Функцияның туындысы. Функцияны бірінші және екінші ретті туындылар арқылы зерттеу

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 40 бет
Таңдаулыға:

Жоспар:

Кіріспе.
І бөлім. Функция ұғымы.
1.1. Функция ұғымы, функцияның берілу тәсілдері.
1.2. Функциялардың негізгі қасиеттері.
1.3. Негізгі элементар функциялар.

ІІ бөлім. Функцияның нүктедегі шегі.
2.1. Функцияның нүктедегі шегін есептеудің әдістері.
2.2. Функцияның шегін есептеуге қажетті формулалар.

ІІІ бөлім. Функцияның туындысы. Функцияны бірінші және екінші ретті
туындылар арқылы зерттеу.
3.1. Өспелі, кемімелі, кемімейтін, өспейтін және тұрақты болып келетін
функциялардың белгілері.
3.2. Функцияның экстремумы.
3.3. Функцияның графигін оның мінездік нүктелері арқылы салу.

Қорытынды.
Қолданылған әдебиет.

К І Р І С П Е

Мектеп математикасы курсындағы функция ұғымы негізгі ұғымдардың
біріне жатады. Функциялық тәуелділік өмірдегі өзгерісті нақты және толық
түрде кескіндеуге мүмкіндік береді, ол шамалар арасындағы өзара байланысты
түсініп анықтауға үлкен септігін тигізеді.
Функция ұғымы тек математикада ғана емес, басқа оқу пәндерінде де
кеңінен пайдаланылады. Өйткені, табиғат құбылыстары арасындағы байланыстар
математикалық түрде өрнектелгенде, яғни қарастырылып отырған шамалар
арасында функциялық тәуелділік берілгенде ғана, тек сонда ғана нақты
заңдылық түрінде тұжырымдама алатындығы белгілі. Сондықтан, мектеп
оқушыларының функция ұғымын дұрыс меңгеруіне көп көңіл бөлінуі керек.
Функция ұғымының ғылымға енуі Р.Декарттың “айнымалы шама” ұғымымен тығыз
байланысты. “Функция” ұғымын ғылымға (XVII ғ-ң аяғында) Г.Лейбниц енгізді.
Ол латынның “функтус” деген сөзінен шығып, қазақ тілінде “атқару” деген
мағынаны білдіреді.
Табиғат құбылыстарын зерттеу жаратылыстану ғылымдарында кездесетін
шамалар ұғымдарына алып келеді. Табиғат құбылыстарын байқау, тәжірибелер
арқылы білу, физикалық, химиялық, биологиялық т.б. ғылымдарда кездесетін
шамалардың өзара байланыста болатындығын көрсетеді. Мысалы:
1. Өткізгіштің бойымен электр тогы жүргенде, өткізгіш температурасы
өзгеріп, жылу пайда болады. Электр тогының күші, өткізгіш кедергісі, уақыт
және жылу мөлшерінің арасындағы тәуелділікті байқаймыз. Бұл мысалда электр
тогының күші, өткізгіш кедергісі және уақыттың белгілі бір мәніне жылу
мөлшерінің бір мәні сәйкес келеді.
2. Белгілі бір биіктіктен өз еркімен түсіп келе жатқан дененің
қозғалысын байқап, уақыт пен дененің жүрген жолы ұзындығының арасындағы
өзара байланысқа назар аударалық. Мұнда уақыттың әрбір мезетіне жолдың бір
тиянақты ұзындығы сәйкес келеді.
Осындай мысалдарды көптеп келтіруге болады.
Анықтама. Егер бір белгілі ереже немесе заңдылық бойынша
жиынындағы -ң әрбір мәніне жиынының тиянақты бір мәні
сәйкес келсе, онда -ті жиынында анықталған немесе берілген
функция деп атайды және оны былай жазады:

т.б. (1)

жиынында өзгеретін айнымалы -ті тәуелсіз айнымалы немесе
функцияның аргументі деп ататйды, жиынында өзгеретін айнымалы -
ті тәуелді айнымалы немесе функция деп атайды. Тәуелсіз айнымалы немесе
аргумент өзгеретін жиынын функцияның анықталу облысы деп
атайды, ал тәуелді айнымалы немесе функция өзгеретін жиыны
функция мәндерінің облысы деп аталады. Сонымен, функция, аргумент ұғымдары
– өзімізді қоршап тұрған табиғаттың құбылыстарын зерттеудің нәтижесінде
пайда болған ұғымдар.

І Бөлім

1.1. Функцияның берілу тәсілдері және оның негізгі қасиеттері.

Функциялар әр түрлі тәсілдер арқылы берілуі мүмкін. Біз функциялардың
кестелік, графиктік және аналитикалқ тәсілдермен берілуіне тоқталамыз.
1. Функцияның кестелік тәсілмен берілуі. Функция кестелік тәсілмен берілген
жағдайда алдымен аргумент мәндері алынады да, сонан кейін әр аргументке
сәйкес келетін функция мәндері анықталып, кесте құрылады.
функциясы үшін кесте құрамыз:

...
...

-4 -3 -2 -1 0
4 1 0 1 4

Енді осы нүктелерді координаталар жазықтығына түсірелік. Нүктелерді
толқынды қисықпен қоссақ, параболасы шығады (3-сурет).

3-СУРЕТ

2. - тақ функция.
-2 -1 0 1 2
-8 -1 0 1 8

Осы нүктелерді координаттар жазықтығына түсіріп, оларды толқынды қисықпен
қоссақ, кубтық параболасы шығады (4-сурет).

4-СУРЕТ

Тригонометриялық функциялардан - жұп функция, ал функциялары
тақ функциялар болып табылады.
Мысалы: а) ; б) ; в) функцияларын жұп-тақтылыққа зерттеу
керек.
Шешуі: а) , олай болса, , барлық үшін функция жұп болады.
б) , олай болса, , барлық үшін функция тақ болады.
в) , яғни және болғандықтан, функция жұп та, тақ та емес.

3. Бірсарынды функциялар.
функциясын аралығында қарастырайық.
Анықтама. Егер функциясының анықталу жиынындағы кез келген
сандары үшін теңсіздігі орындалса, онда функциясы өспелі
функция деп аталады.
Анықтама. Егер функциясының анықталу жиынындағы кез келген
сандары үшін теңсіздігі орындалса, онда функциясы
кемімелі функция деп аталады.
Анықтама. Егер функциясының анықталу жиынындағы кез келген
сандары үшін болса, онда функциясын кемімейтін (өспейтін)
функция деп атайды.
Мысалы, және екі көрсеткіштік функцияларын алайық. Бірінші
функцияның негізі , сондықтан ол өспелі функция болады. Оны анықтама
арқылы тексеріп көрсек болады. деп алайық, , яғни , ал
. Өспелі функцияның анықтамасындағы теңсіздік орындалды. Екінші
функциясының негізі . Бұл жағдайда , ал , сонда .
Демек, функциясы – кемімелі функция. Функциялардың графиктері
төмендегідей болады (5-сурет).

5-СУРЕТ

Өспелі және кемімелі функцияларды және өспейтін функцияларды бірсарынды
функциялар деп атайды. Мысалы, функциясына назар аударсақ,
аралығында функция – кемімелі, ал аралығында функция - өспелі.
функциясы аралығында - өспелі функция.

4. Периодты функциялар.
Егер функциясының аргументі -ке санын қосқаннан
функцияның мәні өзгермесе, яғни теңдігі орындалса, онда ол периодты
функция деп аталады. және нүктелері – функцияның анықталу
облысындағы нүктелер. саны функцияның периоды деп аталады.
Мысалы: а) функциялары - периодты функциялар, . Бұл
функциялар үшін - ең кіші периоды. Сонымен бірге, бұл функциялар -
периодты функциялар, яғни , .
б) функциялары - периодты функциялар, яғни , - бұл
функциялардың ең кіші периоды. Сонымен бірге, бұл функциялар -
периодты функциялар, яғни , . Тригонометриялық функциялардың
периодты функция болатындығын дәлелдеу қиын емес. функциясының
периодтылығын дәлелдейік, яғни болатынына көз жеткізейік. Ол үшін
формуласын пайдаланамыз. Сонда , ал екенін ескерсек,
. Демек, .

1.3. Негізгі элементар функциялар.

Элементар функцияларға дәрежелік, көрсеткіштік, логарифмдік,
тригонометриялық және кері тригонометриялық функциялар жатады.

1. Дәрежелік функция. түріндегі функция осылай аталады, мұндағы
- кез келген нақты сан, яғни болғанда рационал функция шығады
және ол сан түрінде анықталады. болғанда және функциялары
шығады. Бұлардың графиктерін тиісінше квадрат және кубтық парабола дейді.

СУРЕТ

Осыған орай, кейде функциясының графигін -ші дәрежелі парабола
деп те атайды. Егер бүтін теріс сан болса, яғни , онда
функциясын алар едік, ол координаттар жүйесінің бас нүктесінда
анықталмайды, яғни аралығында анықталады. болғанда
функциясы шығады және оның графигінің тең бүйірлі гипербола деген арнайы
атауы бар. Егер (мұндағы - оң бүтін сан) болса, онда
иррационал функция шығады. Қарастырған мысалдарға сүйеніп, дәрежелік
функцияны аралығында анықталады деп айтуымызға болады.
Көпмүшелер. Мынадай функция қарастырайық:

Көпмүше – дәрежелік функциялар мен тұрақты сандардың көбейтінділерінің
қосындысы болғандықтан, ол бүкіл нақты сандар жиынында анықталған.
болғанда біріші дәрежелі көпмүше аламыз: , мұны сызықтық функция деп
атайды. Ол нақты сандар жиынында анықталған. Мысалы, сызықтық
функциясын қарастырайық. Шешуі: сызықтық функцияның графигі түзу болады. Ал
түзуді салу үшін оның екі нүктесін білу жеткілікті. Кестені толтырайық.
0 4
4 2

( аргументіне 0 мен 4 мәндерін бердік те, формуласы бойынша
-ң сәйкес мәнін таптық) Координаталық жазықтықта және
нүктелерін белгілейміз де, осы нүктелер арқылы түзу жүргіземіз. Сондай-ақ,
функцияның абсцисса және ордината осьтерімен қиылысу нүктелерін табу үшін
функцияның сәйкесінше нөлдерін анықтау қажет. Ордината осімен қиылысу
нүктесін жоғарыда деп алып, -ті таптық, ал абсцисса осімен
қиылысу нүктесін табу үшін теңдеуін шешу жеткілікті. , яғни
нүктесінде функциясының графигі абсцисса осін қиып өтеді.

СУРЕТ

функциясының графигі болған жағдайда мынадай болады (7-сурет).

7-СУРЕТ

болғанда нақты сандар жиынында анықталған, графигі парабола
болатын квадрат үшмүше аламыз:
. болса, параболаның тармағы жоғары, ал болғанда – төмен
бағытталады (8, а, б, в-сурет).

8-СУРЕТ

Бөлшек-рационал функция.

екі көпмүшенің қатынасы:
бөлшек-рационал функция деп аталады. Ол бөлімдегі көпмүше нөлге
айналмайтын -ң мәндерінің жиынында анықталған. функциялары –
бөлшек-рационал функциялар. Соңғысы бөлшек-сызықты функция деп аталады.

2. Көрсеткіштік функция.
Көрсеткіштік функцияның графигі. формуласымен берілген
функцияны қарастырамыз. Мұнда - берілген сан, - белгісіз
айнымалы. өрнегінің дәреже көрсеткіші -ң кез келген мәнінде
мағыналы болуы үшін дәреженің негізі оң сан болуы керек.
болғанда функциясы тұрақты болады, себебі -ң кез келген мәнінде
функция тек қана 1-ге тең мән қабылдайды. Сондықтан, болғанда функция
қарастырылмайды.
Анықтама. формуласымен берілген функция көрсеткіштік функция
деп аталады.
Мысалы, функциялары – көрсеткіштік функциялар, және
функцияларының графиктерін сызайық.
және болғандағы функциясына талдау жасайық.
1) .
-2 -1 0 1 2
1 2 4

9-СУРЕТ

2) .
-2 -1 0 1 2
4 2 1

10-СУРЕТ

үшін: 1) функцияның анықталу облысы – барлық нақты сандар жиыны:
; 2) функцияның мәндерінің жиыны: ; 3) бүкіл анықталу облысы
бойында функция өседі, яғни болғанда ; 4) болғанда ;
болғанда ; болғанда .
үшін: 1) функцияның анықталу облысы – барлық нақты сандар жиыны:
; 2) функцияның мәндерінің жиыны: ; 3) бүкіл анықталу облысы
бойында функция кемиді, яғни болғанда ; 4) болғанда ;
болғанда ;; болғанда .

3. Логарифмдік функция.
Санның логарифмінің ұғымы. көрсеткіштік функция берілсін .
Бұл – бірсарынды функция. Сондықтан аргументтің әр мәніне функцияның
бір ғана мәні сәйкес келіп қоймай, керісінше, функцияның алдын-ала берілген
әр мәніне -ң бір ғана мәні сәйкес келеді.
теңдеуін қарастырайық. болғанда теңдеудің түбірі
болмайды. Егер болса, онда теңдеудің бір түбірі болады. Графикте
көрсетейік. функциясының графигін сызамыз, түзуін жүргіземіз.
Осы екі графиктердің қиылысу нүктесінің абсциссасы, яғни -
теңдеуінің іздеп отырған түбірі болады. Сонымен, .
теңдеуінің түбірі санының негізді логарифмі деп аталады.
Анықтама. оң санының бірден өзгеше, оң негізді логарифмі
деп, санын алу үшін санының дәреже көрсеткіші болатын
санын айтады: . Оқылуы: “ дегеніміз санының негізді
логарифмі”. Егер болса, онда былай жазылады: , яғни 10 саны
негіз болып жазылмайды. Мұндай логарифмдер – ондық логарифмдер. Сонымен,
болғанда теңдеуінен анықтама бойынша теңдігі шығады.
Соңғы теңдеудегі -ң орнына мәнін қойсақ, . Бұл теңдік негізгі
логарифмдік теңбе-теңдік деп аталады. Мысалы, . Бір санының кез
келген негізді логарифмі нөлге тең.
Логарифмдік функцияның графигі. функциясы – бірсарынды. Демек,
әрбір мәніне бір сәйкес келеді, керісінше, әрбір мәніне
бір ғана мәні сәйкес келеді, яғни кері функциясы бар болады.
және функцияларының графиктерін салайық (11-сурет).

11-СУРЕТ

және болғандағы функциясының графиктеріне талдау жасай
отырып, мынадай қорытындыларға келуге болады:
болғанда: 1) функцияның анықталу облысы – оң нақты сандар жиыны:
; 2) функция мәндерінің жиыны – барлық нақты сандар жиыны: ; 3)
функция бүкіл анықталу облысы бойында өседі, яғни болғанда ; 4)
болғанда ; болғанда ; болғанда .
болғанда: 1) функцияның анықталу облысы – оң нақты сандар жиыны:
; 2) функция мәндерінің жиыны – барлық нақты сандар жиыны: ; 3)
функция бүкіл анықталу облысы бойында кемиді, яғни болғанда ; 4)
болғанда ; болғанда ; болғанда .
логарифмдік функциясының маңызды қасиеті – оның бүкіл анықталу
облысында үзіліссіздігі.
Мысалы, функциясының анықталу облысын табайық. Шешуі: логарифмдік
функцияның анықталу облысы -ке тең және де, мұндағы
болатындықтан, келесідей теңсіздікті аламыз: ; -ге көбейтеміз:
теңсіздігін шешеміз.

. СУРЕТ

Жауабы: .

4. Тригонометриялық функциялар.
.
1. функциясы мәндерінің кестесін құрайық.

0
0

Координаталық жазықтықта функциясы мәндеріне сәйкес келетін
нүктелерді салайық. функциясының анықталу облысы сегменті, яғни
екені айқын. Функция мәндерінің облысы сегменті,
функциясы тақ функция, периодты емес. аралығында бірсарынды өседі (16-
сурет).

16-СУРЕТ

Мысал. өрнегін есептеу керек.
Шешуі. Кестедегі мәндер мен екенін ескерсек, .

2. функциясы. функциясын сегментінде қарастырайық.
Бұл аралықта функциясы бірсарынды кемиді де, өзінің барлық мүмкін
болатын мәндерін бір-бірден қабылдап шығады. болсын, сонда .
болғанда болатыны айқын. аралығынан -ң қандай мәнін
алсақ, оған аралығынан -ң қайсыбір мәні сәйкес келеді.
функциясына кері функцияны арккосинус деп атайды да, теңдігімен
белгілейді (косинусы -ке тең болатын доға ).
функциясының бірнеше мәндерін табайық. болғандықтан,
болғандықтан,
болғандықтан, болғандықтан, . Осы мәндерден және басқа да
сәйкес мәндерден кесте құрайық:

[pic-1
]
2 - кез келген нақты сан
3
4 - иррационал сан
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14

Күрделі функциялардың туындылар кестесі

1 - кез келген нақты сан
2
3 - иррационал сан
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Дифференциалдар кестесі

1 - тұрақты сан
2 - кез келген нақты сан
3
4 - иррационал сан
5
6
7
8
9
10
11 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.