Экономикалық-математикалық модельдердің жалпы мәселелері
ЖОСПАР
КІРІСПЕ
К. Маркстің «Ғылым математиканы пайдалануға мүмкіндігі болса кемелдікке жетеді» - деген тезисінің әділдігі күннен-күнге дәлелдене түсуде. Математикалың әдістер мен компьютерлік технологиялар нарықтың даму жағдайында жоспарлау мен жедел басқару мақсаттары үшін экономикалық зерттеулердің күнделікті әрекетіне ойдағыдай кірігуі - бүгінгі күн тіршілігінің шынайы көрінісі.
Қазақстанда жүргізлеетін макроэкономикалық саясатты, белең алған макро-микроэкономикалық үдерістердің теориялық мәнін түсіну және сонымен бірге математикалық, ақпараттың модельдеу тұтастай білім беру бағытында да (жоғары оқу орындарында), сонымен бірге экономистердің айтарлықтай бөлігін арнайы даярлауды сөзсіз қажет етеді.
Президент Н. Ә. Назарбаев Л. Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетіндегі өз лекциясында: «Талдаудың математикалық әдісттрін инженерлер, экономистер, заңгерлер, құрылысшылар, мемлекет қайраткерлерінің барлығы да игеруге тиіс» деп ерекше атап өтті.
Қазіргі таңда математикалық әдістер қайсыбір дәрежеде пайдаланылмайтын адамзат тіршілігінің саласын табу қиын. Экономикалық қызмет те осыны дәлелдейді. Алайда осы күнге дейін экономикалық үдерістерді модельдеу саласында айтарлықтай табысқа жету байқалмайды.
Біздің ойымызша, осы жағдайды төмендегі себептермен түсіндіруге болады:
- Экономикалық үдерістер әжептәуір шамада ретсіз, басқарусыз өрбиді. Олар саяси, мемлекеттік және жекелеген салалардың шаруашылық басшыларының тарапынан ел экономикасын тұтастай жігерлі басқару әрекетіне бағынбайды. Осы себептен экономикалық жүйелер нашар зерттеліп, формалы түрде сипатталған.
- Экономика саласы мамандарының, әдетте, математикалықжалпы, атап айтқанда, математикалақ модельдеу мәселелері бойынша даярлығы нашар. Олардың басым көпшілігі қадағаланатын экономикалық үдерістерді нысандандырылған түрде сипаттай (нысан құра) алмайды. Осының салдарынан қарастыратын экономикалық жүйе сол немесе басқа математикалық моделъдің сәйкестігін анықтауға мүмкіндік бермейді.
Математикалық модельдеу саласындағы мамандардың қолында экономикалық үдерістің нысандандырылған сипаты болмағандықтан олар оған сәйкес математикалық модель құра алмайды.
Симплекс әдісі
Сызықтық бағдарлама есебінің оңтайлы шешімдері көпбұрыштың бұрыштық нүетелерімен байланысты. Егер айнымалалар саны n=50, теңсіздіктер саны m=25 болса, онда базистік жоспарлар саны 10 14 болады. Сонда м және н үлкен сан болса, онда барлық негізге алынатын жоспарларды іріктей отырып, оңтайлыны табу өте көп есептеуді қажет етеді. Сондықтан бір негізге алынатын жоспардан екіншіге ауысуға мүмкіндік беретін әдіс болуға тиіс. Осындай әдіс симплекс әдісі деп аталады. Есептеулердің әрқайсысында осы функцияның өткен жоспардағы мәнімен салыстырғанда мақсатты функциядан кем немесе артық мәніне сәйкес келетін жаңа жоспар табылды. Есептеулерді оңтайлы жоспар алынғанға дейін жалғасады. Егер мәселенің оңтайлы шешімі болмаса, онда симплексті әдіс оны есептеу кезеңінде анықтауға мүмкіндік береді.
Алғашқы жоспар құру. Сызықтық бағдарлама есебі қойылған болсын. Төмендегі функцияның барынша аз мәнін табу қажет.
F=C 1 X 1 + C 2 X 2 +… +C n X n (5. 1)
мына шектеулерде
а 11 х 1 + а 21 х 2 + . . . +а 1n хn=В 1
а 21 х 1 + а 22 х 2 + . . . +а 2n хn=В 2
. . . (5. 2)
а m1 х 1 + а m2 х 2 + . . . +а mn х n =В m
мұнда,
х j >=0, (i=1, 2, …, m) . (5. 3)
Шектеу жүйесінің m бірлік векторлары болсын деп ұйғарсақ, онда ол алғашқы m векторлар болады. Осыдан (5. 1) - (5. 3) есепті алғашқы m векторларға сәйкес түрлендіріп жазамыз:
F=C 1 X 1 + C 2 X 2 +… +C n X n, (5. 4)
мына шектеулерде
X 1 +a 1 1 , m+1 X m+1 +a 1 1 , m+2 X m+2 +…+a 1 1. n x n =B 1 1
X 2 +a 2 , m+1 X m+1 +a 2 , m+2 X m+2 +…+a 1 2. n x n =B 1 2 (5. 5)
X m +a 1 m , m+1 X m+1 +a 1 m , m+2 X m+2 +…+a 1 m. n x n =B 1 m
х j >=0, j=1, 2, …, n. (5. 6)
Жүйені (5, 5) векторлық формада жазамыз:
x 1 A 1 +x 2 A 2 +…+x m A m +x m+1 A m+1 +x n A n =B (5. 7)
А 1 , А 2 , . . . , А m векторлар - m өлшемді кеңістіктің сызықтық тәуелсіз бірлік векторлары. Сондықтан (5. 7) өрнекте базистік айнымалылар ретінде x 1, x 2, …, x m. Ал еркін айнымалылар ретінде x m+1, x m+2, …, x n таңдаймыз, оларды нөлге теңестіріп, базистік айнымалыларды анықтаймыз. Мұнда в і >=0 (і=1, 2, . . . m), ал А 1 , А 2 , . . . , А m бірлік векторлар екенін ескерсек, онда алғашқы жоспарды аламыз:
Х о =(х 1 =в 1 ; х 2 =в 2 ; . . . х m =в m ; х m+1 =0; . . . х n =0) (5. 8)
Жоғарыдағы (5. 7) -ден (5. 8) жоспарды ескерсек, төмендегі жіктеу шығады:
x 1 А 1 +х 2 А 2 + . . . + х m , А m = В, (5. 9)
мұнда А 1 , А 2 , . . . А m векторлар сызықтық тәуелсіз, демек, құрылған жоспар базис болып табылады.
1-анықтама. Еркін белгісіздердің нөл мағыналарына сәйкес келетін шектеулер жүйесінің (5. 2) шешімі базистік деп аталады.
Бастапқы негізге алынатын жоспарға (5. 9) сүйене отырып, екінші негізге алынатын жоспарды қалай құруға болатынын қарастырамыз. Базиске кірмейтін кейбір вектор үшін, мысалы А m+1 , жіктеудегі х і, m+1 коэффициенттердің ең болмағанда біреуі оң болады деп ұйғарамыз.
Х 1, m+1 А 1 +Х 2 , m+1 А 2 + . . . + Х m, m+1 А m =А m+1
Жүйенің оң жағы В бөлікті осы айнымалының оң коэффициенттеріне, яғни В і /а іm+1 бөлеміз. Сөйтіп, х m+1 векторы жоспар немесе жаңа базис болып табылады. Есептің m-нен асатын базисі болмайды, сондықтан қазіргі бар базистің біреуін алып тастаймыз. Ол үшін Q=min(в і /а i, m+1 ) . таңдаймыз. Осы ең кіші мәні бірінші жолда тұрсын, яғни Q 1 =min (в і /а 1, m+1 ) . Сонда жаңа базистік шешім аламыз Х=( x 2 , х з , . . . х m , х m+1 ) . Бұл базистен Х 1 алып тастау, ал базиске х m+1 енгізу қажет екенін білдіреді. Демек, негізге алынатын жаңа жоспарларды таңдау үшін, базистен шығарылатын және оның орнына базиске енгізілетін айнымалының векторын таңдау кажет.
Оңтайлылық талаптары. СБ есебінің базистік шешімі бар деп ұйғарамыз. Бұл жағдайда есептің математикалық формасы төмендегідей болады:
x 1 А 1+х2 А 2 + . . . + х m А m = В, (5. 10)
х 1 С 1 +х 2 С 2 + . . . + х m С m = Ғ, (5. 11)
мұнда барлық х j >=0, j=1, 2, . . . , n., ал Ғ-осы жоспарға сәйкес келетін функцияның мәні. Егер сызықтык функциядағы С j коэффициенті А j векторға сәйкес келсе, онда Ғ j -С j - оңтайлылық өлшемі немесе сызықтық функцияның бағасы деп аталады.
Оңтайлылық өлшемі бағдарламадан шығарылатын қызметтің құнының сомасына тең болады, одан жоспарға енгізілетін өнімнің бірлігінен түсетін кіріс алынып тасталады. Ғ j - мақсат функциясының коэффициенттерін шектеулердегі айнымалылардың коэффициенттеріне көбейтіндісінің қосындысына, яғни,
c j - мақсат функциясының белгісіздер коэффициенттері. Төмендегі теоремалар орын алады.
1-теорема. Егер кейбір А j векторы үшін төмендегі талап орындалса,
F j -C j >=0,
онда Х о жоспары функцияның максимумы үшін оңтайлы болып табылады.
2-теорема. Егер кейбір А j векторы үшін төмендегі талап орындалса, онда Х о жоспары функцияның минимумы үшін оңтайлы болып табылады. Демек, сызықтық функцияның максимумына сәйкес есептің жоспары оңтайлы болу үшін оның бағалары оң болуы қажетті әрі жеткілікті болады. Ал функцияның минимумы үшін оның бағалары теріс болуы қажетті әрі жеткілікті болады.
Сөйтіп, мәселені симплекс әдіспен шешу мына сызба бойынша жүргізіледі:
1) базистік шешім құрылады; 2) осы базистік шешім оңтайлылық шартына тексеріледі; 3) егер шарт орындалмаса, онда келесі базистік шешім құрылады да екінші тармаққа көшеді; 4) оңтайлылық талабы орындалғанға дейін есептеулер кайталанады.
Осы әдіспен есептеулер қайталана отырып, іріктеу нәтижесінде ең жақсы, яғни оңтайлы шешім табуға болатыны дәлелденген.
Симплекс әдісі алгоритмі
Симплекс әдістің кестедегі алгоритмін қарастырайық. Есепті максимумға қарастырамыз.
Симплекс-кесте
1. Алғашқы базистік жоспарды құру.
Симплекс әдіспен шешілетін есептің шектеулер жүйесі <= таңбасымен теңсіздіктер жүйесінде берілген, оның оң жағы b i >=0. Теңсіздіктер жүйесіне оң қосымша айнымалылар енгізу арқылы теңдеулер жүйесіне көшеміз. Осы айнымалылардың баған векторлары бірлік векторлар болып табылады және базис құрайды, сонымен бірге оларға сәйкес келетін айнымалылар базистік деп аталады:
Мұнда х n+I - базистік айнымалылар, х j - еркін айнымалылар.
Енді симплекс әдісінің орындалу ретін(алгоритмін) кестеде қарастырайық.
1) Симплекс кесте құрамыз. Кесте шектеулер жүйесі коэффициенттерінен және оң жағынан тұрады. Кестенің соңғы жолы индекстік деп аталады және мақсат функциясының қарама - қарсы таңбаларымен алынған коэффициенттерімен толтырылады.
2) Оңтайлылықты тексеру. Индекстік жолда теріс санның бар-жоғын анықтаймыз. Егер теріс сан болмаса, онда табылған негізге алынатын жоспар функцияның максимумына сәйкес оңтайлы шешімі болып табылады. Егер индекстік жолда теріс сандар болса, онда осы кестедегі айнымалылар есептің оңтайлы шешімі емес немесе алгоритмнің келесі кезеңіне көшеміз.
3) Бағыттаушы баған мен жолды анықтау. Бағыттаушы баған мен жолды табамыз. Бағыттаушы баған индекстік жолдың теріс санының барынша көп абсолюттік мөлшері бойынша, ал бағыттаушы жол - бос мүшелер векторы бағанының элементтерін бағыттаушы бағанның оң элементтеріне min(b i /a ir ) қатынастарының барынша аз абсолюттік мөлшерімен анықталады. Бағыттаушы баған мен жол түйіскен жерде бас элемент орналасқан.
4) Жаңа негізге алынатын жоспар кұру. Бағыт беруші жол мен бағанға сәйкес келетін белгісіз айнымалылардың орны ауыстырылады. Мұнда базистік айнымалы еркін айнымалы болады және керісінше. і жолда және j бағанда орналасқан элементтің (Э н ) жаңа мәні элементтің (Э с ) ескі мәнінен j баған мен бағыттаушы жол (Э 1 ) түйіскен жерде орналасқан Элементті і жол мен бағыттаушы баған түйіскен жерде орналасқан элементке (Э 2 ) көбейтіп, бас элементке (Э г ) бөліп алып тастағанға тең болады. Бұл тікбұрыш ережесі деп аталады:
Э н =Э с -
5) Немесе төмендегі формулалар бойынша:
В 1 = (в і -(в г /а rk ) а іk болса і r ; b r /а rk болса і=r) (5. 12)
а' ij = (аi j -/а rj /a rk ) а іk болса і=r ; а rj /а rk болса і=r) (5. 13)
Ғ 'о =Ғ о - (b г rа rk ) k ; j =А, - (а rі /а rk ) k (5. 14)
Барлық осы сандар жаңа симплекс кестеде жазылады.
6) Табылған жаңа базистің оңтайлылығын тексеру. Егер жоспар оңтайлы болмай, жаңа оңтайлы жоспарға көшу қажет болса, онда 4) кезеңге қайта оралады, ал оңтайлы жоспар алынған жағдайда, есептің шешімі қабылданады.
СИМПЛЕКС ӘДІСІМЕН ЕСЕП ШЫҒАРУ
Симплекстік әдіс сызықтық бағдарламалау есептерін шешудің әмбебап әдісі болып табылады. Сызықтық бағдарламау есебін карастырайық.
Есеп. Еңбек ресурстарының мына мөлшері, яғни 2700 адам күн, 1200 га мөлшеріндегі минералды тыңайтқыш және осы дақылдарға арналған 580 га егістігі бар ауыл шаруашылығы кәсіпорнының бөлімшесіндегі дәнді дақыл, қант қызылшасы мен күнбағыс егістіктерінің көлемін анықтау қажет.
Есептің мақсаты. Дәнді дақылдардың, қант қызылшасының және күнбағыс егістіктерінің қандай үйлесімі фермерге пайда әкелетінін анықтау қажет.
Есептің шешуі. Бастапқы деректер 1-кестеде келтірілген.
1-кесте
Дәнді дақылдар
Қызылша
Күнбағыс
1
20
0, 9
1, 7
4
1, 6
200
350
300
Есептің шешімі экономикалық - математикалық модельді құрудан басталады. Бұл үшін экономикалық терминдерде қалыптастырылған есептің шартын математикалық формада жазамыз. Төмендегі белгілерді енгіземіз:
Х 1 -дәнді дақылға бөленген егістік көлемі, га
Х 2 -қызылшаға бөлінген егістік көлемі, га
Х 3 -күнбағысқа бөлінген егістік көлемі, га
Шектеулер жүйесі шартқа негізделіп жазылады, оған сәйкес ресурстардың әрбір түрі бойынша шығындар осы ресурстардың қолда бар қорынан аспауға тиіс.
Мақсат функциясы ауыл шаруашылығы дақылдарын сатудан түсетін жалпы пайданың максимумы болып табылады.
Z min =200Х 1 +350Х 2 +300Х 3 , (5. 16)
сондай-ақ мәселенің экономикалық мағынасынан олардың айнымалылардың теріс емес шарты керсетіледі, яғни,
Х, 0, Х2 0, Х3 (5. 17)
Шектеулер жүйесіне (5. 15) -(5. 17) теріс емес қосымша айнымалылар енгізе отырып, канондық түрге айналдырамыз
(5. 18)
Х 4 , Х 5 , Х 6 қосымша айнымалылар - егістіктің (Х 4 ), еңбек ресурстарының (Х5) және тыңайтқыштардың (Х6) экономикалық жағынан сәйкес толықтай пайдаланбағанын білдіреді.
Толықтай пайдаланылмаған ресурстар ешқандай кіріс әкелмейді және сондықтан қосымша айнымалылар мақсат функцияға нөлдік коэффициенттермен енгізіледі:
Z mах =200Х 1 +350Х 2 +300Х з +0Х 4 +0Х 5 +0Х 6
Симплекс әдіс бірінші (бастапқы) базистік шешімді тапқанда да, сондай-ақ басқа базистік шешімдерге көшкенде де белгілі алгоритм қолданылады.
Оның идеясы мынада. Канондық формадағы шектеулер жүйесінде осы жүйенің кез келген базистік шешімін кайткенде де қарапайым түрде табуды ғана ойластыра отырып табады. Осы шешімнің оңтайлылығы тексеріледі. Егер ол оңтайлы болмаса, онда басқа базистік шешімге көшу жүзеге асырылады. Симплекс әдіс осы жаңа шешімде максат функция оптимумға жетпесе де оған жақындайтынына кепілдік береді. Жаңа базистік шешіммен оңтайлы шешім табылғанға дейін дәл осындай есептеулер жасайды.
Қарастырылған есептің бірінші базистік шешімін табамыз. Нөлге тең 6-3=3 айнымалысы бар шешімді табу қажет. Қосымша айнымалылардың коэффициенттері бірлік матрица құрайтынына назар аударамыз. Сондықтан негізгі айнымалылардың мәндерін нөлге тең (х 1 =0, х 2 =0, х 3 =0) деп қабылдасақ, онда бірінші базистік жоспарды аламыз: х 4 =580, х 5 =2700, х 6 =1200, Ғ=0.
Осы жоспар өнім шығарылмайтын, ресурстар пайдаланылмайтын және пайданың мөлшері нөлге тең жағдайға сәйкес келеді. Бұдан жоспардың пайдасыз екені анық көрінеді. Пайда алу үшін жоспарға қосымшалардың орнына оңтайлы шешім алынғанға дейін негізгі айнымалыларды енгізу қажет.
Есептеулер жүргізуге қолайлы болу үшін есептің моделі кестеде біршама өзгертілген түрде ұсынылған. Одан арғы шешімді 2-кесте түрінде ұсынамыз.
2-кесте
Симплекс кестеде базистік айнымалылардың арнайы бағаны енгізіледі және теңдеулердің бос мүшелері коэффициенттер матрицасынан солға қарай жазылады. Бұл базистік жоспарды оқығанда қолайлы болады. Бірінші симплекстік кестені толтыру тәртібін қарастырайық.
Бірінші кесте есептің моделі жазылған канондық формадан тікелей алынған. Кестенің әрбір жолы жүйенің бір теңдеуіне сәйкес келеді. Мақсат функцияның соңғы жолы мақсатты функция барлық мүшелері сол жаққа ауыстырылып, төмендегі теңдеу формасында жазылуына сэйкес келеді:
Ғ - 200х 1 , - 350х 2 - З00х з - 0х 4 - 0х 5 - 0х 6 =0
Соңғы жол бағалау немесе индекстік болып табылады. Екінші бағанда базистік айнымалылардың атаулары жазылады. Үшінші бағанда базистік айнымалылардың өздері, яғни жоспардың өзі орналасады. Негізгі айнымалылардың коэффициенттері - ресурстар шығынының нормасы. Қосымша айнымалылардың коэффициенттері бірлік матрица құрайды. Базиске кіретін айнымалыларға коэффициенттер матрицасында әрқашан баған векторлар сәйкес келетінін атап өту қажет.
Есеп максимумге шешкенде индекстік жолда теріс сандардың болмауы жоспардың оңтайлылығының белгісі болып табылады. Ал есеп минимумге шешкенде индекстік жолда оң сандар болмауға тиіс.
Бірінші симплекс кестенің индекстік жолында теріс коэффициенттер бар. Демек, жоспар оңтайлы емес, оны жақсарту қажет.
Жаңа базистік жоспарға көшу симплекстік жаңарту деп аталады.
Есеп максимумге шешілгендіктен, дақылдар егістігінің жоспарына барынша көп пайда түсіретін дақылдарды енгізген орынды. Бүл үшін индекстік жолда абсолюттік шамасы бойынша барынша үлкен теріс санды табамыз. Бұл сан - 350 жэне ол х 2 бағанда орналасқан. Ол егістік жоспарына қызылшаны енгізу 1 га-дан 350 теңге пайда түсетінін көрсетеді. Базиске енгізу қажет х 2 айнымалы бар баған бағыттаушы (рұқсат беруші, жетекші, бас, негізгі, өзекті және т. б. ) деп аталады.
Енді қызылшаның егістігі қандай көлемде қарастырылуы мүмкін екенін анықгау қажет. Бұл ресурстар мөлшері мен шығын нормативіне байланысты болады. Бос мүше бағанын (ресурстар көлемі) бағыттаушы бағанның сәйкес оң коэффициенттеріне бөлеміз:
580/1=580га; 2700/20=135 га; 1200/4=300 га. (5. 19)
Қатынастар (5. 19) симплексті деп аталады. Олардың барынша аз шамасы қызылшаның егістігін 135 га-дан аспайтын мөлшерде жоспарлауға болатынын көрсетеді. Еңбек ресурстары қызылша егістігінің мөлшерін шектейтін «осал» жері болып табылады.
х 2 айнымалыны базистік айнымалының бірі нөлге тең болатындай етіп жоспарлау қажет (базистен х2-ге орын босату керек) .
Егер 135 га қызылша егілсе, онда еңбек ресурстары толықтай пайдаланылады, х 5 нөлге теңеледі және оны базистен шығару қажет. Сөйтіп, барынша аз симплекстік арақатынас еркін болатын айнымалыны анықтаймыз. Оған сәйкес жол бағыттаушы деп аталады. Олардың түйісуіндегі элемент бағыттаушы деп аталады. Кестеде ол ерекшеленеді.
Енді екінші симплекс кестені, яғни екінші базистік жоспар құруға көшеміз. Басында х 5 орнына базистік айнымалылар қатарына х 2 енгіземіз, ал қалған базистік айнымалылар өзгермейді. Жоспардың жаңа нұсқасына көшкенде базиске тек қана бір айнымалыны енгізуге және оған сэйкес біреуін шығаруға болады.
Теңдеулер жүйесін енгізілетін х 2 айнымалының бірлік баған векторы болатындай етіп түрлендіру қажет. Бұл үшін алдымен енгізілетін айнымалының жолын былай есептейміз. Ол бірінші симплекс кестенің бағыттаушы жолынан оның барлық элементтерін бағыттаушы элементке, яғни 20 санына бөлу аркылы алынады.
Қалған жолдарды бағыттаушы бағанның торларында нөлдер пайда болатындай етіп түрлендіру кажет. Яғни жүйенің басқа теңдеулерінен х 2 алып тастау қажет. Бұған Гаустың әдісімен қол жеткізуге болады. Бірінші симплекс кестенің әрбір жолына бағыттаушы бағанның торында нөл пайда болатындай санға көбейтіліп алынған жолды қосу қажет. Сөйтіп, бірінші кесте екінші үшін есептік база, екінші - үшінші үшін және т. б. болып табылады, кейінгі кесте алдыңғы кестенің негізінде есептеледі. Кейінгі кестені есептеу және толтыру әрқашан алдыңғы кестедегі бағыттаушы жолға сәйкес келетін жолдан басталады, сондықтан ол кейбірде бастауыш деп аталады. Мысалы, х 2 жолды толтырамыз, осы жолдың коэффициенттері алдыңғы кестенің әрбір элементін бағыттаушы элементке бөлу арқылы анықталады.
2700:20=135; 1:20=0, 05; 20:20=1; 0, 9:20=4, 045; 0:20=0; 1:20=0, 05; 0:20=0.
... жалғасыСіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz