Алгебралық операциялар, олардың қасиеттері. Топтар, мысалдары. Сақиналар, мысалдары

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 8 бет
Таңдаулыға:

№ 3 дәрістің тақырыбы. Алгебралық операциялар, олардың қасиеттері. Топтар, мысалдары. Сақиналар, мысалдары.

Мақсаты:
1. Алгебралық операциялар түсінігін енгізу. Олардың қасиеттерін қарастыру.
2. Топтар теориясының негізгі түсініктерін енгізу.
3. Сақиналар, өріс теориясының негізгі түсініктерін енгізу.
Жоспар.
1.Алгебралық операциялар және олардың қасиеттері. Алгебралық жүйелер.
2. Топтар, мысалдары. Топтардың қарапайым қасиеттері. Ішкі топтар. Топтардың гомоморфтылығы және изоморфтылығы.
3. Сақина, сақинаның мысалдары. Қарапайым қасиеттері. Ішкі сақиналар. Бүтін сандар сақинасы. Сақиналардың гомоморфтылығы және изоморфтылығы. Өріс. Рационал сандар өрісі.
Қолданылатын көрнекі құрал және техникалық құралдар: презентациялар, кестелер.
Дәріс түрі: оқу дәрісі

1.Алгебралық операциялар және олардың қасиеттері. Алгебралық жүйелер.
Анықтама. Бос емес жиынында анықталған бинарлық алгебралық операция деп, жиынына тиісті анықталған ретте алынған кез келген элементтеріне осы жиыннан үшінші жалғыз элементті сәйкестендіретін ереже немесе заң аталады.
Анықтама. Бос емес жиынындағы бинарлық алгебралық операция деп бейнелеуі аталады. (кез келген реттелген қосқа анықталған элемент сәйкестендіріледі)

элементі және элементтеріне қолданған операцияның қорытындысы деп аталады.
Мысалы:
1.натурал сандар жиынында - амалы алгебралық операция емес.
2. бүтін сандар жиыны қосу және көбейту амалдары - алгебралық операциялар.
3. - барлық ішікі жиындардың жиынындағы бірігу және қиылысу амалдары алгбралық операциялар.
4. Барлық бүтін тақ сандар жиыны көбейту амалына қатысты тұйықталған, ал қосу амалына қатысты тұйықталмаған.
5. Барлық бүтін жұп сандар жиыны қосу және көбейту амалдарына қатысты тұйықталған.
алгебралық операциядағы қосының бейнесін, мұндағы , деп белгілейміз. (Бинарлық қатынастарды белгілеу үшін басқа да арнайы символдар қолданылады, мысалы ,,+).
Бинарлық операциялармен қатар жалпы n- арлық операциялар да қарастырылады (при n=1 болса, унарлық, n=3 болса, тернарлық және т.б.),.
Биналық алгебралық операциялардың қасиеттері
, - жиынындағы кез келген алгебралық операциялар болсын.
1. үшін аb=ba орындалса, онда алгебралық операциякоммутативті деп аталады.
2. үшін a(bc)=(аb)cорындалса, онда алгебралық операция ассоциативті деп аталады.
3. үшін a(bc)=(ab) (ac) орындалса, онда алгебралық операция алгебралық операцияға қатысты дистрибутивті деп аталады.
Анықтама: Егер кез келген үшін келесі теңдік орындалса, , онда элементі операцияға қатысты бейтарап элемент деп аталады.
Мысалы:
1. 0 саны - + амалы үшін бейтарап элемент
2. 1 саны - амалы үшін бейтарап элемент.
Анықтама: Егер теңдігі орындалса, онда операциясына қатысты элементі элементіне симметриялы деп аталады.
Мысалы:
1. + амалына элементіне элементі қарама-қарсы , яғни кері элемент. 2. амалына элементіне элементі кері элемент болады.
Алгебралық операцияларды жазудың және терминологиясының екі түрі бар.
+ - аддитивті
*- мультипликативті
Коммутативті
1.
1.
Ассоциативті
2.
2.
Қайтымды
3. ,
бейтарап элементтің табылуы

3. ,
бейтарап элементтің табылуы
4.үшін
симметриялы элементтің бар болуы
қарама - қарсы элемент деп аталады

4.үшін
симметриялы элементтің бар болуы
- кері элемент деп аталады
Дистрибутивті заң
5.

сол жақтан
оң жақтан
Мысалдар:
1. Рационал сандарда косу және көбейту амалдары - коммутативті, ассоциативті бинарлық операциялар болады.
2. Азайту операциясы рационал сандар жиынында коммутативті емес, ассоциативті емес.
3. М жиынының ішкі жиындарының қиылысуы және бірігуі коммутативті, ассоциативті
Анықтама. жиынындағы алгебралық операция болсын. . үшін болса, онда ішкі жиын жиынында операцияға қатысты тұйықталған деп аталады.
Мысалы:
1. Барлық бүтін жұп сандар жиыны +, амалдарына қатысты бүтін сандар жиынында тұйықталған
2. Барлық тақ сандар жиыны амалына қатысты тұйықталған, ал + амалына қатысты тұйықталмаған.
Алгебра курсында анықталған операциялары бар жиындар оқытылады.
А- бос емес жиын болсын, ал - А жиынында берілген операциялар жиыны.
Анықтама.Алгебра деп реттелген қос аталады, яғни алгебра- алгебралық операциялары бар бос емес жиын. А жиыны ақырлы немесе шексіз болуы мүмкін, ал - ақырлы жиын.
А жиыны алгебрасының негізгі жиыны, ал оның элементтері - алгебрасының элементтері деп аталады. Ажиынында анықталған операциялар жиыны - алгебрасының бас операциялары деп аталады.
Анықтама. - реттелген үштік алгебралық жүйе деп аталады, мұндағы А - бос емес негізгі жиын;-Ажиынындағы алгебралық операциялар жиыны;R- алгебралық жүйедегі қатынастар жиыныр.
негізгі операциялар, R- негізгі қатынастар деп аталады.

2. Топтар, мысалдары. Топтардың қарапайым қасиеттері. Ішкі топтар. Топтардың гомоморфтылығы және изоморфтылығы.
Топтар - алгебралық жүйелердің негізгі типтерінің бірі, ал топтар теориясы - қазіргі заманғы алгебраның негізгі бөлмдерінің бірі. Топтар теориясы үшін көптеген математикалық зерттеулер арналған. Олар математиканың әртүрлі бөлімдерінде қолданылады. Топтар теориясының негізін салушы
француз математигі Эварист Галуа (1811-1832). Топ терминін енгізген де осы ғалым болатын.
Топтар теориясының міндеті - топтық операцияларды зерттеу.
Анықтама. Егер бос емес А жиынында бинарлық операция ассоциативті болса, онда A, алгебрасы жартылай топ деп аталады яғни кез келген a,b,cA элементтері үшін (ab)c=a (bc) орындалады.
Анықтама. Бірі бар A, жартылай топ моноид деп аталады, яғни aA кез келген элемент үшін, ae=ea=a орындалатындай, eA бірлік элемент табылады.
Анықтама. Моноид деп бинарлық операция келесі шарттарды қанағаттандыратын:
1) бинарлық операция ассоциативті
2) e - бинарлық операцияға қатысты бейтарап элемент болатын
алгебрасы аталады.
Мысалы:
- натурал сандардың аддитивті моноиды;
- натурал сандардың мультипликативті моноиды.
Анықтама. алгебрасы топ деп аталады, егер төмендегідей шарттарды қанағаттандырса:
1) алгебрасы жартылай топ болса;
2) қайтымды операциясы анықталған болса.
Анықтама. бір бинарлық операциясы бар G жиыны топ деп аталады, егер келесі шарттар орындалса:
1. операция ассоциативті, яғни кез келген a,b,cG үшін (ab)c=a(bc) орындалады;
2. Бірлік элементтің табылуы, яғни G жиынында e - бірлік элемент табылады, кез келген aG үшін ae=ea=a орындалады;
3. Кері элементтің табылуы, яғни кез келген aG үшін ax=xa=e орындалатындай, а - ға кері деп аталатын, G жиынында x элементі табылады.
Анықтама. Егер топтағы элементтер саны шектеулі болса, топ шектеулі деп аталады, топтағы элементтер саны топтың реті деп аталады.
Ал, топтағы элементтер саны шектеусіз болса, шектеусіз топ деп аталады.
Анықтама. Егер топтағы элементтер саны шектеулі болса, топ шектеулі деп аталады, топтағы элементтер саны топтың реті деп аталады.
Ал, элементтер саны шектеусіз топ, шектеусіз топ деп аталады.
Анықтама.Егер - операциясы қосу болса, онда топ аддитивті, ал егер - операциясы көбейту болса, онда топ мультипликативті деп аталады.
Анықтама. Егер тобында бинарлық операция коммутативті болса, онда топ коммутативті топ немесе абельді топ деп аталады.
Мысалдар:
1. - натурал сандар жиыны мультипликативті моноид.
1. үшін ассоциативтілік орындалады.
2., ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.