Квадрат теңдеуді шешудің әдістері

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ КІШІ ҒЫЛЫМ АКАДЕМИЯСЫ
МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Тақырыбы: Квадрат теңдеулерді шешудің әр түрлі әдістері
Секция: Математика
Аты-жөні: Әкімбай Дәурен Жанатұлы
Сыныбы: 9
Оқу орны: Оян ауылындағы МДШО бар орта мектебі
Жетекшісі: Анешова Таңшолпан Болысбекқызы

Разные способы решения квадратных уравнений
Средная школа с ДМЦ с

Үштөбе қаласы, 2018 жыл

КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ ӘР ТҮРЛІ ӘДІСТЕРІ
Әкімбай Дәурен, 9-сынып, Оян ауылындағы МДШО бар орта мектебі,
Қаратала ауданы, Оян ауылы

Болжау: Квадрат теңдеулерді пайдалана білетін оқушы болашақта өзінің
білімін әр-түрлі салаларда пайдалана алады, еліміздің дамуына зор үлесін
қосады.
Өзектілігі: Білім өркениеттіліктің әрі өлшемі, әрі тетігі болып
табылатындықтан кез келген мемлекеттің рухани және әлеуметтік дәрежесі
білім деңгейіне байланысты білімді маман қалыптасады.
Зерттеу жұмысының мақсаты: Квадрат теңдеулерді шешудің жолдарын, әдіс-
тәсілдерін қарастыру. Осы тәсілдерді теңдеуді шешуде қолдануды көрсету.
Зерттеу кезеңдері:
- тақырыпты негіздеу, мақсаттары мен міндеттерін айқындау;
- тақырыпқа байланысты материалдар жинақтау, талдау, әдебиеттерге шолу
жасау;
- квадрат теңдеулердің түрлерін қарастыру;
- алынған нәтижелер бойынша есептер жинағын құру, жинақтау;
- жұмысты қорытындылау.
Зерттеудің жаңашылдығы: Квадрат теңдеулердің оқулықта қарастырылмаған
шешу жолдарын қарастыру.

Мазмұны.
I. КІРІСПЕ БӨЛІМ
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ...3
1.1 Квадрат теңдеудің даму
тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
1.2 Квадрат теңдеудің әл-Харезмде
дамуы ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... 4

II. НЕГІЗГІ БӨЛІМ
2.1. Квадрат теңдеудің
анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
...6
2.2.Толымсыз квадрат
теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...6
2.3. Квадрат теңдеуді шешудің
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..6
2.4. Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер
шығару ... ... ... ... ... ... ... . ... ... 10
ІІІ.
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ...15
IV. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... 16

Кіріспе
Көптеген табиғи процестер мен құбылыстар квадрат теңдеулер арқылы
сипатталады, мазмұнды есептердің көбісінің шешуі квадрат теңдеулерді шешуге
келіп тіреледі. Квадрат теңдеулерді шешу математикада қарастырылатын
тақырыптардың қажетті бірі болып табылады. Зерттеу барысында мектеп
оқушыларына квадрат теңдеулерді шешу жолдарынының алты түрлі әдісімен
таныстыруға мүмкіндік бар екендігін анықтадым. Ол тәсілдерге алда жеке-
жеке тоқталамын.

1.1 Квадрат теңдеудің даму тарихы.
2-ші дәрежелі теңдеулерді шешуді б.э.д II мыңжылдықта Ежелгі
Вавилонда шығара білген.Ежелгі Греция математиктері квадрат теңдеулерді
геометриялық тәсілмен шешкен; мысалы, Евклид –кесіндіні орта және шеткі
қатынастарға бөлу арқылы шешкен. Квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы
бірнеше рет қайтадан ашылған . Бізге жеткен деректер бойынша ең бірінші
бұл формулаларды үнді математигі Брахмагупте ашқан(жуықтап 598
ж.). Ортаазия ғалымы ал-Хорезми (IX .ғ) өзінің Китаб аль-джебр валь
-мукабала трактатында бұл формуланы екімүшенің толық квадратын
геометриялық интерпретация арқылы айырып алу жолымен шешкен.

1.2 Квадрат теңдеудің әл-Харезмде дамуы.
Кітаптың өзінде пайдаланылған әдебиеттер көрсетілмегендіктен, әл-
Хорезми қандай кітаптарды қолданылғаны белгісіз.
Кітапта кез келген квадрат теңдеуді алты негізгі түрдің біріне келтіріп,
сол негізгі түрлерді шешудің алгебралық және геометриялық тәсілдері
келтірілген. Қазіргі кезде қолданылатын абстрактылы шартты белгілер кітапта
атымен жоқ болғандықтан, әл-Хорезмидің алгебрасы толығымен сөзбен сипаттау
арқылы баяндалған. Гректің Арифметикасында немесе Браһмагуптаның
еңбектерінде қолданылатын синкопациялар мүлдем қолданылмаған. Тіпті сандар
арнайы таңбамен бейнеленген емес, толығымен сөздер ретінде
жазылған!Сондықтан теңдеулер сөзбен шаршы деп (яғни бүгіндері “x2” деп),
түбір деп (бүгін оны “x” деп) және сандар деп (мысалы, қырық екі,
жеті деп толығымен жазып отырды) деп белгіленіп отырды. Бүгінгі күннің
шартты белгілерін қолданса, теңдеудің негізгі алты түрі мыналар:
1) квадраттар тең түбірге тең (ax2 = bx)
2) квадраттар санға тең (ax2 = c)
3) түбірлер санға тең (bx = c)
4) квадраттар мен түбірлер санға тең (ax2 + bx = c)
5) квадраттар мен сандар түбірге тең (ax2 + c = bx)
6) түбірлер мен сандар квадраттарға тең (bx + c = ax2)
Әл-жәбр (араб жазуымен: ‘الجبر’) (толықтыру) амалы: теріс шаманы
теңдеудің бір жағынан екінші жағына жіберіп, оң шама етіп өзгерту.
Әл-Хорезмидің мысалында (қазіргі белгілерді қолданса) “x2 = 40x – 4x2”
теңдеуі әл-жәбр амалын қолдану арқылы мынаған өзгертіледі: “5x2 = 40x”
Осы ережені қайталап қолдану арқылы есептеулерді пайда болатын теріс
сандардан құтылуға болады.
Әл-мұқабала (араб жазуымен ‘المقابله’) (теңдестіру) дегеніміз –
теңдеудің екі жағынан да бірдей оң шаманы алып тастау, сонда мына теңдеу:
“x2 + 5 = 40x + 4x2” мына түрге келеді: “5 = 40x + 3x2“. Осы ережені
қайталап қолдану арқылы әр түрлі шамалардың (квадрат, түбір, сан сияқты)
теңдеудің бір жағында тек бір рет қана кездесетіндей етіп түрлендіруге
болады.
Кітаптың келесі бөлігінде жоғарыда айтылған ережелерді іс жүзінде
қолданудың практикалық мысалдары келтірілген. Одан кейінгі бөлігінде аудан
мен көлемді есептеудің жолдары қарастырылған.

2.1 Квадрат теңдеудің анықтамасы.

(1) түрінде берілген теңдеу квадрат теңдеу деп аталады.
Мұндағы а, в, с нақты сандар. ,

а – бірінші коэффициент, в - екінші коэффициент, с- бос мүше.
Егер (1) теңдеудегі болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп
аталады. Іс жүзінде кездесетін көптеген есептерді шешу, мысалы 2,
3түрдегі мысалдарды алуға болады.

2.2 Толымсыз квадрат теңдеулер
Егер ах2+вх+с=0 түріндегі теңдеудің в немесе с, немесе в мен с нөлге
тең болатын дербес жағдайлардағы квадрат теңдеу толымсыз квадрат теңдеу деп
аталады. Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады.
1. , мұндағы с=0.
2. , мұндағы в=0.
3. , мұндағы в=0, с=0. Мысалы: 2 х2 = 0, в=с=0, х2 + х - 7 = 0, в=0
және
х2 + 6х = 0, с=0
2.3 Квадрат теңдеуді шешудің әдістері
1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу.

х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуді жіктейміз .

Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:

х2 + 10х - 24 = х2 + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х -
2).
Демек, теңдеуді былай жазуға болады:
(х + 12)(х - 2) = 0
Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі
нөлге тең болуы керек. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х = 2
және х = - 12 сандары х2 + 10х - 24 = 0 теңдеуінің түбірлері болып
табылады.

2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі.

Мысал: х2 + 6х - 7 = 0  теңдеуін шешейік.

Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтіреміз. Ол үшін х2 + 6х өрнегін
төмендегідей жазып аламыз:
х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.
Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тың квадраты, ал екінші қосындысы х
пен 3-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 32-ын қосу керек. Сонда


х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 32 -ын қосып,
алып тастаймыз. Сонда шығатыны:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 -
16.
Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Бұдан      , х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, немесе х + 3 = -4, х2 = -7.
3-әдіс. Квадраттық теңдеулерді формула арқылы шешу.

ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0
теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтеміз де, төмендегі өрнекті аламыз:

4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,
((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,
(2ax + b)2 = b2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

Оған келесідегідей мысалдар келтіруге болады: 4х2 + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 - 4ac = 72 - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,
Д0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады:
Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни в2-4ас0, ах2+вх+с=0 теңдеуінің екі
түрлі түбірі болады.

б) 4х2 - 4х + 1 = 0, теңдеуін шешейік.

а = 4, b = - 4, с = 1, D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,
D ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.