Логарифмдер. Олардың қасиеттері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 3 бет
Таңдаулыға:

Логарифмдер. Олардың қасиеттері

Дәрежелерді оқығанда пайда болатын негізгі есептерді қарастырайық.

1. мен нақты сандары берілген. болатындай нақты х санын табу керек. Бұл нақты санды дәрежеге шығару болып табылады. Бұл есептің кез-келген оң саны мен кез-келген нақты саны үшін шешімі бар. Егер және болса, онда х = 0. <0 болғандағы есепті мұнда қарастырмаймыз.

2. b саны мен α нақты сандары берілген. болатындай х нақты санын табу керек. Егер b- кез-келген оң сан, ал α- нольден ерекше нақты сан болса, бұл есеп жаңағы есепке келтіріледі, онда жауабы болады. Расында, . Егер және болса, онда есептің шешімі жоқ. жағдайын қарастырмаймыз.

3. мен b нақты сандары берілген. болатындай х нақты санын табу керек. Бұл есепті тек оң нақты мен b сандары үшін ғана қарастырамыз. Егер a =1 және болса, онда есептің шешімі жоқ. жағдайын қарастырайық.

1-теорема. a>0, ( ) және b>0 болатындай кез келген a мен b нақты сандарының пары үшін теңдігі орындалатындай нақты х саны бар болады. Және ол жалғыз ғана болады.

Осындай х санының бар болуын мұнда дәлелдемейміз. Ол жалғыз ғана болатынын дәлелдейік. және болатындай х ₁ және х ₂ нақты сандары бар деп ұйғарайық. Теңсіздіктердің транзитивтік қасиеті бойынша . 6-тұжырым негізінде х ₁ = х ₂ дәлелдемегіміз де осы еді.

Анықтама. Егер a >0, ( ) және b >0 болса, онда нақты α саны b санының a негізі бойынша логарифмі деп аталады да, егер болса,

Логарифмнің анықтамасын 1-теореманы дәлелдегеннен кейін беруге болатынын ескертейік, өйткені болатындай α саны бар ма, ол жалғыз ба, оған дейін айқын емес еді. Логарифм тек 1-ге тең емес оң негіз бойынша оң сан үшін анықталатынын тағы да атап өтейік, яғни кез келген а ≤0, а =1 және b ≤0 үшін логарифм ұғымының мағынасы жоқ. Мысалы, (-8) санының (-2) негізі бойынша логарифмі 3 саны деген тұжырымның мағынасы болмайды.

Сөйтіп, log _a b логарифмінің анықтамасында әрқашан a >0, ( ) , b >0. Логарифмнің анықтамасынан негізгі тепе-теңдік

шығады. Логарифм анықтамасымен пайдаланып, екенін аламыз. Логарифмнің жалғыз ғана болатынын пайдалансақ, егер болса, онда әрқашан .

Логарифмдердің негізгі қасиеттерін қарастыруға көшейік.

M, N, a, b, α және β сандары үшін M>0, N>0, a>0, b>0, a≠1 b≠1. α мен β кез келген нақты сандар (b≠0) болсын. Онда:

(бірнегізді логарифмнен екінші негізді логарифмге көшу ережесі) ;

З) егер 0<0<1 болса, онда

Осы қасиеттерді дәлелдейік.

а) өрнегін қарастырайық: негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша оң санның дәрежесінің қасиеті бойынша Сонымен теңдігін аламыз. б) қасиеті де осы сияқты дәлелденеді.

в) өрнегін қарастырайық: негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша , оң санның дәрежесінің қасиеті бойынша . Сөйтіп, . Дәрежелердің қасиеттерінің 6-тұжырымын қолданып, екенін аламыз.

г) өрнегін қарастырайық: негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша , оң санның дәрежесінің қасиеті бойынша болғандықтан сондықтан , оң санның дәрежесінің қасиеті бойынша . Сөйтіп, . Соңғы теңдікке дәрежелер қасиеттерінің 6-тұжырымын қолданып, теңдігін аламыз.

д) өрнегін қарастырайық: негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша оң санның дәрежесінің қасиеті бойынша . Сөйтіп, . Соңғы теңдікке дәрежелер қасиеттерінің 6-тұжырымын қолданып, екенін аламыз. Теңдіктердің қасиеті бойынша осы теңдіктің екі жағын санына (өйткені болса, онда ) көбейтеміз, сонда

теңдігінің дұрыстығы шығады.

е) Негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша және , демек,

(1)

Дәрежелер қасиеттерінің 6-тұжырымы бойынша

(2)

(1) мен (2) -ден екені шығады.

ж) Негізгі логарифмдік тепе-теңдік бойынша және , демек,

(3)

Дәрежелер қасиеттерінің 4-тұжырымы негізінде алатынымыз:

(4)

(3) пен (4) -тен екені шығады. (3) қасиеті де осы сияқты дәлелденеді.

ж) мен з) қасиеттерін сөзбен былайша айта аламыз:

негізі бірден үлкен болғанда екі оң санның кішісіне үлкен логарифм және үлкен логарифмге кіші сан сәйкес келеді.

Негізі 10 болатын логарифмдер ондық логарифмдер деп аталады да белгілеуінің орнына көбінесе белгілеуі қолданылады. Негізі е ( е - иррационал сан, оның жуық мәні 2, 71828 . . . ) болатын логарифмдер натурал логарифмдер деп аталады да белгілеуі орнына көбінесе белгілеуі қолданылады.