Бессель функцияларын анықтау және оларды математикалық физика есептерін шешуде қолдану

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:

Бессель функцияларын анықтау және оларды математикалық физика есептерін шешуде қолдану
Смагулова С. С.
студент, ПМПУ, Павлодар қ.
Машрапов Н. Қ.
профессор, ПМПУ, Павлодар қ.
Математикалық физиканың негізгі бөлімдеріне жататын және нақты техникалық сұрақтарға жауап беруге негізделген көптеген мәселелердің шешімі Бессель функцияларын қолдануымен байланысты. Бессель функциялары акустика, радиофизика, гидродинамика, атомдық және ядролық физика есептерін шешуде кеңінен қолданылады. Сонымен бірге Бессель функциялары жылуөткізгіштік және серпімділік теорияларында кездеседі (пластинкалар тербелісі, қабықшалар теориясы, сызаттардың жанында кернеу концентрациясын анықтау туралы есептер).
Бессель теңдеуі деп коэффициенттері айнымалы болатын, мынадай екінші ретті сызықтық дифференциалды теңдеуді айтамыз:
(1)
Бұл теңдеу Бессельдің теңдеуі деп аталады, ал оны қанағаттандыратын функциялар, яғни оның интегралдары Бессельдің функциялары болып табылады. (1)-теңдеу -ретті сызықтық теңдеу болғандықтан, оның жалпы шешімі мынадай түрде жазылады:
.
Мұндағы және - екі тәуелсіз дербес шешімдер, ал және - еркін тұрақтылар.
Мысал. Бессель функцияларын гармоникалық функциялар теориясына қолданайық.
(1)
Шешуі: Ең алдымен цилиндрлік координаталарды енгізейік:
, , (2)
(3)
, Бұл жерде , , (4)
(4)-өрнекті (3)-теңдеуге қойсақ:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
функцияларының сипаты тұрақтыларының таңбасына байланысты. Тәуелсіз айнымалының абсолют мәнінің шексіз өсуімен функциясы және шексіз артады. Әдетте өзгерісінің мұндай сипаты физикалық себептерге байланысты қабылданбайды, сондықтан -ны теріс деп санаймыз:
, онда
Егер бұл теңдеуді интегралдасақ, сонда
(11)
болсын, онда
(12)
Осыдан
(13)
(13)-теңдеу, функциясы қанағаттандыратын теңдеуге ұқсас болып келеді:
(14)
Егер (13)-теңдеуге келесі шамаларды енгізсек: онда
,
(15)
Осыдан
(16)
-ті тауып бір-біріне көбейткеннен кейін Лаплас теңдеуінің дербес интегралын аламыз. Бұл жерде коэффициенттері және шамасы кез-келген мәндерді қабылдай алады, ал кез-келген бүтін сан бола алады. Осылайша бұл Лаплас теңдеуінің сансыз көп интегралдарын табуға мүмкіндік береді. Оларды еркін тұрақтыларға көбейтіп, жинақтап болған соң жалпы интегралды таба аламыз. Осыған мысал ретінде келесі есепті қарастырайық.
Мысал. Бессель функцияларын жылулық тепе-теңдікке арналған есебінде қолданайық.
Осі өсі бойынша, ал радиусы 1-ге тең цилиндрден тыс орналасқан және және кеңістіктегі екі жазықтықтың арасындағы қалыптасқан температураның таралуын анықтау керек болсын. Сонымен қатар жоғарғы және төменгі жазықтықтардағы температура 0-ге, ал цилиндрдің бетіндегі температура тұрақты деңгейде деп есептейік.
(1)
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.