Туындысы бойынша функцияны табу жөніндегі есептер


Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 12 бет
Таңдаулыға:   

1. Туындысы бойынша функцияны табу жөніндегі есептер.

Біз берілген туындысы бойынша функцияның өзін табумен байланысты екі есептің шешімін таппақпыз.

1. Дененің қозғалыс заңы

S=f(t)

теңдеу арқылы берілген. Бұндағы t-уақыт, s-дененің жүрген жолы. Қарастырылып отырған қозғалыстың берілген мезгілдегі лездік жылдамдығы v :

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/25/original/027cafd44d7d53b4aac9050e27869995.jpg

формуласы бойынша анықталатыны дифференциалдық есептеуден белгілі болатын.

Ал механикада бұған кері есеппен тым жиі кездесуге тура келеді. Ондай есептер мына түрде болып келеді; дененің берілген t мезгіліндегі туындысы v=v(t) беріледі де, сол бойынша дененің қозғалу заңын табу, яғни өткен мерзім мен жүрген жол арасындағы тәуелділікті анықтау талап етіледі. Бұл есептің шешімі былай табылады:

Берілген жылдамдық v=v(t) дененің қозғалыс заңын бейнелейтін f(t) функциясының туындысы болатыны бізге белгілі, демек ізделіп отырған белгісіз функция f(t) -тің туындысы f’(t) =v(t) берілген. Бізден сол f(t) -ті табу талап етіледі. Демек, бұл есеп дифференциалдық есептеуде қарастырылған негізгі есепке кері есеп болып табылады. Басқаша айтқанда: дифференциалдық есептеуде функция беріліп, оның туындысын табу талап етілсе, енді туынды беріледі де, бастапқы функцияны табу етіледі.

2. [0, i ] кесіндісіне орналасқан дененің сол кесіндінің х нүктесіндегі http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/25/original/fdb4ae371e4f56097e0887f1a052a8ba.jpg сызықтық тығыздығы p :

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/25/original/9e0b301cac5cce910b6cf10c3755ed5b.jpg

функциясы түрінде беріледі. Енді сол дененің [ 0, i ] кесіндісінің [ 0, x ] бөлігіндегі тығыздығы m -ді табу керек. [ 0, x ] бөлігінің массасы - x- тің функциясы, яғни

m=f(x) .

Олай болса, массасын табу дегеніміз осы f(x) функциясын табу болып табылады.

x нүктесіндегі сызықтық тығыздық p:

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/25/original/4eb73122ca9bdd9a3eb674443d0070f0.jpg

формуласымен анықталады. Ендеше,

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/25/original/1f70e7ea4d818358ae21a200d1215baa.jpg

болады. Ал есептің шарты бойынша http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/25/original/e944fb2068e223d60f92139ddd003054.jpg - белгілі функция, демек берілген сызықтық тығыздығы бойынша дененің массасын табу дегеніміз берілген туынды f’(x) бойынша функция f(x) - ті табу жөніндегі мәселе болады.

2. Алғашқы функция ұғымы.

Ғылым мен техниканың түрлі-түрлі салаларындағы көптеген мәселелерді шешу туындысы берілген функцияны табуға әкеліп соқтырады. Сондықтан математикада жаңа бір операция, интегралдау операциясы қарастырылады. Ізделіп отырған F(x) функциясының берілген туындысы f(x) бойынша сол F(x) функциясын табу мәселесі тек интегралдау операциясының жәрдемімен шешіледі. Міне осы F(x) - ті берілген функция f(x) -тің алғашқы функциясы деп атайды.

Анықтама. Егер бір аралықтың әрбір нүктесінде функция F(x) үшін

dF(x) =f(x) dx

теңдігі орындалса , F(x) функциясы f(x) - тің сол аралықтағы алғашқы функциясы деп аталады.

Мысалы: F(x) =x 7 бүкіл сандар осі бойында f(x) =7x 6 функциясының алғашқы функциясы болады, өйткені х-тің кез келген мәнінде (x 7 ) ’=7x 6.

Ал функция F(x) =lnx функция f(x) = 1/x үшін алғашқы функция болады

өйткені

(lnx) ’=1/x

1-теорема. Егер F(x) функциясы белгілі бір аралықта f(x) -тің алғашқы функциясы болса,

F(x) +c

Функциясыда ( C- кез келген тұрақты) ол функция үшін сол аралықта алғашқы функция болады.

Дәлеледеу: F(x) функциясы f(x) -тің алғашқы функциясы. Олай болса,

F’(x) =f(x) .

Сонымен бірге

[F(x) +C] ’=f(x)

Демек F(x) +C функциясы да f(x) үшін алғашқы функция болады.

2 теорема. Берілген функцияның алғашқы функцияларының бір-бірінен айырмасы тұрақты шама болады.

Дәлелдеу. Егер берілген f(x) функциясының қандай да бір алғашқы функциясының F(x), ал, кез келген алғашқы функциясын http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/65e0c9d3a15f6999b4d0330d24696e53.jpg десек, онда мына шарттар орындалар еді:

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/0c0d8d6e03a34c7a0b3337c9cf4a299f.jpg

яғни алынған аралықта F(x) пен http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/cd25fc01f5c802bc437d4edfd402be0c.jpg функцияларының туындылары бірдей болады. Олай болса, http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/2f6b989f17211236cf33d26113e5889d.jpg айырымы тұрақты болуы тиіс, яғни: http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/4ecbbacfb4e8aac288adee14407d6d26.jpg

Бұдан http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/7c8cd4a8672c3c7d429ba9874e792ffa.jpg

Дәлелденген екі теоремадан мынадай қорытынды шығады: егер F(x) функциясы белгілі аралықта f(x) -тің алғашқы функцияларының бірі болса, оның барлық алғашқы функцияларының жиыны f(x) +С қосындысымен өрнектеледі. Қосындының геометриялық мағнасы: f(x) -тің алғашқы функциясы F(x) - тің графигін жоғары не төмен жылжыту арқылы кез келген алғашқы функцияның графигін сала аламыз (1 сызба) .

3. Анықталмаған интеграл ұғымы

F(x) функциясы дифференциалдау деп берілген алғашқы F(x) функциясының F’(x) = f(x) туындысын немесе df(x) =f(x) dx Дифференциалын табу амалын айтамыз.

Сол амалға кері амал, яғни F’(x) болып табылатын берілген f(x) үшін алғашқы F(x) функциясын табу амалы f(x) - ті интегралдау деп аталады .

f(x) - ті интегралдау амалын көрсету үшін http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/2141978e6e1b21bc0b15ded2b7cec269.jpg символы қолданылады да, былай жазылады:

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/773605e3161c101ade7f8fd8fb527a71.jpg

Осы http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/15b6d5260ad568f15f7c2bd6b290c988.jpg берілген f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын бейнелейді және f(x) - тен анықталмаған интеграл деп аталады.

Демек, анықтамаға сәйкес

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/c441e831e99020b3c829cb925d35f9f2.jpg

болады. Бұл формуладағы F(x) функциясы f(x) - тың белгілі бір алғашқы функциясы, С -кез келген тұрақты.

Сонымен бірге f(x) - интеграл астындағы функция, ал f(x) dx - интеграл астындағы өрнек деп аталады.

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/03290058d55f65d5e655064921d8f2ba.jpg - символы ұзартылып алынған латын алфавитіндегі S- әріпі, ол символды интегралдың белгісі деп атайды.

Функцияны интегралдау және олардың алғашқы функцияларының қаиеттері жайындағы ілім интегралдық есептеу деп аталады.

Дифференциалдық есептеу сияқты интегралдық есептеуде математикалық анализдің өте маңызды бөлімдерінің бірі болып табылды. 1-параграфта қарастырылған есептердің шешуін енді интеграл түрінде былай жазуға болады:

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/d131122fab67813436e74d2bdf089b1a.jpg

4. Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері

F’(x) =f(x) және http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/3ce432f9e501cbb73143dbad8604394d.jpg екенін ескере отырып анықталмаған интегралдың қасиеттерін қарастырамыз.

1. Дифференциалдың анықталмаған интегралы дифференциалдаған функция мен кез келген тұрақтының қосындысына тең, яғни http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/0d95f1dab7bcdeffa9712586d8f936dc.jpg
2. Анықталмаған интегралдың дифференциалын интеграл астындағы өрнекке тең, яғни http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/4c1593dc7aca33f4fd7fe1f1115e054a.jpg
3. Тұрақты көбейткішті интегралдық белгінің алдына шығаруға да, интегралдық белгінің астына алып баруға да болады, яғни http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/e85af873757d636777861d7265ca522b.jpg
4. Бірнеше функциялардың алгебралық қосындының анықталмаған интегралы қосылғыштардан алынған анықталмаған интегралдардың алгебралық қосындысына тең, яғни

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/ac1e79eac8292ac97261ed4e4007fe98.jpg

5. Анықталмаған интегралдың негізгі таблицасы

Егер u аргумент х-тің белгілі бір аралықтағы дифференциалданатын функциясы болса, берілген дифференциалдық есептеудің формулаларын пайдаланып, анықталмаған интегралдың ішіндегі негізгілерінің таблицасын жасауға болады. Бұл таблицаға енетін әрбір формуланың дұрыстығын дифференциалдау арқылы дәлелдеп көрсетуге болады.

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/1f3cf8c97afefbc8c76963fbf9836be6.jpg

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/0f770560d30387df5d13e3e1dc60a6c0.jpg

Осы көрсетілген форуларды пайдаланып функцияның анықталмаған интегралын табуға мысалдар қарастырайық:

1. http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/f2c3f64522c63ca0f25ce5e9fb530d75.jpg интегралын есептеу керек.

Шешуі. (3) формула бойынша

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/388ef075ffbc9799372ecb2f23352bc8.jpg

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/91b424a8b44c0ac5338bb94c44cef580.jpg

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/0627607b20af82a647f799359d19fd8b.jpg интегралын табу керек.

Шешуі: Интеграл астындағы өрнекті жақшаны ашып мына түрге келтіреміз:

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/3db7f062e33e667e6633dfb6d3f1be3e.jpg

Қосындының интегралын интегралдардың қосындысымен ауыстырсақ,

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/7c7982d2f36243f0dc8060ecfeb18880.jpg болады

Үшінші интегралдағы тұрақты көбейткішті интеграл табысының алдына шығарсақ,

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/8ce752820ce2dede0c708e9781d4f942.jpg түрге келеді

(2) және (3) формулаларды қолдансақ

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/e05f0484665c43edb5c2e8a9f29babde.jpg

4. http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/46eecdda345e30ddccc7277b77c54da3.jpg интегралын табу керек

Шешуі: Бөлшектің алымын бөліміне мүшелеп бөліп, алдыңғы мысалдағыдай есептейміз

http://bilim-all.kz/uploads/images/2017/04/26/original/0555cbef3fc01cb14c9575b17b001273.jpg

Берілген интегралды интенгралдардың қосындысына келтіріп интегралдау қосындысына келтіріп интегралдау әдісін жіктеу әдісі деп атайды.

1. 3 Типтік нұсқалардың кейбіреулерінің шешіміне талдау жасау

1. http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image723.gif функциясының бейнесін дифференциалдау теоремасын қолдану арқылы табу керек.

Шешуі:

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image724.gif .

Түпнұсқаны дифференциалдау теоремасы бойынша

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image725.gif

Сондықтан

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image726.gif

2. http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image727.gif бұл http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image412.gif функциясының бейнесін анықтайтын формула немесе Лаплас түрлендіруі деп аталады. Осы анықтаманы пайдаланып, http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image728.gif функцияның бейнесін табу керек.

Шешуі:

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image729.gif

3. http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image730.gif функцияның бейнесін табу керек.

Шешуі:

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image731.gif .

4. Берілген http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image732.gif бейнесі бойынша http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image412.gif түпнұсқасын табу керек.

Шешуі:

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image733.gif

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image734.gif

Демек,

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image735.gif

5. Берілген бейнесі бойынша http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image412.gif түпнұсқасын табу керек

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image736.gif

Шешуі: Түпнұсқаны интегралдау теоремасын пайдаланамыз:
http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image224.gif http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image737.gif .

6. Дифференциалдау теоремасын пайдаланып, берілген функцияның бейнесін табу керек http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image738.gif .

Шешуі:

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image739.gif

Егер http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image740.gif .

7. http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image741.gif функциясының бейнесін табу керек.

Шешуі:

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image742.gif

8. http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image743.gif интегралын есептеу керек.

Шешуі:

http://libr.aues.kz/facultet/frts/kaf_vm/12/umm/vm_8.files/image744.gif

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Тригонометриялық функцияның туындысы
Орта мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі
Математикадағы дифференциалдық есептеулер элементтері
СӨЖ орындауға арналған әдістемелік нұсқау
Рационал функцияларды интегралдау жолдары
Туынды ұғымы
Қарапайым рационал бөлшек функцияларды интегралдау
Функция туындысын теңсіздіктер дәлелдеуде қолдану
Жоғары ретті дифференциалдық операторлар қатысқан шеттік есептердің шешілімділігін зерттеу
Зерттеу пәні - шамалардың шамадан тыс шамаларын табу және оларды шешу әдістері
Пәндер



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz