Кері тригонометриялық функция

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 25 бет
Таңдаулыға:

Ф-УЧ-51

Қазақстан Республикасының білім және ғылым министрлігі

Қарағанды «Bolashaq» жоғарғы колледжі

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Пән: «математиканы оқыту теориясы мен әдістемесі»

Тақырыбы: «10-11 сыныптарда алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдістемесі»

Орындаған: Алдабаев Б. Ж.

Жетекші: Жақыпбаева Г. Е.

Тіркеу №

Бағасы

Қол

Қарағанды 2021

МАЗМҰНЫ

Кіріспе . . . 3

І. 10- сыныпта алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдістемесі

1. 1 Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері . . . 5

1. 2 Кері тригонометриялық функция . . . 11

1. 3 Туындыны және оның қолданылуы . . . 13

ІІ. 11-сыныпта алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдістемесі

2. 1 Комплекс сандар . . . 16

2. 2 Көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктер . . . 20

Қорытынды . . . 27

Қолданылған әдебиеттер . . . 29

КІРІСПЕ

Қазіргі ғылым, оның іргетасы - математика заманымыздың аса мәдени құбылысы, жалпы өркениетіміздің бөлінбес маңызды бір бөлігі болып отыр.

Математиканы оқыту әдістемесі - математика пәнінің ерекшеліктеріне негізделген оқу - тәрбие жүйесі жайындағы ғылым. Бұл жүйені меңгеру математиканы оқыту мен математика пәні арқылы оқушыларды тәрбиелеу ісін ұйымдастыруға мүмкіндік береді.

Математиканы оқыту әдістемесі мұғалімнің оқу материалдарын беру, оқушылардың математикалық білімді саналы меңгеру және алған білімін практикада қолдану іскерліктерін шыңдау әдістері мен құралдарын тағайындайды.

Математиканы оқытудың негізгі мақсаттары жалпы білім беру, тәрбиелік және практикалық болып саналады.

Математиканы оқытудың жалпы білім беру мақсаты мұғалімге келесі талаптар қойылады: мектеп программасы анықтайтын математикалық білімнің, іскерлік пен машықтың барлық жүйесін оқушылардың терең және саналы меңгеруін қамтамасыз ету; математикалық тілді меңгеруге үйрету; оқушылардың нақтылы шындықты математикалық әдістермен меңгеруіне көмектесу.

Математиканы оқытудың тәрбиелік мақсаты: оқушылардың дүниеге ғылыми көзқарасын қалыптастыру, табиғатты ғылыми жағынан танудың негізгі заңдылықтарының математикадағы көрінісін бейнелеу; оқушыларға адамгершілік және эстетикалық тәрбие беру.

Математиканы оқытудың практикалық мақсаттары: оқушыларды алған теориялық білімдерін практикада қолдана білуге, практикалық есептерді шығаруға, сондай-ақ математиканы физикаға, химияға т. б. жаратылыстану пәндерінде қолдана білуге үйрету; математикалық құрал-жабдықтарды пайдалануға баулу; оқушылардың өздігінен білім алуына көмектесу [1] .

Мектеп математика курсын оқытудың ең маңызды мақсаттарының бірі - алгебраның қолданбалы мүмкіндіктерін ашу. Математикалық технология немесе алгебралық мазмұнды есептерді шешу барысында оқушылар алгебра ұғымдар мен заңдылықтарды тереңірек түсініп, ұғынып, сонымен қатар кәсіби даярлықтың негіздерін меңгереді. Оқушылардың ойлау қабілеттерін дамытуда, оларды тәрбиелеуде, біліктері мен дағдыларының қалыптасуында, алгебраның практикамен байланысын көрсетуде есептің алатын орны өте зор. Оқушылардың дүниетанымына әр оқу пәні өз үлесін қосып отырады. Соның ішінде алгебраны оқыту барысында сабақтас пәндерден және нақтылы өмірден оқушыларға түсінікті түрде келтірген деректер ғылыми білімдердің пайда болу негізін, қоршаған ортаның табиғат құбылыстарының танымалы жеке пәндердің алгебралық ұғымдары мен абстрактілі жағдайларын оңай сезіне біледі.

Математика пəнінің, оның ішінде Алгебра және анализ бастамалары курсының жоғары сынып оқушыларының басым көпшілігі үшін айтарлықтай қиындықтар туғызатын. Осы қиыншылықтың түбіріне үңілсек, ол көпшілік жағдайда оқушылардың алгебралық формулаларды қабылдай алмауы сол формулаларды қолдана алмауы, есептің мәтінің түсінбеуі, логикалық ойлау қабілеттері дамымағаны болып келеді. Аталған факторлардың барлығы математика курсының басында оқушылардың алгебралық мәліметтерді дұрыс қабылдамауына алып келеді.

Алгебра және анализ бастамаларының есептерін шығару оқушының логикалық ойлау қабілетін арттырып, және сол қабілетті қолдана білуге де үйретеді. Алгебра және анализ бастамаларының есептерін шешуде жаңа компъютерлік технологияны (жаңа ақпараттық технология) қолдану оқушыларға жаңа ақпараттарды түсіндіруді жеңілдетеді және олармен жұмыс істеу дағдылары мен іскерліктерін дамытады.

Жұмыстың мақсаты : Алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдістемесімен танысып, тәжірибеде қолдану.

Жұмыстың міндеттері :

Алгебра және анализ бастамаларын жан-жақты зерттеп, элементтері мен формулаларын қолдануды үйрену;
Алгебра және анализ бастамаларының есептерін шешкенде ыңғайлы әрі оңай жолын таңдап, есеп шығаруда қолдануға үйрету;
Оқушылардың логикалық ойлау қабілетін, формулаларды қолдану дағдыларын, алгебралық (математикалық) білімдерін әдіс- тәсілдерді зерттеу.
Алгебра және анализ бастамаларының есептерін шығару ерекшеліктерін талдау.

Зерттеу пәні: Математиканы оқыту әдістемесі.

Зерттеу әдістері: Курстық жұмысты жазу барысында жинақтау, салыстыру, сараптау, талдау, зерттеу әдістері пайдаланылады.

Жұмыстың құрылымы : жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қортынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады. Курстық жұмыс 29 беттен тұрады

І. 10 - сыныпта алгебра және анализ бастамаларын оқыту әдістемесі

1. 1 Тригонометриялық функциялар, олардың қасиеттері және графиктері

Оқушылар 9 - сыныпта алгебра курсынан тригонометриялық функциялардың анықтамаларын, формулаларын және кейбір қасиеттерін оқыды. Осы мағлұматтарды ескеріп және график салудың алгоритмін қолдана отырып, тригонометриялық функциялардың графиктерін салуды үйренеді [2] .

Сабақты түсіндіру барысында көрнекіліктерді кеңінен қолданған дұрыс. Ол үшін алдын ала дайындалған мынандай көрнекілікті қолдануға болады.

Функция $\mathbf{y = sinx}$

1. $D(sinx) = ( - \infty; + \infty)$

2. $\sin(x) = - sinx$ - тақ функция $\sin(x + 2k\pi) = sinx, \ k \in Z$ - периодты функция

3. $Ox$ өсімен $x = k\pi, \ k \in Z$ нүктелерінде, ал $Oy$ өсімен $O(0; 0)$ нүктесінде қиылысады.

4. $x \in \left( 2k\pi; (2k + 1) \pi \right) \rightarrow sinx > 0;$

$x \in \left( (2k - 1) \pi; 2k\pi \right) \rightarrow sinx < 0;$

5. $x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi \right\rbrack$ - функция өспелі;

$x \in \left\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2k\pi; \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right\rbrack$ - функция кемімелі;

6. $x_{1} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ k \in Z$ - max нүктелері, ${sinx}_{1} = 1$ ;

$x_{2} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ k \in Z$ - min нүктелері, ${sinx}_{2} = 1$ ;

Осындай көрнекіліктерді оқушыларға басқада тригонометриялық функциялары үшін да жасауды тапсыру керек. Бұл көрнекіліктердің барлығы да әр оқушының қысқаша конспектісінде болғанын қадағалау қажет.

Енді әрбір тригонометриялық функцияның графигін салуға тоқталайық.

I. $y = sinx$ функциясын қарастырайық.

$y = sinx$ функциясының графигін салу үшін алдымен оның $\lbrack 0; 2\pi\rbrack$ кесіндісіне тиісті бөлігін саламыз. Ол үшін абсцисса осінде абсциссасы $2\pi(\pi = 3, 14)$ болатын нүктені белгілейміз және синустың анықтамасын қолданамыз. Оу осінің сол жағына центрі Ох осінде жататын бірлік шеңбер саламыз және ордината осіне (0; -1) және (0; 1) нүктелерін белгілейміз. Бірлік шеңбер мен $\lbrack 0; 2\pi\rbrack$ кесіндісін тең 16 бөлікке бөлеміз

Бірілік шеңберде $P_{\alpha}$ нүктесін белгілейміз және осы нүкте арқылы абсцисса осіне параллель түзу жүргіземіз. Осы түзу мен $x = \alpha$ түзуінің қиылысу нүктесі $y = sinx$ функциясы графигінің нүктесі болып табылады. Нүктенің ординатасы $P_{\alpha}$ нүктесінің ординатасымен бірдей, анықтама бойынша $sinx - P_{\alpha}$ нүктесінің ординатасы.

$y = sinx$ функциясының графигін барлық сан түзуінде салу үшін оның $\lbrack 0; 2\pi\rbrack$ кесіндісінде салынған бөлігін Ох осі бойымен $2\pi n - ге$ (мұндағы $n$ - бүтін сан) параллель жылжытамыз.

$y = sinx$ функциясының графигі синусоида деп аталады.

$y = sinx$ функциясының қасиеттері:

1) Анықталу облысы - $( - \infty; + \infty)$ сан аралығы, яғни x $\in$ R .

2) мәндер жиыны [-1; 1] кесіндісі, яғни y $\in$ [-1; 1] .

3) $y = sinx$ функциясы шектелген: $sinx\ < \ 1$ .

4) $y = sinx$ функциясы периодты, оның ең кіші периоды 2π $sin\ (x\ + \ 2\pi n) \ = \ sin\ x$ , мұндағы $n$ - бүтін сан.

5) $y = sinx$ функциясы тақ функция: $sin\ ( - x) \ = \ - \ sin\ x$ . Оның графигі координаталар басына қарағанда симметриялы.

6) $y = sinx$ функциясы $\lbrack 2\pi n; n + 2\pi n\rbrack$ аралығында оң мәндерді және $\lbrack\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n\rbrack$ , мұндағы $n$ - бүтін сан, аралығында теріс мәндерді қабылдайды.

7) $\ y = sinx$ функциясы $\left\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right\rbrack$ аралығында өседі және $\left\lbrack \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right\rbrack$ аралығында кемиді, мұндағы $n$ - бүтін сан.

Қарастырылған қасиетті бірлік шеңбердің көмегімен көрсетуге болады.

8) $y = sinx$ функциясының экстремумдары: $x_{\min} = - \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ , $x_{\max} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері: $y_{ең\ үлкен} = 1$ , $y_{ең\ кіші} = - 1$ .

Мысал: $y = sinx + 2$ функциясының графигін салайық.

Шешуі. Алдымен $y = sinx$ функциясының графигін саламыз. Ол үшін A, B, C, D, O, E, F, K, L, M, N нүктелерін белгілейміз және оларды қисық сызықпен қосамыз. Одан кейін әрбір нүктені ордината $(Oy)$ осі бойымен жоғары 2 бірлікке жылжытамыз. Сонда A ₁ , B ₁ , C ₁ , D ₁ , O ₁ , E ₁ , F ₁ , K ₁ , L ₁ , M ₁ , N ₁ , нүктелерін аламыз және оларды қисық сызықпен қосамыз.

$y = sinx$ функциясының графигін $Oy$ осі бойымен 2 бірлікке жоғары орын ауыстырамыз (жылжытамыз параллель көшіреміз)

$y = Af(kx + b)$ түріндегі функцияның периодтылығы. Егер $y = f(x)$ функциясы периодты және периодты Т- ға тең болса, онда $y = Af(kx + b)$ , мұндағы $A, \ k, \ b -$ нақты сандар және $k \neq 0$ , функциясы да периодты болады және оның периодты $\frac{T}{k}$ - ға тең болады.

Мысалы2: $y = sin3x$ функциясының периодты $\frac{2\pi}{3}$ - ға, $y = sin\frac{x}{2}$ функциясының периоды $4\pi - ге$ тең.

II. $y = cosx$ функциясын

$y = cosx$ функциясының графигін салу үшін $cosx = sin(x + \frac{\pi}{2})$ келтіру формуласы қолданамыз. Сондықтан $y = cosx$ функциясының графигі $y = sinx$ функциясының графигін $\ Ox$ осі бойымен солға қарай $\frac{\pi}{2}$ бірлікке параллель көшіру арқылы алынады.

$y = cosx$ функциясының графигі косинусоида деп аталады.

$y = cosx$ функциясының қасиеттері:

1) Анықталу облысы - $( - \infty; + \infty)$ сан аралығы, яғни x $\in$ R .

2) мәндер жиыны [-1; 1] кесіндісі, яғни y $\in$ [-1; 1] .

3) $y = cosx$ функциясы шектелген: $cosx\ < \ 1$ .

4) $y = cosx$ функциясы периодты, оның ең кіші периоды 2π-ге тең $cos\ (x\ + \ 2\pi n) \ = \ cosx$ , мұндағы $n$ - бүтін сан.

5) $y = cosx$ функциясы жұп функция: $cos\ ( - x) \ = \ cos\ x$ . Оның графигі ордината осіне қарағанда симметриялы.

6) $y = cosx$ функциясы $\left\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \ \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right\rbrack$ аралығында оң мәндерді және $\left\lbrack \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \ \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \right\rbrack$ , мұндағы $n$ - бүтін сан, аралығында теріс мәндерді қабылдайды.

7) $\ y = sinx$ функциясы $\lbrack 2\pi n; n + 2\pi n\rbrack$ аралығында өседі және $\lbrack\pi + 2\pi n; 2\pi + 2\pi n\rbrack$ , аралығында кемиді, мұндағы $n$ - бүтін сан.

Қарастырылған қасиетті бірлік шеңбердің көмегімен көрсетуге болады.

Косинустар сызығы дегеніміз - $Ox$ осінің $\lbrack - 1; 1\rbrack$ кесіндісі

8. $y = cosx$ функциясының экстремумдары: $x_{\min} = - \pi + 2\pi n$ , $x_{\max} = 2\pi n$ функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері: $y_{ең\ үлкен} = 1$ , $y_{ең\ кіші} = - 1$ .

Мысал: $\lbrack - \pi; \pi\rbrack$ кесіндісіне $\ y = cos2x$ функциясының графигін салайық.

Шешуі. Алдымен $y = cosx$ функциясының графигін $\lbrack - 2\pi; 2\pi\rbrack$ кесіндісіне саламыз. Ол үшін T, A, B, C, M, K, P, H, D нүктелерін белгілейміз және оларды қисық сызықпен қосамыз. Одан кейін әрбір нүктені абсцисса осі бойымен 2 есе сығамыз. Сонда ординаталары T, A, B, C, M, K, P, H, D нүктелерінің ординаталарымен бірдей, абсциссалары 2 есе кем T ₁ , A ₁ , B ₁ , C ₁ , M ₁ , K ₁ , P ₁ , H ₁ , D ₁ нүктелерін қисық сызықпен қосып, көрсетілген аралықта берілген функцияның графигін аламыз.

Графиктен $y = cos2x$ функциясының периоды $\pi$ -ге тең екенін көреміз.

$y = tgx, \ y = ctgx$ функцияларының графиктері және қасиеттері.

ІІІ. $y = tgx$ функциясы

Бірлік шеңберге Р ₀ нүктесі арқылы l жанамасын жүргіземіз (13. 1- сурет)

$\alpha$ саны $cos\alpha \neq 0$ орындалатындай кез келген сан болсын. Онда Р ₀ $(cos\alpha; sin\alpha)$ нүктесі ордината осіне тиісті емес, сондықтан ${OP}_{\alpha}$ түзуі $l$ жанамасын абсциссасы 1-ге тең болатын $Т_{\alpha}$ нүктесінде қияды.

Осы нүктенің ординатасын табайық. Анықтама бойынша $tg\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha} = \frac{T_{\alpha}P_{0}}{1}$ , онда $T_{\alpha}P_{0} = tg\alpha$ . Сонымен ${OP}_{\alpha}$ және $l$ түзулерінің қиылысу нүктелерінің ординаталары $\ tg\alpha$ -ға тең.

$l\$ түзуін тангестер сызығы деп атайды (13. 2- сурет)

$y = tgx$ функциясы периодты және периодты π-ге тең. $y = tgx$ функциясының графигін салу үшін алдымен оның $\left\lbrack - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right\rbrack$ аралығына тиісті бөлігін саламыз. Ол үшін абсцисса осінде абсциссасы $- \frac{\pi}{2}\$ және $\frac{\pi}{2}$ ( $\pi \approx 3, 14)$ болатын нүктелерді белгілейміз және тангенстер осін қолданамыз. $Oy$ осінің сол жағынан центрі $Ox$ осінде жататын бірлік шеңбер сызамыз. Бірлік шеңбер мен $\left\lbrack - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right\rbrack$ кесіндісін тең 8 бөлікке бөлеміз.

$- \frac{3\pi}{8}; - \frac{\pi}{4}; - \frac{\pi}{8}; 0; \frac{\pi}{8}; \frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{8}$ бұрыштарына сәйкес нүктелерді бірлік шеңберде белгілейміз. Осы бұрыштар үшін $\ y = tgx$ функциясының мәндерін тангенстер сызығы арқылы табамыз. Ол үшін координаталар басы және әрбір белгіленген нүкте арқылы тангенстер осіне дейін түзу жүргіземіз. Тангенстер осімен қиылысу нүктесі $y = tgx$ функциясы графигінің нүктесінің ординатасы болып табылады.

$y = tgx$ функциясы графигін барлық сан түзуінде салу үшін оның $\left\lbrack - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right\rbrack$ кесіндісінде салынған бөлігін $Ox$ осі бойымен $\pi n$ -ге параллель жылжытамыз.

$y = tgx$ функциясының графигін тангенсоида деп аталады.

$y = tgx$ функциясының қасиеттері:

1) Анықталу облысы - $\frac{\pi}{2} + \pi n$ сандарынан басқа $\alpha - ның$ барлық мәндері .

2) мәндер жиыны [- $\infty$ ; $\infty$ ] сан аралығы, яғни y $\in$ [- $\infty; \infty$ ] .

3) $y = tgx$ функциясы шектелмеген.

4) $y = tgx$ функциясы периодты, оның периоды π-ге тең $tg(x + 2\pi n) = tgx$ , мұндағы $n$ - бүтін сан.

5) $y = tgx$ функциясы тақ функция: $tg( - x) = - tgx$ . Оның графигі координаталар басына қарағанда симметриялы.

6) $y = tgx$ функциясы $\left\lbrack \pi n; \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right\rbrack$ аралығында оң мәндерді және $\left\lbrack - \frac{\pi}{2} + 2\pi n; \pi n \right\rbrack$ , мұндағы $n$ - бүтін сан, аралығында теріс мәндерді қабылдайды.

7) $\ y = tgx$ функциясы $\left\lbrack - \frac{\pi}{2} + \pi n; \ \frac{\pi}{2} + \pi n \right\rbrack$ аралығында өседі

8) $y = tgx$ функциясының экстремумдары мен ең үлкен және ең кіші мәндері болмайды.

IV. $y = ctgx$ функциясы

$y = ctgx$ функциясының графигін салу үшін $y = ctgx = - tg(x + \frac{\pi}{2})$ келтіру формуласын қолданамыз. Сондықтан $y = ctgx$ функциясының графигін $Ox$ осі бойымен солға қарай $\frac{\pi}{2}$ бірлікке параллель көшіру және $Ox$ осіне қарағанда симметрияны қолдану арқылы алынады.