Stud.kz

Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы


Жұмыс түрі:  Курстық жұмыс
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 26 бет
Таңдаулыға:   

ҚЫЗЫЛОРДА ОБЛЫСЫНЫҢ БІЛІМ БАСҚАРМАСЫНЫҢ
«М. МӘМЕТОВА АТЫНДАҒЫ ҚЫЗЫЛОРДА ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ЖОҒАРЫ КОЛЛЕДЖІ»
«Физика-математика және ақпараттық жүйе» бөлімі

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Квадрат теңдеулер және оларды шешу әдістері

0111000 - Негізгі орта білім беру (мамандығы)

03 - «Ағылшынша білімі бар математика пәні мұғалімі»

Мл-19 топ студенті: . . . Б. Мырзахмет

(қолы)

Пән оқытушысы: . . . Н. Сауяева

(қолы)

Қызылорда, 2022-2023 жыл

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ. . . 3

I. КВАДРАТ ТЕҢДЕУ. . . 5

1. 1. Квадрат теңдеулердің анықтамасы . . . . . . 5

1. 2. Толымсыз квадрат теңдеулер . . . 8

1. 3. Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы . . . 11

II. КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ . . . 12

2. 1. Квадрат теңдеуді жалпы түрде шешу . . . 12

2. 2. b жұп сан болғандағы квадрат теңдеуді шешу . . . 14

2. 3. Квадрат теңдеулерді шешу әдіс-тәсілдері . . . 15

2. 4. Виет теоремасы . . . 20

Ⅲ. ТӘЖІРИБЕЛІК БӨЛІМ . . . 23

3. 1. Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер шығару . . . 23

3. 2. Мемлекеттік іс-тәжірибе барысындағы сабақ жоспары . . . 27.

ҚОРЫТЫНДЫ. . . 30

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ. . . 31

КІРІСПЕ

Зерттеудің өзектілігі: Мектептің математика курсында бастауыш сыныптардан бастап қаралатын ең негізгі буын алгебралық теңдеулерді шешу. Оқушылардың білімін білім стандарты талаптарына сай қалыптастыру үшін теңдеулерді шешу әдістерінің әрқайсысын пайдалану жолдарын оқушыларға ғылыми негізінде, нақты практикалық тұрғыда жеткізудің нәтижелі болатыны белгілі. Алгебралық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері төмендегідей:

  1. Теңбе-тең түрлендіру;
  2. Айнымалыларды ауыстыру;
  3. Көбейткіштерге жіктеу;
  4. Мәндес теңдеулерге көшу.

Теңдеуді шешу жолдарын әр түрлі әдістермен жазып көрсетуге болады, бірақта ескеретін жағдайлар бар. Орындалған теңбе-тең түрлендірулер математикалық тілде, математикалық символдарды пайдалана отырып мүмкіндігінше толық жүргізілсе (анықталу облысы, мәндерінің жиыны тағы сол сияқты), жауабы толық негізделіп берілсе жеткілікті. Жалпы мектеп курсындағы кез келген теңдеулерді шешу барысында үш жағдай кездеседі:

а) теңдеудің түбірлері болатын жағдай;

ә) теңдеудің түбірлері болмайтын жағдай;

б) теңдеудің түбірлері шексіз сандар жиыны болатын жағдай. Осы үш жағдайдың үшінші жағдайына (теңдеудің түбірлері шексіз сандар жиыны болатын жағдай) мектеп курсында жеткілікті мән берілмейді. Соның салдарынан болу керек оқушылар көптеген қателіктерге жол береді, тіпті теңдеудің түбірлері қалайша шексіз сандар жиыны болады деген сұрақтарды да мұғалімге қояды. Өйткені оқушы тек қана теңсіздіктердің шешімдері шексіз сандар жиыны болады деп есептеледі. Демек, қосымша жұмыстар жүргізу қажет. Осы мәселеге байланысты оқушының білімін тереңдету үшін арнайы жасалған жұмыстарды көбірек қолдану керек.

Математиканың тарихи даму барысында әр қырына, түрінше шешімін тауып отырған ең басты мәселелердің бірі - сан ұғымын дамыту болды. Сан ұғымын кеңейту мәселесі алгебра ғылымының өз алдына бөлініп дербес даму жолына түсуін күрт жеделдетті, шешуі болатын теңдеулер класын көбейтті, қолданыстағы сандар арсеналын байытуды, кеңейтуді талап етті. Алгебра иррационалдықтың, яғни иррационал сандардың рационал сандармен тең енгізілуі осы қажеттіліктің көрінісі екені белгілі.

Теңдеулерді шешу қиын есептерді шешуді жеңілдетеді. Есепті шешу үшін есептің шарты баяндалған математикалық тілді математикалық модель - өрнекті құру үшін белгісізді x, y, z деп белгілеп, шартта баяндалған барлық жағдайды еске алып өрнек теңдеу құрамыз. Ары қарай осы өрнектен белгісізді табу теңдеуді шешу болып табылады.

Бұл курстық жұмысымда алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр.

«Квадрат теңдеулер» мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, сол сияқты мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу, функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу, ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және тағы басқа жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттілігі туындайды. Сонымен бірге тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.

Зерттеу объектісі: мектеп-лицейде математиканы оқыту процесі.

Зерттеу базасы: Ә. Мүсілімов атындағы 101 мектеп-лицейі

Зерттеу нысаны: 6 - 8 сынып оқушылары

Зерттеу пәні: Математиканы оқыту әдістемесі

Зерттеу мақсаты: Квадрат теңдеулер арқылы көптеген табиғи үдерістер мен құбылыстар с. с мазмұнды есептерді шығаруда квадрат теңдеулерді шешуде қолдану. Квадрат теңдеулерді ерте заманнан бері ұлы ғалымдар да өз тәжірибесінде қолданғанын анық көрсетеді. Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіру.

Зерттеу міндеттері:

  • Квадрат теңдеу ұғымы және оны анықтаудың әртүрлі әдістерін талдау;
  • ұғымдарды енгізу әдістемесі: түбірлері, дискриминанты, Виет саласын айқындау;
  • квадрат теңдеу ұғымы және оның түбірлерінің мәні;
  • квадраттық теңдеулер жүйесін қарау;

Зерттеудің әдіс-тәсілдері: Түсіндіру, әңгімелесу, зерттеу, проблемалық, практикалық. .

Курстық жұмыстың құрылымы: кіріспе, 3 тарау, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімі. Әр тарау зерттелген материал негізінде жастуран қорытындымен аяқталады. Жұмыс зерттеуге негізделген қорытындымен аяқталады.

I. КВАДРАТ ТЕҢДЕУ.

1. 1. Квадрат теңдеудің анықтамасы

a, b, c (a ≠ 0) нақты сандар болғанда a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 (1) түріндегі теңдеу квадрат теңдеу деп аталады. Егер а=1 болса, онда квадрат теңдеу келтірілген, а≠1 болса, онда - келтірілмеген деп аталады. а, b, c сандарының атаулары: а - бірінші коэфициент, b - екінші коэфициент, с - бос мүше.

a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлері x= − b ± b 2 − 4 a c 2 a \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} (2) формуласымен табылады.

D= b 2 b^{2} - 4acөрнегі (1) квадрат теңдеудің дискриминанты. Егер D<0 болса, онда (1) квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ; егер D=0 болса, онда - бір нақты түбірі бар, егер D>0 болса, онда - екі нақты түбірі бар болады. D=0 болған жағдайда, кейде квадрат теңдеудің бірдей екі түбірі бар дейді. D= b 2 b^{2} - 4ac белгілеуін пайдаланып, (2) формуласын x= − b ± D 2 a \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a} түрінде жазуға болады. Егер b=2mболса, онда (2) формуласы

x= − 2 m ± 4 m 2 − 4 a c 2 a \frac{- 2m \pm \sqrt{4m^{2} - 4ac}}{2a} = − 2 m ± 2 m 2 − a c 2 a \frac{- 2m \pm 2\sqrt{m^{2} - ac}}{2a} = − m ± m 2 − a c a \frac{- m \pm \sqrt{m^{2} - ac}}{a} түрінде болады. Сөйтіп,

x= − m ± m 2 − a c a \frac{- m \pm \sqrt{m^{2} - ac}}{a} , m= b 2 \frac{b}{2} . (3)

(3) формуласыәсіресе b 2 \frac{b}{2} бүтін сан, яғни bкоэфициенті жұп сан болғанда қолдануға қолайлы.

1) b=c=0 болса, онда a x 2 x^{2} =0; шешуі: x=0

2) c=0, b ≠ \neq 0 болса, онда a x 2 {ax}^{2} + bx = 0; шешуі: x (ax+b) =0; x=0; x = - b a \frac{b}{a}

3) c ≠ \neq 0, b=0 болса, онда a x 2 x^{2} + c = 0; шешуі: x 2 x^{2} = егер - с a \frac{с}{a} ≥ 0 болғанда x 1 , 2 x_{1, 2} = ± − c a \pm \sqrt{- \frac{c}{a}} , егер- с а \frac{с}{а} ≤ 0 болса, түбірі жоқ.

1- мысал: 2 х 2 − 5 х + 2 = 0 {2х}^{2} - 5х + 2 = 0 теңдеуін шешу керек.

Шешуі. а= 2, b= -5, c=2 болғандықтан D= b 2 b^{2} - 4ac = ( − 5 ) 2 − 4 • 2 • 2 = 9 . {( - 5) }^{2} - 4 \bullet 2 \bullet 2 = 9\ . \ D > 0 болғандықтан теңдеудің екі түбірі бар, оларды (2) формуласы бойынша табамыз:

x= − b ± b 2 − 4 a c 2 a = 5 ± 9 4 = 5 ± 3 4 . \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\ \ .

Сөйтіп, x 1 = 0 , 25 • ( 5 + 3 ) = 2 , x 2 = 0 , 25 • ( 5 − 3 ) = 0 , 5 x_{1} = 0, 25 \bullet (5 + 3) = 2\, \ \ x_{2} = 0, 25 \bullet (5 - 3) = 0, 5 , яғни x 1 = 2 x_{1} = 2 мен x 2 = 0 , 5 x_{2} = 0, 5 берілген теңдеудің түбірлері.

2 - мысал: x 2 − 6 x + 9 = 0 x^{2} - 6x + 9 = 0 теңдеуін шешу керек.

Шешуі. a=1, b=- 6, c=9 болғандықтан (3) формуласы бойынша x = 3 ± 9 − 9 • 1 = 3 ± 1 = 3 x = 3 \pm \sqrt{9 - 9 \bullet 1} = 3 \pm 1 = 3 екенін табамыз, яғни х=3 - теңдеудің түбірі.

Егер (1) теңдеудегі в 0 және с 0 болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталынады. Толық квадрат теңдеулеріндегі в немесе с, немесе в мен с нөлге тең болатын дербес жағдайдағы квадраттық теңдеулер толымсыз квадрат теңдеуі немесе толық емес квадрат теңдеу деп аталады.

Егер a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 квадрат теңдеуінде екінші коэфициент b немесе бос мүше c нөлге тең болса, онда квадраттық теңдеуді толық емес деп атаймыз. Толық емес теңдеулерді бөліп қарастыруымыздың себебі - оның түбірлерін іздегенде квадрат теңдеудің түбірлері формуласын пайдаланбауға болады, теңдеуді оның сол жағын көбейткіштерге жіктеу әдісімен шешу ыңғайлы. Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады:

a x 2 + b x = 0 {ax}^{2} + bx = 0 (мұндағы с=0) ;

ax+c = 0 (мұндағы b=0) ;

a x 2 = 0 {ax}^{2} = 0 (мұндағы b=0, с=0) .

Егер толық квадрат теңдеудегі бірінші коэфициент 1-ге тең (a=1) болса, онда ол келтірілген квадрат теңдеу деп аталады. Келтірілген квадрат теңдеу

x 2 + p x + q = 0 x^{2} + px + q = 0

түрінде жазылады. Мұндағы p ж ә н е q p\ және\ q - кез келген нақты сандар. Енді толымсыз квадрат теңдеулердің шығарылуын қарастырайық.

a x 2 + b x = 0 {ax}^{2} + bx = 0 , мұндағы а=0

теңдеуін аламыз.

х 1 х_{1} =0 және х 2 х_{2} = − b a - \frac{b}{a} болатын екі түбірі болады.

1-мысал: 6 x 2 − 3 x = 0 {6x}^{2} - 3x = 0 теңдеуін шешіп қарайық.

x(6x-3) =0

х 1 х_{1} =0, 6x-3=0 х 2 х_{2} = 3 6 = 1 2 \frac{3}{6} = \frac{1}{2} ; Жауабы: 0, 1 2 . \frac{1}{2}.

Енді ax²+c = 0, мұндағы a ≠ \neq 0 толымсыз квадрат теңдеуінің шешімін табайық. Бұл теңдеудің екі жағын а-ға бөлеміз.

x 2 = − c a x^{2} = - \frac{c}{a}

теңдеуін мысал ретінде қарастырамын.

1-жағдай: а және в сандарының таңбалары бірдей, онда c a \frac{c}{a} оң сан, − c a - \frac{c}{a} теріс сан болады. x 2 = 0 x^{2} = 0 екені белгілі, сондықтан ол теріс санға тең болуы мүмкін емес екенін көріп тұрмыз. Теңдеудің шешімі болмайды.

2-жағдай: с=0 болсын. x 2 = 0 x^{2} = 0 теңдеуіне көшеді. Теңдеудін бір ғана х=0 шешімі бар.

3-жағдай: а және с сандарының таңбалары қарама-қарсы болсын яғни, біреуі оң сан ал екіншісі теріс сан. Бұндай жағдай кездескенде x 2 = − c a x^{2} = - \frac{c}{a} теңдеуінің х 1 , 2 = ± с а х_{1, 2} = \pm \sqrt{\frac{с}{а}} екі түбірі болады.

2-мысал: 4 x 2 − 9 = 0 4x^{2} - 9 = 0 теңдеуі берілген. 4 x 2 = 9 4x^{2} = 9

x 2 = 9 4 ; x 1 = 3 2 ; x 2 = − 3 2 x^{2} = \frac{9}{4}; \ x_{1} = \frac{3}{2}; \ x_{2} = - \frac{3}{2} . Жауабы: 3 2 ; − 3 2 . ; \frac{3}{2}; \ - \frac{3}{2}. ;

3-мысал: 5 x 2 − 8 − 7 x 2 + 8 = 0 {5x}^{2} - 8 - {7x}^{2} + 8 = 0

− 2 x 2 {- 2x}^{2} =0

x 2 x^{2} =0

4-мысал: 2 x 2 + 5 = 0 x^{2} + 5 = 0 теңдеуін шешу керек.

Кез келген х үшін 2 x 2 + 5 > 0 x^{2} + 5 > 0 болғандықтан 2 x 2 + 5 = 0 x^{2} + 5 = 0 теңдеуінің нақты түбірлері жоқ.

1. 2. Толымсыз квадрат теңдеулер.

Толымсыз квадрат теңдеулердің түрлері

  • ах²+с = 0 мұндағы с≠\neq0
  • ах²+вх = 0 мұндағы в≠\neq0
  • ах²=0

1. ах²+с = 0 мұндағы с ≠ \neq 0

ax² = -c

x² = c a \frac{c}{a}

− c a - \frac{c}{a} > 0 екі түбірі болады

− c a - \frac{c}{a} <0 түбірі жоқ

2. ах²+вх = 0 мұндағы в ≠ \neq 0

x(ax+b) = 0

x = 0 немесе ax+b = 0

ax = - b

x = − b a - \frac{b}{a} екі түбірі болады.

3. ах²=0

ax² = 0

x² = 0

x = 0 бір ғана түбірі болады.

Мысалы:

5x² + 4x = 0

x(5x+4) = 0

x = 0 және 5x+4= 0

5x = -4

x = − 4 5 - \frac{4}{5}

екі түбірі болады.

7x² = 0

x² = 0

x=0

бір ғана түбірі бар.

a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеудің екі жағын да а-ға бөліп, онымен мәндес болатын келтірілген квадрат теңдеу шығарып аламыз

x ² + b a x + c a = 0 . x² + \ \frac{b}{a}x + \ \frac{c}{a} = 0.

Осы теңдеуді түрлендірейік:

x 2 + 2 x • b 2 a + ( b 2 a ) 2 = ( b 2 a ) 2 − c a , x^{2} + 2x \bullet \frac{b}{2a} + \left( \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \left( \frac{b}{2a} \right) ^{2} - \frac{c}{a}\,

( x + b 2 a ) 2 = b ² 4 a ² − c a , \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \ \frac{b²}{4a²} - \frac{c}{a}\,

( x + b 2 a ) 2 = b ² − 4 a c 4 a ² \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \frac{b² - 4ac}{4a²} .

a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеуі ( x + b 2 a ) 2 = b ² − 4 a c 4 a ² \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \frac{b² - 4ac}{4a²} теңдеуімен мәндес.

Мұның түбірінің саны b ² − 4 a c 4 a ² \frac{b² - 4ac}{4a²} бөлшегінің таңбасына тәуелді болады. a ≠ \neq 0 болғандықтан, 4а² оң сан болады, сондықтан бұл бөлшектің таңбасы оның алымының, яғни b²-4ac өрнегінің таңбасымен анықталады. Осы өрнекті

a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 квадраттеңдеуінің дискриминанты дейміз. Мұны D әріпімен белгілейміз, яғни D= b²-4ac. Енді екінші теңдеуді:

( x + b 2 a ) 2 = D 4 a ² \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \frac{D}{4a²} деп жазамыз.

Енді D-ға тәуелді мүмкін болатын әр түрлі жағдайларды қарастырайық.

Егер D > 0, онда

x + b 2 a \frac{b}{2a} = − D 2 a - \frac{\sqrt{D}}{2a} немесеx + b 2 a \frac{b}{2a} = D 2 a \frac{\sqrt{D}}{2a} ,

х= − b 2 a − D 2 a \ - \frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{D}}{2a} немесех= − b 2 a + D 2 a \ - \frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{D}}{2a} ,

х= − b − D 2 a \frac{- b - \sqrt{D}}{2a} немесех= − b + D 2 a \frac{- b + \sqrt{D}}{2a} .

Сонымен, бұл жағдайда a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеуінің екі түбірі болады:

х 1 х_{1} = − b − D 2 a \frac{- b - \sqrt{D}}{2a} немесе х 2 х_{2} = − b + D 2 a \frac{- b + \sqrt{D}}{2a} .

Қысқаша былай жазуға болады:

x= − b ± D 2 a \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2a} , мұндағыD= b 2 − 4 a c b^{2} - 4ac ,

мұны квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы деп атайды.

Егер D=0 болса, онда ( x + b 2 a ) 2 = 0 \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} = 0 .

бұдан x + b 2 a = 0 x + \frac{b}{2a} = 0 , x = − b 2 a x = - \frac{b}{2a} .

бұл жерде a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеуінің бір түбірі болады.

x = − b 2 a . x = \ - \frac{b}{2a}\ . \

( x + b 2 a ) 2 = D 4 a ² \left( x + \frac{b}{2a} \right) ^{2} = \frac{D}{4a²}

Егер D < 0 болса онда D 4 a ² \frac{D}{4a²} бөлшегінің мәні теріс болады, сондықтан теңдеуінің түбірлері жоқ. Онда a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеуінің де түбірлері жоқ болады.

Сонымен,

D > 0 екі түбірі болады

D = 0 бір түбірі болады

D < 0 түбірі жоқ

1-мысал: 12 x ² + 7 x + 1 = 0 12x² + 7x + 1 = 0

D = 7² − \ - 4 • 12 • 1 = 1 , D > 0 . \bullet 12 \bullet 1 = 1\, \ D > 0.

x = − 7 ± 1 2 • 12 , x = − 7 ± 1 24 x = \frac{- 7 \pm \sqrt{1}}{2 \bullet 12}, \ x = \frac{- 7 \pm 1}{24} .

Жауабы:

x 1 = − 1 3 , x 2 = − 1 4 x_{1} = - \frac{1}{3}\, \ {\ \ \ x}_{2} = - \frac{1}{4} .

2-мысал: x 2 − 12 x + 36 = 0 x^{2} - 12x + 36 = 0

D=( − 12 ) ² − 4 • 1 • 36 = 0 , D = 0 . - 12) ² - 4 \bullet 1 \bullet 36 = 0\, \ \ D = 0.

x = 12 ± 0 2 • 1 , x = 12 ± 0 2 . x = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{2 \bullet 1}\, \ \ x = \frac{12 \pm 0}{2}\ .

Жауабы: x = 6

3-мысал: 7 x 2 − 25 x + 23 = 0 7x^{2} - 25x + 23 = 0

D= ( 25 ) 2 − 4 • 7 • 23 = 625 − 644 = − 19 , D < 0 . (25) ^{2} - 4 \bullet 7 \bullet 23 = 625 - 644 = - 19\, \ \ D < 0.

Жауабы: түбірі жоқ.

1. 3. Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы

a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 (a≠0)

теңдеуін шешу үшін алдында айтылған

( 2 a x + b ) x 2 = b 2 − 4 a c (2ax + b) x^{2} = b^{2} - 4ac

теңдеуіндегі b 2 − 4 a c b^{2} - 4ac -ны d деп белгілеп алайық

Егер d< 0 болса, онда теңдік орындалмайды. Сонда, ( 2 a x + b ) x 2 = d (2ax + b) x^{2} = d болады, бұдан 2ax+b = - d \sqrt{d} не 2ax+b = d \sqrt{d} бұл арадан х-ті тапсақ, x 1 = − b − d 2 a , x 2 = − b + d 2 a , x_{1} = \frac{- b - \sqrt{d}}{2a}, \ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{d}}{2a}, мұндағы d=b²-4ac

Екінші дәрежелі теңдеудің дискриминанты деп атаймыз. d > 0 болған жағдайда формула a x 2 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлерін табатын формула болып табылады. Егер d=0 болса, онда (2ax+b) ² = 0, бұдан x 1 = x 2 = − b 2 a x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{2a} теңдеуінің өзара екі түбірі бар. Сонымен, a x 2 {ax}^{2} +bx+c = теңдеуінің түбірлері a, b, c коэффиценттеріне тәуелді екенін байқауға болады. Егер екінші дәрежелі теңдеудің бірінші дәрежелі қосылғышының коэффиценттері жұп сан яғни b=k болса, онда теңдеудің дискриминанты d=4k² - 4ac=(k² - ac), мұны теңдіктерге қойсақ,

x 1 = − k − 4 − ( k 2 − a c ) 2 a = − 2 k − 2 ( k 2 − a c ) 2 a = − k − ( k 2 − a c ) a . x_{1} = \frac{- k - \sqrt{4 - (k^{2} - ac) }}{2a} = \frac{- 2k - 2\sqrt{(k^{2} - ac) }}{2a} = \frac{- k - \sqrt{(k^{2} - ac) }}{a}\ \ .

Cонымен, x 1 = − k − ( k 2 − a c ) a = − k + ( k 2 − a c ) a x_{1} = \frac{- k - \sqrt{(k^{2} - ac) }}{a} = \frac{- k + \sqrt{(k^{2} - ac) }}{a} түрінде жазуға болады. Квадрат бірінші дәрежелі қосылғышының коэффициенттері жұп сан болғанда теңдеудің түбірі формуламен табуға тиімді болады.

II. КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ

2. 1. Квадрат теңдеуді жалпы түрде шешу

Енді жалпы түрдегі квадрат теңдеудің шешімдерін табуға арналған формуланы қорытып шығарайық. Ол үшін a x 2 + b x + c = 0 {ax}^{2} + bx + c = 0 квадрат үшмүшесінің толық квадратын бөліп алайық:

a x 2 + b x + c = a ( x 2 + b a x ) + c = a ( x 2 + 2 * b 2 a x ) + c = a ( x 2 + 2 * b 2 a x + b 4 a 2 ) + c − b 4 a = a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a {ax}^{2} + bx + c = a\left( x^{2} + \frac{b}{a}x \right) + c = a\left( x^{2} + 2*\frac{b}{2a}x \right) + c = a\left( x^{2} + 2*\frac{b}{2a}x + \frac{b}{{4a}^{2}} \right) + c - \frac{b}{4a} = a{(x + \frac{b}{2a}) }^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a}

Онда

a x 2 + b x + c = 0 {ax}^{2} + bx + c = 0

квадрат теңдеуін мына түрде жазуға болады:

a ( x + b 2 a ) 2 − b 2 − 4 a c 4 a a{(x + \frac{b}{2a}) }^{2} - \frac{b^{2} - 4ac}{4a} =0 немесе

( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 {(x + \frac{b}{2a}) }^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}

a x 2 + b x + c = 0 {ax}^{2} + bx + c = 0 және ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 \ \ {(x + \frac{b}{2a}) }^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}} теңдеулер мәндес. 4 a 2 > 0 {4a}^{2} > 0 болғандықтан, ( x + b 2 a ) 2 = b 2 − 4 a c 4 a 2 \ \ {(x + \frac{b}{2a}) }^{2} = \frac{b^{2} - 4ac}{4a^{2}}\ теңдеуінің шешімі бар не жоқ болуы D= b 2 − 4 a c b^{2} - 4ac санының таңбасына байланысты. Бұл санды квадрат теңдеуінің дискриминанты деп атайды. Сонымен a x 2 + b x + c = 0 {ax}^{2} + bx + c = 0 теңдеуді мына түрде жазмыз:

( x + b 2 a ) 2 = D 4 a 2 {(x + \frac{b}{2a}) }^{2} = \frac{D}{4a^{2}}

a) D > 0 \ > 0 болсын . Онда ( x + b 2 a ) 2 = D 4 a 2 {(x + \frac{b}{2a}) }^{2} = \frac{D}{4a^{2}} теңдеуден x + b 2 a = ± D 4 a 2 x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{D}{4a^{2}}} немесе

... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Квадрат теңдеулерді шешудің әдістері
Квадрат теңдеулер
Мектеп математикасындағы квадраттық теңдеулерді шешу жолдары
Математиканы оқыту әдістемесінің жалпы мәселелерімен таныстыру
Тригонометриялық функцияларды жетілдіре оқыту жолдары
“Алгебралық сызықтық теңдеулер жүйесін шешу” тақырыптары бойынша дәрістік, зертханалық сабақтарды жүргізуде қолданылатын әдістемелік құрал жасау
Бүтін сандар жиынында анықталмаған теңдеулерді шешу әдістері
Виет теоремалары
Есептеу математикасына кіріспе пәні бойынша оқу-әдістемелік кешен
Квадрат теңдеулерді шешудің дәстүрлі емес тәсілдері
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.

google play appstore

instagram tiktok

Ақпарат

Қосымша


Email: info@stud.kz



Реферат Курстық жұмыс Диплом Материал Диссертация Практика Презентация Сабақ жоспары Мақал-мәтелдер 1‑10 бет 11‑20 бет 21‑30 бет 31‑60 бет 61+ бет Негізгі Бет саны Қосымша Іздеу Ештеңе табылмады :( Соңғы қаралған жұмыстар Қаралған жұмыстар табылмады Тапсырыс Антиплагиат Қаралған жұмыстар kz