Дифференциалдық теңдеулер. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Магистрант ММ-11 тобы: Ибатова А.С.

Дифференциалдық теңдеулер.
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер деп тәуелсіз айнымалыны, ізделінетін функцияны және оның бірінші ретті туындысын байланыстыратын теңдеуді айтады, яғни
(1)
Егер (1) теңдеу туындысы арқылы шешілетін болса, онда
(2) теңдеуі туындысы бойынша шешілген бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Егер кез келген функциясының (2) теңдеудегі және -тің орнына қойғанда ол теңдеу тепе - теңдікке айналса, онда оны (2) теңдеудің шешуі деп атайды.
(2) теңдеудің жалпы шешуіндегі С - ның нақты бір С0 мәнін алғаннан шыққан шешуі теңдеудің дербес шешуі деп аталады.
1-мысал.
функцияны теңдеуінің шешуі бола ма?
Шешуі:
және мәндерін берілген дифференциалдық теңдеуге қоямыз:

.
Соңында тепе - теңдігін аламыз.
Олай болса, функциясы теңдеудің шешуі болады.
Дифференциалдық теңдеулер
Тәуелсіз айнымалы х, ізделінді функция у=у(х) және оның у',...,у(n) туындыларын байланыстыратын теңдеу дифференциалдық теңдеу (жай дифференциалдық теңдеу) деп аталады.
F(х,у,у',...,у(n))=0 (1)
Теңдеудің реті деп теңдеуге кіретін ізделінген функция туындыларының ең жоғарғы реті аталады. Егер ең жоғарғы ретті туынды шешілген болса, онда теңдеудің түрі
у(n)=f(х,у,у',...,у(n-1)) (2) болады.
(2)-теңдеу ең үлкен туындыға қатысты шешілген туынды деп аталады.
Жай дифференциалдық теңдеудің шешімі деп теңдеуді қанағаттандыратын у(х) функциясын айтады.
Дифференциалдық теңдеуінің шешімінің графигін интегралдық қисық деп атайды.
Дифференциалдық теңдеудің шешімін интегралдау арқылы табамыз.
Жалпы шешімі y=φ(x,C1, ...Сn) функциясы.
Жалпы интегралы F(x,C1, ...Сn)=0 функциясы.
Дербес шешімі жалпы шешімдегі тұрақты С санының белгілі бір мәнінде алынады.
Коши есебі. Берілген х=х0 болғанда у(х0)=у0, у'(х0)= у0',...,у(n[-1])(х0)=у0n[-1] болатын бастапқы шарттарды қанағаттандыратын функцияны табу Коши есебі аталады: ,
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу мына түрде беріледі: F(x,y,y')=0 немесе y'=f(x,y).
Жалпы шешімі y=φ(x,C), С=const.
Бірінші ретті теңдеуге Коши есебінің түрі: y'=f(х,у), у(х0)=у0..
Екінші ретті дифференциалдық теңдеу мына түрде беріледі: F(x,y,y', y'')=0 немесе у''=f(х,у, y').
Жалпы шешімі y=φ(x, C1, С2), C1, С2 - const.
Екінші ретті теңдеуге Коши есебінің түрі: у''=f(х,у,y'), у(х0)=у0, y'(х0)=у0'.

Мысалы:
Көрсетілген функция ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.