Дифференциалдық теңдеулер. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Магистрант ММ-11 тобы: Ибатова А. С.

Дифференциалдық теңдеулер.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер деп тәуелсіз айнымалыны, ізделінетін функцияны және оның бірінші ретті туындысын байланыстыратын теңдеуді айтады, яғни

(1)

Егер (1) теңдеу туындысы арқылы шешілетін болса, онда

(2) теңдеуі туындысы бойынша шешілген бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Егер кез келген функциясының (2) теңдеудегі және -тің орнына қойғанда ол теңдеу тепе - теңдікке айналса, онда оны (2) теңдеудің шешуі деп атайды.

(2) теңдеудің жалпы шешуіндегі С - ның нақты бір С ₀ мәнін алғаннан шыққан шешуі теңдеудің дербес шешуі деп аталады.

1-мысал.

функцияны теңдеуінің шешуі бола ма?

Шешуі:

және мәндерін берілген дифференциалдық теңдеуге қоямыз:

Соңында тепе - теңдігін аламыз.

Олай болса, функциясы теңдеудің шешуі болады.

Дифференциалдық теңдеулер

Тәуелсіз айнымалы х, ізделінді функция у=у(х) және оның у', …, у(n) туындыларын байланыстыратын теңдеу дифференциалдық теңдеу (жай дифференциалдық теңдеу) деп аталады.

F(х, у, у ^' , …, у ⁽ⁿ⁾ ) =0 (1)

Теңдеудің реті деп теңдеуге кіретін ізделінген функция туындыларының ең жоғарғы реті аталады. Егер ең жоғарғы ретті туынды шешілген болса, онда теңдеудің түрі

у ⁽ⁿ⁾ =f(х, у, у ^' , …, у ^(n-1) ) (2) болады.

(2) -теңдеу ең үлкен туындыға қатысты шешілген туынды деп аталады.

Жай дифференциалдық теңдеудің шешімі деп теңдеуді қанағаттандыратын у(х) функциясын айтады.

Дифференциалдық теңдеуінің шешімінің графигін интегралдық қисық деп атайды.

Дифференциалдық теңдеудің шешімін интегралдау арқылы табамыз.

Жалпы шешімі y=φ(x, C ₁ , . . . С _n ) функциясы.

Жалпы интегралы F(x, C ₁ , . . . С _n ) =0 функциясы.

Дербес шешімі жалпы шешімдегі тұрақты С санының белгілі бір мәнінде алынады.

Коши есебі. Берілген х=х ₀ болғанда у(х ₀ ) =у ₀ , у ^' (х ₀ ) = у ₀ ^' , …, у ^(n-1) (х ₀ ) =у ₀ ^n-1 болатын бастапқы шарттарды қанағаттандыратын функцияны табу Коши есебі аталады:,

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу мына түрде беріледі: F(x, y, y') =0 немесе y'=f(x, y) .

Жалпы шешімі y=φ(x, C), С=const.

Бірінші ретті теңдеуге Коши есебінің түрі: y'=f(х, у), у(х ₀ ) =у _0. .

Екінші ретті дифференциалдық теңдеу мына түрде беріледі: F(x, y, y', y'') =0 немесе у''=f(х, у, y') .

Жалпы шешімі y=φ(x, C ₁ , С ₂ ), C ₁ , С ₂ - const.

Екінші ретті теңдеуге Коши есебінің түрі: у''=f(х, у, y'), у(х ₀ ) =у ₀ , y'(х ₀ ) =у ₀ ^' .

Мысалы:

Көрсетілген функция берілген Коши есебінің шешімі бола ма?

Коши есебінің шешімін табыңыз.

Көрсетілген функция берілген Коши есебінің шешімі бола ма?:

у=cosx, y'+у=0, y(0) =1

(cosx) '+cosx=0

-sinx+cosx=0

-sin0+cos0=1

1=1, болады.

Коши есебінің шешімін табыңыз.:

y' =2х+1, y(1) =3

у=∫(2х+1) dx=x ² +x+C жалпы шешімі.

y(1) =1 ² +1+C=3

C=1

у =x ² +x+1 дербес шешімі.

Айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеу

M(x, у) dx + N(x, y) dy=0 дифференциалдық теңдеу берілсін.

M(x, у) =M ₁ (x) M ₂ (y)

N(x, y) = N ₁ (x) N ₂ (y) түрінде жазуға болсын.

M ₁ (x) M ₂ (y) dx + N ₁ (x) N ₂ (y) dy=0 - Айнымалылары бөлінетін дифференциалдық теңдеу.

Бұл теңдеуді N ₁ (x) M ₂ (y) өрнегіне бөлсек:

- айнамылары бөлінген теңдеу аламыз.

Бұл теңдеуді шешу үшін интегралдаймыз. Сонда теңдеуінің жалпы интегралы болады.

Мысалдар.

теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.

Шешуі: Берілген теңдеу айнымалылары бөлектенетін теңдеу. деп ұйғарып, теңдіктің екі жағын да у-ке бөліп, dx -ке көбейтейік. Сонда - айнымалылары бөлектенген теңдеу алынады. (9) формула бойынша теңдеудің екі жағын да интегралдасақ, . Бұдан

, , яғни .

теңдеуін интегралдау керек.

Шешуі: Дифференциалдық теңдеуді интегралдау - оның шешімін табу деген сөз.

Теңдеудің екі жағын да -ке көбейтіп, айнымалылары бөлектенген теңдеу аламыз:

немесе .

Осы теңдеуді интегралдау арқылы берілген теңдеудің жалпы шешімін табамыз:

,

.

Бұдан

теңдеуін шешу керек.

Шешуі: Бұл айнымалылары бөлектенетін теңдеу. Теңдеуді -қа бөліп ( деп есептейміз), мына теңдеуді аламыз;

Бұдан

;

немесе .

Бұл теңдеуді потенцирлеп, берілген дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін аламыз.

, мұндағы .
4. Бірінші ретті біртектес дифференциалдық теңдеу.
Анықтама . Егер теңдігі орындалса, онда функциясы m өлшемді біртектес функция деп атайды.

Мысал.

функциясы үш өлшемді біртектес функция. Себебі, хжәнеуаргументтерінt-ға көбейтсек,

- ноль өлшемді біртектес функция екенін көрсетейік.

Егер (1)

теңдеуіндегі және функциялары бірдей өлшемді біртектес функция болса, олда бұл теңдеу сол өлшемді біртектес дифференциалдық теңдеу деп аталады.

(1) теңдеуге ауыстыруын қолданып, оны айнымалылары бөлектенетін теңдеуге оңай келтіруге болатынын көрсетуге болады. Мұндағы u функциясы х -ке тәуелді ізделінді функция. Сонда бұл ауыстырудан , ал болады.