Бессель функциялары: анықтамасы, қасиеттері және математикалық физика есептеріндегі қолданылуы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Бессель функцияларын анықтау және оларды математикалық физика есептерін шешуде қолдану

Смагулова С. С.

студент, ПМПУ, Павлодар қ.

Машрапов Н. Қ.

профессор, ПМПУ, Павлодар қ.

Математикалық физиканың негізгі бөлімдеріне жататын және нақты техникалық сұрақтарға жауап беруге негізделген көптеген мәселелердің шешімі Бессель функцияларын қолдануымен байланысты. Бессель функциялары акустика, радиофизика, гидродинамика, атомдық және ядролық физика есептерін шешуде кеңінен қолданылады. Сонымен бірге Бессель функциялары жылуөткізгіштік және серпімділік теорияларында кездеседі (пластинкалар тербелісі, қабықшалар теориясы, сызаттардың жанында кернеу концентрациясын анықтау туралы есептер) .

Бессель теңдеуі деп коэффициенттері айнымалы болатын, мынадай екінші ретті сызықтық дифференциалды теңдеуді айтамыз:

(1)

Бұл теңдеу Бессельдің теңдеуі деп аталады, ал оны қанағаттандыратын функциялар, яғни оның интегралдары Бессельдің функциялары болып табылады. (1) -теңдеу -ретті сызықтық теңдеу болғандықтан, оның жалпы шешімі мынадай түрде жазылады:

Мұндағы және - екі тәуелсіз дербес шешімдер, ал және - еркін тұрақтылар.

Мысал. Бессель функцияларын гармоникалық функциялар теориясына қолданайық.

(1)

Шешуі: Ең алдымен цилиндрлік координаталарды енгізейік:

, , (2)

(3)

, Бұл жерде , , (4)

(4) -өрнекті (3) -теңдеуге қойсақ:

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

функцияларының сипаты тұрақтыларының таңбасына байланысты. Тәуелсіз айнымалының абсолют мәнінің шексіз өсуімен функциясы және шексіз артады. Әдетте өзгерісінің мұндай сипаты физикалық себептерге байланысты қабылданбайды, сондықтан -ны теріс деп санаймыз:

, онда

Егер бұл теңдеуді интегралдасақ, сонда

(11)

болсын, онда

(12)

Осыдан

(13)

(13) -теңдеу, функциясы қанағаттандыратын теңдеуге ұқсас болып келеді:

(14)

Егер (13) -теңдеуге келесі шамаларды енгізсек: онда

(15)

Осыдан

(16)

-ті тауып бір-біріне көбейткеннен кейін Лаплас теңдеуінің дербес интегралын аламыз. Бұл жерде коэффициенттері және шамасы кез-келген мәндерді қабылдай алады, ал кез-келген бүтін сан бола алады. Осылайша бұл Лаплас теңдеуінің сансыз көп интегралдарын табуға мүмкіндік береді. Оларды еркін тұрақтыларға көбейтіп, жинақтап болған соң жалпы интегралды таба аламыз. Осыған мысал ретінде келесі есепті қарастырайық.

Мысал. Бессель функцияларын жылулық тепе-теңдікке арналған есебінде қолданайық.

Осі өсі бойынша, ал радиусы 1-ге тең цилиндрден тыс орналасқан және және кеңістіктегі екі жазықтықтың арасындағы қалыптасқан температураның таралуын анықтау керек болсын. Сонымен қатар жоғарғы және төменгі жазықтықтардағы температура 0-ге, ал цилиндрдің бетіндегі температура тұрақты деңгейде деп есептейік.

(1)

Шешуі: , , . және келесі теңдеуді қанағаттандыруы қажет:

, (2)

Егер , онда (2) -теңдеудің дербес шешімі келесі түрде жазылады:

, , , (3)

, ,

, ; (4)

Осылайша (1) -теңдеудің интегралын жалпы формада таба аламыз.

(5)

болғандағы:

(6)

Бұл теңдеу функцияның Фурье қатарының жіктелуіне ұқсас болып келеді.

(7)

Мұндағы және коэффициенттері келесі теңдіктермен анықталады:

, (8)

Егер функциясы жұп функция болса, яғни , онда

; (9)

Егер яғни тақ функция болса, онда

, (10)

, және , .

(11)

Егер болса,

(12)

қатары аралығында -ға тең болады.

Осыдан

(13)

Егер (13) -теңдікті (6) -формуламен салыстыратын болсақ, онда , және тұрақтыларға:

, , (14)

шамалар сәйкес келеді.

Осыдан

(15)

Егер (15) -формулада функциясын функциясына өзгертетін болсақ, онда бүйірлеріндегі температура -ға, ал табандарындағы температура 0-ге тең болатын цилиндрдің ішіндегі температураның таралуы есебінің шешімі:

(16)

(17)

(18)

болғанда, онда

Бессель функциялары әйгілі неміс астрономы Фридрих Бессельдің құрметіне аталған. Ол күннің айналасындағы планеталардың қозғалысын зерттей отырып, Бессель функциялары үшін рекуренттік қатынастарды қорытып шығарды, функцияның интегралдық көрінісін тапты және , , функциялары үшін алғашқы кестелерді құрды.

Алайда алғаш рет 1732 жылы Бессель функцияларының бірі Даниил Бернулидің «Ауыр тізбектердің тербелісіне» арналған жұмысында қарастырылды. Д. Бернулли функциясының өрнегін дәрежелік қатар арқылы тапты және теңдеуінің сансыз көп түбірлері бар екенін байқады (дәлелдеусіз) .

Сонымен қатар Бессель функциялары 1738 жылы жазылған Леонард Эйлердің «Дөңгелек мембрана тербелісін зерттеу» жұмысында кездеседі. Эйлер бұл жұмысында бүтін индексі үшін Бессель функциясының өрнегін дәрежелік қатары арқылы тапты. Ал кейінгі жұмыстарында бұл өрнек индексінің ерікті мәндеріне байланысты кеңейтілді.

Кейбір зерттеушілер Бессель функцияларына қатысты негізгі нәтижелер және олардың математикалық физикада қолданылуы Л. Эйлердің атымен байланысты деп санайды.

ӘДЕБИЕТТЕР

Грей Э., Мэтьюз Г. Б. Функция Бесселя и их применения в физике и механике, М., 1953.
Зубов В. И. Функции Бесселя: Учебно-методическое пособие - М., 2007.
Коренев Б. Г. Введение в теорию Бесселевых функций, «Наука», М., 1971.
Кузьмин Р. О. Бесселевы функции, М., 1933.
Қазақша-орысша, орысша-қазақша терминологиялық сөздік, «Рауан» баспасы, Алматы, 1999.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.