ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КУРСЫНЫҢ ЖАТТЫҒУЛАРЫН ШЕШУДЕ КОМПЬЮТЕРЛІК ТЕХНОЛОГИЯНЫ ҚОЛДАНУ

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 120 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті Жаратылыстану институты
Физика және математика кафедрасы ӘОЖ 37.016 : 512.628.2 : 004 : 378.245.2

КЕУКЕНОВА БАҒЖАН ӘНЕСБЕКҚЫЗЫ

Ғылыми жетекшісі: ф.-м. ғ.к., қауымдастырылған профессор Ибраев Шерали Шапатаевич
Ғылыми кеңесшіcі: ф.-м. ғ.к., профессор м.а.
Турбаев Боранбай Есмаханбаевич

Қазақстан Республикасы Қызылорда, 2021 ж.

Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті Жаратылыстану институты
Физика және математика кафедрасы

Қорғауға жіберілді Кафедра меңгерушісі Л.С. Каинбаева
2021 жыл
Магистрлік диссертация (магистрлік жоба) ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КУРСЫНЫҢ ЖАТТЫҒУЛАРЫН
ШЕШУДЕ КОМПЬЮТЕРЛІК ТЕХНОЛОГИЯНЫ ҚОЛДАНУ

мамандығы: 7М01510 - Математика (ғылыми-педагогикалық бағыт)

Магистрант Б.Ә. Кеукенова

Ғылыми жетекшісі,
ф.-м.ғ.к., қауымдастырылған
профессор Ш.Ш. Ибраев

Ғылыми кеңесші,
ф.-м.ғ.к, профессор м.а. Б.Е. Турбаев Институт директоры С.О. Қосaнов

Қызылорда, 2021 ж.

МАЗМҦНЫ
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР 4
АНЫҚТАМАЛАР 5
КІРІСПЕ 6
І. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕСІ
0.1 Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы тҥсінік 11
0.2 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу 16
0.2.1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу, оның жалпы шешімі және алғашқы шарттары. 16
0.2.2 Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер 21
0.3 Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер 22
0.3.1 Бірінші ретті теңдеуге келтірілетін екінші ретті дифференциалдық теңдеулер 22
0.3.2 Тҧрақты коэффициентті сызықтық бірт ектес екінші ретті дифференциалдық теңдеулер 23
II. ФИЗИКА ЖӘНЕ ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ЕСЕПТ ЕРІН ДИФФЕРЕНЦИЯЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ПАЙДАЛАНЫП ШЕШУ 27
0.1 Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстарды жҥзеге асыру 27
0.2 Дифференциалдық теңдеулерді физика-техникалық есептерін шешуде қолданулары 28
0.3 Дифференциалдық теңдеулерді химия, экология мен биология және биологиялық популяция мӛлшерінің ӛсу жылдамдығында қолданулары 39
ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНБАЛЫЛЫҒЫН ОҚЫТУДА КОМПЬЮТЕРЛІК ТЕХНОЛОГИЯНЫ ҚОЛДАНУ 57
3.1 Математиканы оқытуда жаңа ақпараттық технологияларды қолдану 57
3.2 Дифференциалдық есептеулерде ақпараттық компьютерлік технологияны пайдалану 68
3.3 Орта мектеп курсындағы анықталмаған және анықталған интегралдарды, дифференциалдық теңдеулерді есептеуге Maple, WolframAlpha жҥйелерін қолданудың ҥлгі сабақ жоспарлары 80
3.4 Эксперимент және оның нәтижелері 93
ҚОРЫТЫНДЫ 96
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 98
ҚОСЫМША 1 101
ҚОСЫМША 2 104
ҚОСЫМША 3 105

НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР

Осы диссертацияда келесі стандарттарға сілтемелер пайдаланылған:
oo Н.Ә.Назарбаев. Қазақстан халқына жолдауы. Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстан. Қазақстан Республикасы Президентінің Қазақстан халқына Жолдауы, Астана қ., 2007 жылғы 28 ақпан;
oo Қазақстан Республикасының Қазақстан-2050 стратегиялық бағдарламасы;
oo 2018 жылы 10 қаңтардағы Тӛртінші ӛнеркәсіптік революция жағдайындағы дамудың жаңа мҥмкіндіктері Қазақстан Республикасының Президенті Н.Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауы;
oo Қазақстан Республикасы Ҥкіметінің 2019 жылғы 27 желтоқсандағы
№ 988 қаулысы Қазақстан Республикасында білім беруді және ғылымды дамытудың 2020 - 2025 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасын бекіту туралы.
oo ҚР Президентінің Қазақстан халқына жолдауы. Әлеуметтік- экономикалық жаңғырту - Қазақстан дамуының басты бағыты Егемен Қазақстан, 28 қаңтар, 2012 ж.
oo Назарбаев Н.Ә. Инновациялар мен оқу - білімді жетілдіру арқылы экономикасына. Егемен Қазақстан, 27 мамыр, 2006 ж.
oo ҚР Білім туралы заңы. Егемен Қазақстан 15 тамыз, 2007ж.

АНЫҚТАМАЛАР

Дифференциалдық теңдеу - ізделінді функцияның қандай да бір туындысымен қатар, осы функцияның ӛзін және оның дифференциалын біріктіретін теңдеулер.
Коши есебі - бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарт
деп аталатын y x0 y0 шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебі.
Бастапқы шарттар - Коши есебінің шешіміне қойылатын шарт. Компьютерлік технология дегеніміз - ақпараттарды автоматты тҥрде ӛңдейтін ақпараттық және бағдарламалық жабдықтардың жиыны.
Дербес туынды - кӛп айнымалды u=f(x1,x2,...,xn) функциясының дербес туындысы деп осы функцияны x1,x2,...,xn айнымалыларының біреуі, мысалы xi бойынша алынған туындыны айтады, бҧл жағдайда басқа айнымалылар тҧрақты деп есептеледі (белгіленуі dudxi немесе f'xi).
Жалпы шешім - y(n)=f(x,y,y',...,y(n-1)) қарапайым дифференциалды теңдеудің жалпы шешімі кез келген тҧрақты n шамадан ҥзіліссіз тәуелді у=Φ(x,С1,С2,...,Cn) функциялар жҥйесі тҥрінде анықталады. Осы тҧрақтылардың мәндерін сәйкесінше таңдап алу арқылы теңдеудің кез келген дербес шешімін алуға болады.
Maple - компьютерлік алгебра жҥйесі (дәлірек айтсақ, компьютерлік математика жҥйесі).
WolframAlpha - бҧл білімді есептеудің қозғалтқышы немесе жауап беру машинасы еншілес компаниясы.
Интеграл(лат. іnteger - бҥтін) - туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нҥктенің жҥріп ӛткен жолын ӛрнектейтін функцияны сол нҥктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, кӛлем және доға ҧзындығын ӛлшеу, кҥштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жҧмысын табу.

КІРІСПЕ

Дҥниежҥзілік қауымдастықта болып жатқан сан алуан еліміздің саяси- экономикалық жағдайымен қатар, әлеуметтік саланың ең бір ӛзекті тҧсы білім беру жҥйесіне де зор әсер етеді.
Тӛртінші ӛнеркәсіптік революция жағдайындағы дамудың жаңа мҥмкіндіктері атты Қазақстан Республикасының Президенті Н.Назарбаевтың Қазақстан халқына 10 қаңтар 2018 жылғы жолдауында
...Білім берудің барлық деңгейінде математика және жаратылыстану ғылымдарын оқыту сапасын кҥшейту керек.Бҧл жастарды жаңа технологиялық қалыпқа дайындаудың маңызды шарты...
Қазақстан Республикасында білім беруді дамытудың Мемлекеттік бағдарламасына сәйкес жалпы білім беретін мектеп политехникалық мектеп болып қала отырып, оқушыларды нарықтық экономиканың барлық басты салаларына, теориялық және практикалық тҧрғыда даярлауымыз қажет.
Оқу - тәрбие процесін батыл интенсивтендіру, пәндердің санын қысқартып, оқу курстарын интеграциялау, оқытуды саралау, оқушылардың міндетті бағдарламадан тысбілім алуға қҧштарлығын дамытып отыру қажет.
Бҥгінде біз ӛмір сҥріп жатқан қоғам біздің мақсаттарымызға қарай сенімді тҥрде алға басуы ҥшін әрбір жаңа ҧрпақ білімділік пен жалпы мәдениеттің, кәсіптік біліктілік пен азаматтық белсенділіктің неғҧрлым жоғары дәрежесіне кӛтерілуге тиіс. Ол ҥшін мектеп пен ӛндірісті, техниканы т.с.с. тығыз байланыстырсақ, реформаның қайтарымы да соғҧрлым толымды болады. Сонымен қатар, жастар дербес ӛмірге жоғары мәдениетті, білімді және еңбекқор болып араласуға тиіс.
Мектептегі кәсіптік білімді оқушылардың жалпы білім әзірлігінің дәрежесін одан әрі арттырумен, олардың жан-жақты рухани дамуымен табиғи тҥрде ҧштастыруды қамтамасыз ету қажеттігі - ҚР білім беруді дамытудың бағдарламасының принципті талабы.[1]
Мектепте білім беру бағдарламасының басты талабы - оқушыларға сапалы орта білім беру, сонымен бірге оқушылар ӛмір сҥрудің кӛзі болып табылатын белгілі бір мамандықты игеру болса, ал негізгі талабы-
Оқытылатын пәндердің саны мен кӛлемін дәл анықтау, Оқу бағдарламалары мен оқулықтардағы шамадан тыс жҥктемелерді жою, Оқу пәндеріндегі негізгі ҧғымдар мен жетекші идеяларды ӛте дәл баяндау, Әрбір пән және сынып бойынша оқушылардың меңгеруі ҥшін міндетті игіліктер мен дағдылардың тиімді кӛлемін анықтау мектептегі барлық пәндерді, оның ішінде математиканы оқытуды жетілдірудің кӛзі болып отыр.[2]
Математика сабақтарында оқушыларға шын дҥниенің заңдарының математикада бейнелеуінің ӛзіндік ерекшеліктерін ҥнемі ашып кӛрсете отырып, сонымен қатар кҥнделікті ӛмірде кездесіп отыратын есептердің шешу әдісін ҥйрету қажет. Іс жҥзінде қолданылатын сипаттағы есептер оқушылардың алған білімін белсенді тҥрде пайдалана білуге, мәтіндік есептерді математика тіліне аудара білуге уйретеді.

Мектеп оқушыларын ӛндіріс ісіне қосу, олардың сапалы және лайықты жҧмыс істеуін қамтамасыз ету ҥшін мектеп қабырғасында жҥргенде олардың экономикалық сауаттылығын тәрбиелеу керек. Білім беруді дамыту бағдарламасының негізгі бағыттарында оқушыларға экономикалық тәрбие беру мәселесі еңбекке баулумен тығыз байланыста жҥргізілуі және олар қоғамдық меншік, жоспар, еңбек тәртібі мен ӛндірістік тәртіп , жалақы, қосымша қҧн т.б. ӛмірлік мағлҧматтар алуы керек. Оқушылардың ҥнемі тәртібі, еңбек ӛнімділігі, ӛзіндік қҧн, ӛнім сапасы, шаруашылық есеп сияқты ҧғымдармен практикада таныстыруда мектепте математика пәнінің мҥмкіндігі мол. Оқушыларға берілетін экономикалық тҥсініктемелер ӛндірістегі және ауыл шаруашылығындағы еңбектің маңызын тҥсінуге мҥмкіндік береді.
Бҧл тҧрғыда математика сабағында қолданбалы есептер шығару ӛте маңызды орын алады.
Қолданбалы есептер оқушылардың кӛшілігінде математикалық білімнің қҧндылығы оның практикалық мҥмкіндіктерінен қҧралады. Бҧл жӛнінде академик С.Л.Соболев былай деп атап кӛрсетті: Математикалық ережелер мен заңдарды мҥмкіндігінше ӛмірден таңдап алынған есептер арқылы тҥсіндірген тиімді болар еді.
Математиканы практикалық мазмҧнды материалдармен байланыстыра отырып оқытудың нәтижелілігін оқып-уйренуге қажетті практикалық материалды техникадан, ӛндіріс орындарынан белгілі мақсатпен таңдап алуға тығыз байланысты.
Практикалық материалдарды таңдап алуда қажет кейбір жалпы принциптерді атап ӛтейік:
1. Мектепте оқып-ҥйрену ҥшін падаланылатын ӛндірістік-техникалық материал бағдарлама бойынша ӛтілетін математикалық материалмен тығыз байланысты болуы тиіс.
2. Оқушылардың білімін арттыруда техникалық фактілердің мазмҧнының әр саладан алуының ролі зор.
3. Математикалық ҧғымдарды практикалық бейнелермен кескіндегенде, ол ҧғымдар бірден айқын кӛрініп тҧруы керек. Математикалық ҧғымдар арасындағы байланысты, яғни тәуелділікті тек мҧғалімнің кӛмегімен ғана емес, оқушылар ӛз бетімен де анықтай алатын болуы тиіс.
4. Практикалық жағдай шындықжағдайға және осы кҥнгі жаңа техникалық ерекшеліктеріне сай, оны дҧрыс бейнелейтіндей болуы қажет.
5. Мектепте оқуға пайдаланылатын практикалық материалда ескірген, ҥнемсіз тәсілдерді және практикада шындығында жҥргізілмейтін операциялар насихаттауы қажет.
6. Ӛмірден алынған мәліметтер, оған сәйкес есептің практикалық мазмҧны оқушыларды қызықтыратындай болуы қажет.
7. Практикалық есептердің тәрбиелік мәні болуға тиіс, келесі мәселелерді шешуде мектепте оқыту ҥшін пайдаланылатын қосымша практикалық материалдардың мазмҧны зор.

8. Есептерде пайдаланылатын практикалық материал тек белгілі бір мамандықты ғана емес, жалпы ӛзгешеліктерді сипаттайтындай болуы қажет.
9. Есептің мазмҧнындағы келтірілген оқиға белгілі бір мақсатты кӛздеуі шарт. Практикалық есептерді шығарғанда оқушылар қосымша білім алатын, олар ӛздері белгілі бір қорытындыға келетін болуы тиіс. Ал бҧл ҥшін практикалық есептерде проблемалық оқиғалар тудырып отыру қажет.
Оқушылардың математикалық дайындығы ғылым мен техниканың жетістіктерін ӛмірге пайдалана білуге, қазіргі техникалық электронды есептегіш машиналарды пайдалану принциптері ҥшін, нарықтық экономикаға байланысты қатыстарды (бизнес, биржа, менеджмент, маркетинг және т.б.) меңгеру ҥшін де, сонымен қатар қалыптасқан экологиялық жағдайларды зерттеу ҥшін де қажет. Бҧл математиканың адамның кҥнделікті ӛмірінде маңызы зор екенін кӛрсетеді. Математиканың кӛмегімен қоғамдағы және табиғаттағы ӛзгерістерді модельдеуге болады және сол модельдер арқылы тҥрлі есептеулер жҥргізіледі.
Бҧдан математиканың мектеп курсындағы негізгі пәндердің бірі екенін кӛреміз. Ол сонымен басқа пәндердің оқытылуын қамтамасыз етеді. Атап айтқанда ол физика, информатика, жаратылыстану пәндері және оқушылардың математикалық логикасын жетілуі мен дамуы гуманитарлық пәндерді де меңгеруін қамтамасыз етеді.
Математиканың негізгі амалдары арқылы (интеграл) оқушылардың практикалық дағдысы мен ойлау қабілетін жетілдіру Қазақстан Республикасының білім беру туралы заңының жҥзеге асыру ҥшін қажетті қҧрамдас бӛлігі болып табылады.
Бҧл Қазақстан Республикасының білім беру заңында былай деп кӛрсетілген: Білім беру - бҧл қоғам мҥшелерінің адамгершілік, интелектуалдық, мәдени дамуының жоғары деңгейін және кәсіби біліктілігін қамтамасыз етуге бағытталған тәрбие беру мен оқытудың ҥздіксіз процесі.
Білім беру жҥйесінің басты міндеті ҧлттық және жалпы азаматтық қазыналар, ғылым мен практиканың жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыру және дамыту қажетті жағдайлар жасау.
Қазақстан Республикасының білім беру туралы заңдары мемлекеттік саясат принциптерін белгілейді, адамның білім беру алу қҧқығына кепілдік береді және білім беру процесі субъектілерінің арасындағы қатынасты реттейді. Сонымен бірге осы заңның білім беру бабында: Орта арнаулы білім беру жалпы білім беретін мектептің негізгі және жоғарғы сатыларын, кәсіптік - техникалық училище негізінде жҥзеге асырылады делінген.
Осы талапқа сәйкес болашақ тҥлектерді математикалық анализді оқыту, атап айтқанда, шек, туынды, интеграл, дифференциал ҧғымдарымен тығыз байланысты.
Зерттеудің өзектілігі: Жиырма бірінші ғасыр жаппай ақпараттық қоғамға кӛшумен сипатталады. Оған компьютерлік техника, ақпараттық технология және де басқа ғылыми-техникалық жетістіктер әсерін тигізуде. Адамның компьютерлік технологияны меңгеруі оған білім алу мен еңбек нарығында ӛз

мҥмкіндіктерін іске асыруға жағдай туғызды. Дифференциалдық теңдеулер математикалық анализдің заңды жалғасы іспеттес. Сондықтан жай дифференциалдық теңдеулердің жаттығуларын шешуде компьютерлік технологияны пайдалану білім алушының (оқушы не студент) туынды мен интегралды есептеулерді ескере отырып, ойлауына, сезіміне, танымдық ҧмтылысына, шығармашылық әрекеттеріне оң ықпал жасап, жақсы нәтижеге жету мҥмкіндіктерін зерттеу ӛте маңызды болып қала береді.
Зерттеу мақсаты: Негізгі орта мектепте алгебра және анализ бастамалары пәні негізінде оқытылатын жай дифференциалды теңдеулер элективтік курсын оқытуда ақпараттық технологияны пайдалануды жетілдіру және пәнаралық байланыстарға байланысты жаттығуларды ғылыми әдістері тҧрғыда жҥйелеу және практикада жҥзеге асыру сҧрақтарын қарастыру.
Негізгі міндеттері: 1) Орта мектепте математика пәні бойынша жай дифференциалды теңдеулер қолданбалы курсын оқытуды жҥйеге асырудың ғылыми әдістемелік мәселелерін зерттеу.
2) Жай дифференциалды теңдеулердің жаттығуларын шешуде компьютерлік технологияны пайдалану мысалдарын қарастыру..
Практикалық маңызы: Зерттеу нәтижелері бойынша білім алушыларға дифференциалдық теңдеулерді шешудің дәстҥрлі және компьютерлік әдістері ҧсынылады. Жай дифферциалды теңдеулерді жаратылыстану, физика- техникалық жаттығуларын шешуде пайдаланудың жолдары жҥйеленеді.
Зерттеудің теориялық және әдістемелік негіздері: Таным, білім, жеке тҧлға және оның іс-әрекеті ақыл-ой қҧндылық туралы философиялық, психологиялық-педагогикалық теориялар мен тҧжырымдамалар.
Зерттеу әдістері: - Бекітілген жоба тақырыбы бойынша қарастырылатын мәселелерге байланысты психологиялық-педагогикалық және әдістемелік еңбектермен оқып танысу, және оларға талдау жасау, жҥйелеу, мектеп математика пәні бойынша жасалған оқу стандартына, бағдарламасына, оқулықтарға талдау жасау. Математикалық білім беру жӛніндегі озық тәжірибелермен танысу және жинақтау. Тәжірибелік эксперименттік жҧмыс жҥргізу және оны қорытындылау.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы: - 1. Орта мектепте қолданбалы курстарда жай дифференциалды теңдеулер курсын қолданбалы бағытта оқытудың оқу бағдарламасын жасау.
2. Жай дифференциалды теңдеулер жаттығуларын шешуде ақпараттық компьютерлік технологияны пайдалану алғышарттарын жасау.
3. Ақпараттық компьютерлік технология негіздері жаттығуларын шығарудың ғылыми әдістемелік тҧжырымдарын негіздеу.
Кҥтілетін негізгі нәтижелері: Дифференциалды теңдеулерді басқа ғылымдармен және ӛмірмен байланысын нақты мысалдар арқылы шешу жолдарын кӛрсету;
Орта мектепте Туынды ҧғымын қолданбалылық және практикалық бағытта оқытуды жетілдірудің жолдары қарастырылған жаттығулар жҥйесі

жасалынып және оларды шешуде компьютерлік технологияны қолдану әдістері жҥзеге асырылады.
Жҧмыстың сыннан өтуі: Магистрлік жоба жҧмысының негізгі қағидалары Қорқыт Ата Қызылорда университетінің Физика және математика кафедрасы жанындағы ғылыми - әдістемелік семинарында, әртҥрлі деңгейдегі ғылыми - тәжірибелік конференцияларда және ғылыми - әдістемелік басылымдарға ҧсынылады.
Мaгистрлiк диссертaцияның қҧрылымы: Диссертaция кiрiспеден, ҥш тaрayдaн, қорытындыдaн, пaйдaлaнылғaн әдебиеттерден, тҥсiндiрме сӛздiктен тҧрaды.
Кiрiспе бӛлiмiнде тaқырыптың тaңдaлyы, оның кӛкейкестiлiгi негiзделiп, зерттеy проблемaсы, мaқсaт-мiндеттерi, объектiсi, пәнi aнықтaлғaн, болжaм ҧсынылып, қолдaнылaтын әдiстер; зерттеy жҧмысының ғылыми жaңaлығы, теориялық және прaктикaлық мәндiлiгi aшылғaн, қорғayғa ҧсынылaтын қaғидaлaр, нәтижелердiң дәлдiгi мен негiздiлiгi aшып кӛрсетiлген.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі тaқырыбымен бiрiншi бӛлiмде дифференциалдық теңдеулердің орта мектепте оқытылатын тақырыптар және дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы тҥсінік зерттеліп жазылған.
Физика және жаратылыстану есептерін дифференциялдық теңдеулерді пайдаланып шешу тaқырыбымен екiншi бӛлiмде дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстарды жҥзеге асыру айқындалды. Дифференциалдық теңдеулерді қолдана отырып физикадағы қозғалысты, биологиядағы микробтардың кӛбеюін және т.б. есептердің шығарылу жолдары кӛрсетілген.
Анықталған интеграл мен дифференциалдық теңдеулердің қолданбалылығының жаттығулары - 11 сынып оқушыларына қолданбалы курс бағдарламасы тaқырыбымен ҥшiншi бӛлiмде ҧсынылған таңдау курсының кҥнтізбелік жоспары оқушылармен жҥргізілген сабақтар және эксперимент қорытындысы жарияланды.
Қорытындыдa диссертaциялық жҧмыстың зерттеyдегi негiзгi нәтижелер кӛрсетiлiп, жaлпы жҧмыс бойыншa қорытындылaр жaсaлды.

І ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕСІ

3.1 Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы тҥсінік

Физиканың негізгі заңдарының бірі Ньютонның екінші заңына сәйкес тҧрақты m массасы бар, материалды нҥктенің тҥзу сызықты қозғалысында қозғалысты тудырушы F кҥші m масса мен ҥдеудің кӛбейтіндісіне тең, F=m*a. F кҥші ӛз кезегіңде x координатасына, оның v жылдамдығына және t уақыт моментіне тәуелді болуы мҥмкін. Сондықтан F=m*a теңдігін былай қайта жазуға болады:

ma
f (x, v,t)
(1)

Енді нҥктенің жылдамдығы координата ның уақыт бойынша

туындысына тең
туындысына тең
x['] , ал ҥдеу - координатаның уақыт бойынша екінші
a x[''] . Сондықтан теңдеу (1) келесіні білдіреді.

mx['']
f (x, x['],t)
(2)

Біз (қозғалыс заңы) аргументі t -ға тәуелді белгісіз x функциясымен оның бірінші және екінші ретті туышдысы және t аргументінің ӛзі енетін теңдеуді алдық. Бҧл теңдеуді шешіп, біз нҥктеге әсер етуші кҥштер бойынша нҥктенің қозғалу заңын біле аламыз. Осындай және бҧдан кҥрделірек теңдеуге машинаның, ракетаның, планета және т.б. бӛліктердің қозғалу заңын келтіруге болады. Осындай теңдеулерді дифференциал теңдеулер деп атайды.
Анықтама 1 Дифференциалдық теңдеу деп ізделінді функцияның қандай да бір туындысымен қатар, осы функцияның ӛзін және оның дифференциалын біріктіретін теңдеулерді айттамыз.
Дифференциалдық теңдеулерге мыналар мысал бола алады:

y''
x[2] y[3] 1,
y' 2x 1,
y 4
y[''] sin y
және т.б.

Соңғы теңдеулерде ізделінуші функция у және оның бірінші у[1] және у[11] туындылары бар. Ал тәуелсіз айнымалы ретінде х еніп тҧр. [3]
Мысал 1. Космостан жерге тҥсіп келе жатқан материалдық нҥктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. Бҥкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша нҥктеге
f * Mm
x2

кҥші әсер етеді, мҧндағы М - жердің массасы, m - нҥктенің массасы - пропорционалдық коэффициенті және х-нҥктеден жердің бетіне дейінгі арақашықтық (минус таңбасы қойылғанының себебі кҥштің бағыты координаттар осінің бағытана қарама-қарсы). Ньютонның екінші заңы

бойынша
F m * a
болғандықтан,
m * Mm
[a] x [2] ,
немесе
a m .
x 2
Бірақ
a x''

болғандықтан ізделінді дифференциалдық теңдеу [4]
x'' M
x 2
тҥрінде жызылады.
Символдық тҥрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.

F(x, y, y') 0,
F(x, y, y'') 0,
F(x, y, y', y'',..., y[(][n][)] ) 0,

Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір белгісіз айнымалыға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Кӛрсеткіштік ӛсудің және кӛрсеткіштік кемудің дифференциалдық теңдеуі физикалық, техникалық, биологиялық және әлеуметтік ғылымдардың кӛптеген есептерінің мынадай дифференциалдық теңдеуді.

f ['] (x) kf (x)
(3)

қанағаттандыратындай функцияларды табуда келтіріледі, мҧндағы k - қандай да бір константа.
Кӛрсеткіштік функцияның формуласын біле отырып, мына теңдеудің

f ['] (x) Сe[kx]
(4)

шешімі кез келген функция болатынын байқау қиын емес, мҧндағы С- тҧрақты. Ал С еркімізше алынатындықтан, дифференциалдық теңдеудің шешімдері шектеусіз кӛп болады.
(3) теңдеудің (4) тҥрдегі функциялардан ӛзге, басқа шешімдерінің болмайтынын дәлелдейік. Ол ҥшін (4) теңдеуді қанағаттандыратын кез келген f функциясын және

g(x)
f (x)e[ ][kx]
(5)

кӛмекші функциясын қарастырамыз. g функцияның туындысын табамыз:

g'(x)
f '(x)e[ ][kx] f (x)(e[ ][kz] )'
f (x)e[ ][kx] kf (x)e[ ][kx] .

kf (x)
аламыз:
- тің орнына (3) теңдеудегі f '(x)
-ті қойып, мынаны шығарып

g'(x) kf (x)[ ][kx] kf (x)e[ ][kx] 0.

g функцияның туындысы нӛлге тең болғандықтан, барлық х ҥшін
g(x) C болады. (4) - тен мынау шығады:

f (x)e[ ][kx] C,
бҧдан
f (x) Ce[kx] ,

дәлелдемекшіміз де осы болатын.
Е с к е р т у. Жоғарыда келтірілген талқылауларда біз f фунциясын бҥкіл сандық тҥзуде анықталған және (3) теңдеуді қанағаттандырады деп ҧйғарған болатынбыз. Нақтылы есептерде (3) теңдеуді тек қандай да бір аралықта ғана қанағаттандыратын функцияларды қарастыруға тура келеді. Әрине, ондай жағдайда (4) формуладан жалпы шешімді (3) теңдеу орындалатындай аралықта ғана табатынымыз тҥсінікті. (3) дифференциалдық теңдеудің мағынасы мынау - функцияның х нҥктесіндегі ӛзгеру жылдамдығы сол функцияның осы нҥктедегі мәніне пропорционал. Бҧл теңдеу практикалық есептерді шешкенде жиі кездеседі.
Мысал 2 (Радиоактивтік ыдырау). Айталық, бастапқы уақыт мезетінде радиоактивті заттың массасы мынадай болсын:
m(0) m0 .
Ал уақыт ӛтуімен заттың m (t) массасының кему жылдамдығы оның мӛлшеріне пропоционал болатыны белгілі, яғни мына теңдеу орындалады:
m'(t) km(t),
мҧндағы k 0. Жоғарыда тағайындалған қасиет бойынша
m(t) Ce[ ][kx] . (6)
С константасы (6) шарттан табылады. Атап айтқанда, t=0 болғанда

0
m m(0) Ce[ ][k][*0] C, яғни C m0.

Соңында, былай болып шығады:
o
m(t) m e[ ][kt] .Осы қарастырылған мысал типтік сипатты: дифференциалдық теңдеулердің шектеусіз кӛп шешімдерінің ішінен бір шешімін жекелеп айырып алу ҥшін, әдетте тағы да бір бастапқы шарты енгізу қажет (қарастырылып отырған жағдайда ол - (6) шарт). [7]
Радиоактивті заттың массасы екі есе кемитін уақыт аралығы Т - ні білсек, k - ны табуға болады. Ӛйткені

m(T ) 1 m яғни m e[kz] 1 m ,

2 0, 0 2 0

бҧдан шығатын

e kt

1 .
2

Олай болса,
ekt
2,
kT ln 2,
бҧдан
k ln 2 .
T

Мысалы, радий ҥшін есептелетін болса)
T 1550
жыл. Сондықтан (егер уақыт жылмен

k ln 2
1550
0,000447

Миллион жылдан кейін радийдің бастапқы m0 массасынан қалатыны
тек мынау ғана m(10[6] ) m e[ ][447] 0,6 *10[ ][194]m .
0 0

Гармоникалық тербеліс f функциясының f ' туындысынан алынған

туындыны f функциясының екінші туындысы деп атайды және белгілейді (оқылуы: эф екі штрих). Мысалы:

sin' x cos x,sin'' x cos' x sin x,
f ''
деп

cos' x sin x, cos'' x sin' x cos x.
(7)

Функцияның сипатын неғҧрлым толық зерттегенде екінші туындының тигізер септігі мол. Бірінші туынды функция ӛзгерісінің жылдамдығы болса, ал екінші туынды сол жылдамдықтың ӛзгеру жылдамдығы, яғни ҥдеу.
(7) формуланы талдай келе, синус пен косинустың екінші туындыларының сол функциялардың ӛздерінен айырмашылығы тек таңбасында ғана екенін аңғарамыз. Басқаша айтқанда, бҧл функциялардың екеуі де, t аргументінің барлық мәндерінде, мына теңдеуді қанағаттандырады:

f ''(t) f (t).

Физикада, атап айтқанда, механикада, мына теңдеуді

f ''(t) [2] f (t)

(8)

қанағаттандыратын f функциялары ҥлкен роль атқарады, мҧндағы - оң тҧрақты.
Осы тектес теңдеуге саятын бір есепті механика саласынан келтірейік. Айталық, массасы m кішкентай шарға горизонталь орналасқан
серіппе бекітілген де, оның екінші ҧшы бекітілген (1-сурет) және де шар центрінің х координатасы тепе-теңдік қалыпта нӛлге тең делік.

1-сурет 2-сурет

Шар центрін координатасы
x 0
нҥктеге орын ауыстырғанда, шарды

тепе-теңдік қалыпқа қайтаратындай кҥш пайда болады. Гук заңы бойынша ол

кҥш орын ауыстыру шамасы х-ке пропорционал, яғни
F kx,
мҧндағы k - оң

константы (2-суретке қара). Ньютонның екінші заңы бойынша, тҥзу бағытта

қозғалғандағы ҥдеу координатаның екінші туындысы екені н ескеріп, мынаны табамыз:

ma(t) mx''(t) F,
яғни
x''(t) k
m
x(t).

басқаша айтқанда, шар центрінің серпімділік кҥшінің әсері нен
k
m
қозғалысы болғандағы (8) теңдеуге бағынады.

теңдеу (8)-ға сәйкес уақыт ӛткенде физикалық шама гармоникалық тербеліс жасайтынын кӛрсетейік. Ал, (8) теңдеудің ӛзін гармоникалық тербелістердің дифференциалдық теудеуі деп атайды.
А мен тҧрақтылары қандай болғанда да

f (t) Acos( t )
(9)

функциясы (8) теңдеудің шешімі екенін тексерейік. Шынында да, кҥрделі функцияның туындысына арналған формуланы пайдаланып, мынаны табамыз:

f '(t) A sin( t ),
f '' A 2 cos( t ) 2 f (t).

Кері ҧйғарым орын алады: (8) теңдеуінің кез келген шешімі (9) тҥріндегі функция, сонымен бірге, әдетте былай таңдап алынады:

A 0, [0;2 ].
кетеді.
Мҧның дәлелдемесі мектеп курсының кӛлемінен шығып

Егер бастапқы шарттар
f (0) y0 ,
f '(0) v0
алдын ала берілсе, онда А

мен тҧрақтыларын анықтауға болады. [8] Дененің атмосфералық ортада қҧлауы
Енді кҥрделі бір мысалды қарастырайық. Дене атмосферада қҧлаған
жағдайда ауаның оған кӛрсетер кедергісін ескерту қажет болады. Эксперимент жҥзінде мынау тағайында лған: денеге әсері ететін F кҥші

F(t) mg kh'(t),
мҧндағы m- дененің массасы, g-еркін тҥсу ҥдеуі,
h(t)
тҥзу

бойындағы координатасы (Oh осі вертикаль тӛмен бағытталған), k - пропорционалдық коэффициенті, сондықтан мынадай теңдеу шығады.

mz''(t) mg kz'(t),
яғни
z' ' (t) g
k z'(t),
m

мҧнда
v(t) z'(t)
деп белгілеп қозғалыс жылдамдығына қатысы тӛмендегідей

дифференциалдық теңдеуді қарастыру қолайлы:

v'(t) g bv(t),
мҧндағы
b k
m
oo 0.
(10)

Бҧл теңдеуді ӛзімізге таныс тҥрге к елтіру ҥшін белгісіз функция

енгіземіз y(t) g v(t), сонда y'(t) g v(t) ' v'(t)

және (9) теңдеу мына

b
b
тҥрде жызылады.

y'(t) by(t),
яғни
y'(t) by(t).

Ал бҧл теңдеудің шешімдері белгілі:
y'(t) Ce[ ][bt] . Олай болса,

v(t)
g y(t)
b
g Ce[ ][bt] * y e[ ][bt]
b

функциясы R жиынында кемиді,

сонымен бірге t ӛскенде (яғни
t
жағдайда кез келген с ҥшін
Ce[ ][bt] 0)

оның мәндері шектеусіз кемиді ( Мҧның мәнісі қозғалыс жылдамдығы

тҧрақты
g шамасына жуықтап, бҧл болса, пропорционалдық коэффициент k
b

мен масса m - ге тәуелді. Мысалы, созылыңқы секіру кезінде (парашют ашылмай қалған) ол жылдамдық шамамен 50 мс-қа тең, ал парашюттің жерге тҥскендегі жылдамдығы (k шамасы едәуір ҥлкен болғанда) шамамен 4-5 мсағ. [9]
Осы мысалдардан-ақ функцияларды зерттеу барасында дифференциадық теңдеудің қаншалықты қуатты қҧрал болып табылатынын оңай тҥсінуге болады. Қандай да бір процесс бағынатын жеңіл-желпі заңдар кӛбінесе дифференциалдық теңдеулер тҥрінде жазылады, ал процестің уақыт барысында қалайша ӛрістейтінін айқандау ҥшін, ол дифференциалдық теңдеулерді шешуге тура келеді.

3.2 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу

1.0.1 Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу, оның жалпы шешімі және алғашқы шарттары.

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарт деп
аталатын y x0 y0 шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебін
Коши есебі (О.Л.Коши 1789-1857-аса кӛрнекті француз математигі ) деп атайды.
Коши есебінің шешімі жалпы жағдайда бар болуы да болмауы да мҥмкін. Егер Коши есебінің шешімі бар болса, онда ол жалғыз ба? Бҧл сҧраққа келесі теорема жауап береді.

Теорема (Коши есебінің бар және оның жалғыз болуы туралы).

Егер
y
f x, y , x, y G
нормаль дифференциалдық теңдеуінің оң

жағындағы f x, y функциясы және оның
f
y дербес туындысы G

аймағының x0 , y0 G
нҥктесінің белгілі бір маңайында ҥзіліссіз болса,

онда бҧл теңдеудің x x0 ,
y y0
шартын қанағаттандыратын жалғыз

y x шешімі бар.

x x0
болғанда y фукциясының берілген
y0 санын тең болу шартын

0
(бастапқы шартты) кӛбінесе Бірінші ретті y x x
y0 тҥрінде жазады.

F x, y, y 0
(11)

дифференциалдық теңдеуін қарастырай ық. Мҧндағы
F x, y, z

функциясы және оның
F , F
y z
дербес туындылары x, y, z ҥш

ӛлшемді кеңістіктің белгілі бір аймағында ҥзіліссіз болсын. [10]

Егер
Ф x, y, C 0

(12)

теңдігінің сол жағындағы Ф x, y, z функциясы белгілі бір аймақтың
x, y, z нҥктелерінде ҥзіліссіз дифференциалданатын функция болса,
онда оны х бойынща дифференциалдаудан шыққан

Ф Ф dy 0

(13)

х у dx
теңдеумен бірге қарастырып, С-ны шығарып тастағанда пайда болған теңдеу (11) теңдеуге эквивалентті болса, онда (12) теңдік (11) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы деп аталады.
(12) жалпы интегралды y арқылы шешіп алынған

y x, c
(14)

функциясын (12) дифференциалдық тең деудің жалпы шешімі деп атайды. Мҧндағы С параметрдің кез-келген мәніне сәйкес алынған

y y x
функциясы (12) дифференциалдық теңдеудің дербес шешімі

болады.
1-мысал.
y 2y,

x, y R

(15)

дифференциалдық теңдеу ҥшін

y Ce[2][x] ,
x
(16)

функциясы С параметрінің кез-келген мәнінде шешім болатынын кӛруге болады. (16) теңдікті х бойынша дифференциалдасақ,

y Ce[2][x] ,
x
(17)

аламыз. Енді (16) және (17) теңдіктердің біреуінен С-ні тауып екіншісіне қойсақ, онда (15) дифференциалдық теңдеуді аламыз. Олай болса, аниқтама бойынша (16) теңдік (15) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
2-мысал. С параметріне тәуелді

y x c 3 ,
x
(18)

функцияны х бойынша дифференциалдасақ,

y 3 x c 2 , x
(19)

аламыз. (10) және (11) теңдіктерден С параметрін шығарып тастау ҥшін (11)теңдікті ҥшінші дәрежеге шығарамыз:
( y )[3] 27 x C 6 .
Енді (10) теңдік пен осы алынған теңдіктен келесі дифференциалдық

теңдеуді аламыз
( y )[3] 27 y[2] немесе
( y )[3] 27 y[2] 0

(20)

Демек, (19)теңдік (20) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы.
Мынадай мәселе туады: бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы С параметрінің кез-келген мәнінде осы дифференциадық теңдеудің шешімдерінің барлығын қамти ала ма?
Жалпы жағдайда жауап теріс. Алайда келесі теорема орындалады.
Теорема. Айталық

F x, y, y 0
x, y, y
(11') дифференциалдық

теңдеуінің сол жағындағы F x, y, z функциясы және оның
F , F

x z

дербес туындылары x, y, y
нүктелерінің белгілі бі аймағында

үзіліссіз және дифференциалдық теңдеуінің С қатысты шешілген

x, y C
(13)

жалпы интегралдағы x, y
функциясы
x, y жазықтығының белгілі

бір аймағында үзіліссіз дифференциалданатын болсын.

Егер
y f x ,
x, y x , y x
функциясы (13) теңдеуінің С

параметрінің белгілі бір мәніне сәй кес келетін a, b
аралығында

үзіліссіз дифференциалданатын шешімі болса, онда ол (11') дифференциалдық теңдеуінің де шешімі және керісінше (11') дифференциалдық теңдеуінің әрбір шешімі (13) теңдеудің де (С-ның қандай да бір мәніне сәйкес) шешімі болады.

y y x ,
a x b,

функциясы (13) теңдеудің
C C0 мәніне сәйкес ҥзіліссіз

дифференциалданатын шешімі болсын

x, y x C0 , x a, b .

Алынған тепе-теңдік х бойынша дифференциалдасақ

x, y x x, y x y x 0,
x a, b ,

(14)

x y

аламыз, яғни
y x функциясы
x, y x, y y x 0

(15)

x y
дифференциалдық теңдеуінің шешімі. Ал (15) теңдеу (11') дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралының анықтамасына сай алынған қҧрамында С параметрі жоқ дифференциалдық теңдеу.
Сондықтан да (15) және (11') дифференциалдық теңдеулері эквивалентті,
яғни y x функциясы (11') дифференциалдық теңдеуінің де шешімі.

Керісінше,
y x ,
a x b,
функциясы (11') дифференциалдық

теңдеудің шешімі болсын. Демек, ол (11') дифференциалдық теңдеудің де шешімі, яғни (14) тепе-теңдік орын алады. Ал (14) тепе-теңдік
x x, y x 0, x a, b

тҥрінде жаза аламыз. Бҧл теңдікті
x0 ден x
oo ке дейін интегралдасақ

x0 a, b ,

x

x

0 x
x0
x, y x dx x, y x
x, y x
x0
x0 , y x0 x, y x
C0 ,

яғни
y x
функциясы a, b
аралығында
x, y C0
теңдеуінің де

шешімі болатынын кӛреміз.[12]

1- мысалда,
y 2y,

y , (15)

дифференциалдық теңдеуінің жалпы интегералын С-ға қатысты шешсек

ye 2 x
C,
x,
y ,
(16')

Бҧл теңдеудің сол жағындағы туындылары
x, y
ye 2 x
функциясының дербес

2 ye[ ][2][x] ,
x
e[ ][2][x] ,
y

x, y

жазықтығының кез-келген нҥктесінде ҥзіліссіз, демек, теорема

бойынша 8
қамтиды.
интгерал (7) дифференциалдық теңдеуінің барлық шешімдерін

2- мысалда,

( y )[3] 27 y[2] 0
дифференциалдық теңдеуінің жалпы инетегралын С арқылы шешсек
1
(20)
y x c 3 ,

x ,

x y 3 C
(18')

аламыз.
(20) дифференциалдық теңдеудегі
F x, y, z z 3 27 y[2]

функциясының

дербес туындылары
F 54 y, F
y z
1
3z[2] ,
бҥкіл
x, y, z

кеңістікте ҥзіліссіз; Ал
x, y x y 3
функциясының у бойынша дербес

1 1
y 3 [2]
y 3

туындысы y=0 ӛсінің бойында жоқ, демек теорема шарты

орындалмайды. Олай болса (20) дифференциалдық теңдеудің кез-келген шешімін оның жалпы (18) немесе (18')) интегралынан С параметрінің қандай да бір мәніне сәйкес) аламыздеп айта алмаймыз. Басқаша айтқанда, (20) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы ол теңдеудің барлық шешімін қамтымауы мҥмкін. [13]
3- суретте (20) дифференциалдық теңдеу дің y x c 3 , жалпы
интегралындағы С-ның әртҥрлі мәндеріне сәйкес келетін кубтық параболалар кескінделген.
Бҧл параболалардың әрбіреуі (20) дифференциалдық теңдеудің интегралдық қисығы. Бірақ (20) дифференциалдық теңдеудің осы (немесе (18') жалпы интегралдан ӛзге шешімдері де бар, мысалды 1-суретте толық сызықпен кӛрсетілген
y
1

0

x
3 сурет

x 3 , x ,
0,
y x x ,

x 3 , x

қисығы. Мҧндай қисықтар (шешімдер) ақырсыз жиынды қҧрайды,
ӛйткені олар болатын , сандар жҧбына сәйкес алынады. Бҧл
қисықтарды С-ға қандай мән берсекте , жалпы интегралдан шығара

алмаймыз. Егер (20) дифференциалдық теңдеуді
y 0 (немесе
y 0 )

жарты кеңістікте қарастырсақ да (20) дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралы оның барлық шешімін қамтиды.[14]

2.0.2 Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер

Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп

dy
dx
f (x) * ( y)

тҥріндегі теңдеулерді айтамыз. Бҧл теңдеуді шешу ҥшін алдымен айнымалыларды ажыратып алу қажет:

dy
( y)
f (x)dx

Сонан соң осы теңдеуді интегралдау қажет:

dy f (x)dx
( y)
1. x( y[2] 1)dx ydу теңдеуінің жалпы шешімін табу керек.
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып мынаны аламыз:

xdx
ydy

1 y [2]

Алынған теңдеулердің екі бӛлігін де интегралдаймыз

2
xdx ydy ; 1 y
x 1 ln(1 y [2]
2
2 2) 1 ln C.
2

Қандай да бір тҧрақты С кез келген сандық мәнді қабылдай алатындықтан, кейінгі тҥрлендірулерге ыңғайлы бол у ҥшін С тҧрақтының орнына бір

(1 2) ln С
деп жаздық. Соңғы теңдікті потенциалдап келесіге ие боламыз.

x[2] ln[C( y [2] 1)]

Бҧл берілген теңдеудің жалпы шешімі.
2. t 3 болғанда S 4 бастапқы шартын қанағаттандыратын
s *tgtdt ds 0 теңдеуінің дербес шешімін табу керек. [15]
Шешуі: Айнымалыларды ажыратып, мынаны аламыз.
tgtdt ds 0
s
Алынған теңдеудің екі бӛлігін интегралдаймыз:

s
tgtdt ds
ln C;
oo ln cost ln s ln c,

немесе

ln s ln c ln cost,

S C *cost

ҥшін
Бҧл берілген теңдеудің жалпы шешімі С тҧрақтысының мәнін табу
t 3 және S = 4 мәндерін жалпы шешімнің ӛрнегіне қоямыз:

4 c(cos 3), немесе 4 c 2, бҧдан С =8.
Ендеше, аталған бастапқы шарттарды қанағаттандыратын ізделінді дербес шешім келесі тҥрге ие:
S 8* cos t.

2.1 Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер.

3.0.3 Бірінші ретті теңдеуге келтірілетін екінші ретті дифференциалдық теңдеулер

1 [d] 2 y
dx [2]
f x
тҥріндегі екінші ретті дифференциалдық теңдеуді

шешу ҥшін оның ретін тӛмендетіп, былайша шешеміз:

dy z
болсын , сонда
d [2] y dz
болады да
dz
f x
тҥріндегі

dx dx [2] dx dx

бірінші ретті дифференциалдық теңдеу аламыз. Бҧдан
dz
f x dx . Бҧл

теңдеудің екі жағын да интегралдасақ,
z f x dx F x C1 болады.

z dy

деген белгілеуге кӛшсек,
dy F x C

тҥріндегі бірінші ретті

dx dx [1]

дифференциалдық теңдеу аламыз. Бҧдан
dy F x C1 dx F x dx C1dx .

dy F x dx C1dx ;
y F x dx C1x C2
берілген теңдеудің жалпы шешімі болады.

Мысал.
d [2] y
dx [2]
6x [2] теңдеуін шешу керек.

Шешуі.
dy z
деп белгілейік, сонда
d [2] y dz
болады да,
dz 6x [2] ,

бҧдан
dx
dz 6x[2]dx ;

dz

6x

[2]dx

C1 ;

z 6
dx [2]
x3
3
dx
C1 ;
dx
1
z 2x[3] C , немесе
dy 2x[3] C .

dx [1]
Осы теңдеуді интегралдасақ,
1 2

dy
x4

2x[3]dx
;
C dx C
x 4

y 2
4
oo C1 x C2
y 2 C1 x C2

болады.

2 [d] 2 y
dx [2]
f y
теңдеуін шешу керек.

Шешуі.
dy z dx
тҥріндегі белгілеуін енгіземіз. Сонда

d [2] y dz

dz dy

dz

болады
dx[2]
z
dx dy dx dy

Сонымен
dz z
dy
f y
тҥріндегі айнымалылары бӛлектенетін

дифференциалдық теңдеу алдық. Бҧдан,
zdz
f y dy .

Осы теңдеуді интегралдап z-ті тапқаннан кейін, оны
dy -пен
dx

ауыстырып, х пен у-ке қатысты айнымалыны бӛлектеуге болатын теңдеу аламыз. [16]

4.0.4 Тҧрақты коэффициентті сызықтық бірт ектес екінші ретті дифференциалдық теңдеулер

1 Анықтама бойынша екінші ретті сызы қтық дифференциалдық теңдеудің жалпы тҥрі мынандай болады:

y P x y q x y F x
(21)

Егер P x және Q x - тҧрақты, ал
F x 0
болса, онда екінші ретті

сызықтық теңдеу тҧрақты коэффициентті бертектес теңдеу деп аталады.
Сонымен тҧрақты коэффициентті сызық тық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеу

y Py qy 0
тҥрінде болады.
(22)

2 у1 және у2 функциялары (22) теңдеудің шешімдері болсын.
А н ы қ т а м а . Егер a, b кесіндісінен алынған кез келген х ҥшін
y1 y2 теңдігі орындалатындай саны табылса, онда у1 және у2
шешімдері a, b кесіндісінде сызықты тәуелді деп , ал егер осындай
саны табылмаса, онда у1 және у2 шешімдері сызықты тәуелсіз деп аталады,

яғни y1
y2
қатынасы a,
b кесіндісінде тҧрақты болмайды.

1
1
Теорема 1. (22) теңдеудің у1 шешімін С тҧрақты санына кӛбейтсек, ол да осы теңдеудің шешімі болады.
Дәлелдеу. Cy1 -ді (2) теңдеуге қояйық. Cy1
P Cy
qCy
0 , бҧдан

Cy PCy qCy C y Py qy 0 ,
1 1 1 1 1 1

себебі у1 берілген теңдеудің шешімі болғандықтан
y Py
qy1 0
болады.

1
1
Бҧдан Cy1 -дің (2) теңдеудің шешімі болатындығын кӛрдік.Теорема 2. (2) теңдеудің у1 және у2 шешімдерінің қосындысы да (2) теңдеудің шешімі болады.

Дәлелдеу.
y1 y2
қосындысын (2) теңдеуге қояйық:

y y
P y
y q y
y y y Py Py
qy
qy

1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2

y Py qy y Py
qy 0 0 0

1 1 1 2
2 2

Демек
y1 y2
берілген (2) теңдеудің шешімі болды.

Теорема 3. Егер у1 және у2 функциялары (2) теңдеудің сызықтық тәуелсіз шешімдері, ал С1 мен С2 - кез келген тҧрақты сандар болса, онда

y C1 y1 C2 y2

функциясы да (22) теңдеудің шешімі болады.
Бҧл теоремадан сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін оның кез келген екі сызықтық тәуелсіз дербес шешімі арқылы табуға болатынын кӛреміз.[17]

y e[kx]
ауыстыруын жасау арқылы теңдеудің екі дербес шешімін табуға

болады. Бҧл жағдайда (22) теңдеу мына тҥрде болады:

y e[kx] , немесе
y k e[kx] , y k [2] e[kx]
болғандықтан
k [2]e[kx] pke[kx] qe[kx] 0

болғандықтан болады.

k [2] pk q 0
e[kx] k [2] pk q 0 . e[kx] 0

(23)

(23) теңдеу сызықтық біртектес теңдеудің характеристикалық (сипаттамалық)
теңдеуі деп аталады.
Мынандай жағдайлар болуы мҥмкін:

1) (23) теңдеудің тҥбірлері k1 және k2 әртҥрлі нақты сандар:
k1 k2 .

Сонда
y e[k]1x ,
y e[k]2 x
функциялары (22) теңдеудің сызықтық тәуелсіз

1
2
шешімдері болады да, оның жалпы шешімі

1
2
тҥрде болады. y C e[k]1x C
ek2 x
(24)

2) (23) теңдеудің тҥбірлері ӛз ара тең нақты сандар:
k1 k2 . Бҧл

жағдайда бір дербес шешімді
y e[k]1x
ал екіншісін
y e[k]1x
тҥрінде аламыз.

2
у1 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.