Экономикалық-математикалық модельдердің жалпы мәселелері

Жұмыс түрі: Реферат
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 18 бет
Таңдаулыға:

ЖОСПАР

І.
Кіріспе

ІІ.
Негізгі бөлім

2.1.Симплекс әдісі

2.2.Симплекс әдісімен есеп шығару

2.3.Жасанды базисі бар симплекс әдісі

2.4.Экономикалық-математикалық модельдердің жалпы мәселелері

ІІІ.
Қорытынды

ІV.
Пайдаланылған әдебиеттер

КІРІСПЕ
К. Маркстің Ғылым математиканы пайдалануға мүмкіндігі болса кемелдікке жетеді - деген тезисінің әділдігі күннен-күнге дәлелдене түсуде. Математикалың әдістер мен компьютерлік технологиялар нарықтың даму жағдайында жоспарлау мен жедел басқару мақсаттары үшін экономикалық зерттеулердің күнделікті әрекетіне ойдағыдай кірігуі - бүгінгі күн тіршілігінің шынайы көрінісі.
Қазақстанда жүргізлеетін макроэкономикалық саясатты, белең алған макро-микроэкономикалық үдерістердің теориялық мәнін түсіну және сонымен бірге математикалық, ақпараттың модельдеу тұтастай білім беру бағытында да (жоғары оқу орындарында), сонымен бірге экономистердің айтарлықтай бөлігін арнайы даярлауды сөзсіз қажет етеді.
Президент Н.Ә. Назарбаев Л.Н. Гумилев атындағы Еуразия ұлттық университетіндегі өз лекциясында: Талдаудың математикалық әдісттрін инженерлер, экономистер, заңгерлер, құрылысшылар, мемлекет қайраткерлерінің барлығы да игеруге тиіс деп ерекше атап өтті.
Қазіргі таңда математикалық әдістер қайсыбір дәрежеде пайдаланылмайтын адамзат тіршілігінің саласын табу қиын. Экономикалық қызмет те осыны дәлелдейді. Алайда осы күнге дейін экономикалық үдерістерді модельдеу саласында айтарлықтай табысқа жету байқалмайды.
Біздің ойымызша, осы жағдайды төмендегі себептермен түсіндіруге болады:
1. Экономикалық үдерістер әжептәуір шамада ретсіз, басқарусыз өрбиді. Олар саяси, мемлекеттік және жекелеген салалардың шаруашылық басшыларының тарапынан ел экономикасын тұтастай жігерлі басқару әрекетіне бағынбайды. Осы себептен экономикалық жүйелер нашар зерттеліп, формалы түрде сипатталған.
2. Экономика саласы мамандарының, әдетте, математикалық
жалпы, атап айтқанда, математикалақ модельдеу мәселелері бойынша даярлығы нашар. Олардың басым көпшілігі қадағаланатын экономикалық үдерістерді нысандандырылған түрде сипаттай (нысан құра) алмайды. Осының салдарынан қарастыратын экономикалық жүйе сол немесе басқа математикалық моделъдің сәйкестігін анықтауға мүмкіндік бермейді.
Математикалық модельдеу саласындағы мамандардың қолында экономикалық үдерістің нысандандырылған сипаты болмағандықтан олар оған сәйкес математикалық модель құра алмайды.

Симплекс әдісі
Сызықтық бағдарлама есебінің оңтайлы шешімдері көпбұрыштың бұрыштық нүетелерімен байланысты. Егер айнымалалар саны n=50,теңсіздіктер саны m=25 болса, онда базистік жоспарлар саны 1014 болады. Сонда м және н үлкен сан болса, онда барлық негізге алынатын жоспарларды іріктей отырып, оңтайлыны табу өте көп есептеуді қажет етеді. Сондықтан бір негізге алынатын жоспардан екіншіге ауысуға мүмкіндік беретін әдіс болуға тиіс. Осындай әдіс симплекс әдісі деп аталады. Есептеулердің әрқайсысында осы функцияның өткен жоспардағы мәнімен салыстырғанда мақсатты функциядан кем немесе артық мәніне сәйкес келетін жаңа жоспар табылды. Есептеулерді оңтайлы жоспар алынғанға дейін жалғасады. Егер мәселенің оңтайлы шешімі болмаса, онда симплексті әдіс оны есептеу кезеңінде анықтауға мүмкіндік береді.
Алғашқы жоспар құру. Сызықтық бағдарлама есебі қойылған болсын. Төмендегі функцияның барынша аз мәнін табу қажет.
F=C1X1+ C2X2+... +CnXn (5.1)
мына шектеулерде

а11х1+ а21х2+... +а1nхn=В1
а21х1+ а22х2+... +а2nхn=В2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (5.2)
аm1х1+ аm2х2+... +аmnхn=Вm
мұнда,
хj=0, (i=1,2,...,m). (5.3)
Шектеу жүйесінің m бірлік векторлары болсын деп ұйғарсақ, онда ол алғашқы m векторлар болады. Осыдан (5.1) - (5.3) есепті алғашқы m векторларға сәйкес түрлендіріп жазамыз:
F=C1X1+ C2X2+... +CnXn , (5.4)
мына шектеулерде
X1+a11,m+1Xm+1+a11,m+2Xm+2+...+a11. nxn=B11

X2+a2,m+1Xm+1+a2,m+2Xm+2+...+a[1]2. nxn=B[1]2 (5.5)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Xm+a[1]m,m+1Xm+1+a[1]m,m+2Xm+2+...+ a[1]m.nxn=B[1]m
хj=0, j=1,2,...,n. (5.6)

Жүйені (5,5) векторлық формада жазамыз:
x1A1+x2A2+...+xmAm+xm+1Am+1+xnAn=B (5.7)

А1, А2,...,Аm векторлар - m өлшемді кеңістіктің сызықтық тәуелсіз бірлік векторлары. Сондықтан (5.7) өрнекте базистік айнымалылар ретінде x1,x2,...,xm. Ал еркін айнымалылар ретінде xm+1,xm+2,...,xn таңдаймыз, оларды нөлге теңестіріп, базистік айнымалыларды анықтаймыз. Мұнда ві=0 (і=1,2,... m), ал А1, А2,..., Аm бірлік векторлар екенін ескерсек, онда алғашқы жоспарды аламыз:
Хо=(х1=в1; х2=в2; ... хm=вm; хm+1=0; ... хn=0) (5.8)
Жоғарыдағы (5.7)-ден (5.8) жоспарды ескерсек, төмендегі жіктеу шығады:
x1А1+х2А2+... + хm,Аm = В, (5.9)
мұнда А1, А2, ...А m векторлар сызықтық тәуелсіз, демек, құрылған жоспар базис болып табылады.
1-анықтама. Еркін белгісіздердің нөл мағыналарына сәйкес келетін шектеулер жүйесінің (5.2) шешімі базистік деп аталады.
Бастапқы негізге алынатын жоспарға (5.9) сүйене отырып, екінші негізге алынатын жоспарды қалай құруға болатынын қарастырамыз. Базиске кірмейтін кейбір вектор үшін, мысалы Аm+1, жіктеудегі хі,m+1 коэффициенттердің ең болмағанда біреуі оң болады деп ұйғарамыз.
Х1,m+1А1+Х2,m+1А2+... + Хm,m+1Аm =Аm+1
Жүйенің оң жағы В бөлікті осы айнымалының оң коэффициенттеріне, яғни Віаіm+1 бөлеміз. Сөйтіп, хm+1 векторы жоспар немесе жаңа базис болып табылады. Есептің m-нен асатын базисі болмайды, сондықтан қазіргі бар базистің біреуін алып тастаймыз. Ол үшін Q=min(віаi,m+1). таңдаймыз. Осы ең кіші мәні бірінші жолда тұрсын, яғни Q1=min (віа1,m+1). Сонда жаңа базистік шешім аламыз Х=( x2, хз,...хm,хm+1). Бұл базистен Х1 алып тастау, ал базиске хm+1 енгізу қажет екенін білдіреді. Демек, негізге алынатын жаңа жоспарларды таңдау үшін, базистен шығарылатын және оның орнына базиске енгізілетін айнымалының векторын таңдау кажет.
Оңтайлылық талаптары. СБ есебінің базистік шешімі бар деп ұйғарамыз. Бұл жағдайда есептің математикалық формасы төмендегідей болады:
x1 А1+х2А2+... + хmАm = В, (5.10)
х1С1+х2С2+... + хmСm = Ғ, (5.11)
мұнда барлық хj=0, j=1,2,...,n., ал Ғ-осы жоспарға сәйкес келетін функцияның мәні. Егер сызықтык функциядағы Сj коэффициенті Аj векторға сәйкес келсе, онда Ғj - Сj- оңтайлылық өлшемі немесе сызықтық функцияның бағасы деп аталады.
Оңтайлылық өлшемі бағдарламадан шығарылатын қызметтің құнының сомасына тең болады, одан жоспарға енгізілетін өнімнің бірлігінен түсетін кіріс алынып тасталады. Ғj - мақсат функциясының коэффициенттерін шектеулердегі айнымалылардың коэффициенттеріне көбейтіндісінің қосындысына, яғни,
cj - мақсат функциясының белгісіздер коэффициенттері. Төмендегі теоремалар орын алады.
1-теорема. Егер кейбір Аj векторы үшін төмендегі талап орындалса,
Fj-Cj=0,
онда Хо жоспары функцияның максимумы үшін оңтайлы болып табылады.
2-теорема. Егер кейбір Аj векторы үшін төмендегі талап орындалса, онда Хо жоспары функцияның минимумы үшін оңтайлы болып табылады. Демек, сызықтық функцияның максимумына сәйкес есептің жоспары оңтайлы болу үшін оның бағалары оң болуы қажетті әрі жеткілікті болады. Ал функцияның минимумы үшін оның бағалары теріс болуы қажетті әрі жеткілікті болады.
Сөйтіп, мәселені симплекс әдіспен шешу мына сызба бойынша жүргізіледі:
1) базистік шешім құрылады; 2)осы базистік шешім оңтайлылық шартына тексеріледі; 3)егер шарт орындалмаса, онда келесі базистік шешім құрылады да екінші тармаққа көшеді; 4)оңтайлылық талабы орындалғанға дейін есептеулер кайталанады.
Осы әдіспен есептеулер қайталана отырып, іріктеу нәтижесінде ең жақсы, яғни оңтайлы шешім табуға болатыны дәлелденген.

Симплекс әдісі алгоритмі
Симплекс әдістің кестедегі алгоритмін қарастырайық. Есепті максимумға қарастырамыз.
Симплекс-кесте
№
Базис
Оң жағы, вi
Айнымалылар
Q

x1 х2... хm хm+1 xm+2 ... хп

1
xm+1
b1
a11 a12 a1m 1 0 ...0

2
xm+2
b2
A21 a22 a2m 0 1...0

...
...
...
... ... ... ... ... ...

m
xm+n
bm
Am1 am2 a1m 0 ... ...0

m+1
Fj-Cj
0
c1 c2 cm 0 0 ... 0

1. Алғашқы базистік жоспарды құру.
Симплекс әдіспен шешілетін есептің шектеулер жүйесі = таңбасымен теңсіздіктер жүйесінде берілген, оның оң жағы bi=0. Теңсіздіктер жүйесіне оң қосымша айнымалылар енгізу арқылы теңдеулер жүйесіне көшеміз. Осы айнымалылардың баған векторлары бірлік векторлар болып табылады және базис құрайды, сонымен бірге оларға сәйкес келетін айнымалылар базистік деп аталады:
Мұнда хn+I - базистік айнымалылар, хj- еркін айнымалылар.
Енді симплекс әдісінің орындалу ретін(алгоритмін) кестеде қарастырайық.
1)Симплекс кесте құрамыз. Кесте шектеулер жүйесі коэффициенттерінен және оң жағынан тұрады. Кестенің соңғы жолы индекстік деп аталады және мақсат функциясының қарама - қарсы таңбаларымен алынған коэффициенттерімен толтырылады.
2) Оңтайлылықты тексеру. Индекстік жолда теріс санның бар-жоғын анықтаймыз. Егер теріс сан болмаса, онда табылған негізге алынатын жоспар функцияның максимумына сәйкес оңтайлы шешімі болып табылады. Егер индекстік жолда теріс сандар болса, онда осы кестедегі айнымалылар есептің оңтайлы шешімі емес немесе алгоритмнің келесі кезеңіне көшеміз.
3)Бағыттаушы баған мен жолды анықтау. Бағыттаушы баған мен жолды табамыз. Бағыттаушы баған индекстік жолдың теріс санының барынша көп абсолюттік мөлшері бойынша, ал бағыттаушы жол - бос мүшелер векторы бағанының элементтерін бағыттаушы бағанның оң элементтеріне min(biair) қатынастарының барынша аз абсолюттік мөлшерімен анықталады. Бағыттаушы баған мен жол түйіскен жерде бас элемент орналасқан.
4)Жаңа негізге алынатын жоспар кұру. Бағыт беруші жол мен бағанға сәйкес келетін белгісіз айнымалылардың орны ауыстырылады. Мұнда базистік айнымалы еркін айнымалы болады және керісінше. і жолда және j бағанда орналасқан элементтің (Эн ) жаңа мәні элементтің (Эс ) ескі мәнінен j баған мен бағыттаушы жол (Э1) түйіскен жерде орналасқан Элементті і жол мен бағыттаушы баған түйіскен жерде орналасқан элементке (Э2) көбейтіп, бас элементке (Эг) бөліп алып тастағанға тең болады. Бұл тікбұрыш ережесі деп аталады:
Эн=Эс-
5)Немесе төмендегі формулалар бойынша:
В1= (ві-(вгаrk)аіk болса і r ; brаrk болса і=r) (5.12)
а'ij= (аij-аrjark)аіk болса і=r ; аrjаrk болса і=r) (5.13)
Ғ'о=Ғо- (bгrаrk) k; j=А,- (аrіаrk) k (5.14)
Барлық осы сандар жаңа симплекс кестеде жазылады.
6)Табылған жаңа базистің оңтайлылығын тексеру. Егер жоспар оңтайлы болмай, жаңа оңтайлы жоспарға көшу қажет болса, онда 4) кезеңге қайта оралады, ал оңтайлы жоспар алынған жағдайда, есептің шешімі қабылданады.

СИМПЛЕКС ӘДІСІМЕН ЕСЕП ШЫҒАРУ
Симплекстік әдіс сызықтық бағдарламалау есептерін шешудің әмбебап әдісі болып табылады. Сызықтық бағдарламау есебін карастырайық.
Есеп. Еңбек ресурстарының мына мөлшері, яғни 2700 адам күн, 1200 га мөлшеріндегі минералды тыңайтқыш және осы дақылдарға арналған 580 га егістігі бар ауыл шаруашылығы кәсіпорнының бөлімшесіндегі дәнді дақыл, қант қызылшасы мен күнбағыс егістіктерінің көлемін анықтау қажет.
Есептің мақсаты. Дәнді дақылдардың, қант қызылшасының және күнбағыс егістіктерінің қандай үйлесімі фермерге пайда әкелетінін анықтау қажет.
Есептің шешуі. Бастапқы деректер 1-кестеде келтірілген.
1-кесте
Ауыл шаруашылығы дақылдары
Еңбек шығындары, адам-күн тыңайтқыш ц.
1 га-дан түсетін пайда, а.б
Дәнді дақылдар
Қызылша
Күнбағыс
1
20
0,9
1,7
4
1,6
200
350
300

Есептің шешімі экономикалық - математикалық модельді құрудан басталады. Бұл үшін экономикалық терминдерде қалыптастырылған есептің шартын математикалық формада жазамыз. Төмендегі белгілерді енгіземіз:
Х1-дәнді дақылға бөленген егістік көлемі, га
Х2-қызылшаға бөлінген егістік көлемі, га
Х3-күнбағысқа бөлінген егістік көлемі, га
Шектеулер жүйесі шартқа негізделіп жазылады, оған сәйкес ресурстардың әрбір түрі бойынша шығындар осы ресурстардың қолда бар қорынан аспауға тиіс.

Мақсат функциясы ауыл шаруашылығы дақылдарын сатудан түсетін жалпы пайданың максимумы болып табылады.
Zmin=200Х1+350Х2+300Х3, (5.16)
сондай-ақ мәселенің экономикалық мағынасынан олардың айнымалылардың теріс емес шарты керсетіледі, яғни,

Х, 0, Х2 0, Х3 (5.17)
Шектеулер жүйесіне (5.15)-(5.17) теріс емес қосымша айнымалылар енгізе отырып, канондық түрге айналдырамыз

(5.18)

Х4, Х5, Х6 қосымша айнымалылар - егістіктің (Х4), еңбек ресурстарының (Х5) және тыңайтқыштардың (Х6) экономикалық жағынан сәйкес толықтай пайдаланбағанын білдіреді.
Толықтай пайдаланылмаған ресурстар ешқандай кіріс әкелмейді және сондықтан қосымша айнымалылар мақсат функцияға нөлдік коэффициенттермен енгізіледі:
Zmах=200Х1+350Х2+300Хз+0Х4+0Х5+0Х6
Симплекс әдіс бірінші (бастапқы) базистік шешімді тапқанда да, сондай-ақ басқа базистік шешімдерге көшкенде де белгілі алгоритм қолданылады.
Оның идеясы мынада. Канондық формадағы шектеулер жүйесінде осы жүйенің кез келген базистік шешімін кайткенде де қарапайым түрде табуды ғана ойластыра отырып табады. Осы шешімнің оңтайлылығы тексеріледі. Егер ол оңтайлы болмаса, онда басқа базистік шешімге көшу жүзеге асырылады. Симплекс әдіс осы жаңа шешімде максат функция оптимумға жетпесе де оған жақындайтынына кепілдік береді. Жаңа базистік шешіммен оңтайлы шешім табылғанға дейін дәл осындай есептеулер жасайды.
Қарастырылған есептің бірінші базистік шешімін табамыз. Нөлге тең 6-3=3 айнымалысы бар шешімді табу қажет. Қосымша айнымалылардың коэффициенттері бірлік матрица құрайтынына назар аударамыз. Сондықтан негізгі айнымалылардың мәндерін нөлге тең (х1=0, х2=0, х3=0) деп қабылдасақ, онда бірінші базистік жоспарды аламыз: х4=580, х5=2700, х6=1200, Ғ=0.
Осы жоспар өнім шығарылмайтын, ресурстар пайдаланылмайтын және пайданың мөлшері нөлге тең жағдайға сәйкес келеді. Бұдан жоспардың пайдасыз екені анық көрінеді. Пайда алу үшін жоспарға қосымшалардың орнына оңтайлы шешім алынғанға дейін негізгі айнымалыларды енгізу қажет.
Есептеулер жүргізуге қолайлы болу үшін есептің моделі кестеде біршама өзгертілген түрде ұсынылған. Одан арғы шешімді 2-кесте ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.