Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
ТҮРКІСТАН ОБЛЫСЫНЫҢ АДАМИ ӘЛЕУЕТТІ ДАМЫТУ БАСҚАРМАСЫ
Ғ. МҰРАТБАЕВ АТЫНДАҒЫ ЖЕТІСАЙ ГУМАНИТАРЛЫҚ-ТЕХНИКАЛЫҚ КОЛЛЕДЖІ
Математика және физика кафедрасы
САНДЫҚ ӘДІСТЕР
ӘДІСТЕМЕЛІК ЖИНАҚ
Дайындаған: Ұ.Т. Жакупова
Жетісай - 2020
Әдістемелік құрал
Ғ. Мұратбаев атындағы Жетісай гуманитарлық - техникалық колледжінің Математика және физика кафедрасында талқыланып, оқу - әдістемелік кеңесінде бекітілді.
№ _____ хаттама
___ __________2020ж
Пікір жазған:
Ғ. Мұратбаев атындағы Жетісай гуманитарлық - техникалық колледжінің директоры педагогика ғылымының кандидаты: Баймаханова Л.А.
Дайындаған:
Математика және физика кафедрасының оқытушысы: Жакупова Ұ.Т.
Әдістемелік құрал орта кәсіптік білім беретін оқу орындарының жас мамандары мен студенттеріне арналған.
Алғы сөз
Студентті болашақ мамандығына даярлаудың негізгі міндеттерінің бірі - ұстаз еңбегінің алуан түрлі әрекетінің негізін құраушы практикалық білік пен дағдыларын қалыптастырумен байланысты.
Курстың мақсаты:
Сандық әдістер курсының мақсаты -қолданбалы есептерді шешудің жуықтау әдістері, математикалық модельдеу әдістері, кате көздері және нәтиже дәлдігінің әдістері жайындағы түсінікті студенттерге жүйелеңдірілген түрде қалыптастыру. Сондай-ақ таным үрдісінде пайда болатын математикалық есептерді ЭЕМ-ның көмегімең шешудің есептеу алгоритмдерін кұрып, қолдана білуге дайындау. Сонымең қатар, оны практикалық іс-әрекетінде математикалық модельдеудің көмегімен шынайы әлемнің заңдылықтарын пайдалана білу.
ІІәнді оқытудың міндеттері:
- Математикалық моделдеу рөлі және қолданбалы есептерді шешу барысындағы есептеу
Тәжірибесі жайындағы түсініктерін қалыптастыру;
oo есепті сандық шешу және зерттеу үшін математика пәні бойынша теориялық білімдерін қолдануды студенттерге үйрету;
- қолданбалы есептерді ЭЕМ-ны пайдаланып жуықтап шешу үшін сандық әдістерді пайдалана білу іскерлігін қалыптастыру:
- студенттерді қойылған есепті шешу барысында сандық шешудің тиімді тәмілдерін таңдауға, әр түрлі үрдістермен алынған есептің нәтижелерін салыстыруға үйрету;
- алынған сандық шешімдердің дұрыстағын және дәлдігін тексеру әдісі жайындағы болжамды, жинақтылықты және сандық шешімнің нақты алгоритмдерін қолданудағы қисындылықты негіздеу үшін шешімді алу жылдамдығын тексеру тәсілдерін қалыптастыру;
- есептеу алгоритмдерін математикалық пакәдебиеттер ортасында, не әмбебап программалаудың тілдерінің көмегімен орындай білу іскерлігін қалыптастыру.
Аталған пәнді ойдағыдай меңгеру үшін жоғары математиканың, информатиканың келесі бөлімдерінің базалық білімдерін меңгеру қажет:
- алгебра;
- математикалық таңдау:
- диффереңциалдық теңдеулер;
- ақпараттық технологиялар;
- программалау.
Шеттетілмейтін қателіктер - есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер.
Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару.
Итерациялық тәсіл - есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару
Сандық квадратура. Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.
Функция класы. К={g(x)}, мұндағы x - тәуелсіз айнымалы немесе бірнеше тәуелсіз айнымалылар жиыны х=(х1,х2, ...,хn) әлдебір функция класы немесе жиыны берілсін. I=I[g(x)] айнымалы шамасы g(x) функциясынан функционал (функциядан функция) деп айтады, егер әрбір g(x)K функциясы үшін берілген ереже немесе заң бойынша I анықталған сан сәйкес қойылса.
Функционалдың анықталу облысы. Берілген функционал анықталған К={g(x)}
3
функциялар класы функционалдың анықталу облысы немесе функционалдың берілу облысы
деп аталады, ал функциялардың өздері мүмкін функциялар деп аталады.
Абсолют қателігі. Әдетте, шамасын х* жуық санының абсолют қателігі деп атйды. Қарасытырыл отырған санның х дәл мәні көбінесе белгісіз болады. Сондықтан қателігі анықтала бермейді. Бірақ оны жоғарыдан шектейтін шаманы әруақытта көрсетуге болады.
Шектік абсолют қателігі. Есептеу математикасында шамасын х* жуық санының шектік абсолют қателігі деп атайды. Бұл анықтамадан екені анық. Демек, Кейде мұны қысқаша деп те жазады.
Салыстырмалы қателігі. шамасын х* жуық санының салыстырмалы қателігі деп атайды.
Сандық квадратура. Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.
Трапеция әдісі. Егер n=1 болса квадратуралық формула трапеция әдісі деп аталады. Әдіс бойынша; интегралдық қисық пен ох өсі аралығындағы фигура ауданын табу үшін сол фигураны трапециямен толықтырып, ауданын табуға болады:
Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.
Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.
Студенттерге нақты әдістемелік көмек көрсету мақсатында жазылған
бұл оқу құралы үш тараудан тұрады.
Бірінші тарауында дәрістердің қысқаша конспектісі. Екінші тарауында зертханалық жұмыстарды жүргізуге арналға әдістемелік нұсқаулар. Үшінші тарауында материалды меңгергендігін бағалауға арналған сұрақтар .
Оқу-әдістемелік құрал студенттердің сабаққа дайындалу мен оны
жоспарлау мәселесіне үлкен мән беріп, өзінің педагогикалық еңбегін ғылыми
негізде ұйымдастыруына біршама жеңілдік келтіреді деген сенімдеміз.
Сондайақ, оқу-әдістемелік құралдың қойылып отырған мәселеге қатысты өзіндік тың ойлармен, дәстүрлі емес көзқарастармен ерекшеленетіндігін ескерте кетуге тиіспіз.
Елінің ері емес, езіне айналады. Қазіргі заман - оң құбылыс заманы. Өзгеріс заманы. Ал сіз, келешек заман ұстазысың. Лайықты ел азаматына айналам десең
Сен де бір кірпіш дүниеге,
Кетігін тап та бар қалан,-
деген Абай атаңның сөзін Темірқазыққа санап, іске кіріс.
Сәт сапар, болашақ ұстаздары!
Педагогика ғылымының кандидаты: Баймаханова Л.А.
4
Мазмұны:
Алғы сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
I тарау. Дәрістердің қысқаша конспектісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
ІІ тарау. Зертханалық жұмыстарды жүргізуге
арналған әдістемелік нұсқаулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...66
ІІI тарау. Материалды меңгергендігін бағалауға арналған сұрақтар ... .113
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 114
Пайдаланылған әдебиет тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 115
ДӘРІСТЕРДІҢ ҚЫСҚАША КОНСПЕКТІСІ
1-Дәріс тақырыбы: Кіріспе.
1. Қолданбалы есептердің сандық шешімдерін табу кезеңдері.
2. Математикалық модель және есептеу эксперименті.
3. Есептеу математикасы. Сандық әдістерге қойылатын талаптар.
4. Сандық шешімдерді табу үрдісі кезіндегі қателіктер көзі.
5. Тиімді әдістер.
6. Аппроксимациялаулар (жуықтаулар)
Дәріс тезисі:
ХХ ғасырдың орта шенінде атом энергиясын игерудің күрделі жұмыстарына байланысты алғашқы электрондық машиналардың пайда болуы және оларды ары қарай жетілдіру ғылым мен техника саласында революциялық өзгерістер жасады. Ғылымда зерттеу жұмыстарының әдістері күрт өзгеріп, күрделі құбылыстарды зерттеу мен болжау мүмкіндіктері жаңа деңгейге көтерілді. Соның нәтижесінде ғасырлар бойы шешілмей келген ірі ғылыми-техникалық проблемалар өз шешулерін тапты. Ғарышта, атом энергиясын игерудегі жетістіктер электроника мен информатика саласындағы табыстармен тікелей байланысты. Бүгінгі есептеу техникасы күнделікті от басындағы тіршіліктен бастап ғарыштағы күрделі техникалық жүйелерді басқаруға дейін қолданылып жүр. Осы саладағы қол жеткен жетістіктер, бір жағынан математика ғылымының жедел дамуына байланысты болса, екінші жағынана, электрондық есептеуіш машиналар (ЭЕМ) математиканың дамуына өз әсерін тигізді. Мұның бір дәлелі - ЭЕМ-дер математикалық алгоритмдермен және бағдарламалармен жабдықталған.
Электрондық машиналар арқылы есептеу және ойлау жылдамдығы бірнеше миллион есе артып, ғылым мен техниканың күрделі есептерінің математикалық модельдерін жасауға мүмкіндік туды.
Тәжірибелік зор мәні бар есептерді электрондық есептеуіш машиналар арқылы шешу бірнеше сатыдан тұрады:
Бірінші саты - қарастырылып отырған құбылысты (процесті) сипаттайтын көп параметрлердің ішенен ең негізгілерін бөліп алып, оларды байланыстыратын заңдылықтарды пайдалану арқылы физикалық модельдер жасау.
Екінші саты - физикалық модельдерге сәйкес математикалық модельдер құру. Жоғарыда айтылған параметрлер арасындағы сандық қатынастарды математикалық формулалар арқылы жазу. Бұл қатыстар алгебралық, дифференцилдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы берілуі мүмкін. Бұл күнде математика және электрондық есептеуіш машиналарын осындай модельдер негізінде пайдалану ғылымның химия, экономика, геология, биология сияқты салаларында кең өріс алып отыр. Математикалық модельдердің үлкен бір ерекшелігі - бір модельмен бірнеше құбылыстар сипатталуы мүмкін.
Үшінші саты - математикалық модельдердің дұрыс құрылғанына көз жеткізу. Мысалы, теңдеулердің шешімдерін табуға болатынын және оның физикалық мағынасы бар екендігін дәлделдеу.
Төртінші саты - математикалық модельдерді сипаттайтын теңдеулерді немесе басқа математикалық есептерді сандық шешудің дұрыс және тиімді әдістерін табу және оның алгоритмін құру.
Бесінші саты - алгоритмдердің бағдарламасын құрып, оны ЭЕМ арқылы есептеу.
Көп жағдайда есептерді математикалық әдістер арқылы ЭЕМ-де дәл шешу мүмкін болмайды. Себебі, біріншіден, ЭЕМ-ді пайдаланар алдында математикалық есептер шекті өлшемге келтіріледі. Шекті өлшемге келтіру, әдетте берілген есепті дискреттеу арқылы орындалады. Бұл жағдайда функцияның үзіліссіз аргументтері дискретті аргументтермен алмастырылады. Есеп дискреттелгеннен кейін оның есептеу алгоритмі құрылып, керекті математикалық және логикалық амалдардың ЭЕМ арқылы қай тәртіпте орындалатыны көрсетіледі.
5
Ғылым мен техникада көптеген есептер функциялар, алгебралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы математика тілінде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түрліше жолдармен шешіледі. Анализдік әдістер сондай жолдардың бірі болып табылады. Бірақ оларды пайдалану көп жағдайда мүмкін бола бермейді.
Кейінгі 30-40 жыл ішінде жылдам есептейтін электрондық есептеуіш машиналар кеңінен қолданылып келеді. Олардың кейбіреулері секундына жүздеген миллионға дейін арифметикалық амалдар орындайды. Сонымен бірге машиналарда есептеулерді жеңілдететін басқа да қосымша мүмкіншіліктер бар. Электрондық есептеуіш машиналардың пайда болуы есептеу математикасының қарқынды дамуына зор әсерін тигізді.
Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық келтірген немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен шешімнің бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.
Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп атайды.
Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.
ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандармен арифметикалық амалдар қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларының саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.
Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі. Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады. Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады. Қателіктер 3 түрге бөлінеді:
1 Әдіс қателігі
2 Шеттетілмейтін қателік
3 Есептеу қателігі
Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әр түрлі болады. Шеттетілмейтін қателіктер - есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер. Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.
Қателіктер теориясындағы негізгі ұғымдар
Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.
1 Егер а саны - тура мән, а* саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп - олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: .
2 Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады: немесе
6
3 Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.
4 Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.
Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері
1 Қосынды қателігі. F(x)=x=x1+x2+x3+...+xn қосындысы берілсін.
a) қосындының абсолютті қателігі: .
Егер болса, онда , ал n=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .
b) қосындының салыстырмалы қателігі:
. Мұндағы , , .
2 Айырма қателіктері. X=x1-x2, x1x20 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.
a) айырманың абсолютті қателігі: .
b) айырманың салыстырмалы қателігі:
.
3 Көбейтіндінің қателіктері. X=x1*x2*...*xn көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.
a) көбейтіндінің абсолютті қателігі: .
b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: .
4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.
a) бөліндінің абсолютті қателігі: .
b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: .
1- мысал: Берілген х санының дұрыс цифрлар санын анықтау керек болсын.
; .
Анықтама бойынша: шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0,00250,05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0,00250,005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0,00250,0005 және 0,00250,00005
7
болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0,39 деп дөңгелектеуге болады, 0,4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.
2-мысал: ; берілген. Санның дұрыс цифрларын анықтау.
Анықтама бойынша: , яғни . Одан шығатыны: . Енді санның цифрларын тексереміз:
8 цифры - дұрыс, өйткені: .
9 цифры - күмәнді, өйткені: . Дәл осылай 2 және 1 цифрларының да күмәнді екенін анықтауға болады. Сонда а санының 2 цифры дұрыс.
3-мысал: Х=2,1514 санын 3 мәнді цифрға дейін дөңгелектеп, абсолютті және салыстырмалы қателіктерін табу.
болады. Сонда , .
4-мысал: көбейтіндісінің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау.
екені белгілі. .
.
2-ДӘРІС ТАҚЫРЫБЫ: Бейсызықты бір теңдеудің түбірін табу.
1. Түбірлерді бөлектеу. (аралықты екіге бөлу) әдісі.
2. Жай итерация әдісі.
3. Ньютон (жанамалар) әдісі.
Дәріс тезисі:
Сандық әдістердің бір бөлімі бір өлшемді сызықты емес теңдеулер болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады.
Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:
1. алгебралық
2. трансцендентті.
Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.
Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.
Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.
1. Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару.
2. Итерациялық тәсіл - есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару.
8
Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді .Мұның ішінде итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.
Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.
1.Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады.
2.Хорда әдісі.
3. Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі
4. Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т.б.
Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі
F(x)=0 (1.1)
Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.
Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт орындалса f(a)*f(b)0, онда осы аралықта (1.1)-теңдеудің түбірі бар және жалғыз болады.
Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.
Кесіндіні қақ бөлу әдісі
(1.1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі қадамнан тұрады.
1. (1.1)-ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта жатқан нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі нүктеде немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда сол аралықта түбір бар деп есептеу
2. Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін
Xорт=(Xn+1+Xn)\2. (1.2)
формуласымен анықтау.
3. Xn+1-Xne шарты арқылы қарастырылып отырған аралықтан шығып кетпеуді бақылаймыз.
4. XОРТ нүктесіндегі функция мәнін F(XОРТ) есептеу.
5. Егер оның таңбасы F(Xn) функциясының таңбасымен бірдей болса, Xn нүктесінің орнына XОРТ нүктесін қарастырамыз.
6. Ал егер F(XОРТ) функциясының таңбасы F(Xn+1) функциясының таңбасымен бірдей болса, Xn+1 нүктесінің орнына ХОРТ нүктесін қарастырамыз.
7. Шыққан аралықтар [Xn,, Хорт] U [Xорт, Xn+1] белгіленеді.және алдыңғы шарттарға байланысты екі аралықтың біреуін тағы қаққа бөлу арқылы ізделінді нүктеге біртіндеп жақындаймыз. Яғни мына шарттар тексеріледі: F(Xn+1)*F(Xорт)0 шарты орындалса [Xорт,Xn+1] аралығы қаққа бөлінеді де шыққан нүкте мәні, XОРТ2=XОРТ+ X n+12 формуласымен есептеледі. F(Xn)*F(ХОРТ)0 шарты орындалса [Xn, Xорт] аралығы қаққа бөлініп, табылған нүкте XОРТ2=XОРТ+ X n2 формуласымен есептеледі.
8. Осы процесті іздеп отырған х нүктесіне жеткенге дейін жалғастырып, XОРТ, XОРТ2, XОРТ3, ..., XОРТN тізбегін құрамыз. Мына шарт орындалатын уақытта XОРТN - XОРТN-1 E іздеу процесін тоқтатамыз да XОРТN нүктесін (1.1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын х дәл түбірге жуық мән деп қабылдаймыз.
Жай итерация әдісі
Бұл әдісті қолдану үшін (1.1)-ші теңдеудің сызықты мүшесі айшықталып мына түрге келтіру керек:
(1.3)
9
Сосын теңдеудің түбіріне кез келген Х0 бастапқы жуықтау беріп k=1,2,... формуласымен х1, х2,...,хn нүктелер тізбегін құрамыз. Бұл тізбек x=z түбіріне жинақталуы керек. Егер limXk=z болса, онда z нүктесі теңдеуінің түбірі бола алады. Итерация әдісінің жинақтылық шарты және бастапқы жуықтау кез келген болады. Итерациялық процесс берілген дәлдікке жетуі үшін шарты орындалуы керек.
Итерациялық тізбектің жинақтылығы теореманың ([1] қараңыз) шарттарымен де тексерілуі керек:
Теорема1.2.:
теңдеуінің [a,b] аралығында жалғыз түбірі бар және келесі шарттар орындалсын:
1) функциясы [a,b] аралығында анықталған және дифференциалданады;
2) үшін ;
3) барлық үшін болатындай q саны табылсын,
онда , (k=1,2,...) итерациялық тізбегі кез келген бастапқы жуықтауда жинақталады.
Хорда әдісі
Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады.
Алгоритмі:
1. хn , xn+1 аралығында f (x) және f (xn+1) функцияларының таңбасы бір біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын.
2. Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан нүктесін мына формуламен анықтаймыз.
(1.4)
3. х[*] нүктесіндегі функция мәнін F(x[*])-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x[*]) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1 және x[*] нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (1.4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен f(x[*]) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xn және x[*] нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (1.4) формуламен есептелінеді.
4. x* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x[*] нүктесі (1.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады.
Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады:
Ньютон әдісі
Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік:
Теорема 1.3.: f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және екі ретті туындысы бар, осы аралықта түбір жатыр f(a)*f(b)0, туындылардың таңбалары осы аралықта тұрақты болса f(x)*f'(x)0, онда f(x0)*f''(x0)0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы жуықтаудан бастап (1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын [a,b] лығында жататын жалғыз шешімге жинақталатын итерациялық тізбек құруға болады.
10
Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (xn;f(xn)) , болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу нүктесі теңдеудің түбіріне хn+1 - кезекті жуықтау болып табылады.
Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек:. Мұндағы М2 - функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m1- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз.
Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері
Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін қарастырайық: (1.5)
Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін анықтау.
Ньютон әдісі
Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x0, y0) таңдап аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз:
Мұндағы якобиан деп аталады.
Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.
Қарапайым итерация әдісі
(1.5)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық түрге келтіріп алады: (1.6.)
Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп, келесі жуықтауларды мына формуламен есептейді:
n=0,1,2,... (1.7.)
Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек.
Теорема 1.4: Әлдебір тұйық облыста (1.5)-ші
жүйенің жалғыз шешімдері бар болсын: . Егер:
11
1) және функциялары облысында анықталған және үзіліссіз болса,
2) бастапқы және келесі жуықтаулардың барлығы осы облыста жатса,
3) осы облыста мына теңсіздіктер орындалса:
(1.8)
онда (1.6)-ші итерациялық процесс өзінің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни , .
Қателігін бағалау:
. M=max(q1;q2).
Кей жағдайда (1.6)-ші итерациялық процестің орнына Зейдель процесін қолдануға болады:
n=0,1,2,... (1.9)
Жүйені итерациялық түрге келтіру
(1.5)-ші жүйені (1.6)-ші итерациялық түрге келтіру үшін келесі тәсілдерді қолданған дұрыс.
, болсын. (1.10)
Коэффициенттерді мына жүйеден табамыз:
(1.11)
Параметрлерді осылай таңдап алу арқылы (1.8)-ші шарттың орындалуын талап етуге болады.
3-ДӘРІС. Векторлар мен матрицалардың алгебрасы.
1. Векторлар мен матрицалардың алгебрасы.
2. Векторлар мен матрицалардың тізбегінің жинақталуы.
3. Нормалары. Қиюласқан нормалар.
4. Матрицалық геометриялық прогрессияның жинақталуы.
4-ДӘРІС. Матрица сипаттамасының белгісі-шарттасу саны.
1. Нашар және тәуір шарттасқан сызықты жүйелер.
2. Шартасқан матрицалар.
3. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі.
12
4. Сызықты теңдеулер жүйесін тікелей шешу әдістері.
5. Ортаганалдау әдісі.
6. Итерациялық әдістер: Жай итерация әдісі.
7. Зейдель әдісі.
8. Тиімді параметрлі итерациялық әдістер.
Дәріс тезисі:
Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің 2 тәсілі бар:
1. тура шешу
2. жуықтап шешу
Тура шешу тәсілі жүйенің шешімін саны шектеулі арифметикалық операциялар көмегімен алуға мүмкіндік береді. Егер барлық операциялар дәл, яғни есептеу қателігінсіз жүргізілсе, тура шешім алынады. Тура тәсілдерге Крамер, Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер әдістері жатады. Бұл әдістер 103 жоғары емес сандармен ЭЕМ көмегімен САТЖ-ның дәл шешімін анықтайды.
Жуықтап шешу тәсілдері итерациялық әдістер деп аталады. Олар жүйе шешімін біртіндеп жуықтау шегі ретінде анықтайды. Оларға жататын әдістер: Зейдель, қарапайым итерация, релаксация, градиентті т.б. Практикада бұл әдістерді 106 ретті сандармен есептеу жүргізуде қолданады.
САТЖ-ны шешу үшін оның жалпы шешімі қай уақытта бар болады, және неше шешімі болуы мүмкін деген сұрақтарға жауап беру керек ([8] қараңыз).
N белгісізді m теңдеуден тұратын САТЖ-ны қарастырайық:
(2.1)
немесе векторлық-матрицалық түрде жазсақ:
Ax=b (2.2)
Мұндағы А-коэффициенттерден құралған матрица, х- белгісіздерден құралған вектор, b - бос мүшелерден құралған вектор.
Тура шешу тәсілдері
1. Гаусс әдісі.
(2.1.1)
(2.1.1) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды.
Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл - тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл - кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады:
1. тура жол - матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.
2. кері жол - белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.
13
Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады.
Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.
1. Тура жол:
басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (2.1.1)- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі теңдеуді аламыз:
(2.1.2.)
мұндағы , (2.1.3)
(2.1.2) - теңдеуді қолданып (2.1.1) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х1 белгісізін жоюға болады. Ол үшін (2.1.2)-ші теңдеуді а21, а31, ..., аn1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып aij1 деп белгілейміз:
(2.1.4)
Сонда келесідей жүйе аламыз:
(2.1.5)
Алынған (2.1.5) - жүйенің 1-ші теңдеуін а221 элементіне бөліп, теңдеу аламыз:
(2.1.6)
мұндағы , (2.1.7)
х1 белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х2 белгісізін (2.1.5) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:
(2.1.8)
мұндағы
(2.1.9)
(2.1.8) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп
(2.1.10)
теңдеу аламыз. Мұндағы , (2.1.11)
(2.1.10) - теңдеу көмегімен (2.1.8) - жүйеден х3 белгісізін жоямыз.
Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (2.1.2)-ші, (2.1.6)-шы, (2.1.10)-шы, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:
14
(2.1.12)
2. Кері жол:
(2.1.12) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 - ші теңдеуге қою арқылы xn-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады.
Ескерту: Бұл әдіс матрицаның басшы элементі нөлден өзгеше болған жағдайда қолданылады. Егер берілген жүйе матрицасының басшы элементі нөлге тең болса, жүйенің теңдеулерінің орындарын ауыстыру арқылы, арифметикалық операциялар қолдану арқылы басшы элементтің нөлдігінен құтылуға болады.
2. Жордан - Гаусс әдісі.
Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.
(2.2.1)
1. Тура жол алгоритмі
1. (2.2.1) - жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.
2. элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен
элементті басшы элемент деп тағайындаймыз. Оны apq деп белгілейік.
3. Барлық мәндері үшін (2.2.2)
көбейткішін есептейміз.
4. Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол
элементтерін мүшелеп шегереміз:
(2.2.3)
Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге
айналады.
5. q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М1 матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.
6. М1 матрицасына 2-5-ші пункттерді қайталап қолдану арқылы М2 матрицасын аламыз.
7. Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша жалғастырамыз.
8. Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.
2. Кері жол алгоритмі
15
Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.
сандары қаншалықты азайған сайын есептеу қателігі де азаяды. Сондықтан ЭЕМ-ді қолданып есептеу уақытында осы әдіс тиімді деп есептеледі.
Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.
3. Квадрат түбірлер әдісі.
(2.3.1)
Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз) берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі түріне келтірейік.
A=S*DS (2.3.2)
мұндағы S*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица .
SS*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері мына формуламен есептелінеді.
ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:
(2.3.3)
(2.3.4)
(2.3.5)
(2.3.6)
(2.3.7)
16
Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса, онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен жүргізіледі:
(2.3.3*)
(2.3.4*)
(2.3.5*)
(2.3.6*)
(2.3.7*)
Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты жүйе құрамыз:
(2.3. 8)
(2.3.9)
(2.3.10)
(2.3.11)
(2.3.12)
4.Қарапайым итерация әдісі.
(1)
(1)- жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,
(1.1)
17
немесе қысқаша жазсақ:
(1.1.) - жүйенің оң жағы n - өлшемді векторлық кеңістікте x(x1,x2,...,xn) нүктесін осы кеңістіктің y(y1,y2,...,yn) нүктесіне айналдыратын бейнелеу болып табылады:
(1.2.)
(1.1.) - жүйені қолданып, бастапқы нүктені таңдап алып n - өлшемді векторлық кеңістікте нүктелердің итерациялық тізбегін құруға болады:
(1.3.)
(1.3.) - итерациялық тізбек жинақты болса, оның шегі (1.1.) итерациялық жүйенің шешімі болады. Тізбектің жинақтылығын дәлелдеу үшін функционалдық анализдің кейбір ұғымдары керек:
5. Зейдель әдісі.
1. - жүйе (1.1.) - итерациялық түрге келтірілсін. Бұл жүйені қарапайым итерация әдісімен шешкенде итерациялық процесстің әр қадамы белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа жуықтауына көшуден тұратын еді. Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x1, x2, ... , xn деп, ал есептелетін келесі жуықтауларды y1, y2, ... , yn деп белгілейік. Сонда есептеу формулалары келесі түрге көшеді:
(2.1.)
Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің әр қадамында yi-дің мәндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y1, y2, ... , yi-1 мәндері қолданылады да (2.1.) - ді ашып жазсақ, Зейдель формуласы келесідей болады:
(2.2.)
(2.2.) - итерациялық процесінің жинақтылығы үш метрикалық кеңістікте мына шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі:
1. кеңістікте шарты (2.3.)
2. кеңістікте шарты (2.4.)
3. кеңістікте шарты. (2.5.)
Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, (2.2.) - итерациялық процесс кез келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.
Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұрған жағдайда қолданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы түрге келтіру үшін жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген матрицаға көбейтеді:
АТ*А*х=AT*b (2.6.)
Белгілеулер енгіземіз:
18
AT*A=C
AT*b=D
Сонда
Cx=D (2.7.)
(2.7.) - жүйені қалыпты жүйе деп атайды. Қалыпты жүйенің элементтері симметриялы және диагональды элементтері нөлден өзгеше болады. Қалыпты жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып (2.2.) - итерациялық жүйеге келтіруге болады.
(2.7.) - қалыпты жүйеге эквивалентті (2.2.) - келтірілген итерациялық жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің жалғыз шешіміне кез келген бастапқы жуықтауларда жинақталады.
Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс , i=0,1,2,... шарты орындалғанға дейін жалғасады.
5-ДӘРІС. Матрицаның меншікті мәндері мен меншікті векторлары.
1. Матрицаның меншікті мәндері мен векторларын табу.
2. Крылов әдісі.
3. Меншікті мәндердің дербес мәселелері.
4. Дәрежелеу әдісі.
5. Симметриялық матрицаның меншікті мәндері мен векторлары.
6. Якобидың айналдыру әдісі.
6-ДӘРІС. Бейсызықты теңдеулер жүйесінің шешімін табу.
1. Жай итерация әдісі.
2. Ньютон-Гаусс әдісі.
3. Ньютон әдісінің жинақталуы.
7-ДӘРІС. Функцияны жуықтау.
1. Интерполяция есебінің қойылуы.
2. Лагранж формуласы.
3. Лагранж формуласының жалқылығы және қателігін бағалау.
4. Бір айнымалы функцияны кубтық сплайнмен интерполяциялау.
5. Сплайн функциясының жинақталуы.
Дәріс тезисі
F(x) функциясының белгілі мәндері келесі таблицаны құрсын.
(1)
(1)
хiX0
X1
...
xn
F(xi)
Y0
Y1
...
yn
[x0, xn] аралығында жататын, бірақ xi-лердің ешқайсысымен сәйкес келмейтін х-тегі функция мәнін табу керек болсын.
Әдетте функцияның аналитикалық өрнегі берілсе, онда х-тің орнына мәнін қойып функция мәнін есептей салуға болатын. Кей жағдайда функцияның аналитикалық өрнегі мүлде белгісіз болуы немесе есептеуге көп уақытты қажет етуі мүмкін. Осындай жағдайларда берілген таблица бойынша f функциясына жуық F жуықтаушы функцияны құрады:
f(x)=F(x) (2)
Құрылған жуықтаушы функция келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:
F(x0)=y0, F(x1)=y1, F(x2)=y2, ... , F(xn)=yn (3)
Мұндай есепті функцияны интерполяциялау есебі деп атайды. Ал х0, x1, x2, ... , xn нүктелерін - интерполяциялау тораптары немесе түйіндері деп атайды.
F(x) интерполяиялаушы функцияны n дәрежелі көпмүшелік түрінде іздейді: Лагранж, Ньютон, Гаусс, Бессель, Стирлинг, т.б.
19
Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтықтары тұрақты емес болса, Лагранждың көпмүшелігі, тұрақты болса - Ньютоннның көпмүшеліктері қолданылады.
1. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі.
(1)
Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, xj=atj+b j=0,1,...,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің инварианттылығын қолдануға болады, онда (1)-формула келесі түрге келеді:
(2)
2. Ньютоннның интерполяциялық формулалары.
Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл формулалар екіге бөлінеді:
1. Алдыға қарай интерполяциялау
2. Кері интерполяциялау
Егер берілген х нүктесінің мәні таблицаның бас жағында жатса, 1-формуласы қолданылады:
(1)
(1)
.Мұндағы
Егер берілген х нүктесінің мәні таблицаның соңғы жағянда жатса, 2-формула қолданылады:
(2)
(2)
Формулалардағы , , т.с. сияқтылар шектік айырымдар деп аталады және 3-таблицаны толтыру арқылы анықталады. Таблицада мысал үшін 6 интерполяциялық түйін және шектік айырымдардың 4-ші дәрежесіне дейінгі мәндер қарастырылған. 1-формула үшін таблицаның бірінші жолындағы мәндер, 2-формула үшін таблицаның соңғы жолындағы мәндер қолданылады.
3-таблица. Шектік айырымдар таблицасы.
X
y
X0
Y0
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
X4
Y4
X5
Y5
20
Егер интерполяциялық түйіндер саны 1 немесе 2-ге тең болса сызықты интерполяциялық формуланы қолдануға болады: .
Қателіктерін бағалау:
1-формула үшін мына формула қолданылады:
,
немесе
2-формула үшін мына формула қолданылады:
,
1. Эйткен схемасы
2. Гаусс интерполяциялық формулалары
3. Стирлингтің және Бессельдің интерполяциялық көпмүшеліктері
Эйткен схемасы
Егер Лагранж көпмүшелігінің жалпы өрнегін анықтамай, тек белгілі бір нүктедегі функция мәнін есептеу керек болса, онда Эйткен схемасын қолдануға болады:
т.с.с. (4.6)
Эйткен схемасы келесі 6-кестені толтыру арқылы орындалады.
6-кесте. Эйткен схемасының толтырылу кестесі
xi
yi
Xi-x
Li-1,i
Li-2,i-1,i
Li-3,i-2,i-1,i
...
X0
Y0
X0-x
X1
Y1
X1-x
L01(x)
X2
Y2
X2-x
L12(x)
L012(x)
X3
Y3
X3-x
L23(x)
L123(x)
L0123(x)
...
X4
Y4
X4-x
L34(x)
L234(x)
L1234(x)
...
Эйткен схемасын есептеуді көршілес L0123...n(x), L0123...n,n+1(x) мәндері берілген дәлдік маңайында бір бірімен беттессе тоқтатуға болады.
Xi нүктелерінде yi мәндерін қабылдайтын n-ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келсі түрде де жазылады:
. (4.7)
1-Мысал:
Төмендегі кестемен берілген функция үшін Лагранж көпмүшелігін құру.
I
0
1
2
(4.8)
(4.8)
3xi
0
0.1
0.3
0.5
yi
-0.5
0
0.2
1
21
Шешімі: (4.4)-формула бойынша n=3, i=0,1,2,3 болғандағы өрнекті анықтаймыз:
L13(x) мүшесін есептемейміз, себебі y1=0. Бәрін бір біріне қосамыз да көпмүшеліктің соңғы түрін аламыз:
2-мысал:
Төмендегі кестемен берілген функцияның x=0.45 нүктесіндегі мәнін анықтау керек.
X
0.05
0.15
0.20
0.25
0.35
0.40
0.50
(4.9)
(4.9)
0.55y
0.9512
0.8607
0.8187
0.7788
0.7047
0.6703
0.6065
0.5769
Шешімі:
Есептеуді жеңілдету үшін x=0.05t деп алайық. X-тердің мәні белгілі болғанда t-лардың мәндерін тауып алуға болады, олар: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11. Және x=0.45 болғандағы t=9 болады. Есептеу қадамдары 6[']-кестеде келтірілген.
6'-кесте. (4.9)-есептің есептелу қадамдары.
I
ti-tj
(ij)
Di
yi
0
8
-2
-3
-4
-6
-7
-8
-10
-725 760
0.9512
-0.0131*10-4
1
2
6
-1
-2
-4
-5
-7
-8
26 880
0.8607
0.3202*10-4
2
3
1
5
-1
-3
-4
-6
-7
-7 560
0.8187
-1.0829*10-4
3
4
2
1
4
-2
-3
-5
-6
5 760
0.7788
1.3520*10-4
4
6
4
3
2
2
-1
-3
-4
-3 456
0.7047
-2.0390*10-4
5
7
5
4
3
3
1
-2
-3
2 520
0.6703
2.6599*10-4
6
9
7
6
5
5
2
-1
-1
11 340
0.6065
0.5348*10-4
7
10
8
7
6
6
3
1
-2
-80 640
0.5769
-0.0715*10-4
Сонымен y(0.45)= 3840*1.6604*10-4=0.6376.
Егер есепте керісінше функция мәні белгілі болып сол мәнге сәйкес абсцисса мәнін табу керек болса, ондай есепті кері интерполяциялау деп атайды. Кері интерполяциялау формуласы:
(4.10)
(4.10)
Гаусс интерполяциялық формулалары
22
Гаусс формулаларын берілген х-тің мәні кестенің ортасына жақын орналасқан жағдайларда қолданады. Егер xx0 болса Гаусстың 1-формуласы, xx0 болса, Гаусстың 2-формуласын қолданады.
1-формуласы:
(4.13)
(4.13)
2-формуласы:
(4.14)
(4.14)
Бұл формулалардағы , , , , , , , , шектік айырымдарды табу үшін 9- кесте құру керек.
9 - кесте. Гаусс формуласы үшін шектік айырымдар кестесі.
x
Y
x-4
y-4
x-3
y-3
x-2
y-2
x-1
y-1
X0
Y0
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
X4
Y4
Мысалы:
y=ex функциясының мәндері кесте да келтірілген. X=1.17, x=1.13 нүктелеріндегі мәндерді анықтау керек.
Шешімі:
Шектік айырымдарды анықтау 10-кестесін құрамыз.
10-кесте . y=ex функциясының мәндері және шектік айырымдары.
i
xi
yi
-3
1.00
2.7183
1394
71
4
-2
1.05
2.8577
1465
75
4
-1
1.10
3.0042
1540
79
4
0
1.15
3.1582
1619
83
5
1
1.20
3.3201
1702
88
2
1.25
3.4903
1790
3
1.30
3.6693
23
3-ретті шектік айырымдар тұрақтана бастағандықтан кесте ны осы арада тоқтатамыз. 1,17 нүктесіндегі мәнді есептеу үшін Гаусстың 1-формуласын қолданамыз, себебі, ол нүкте х0 нүктесінен артық. Q=0.4 болады. Гаусстың 1-формуласына кестедегі мәндерді қоямыз: сонда
e1.13 дәрежесін есептеу үшін Гаусстың екінші формуласын қолданамыз, себебі 1,13 нүктесі х0 нүктесінен кіші:
Стирлингтің және Бессельдің интерполяциялық көпмүшеліктері
Стирлингтің формуласы Гаусс формулаларының арифметикалық ортасы болып табылады. болған жағдайда қолданылады:
(4.15)
(4.15)
Егер шартын қанағаттандырса, Бессель формуласын қолдануға болады:
(4.16)
(4.16)
Қалдық мүшесі келесі түрде жазылады:
,
мұндағы .
Бессель полиномын кестелік мәндерді тығыздау үшін де қолданады.
24
8-ДӘРІС. Интегралдаудың сандық әдістері.
1. Ньютон-Котес квадратуралық формулалары.
2. Трапеция, симпсон формулалары қателіктерін бағалау.
3. L2 кеңістігіндегі ең жоғарғы дәлдіктегі Гаусс формуласы.
4. Кездейсоқ шаманы берілген таралу заңдылығы бойынша моделдеу.
5. Еселі интегралдар үшін Монте-Карло әдісі.
Сандық интегралдау инженерлік және ғылыми деректерді анализдеу немесе сараптау үшін қажетті. Интегралды классикалық әдістермен аналитикалық түрде алу мүмкін болмаған жағдайларда сандық интегралдау есебі қойылады. Кейде интеграл астындағы функция өте күрделі, кейде функцияның таблицалық мәндері ғана берілуі мүмкін.
Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.
Сандық интегралдау да дәл және жуықтау болып екіге бөлінеді.
Егер абсцисса өсі бойынан алынатын нүктелер бірқалыпты орналасатын болса, онда Ньютон - Котестің дәл квадратуралық формулалары қолданылады, басқа жағдайда жуықтау - Гаусс формулалары қолданылады.
Сандық интегралдаудың негізгі идеясы - интеграл астындағы функцияны [a,b] аралығында интерполяциялық полиномға жіктеу және полиномның әр мүшесін интегралдау арқылы есептеу процесін жеңілдету.
Интегралдың қателігін төмендету үшін интеграл астындағы функция анықталған [a,b] аралығы h қадаммен бірнеше аралыққа бөлу керек: xi+1-xi=h, i=1,2,...,n-1. Қадам тұрақты болған жағдайды қарастырайық.
(1)
түрдегі интеграл берілсін. Дәл әдістерге Ньютон-Котес квадратуралық формулалары жататыны жоғарыда айтылған.
1. Трапеция әдісі.
Егер n=1 болса квадратуралық формула трапеция әдісі деп аталады. Әдіс бойынша; интегралдық қисық пен ох өсі аралығындағы фигура ауданын табу үшін сол фигураны трапециямен толықтырып, ауданын табуға болады:
(2)
Қателікті ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
ТҮРКІСТАН ОБЛЫСЫНЫҢ АДАМИ ӘЛЕУЕТТІ ДАМЫТУ БАСҚАРМАСЫ
Ғ. МҰРАТБАЕВ АТЫНДАҒЫ ЖЕТІСАЙ ГУМАНИТАРЛЫҚ-ТЕХНИКАЛЫҚ КОЛЛЕДЖІ
Математика және физика кафедрасы
САНДЫҚ ӘДІСТЕР
ӘДІСТЕМЕЛІК ЖИНАҚ
Дайындаған: Ұ.Т. Жакупова
Жетісай - 2020
Әдістемелік құрал
Ғ. Мұратбаев атындағы Жетісай гуманитарлық - техникалық колледжінің Математика және физика кафедрасында талқыланып, оқу - әдістемелік кеңесінде бекітілді.
№ _____ хаттама
___ __________2020ж
Пікір жазған:
Ғ. Мұратбаев атындағы Жетісай гуманитарлық - техникалық колледжінің директоры педагогика ғылымының кандидаты: Баймаханова Л.А.
Дайындаған:
Математика және физика кафедрасының оқытушысы: Жакупова Ұ.Т.
Әдістемелік құрал орта кәсіптік білім беретін оқу орындарының жас мамандары мен студенттеріне арналған.
Алғы сөз
Студентті болашақ мамандығына даярлаудың негізгі міндеттерінің бірі - ұстаз еңбегінің алуан түрлі әрекетінің негізін құраушы практикалық білік пен дағдыларын қалыптастырумен байланысты.
Курстың мақсаты:
Сандық әдістер курсының мақсаты -қолданбалы есептерді шешудің жуықтау әдістері, математикалық модельдеу әдістері, кате көздері және нәтиже дәлдігінің әдістері жайындағы түсінікті студенттерге жүйелеңдірілген түрде қалыптастыру. Сондай-ақ таным үрдісінде пайда болатын математикалық есептерді ЭЕМ-ның көмегімең шешудің есептеу алгоритмдерін кұрып, қолдана білуге дайындау. Сонымең қатар, оны практикалық іс-әрекетінде математикалық модельдеудің көмегімен шынайы әлемнің заңдылықтарын пайдалана білу.
ІІәнді оқытудың міндеттері:
- Математикалық моделдеу рөлі және қолданбалы есептерді шешу барысындағы есептеу
Тәжірибесі жайындағы түсініктерін қалыптастыру;
oo есепті сандық шешу және зерттеу үшін математика пәні бойынша теориялық білімдерін қолдануды студенттерге үйрету;
- қолданбалы есептерді ЭЕМ-ны пайдаланып жуықтап шешу үшін сандық әдістерді пайдалана білу іскерлігін қалыптастыру:
- студенттерді қойылған есепті шешу барысында сандық шешудің тиімді тәмілдерін таңдауға, әр түрлі үрдістермен алынған есептің нәтижелерін салыстыруға үйрету;
- алынған сандық шешімдердің дұрыстағын және дәлдігін тексеру әдісі жайындағы болжамды, жинақтылықты және сандық шешімнің нақты алгоритмдерін қолданудағы қисындылықты негіздеу үшін шешімді алу жылдамдығын тексеру тәсілдерін қалыптастыру;
- есептеу алгоритмдерін математикалық пакәдебиеттер ортасында, не әмбебап программалаудың тілдерінің көмегімен орындай білу іскерлігін қалыптастыру.
Аталған пәнді ойдағыдай меңгеру үшін жоғары математиканың, информатиканың келесі бөлімдерінің базалық білімдерін меңгеру қажет:
- алгебра;
- математикалық таңдау:
- диффереңциалдық теңдеулер;
- ақпараттық технологиялар;
- программалау.
Шеттетілмейтін қателіктер - есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер.
Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару.
Итерациялық тәсіл - есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару
Сандық квадратура. Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.
Функция класы. К={g(x)}, мұндағы x - тәуелсіз айнымалы немесе бірнеше тәуелсіз айнымалылар жиыны х=(х1,х2, ...,хn) әлдебір функция класы немесе жиыны берілсін. I=I[g(x)] айнымалы шамасы g(x) функциясынан функционал (функциядан функция) деп айтады, егер әрбір g(x)K функциясы үшін берілген ереже немесе заң бойынша I анықталған сан сәйкес қойылса.
Функционалдың анықталу облысы. Берілген функционал анықталған К={g(x)}
3
функциялар класы функционалдың анықталу облысы немесе функционалдың берілу облысы
деп аталады, ал функциялардың өздері мүмкін функциялар деп аталады.
Абсолют қателігі. Әдетте, шамасын х* жуық санының абсолют қателігі деп атйды. Қарасытырыл отырған санның х дәл мәні көбінесе белгісіз болады. Сондықтан қателігі анықтала бермейді. Бірақ оны жоғарыдан шектейтін шаманы әруақытта көрсетуге болады.
Шектік абсолют қателігі. Есептеу математикасында шамасын х* жуық санының шектік абсолют қателігі деп атайды. Бұл анықтамадан екені анық. Демек, Кейде мұны қысқаша деп те жазады.
Салыстырмалы қателігі. шамасын х* жуық санының салыстырмалы қателігі деп атайды.
Сандық квадратура. Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.
Трапеция әдісі. Егер n=1 болса квадратуралық формула трапеция әдісі деп аталады. Әдіс бойынша; интегралдық қисық пен ох өсі аралығындағы фигура ауданын табу үшін сол фигураны трапециямен толықтырып, ауданын табуға болады:
Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.
Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.
Студенттерге нақты әдістемелік көмек көрсету мақсатында жазылған
бұл оқу құралы үш тараудан тұрады.
Бірінші тарауында дәрістердің қысқаша конспектісі. Екінші тарауында зертханалық жұмыстарды жүргізуге арналға әдістемелік нұсқаулар. Үшінші тарауында материалды меңгергендігін бағалауға арналған сұрақтар .
Оқу-әдістемелік құрал студенттердің сабаққа дайындалу мен оны
жоспарлау мәселесіне үлкен мән беріп, өзінің педагогикалық еңбегін ғылыми
негізде ұйымдастыруына біршама жеңілдік келтіреді деген сенімдеміз.
Сондайақ, оқу-әдістемелік құралдың қойылып отырған мәселеге қатысты өзіндік тың ойлармен, дәстүрлі емес көзқарастармен ерекшеленетіндігін ескерте кетуге тиіспіз.
Елінің ері емес, езіне айналады. Қазіргі заман - оң құбылыс заманы. Өзгеріс заманы. Ал сіз, келешек заман ұстазысың. Лайықты ел азаматына айналам десең
Сен де бір кірпіш дүниеге,
Кетігін тап та бар қалан,-
деген Абай атаңның сөзін Темірқазыққа санап, іске кіріс.
Сәт сапар, болашақ ұстаздары!
Педагогика ғылымының кандидаты: Баймаханова Л.А.
4
Мазмұны:
Алғы сөз ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
I тарау. Дәрістердің қысқаша конспектісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...5
ІІ тарау. Зертханалық жұмыстарды жүргізуге
арналған әдістемелік нұсқаулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...66
ІІI тарау. Материалды меңгергендігін бағалауға арналған сұрақтар ... .113
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 114
Пайдаланылған әдебиет тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... 115
ДӘРІСТЕРДІҢ ҚЫСҚАША КОНСПЕКТІСІ
1-Дәріс тақырыбы: Кіріспе.
1. Қолданбалы есептердің сандық шешімдерін табу кезеңдері.
2. Математикалық модель және есептеу эксперименті.
3. Есептеу математикасы. Сандық әдістерге қойылатын талаптар.
4. Сандық шешімдерді табу үрдісі кезіндегі қателіктер көзі.
5. Тиімді әдістер.
6. Аппроксимациялаулар (жуықтаулар)
Дәріс тезисі:
ХХ ғасырдың орта шенінде атом энергиясын игерудің күрделі жұмыстарына байланысты алғашқы электрондық машиналардың пайда болуы және оларды ары қарай жетілдіру ғылым мен техника саласында революциялық өзгерістер жасады. Ғылымда зерттеу жұмыстарының әдістері күрт өзгеріп, күрделі құбылыстарды зерттеу мен болжау мүмкіндіктері жаңа деңгейге көтерілді. Соның нәтижесінде ғасырлар бойы шешілмей келген ірі ғылыми-техникалық проблемалар өз шешулерін тапты. Ғарышта, атом энергиясын игерудегі жетістіктер электроника мен информатика саласындағы табыстармен тікелей байланысты. Бүгінгі есептеу техникасы күнделікті от басындағы тіршіліктен бастап ғарыштағы күрделі техникалық жүйелерді басқаруға дейін қолданылып жүр. Осы саладағы қол жеткен жетістіктер, бір жағынан математика ғылымының жедел дамуына байланысты болса, екінші жағынана, электрондық есептеуіш машиналар (ЭЕМ) математиканың дамуына өз әсерін тигізді. Мұның бір дәлелі - ЭЕМ-дер математикалық алгоритмдермен және бағдарламалармен жабдықталған.
Электрондық машиналар арқылы есептеу және ойлау жылдамдығы бірнеше миллион есе артып, ғылым мен техниканың күрделі есептерінің математикалық модельдерін жасауға мүмкіндік туды.
Тәжірибелік зор мәні бар есептерді электрондық есептеуіш машиналар арқылы шешу бірнеше сатыдан тұрады:
Бірінші саты - қарастырылып отырған құбылысты (процесті) сипаттайтын көп параметрлердің ішенен ең негізгілерін бөліп алып, оларды байланыстыратын заңдылықтарды пайдалану арқылы физикалық модельдер жасау.
Екінші саты - физикалық модельдерге сәйкес математикалық модельдер құру. Жоғарыда айтылған параметрлер арасындағы сандық қатынастарды математикалық формулалар арқылы жазу. Бұл қатыстар алгебралық, дифференцилдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы берілуі мүмкін. Бұл күнде математика және электрондық есептеуіш машиналарын осындай модельдер негізінде пайдалану ғылымның химия, экономика, геология, биология сияқты салаларында кең өріс алып отыр. Математикалық модельдердің үлкен бір ерекшелігі - бір модельмен бірнеше құбылыстар сипатталуы мүмкін.
Үшінші саты - математикалық модельдердің дұрыс құрылғанына көз жеткізу. Мысалы, теңдеулердің шешімдерін табуға болатынын және оның физикалық мағынасы бар екендігін дәлделдеу.
Төртінші саты - математикалық модельдерді сипаттайтын теңдеулерді немесе басқа математикалық есептерді сандық шешудің дұрыс және тиімді әдістерін табу және оның алгоритмін құру.
Бесінші саты - алгоритмдердің бағдарламасын құрып, оны ЭЕМ арқылы есептеу.
Көп жағдайда есептерді математикалық әдістер арқылы ЭЕМ-де дәл шешу мүмкін болмайды. Себебі, біріншіден, ЭЕМ-ді пайдаланар алдында математикалық есептер шекті өлшемге келтіріледі. Шекті өлшемге келтіру, әдетте берілген есепті дискреттеу арқылы орындалады. Бұл жағдайда функцияның үзіліссіз аргументтері дискретті аргументтермен алмастырылады. Есеп дискреттелгеннен кейін оның есептеу алгоритмі құрылып, керекті математикалық және логикалық амалдардың ЭЕМ арқылы қай тәртіпте орындалатыны көрсетіледі.
5
Ғылым мен техникада көптеген есептер функциялар, алгебралық, дифференциалдық немесе интегралдық теңдеулер арқылы математика тілінде сипатталып жазылады. Мұндай есептер түрліше жолдармен шешіледі. Анализдік әдістер сондай жолдардың бірі болып табылады. Бірақ оларды пайдалану көп жағдайда мүмкін бола бермейді.
Кейінгі 30-40 жыл ішінде жылдам есептейтін электрондық есептеуіш машиналар кеңінен қолданылып келеді. Олардың кейбіреулері секундына жүздеген миллионға дейін арифметикалық амалдар орындайды. Сонымен бірге машиналарда есептеулерді жеңілдететін басқа да қосымша мүмкіншіліктер бар. Электрондық есептеуіш машиналардың пайда болуы есептеу математикасының қарқынды дамуына зор әсерін тигізді.
Есептеу кезінде анализдік әдістерді пайдалану қиындық келтірген немесе тіпті пайдалану мүмкін болмаған жағдайда есептеу математикасының сандық әдістері қолданылады. Ол әдістер бастапқы берілген есепті мағынасы бойынша соған жуық басқа есеппен алмастыру мүмкіндігіне негізделген. Ал соңғы есеп кейбір шарттарды қанағаттандыруы тиіс. Мәселен шешімнің бар болуы, орнықты, жинақты болуы және т.с.с. бұл есептің шешімі алғашқы есептің жуық шешімін беруі тиіс немесе оған белгілі бір дәлдікпен жинақталуы қажет.
Дәл және жуық шешімдердің айырымын жуықтау немесе әдіс қателігі деп атайды.
Есепте негізгі деректер, яғни ондағы коэффициенттер, бос мүшелер немесе қосымша шарттар жуық шамалармен берілуі мүмкін, соның нәтижесінде пайда болған қателіктерді жөнделмейтін (түзетілмейтін) қателіктер деп атайды.
ЭЕМ-де цифрлар саны шексіз көп сандармен арифметикалық амалдар қолданылмайды. Сондықтан ондай сандар ең алдымен цифрларының саны шектеулі жуық сандармен алмастырылады. Ол, әдетте, орта мектептен белгілі дөңгелектеу әдісі арқылы жүзеге асырылады. ЭЕМ-де дөңгелектеу амалы арифметикалық амалдар орындалған кездерде де жүргізіледі. Өйткені нәтижеде цифрларының саны шексіз көп сандар пайда болуы мүмкін. Осындай дөңгелектеулердің салдарынан пайда болған қателіктерді есептік қателіктер деп атайды. Олар есептің жуық шешімінің дәлдігіне тікелей әсерін тигізетіні анық.
Шамалардың жуық мәндері жуық сандармен беріледі. Сандық әдістер немесе есептеу әдістері пәндерінде алынған нәтижелердің барлығы жуық шешімдер деп аталады. Тура шешім мен жуық шешім айырмасы әдіс қателігі немесе дөңгелектеу қателігі деп аталады. Қателіктер 3 түрге бөлінеді:
1 Әдіс қателігі
2 Шеттетілмейтін қателік
3 Есептеу қателігі
Әдіс қателігі берілген есепті шешу үшін таңдалған сандық әдістен тәуелді болады. Осыған байланысты әр әдістің қателігін бағалау формуласы әр түрлі болады. Шеттетілмейтін қателіктер - есептің бастапқы берілгендерінен, коэффициенттерінен, шарттарынан тәуелді қателіктер. Есептеу қателігі жуық шешімдерді алу барысында қолданылатын математикалық есептеулер кезінде қолданылатын сандарды дөңгелектеуден тәуелді.
Қателіктер теориясындағы негізгі ұғымдар
Бұл қателіктердің өздері абсолютті және салыстырмалы ([3] қараңыз) болады.
1 Егер а саны - тура мән, а* саны оған белгілі жуықтау болса, онда жуықтаудың абсолютті қателігі деп - олардың айырымын, ал шектік абсолютті қателігі деп мына шартты қанағаттандыратын қателікті айтады: .
2 Жуықтаудың салыстырмалы қателігі деп келесі шартты қанағаттандыратын шартты айтады: немесе
6
3 Санның мәнді цифрлары деп оның жазылуындағы солдан бастағанда нөлден өзгеше барлық цифрларын айтады.
4 Мәнді цифрды дұрыс дейді, егер санның абсолютті қателігі осы цифрге сәйкес разряд бірлігінің жартысынан аспаса.
Арифметикалық операциялар нәтижелерінің қателіктері
1 Қосынды қателігі. F(x)=x=x1+x2+x3+...+xn қосындысы берілсін.
a) қосындының абсолютті қателігі: .
Егер болса, онда , ал n=10 болса, Чеботарев формуласы қолданылады: .
b) қосындының салыстырмалы қателігі:
. Мұндағы , , .
2 Айырма қателіктері. X=x1-x2, x1x20 болсын және азайғыш пен азайтқыштың жуық мәндері мен абсолютті қателіктері белгілі болсын.
a) айырманың абсолютті қателігі: .
b) айырманың салыстырмалы қателігі:
.
3 Көбейтіндінің қателіктері. X=x1*x2*...*xn көбейтіндісі берілсін. Көбейткіштердің жуық мәндері және абсолютті, салыстырмалы қателіктері белгілі болсын.
a) көбейтіндінің абсолютті қателігі: .
b) көбетіндінің салыстырмалы қателігі: .
4 Бөліндінің қателігі: бөліндісі берілсін. Алымы мен бөлімінің жуық мәндері, абсолютті, салыстырмалы қателіктері берілген болсын.
a) бөліндінің абсолютті қателігі: .
b) бөліндінің салыстырмалы қателігі: .
1- мысал: Берілген х санының дұрыс цифрлар санын анықтау керек болсын.
; .
Анықтама бойынша: шарты орындалса, 3 цифрын дұрыс цифр деуге болады. Шындығында 0,00250,05 екен, яғни 3 - дұрыс цифр. 9 цифрын тексерсек: 0,00250,005, яғни 9 цифры да дұрыс. Ал 4 пен 1 цифрлары үшін 0,00250,0005 және 0,00250,00005
7
болғандықтан, олар күмәнді цифрлар болады. Қорыта айтқанда үтірден кейінгі 3 және 9 цифрларын жоғалтпау керек, яғни санды 0,39 деп дөңгелектеуге болады, 0,4 деп дөңгелектесек дөңгелектеу қателігі өсіп кетеді. Санның дұрыс цифрлар саны төртеу.
2-мысал: ; берілген. Санның дұрыс цифрларын анықтау.
Анықтама бойынша: , яғни . Одан шығатыны: . Енді санның цифрларын тексереміз:
8 цифры - дұрыс, өйткені: .
9 цифры - күмәнді, өйткені: . Дәл осылай 2 және 1 цифрларының да күмәнді екенін анықтауға болады. Сонда а санының 2 цифры дұрыс.
3-мысал: Х=2,1514 санын 3 мәнді цифрға дейін дөңгелектеп, абсолютті және салыстырмалы қателіктерін табу.
болады. Сонда , .
4-мысал: көбейтіндісінің абсолютті және салыстырмалы қателіктерін анықтау.
екені белгілі. .
.
2-ДӘРІС ТАҚЫРЫБЫ: Бейсызықты бір теңдеудің түбірін табу.
1. Түбірлерді бөлектеу. (аралықты екіге бөлу) әдісі.
2. Жай итерация әдісі.
3. Ньютон (жанамалар) әдісі.
Дәріс тезисі:
Сандық әдістердің бір бөлімі бір өлшемді сызықты емес теңдеулер болып табылады. Физикалық және басқа да құбылыстардың теңдеумен сипатталатыны белгілі. Сол теңдеуді классикалық математикалық формуламен шешу мүмкін емес жағдайлар бар. Бұл уақытта практикада сандық әдістерге жататын әдістермен шешілетінін дәлелдеу керек. Әрине ең алдымен құрылған теңдеудің қай аралықта анықталғандығын, үзіліссіздігін, түбірінің барлығын, оның жалғыздығын дәлелдейтін аргументтерді бақылау керек. Осы этаптан өткеннен кейін ғана есепті осы теңдеуге қолдануға келетін алгоритм көмегімен шығаруға болады.
Сызықты емес теңдеулер екі түрлі:
1. алгебралық
2. трансцендентті.
Алгебралық теңдеулер деп алгебралық көпмүшеліктерден тұратын теңдеулерді айтады. Олардың шешімдері көбіне нақты сан болады.
Трансцендентті теңдеу деп құрамында тригонометриялық немесе арнаулы функцялары бар теңдеуді айтады.
Сызықты емес теңдеуді сандық шешу екі тәсілден ([1] қараңыз) тұрады.
1. Тура тәсіл - есепті математикалық дәлелденген бір формулаға қою арқылы тікелей шығару.
2. Итерациялық тәсіл - есепті формула көмегімен бастапқы жуықтауды беру арқылы жуықтап, біртіндеп шығару.
8
Тура тәсілмен шығарылған есептер дәл мәнді береді. Ал итерациялық тәсілмен шешілген есептер есептің жуық мәнін береді .Мұның ішінде итерациялық әдістер сандық әдіске жатады.
Бір өлшемді сызықты емес теңдеуді шешудің келесі әдістері бар.
1.Кесіндіні қақ бөлу - дихотомия әдісі деп аталады.
2.Хорда әдісі.
3. Жанама әдісі немесе Ньютон әдісі
4. Қарапайым итерациялық әдіс немесе жәй итерация әдісі т.б.
Түбір жатқан аралықты анықтау әдісі
F(x)=0 (1.1)
Бірөлшемді сызықты емес теңдеу берілген. Мұндағы F(x) функциясы [a,b] кесіндісінде анықталған және үзіліссіз болсын.
Теорема1.1: [а,в] аралығында анықталған, үзіліссіз F(x) функциясының екі шеткі нүктелердегі мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, яғни мына шарт орындалса f(a)*f(b)0, онда осы аралықта (1.1)-теңдеудің түбірі бар және жалғыз болады.
Практикада кейде теореманың орындалуын функцияның мәндер кестесін құру арқылы да анықтайды. Функцияның анықталу облысы бойынша а нүктесін беріп, ол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сосын һ қадаммен келесі нүктеге жылжып, сол нүктедегі функция мәнін анықтайды, сол сияқты бірнеше нүктедегі функция мәндерін анықтап, таңбасын салыстырады. Егер көрші нүктелерде функция әр түрлі таңба қабылдаса, сол аралықта жалғыз түбірі жатыр деп айтады.
Кесіндіні қақ бөлу әдісі
(1.1) - теңдеуді кесіндіні қақ бөлу әдісімен шешу алгаритмі келесі қадамнан тұрады.
1. (1.1)-ші теңдеудің түбірі жатқан аралығын анықтау және осы аралықта түбірдің жалғыздығын тексеру. Яғни x осі бойында бірдей қашықтықта жатқан нүктелердегі функцияның мәндерін есептеміз, және егер екі шеткі нүктеде немесе екі көрші нүктеде функция мәндерінің таңбалары әр түрлі болса, онда сол аралықта түбір бар деп есептеу
2. Осы аралықты қаққа бөлу және ол нүктенің мәнін
Xорт=(Xn+1+Xn)\2. (1.2)
формуласымен анықтау.
3. Xn+1-Xne шарты арқылы қарастырылып отырған аралықтан шығып кетпеуді бақылаймыз.
4. XОРТ нүктесіндегі функция мәнін F(XОРТ) есептеу.
5. Егер оның таңбасы F(Xn) функциясының таңбасымен бірдей болса, Xn нүктесінің орнына XОРТ нүктесін қарастырамыз.
6. Ал егер F(XОРТ) функциясының таңбасы F(Xn+1) функциясының таңбасымен бірдей болса, Xn+1 нүктесінің орнына ХОРТ нүктесін қарастырамыз.
7. Шыққан аралықтар [Xn,, Хорт] U [Xорт, Xn+1] белгіленеді.және алдыңғы шарттарға байланысты екі аралықтың біреуін тағы қаққа бөлу арқылы ізделінді нүктеге біртіндеп жақындаймыз. Яғни мына шарттар тексеріледі: F(Xn+1)*F(Xорт)0 шарты орындалса [Xорт,Xn+1] аралығы қаққа бөлінеді де шыққан нүкте мәні, XОРТ2=XОРТ+ X n+12 формуласымен есептеледі. F(Xn)*F(ХОРТ)0 шарты орындалса [Xn, Xорт] аралығы қаққа бөлініп, табылған нүкте XОРТ2=XОРТ+ X n2 формуласымен есептеледі.
8. Осы процесті іздеп отырған х нүктесіне жеткенге дейін жалғастырып, XОРТ, XОРТ2, XОРТ3, ..., XОРТN тізбегін құрамыз. Мына шарт орындалатын уақытта XОРТN - XОРТN-1 E іздеу процесін тоқтатамыз да XОРТN нүктесін (1.1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын х дәл түбірге жуық мән деп қабылдаймыз.
Жай итерация әдісі
Бұл әдісті қолдану үшін (1.1)-ші теңдеудің сызықты мүшесі айшықталып мына түрге келтіру керек:
(1.3)
9
Сосын теңдеудің түбіріне кез келген Х0 бастапқы жуықтау беріп k=1,2,... формуласымен х1, х2,...,хn нүктелер тізбегін құрамыз. Бұл тізбек x=z түбіріне жинақталуы керек. Егер limXk=z болса, онда z нүктесі теңдеуінің түбірі бола алады. Итерация әдісінің жинақтылық шарты және бастапқы жуықтау кез келген болады. Итерациялық процесс берілген дәлдікке жетуі үшін шарты орындалуы керек.
Итерациялық тізбектің жинақтылығы теореманың ([1] қараңыз) шарттарымен де тексерілуі керек:
Теорема1.2.:
теңдеуінің [a,b] аралығында жалғыз түбірі бар және келесі шарттар орындалсын:
1) функциясы [a,b] аралығында анықталған және дифференциалданады;
2) үшін ;
3) барлық үшін болатындай q саны табылсын,
онда , (k=1,2,...) итерациялық тізбегі кез келген бастапқы жуықтауда жинақталады.
Хорда әдісі
Бұл әдіс кесіндіні қаққа бөлу әдісіне қарағанда шешімге тез жинақталады.
Алгоритмі:
1. хn , xn+1 аралығында f (x) және f (xn+1) функцияларының таңбасы бір біріне қарама-қарсы және түбірі бар болсын.
2. Осы екі шеткі нүктеден хорда жүргізіп, хорданың х осімен қиылысқан нүктесін мына формуламен анықтаймыз.
(1.4)
3. х[*] нүктесіндегі функция мәнін F(x[*])-ны есептеу. Оның таңбасын екі шеткі нүктедегі функцияның таңбасымен салыстырылады. Егер f (xn) және f(x[*]) функциясының таңбасы бірдей болса, онда хорданы xn+1 және x[*] нүктесі арқылы жүргізіледі. Оның мәнін (1.4) формуламен табады. Егер f(xn+1) мен f(x[*]) функцияның таңбалары бірдей болса, онда хорданы xn және x[*] нүктесі арқылы жүргізіледі. Шыққан нүктенің мәні (1.4) формуламен есептелінеді.
4. x* нүктедегі мәнін есептеп, мәні нөлге жуық болса , онда x[*] нүктесі (1.1) теңдеудің түбірі деп аталады. Егер нөлге жуық болмаса, онда процесс жалғасады.
Алдындағы мысал үшін программасы келесідей болады:
Ньютон әдісі
Алдыңғы әдістерге қарағанда бастапқы жуықтау дұрыс таңдалынып алынса Ньютон әдісі тез жинақталады. Бұл әдіске қатысты теореманы келтіре кетейік:
Теорема 1.3.: f(x) функциясы [a,b] аралығында анықталған және екі ретті туындысы бар, осы аралықта түбір жатыр f(a)*f(b)0, туындылардың таңбалары осы аралықта тұрақты болса f(x)*f'(x)0, онда f(x0)*f''(x0)0 теңсіздігін қанағаттандыратын бастапқы жуықтаудан бастап (1)-ші теңдеуді қанағаттандыратын [a,b] лығында жататын жалғыз шешімге жинақталатын итерациялық тізбек құруға болады.
10
Ньютон әдісінің геометриялық мағынасы: координаталары (xn;f(xn)) , болатын нүктеден қисыққа жанама жүргізсек, оның ох өсімен қиылысу нүктесі теңдеудің түбіріне хn+1 - кезекті жуықтау болып табылады.
Түбірге n-ші жуықтаудың қателігін бағалау үшін келесі теңсіздіктің орындалуын қадағалау керек:. Мұндағы М2 - функцияның екінші ретті туындысының аралықтағы максимумы, m1- минимумы. Егер, болса, онда болады, яғни түбірге дұрыс жуықталынса, әр итерациядан кейін кезекті жуықтаудың ондық таңба саны екіге артады да процесс тез жинақталады. Егер түбірді берілген е дәлдікпен табу керек болса, итерациялық процесті шарты орындалғанша жалғастырамыз.
Сызықты емес теңдеулер жүйесін шешудің сандық әдістері
Екі теңдеуден тұратын екі белгісізді сызықты емес теңдеулер жүйесін қарастырайық: (1.5)
Бұл есептің мақсаты - екі теңдеудің графигінің қиылысу нүктелерін анықтау.
Ньютон әдісі
Екі теңдеудің графигін сызып екеуінің қиылысу нүктелері жатқан облысты белгілейміз де осы облыстан жуықтап бастапқы жуықтауларды (x0, y0) таңдап аламыз ([3] қараңыз). Келесі жуықтауларды мына формулалармен есептейміз:
Мұндағы якобиан деп аталады.
Бұл әдіс бастапқы жуықтаулар түбірге жақын алынған уақытта тиімді.
Қарапайым итерация әдісі
(1.5)-ші жүйе берілсін. Бұл әдісті қолданбас бұрын жүйені итерациялық түрге келтіріп алады: (1.6.)
Теңдеулердің графиктерін құру арқылы бастапқы жуықтауларды беріп, келесі жуықтауларды мына формуламен есептейді:
n=0,1,2,... (1.7.)
Бұл әдістің жинақтылығын теореманың шарттарымен тексеру керек.
Теорема 1.4: Әлдебір тұйық облыста (1.5)-ші
жүйенің жалғыз шешімдері бар болсын: . Егер:
11
1) және функциялары облысында анықталған және үзіліссіз болса,
2) бастапқы және келесі жуықтаулардың барлығы осы облыста жатса,
3) осы облыста мына теңсіздіктер орындалса:
(1.8)
онда (1.6)-ші итерациялық процесс өзінің жалғыз шешіміне жинақталады, яғни , .
Қателігін бағалау:
. M=max(q1;q2).
Кей жағдайда (1.6)-ші итерациялық процестің орнына Зейдель процесін қолдануға болады:
n=0,1,2,... (1.9)
Жүйені итерациялық түрге келтіру
(1.5)-ші жүйені (1.6)-ші итерациялық түрге келтіру үшін келесі тәсілдерді қолданған дұрыс.
, болсын. (1.10)
Коэффициенттерді мына жүйеден табамыз:
(1.11)
Параметрлерді осылай таңдап алу арқылы (1.8)-ші шарттың орындалуын талап етуге болады.
3-ДӘРІС. Векторлар мен матрицалардың алгебрасы.
1. Векторлар мен матрицалардың алгебрасы.
2. Векторлар мен матрицалардың тізбегінің жинақталуы.
3. Нормалары. Қиюласқан нормалар.
4. Матрицалық геометриялық прогрессияның жинақталуы.
4-ДӘРІС. Матрица сипаттамасының белгісі-шарттасу саны.
1. Нашар және тәуір шарттасқан сызықты жүйелер.
2. Шартасқан матрицалар.
3. Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесі.
12
4. Сызықты теңдеулер жүйесін тікелей шешу әдістері.
5. Ортаганалдау әдісі.
6. Итерациялық әдістер: Жай итерация әдісі.
7. Зейдель әдісі.
8. Тиімді параметрлі итерациялық әдістер.
Дәріс тезисі:
Сызықты алгебралық теңдеулер жүйесін (САТЖ) сандық шешудің 2 тәсілі бар:
1. тура шешу
2. жуықтап шешу
Тура шешу тәсілі жүйенің шешімін саны шектеулі арифметикалық операциялар көмегімен алуға мүмкіндік береді. Егер барлық операциялар дәл, яғни есептеу қателігінсіз жүргізілсе, тура шешім алынады. Тура тәсілдерге Крамер, Гаусс, Жордан-Гаусс, квадрат түбірлер әдістері жатады. Бұл әдістер 103 жоғары емес сандармен ЭЕМ көмегімен САТЖ-ның дәл шешімін анықтайды.
Жуықтап шешу тәсілдері итерациялық әдістер деп аталады. Олар жүйе шешімін біртіндеп жуықтау шегі ретінде анықтайды. Оларға жататын әдістер: Зейдель, қарапайым итерация, релаксация, градиентті т.б. Практикада бұл әдістерді 106 ретті сандармен есептеу жүргізуде қолданады.
САТЖ-ны шешу үшін оның жалпы шешімі қай уақытта бар болады, және неше шешімі болуы мүмкін деген сұрақтарға жауап беру керек ([8] қараңыз).
N белгісізді m теңдеуден тұратын САТЖ-ны қарастырайық:
(2.1)
немесе векторлық-матрицалық түрде жазсақ:
Ax=b (2.2)
Мұндағы А-коэффициенттерден құралған матрица, х- белгісіздерден құралған вектор, b - бос мүшелерден құралған вектор.
Тура шешу тәсілдері
1. Гаусс әдісі.
(2.1.1)
(2.1.1) - квадрат матрицалы жүйе берілсін. Жүйенің матрицасы ерекше емес немесе айқындалмаған болсын. Гаусс әдісін практикада белгісіздерді біртіндеп жою әдісі деп те атайды.
Әдістің негізгі идеясы немесе мағынасы ([12],[13] қараңыз): берілген жүйенің матрицасын үшбұрышты түрге келтіру, бұл - тура жол деп аталады, сосын үшбұрышты матрицаны қолданып құрған жаңа жүйеден белгісіздерді біртіндеп табу, бұл - кері жол деп аталады. Сонда Гаусс әдісі 2 этаптан тұрады:
1. тура жол - матрицаны үшбұрышты түрге келтіру.
2. кері жол - белгісіздерді ең соңғысынан бастап кері қарай табу.
13
Бұл әдіс тура тәсілге жатады. Яғни белгісіздердің мәнін бастапқы жүйеге қойғанда теңдіктің оң жағындағы мәндер мен сол жағындағы мәндер бір біріне тең болады.
Матрицаны үшбұрышты түрге келтіру әр түрлі әдіспен орындалады, қолданылатын әдіс теңдеулердің коэффициенттеріне байланысты.
1. Тура жол:
басшы элементі нөлден өзгеше деп есептеп (2.1.1)- жүйенің бірінші теңдеуінің коэффициенттерін басшы элементке бөлу арқылы келесі теңдеуді аламыз:
(2.1.2.)
мұндағы , (2.1.3)
(2.1.2) - теңдеуді қолданып (2.1.1) - жүйенің 2-ші теңдеуінен, 3-ші теңдеуінен және n-ші теңдеуінен х1 белгісізін жоюға болады. Ол үшін (2.1.2)-ші теңдеуді а21, а31, ..., аn1 коэффициенттеріне көбейтіп шыққан нәтижелерді сәйкесінше 2-ші теңдеуден, 3-ші теңдеуден, т.с.с. n-ші теңдеуден азайтып aij1 деп белгілейміз:
(2.1.4)
Сонда келесідей жүйе аламыз:
(2.1.5)
Алынған (2.1.5) - жүйенің 1-ші теңдеуін а221 элементіне бөліп, теңдеу аламыз:
(2.1.6)
мұндағы , (2.1.7)
х1 белгісізін қалай жойсақ, тура сол сияқты х2 белгісізін (2.1.5) - жүйеден жоямыз, сонда мынадай жүйе алынады:
(2.1.8)
мұндағы
(2.1.9)
(2.1.8) - жүйенің 1-ші теңдеуін элементіне бөліп
(2.1.10)
теңдеу аламыз. Мұндағы , (2.1.11)
(2.1.10) - теңдеу көмегімен (2.1.8) - жүйеден х3 белгісізін жоямыз.
Осы әрекеттер тізімін матрица толық үшбұрышты түрге келгенше жалғастырамыз да (2.1.2)-ші, (2.1.6)-шы, (2.1.10)-шы, т.с.с. алуға болатын теңдеулерді жинақтап келесідей жүйе аламыз:
14
(2.1.12)
2. Кері жол:
(2.1.12) - жүйенің ең соңғы n-ші теңдеуінен белгісізін тауып алып n-1 - ші теңдеуге қою арқылы xn-1 белгісізін табуға, сол сияқты кері қарай барлық белгісіздерді табуға болады.
Ескерту: Бұл әдіс матрицаның басшы элементі нөлден өзгеше болған жағдайда қолданылады. Егер берілген жүйе матрицасының басшы элементі нөлге тең болса, жүйенің теңдеулерінің орындарын ауыстыру арқылы, арифметикалық операциялар қолдану арқылы басшы элементтің нөлдігінен құтылуға болады.
2. Жордан - Гаусс әдісі.
Бұл әдісті қолдану үшін жүйенің матрицасының басшы элементтері немесе диагональ элементтері нөлден өзгеше болуы керек ([11] қараңыз). Егер матрицаның басшы элементтері нөлге тең болса, қандай да бір алмастырулар, ауыстырулар қолдану арқылы нөлден құтылады. Жордан - Гаусс әдісін сондықтан басшы элементті таңдау әдісі деп те атайды. Әдістің негізгі идеясы модулі бойынша ең үлкен элементті басшы элемент деп алып, сол элемент орналасқан жолдағы сәйкес белгісізді жою. Бұл әдіс те тура және кері жолдан тұрады. Келесі жүйе берілсін.
(2.2.1)
1. Тура жол алгоритмі
1. (2.2.1) - жүйенің кеңейтілген матрицасын құрамыз.
2. элементтерінің арасынан модулі бойынша ең үлкен
элементті басшы элемент деп тағайындаймыз. Оны apq деп белгілейік.
3. Барлық мәндері үшін (2.2.2)
көбейткішін есептейміз.
4. Әрбір басшы емес жолдан көбейткішіне көбейтілген басшы жол
элементтерін мүшелеп шегереміз:
(2.2.3)
Сонда q-шы бағанның басшы элементтен басқа элементтері нөлге
айналады.
5. q-шы баған және басшы жолды тастап кетіп жаңа М1 матрица аласыз. Бастапқы матрицаның бағаны мен жол саны азаяды.
6. М1 матрицасына 2-5-ші пункттерді қайталап қолдану арқылы М2 матрицасын аламыз.
7. Осы процессті бір белгісізді бір жолдан тұратын теңдеу қалғанша жалғастырамыз.
8. Тастап кеткен басшы жолдардан жаңа жүйе құрастырамыз.
2. Кері жол алгоритмі
15
Басшы жолдардан құралған матрицаны әлдебір ауыстырулар арқылы үшбұрышты түрге келтіріп, ең соңғы теңдеуден ең соңғы белгісізді, оны қолданып оның алдындағы белгісізді, т.с.с. барлық белгісіздерді кері бағытта анықтаймыз.
сандары қаншалықты азайған сайын есептеу қателігі де азаяды. Сондықтан ЭЕМ-ді қолданып есептеу уақытында осы әдіс тиімді деп есептеледі.
Ескерту. Егер жүйе өте көп белгісіздерден тұрып, оның барлық элементтерінің арасынан модулі бойынша үлкен элементті табу қиынға соқса басшы жол ретінде жүйенің бірінші жолын, ал басшы элемент ретінде осы жолдың модулі бойынша ең үлкен элементін алуға болады.
3. Квадрат түбірлер әдісі.
(2.3.1)
Жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұратын болса, онда мұндай жүйеге квадрат түбірлер әдісі қолданылады. Әдістің мақсаты ([13] қараңыз) берілген матрицаны бір-біріне түйіндес екі үшбұрыш матрицаның көбейтіндісі түріне келтірейік.
A=S*DS (2.3.2)
мұндағы S*- төменгі үшбұрышты матрица, S- жоғарғы үшбұрышты матрица .
SS*D матрицасын бір-біріне көбейтіп элементтерін А матрицасының элементтеріне теңестіреміз. Алынған матрицасының диоганалдық элементтері мына формуламен есептелінеді.
ал қалған элементтер үшін мына формула қолданылады:
(2.3.3)
(2.3.4)
(2.3.5)
(2.3.6)
(2.3.7)
16
Егер берілген матрицаның коэффициенті нақты және бас минорлары оң болса, онда d матрицасын бірлік матрица деп, есептеу мына фолмулалармен жүргізіледі:
(2.3.3*)
(2.3.4*)
(2.3.5*)
(2.3.6*)
(2.3.7*)
Бұл формулаларды қолданғаннан кейін шыққан матрицаны мынадай үшбұрышты жүйе құрамыз:
(2.3. 8)
(2.3.9)
(2.3.10)
(2.3.11)
(2.3.12)
4.Қарапайым итерация әдісі.
(1)
(1)- жүйені қандай да бір амалдар қолданып келесі түрге келтірейік,
(1.1)
17
немесе қысқаша жазсақ:
(1.1.) - жүйенің оң жағы n - өлшемді векторлық кеңістікте x(x1,x2,...,xn) нүктесін осы кеңістіктің y(y1,y2,...,yn) нүктесіне айналдыратын бейнелеу болып табылады:
(1.2.)
(1.1.) - жүйені қолданып, бастапқы нүктені таңдап алып n - өлшемді векторлық кеңістікте нүктелердің итерациялық тізбегін құруға болады:
(1.3.)
(1.3.) - итерациялық тізбек жинақты болса, оның шегі (1.1.) итерациялық жүйенің шешімі болады. Тізбектің жинақтылығын дәлелдеу үшін функционалдық анализдің кейбір ұғымдары керек:
5. Зейдель әдісі.
1. - жүйе (1.1.) - итерациялық түрге келтірілсін. Бұл жүйені қарапайым итерация әдісімен шешкенде итерациялық процесстің әр қадамы белгілі бастапқы жуықтаудан белгісіздің жаңа жуықтауына көшуден тұратын еді. Белгілі бастапқы жуықтаудың элементтерін x1, x2, ... , xn деп, ал есептелетін келесі жуықтауларды y1, y2, ... , yn деп белгілейік. Сонда есептеу формулалары келесі түрге көшеді:
(2.1.)
Зейдель әдісінің негізгі идеясы итерациялық процестің әр қадамында yi-дің мәндерін есептеу барысында оның алдында есептелген y1, y2, ... , yi-1 мәндері қолданылады да (2.1.) - ді ашып жазсақ, Зейдель формуласы келесідей болады:
(2.2.)
(2.2.) - итерациялық процесінің жинақтылығы үш метрикалық кеңістікте мына шарттардың бірі орындалуымен бекітіледі:
1. кеңістікте шарты (2.3.)
2. кеңістікте шарты (2.4.)
3. кеңістікте шарты. (2.5.)
Егер бұл шарттардың біреуі орындалса, (2.2.) - итерациялық процесс кез келген бастапқы жуықтауда өзінің жалғыз шешіміне жинақталады.
Зейдель әдісін жүйенің матрицасы симметриялы элементтерден тұрған жағдайда қолданады. Егер матрица симметриялы болмаса оны симметриялы түрге келтіру үшін жүйенің матрицасын және векторларын транспонирленген матрицаға көбейтеді:
АТ*А*х=AT*b (2.6.)
Белгілеулер енгіземіз:
18
AT*A=C
AT*b=D
Сонда
Cx=D (2.7.)
(2.7.) - жүйені қалыпты жүйе деп атайды. Қалыпты жүйенің элементтері симметриялы және диагональды элементтері нөлден өзгеше болады. Қалыпты жүйені алдында қарастырған амалдарды қолданып (2.2.) - итерациялық жүйеге келтіруге болады.
(2.7.) - қалыпты жүйеге эквивалентті (2.2.) - келтірілген итерациялық жүйе үшін Зейдельдің итерациялық процесі өзінің жалғыз шешіміне кез келген бастапқы жуықтауларда жинақталады.
Егер е дәлдік берілсе, итерациялық әдіс , i=0,1,2,... шарты орындалғанға дейін жалғасады.
5-ДӘРІС. Матрицаның меншікті мәндері мен меншікті векторлары.
1. Матрицаның меншікті мәндері мен векторларын табу.
2. Крылов әдісі.
3. Меншікті мәндердің дербес мәселелері.
4. Дәрежелеу әдісі.
5. Симметриялық матрицаның меншікті мәндері мен векторлары.
6. Якобидың айналдыру әдісі.
6-ДӘРІС. Бейсызықты теңдеулер жүйесінің шешімін табу.
1. Жай итерация әдісі.
2. Ньютон-Гаусс әдісі.
3. Ньютон әдісінің жинақталуы.
7-ДӘРІС. Функцияны жуықтау.
1. Интерполяция есебінің қойылуы.
2. Лагранж формуласы.
3. Лагранж формуласының жалқылығы және қателігін бағалау.
4. Бір айнымалы функцияны кубтық сплайнмен интерполяциялау.
5. Сплайн функциясының жинақталуы.
Дәріс тезисі
F(x) функциясының белгілі мәндері келесі таблицаны құрсын.
(1)
(1)
хiX0
X1
...
xn
F(xi)
Y0
Y1
...
yn
[x0, xn] аралығында жататын, бірақ xi-лердің ешқайсысымен сәйкес келмейтін х-тегі функция мәнін табу керек болсын.
Әдетте функцияның аналитикалық өрнегі берілсе, онда х-тің орнына мәнін қойып функция мәнін есептей салуға болатын. Кей жағдайда функцияның аналитикалық өрнегі мүлде белгісіз болуы немесе есептеуге көп уақытты қажет етуі мүмкін. Осындай жағдайларда берілген таблица бойынша f функциясына жуық F жуықтаушы функцияны құрады:
f(x)=F(x) (2)
Құрылған жуықтаушы функция келесі шарттарды қанағаттандыруы керек:
F(x0)=y0, F(x1)=y1, F(x2)=y2, ... , F(xn)=yn (3)
Мұндай есепті функцияны интерполяциялау есебі деп атайды. Ал х0, x1, x2, ... , xn нүктелерін - интерполяциялау тораптары немесе түйіндері деп атайды.
F(x) интерполяиялаушы функцияны n дәрежелі көпмүшелік түрінде іздейді: Лагранж, Ньютон, Гаусс, Бессель, Стирлинг, т.б.
19
Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтықтары тұрақты емес болса, Лагранждың көпмүшелігі, тұрақты болса - Ньютоннның көпмүшеліктері қолданылады.
1. Лагранждың интерполяциялық көпмүшелігі.
(1)
Кей жағдайда есептеу процесін жеңілдету үшін x=at+b, xj=atj+b j=0,1,...,n сызықты алмастыруын жасау арқылы Лагранж коэффициенттерінің инварианттылығын қолдануға болады, онда (1)-формула келесі түрге келеді:
(2)
2. Ньютоннның интерполяциялық формулалары.
Егер интерполяциялық түйіндердің бір бірінен ара қашықтығы тұрақты болса, практикада Ньютонның интерполяциялық формулалары қолданылады. Бұл формулалар екіге бөлінеді:
1. Алдыға қарай интерполяциялау
2. Кері интерполяциялау
Егер берілген х нүктесінің мәні таблицаның бас жағында жатса, 1-формуласы қолданылады:
(1)
(1)
.Мұндағы
Егер берілген х нүктесінің мәні таблицаның соңғы жағянда жатса, 2-формула қолданылады:
(2)
(2)
Формулалардағы , , т.с. сияқтылар шектік айырымдар деп аталады және 3-таблицаны толтыру арқылы анықталады. Таблицада мысал үшін 6 интерполяциялық түйін және шектік айырымдардың 4-ші дәрежесіне дейінгі мәндер қарастырылған. 1-формула үшін таблицаның бірінші жолындағы мәндер, 2-формула үшін таблицаның соңғы жолындағы мәндер қолданылады.
3-таблица. Шектік айырымдар таблицасы.
X
y
X0
Y0
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
X4
Y4
X5
Y5
20
Егер интерполяциялық түйіндер саны 1 немесе 2-ге тең болса сызықты интерполяциялық формуланы қолдануға болады: .
Қателіктерін бағалау:
1-формула үшін мына формула қолданылады:
,
немесе
2-формула үшін мына формула қолданылады:
,
1. Эйткен схемасы
2. Гаусс интерполяциялық формулалары
3. Стирлингтің және Бессельдің интерполяциялық көпмүшеліктері
Эйткен схемасы
Егер Лагранж көпмүшелігінің жалпы өрнегін анықтамай, тек белгілі бір нүктедегі функция мәнін есептеу керек болса, онда Эйткен схемасын қолдануға болады:
т.с.с. (4.6)
Эйткен схемасы келесі 6-кестені толтыру арқылы орындалады.
6-кесте. Эйткен схемасының толтырылу кестесі
xi
yi
Xi-x
Li-1,i
Li-2,i-1,i
Li-3,i-2,i-1,i
...
X0
Y0
X0-x
X1
Y1
X1-x
L01(x)
X2
Y2
X2-x
L12(x)
L012(x)
X3
Y3
X3-x
L23(x)
L123(x)
L0123(x)
...
X4
Y4
X4-x
L34(x)
L234(x)
L1234(x)
...
Эйткен схемасын есептеуді көршілес L0123...n(x), L0123...n,n+1(x) мәндері берілген дәлдік маңайында бір бірімен беттессе тоқтатуға болады.
Xi нүктелерінде yi мәндерін қабылдайтын n-ші дәрежелі интерполяциялық көпмүшелік келсі түрде де жазылады:
. (4.7)
1-Мысал:
Төмендегі кестемен берілген функция үшін Лагранж көпмүшелігін құру.
I
0
1
2
(4.8)
(4.8)
3xi
0
0.1
0.3
0.5
yi
-0.5
0
0.2
1
21
Шешімі: (4.4)-формула бойынша n=3, i=0,1,2,3 болғандағы өрнекті анықтаймыз:
L13(x) мүшесін есептемейміз, себебі y1=0. Бәрін бір біріне қосамыз да көпмүшеліктің соңғы түрін аламыз:
2-мысал:
Төмендегі кестемен берілген функцияның x=0.45 нүктесіндегі мәнін анықтау керек.
X
0.05
0.15
0.20
0.25
0.35
0.40
0.50
(4.9)
(4.9)
0.55y
0.9512
0.8607
0.8187
0.7788
0.7047
0.6703
0.6065
0.5769
Шешімі:
Есептеуді жеңілдету үшін x=0.05t деп алайық. X-тердің мәні белгілі болғанда t-лардың мәндерін тауып алуға болады, олар: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11. Және x=0.45 болғандағы t=9 болады. Есептеу қадамдары 6[']-кестеде келтірілген.
6'-кесте. (4.9)-есептің есептелу қадамдары.
I
ti-tj
(ij)
Di
yi
0
8
-2
-3
-4
-6
-7
-8
-10
-725 760
0.9512
-0.0131*10-4
1
2
6
-1
-2
-4
-5
-7
-8
26 880
0.8607
0.3202*10-4
2
3
1
5
-1
-3
-4
-6
-7
-7 560
0.8187
-1.0829*10-4
3
4
2
1
4
-2
-3
-5
-6
5 760
0.7788
1.3520*10-4
4
6
4
3
2
2
-1
-3
-4
-3 456
0.7047
-2.0390*10-4
5
7
5
4
3
3
1
-2
-3
2 520
0.6703
2.6599*10-4
6
9
7
6
5
5
2
-1
-1
11 340
0.6065
0.5348*10-4
7
10
8
7
6
6
3
1
-2
-80 640
0.5769
-0.0715*10-4
Сонымен y(0.45)= 3840*1.6604*10-4=0.6376.
Егер есепте керісінше функция мәні белгілі болып сол мәнге сәйкес абсцисса мәнін табу керек болса, ондай есепті кері интерполяциялау деп атайды. Кері интерполяциялау формуласы:
(4.10)
(4.10)
Гаусс интерполяциялық формулалары
22
Гаусс формулаларын берілген х-тің мәні кестенің ортасына жақын орналасқан жағдайларда қолданады. Егер xx0 болса Гаусстың 1-формуласы, xx0 болса, Гаусстың 2-формуласын қолданады.
1-формуласы:
(4.13)
(4.13)
2-формуласы:
(4.14)
(4.14)
Бұл формулалардағы , , , , , , , , шектік айырымдарды табу үшін 9- кесте құру керек.
9 - кесте. Гаусс формуласы үшін шектік айырымдар кестесі.
x
Y
x-4
y-4
x-3
y-3
x-2
y-2
x-1
y-1
X0
Y0
X1
Y1
X2
Y2
X3
Y3
X4
Y4
Мысалы:
y=ex функциясының мәндері кесте да келтірілген. X=1.17, x=1.13 нүктелеріндегі мәндерді анықтау керек.
Шешімі:
Шектік айырымдарды анықтау 10-кестесін құрамыз.
10-кесте . y=ex функциясының мәндері және шектік айырымдары.
i
xi
yi
-3
1.00
2.7183
1394
71
4
-2
1.05
2.8577
1465
75
4
-1
1.10
3.0042
1540
79
4
0
1.15
3.1582
1619
83
5
1
1.20
3.3201
1702
88
2
1.25
3.4903
1790
3
1.30
3.6693
23
3-ретті шектік айырымдар тұрақтана бастағандықтан кесте ны осы арада тоқтатамыз. 1,17 нүктесіндегі мәнді есептеу үшін Гаусстың 1-формуласын қолданамыз, себебі, ол нүкте х0 нүктесінен артық. Q=0.4 болады. Гаусстың 1-формуласына кестедегі мәндерді қоямыз: сонда
e1.13 дәрежесін есептеу үшін Гаусстың екінші формуласын қолданамыз, себебі 1,13 нүктесі х0 нүктесінен кіші:
Стирлингтің және Бессельдің интерполяциялық көпмүшеліктері
Стирлингтің формуласы Гаусс формулаларының арифметикалық ортасы болып табылады. болған жағдайда қолданылады:
(4.15)
(4.15)
Егер шартын қанағаттандырса, Бессель формуласын қолдануға болады:
(4.16)
(4.16)
Қалдық мүшесі келесі түрде жазылады:
,
мұндағы .
Бессель полиномын кестелік мәндерді тығыздау үшін де қолданады.
24
8-ДӘРІС. Интегралдаудың сандық әдістері.
1. Ньютон-Котес квадратуралық формулалары.
2. Трапеция, симпсон формулалары қателіктерін бағалау.
3. L2 кеңістігіндегі ең жоғарғы дәлдіктегі Гаусс формуласы.
4. Кездейсоқ шаманы берілген таралу заңдылығы бойынша моделдеу.
5. Еселі интегралдар үшін Монте-Карло әдісі.
Сандық интегралдау инженерлік және ғылыми деректерді анализдеу немесе сараптау үшін қажетті. Интегралды классикалық әдістермен аналитикалық түрде алу мүмкін болмаған жағдайларда сандық интегралдау есебі қойылады. Кейде интеграл астындағы функция өте күрделі, кейде функцияның таблицалық мәндері ғана берілуі мүмкін.
Сандық интегралдауды сандық квадратура деп те атайды. Ал қолданылатын формулалар квадратуралық формулалар деп аталады.
Сандық интегралдау да дәл және жуықтау болып екіге бөлінеді.
Егер абсцисса өсі бойынан алынатын нүктелер бірқалыпты орналасатын болса, онда Ньютон - Котестің дәл квадратуралық формулалары қолданылады, басқа жағдайда жуықтау - Гаусс формулалары қолданылады.
Сандық интегралдаудың негізгі идеясы - интеграл астындағы функцияны [a,b] аралығында интерполяциялық полиномға жіктеу және полиномның әр мүшесін интегралдау арқылы есептеу процесін жеңілдету.
Интегралдың қателігін төмендету үшін интеграл астындағы функция анықталған [a,b] аралығы h қадаммен бірнеше аралыққа бөлу керек: xi+1-xi=h, i=1,2,...,n-1. Қадам тұрақты болған жағдайды қарастырайық.
(1)
түрдегі интеграл берілсін. Дәл әдістерге Ньютон-Котес квадратуралық формулалары жататыны жоғарыда айтылған.
1. Трапеция әдісі.
Егер n=1 болса квадратуралық формула трапеция әдісі деп аталады. Әдіс бойынша; интегралдық қисық пен ох өсі аралығындағы фигура ауданын табу үшін сол фигураны трапециямен толықтырып, ауданын табуға болады:
(2)
Қателікті ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz