Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 26 бет
Таңдаулыға:

ҚЫЗЫЛОРДА ОБЛЫСЫНЫҢ БІЛІМ БАСҚАРМАСЫНЫҢ
М.МӘМЕТОВА АТЫНДАҒЫ ҚЫЗЫЛОРДА ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ЖОҒАРЫ КОЛЛЕДЖІ
Физика-математика және ақпараттық жүйе бөлімі

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Квадрат теңдеулер және оларды шешу әдістері

0111000 - Негізгі орта білім беру (мамандығы)
0111113 - Ағылшынша білімі бар математика пәні мұғалімі

Мл-19 топ студенті: ... ... ... ... ... ... ... .. Б.Мырзахмет
(қолы)
Пән оқытушысы: ... ... ... ... ... ... ... Н.Сауяева
(қолы)

Қызылорда, 2022-2023 жыл

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3

I.КВАДРАТ ТЕҢДЕУ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.1.Квадрат теңдеулердің анықтамасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2.Толымсыз квадрат теңдеулер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..8
1.3.Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... 11
II.КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2.1. Квадрат теңдеуді жалпы түрде шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 12
2.2.b жұп сан болғандағы квадрат теңдеуді шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .14
2.3.Квадрат теңдеулерді шешу әдіс-тәсілдері ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15
2.4.Виет теоремасы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 20
Ⅲ.ТӘЖІРИБЕЛІК БӨЛІМ ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..23
3.1.Квадрат теңдеулерді пайдаланып есептер шығару ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... .23
3.2.Мемлекеттік іс-тәжірибе барысындағы сабақ жоспары ... ... ... ... ... ... ... ... .27.

ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .30

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

КІРІСПЕ
Зерттеудің өзектілігі: Мектептің математика курсында бастауыш сыныптардан бастап қаралатын ең негізгі буын алгебралық теңдеулерді шешу. Оқушылардың білімін білім стандарты талаптарына сай қалыптастыру үшін теңдеулерді шешу әдістерінің әрқайсысын пайдалану жолдарын оқушыларға ғылыми негізінде, нақты практикалық тұрғыда жеткізудің нәтижелі болатыны белгілі. Алгебралық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері төмендегідей:
1) Теңбе-тең түрлендіру;
2) Айнымалыларды ауыстыру;
3) Көбейткіштерге жіктеу;
4) Мәндес теңдеулерге көшу.
Теңдеуді шешу жолдарын әр түрлі әдістермен жазып көрсетуге болады, бірақта ескеретін жағдайлар бар. Орындалған теңбе-тең түрлендірулер математикалық тілде, математикалық символдарды пайдалана отырып мүмкіндігінше толық жүргізілсе (анықталу облысы, мәндерінің жиыны тағы сол сияқты), жауабы толық негізделіп берілсе жеткілікті. Жалпы мектеп курсындағы кез келген теңдеулерді шешу барысында үш жағдай кездеседі:
а) теңдеудің түбірлері болатын жағдай;
ә) теңдеудің түбірлері болмайтын жағдай;
б) теңдеудің түбірлері шексіз сандар жиыны болатын жағдай. Осы үш жағдайдың үшінші жағдайына (теңдеудің түбірлері шексіз сандар жиыны болатын жағдай) мектеп курсында жеткілікті мән берілмейді. Соның салдарынан болу керек оқушылар көптеген қателіктерге жол береді, тіпті теңдеудің түбірлері қалайша шексіз сандар жиыны болады деген сұрақтарды да мұғалімге қояды. Өйткені оқушы тек қана теңсіздіктердің шешімдері шексіз сандар жиыны болады деп есептеледі. Демек, қосымша жұмыстар жүргізу қажет. Осы мәселеге байланысты оқушының білімін тереңдету үшін арнайы жасалған жұмыстарды көбірек қолдану керек.
Математиканың тарихи даму барысында әр қырына, түрінше шешімін тауып отырған ең басты мәселелердің бірі - сан ұғымын дамыту болды. Сан ұғымын кеңейту мәселесі алгебра ғылымының өз алдына бөлініп дербес даму жолына түсуін күрт жеделдетті, шешуі болатын теңдеулер класын көбейтті, қолданыстағы сандар арсеналын байытуды, кеңейтуді талап етті. Алгебра иррационалдықтың, яғни иррационал сандардың рационал сандармен тең енгізілуі осы қажеттіліктің көрінісі екені белгілі.
Теңдеулерді шешу қиын есептерді шешуді жеңілдетеді. Есепті шешу үшін есептің шарты баяндалған математикалық тілді математикалық модель - өрнекті құру үшін белгісізді x,y,z деп белгілеп, шартта баяндалған барлық жағдайды еске алып өрнек теңдеу құрамыз. Ары қарай осы өрнектен белгісізді табу теңдеуді шешу болып табылады.
Бұл курстық жұмысымда алгебра курсында қарастырылатын квадрат теңдеулерге және оларды шешу жолдарының әр түрлі әдістеріне негізделініп отыр.
Квадрат теңдеулер мектептегі алгебра курсының маңызды тақырыптарының бірі. Көптеген табиғи үдірістер мен құбылыстар, сол сияқты мазмұнды есептердің шығарылуы квадрат теңдеулерді шешуге келіп тіреледі. Теңсіздіктерді шешу, функцияларды зерттеу, функцияның нөлдерін, экстремум нүктелерін, өсу және кему аралықтарын табу, ең үлкен және ең кіші мәндерді табу есептерін шығару және тағы басқа жағдайларда квадрат теңдеулерді шеше білу қажеттілігі туындайды. Сонымен бірге тригонометриялық, көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулерді, физикада және техникада, геометрия курсының есептерін алмастыру тәсілімен шешкенде квадрат теңдеулерге келтіріледі.
Зерттеу объектісі: мектеп-лицейде математиканы оқыту процесі.
Зерттеу базасы: Ә.Мүсілімов атындағы 101 мектеп-лицейі
Зерттеу нысаны: 6 - 8 сынып оқушылары
Зерттеу пәні: Математиканы оқыту әдістемесі
Зерттеу мақсаты: Квадрат теңдеулер арқылы көптеген табиғи үдерістер мен құбылыстар с.с мазмұнды есептерді шығаруда квадрат теңдеулерді шешуде қолдану.Квадрат теңдеулерді ерте заманнан бері ұлы ғалымдар да өз тәжірибесінде қолданғанын анық көрсетеді.Квадрат теңдеулердің әр түрлі тәсілдерін айқындап, бір жүйеге келтіру.
Зерттеу міндеттері:
oo Квадрат теңдеу ұғымы және оны анықтаудың әртүрлі әдістерін талдау;
oo ұғымдарды енгізу әдістемесі: түбірлері, дискриминанты, Виет саласын айқындау;
oo квадрат теңдеу ұғымы және оның түбірлерінің мәні;
oo квадраттық теңдеулер жүйесін қарау;
Зерттеудің әдіс-тәсілдері: Түсіндіру, әңгімелесу, зерттеу, проблемалық, практикалық..
Курстық жұмыстың құрылымы: кіріспе, 3 тарау, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімі. Әр тарау зерттелген материал негізінде жастуран қорытындымен аяқталады. Жұмыс зерттеуге негізделген қорытындымен аяқталады.

I.КВАДРАТ ТЕҢДЕУ.
1.1.Квадрат теңдеудің анықтамасы
a, b, c (a != 0) нақты сандар болғанда ax2 + bx + c = 0 (1) түріндегі теңдеу квадрат теңдеу деп аталады. Егер а=1 болса, онда квадрат теңдеу келтірілген, а!=1 болса, онда - келтірілмеген деп аталады. а , b , c сандарының атаулары: а - бірінші коэфициент, b - екінші коэфициент, с - бос мүше.
ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлері x=-b+-b2-4ac2a (2) формуласымен табылады.
D=b2- 4acөрнегі (1) квадрат теңдеудің дискриминанты. Егер D0 болса, онда (1) квадрат теңдеудің нақты түбірлері жоқ; егер D=0 болса, онда - бір нақты түбірі бар, егер D0 болса, онда - екі нақты түбірі бар болады. D=0 болған жағдайда, кейде квадрат теңдеудің бірдей екі түбірі бар дейді. D=b2- 4ac белгілеуін пайдаланып, (2) формуласын x=-b+-D2aтүрінде жазуға болады. Егер b=2mболса, онда (2) формуласы
x=-2m+-4m2-4ac2a=-2m+-2m2-ac2a=-m+- m2-acaтүрінде болады. Сөйтіп,
x=-m+-m2-aca, m=b2 . (3)
(3) формуласыәсіресе b2 бүтін сан, яғни bкоэфициенті жұп сан болғанда қолдануға қолайлы.
1) b=c=0 болса, онда ax2=0; шешуі: x=0
2) c=0, b!=0 болса, ондаax2 + bx = 0; шешуі: x (ax+b)=0; x=0; x = - ba
3) c!=0, b=0 болса, онда ax2+ c = 0; шешуі: x2= егер - сa= 0 болғанда x1,2 = +--ca , егер-са = 0 болса, түбірі жоқ.
1- мысал: 2х2-5х+2=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. а= 2, b= -5, c=2 болғандықтан D=b2- 4ac =(-5)2-4∙2∙2=9 . D 0 болғандықтан теңдеудің екі түбірі бар, оларды (2) формуласы бойынша табамыз:
x=-b+-b2-4ac2a=5+-94=5+-34 .
Сөйтіп, x1=0,25∙5+3=2 , x2=0,25∙5-3=0,5, яғниx1=2менx2=0,5берілген теңдеудің түбірлері.
2 - мысал: x2-6x+9=0теңдеуін шешу керек.
Шешуі.a=1, b=- 6, c=9 болғандықтан (3) формуласы бойынша x=3+-9-9∙1=3+-1=3екенін табамыз, яғни х=3 - теңдеудің түбірі.
Егер (1) теңдеудегі в 0 және с 0 болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталынады. Толық квадрат теңдеулеріндегі в немесе с, немесе в мен с нөлге тең болатын дербес жағдайдағы квадраттық теңдеулер толымсыз квадрат теңдеуі немесе толық емес квадрат теңдеу деп аталады.
Егер ax2 + bx + c = 0 квадрат теңдеуінде екінші коэфициент b немесе бос мүше c нөлге тең болса, онда квадраттық теңдеуді толық емес деп атаймыз. Толық емес теңдеулерді бөліп қарастыруымыздың себебі - оның түбірлерін іздегенде квадрат теңдеудің түбірлері формуласын пайдаланбауға болады, теңдеуді оның сол жағын көбейткіштерге жіктеу әдісімен шешу ыңғайлы.Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады:
ax2+bx=0 (мұндағы с=0);
ax+c = 0 (мұндағы b=0);
ax2=0(мұндағы b=0, с=0).
Егер толық квадрат теңдеудегі бірінші коэфициент 1-ге тең (a=1) болса, онда ол келтірілген квадрат теңдеу деп аталады. Келтірілген квадрат теңдеу
x2+px+q=0
түрінде жазылады. Мұндағы p және q - кез келген нақты сандар. Енді толымсыз квадрат теңдеулердің шығарылуын қарастырайық.
ax2+bx=0, мұндағы а=0
теңдеуін аламыз.
х1=0 және х2=-baболатын екі түбірі болады.
1-мысал: 6x2-3x=0 теңдеуін шешіп қарайық.
x(6x-3)=0
х1=0, 6x-3=0 х2=36=12; Жауабы: 0, 12.
Енді ax²+c = 0, мұндағы a!=0 толымсыз квадрат теңдеуінің шешімін табайық. Бұл теңдеудің екі жағын а-ға бөлеміз.
x2=-ca
теңдеуін мысал ретінде қарастырамын.
1-жағдай: а және в сандарының таңбалары бірдей, онда ca оң сан, -ca теріс сан болады. x2=0 екені белгілі, сондықтан ол теріс санға тең болуы мүмкін емес екенін көріп тұрмыз. Теңдеудің шешімі болмайды.
2-жағдай: с=0 болсын. x2=0 теңдеуіне көшеді. Теңдеудін бір ғана х=0 шешімі бар.
3-жағдай: а және с сандарының таңбалары қарама-қарсы болсын яғни, біреуі оң сан ал екіншісі теріс сан. Бұндай жағдай кездескенде x2=-ca теңдеуінің х1,2=+-са екі түбірі болады.
2-мысал: 4x2-9=0теңдеуі берілген. 4x2=9
x2=94; x1=32; x2=-32. Жауабы: 32; -32.;
3-мысал: 5x2-8-7x2+8=0
-2x2=0
x2=0
4-мысал: 2x2+5=0теңдеуін шешу керек.
Кез келген х үшін 2x2+50 болғандықтан 2x2+5=0 теңдеуінің нақты түбірлері жоқ.

1.2.Толымсыз квадрат теңдеулер.
Толымсыз квадрат теңдеулердің түрлері
o ах²+с = 0 мұндағы с!=0
o ах²+вх = 0 мұндағы в!=0
o ах²=0
1.ах²+с = 0 мұндағы с!=0
ax² = -c
x² = ca
-ca 0 екі түбірі болады
-ca0 түбірі жоқ
2. ах²+вх = 0 мұндағы в!=0
x(ax+b) = 0
x = 0 немесе ax+b = 0
ax = - b
x = -ba екі түбірі болады.
3. ах²=0
ax² = 0
x² = 0
x = 0 бір ғана түбірі болады.
Мысалы:
5x² + 4x = 0
x(5x+4) = 0
x = 0 және 5x+4= 0
5x = -4
x = -45
екі түбірі болады.
7x² = 0
x² = 0
x=0
бір ғана түбірі бар.
ax2 + bx + c = 0 теңдеудің екі жағын да а-ға бөліп, онымен мәндес болатын келтірілген квадрат теңдеу шығарып аламыз
x²+ bax+ ca=0.
Осы теңдеуді түрлендірейік:
x2+2x∙b2a+b2a2=b2a2-ca ,
x+b2a2= b²4a²-ca ,
x+b2a2=b²-4ac4a² .
ax2 + bx + c = 0 теңдеуіx+b2a2=b²-4ac4a²теңдеуімен мәндес.
Мұның түбірінің саны b²-4ac4a² бөлшегінің таңбасына тәуелді болады. a!=0 болғандықтан, 4а² оң сан болады, сондықтан бұл бөлшектің таңбасы оның алымының, яғни b²-4ac өрнегінің таңбасымен анықталады. Осы өрнекті
ax2 + bx + c = 0 квадраттеңдеуінің дискриминанты дейміз. Мұны D әріпімен белгілейміз, яғни D= b²-4ac. Енді екінші теңдеуді:
x+b2a2=D4a² деп жазамыз.
Енді D-ға тәуелді мүмкін болатын әр түрлі жағдайларды қарастырайық.
Егер D 0, онда
x + b2a =-D2aнемесеx + b2a = D2a,
х= -b2a-D2aнемесех= -b2a+D2a,
х=-b-D2aнемесех=-b+D2a.
Сонымен, бұл жағдайда ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің екі түбірі болады:
х1=-b-D2aнемесех2=-b+D2a.
Қысқаша былай жазуға болады:
x=-b+-D2a, мұндағыD=b2-4ac ,
мұны квадрат теңдеудің түбірлерінің формуласы деп атайды.
Егер D=0 болса, онда x+b2a2=0.
бұдан x+b2a=0, x=-b2a .
бұл жерде ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің бір түбірі болады.
x= -b2a .
x+b2a2=D4a²
Егер D 0 болса онда D4a² бөлшегінің мәні теріс болады, сондықтан теңдеуінің түбірлері жоқ. Онда ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің де түбірлері жоқ болады.
Сонымен,
D 0 екі түбірі болады
D = 0 бір түбірі болады
D 0 түбірі жоқ
1-мысал: 12x²+7x+1=0
D = 7² -4∙12∙1=1 , D0.
x=-7+-12∙12, x=-7+-124 .
Жауабы:
x1=-13 , x2=-14 .
2-мысал: x2-12x+36=0
D=(-12)²-4∙1∙36=0 , D=0.
x=12+-02∙1 , x=12+-02 .
Жауабы: x = 6
3-мысал: 7x2-25x+23=0
D=252-4∙7∙23=625-644=-19 , D0.
Жауабы: түбірі жоқ.

1.3. Квадрат теңдеу түбірлерінің формуласы
ax2 + bx + c = 0 (a!=0)
теңдеуін шешу үшін алдында айтылған
2ax+bx2=b2-4ac
теңдеуіндегіb2-4ac-ны d деп белгілеп алайық
Егер d 0 болса, онда теңдік орындалмайды. Сонда, 2ax+bx2=d болады, бұдан 2ax+b = -d не 2ax+b = d бұл арадан х-ті тапсақ, x1=-b-d2a, x2=-b+d2a, мұндағы d=b²-4ac
Екінші дәрежелі теңдеудің дискриминанты деп атаймыз. d 0 болған жағдайда формула ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлерін табатын формула болып табылады. Егер d=0 болса, онда (2ax+b)² = 0, бұдан x1=x2=-b2a теңдеуінің өзара екі түбірі бар. Сонымен, ax2+bx+c = теңдеуінің түбірлері a,b,c коэффиценттеріне тәуелді екенін байқауға болады. Егер екінші дәрежелі теңдеудің бірінші дәрежелі қосылғышының коэффиценттері жұп сан яғни b=k болса, онда теңдеудің дискриминанты d=4k² - 4ac=(k² - ac), мұны теңдіктерге қойсақ,
x1=-k-4-(k2-ac)2a=-2k-2(k2-ac)2a=-k -(k2-ac)a .
Cонымен, x1=-k-(k2-ac)a=-k+(k2-ac)aтүрінде жазуға болады. Квадрат бірінші дәрежелі қосылғышының коэффициенттері жұп сан болғанда теңдеудің түбірі формуламен табуға тиімді болады.

II.КВАДРАТ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДІҢ ӘДІСТЕРІ
2.1. Квадрат теңдеуді жалпы түрде шешу
Енді жалпы түрдегі квадрат теңдеудің шешімдерін табуға арналған формуланы қорытып шығарайық. Ол үшін ax2+bx+c=0 квадрат үшмүшесінің толық квадратын бөліп алайық:
ax2+bx+c=ax2+bax+c=ax2+2*b2ax+c=ax2 +2*b2ax+b4a2+c-b4a=a(x+b2a)2-b2-4ac 4a

Онда
ax2+bx+c=0
квадрат теңдеуін мына түрде жазуға болады:
a(x+b2a)2-b2-4ac4a =0 немесе
(x+b2a)2=b2-4ac4a2
ax2+bx+c=0 және (x+b2a)2=b2-4ac4a2 теңдеулер мәндес. 4a20 болғандықтан, (x+b2a)2=b2-4ac4a2 теңдеуінің шешімі бар не жоқ болуы D=b2-4ac санының таңбасына байланысты. Бұл санды квадрат теңдеуінің дискриминанты деп атайды. Сонымен ax2+bx+c=0 теңдеуді мына түрде жазмыз:
(x+b2a)2=D4a2
a)D 0 болсын . Онда (x+b2a)2=D4a2 теңдеуден x+b2a=+-D4a2 немесе
x1,2=-b+-D2a; D=b2-4ac
формуласын аламыз.

Ендеше, бұл жағдайда квадрат теңдеудің екі шешімі бар:

x1=-b-D2a; x2=-b+D2a ; D=b2-4ac

x1,2=-b+-D2a; D=b2-4ac және x1=-b-D2a; x2=-b+D2a ; - квадрат теңдеу түбірлерінің формулалары.
ә) D=0 болсын, онда (x+b2a)2=0 теңдеуінен x=-b2a теңдігін аламыз. Бұл жағдайда теңдеудің өзара тең екі шешімі бар деп есептейміз: x1=x2=-b2a .
б) D0 болғанда, D 4a20, (x+b2a)2=0 теңсіздіктерінен (x+b2a)2=D4a2 теңдеудің х айнымалысының ешбір нақты мәндерінде орындалмайтынын көреміз. Олай болса , бұл жағдайда квадрат теңдеудің нақты сандар жиынында түбірлері жоқ.
1-мысал. 4х2-5х-21=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. a=4, b=-5, c=-21 болғандықтан,
D=(-5)2-4*4*-21=25+336=361=192
Онда x1,2=-b+-D2a; D=b2-4ac бойынша x1,2=-(-5)+-1922*4=5+-198 . Осыдан
x1=5-198=-74, x2=5+198=3.

2-мысал. 2x2-7x=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі. Бұл толымсыз теңдеуді x(2x-7)=0 түрінде жазып, x1=0, x2=3,5 болатын түбірлерін табамыз. Дегенмен теңдеуді x1,2=-b+-D2a; D=b2-4ac формуланы қолданыпта шешуге болады. a=2, b=-7, c=0. Онда D=49-4*2*0=49 болғандықтан.x1,2=-b+-D2a; D=b2-4ac формула бойынша
x1,2= 7+-492*2=7+-74 немесе x1=0, x2=3,5 болады.

2.2.b жұп сан болғандағы квадрат теңдеуді шешу
Егер b жұп сан болса, онда x1,2=-b+-D2a; D=b2-4ac формуланы жеңілдетуге болады. Шынында да b=2k болсын. Онда D=b2-4ac=4k2-4ac=4(k2-ac) теңдігі мен x1,2=-b+-D2a; D=b2-4ac формуладан
x1,2=-2k+-4(k2-ac)2a=-2k+-2k2-ac2a= -k+-k2-aca
яғни
x1,2=-k+-k2-aca, b=2k ,
формуласын аламыз.

3-мысал. 9х2-14х+5=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. a=9, b=-14, c=5
b=(-14)=(-2)*7. Онда x1,2=-k+-k2-aca, b=2k формула бойынша
x1,2=7+-72-9*59=7+-29--x1=59, x2=1

4-мысал. 5х2+8х+3=0 теңдеуін шешу керек.
Шешуі. a=5, b=8, c=3
b=8=2*4. Онда x1,2=-k+-k2-aca, b=2k формула бойынша
x1,2=4+-42-5*35=4+-15--x1=35, x2=1

2.3.Квадрат теңдеулерді шешу әдіс-тәсілдері
Көптеген табиғи процестер мен құбылыстар квадрат теңдеулер арқылы сипатталады, мазмұнды есептердің көбісінің шешуі квадрат теңдеулерді шешуді келіп тіреледі. Квадрат тендеулерді оның түбірлерінің формуласы бойынша шешу тақырыбымен 8-сынып алгебра курсында таныстым. Бұл тақырып маған жаңа тақырып әрі жеңіл болды. Сондықтан осы тақырып бойынша квадрат теңдеулер жайлы өздігінен іздендім. Әдіс-тәсілдерді қарастыру арқылы тақырып туралы тереңірек білуге болады. Кейбір әдістерді тиімді жолдың бірі ретінде есептерді шығаруда қолдануға болады. Вавилондықтар б.з.д. екі мыңыншы жылдар шамасында толымсыз квадрат х²+x=a-ны шеше білген. Вавилондықтардың квадрат теңдеуін шешу жолы қазір біз қолданып жүрген х=ba формуласына сәйкес. Вавилондықтар бұдан басқа да
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)²= a² - 2ab + b²
(a - b)(a +b) = a² - b²
K=nn2k=2k+(2k-1)
K=nnK2=(13+23n)K=1nK
формулаларын және басқа арифметикалық прогрессиялардың қосындысын табудың ережелерін білген.1945 жылы вавилондықтардан қалған тағы бір математикалық мәтіннің мазмұны анықталды. Мұнда қабырғалары рационал сандар болып келген тік бұрышты үшбұрыштың тізімі келтірілген, яғни x²+y² = z² теңдеуін қанағаттандыратын Пифагор сандарын табу жолы қарастырылған.
Пифагор x²+y² = z² анықталмаған теңдеуінің бүтін шешуін, яғни қазіргіше айтқанда: Пифагор сандарын табу ережесін қалдырған. Олар: х=12(m² -1) , y=m,z=12(m²+1) формуласымен анықталады, мұнда mтақ сан.
Ежелгі грек математиктері квадрат теңдеулердің кейбір түрлерін шешуді геометриялық салуларға келтіріп шеше білген.
Квадраттың диагоналы АС-мен оның қабырғасы өлшемдес болсын деп кері жорысақ. Онда АСАВ=mn бұдан (AC)2(AB)2=m²n² қысқармайтын бөлшек шығады, бұл жерде m,n-тақ сандар.
Пифагор теоремасы бойынша (AC)² = 2(AB)² , олй болса, m² = 2n² , ендеше, m² және m жұп сан, m = 2p түріндегі сан болады. Бұдан біз 4p²=2n² немесе n²=2p² ендеше n², n-жұп сан болады деген қорытынды шығаруымызға болады. m - әрі жұп, әрі ортақ сан. Бұл мүмкін емес екені айдан анық. Олай болса, квадраттың диагоналы оның қабырғасымен өлшемдес болмайды деген тұжырымға келсе болады.
Осы сияқты гректер (a+b)2=a²+2ab+b² тәріздес алгебралық формулаларды да геометрия тілімен баяндай білген.
Геометриялық алгебраның жәрдемімен көптеген квадрат теңдеулерге келтірілетін есептерді шешуге болады.Ол теңдеулер эллипстық, гиперболалық және де параболалық болып үш тілге бөлініп, осылардың әрқайсысынан шешудің бірыңғай жалпы әдістері жасалады.
1-әдіс. Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктеу
Мысал: x²+4x+3=0 теңдеуін алайық.
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:
x²+x+3x+3=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3)
Демек, теңдеуді (x+1)(x+3) деп жазуымызғада болады.
Көбейтіндіні нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің біреуі нөлге тең болуы қажет. Сондықтан теңдеулердің сол жақ бөлігіндегі х=-1 сандары x²+4x+3=0 теңдеуінің түбірі болады.
2-әдіс. Толық квадратқа келтіру әдісі
Мысал: x²+8x-9=0 теңдеуін шешеміз.
Сол жақ бөлігін толық квадратқа келтірейік. Ол үшін x²+8x өрнегін x²+8x=x²+2x4 деп жазып аламыз.
Алынған өрнектің бірінші қосындысы х-тің квадраты, ал екінші қосындысы х пен 4-тің екі еселенгені. Толық квадрат алу үшін 42-ын қосу керек. Сондықтан x²+2x4+42=(x+4)2
Енді теңдеудің сол жағын түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып, алып тастаймыз. Сонда x²+8x-9=x²+2x4+4²-9-4=x+42-25 шығады. Сонда, берілген теңдеуді x+42-25=0, яғни x+42=25 депте жазымызға болады.
Бұдан х+4=5, x=1 немесе х+4= -5, x= -9
Жауабы: 1; -9
3-әдіс. Квадрат теңдеуді ax²+bx+c=0 формуласы арқылы шешу, мұндағы а!=0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға көбейтемізде, төменде жазылған өрнекті көрсетеміз:
4a²x²+4axb+4ac = 0
((2ax)²+4axb+b²)-b²+4ac = 0 , (2ax+b)² = b² - 4ac
2ax+b = 2ax= -b x=1
Оған келесідегідей мысалдар қарастырайық:
1) 3х² - 7х + 4 = 0 теңдеуін берілген
a=3, b=-7, c=4. D=b² - 4ac=(-7)² - 4∙4∙3=49-48=1.
D 0 болғандықтан, екі әр түрлі түбірі болады: x1=1, x2=-1
Сонымен, дискриминант оң болғанда, яғни b² - 4ac 0, ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің екі түрлі түбірі болады.
2) 9x²+6x+1 = 0 теңдеуін шешеміз.
a=9, b=6, c=1. D= b² - 4ac=6² - 4∙9∙1=0
D = 0 болғандықтан, бір ғана түбірі болады: x1=x2=-13
Сонда, егер дискриминант нөлге тең болса, яғни b² - 4ac= 0, ax2 + bx + c = 0 теңдеуінің жалғыз түбірі бар болады.
3) х²+2х+3 =0 теңдеуі берілсін.
a=1, b=2, c=3. D= b² - 4ac=2² - 4∙1∙3= -8.
D0болғандықтан, теңдеудің нақты сандар өрісінде түбірі жоқ, яғни болмайды деген сөз.
Сонымен, егер дискриминант теріс болса, яғни в²-4ас0, онда ах²+вх+с=0 теңдеуінің түбірі болмайды. 4-әдіс. Виет теоремасын пайдаланып, теңдеулерді шешу
Келтірілген түбірлері Вит теоремасын қанааттандырады.
Ол былай беріледі а=1 болғанда,
Бұдан келесі тұжырымдарды шығаруға болады:
a)Егер q(1) теңдеудің бос мүшесі оң болса q(0) онда теңдеудің екі бірдей таңбалы түбірі болады. Егер р0, онда екі түбірі де теріс болады, егер р0, онда түбірлері оң болады.
Мысал, 1) x²-9x+20=0, x1=4, x2=5 мұнда q=200, p=-90;
2) x²+5x+6=0, x1=-2, x2=-3, мұндаq=60, p=50.
б)Егерq(1) теңдеудің бос мүшесі теріс болса (q0), онда теңдеудің екі түрлі, таңбалы екітүрлі болады, түбірдің модулі бойынша үлкені оң болады, егерp0 болса, теріс болады, егер p0. Мысал 1) x²+3x-4=0; x1=-4, x2=1 мұнда q=-40, p=-30
2) x²-7x-8=0; x1=8, x2=-1мұнда q=-80, p=-70
5-әдіс. Теңдеуді асыра лақтыру әдісімен шешу
ax²+bx+c=0,a!=0 квадрат теңдеуін қарастырамыз. Теңдеудің екі жағын көбейтіп мынаны аламыз:a²x²+abx+ac=0, ax=y деп белгілесек, x= . Олай болса y²+by+ac=0 теңдеуіне келеміз. Бұл бастапқы теңдеумен тең. Теңдеудің түбірлерін y1, y2-ні Виет теоремасы арқылы табамыз. Соңында x1= ,x2= ны аламыз. Бұл жағдайда а коэффициентін бос мүшеге көбейтеді. Сондықтн да бұл әдісті асыра лақтыру әдісі деп атайды. Бұл әдісті көбінесе Виет теоремасын пайдаланып түбірді оңай табуда және дискриминант дәл квадрат болғанда қолданады.
Мысал, 2x²-9x+=0 теңдеуін шешейік.
Шешуі: 2 коэффициенті теңдеудің бос мүшесіне асыра лақтырамыз, нәтижесінде
y²-9y+18=0 теңдеуін аламыз. Виет теоремасы бойынша
Жауабы: 3,1,5.
6-әдіс. Квадрат теңдеулердің коэффициенттерінің қасиеттерін қолдану
ax²+bx+c=0 a!=0 ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.