ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КУРСЫНЫҢ ЖАТТЫҒУЛАРЫН ШЕШУДЕ КОМПЬЮТЕРЛІК ТЕХНОЛОГИЯНЫ ҚОЛДАНУ

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 120 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті Жаратылыстану институты

«Физика және математика» кафедрасы ӘОЖ 37. 016 : 512. 628. 2 : 004 : 378. 245. 2

КЕУКЕНОВА БАҒЖАН ӘНЕСБЕКҚЫЗЫ

Ғылыми жетекшісі: ф. -м. ғ. к., қауымдастырылған профессор Ибраев Шерали Шапатаевич

Ғылыми кеңесшіcі: ф. -м. ғ. к., профессор м. а.

Турбаев Боранбай Есмаханбаевич

Қазақстан Республикасы Қызылорда, 2021 ж.

Қазақстан Республикасы ғылым және білім министрлігі Қорқыт Ата атындағы Қызылорда университеті Жаратылыстану институты

«Физика және математика» кафедрасы

«Қорғауға жіберілді» Кафедра меңгерушісі Л. С. Каинбаева

« » 2021 жыл

Магистрлік диссертация (магистрлік жоба) ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕР КУРСЫНЫҢ ЖАТТЫҒУЛАРЫН

ШЕШУДЕ КОМПЬЮТЕРЛІК ТЕХНОЛОГИЯНЫ ҚОЛДАНУ

мамандығы: 7М01510 - Математика (ғылыми-педагогикалық бағыт)

Магистрант Б. Ә. Кеукенова

Ғылыми жетекшісі,

ф. -м. ғ. к., қауымдастырылған

профессор Ш. Ш. Ибраев

Ғылыми кеңесші,

ф. -м. ғ. к, профессор м. а. Б. Е. Турбаев Институт директоры С. О. Қосaнов

Қызылорда, 2021 ж.

МАЗМҦНЫ

НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР 4

АНЫҚТАМАЛАР 5

КІРІСПЕ 6

І. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕСІ

Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы тҥсінік 11
Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу 16Бірінші ретті дифференциалдық теңдеу, оның жалпы шешімі және алғашқы шарттары. 16Айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеулер 21
Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер 22Бірінші ретті теңдеуге келтірілетін екінші ретті дифференциалдық теңдеулер 22Тҧрақты коэффициентті сызықтық біртектес екінші ретті дифференциалдық теңдеулер 23

II. ФИЗИКА ЖӘНЕ ЖАРАТЫЛЫСТАНУ ЕСЕПТЕРІН ДИФФЕРЕНЦИЯЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ПАЙДАЛАНЫП ШЕШУ 27

Дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстарды жҥзеге асыру 27
Дифференциалдық теңдеулерді физика-техникалық есептерін шешуде қолданулары 28
Дифференциалдық теңдеулерді химия, экология мен биология және биологиялық популяция мӛлшерінің ӛсу жылдамдығында қолданулары 39

ІІІ. ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ЖӘНЕ ОНЫҢ ҚОЛДАНБАЛЫЛЫҒЫН ОҚЫТУДА КОМПЬЮТЕРЛІК ТЕХНОЛОГИЯНЫ ҚОЛДАНУ 57

Математиканы оқытуда жаңа ақпараттық технологияларды қолдану 57
Дифференциалдық есептеулерде ақпараттық компьютерлік технологияны пайдалану 68
Орта мектеп курсындағы анықталмаған және анықталған интегралдарды, дифференциалдық теңдеулерді есептеуге Maple, WolframAlpha жҥйелерін қолданудың ҥлгі сабақ жоспарлары 80
Эксперимент және оның нәтижелері 93

ҚОРЫТЫНДЫ 96

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ 98

ҚОСЫМША 1 101

ҚОСЫМША 2 104

ҚОСЫМША 3 105

НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР

Осы диссертацияда келесі стандарттарға сілтемелер пайдаланылған:

Н. Ә. Назарбаев. Қазақстан халқына жолдауы. «Жаңа әлемдегі жаңа Қазақстан». Қазақстан Республикасы Президентінің Қазақстан халқына Жолдауы, Астана қ., 2007 жылғы 28 ақпан;
Қазақстан Республикасының «Қазақстан-2050» стратегиялық бағдарламасы;
2018 жылы 10 қаңтардағы «Тӛртінші ӛнеркәсіптік революция жағдайындағы дамудың жаңа мҥмкіндіктері» Қазақстан Республикасының Президенті Н. Назарбаевтың Қазақстан халқына жолдауы;
Қазақстан Республикасы Ҥкіметінің 2019 жылғы 27 желтоқсандағы

№ 988 қаулысы «Қазақстан Республикасында білім беруді және ғылымды дамытудың 2020 - 2025 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасын бекіту туралы».

ҚР Президентінің Қазақстан халқына жолдауы. «Әлеуметтік- экономикалық жаңғырту - Қазақстан дамуының басты бағыты»// Егемен Қазақстан, 28 қаңтар, 2012 ж.
Назарбаев Н. Ә. Инновациялар мен оқу - білімді жетілдіру арқылы экономикасына. // Егемен Қазақстан, 27 мамыр, 2006 ж.
ҚР Білім туралы заңы. «Егемен Қазақстан» 15 тамыз, 2007ж.

АНЫҚТАМАЛАР

Дифференциалдық теңдеу - ізделінді функцияның қандай да бір туындысымен қатар, осы функцияның ӛзін және оның дифференциалын біріктіретін теңдеулер.

Коши есебі - бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің бастапқы шарт

деп аталатын y ( x 0 ) = y 0 шартын қанағаттандыратын шешімін табу есебі.

Бастапқы шарттар - Коши есебінің шешіміне қойылатын шарт. Компьютерлік технология дегеніміз - ақпараттарды автоматты тҥрде ӛңдейтін ақпараттық және бағдарламалық жабдықтардың жиыны.

Дербес туынды - кӛп айнымалды u=f(x1, x2, . . . , xn) функциясының дербес туындысы деп осы функцияны x1, x2, . . . , xn айнымалыларының біреуі, мысалы xi бойынша алынған туындыны айтады, бҧл жағдайда басқа айнымалылар тҧрақты деп есептеледі (белгіленуі ∂u/∂xi немесе f'xi) .

Жалпы шешім - y(n) =f(x, y, y', . . . , y(n-1) ) қарапайым дифференциалды теңдеудің жалпы шешімі кез келген тҧрақты n шамадан ҥзіліссіз тәуелді у=Φ(x, С1, С2, . . . , Cn) функциялар жҥйесі тҥрінде анықталады. Осы тҧрақтылардың мәндерін сәйкесінше таңдап алу арқылы теңдеудің кез келген дербес шешімін алуға болады.

Maple - компьютерлік алгебра жҥйесі (дәлірек айтсақ, компьютерлік математика жҥйесі) .

WolframAlpha - бҧл білімді есептеудің қозғалтқышы немесе жауап беру машинасы еншілес компаниясы.

Интеграл (лат. іnteger - бҥтін) - туындысы бойынша функцияны іздеу (мысалы, қозғалған нҥктенің жҥріп ӛткен жолын ӛрнектейтін функцияны сол нҥктенің жылдамдығы бойынша табу), екінші жағынан - аудан, кӛлем және доға ҧзындығын ӛлшеу, кҥштің белгілі бір уақыт ішінде атқарған жҧмысын табу.

КІРІСПЕ

Дҥниежҥзілік қауымдастықта болып жатқан сан алуан еліміздің саяси- экономикалық жағдайымен қатар, әлеуметтік саланың ең бір ӛзекті тҧсы білім беру жҥйесіне де зор әсер етеді.

«Тӛртінші ӛнеркәсіптік революция жағдайындағы дамудың жаңа мҥмкіндіктері» атты Қазақстан Республикасының Президенті Н. Назарбаевтың Қазақстан халқына 10 қаңтар 2018 жылғы жолдауында

« . . . Білім берудің барлық деңгейінде математика және жаратылыстану ғылымдарын оқыту сапасын кҥшейту керек. Бҧл жастарды жаңа технологиялық қалыпқа дайындаудың маңызды шарты . . . »

Қазақстан Республикасында білім беруді дамытудың Мемлекеттік бағдарламасына сәйкес жалпы білім беретін мектеп политехникалық мектеп болып қала отырып, оқушыларды нарықтық экономиканың барлық басты салаларына, теориялық және практикалық тҧрғыда даярлауымыз қажет.

Оқу - тәрбие процесін батыл интенсивтендіру, пәндердің санын қысқартып, оқу курстарын интеграциялау, оқытуды саралау, оқушылардың міндетті бағдарламадан тысбілім алуға қҧштарлығын дамытып отыру қажет.

Бҥгінде біз ӛмір сҥріп жатқан қоғам біздің мақсаттарымызға қарай сенімді тҥрде алға басуы ҥшін әрбір жаңа ҧрпақ білімділік пен жалпы мәдениеттің, кәсіптік біліктілік пен азаматтық белсенділіктің неғҧрлым жоғары дәрежесіне кӛтерілуге тиіс. Ол ҥшін мектеп пен ӛндірісті, техниканы т. с. с. тығыз байланыстырсақ, реформаның қайтарымы да соғҧрлым толымды болады. Сонымен қатар, жастар дербес ӛмірге жоғары мәдениетті, білімді және еңбекқор болып араласуға тиіс.

Мектептегі кәсіптік білімді оқушылардың жалпы білім әзірлігінің дәрежесін одан әрі арттырумен, олардың жан-жақты рухани дамуымен табиғи тҥрде ҧштастыруды қамтамасыз ету қажеттігі - ҚР білім беруді дамытудың бағдарламасының принципті талабы. [1]

Мектепте білім беру бағдарламасының басты талабы - оқушыларға сапалы орта білім беру, сонымен бірге оқушылар «ӛмір сҥрудің кӛзі» болып табылатын белгілі бір мамандықты игеру болса, ал негізгі талабы-

«Оқытылатын пәндердің саны мен кӛлемін дәл анықтау», «Оқу бағдарламалары мен оқулықтардағы шамадан тыс жҥктемелерді жою», «Оқу пәндеріндегі негізгі ҧғымдар мен жетекші идеяларды ӛте дәл баяндау», «Әрбір пән және сынып бойынша оқушылардың меңгеруі ҥшін міндетті игіліктер мен дағдылардың тиімді кӛлемін анықтау» мектептегі барлық пәндерді, оның ішінде математиканы оқытуды жетілдірудің кӛзі болып отыр. [2]

Математика сабақтарында оқушыларға шын дҥниенің заңдарының математикада бейнелеуінің ӛзіндік ерекшеліктерін ҥнемі ашып кӛрсете отырып, сонымен қатар кҥнделікті ӛмірде кездесіп отыратын есептердің шешу әдісін ҥйрету қажет. Іс жҥзінде қолданылатын сипаттағы есептер оқушылардың алған білімін белсенді тҥрде пайдалана білуге, мәтіндік есептерді математика тіліне аудара білуге уйретеді.

Мектеп оқушыларын ӛндіріс ісіне қосу, олардың сапалы және лайықты жҧмыс істеуін қамтамасыз ету ҥшін мектеп қабырғасында жҥргенде олардың экономикалық сауаттылығын тәрбиелеу керек. Білім беруді дамыту бағдарламасының негізгі бағыттарында оқушыларға экономикалық тәрбие беру мәселесі еңбекке баулумен тығыз байланыста жҥргізілуі және олар қоғамдық меншік, жоспар, еңбек тәртібі мен ӛндірістік тәртіп, жалақы, қосымша қҧн т. б. ӛмірлік мағлҧматтар алуы керек. Оқушылардың ҥнемі тәртібі, еңбек ӛнімділігі, ӛзіндік қҧн, ӛнім сапасы, шаруашылық есеп сияқты ҧғымдармен практикада таныстыруда мектепте математика пәнінің мҥмкіндігі мол. Оқушыларға берілетін экономикалық тҥсініктемелер ӛндірістегі және ауыл шаруашылығындағы еңбектің маңызын тҥсінуге мҥмкіндік береді.

Бҧл тҧрғыда математика сабағында қолданбалы есептер шығару ӛте маңызды орын алады.

Қолданбалы есептер оқушылардың кӛшілігінде математикалық білімнің қҧндылығы оның практикалық мҥмкіндіктерінен қҧралады. Бҧл жӛнінде академик С. Л. Соболев былай деп атап кӛрсетті: «Математикалық ережелер мен заңдарды мҥмкіндігінше ӛмірден таңдап алынған есептер арқылы тҥсіндірген тиімді болар еді».

Математиканы практикалық мазмҧнды материалдармен байланыстыра отырып оқытудың нәтижелілігін оқып-уйренуге қажетті практикалық материалды техникадан, ӛндіріс орындарынан белгілі мақсатпен таңдап алуға тығыз байланысты.

Практикалық материалдарды таңдап алуда қажет кейбір жалпы принциптерді атап ӛтейік:

Мектепте оқып-ҥйрену ҥшін падаланылатын ӛндірістік-техникалық материал бағдарлама бойынша ӛтілетін математикалық материалмен тығыз байланысты болуы тиіс.
Оқушылардың білімін арттыруда техникалық фактілердің мазмҧнының әр саладан алуының ролі зор.
Математикалық ҧғымдарды практикалық бейнелермен кескіндегенде, ол ҧғымдар бірден айқын кӛрініп тҧруы керек. Математикалық ҧғымдар арасындағы байланысты, яғни тәуелділікті тек мҧғалімнің кӛмегімен ғана емес, оқушылар ӛз бетімен де анықтай алатын болуы тиіс.
Практикалық жағдай шындықжағдайға және осы кҥнгі жаңа техникалық ерекшеліктеріне сай, оны дҧрыс бейнелейтіндей болуы қажет.
Мектепте оқуға пайдаланылатын практикалық материалда ескірген, ҥнемсіз тәсілдерді және практикада шындығында жҥргізілмейтін операциялар насихаттауы қажет.
Ӛмірден алынған мәліметтер, оған сәйкес есептің практикалық мазмҧны оқушыларды қызықтыратындай болуы қажет.
Практикалық есептердің тәрбиелік мәні болуға тиіс, келесі мәселелерді шешуде мектепте оқыту ҥшін пайдаланылатын қосымша практикалық материалдардың мазмҧны зор.
Есептерде пайдаланылатын практикалық материал тек белгілі бір мамандықты ғана емес, жалпы ӛзгешеліктерді сипаттайтындай болуы қажет.
Есептің мазмҧнындағы келтірілген оқиға белгілі бір мақсатты кӛздеуі шарт. Практикалық есептерді шығарғанда оқушылар қосымша білім алатын, олар ӛздері белгілі бір қорытындыға келетін болуы тиіс. Ал бҧл ҥшін практикалық есептерде проблемалық оқиғалар тудырып отыру қажет.

Оқушылардың математикалық дайындығы ғылым мен техниканың жетістіктерін ӛмірге пайдалана білуге, қазіргі техникалық электронды есептегіш машиналарды пайдалану принциптері ҥшін, нарықтық экономикаға байланысты қатыстарды (бизнес, биржа, менеджмент, маркетинг және т. б. ) меңгеру ҥшін де, сонымен қатар қалыптасқан экологиялық жағдайларды зерттеу ҥшін де қажет. Бҧл математиканың адамның кҥнделікті ӛмірінде маңызы зор екенін кӛрсетеді. Математиканың кӛмегімен қоғамдағы және табиғаттағы ӛзгерістерді модельдеуге болады және сол модельдер арқылы тҥрлі есептеулер жҥргізіледі.

Бҧдан математиканың мектеп курсындағы негізгі пәндердің бірі екенін кӛреміз. Ол сонымен басқа пәндердің оқытылуын қамтамасыз етеді. Атап айтқанда ол физика, информатика, жаратылыстану пәндері және оқушылардың математикалық логикасын жетілуі мен дамуы гуманитарлық пәндерді де меңгеруін қамтамасыз етеді.

Математиканың негізгі амалдары арқылы (интеграл) оқушылардың практикалық дағдысы мен ойлау қабілетін жетілдіру Қазақстан Республикасының білім беру туралы заңының жҥзеге асыру ҥшін қажетті қҧрамдас бӛлігі болып табылады.

Бҧл Қазақстан Республикасының білім беру заңында былай деп кӛрсетілген: «Білім беру - бҧл қоғам мҥшелерінің адамгершілік, интелектуалдық, мәдени дамуының жоғары деңгейін және кәсіби біліктілігін қамтамасыз етуге бағытталған тәрбие беру мен оқытудың ҥздіксіз процесі».

Білім беру жҥйесінің басты міндеті ҧлттық және жалпы азаматтық қазыналар, ғылым мен практиканың жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыру және дамыту қажетті жағдайлар жасау.

Қазақстан Республикасының білім беру туралы заңдары мемлекеттік саясат принциптерін белгілейді, адамның білім беру алу қҧқығына кепілдік береді және білім беру процесі субъектілерінің арасындағы қатынасты реттейді. Сонымен бірге осы заңның білім беру бабында: «Орта арнаулы білім беру жалпы білім беретін мектептің негізгі және жоғарғы сатыларын, кәсіптік - техникалық училище негізінде жҥзеге асырылады» делінген.

Осы талапқа сәйкес болашақ тҥлектерді математикалық анализді оқыту, атап айтқанда, шек, туынды, интеграл, дифференциал ҧғымдарымен тығыз байланысты.

Зерттеудің өзектілігі: Жиырма бірінші ғасыр жаппай ақпараттық қоғамға кӛшумен сипатталады. Оған компьютерлік техника, ақпараттық технология және де басқа ғылыми-техникалық жетістіктер әсерін тигізуде. Адамның компьютерлік технологияны меңгеруі оған білім алу мен еңбек нарығында ӛз

мҥмкіндіктерін іске асыруға жағдай туғызды. Дифференциалдық теңдеулер математикалық анализдің заңды жалғасы іспеттес. Сондықтан жай дифференциалдық теңдеулердің жаттығуларын шешуде компьютерлік технологияны пайдалану білім алушының (оқушы не студент) туынды мен интегралды есептеулерді ескере отырып, ойлауына, сезіміне, танымдық ҧмтылысына, шығармашылық әрекеттеріне оң ықпал жасап, жақсы нәтижеге жету мҥмкіндіктерін зерттеу ӛте маңызды болып қала береді.

Зерттеу мақсаты: Негізгі орта мектепте алгебра және анализ бастамалары пәні негізінде оқытылатын жай дифференциалды теңдеулер элективтік курсын оқытуда ақпараттық технологияны пайдалануды жетілдіру және пәнаралық байланыстарға байланысты жаттығуларды ғылыми әдістері тҧрғыда жҥйелеу және практикада жҥзеге асыру сҧрақтарын қарастыру.

Негізгі міндеттері: 1) Орта мектепте математика пәні бойынша жай дифференциалды теңдеулер қолданбалы курсын оқытуды жҥйеге асырудың ғылыми әдістемелік мәселелерін зерттеу.

2) Жай дифференциалды теңдеулердің жаттығуларын шешуде компьютерлік технологияны пайдалану мысалдарын қарастыру. .

Практикалық маңызы: Зерттеу нәтижелері бойынша білім алушыларға дифференциалдық теңдеулерді шешудің дәстҥрлі және компьютерлік әдістері ҧсынылады. Жай дифферциалды теңдеулерді жаратылыстану, физика- техникалық жаттығуларын шешуде пайдаланудың жолдары жҥйеленеді.

Зерттеудің теориялық және әдістемелік негіздері: Таным, білім, жеке тҧлға және оның іс-әрекеті ақыл-ой қҧндылық туралы философиялық, психологиялық-педагогикалық теориялар мен тҧжырымдамалар.

Зерттеу әдістері: - Бекітілген жоба тақырыбы бойынша қарастырылатын мәселелерге байланысты психологиялық-педагогикалық және әдістемелік еңбектермен оқып танысу, және оларға талдау жасау, жҥйелеу, мектеп математика пәні бойынша жасалған оқу стандартына, бағдарламасына, оқулықтарға талдау жасау. Математикалық білім беру жӛніндегі озық тәжірибелермен танысу және жинақтау. Тәжірибелік эксперименттік жҧмыс жҥргізу және оны қорытындылау.

Зерттеудің ғылыми жаңалығы: - 1. Орта мектепте қолданбалы курстарда жай дифференциалды теңдеулер курсын қолданбалы бағытта оқытудың оқу бағдарламасын жасау.

Жай дифференциалды теңдеулер жаттығуларын шешуде ақпараттық компьютерлік технологияны пайдалану алғышарттарын жасау.
Ақпараттық компьютерлік технология негіздері жаттығуларын шығарудың ғылыми әдістемелік тҧжырымдарын негіздеу.

Кҥтілетін негізгі нәтижелері: Дифференциалды теңдеулерді басқа ғылымдармен және ӛмірмен байланысын нақты мысалдар арқылы шешу жолдарын кӛрсету;

Орта мектепте «Туынды» ҧғымын қолданбалылық және практикалық бағытта оқытуды жетілдірудің жолдары қарастырылған жаттығулар жҥйесі

жасалынып және оларды шешуде компьютерлік технологияны қолдану әдістері жҥзеге асырылады.

Жҧмыстың сыннан өтуі: Магистрлік жоба жҧмысының негізгі қағидалары Қорқыт Ата Қызылорда университетінің «Физика және математика» кафедрасы жанындағы ғылыми - әдістемелік семинарында, әртҥрлі деңгейдегі ғылыми - тәжірибелік конференцияларда және ғылыми - әдістемелік басылымдарға ҧсынылады.

Мaгистрлiк диссертaцияның қҧрылымы: Диссертaция кiрiспеден, ҥш тaрayдaн, қорытындыдaн, пaйдaлaнылғaн әдебиеттерден, тҥсiндiрме сӛздiктен тҧрaды.

Кiрiспе бӛлiмiнде тaқырыптың тaңдaлyы, оның кӛкейкестiлiгi негiзделiп, зерттеy проблемaсы, мaқсaт-мiндеттерi, объектiсi, пәнi aнықтaлғaн, болжaм ҧсынылып, қолдaнылaтын әдiстер; зерттеy жҧмысының ғылыми жaңaлығы, теориялық және прaктикaлық мәндiлiгi aшылғaн, қорғayғa ҧсынылaтын қaғидaлaр, нәтижелердiң дәлдiгi мен негiздiлiгi aшып кӛрсетiлген.

«Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі» тaқырыбымен бiрiншi бӛлiмде дифференциалдық теңдеулердің орта мектепте оқытылатын тақырыптар және дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы тҥсінік зерттеліп жазылған.

«Физика және жаратылыстану есептерін дифференциялдық теңдеулерді пайдаланып шешу» тaқырыбымен екiншi бӛлiмде дифференциалдық теңдеулер арқылы пәнаралық байланыстарды жҥзеге асыру айқындалды. Дифференциалдық теңдеулерді қолдана отырып физикадағы қозғалысты, биологиядағы микробтардың кӛбеюін және т. б. есептердің шығарылу жолдары кӛрсетілген.

«Анықталған интеграл мен дифференциалдық теңдеулердің қолданбалылығының жаттығулары» - 11 сынып оқушыларына қолданбалы курс бағдарламасы тaқырыбымен ҥшiншi бӛлiмде ҧсынылған таңдау курсының кҥнтізбелік жоспары оқушылармен жҥргізілген сабақтар және эксперимент қорытындысы жарияланды.

Қорытындыдa диссертaциялық жҧмыстың зерттеyдегi негiзгi нәтижелер кӛрсетiлiп, жaлпы жҧмыс бойыншa қорытындылaр жaсaлды.

І ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕСІ Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы тҥсінік

Физиканың негізгі заңдарының бірі Ньютонның екінші заңына сәйкес тҧрақты m массасы бар, материалды нҥктенің тҥзу сызықты қозғалысында қозғалысты тудырушы F кҥші m масса мен α ҥдеудің кӛбейтіндісіне тең, F=m*a. F кҥші ӛз кезегіңде x координатасына, оның v жылдамдығына және t уақыт моментіне тәуелді болуы мҥмкін. Сондықтан F=m*a теңдігін былай қайта жазуға болады:

ma =

f ( x , v , t )

(1)

Енді нҥктенің жылдамдығы координатаның уақыт бойынша

туындысына тең

υ = x ^' , ал ҥдеу - координатаның уақыт бойынша екінші

a = x ^'' . Сондықтан теңдеу (1) келесіні білдіреді.

mx ^'' =

f ( x , x ^' , t )

(2)

Біз (қозғалыс заңы) аргументі t -ға тәуелді белгісіз x функциясымен оның бірінші және екінші ретті туышдысы және t аргументінің ӛзі енетін теңдеуді алдық. Бҧл теңдеуді шешіп, біз нҥктеге әсер етуші кҥштер бойынша нҥктенің қозғалу заңын біле аламыз. Осындай және бҧдан кҥрделірек теңдеуге машинаның, ракетаның, планета және т. б. бӛліктердің қозғалу заңын келтіруге болады. Осындай теңдеулерді дифференциал теңдеулер деп атайды.

Анықтама 1 Дифференциалдық теңдеу деп ізделінді функцияның қандай да бір туындысымен қатар, осы функцияның ӛзін және оның дифференциалын біріктіретін теңдеулерді айттамыз.

Дифференциалдық теңдеулерге мыналар мысал бола алады:

y ''

= x ² y ³ +1,

y ' = 2 x −1 ,

y + 4

y ^'' = sin y

және т. б.

Соңғы теңдеулерде ізделінуші функция у және оның бірінші у ¹ және у ¹¹ туындылары бар. Ал тәуелсіз айнымалы ретінде х еніп тҧр. [3]

Мысал 1. Космостан жерге тҥсіп келе жатқан материалдық нҥктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін жазыңыз.

Шешуі. Бҥкіл әлемдік тартылыс заңы бойынша нҥктеге

f = −℘* Mm

x 2

кҥші әсер етеді, мҧндағы М - жердің массасы, m - нҥктенің массасы ℘ - пропорционалдық коэффициенті және х-нҥктеден жердің бетіне дейінгі арақашықтық («минус» таңбасы қойылғанының себебі кҥштің бағыты координаттар осінің бағытана қарама-қарсы) . Ньютонның екінші заңы

бойынша

F = m * a

болғандықтан,

m = −℘* Mm

^a x ² ,

немесе

a = − m ℘.

x 2

Бірақ

a = x ''

болғандықтан ізделінді дифференциалдық теңдеу [4]

x '' = M ℘

x 2

тҥрінде жызылады.

Символдық тҥрде дифференциалдық теңдеу былай жазылады.

F ( x , y , y ') = 0,

F ( x , y , y '') = 0,

F ( x , y , y ', y '', . . . , y ^{(

n

)} ) = 0,

Жалпы алғанда, егер ізделінді функция бір белгісіз айнымалыға тәуелді болса, онда дифференциалдық теңдеу қарапайым дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Кӛрсеткіштік ӛсудің және кӛрсеткіштік кемудің дифференциалдық теңдеуі физикалық, техникалық, биологиялық және әлеуметтік ғылымдардың кӛптеген есептерінің мынадай дифференциалдық теңдеуді.

f ^' ( x ) = kf ( x )

(3)

қанағаттандыратындай функцияларды табуда келтіріледі, мҧндағы k - қандай да бір константа.

Кӛрсеткіштік функцияның формуласын біле отырып, мына теңдеудің

f ^' ( x ) = Сe ^kx

(4)

шешімі кез келген функция болатынын байқау қиын емес, мҧндағы С- тҧрақты. Ал С еркімізше алынатындықтан, дифференциалдық теңдеудің шешімдері шектеусіз кӛп болады.

(3) теңдеудің (4) тҥрдегі функциялардан ӛзге, басқа шешімдерінің болмайтынын дәлелдейік. Ол ҥшін (4) теңдеуді қанағаттандыратын кез келген f функциясын және

g ( x ) =

f ( x ) e ^{−

kx}

(5)

кӛмекші функциясын қарастырамыз. g функцияның туындысын табамыз:

g '( x ) =

f '( x ) e ^{−

kx} + f ( x ) ( e ^{−

kz} ) '=

f ( x ) e ^{−

kx} − kf ( x ) e ^{−

kx} .

kf ( x )

аламыз:

- тің орнына (3) теңдеудегі f '( x )

-ті қойып, мынаны шығарып

g '( x ) = kf ( x ) ^{−

kx} − kf ( x ) e ^{−

kx} = 0.

g функцияның туындысы нӛлге тең болғандықтан, барлық х ҥшін

g ( x ) = C болады. (4) - тен мынау шығады: