементі ойын қорытындысын анықтайды , дәлірек айтқанда А
ойыншының ұтысын , егер А және В ойыншылары сәйкес Аi (i=1,n) және
Bj(j=1,n) стратегиясын таңдайтын болса . Ойыншылардың ұтыстарының қосындысы
нольге тең болатындықтан , В ойыншының төлем матрицасы А ойыншының төлем
матрицасын (-1)-ге көбейткенге тең .Сондықтан А ойыншының төлем матрицасын
зерттеу жеткілікті .Бұл матрицаның оң елементтері А ойыншының ұтысын және В
ойыншының ұтылысын , ал теріс элементтері А ойыншының ұтылысын және В
ойыншының ұтысын көрсетеді . Екі жақтың біржүрісті ойыны былай жүргізіледі
. А ойыншы төлем матрицасының i-жолын таңдайды (Аi таза стратегиясы) , ал
Войыншы матрицаның j-ші бағанасын (Вj таза стратегиясы) таңдайды .
Таңдалған жол мен бағанның қиылысындағы элементі А ойыншының ұтысын
көрсетеді . В ойыншының ұтысы (-Aij)-ге тең . Бұл ойында А ойыншысы өз
ұтысын максималдайтын жолды таңдайды .
Қосындысы нөл болатын екі жақтың ойынының мысалы рктінде шартты
әскери полковник Блотто ойыны атты ойынды қарастырайық . Екі армия екі
халық тұратын пункт үшін үшін соғыс жүргізуде .

Полковник Блотто армиясы (А ойыншы) төрт жасақтан , ал қарсыластар армиясы
(В ойыншы) –үшеуден тұрады .
Ойын ережесін келтірейік. Қай жақтың армиясы кез-келген қарсыласынан артық
жасақ жіберсе сол пункті алады және қарсыласын жойып, пунктті алғаны үшін
бір ұпай , қарсыласын жойғаны үшін бір ұпай алады. Егер әр пунктте
қарсыластардың күштері тең болса , онда ұпай алмайды .Жалпы ұтыс
екіпунктегі ұтыстардың қосындысы боынша анықталады. Қарсыластарқарсы жақтың
әрекетін білмей-ақ, өз күштерін дұрыс тартып, максималды ұпай жинау керек.
Ойынщылар ең көп ұтысқа ұмтылғандықтан баолық жасақтарын қолданады.
Плоковник Блоттоның бес стратегиясы бар : (4,0); (0,4); (3,1); (1,3);
(2.2), ал қарсыласының төрт стратегиясы (3,0) ;(0,3) ;(2,1) ;(1,2) бар.
Әрбір стратегиядағы бірінші сан бірінші пунктке жіберілген
жасақтар санын, ал екіншісі – екінші пунктке жіберілген жасақтар санын
көрсетеді. 1.1- кестеде төлем матрицасын құрамыз .

Кесте 1.1 - Төлем матрицасын құру

А3,0 0,3 2,1 1,2
В
4,0 4 0 2 1
0,4 0 4 1 2
3,1 1 -1 3 0
1,3 -1 1 0 3
2.2 -2 -2 2 2

Төлем матрицасындағы бір элементтің есептелуін көрсетейік ,
мысалы А51=-2 (А және Войыншылары А5 және В1 өздерінің таза стратегиясын
қолданады ).
А ойыншысыбірінші пунктте (екі) екінші В ойыншысынан (үш) кем
жасақ жібереді . Ойын ережесі бойынша А ойыншысы екі жасағынан және бірінші
пункттен айырылады және оларға сәйкес екі және бір ұпайға ұтылады . А
ойыншысы бірінші пунктте – үш ұпайға ұтылады . Екінші пунктте А екі жасағын
жібереді , ал В – жібермейді . Сондықтан А бір ұпайға ұтады .Қортындысында
А ойыншысы екі ұпайға ұтылады , ал В ойыншысы екі ұпай ұтады .
Ойынның шешуі. Ойын теориясының есебі ойынның шешімін табу, яғни
әрбір ойыншы үшін оның оптималды стратегиясы мен ойын бағасын табу.

Оптималды стратегия дегеніміз ойын бірнеше рет қайталанғанда қарсыласынан
тәуелсіз, берілген ойыншы максималды орташа ұтыспен қамтамассыз
ету. Ойынның бағасы дегеніміз ойыншылардың оптималды стратегиясына сәйкес
ұтысы (ұтылысы) .
Стратегияны таңдағанда әптүрлі принциптерге сүйенуге болады. Ойын
теориясында қарсыласын өзінен кем көрмесе , онда ойыншылардың тәртібін ең
жақсы деп есептеуге болады (ақылдылық проинципі). Осыған сәйкес ең тамаша
стратегия ретінде қарсыласының әрекетінен тәуелсіз, ең жоғарғы ұтысты
қамтамассыз ететін стратегияны алуға болады.
Егер А ойыншы i стратегиясын таңдап алса, онда оның ұтысы

min aij

мұндағы минимум В ойыншысының барлық стратегиясы бойынша (төлем
матрицасының i нөмірлі жолы бойынша ) .А ойыншысы өзінің әрбір стратегиясы
бойынша кепілді ұтыстарды таңдағандықтан , өзінің барлық стратегиясының
арасынан өзіне максималды кепілді ұтысты қамтамассыз ететін стратегияны
таңдап алады

ΰi=maxmin aij

Жолдардың минимумдарының максималдарының мәніне сәйкес стратегия максмин
стратегиясы деп, ал ΰi шамасы – ойынның төменгі бағасы немесемаксмин деп
аталады .
В ойыншысы да өзінің барлық стратегиясынң ішінен өзіне
кепілді минималды ұтылысты қамтамассыз ететін стратегияны таңдайды.

ν 2=munmax aij

Бағаналардың максимумдарының мәніне сәйкес минималды
стратегия, минимакс стратегиясы деп , ал ν 2 – ойынның жоғарғы бағасы
немесе минимакс деп аталады .
Егер А ойыншысы максмин стратегиясын ұстаса , онда оның ұтысы
максмин мәнінен кем болмайды , яғни

aij≥maxmin aij

Егер Войыншысы минимакс стратегиясын ұстаса , онда оның
ұтылысы минимакс мәнінен артық болмайды , яғни

aij≤minmax aij

Жалпы жағдайда ойынның төменгі және жоғарғы бағасының ара-
қатынасы теңсіздікпен көрсетіледі

ν 1≤ν 2

ν 1= ν 2 болатын ойындар да кездеседію
А және В ойыншыларының бұл мәндерге сәйкес стратегиясы оптималды
деп ,ал бұл стратегияға сәйкес төлем матрицасының элементі шешуші нүктесі
деп аталады . Төлем матрицасының шешуші нүктесіне сәкес элемент ойын бағасы
деп есептеледі . Оны ν деп белгілейік . Сонда , егер шешуші нүктесі болатын
болса ν = ν 1= ν 2 .
Егер ν 0 , А ойыншысы ұтады .Егер ν 0 болса В ойыншысы
ұтады.Егер ν=0 болса , онда екі ойыншыға бірдей , тең деп алынады .
Мынадай мысал қарастырайық . Екі ойыншының әрқайсысында төрт
стратегиядан бар және бір-бірінің қандай стратегия қолданатынын білмейді .
Мәліметтер 1.2 кестеде берілген .

Кесте 1.2 - Екі ойыншының стратегиясы

Ai B1 B2 B3 B4 min aij
A1 6 4 3 4 3
A2 12 7 10 9 7
A3 6 6 4 9 4
A4 12 3 12 7 3
max aij 12 7 12 9 7

Біріншіден төлем матрицасының әрбір жолы бойынша минимумдарын
(min aij) соңғы бағанаға , ал бағана бойынша максимумдарын (max aij)
кестенің соңғы жолына жазамыз .
Ары қарай ойынның төменгі және жоғарғы бағасы табылып , соңғы жол
мен соңғы бағанның қиылысқан жеріне жазылады .Берілген мысалда ν 1= ν 2 =7
.Төлем матрицасының шешуші нүктесі бар ,ойыншылар үшін оптималды таза
стратегиялар А2 және В2 болып табылады .Ойын бағасы ν =7 .
Бұл дегеніміз , егер А ойыншысы өзінің А2 оптималды стратегиясын
ұстаса , 7-ден кем ұтпайды , бірақ егер В ойыншысы В2 стратегиясынан
ауытқыса , онда ол көп ұтуы да мүмкін . Осы сияқты В ойыншысы да өзінің
оптималды В2 стратегиясын ұстаса , онда 7-ден артық ұтылмайды , бірақ ,
егер А , А 1 , А 2 , А 3 стратегияларының бірін таңдаса , онда ол 7-ден кем
ұтылуы мүмкін .
Егер төлем матрицасының шешуші нүктесі болмаса , онда ойын аралас
стратегиямен шешіледі .

1.3 Шешуші нүктесі жоқ ойындарды шешу

Жалпы шешуші нүктесі бар ойындар аз кездеседі . Коп ойындардың шешуші
нүктесі болмайды . Полковник Блотто ойыны да осы ойындарға жатады. Толық
информациялы ойындардың әруақытта шешуші нүктесі болмаса, онда А ойыншы
өзінің максимин страрегиясын қолдана отырып ν 1-ден кем ұтпайды, ал В
ойыншысы ν 2-ден артық ұтылмайды .Мұндай ойындардың кез-келген партиясында
таза стратегияны қолданып , ойыншылардың ұтысын (ν 1) арттыру немесе
ұтылысын (ν 2) кемітуге мүмкіндік бермейді. Мұндай стратегиялар аралас деп
аталады.Олардың элементтері таза стратегиялар.
Біржүрісті ойынның бір партиясында ойыншы бір ғана таза стратегияны
қолданады .Сондықтан аралас стратегия ойын бір партиядан артық орындалғанда
ғана мәнді болады .
А және В ойыншыларының аралас стратегиясын SA=(P1, P2, ... , P I,
... , Pm) және SB = (Q1, Q2, ... , Qj , ... ,Qn ) деп белгілейік , мұндағы
P I – А ойыншының Аi (i=1,m) таза стратегиясын қолдану (жиілігі)
ықтималдығы .
А және В ойыншыларының таза стратегияларының нөлден өзге
ықтималдықтары P I және Qj бар стратегиялары активті немесе белсенді
деп аталады .
Ойын теориясының негізгі теоремасы (минимакс туралы теорема) .Кез-
келген қосындысы нөл болатын екі жақтың анықтылған ойынның кем дегенде бір
шешімі болады , яғни жалпы жағдайда бағасы ν болатын аралас жұп оптималды
стратегиясы болады.
Шешуші нүктесі болмайтын ойындардың шешімі әртүрлі әдістермен
алынады. Ондай ойындардың кейбірінің шешімі сызықтық программалау
есептерінде келтіріледі .
Реті (m×n) болатын шешуші нүүктесі жоқ төлем матрицасы берілсін .
Ойынды сызықтық программалау есептеріне келтіру үшін , артық
стратегияларынан құтылып , оңайлту роцессін қарастырайық .

Кесте 1.3-Стратегияны талдау

А В1 В2 В3 В4
В
А1 2 4 8 6
А2 1 4 6 4
А3 2 4 8 6
А4 3 6 2 1

Бірінші А ойыншының стратегиясын қарайық . Матрицаны талдау . А1
стратегиясы А3 стратегиясын қайталағаны көрініп тұр .Сондықтан біреуін А3
немесе А1 шығарып тастауға болады.

А1 жолындағы барлық ұтыс А2 жолындағылардан тең немесе үлкен, сондықтан А1
–ге қарағанда А2 стратегиясы пайдасыз. Оны алып тастауға болады.
Қысқартулардан кейінгі ойын түрі кестеде 1.4 көрсетілген .

Кесте 1.4- В ойыншының толық стратегиясы

Ai B1 B2 B3 B4
Bj
A1 2 4 8 6
A4 8 6 2 1

Кесте 1.5- В ойыншының стратегиясы.

Ai B1 B2 B4
Bj
A1 2 4 6
A4 8 6 1

1.5 кестесі бойынша В ойыншының стратегияларын таңдаймыз
. B1 бағанасындағы ұтылыстар B4 үлкен , яғни ол В үшін тиімсіз. (1.4)
төлем матрицасы қысқартулар көмегімен (2,3) ретті матрицаға айналды .
Ойынды сызықтық программалау есебіне келтіруді сипаттайық
.
Төлем матрицасының барлық aij элементтері оң болсын. Ол
үшін матрицаның барлық мүшесіне үлкен оң М санын қосу керек. Одан ойынның
бағасы (ν) М – ге артады , ал есептің шешімі SA және SB өзгермейді . Егер
барлық aij оң болса, онда ойынның бағасы ν0 болады .Ойынның шешімін ,
яғни екі оптималды аралас стратегияны

SA=(P1, P2, ... , P I, ... , Pm) және SB = (Q1, Q2, ... , Qj , ...
,Qn )

әрбір ойыншы үшін мүмкін болатын максималды орташа ұтысы (минималды орташа
ұтылыс) табу керек .

2 Ойындар теориясының моделі

2.1 Ойындар моделі туралы жалпы мағлұмат

Мысал ретінде әр түрлі спортгық ойыңдар, арбитраждық кеш, әскери
ойындар (маневрлар), кандидаттар үшін әр түрлі блоктар арасындағы күрес ,
өз мемлекетінің мүддесін көздегенде , яғни әрбір ойынға қатынасушы басқа
қатынасушы арқылы ең дұрыс нәтижеге жетуі керек.
• Шиеленіскен жағдайларды математикалық модель ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.