Нормальдің теңдеуі тәсілдері

Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 68 бет
Таңдаулыға:

ҚОСТАНАЙ МЕМЛЕКЕТТІК ПЕДАГОГИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫ
Жаратылыстану-математика факультеті
Физика-математикалық және жалпы техникалық пәндер кафедрасы

Асқанбаева Ғ.Б.

Дифференциалдық геометриядан
есептер жинағы

Оқу құралы

Қостанай
2016
ӘОЖ 514.7(075.8)
КБЖ 22.151 я73
А 88

Құрастырушы:
Асқанбаева Ғ.Б. – физика-математикалық және жалпы техникалық пәндер
кафедрасының аға оқытушысы

Сын пікір берушілер:
Ысмағұл Р.С. – ф-м.ғ. кандидаты (А. Байтұрсынов атындағы ҚМУ,
информатика және математика кафедрасының доценті)
Калжанов М.У. – ф-м.ғ. кандидаты (ҚМПИ, информатика және компьютерлік
технологиялар кафедрасының доценті)

Асқанбаева Ғ.Б.
А 88 Дифференциалдық геометриядан есептер жинағы: оқу құралы Ғ.Б.
Асқанбаева. – Қостанай, 2016. – 99 б.

ISBN 978-601-7839-51-2

Оқу құралында дифференциалдық геометрияның қисықтар және беттер
теориясы қарастырылған. Пәннің әрбір тарауы үшін қысқаша теориялық
мәліметтермен қоса, есептер және олардың шешу жолдары көрсетілген.
Студенттерге өз білімдерін тексеру үшін тест тапсырмалары, өздік
тапсырмалар ұсынылған.
Оқу құралы 5В010900-Математика мамандығы бойынша оқитын студенттерге
арналған.

ӘОЖ 514.7(075.8)
КБЖ 22.151 я73

Қостанай мемлекеттік педагогикалық институтының
ғылыми кеңесінің шешімімен баспаға ұсынылады

ISBN 978-601-7839-51-2

© Асқанбаева Ғ.Б., 2016

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
I ҚИСЫҚТАР 5
ТЕОРИЯСЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ..
1.1Скаляр аргументке тәуелді 5
вектор-функция ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.2Қисықтың әртүрлі берілу 7
тәсілдері ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... .
1.3Қисыққа жүргізілген жанама және 10
нормаль ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.4Ерекше 16
нүктелер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
1.5Жазық қисықтар 21
үйірі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
1.6Доғаның 22
ұзындығы ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
1.7Жазық қисықтың 25
эволютасы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
... ...
1.8Қисықтың ілесуші үшжағы. Френе 28
формулалары ... ... ... ... ... ... ...
1.9Қисықтың қисықтығы мен 37
бұралуы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
IIБЕТТЕР 43
ТЕОРИЯСЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ...
2.1Бет түсінігі. Бетке жүргізілген жанама жазықтық пен 43
нормаль ...
2.2Беттің бірінші квадраттық 47
формасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.3Беттің екінші квадраттық 52
формасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.4Қисықтық 57
сызықтары ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
ҚИСЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ БОЙЫНША №1 ӨЗДІК ТАПСЫРМАЛАР ... . 62
БЕТТЕР ТЕОРИЯСЫ БОЙЫНША №2 ӨЗДІК ТАПСЫРМАЛАР ... ... ... . 65
ӨЗІН-ӨЗІ ТЕКСЕРУГЕ АРНАЛҒАН ТЕСТ ТАПСЫРМАЛАРЫ ... ... ... . 67
ТЕСТ ТАПСЫРМАЛАРЫНЫҢ 84
ЖАУАПТАРЫ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... .
ЖАУАПТАР ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... 85
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ..
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР 100
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

КІРІСПЕ
Дифференциалдық геометрия – геометрияның геометриялық бейнелерді
математикалық талдау тәсілімен зерттейтін бөлімі. Дифференциалдық
геометрияда алдымен қисықтар мен беттердің шектеусіз аз үйірлерінің
қасиеттері айқындалады, содан кейін қисық пен беттің тұтас тұлғасындағы
ерекшеліктері анықталады. Дифференциалдық геометрия математикалық талдаумен
тығыз байланысты және онымен қатар дамып келді. Математикалық талдаудың
кейбір түсініктері геометрияға байланысты шыққан. Мысалы, туынды түсінігі
жанама түсінігінен, интеграл түсінігі аудан және көлем түсініктеріне
байланысты шыққан. Дифференциалдық геометрияның шығу кезеңі ХҮІІ ғасыр деп
есептелінеді және де оның шығу тарихы Л. Эйлер, Г. Монж есімдерімен
байланысты. 1759 жылы Анализдың геометрияға қосымшасы атты Г. Монждың
беттер теориясы бойынша шығармасы шықты.
1827 жылы К. Гаусс Қисықтар мен беттер туралы жалпы зерттеулер атты
еңбегін жарыққа шығарды. Бұл еңбегінде ол беттер теориясының негізін салып
берді. Осы кезеңнен бастап, дифференциалдық геометрия математикалық
талдаудың қосымша саласы емес, жеке ғылым болып дами бастады.
Ал 1826 жылы Н.И.Лобачевскийдің евклидті емес геометрияны ашуы, бүкіл
геометрияның дамуынада үлкен роль атқарды.
Дифференциалдық геометрияның зерттеу аппараты ретінде дифференциалдық
есептеулер қолданылады. Геометриялық объектілер ретінде қисықтар мен беттер
қарастырылады. Осы объектілерді ақырсыз кішкене бөліктерде зерттеу қисықты
түзу, беттің бөлігін жазықтық ретінде қарастыруға мүмкіндік береді.
Аталған оқу құралында дифференциалдық геометрияның негізгі бөлімдері
бойынша, атап айтқанда қисықтар және беттер теориясы бойынша үш жүзден
артық жаттығулар мен есептер келтірілген. Әр параграфтың басында қысқаша
теориялық мәліметтер беріліп, есептердің шығару жолдары көрсетілген.
Студенттерге өз білімдерін тексеру үшін тест тапсырмалары, өздік
тапсырмалар ұсынылған. Тест тапсырмалары жауаптармен қамтамасыз етілген.
Әдістемелік құралдың соңында әрбір есепке жауаптар берілген. Қиындығы
жоғары есептердің шешу жолдары, ал кейбір есептерді шешу үшін нұсқаулар
келтірілген.
Дифференциалдық геометриядан есептер жинағын осы пәнді игеруге
арналған оқу құралы ретінде қолдануға болады. Оқу құралы 5В010900-
Математика мамандығы бойынша оқитын студенттерге арналған.

I ҚИСЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ

1.1 Скаляр аргументке тәуелді вектор–функция

Анықтама: a t b аралық берілсін. Егер tє(a,b) әрбір мәніне
векторының анықталған мәні сәйкестендірілсе, онда осы аралықта скаляр
аргументке тәуелді вектор-функция берілді дейміз.

Вектор-функция үшін үзіліссіздік ұғымы скаляр-функция сияқты
енгізіледі.
Анықтама: Егер орындалса, онда вектор-функция
нүктесінде үзіліссіз деп аталады.
Анықтама: вектор-функцияның туындысы деп ұмтылғандағы
қатынасының шегі аталады.
.

Вектор функцияны дифференциалдау ережелері

1 теорема: Вектор-функциялардың қосындысының туындысы олардың
туындылардың қосындысына тең.
(1)
2 теорема: Вектордың скалярға көбейтіндісі, векторладың скалярлы және
векторлық көбейтіндісі скалярлық анализдің ережесі бойынша
дифференциалданады.
(2)
(3)
(4)
(3) формуладан скаляр квадратты дифференциалдау ережесі шығады.

3 теорема: Векторлардың аралас көбейтіндісі келесі ереже бойынша
дифференциалданады.
(5)

4 теорема: Тұрақты вектордың туындысы нөлге тең.
Вектор-функцияның туындысының координаталарын табу

ортонормаланған базис берілсін. вектор–функция.

Координатаның туындысы дифференциалданатын вектор–функцияның сәйкес
координаталарының туындысына тең.
Мысалдар:
а) вектор функция үшін скаляр функцияларды анықтау керек және
оның анықталу облысын көрсету керек.

Шешуі: Вектор-функция координаталық түрде берілген, сондықтан скаляр
функцияларды көрсетуге болады:

Вектор функцияның анықталу облысын табу үшін, x(t), y(t), z(t)
функцияларының әрқайсысының анықталу облысын тауып, теңсіздіктер жүйесін
щешу керек.
,
Әрбір теңсіздікті шешіп, координаталық түзуде аралықтардың қиылысуын
табамыз

Жауабы: .

ә) Келесі вектор-функциялар берілген: , . Осы функциялардың
скаляр көбейтінділерінің туындысын табу керек.
Шешуі: Екі вектор-функцияның скаляр көбейтіндісінің туындысын табу
үшін, вектор-функцияны дифференциалдау ережесін қолданамыз:

Осы формулаға берілген вектор-функцияларды қойып, келесі теңдікті
аламыз:
.
Жауабы: .
Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№1-2 Келесі вектор функциялар үшін скаляр функцияларды анықтау керек
және оның анықтау облысын көрсету керек.
№1
№2
№3-7. Келесі вектор-функциялардың туындыларын табу керек.
№ 3
№ 4
№ 5
№ 6
№ 7
№8 . Вектор–функцияның туындысын және анықталу облысын табу
керек.
№9 . Вектор–функцияның туындысын және анықталу облысын табу
керек.
№10 . Вектор–функцияның туындысын және анықталу облысын табу
керек.
№11 және вектор-функциялардың скаляр көбейтіндісінің
туындысын табу керек.
№12 және векторларының бір-біріне перпендикуляр екенін
дәлелдеу керек.
№13 вектор-функциясының туындысын табу керек.
№14 . Табу керек:
№15 . Табу керек:

1.2 Қисықтың әртүрлі берілу тәсілдері

Е3 кеңістігіндегі қозғалушы М нүктесінің tI уақыт кезендегі орны
координаталар басы О нүктесіне қарағанда ОМ=r(t) радиус-векторымен бір
мәнді анықталады.
I –сандық аралық (сегмент, интервал, жартылай интервал)
Қозғалыс кезінде r(t) радиус векторының бағыты да, шамасы да өзгереді.
Демек, t айнымалысы I аралығында өзгергенде r(t) радиус-векторы t
скаляр аргументінің вектор функциясы болады.
(i,j,k) базисында әрбір t кезеніңде М нүктесінің координаталары x(t),
y(t), z(t) болғандықтан ) (1) арқылы анықталады.
(1) теңдігі - М нүктесінің (0,i,j,k) базисындағы қозғалыс заңы деп аталады.
Кеңістіктегі нүктелердің геометриялық орнын осы нүктенің траекториясы
деп атайды. t I аралығында өзгергенде М нүктесі Е3 кеңістігіндегі
кейбір L-траекториясын сызады.
Анықтама: Егер (1) векторлық теңдік t скаляр аргументті I аралығын М
нүктесінің траекториясына гомеоморфты (өзара бір мәнді) бейнелесе, онда М
нүктесінің траекториясын элементар қисық деп атайды.
Анықтама: Егер бейнелеу қайтымды, үзіліссіз және кері бейнелеу де
үзіліссіз болса, онда f бейнелеу гомеоморфты деп аталады.
Е3 кеңістігіндегі түзү, кесінді және сәуле қарапайым сызықтар деп аталады.
Анықтама: Осы сызықтардың кез келген біреуіне гомеморфты Е3
кеңістігіне тиісті F фигурасы элементар қисық деп аталады.
Кесіндіге гомеоморфты фигура доға болады.
Ұштары Ажәне В нүктелері болатын жарты шеңбер немесе жарты эллипс АВ
кесіндісіне гомеоморфты, яғни элементар қисық.
Енді элементар L қисығының О хуz координаталар жүйесіндегі теңдеуін
анықтайық.
Тік бұрышты координаталар жүйесіндегі әрбір t Iсанына
координаталары x(t),y(t),z(t) функциялары болатын М (х,у,z) нүктесі сәйкес
келеді.
(2)
(2)- L сызығының векторлық теңдеуі.
(3)
(3) теңдеуі кеңістіктік қисықтың параметрлік теңдеуі.

Анықтама:Саны шектеулі немесе саналымды жиын болатын элементар
сызықтармен жабуға мүмкін болатын Е3 кеңістігіне тиісті Ф фигурасы қисық
деп аталады.
Анықтама: Егер х(t),y(t), z(t) функцияларының I аралығында к- ретке
дейін үзіліссіз туындылары бар және бүкіл I аралығында
болса, онда L қисығы к-класты тегіс қисық деп аталады.

Мысал: Параметр ретінде координаталар бас нүктесін және қисықтың кез
келген нүктесі арқылы өтетін түзудің бұрыштық коэффициентін алып,
шеңберінің параметрлік теңдеуін құру керек.
Шешуі: (сурет1. Шеңбердің параметрлік теңдеуін құру)

Сурет 1. Шеңбердің параметрлік теңдеуін құру.

шеңбердің кез келген нүктесі болсын.
шеңберінің теңдеуін канондық түрге келтіреміз .
және үшбұрыштары ұқсас. Ендеше осы үшбұрыштардың ұқсастық
қатынастарын құрамыз: немесе
мұндағы
үшбұрышынан: табамыз. Табылған теңдіктерді салыстырып, келесі
теңдікті аламыз:

өйткені шығатыны:
шеңбердің параметрлік теңдеуі келесі түрде болады:
Жауабы:
Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№16 Жазықтықта берілген F1 және F2 () нүктелеріне дейінгі
арақашықтықтардың көбейтіндісі тұрақты шама болатындай барлық
нүктелер жиынынан тұратын жазық фигураның теңдеуін құру керек (Кассини
қисығы).
№17 Ұзындығы 2а-ға тең, диаметрі ОА болатын шеңбер берілген. А нүктесі
арқылы шеңберге жанама жүргізілген. О нүктесі арқылы ОС сәулесі жүргізіліп,
сол сәуленің бойында АВ жанама мен шеңбер арасында тұйықталған ВС
кесіндісіне тең ОМ кесіндісі салынған. ОС сәулесін О нүктесі арқылы
айналдырылған кезде М нүктесі Диоклес циссоидасы деп аталатын траектория
сызады. Осы траекторияның теңдеуін құру керек.
№18 М нүктесі ОN түзуінің бойымен О нүктесін бірқалыпты айнала
қозғалады. М нүктесінің траекториясының теңдеуін жазу керек (Архимед
спиралі).
№19 Ұзындығы 2а тұрақты шама болатын АВ кесіндісі өзінің ұштары арқылы
тікбұрышты координаталар жүйесінің осьтерінің бойымен жылжиды.
Координаталар бас нүктесінен АВ түзуіне ОМ перпендикуляр жүргізілген.
Осындай М нүктелері арқылы құрылған фигураны жазу керек (төртжапырақты
раушан гүл).
№20 Радиусы а-ға тең щеңбердің қандай-да бір О нүктесі арқылы сәуле
айналады. Осы сәуленің бойында А нүктесінің екі жағына да шеңбермен
қиылысқанға дейін ұзындықтары 2b-ға тең АМ1 және АМ2 кесінділері салынады.
Осы М1 және М2 нүктелері арқылы сызылған фигураның теңдеуін құру керек
(Паскаль улиткасы, дербес жағдайда a=b болса, кардиоида).
№21 Ұзындығы а-ға тең АВ кесіндісі өзінің ұштары арқылы тік бұрышты
координаталар жүйесінің осьтері бойымен жылжиды. АС және ВС түзулері
координаталар осьтеріне параллель және С нүктесінде қиылысады. С нүктесінен
АВ түзуіне СМ перпендикуляр жүргізілген. Осындай М нүктелерінен тұратын
траекторияның теңдеуін жазу керек (астроида).
№22 Радиусы а-ға тең дөңгелек түзу бойымен жылжиды. Дөңгелектің
центрінен d ара қашықтықта орналасқан және дөңгелекпен қатаң түрде
байланған М нүктесінің траекториясының теңдеуін құру керек (мұндағы d=a
болса –циклоида, da болса -қысқартылған циклоида, da болса – ұзартылған
циклоида).

1.3 Қисыққа жүргізілген жанама және нормаль

Анықтама: Қиюшы түзудің шектік жағдайы қисыққа жүргізілген жанама деп
аталады
Анықтама: Қисықтың M(t) нүктесі және оған шексіз жақын нүктелері
арқылы өтетін қиюшының шектік жағдайы берілген нүктедегі қисықтың
жанамасы деп аталады.

Теорема: векторлық теңдеуімен берілген, Lтегіс қисықтың әрбір M
нүктесінде осы M нүктесі және бағыттаушы векторымен анықталған T
жанамасы бар болады
Анықтама: Жазық қисықтың нормалі деп сол жазықтықта жататын, жанамаға
перпендикуляр және жанасу нүктесі арқылы өтетін түзуді атайды.

Қисықтың әр түрлі берілу тәсілдеріндегі жанама мен нормальдың теңдеулері

Қисықтың берілу Жанаманың теңдеуі Нормальдің теңдеуі
тәсілдері

Айқын түрде

Параметрлік түрде

Айқын емес түрде

Мысалдар:
а) қисығына А() және В() нүктелерінде жүргізілген
жанама және нормальдың теңдеулерін құру керек.
Шешуі: Қисық айқын түрде берілген, сондықтан есепті шешу үшін келесві
формулаларды қолданамыз:
- жанаманың теңдеуі,
- нормальдың теңдеуі.
1) А() нүктесіндегі жанама мен нормальдың теңдеуін табамыз.
; , .
, ; - А() нүктесіндегі жанаманың теңдеуі.
; - А() нүктесіндегі нормальдың теңдеуі.
2)В()нүктесіндегі жанама мен нормальдың теңдеуін табамыз.
; ;
, , - В()нүктесіндегі жанаманың теңдеуі.
; - В()нүктесіндегі нормальдың теңдеуі.
Жауабы: А() нүктесіндегі жанаманың теңдеуі,
нормальдың теңдеуі; В() нүктесіндегі жанаманың
теңдеуі, нормальдың теңдеуі.

ә) , жүргізілген жанама және нормальдың теңдеулерін құру
керек.
Шешуі: Қисық параметрлік түрде берілген, сондықтан жанама мен
нормальдың теңдеулерін құру үшін келесі формулаларды қолданамыз:
- жанаманың теңдеуі,
- нормальдың теңдеуі.
, .
Табылған мәндерді бірінші формулаға қойып, жанаманың теңдеуін аламыз:
;
; - жанаманың теңдеуі.
Табылған мәндерді екінші формулаға қойып, нормальдың теңдеуін аламыз:
;
; - нормальдың теңдеуі.
Жауабы: - жанаманың теңдеуі, - нормальдың теңдеуі.

б) қисығына А(,) жүргізілген жанама және нормальдың
теңдеулерін құру керек.
Шешуі: Қисық айқын емес түрде берілген, сондықтан жанама мен
нормальдың теңдеулерін құру үшін келесі формулаларды қолданамыз:
- жанаманың теңдеуі;
- нормальдың теңдеуі.
;
.
Табылған мәндерді бірінші формулаға қойып, жанаманың теңдеуін аламыз:
; ; - жанаманың теңдеуі.
Табылған мәндерді екінші формулаға қойып, нормальдың теңдеуін аламыз:
; ; - нормальдың теңдеуі.
Жауабы: Жанама , нормаль .

в) параболаға қай нүктеде жүргізілген жанама Ох осімен 45° бұрыш
жасайды?
Шешуі: Аналитикалық геометрии курсынан екені белгілі.
; табамыз;
Осыдан , екендігі шығады.
Жауабы: .
г) Келесі қисықтардың қиылысу нүктелерін және олардың арасындағы
бұрышын табу керек: , .
Шешуі: Алдымен берілген қисықтар үшін қиылысу нүтелерін табамыз. Ол
үшін келесі теңдеулер жүйесін шешеміз:
; .

Енді қисықтар арасындағы бұрышты табамыз:
қиылысу нүктесі.
.
Қисық айқын емес түрде берілген, сондықтан жанаманың теңдеуін табу
үшін келесі формуланы қолданамыз:
; ; .

Табылған мәндерді формулаға қоямыз:
; ; - бірінші қисық үшін жанаманың теңдеуі.
Енді екінші қисық үшін жанаманың теңдеуін табамыз:
.
; .
Жанаманы табу үшін, табылған мәндерді формулаға қоямыз:
; ; - екінші қисық үшін жанаманың теңдеуі.
және түзулері арасындағы бұрыш .
Енді екінші қиылысу нүктесіндегі қисықтар арасындағы бұрышты табамыз:
.
.
; ; - бірінші қисық үшін жанаманың теңдеуі.
Енді екінші қисық үшін жанаманың теңдеуін табамыз: .
; - екінші қисық үшін жанаманың теңдеуі.
Екі қисық арасындағы бұрышты табу үшін, олардың жанамалары арасындағы
бұрышты тапсақ, жеткілікті. Ол үшін келесі формуланы қолданамыз:
.
Жанамалардың бұрыштық коэффициенттерін табамыз:
, , ;
;
Жауабы: , ; , .
Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№23-39 Келесі қисықтарға жүргізілген жанама және нормальдың
тендеулерін құру керек:
№23 қисығына абсциссалары-1, 0, 1 нүктелерде.
№24 қисығына абсциссалары 0 және 1 нүктелерінде.
№25 қисығына абсциссалары 0, , нүктелерінде.
№26 қисығына абсциссалары 0, нүктелерінде.
№27 қисығына А(t=1) нүктесінде.
№28 қисығына кез келген нүктеде.
№29 қисығына кез келген нүктеде.
№30 қисығына кез келген нүктеде.
№31 қисығына кез келген нүктеде.
№32 қисығына А(3а2, 3а2) нүктесінде.
№33 қисығына А(а2, а2) нүктесінде.
№34 қисығына кез келген нүктеде
№35
№36
№37
№38
№39 қисығына , А нүктесінде, мұндағы
№40 Қай нүктеде параболасына жүргізілген жанама Оx осімен 450
бұрыш жасайды?
№41 сызығына қандай да бір нүктеде жүргізілген жанама Ox осімен
-ке тең бұрыш жасауы мүмкін бе?
№42 сызығына кез келген нүктеде жүргізілген жанаманың Ox осімен
жасайтын көлбеулік бұрышы аралықта болатынын көрсету керек.
№43 түзуіне параллель болатын, параболаға жүргізілген
жанаманың теңдеуін табу керек.
№44 параболасына қай нүктеде жүргізілген жанама түзуіне
параллель болады?
№45 парабола теңдеуіндегі b және c тұрақтыларын x=2 нүктесінде
түзуге жанасатындай етіп таңдау керек.
№46 қисығының, түзуіне параллель болатын жанамасын табу
керек.
№47 қисығына жүргізілген, нүктесі арқылы өтетін жанаманың
теңдеуін табу керек.
№48-51 Келесі қисықтардың қиылысу нүктелерін және олардың арасындағы
бұрыштарын табу керек:
№48
№49
№50
№51
№52-54 Келесі қисықтардың тік бұрыш жасап қиылысатынын дәлелдеу керек:
№52
№53
№54

1.4 Ерекше нүктелер

Жазық қисықтың айқын емес түрде берілген теңдеуін қарастырайық.
F(x,y) = 0 – айқын емес түрде берілген қисықтың теңдеуі (1)
қисықтың жанамасының теңдеуі (2)
(2) теңдігінің () нүктесінде болса, бұл нүктеде (1)
қисығының жанамасы анықталмайды. Осы нүкте айқын емес түрде берілген
қисықтың ерекше нүктесі деп аталады.
(3)
Егер (3) теңдігінің барлық коэффиценттері бір мезгілде нөлге тең
болса, жанаманың бағыттаушы векторының координаталарының қатынасын алуға
болады. (3) теңдігінің екі жағын да бөлеміз. : деп
белгілейміз.
(4)
(4) – сипаттамалық теңдеу деп аталады.

δ – ның таңбасына қатысты квадрат теңдеудің шешімдерін қарастырамыз.
I δ 0 (D 0)
(4) теңдеуінің түбірлері жорамал сандар. Нақты түбірлері жоқ, яғни
жанамалары жоқ. Бұл жағдайда ерекше нүкте оқшауланған деп аталады.
II δ 0 (D 0)
(4) теңдеуінің екі нақты және әр түрлі түбірлері бар. ()
нүктесінен қисықтың екі тармағы өтеді. Әрқайсысының жанамасының бағыты (3)
арқылы анықталады. () – буын немесе торапты нүкте деп аталады.
III δ = 0 (D = 0)
(4) теңдеуінің бір – біріне тең екі түбірі бар. Бұл жерде бірнеше
жағдайлар болуы мүмкін.
a) Оқшауланған нүкте.
б) I ретті қайту нүктесі. Қисық ерекше нүктеде ортақ жанамасы бар екі
тармақтан тұрады. Бұл тармақтар осы нүктедегі жанаманың екі жағында, ал
нормальдың бір жағында орналасқан.
в) II ретті қайту нүктесі. Бұл жағдайда қисықтың ерекше нүкте арқылы
өтетін және ортақ жанамасы бар екі тармағы жанама мен нормальдың бір
жағында орналасады.
г) Өзін - өзі жанайтын нүкте. Қисық ерекше нүктеде бірін – бірі
жанайтын екі тармақтан тұрады.
д) Егер ерекше нүктеде болса, онда бұл нүкте арқылы қисықтың
бірнеше тармақтары өтуі мүмкін.

Мысалдар:
а) қисығының ерекше нүктесін табу керек және ерекше нүктедегі
жанаманың теңдеуін құру керек.
Шешуі. Берілген теңдеуді келесі түрде жазып аламыз .
және айнымалылары бойынша дербес бірінші туындыларын
табамыз.
, .
Осыдан , жүйенің екінші теңдеуін шешіп,
аламыз.
M1 (-23;0) – қисыққа тиісті емес.
Берілген қисық үшін ерекше нүктені таптық. Енді ерекше нүтенің
түрін анықтау керек. Ол үшін нүктесіндегі екінші дербес туындыларын
табамыз .
.
ның мәнін есептейміз, , - ендеше торапты нүкте.
Келесі теңдеу бойынша жанамалардың бағытын анықтаймыз:

x=y+C M нүктесінде 0=0+C C=0

x =-y+C 0=0+C C=0
ерекше нүктедегі жанамалардың теңдеулері.

Жауабы : М(0,0) – торапты нүкте.

ә) теңдеуімен берілген қисық үшін, ерекше нүктелерді табу керек.

Шешуі. Берілген теңдеуді келесі түрде жазып аламыз .
және айнымалылары бойынша дербес бірінші туындыларын
табамыз.
.
Табылған өрнектерді жүйе түрінде жазып алып, оның шешімін табамыз.
.
нүктесі берілген қисық үшін ерекше нүкте болады ( нүктесі
қисыққа тиісті емес). Ерекше нүктенің түрін анықтаймыз. Ол үшін
нүктесіндегі екінші дербес туындыларын табамыз .
.
мәнін есептейміз.
.
Бұл жерде бірнеше жағдайлар болуы мүмкін. Қисық ерекше нүктеде бірін –
бірі жанайтын екі тармақтан тұрады. Ендеше М(0,0) нүктесі өзін - өзі
жанайтын нүкте.
Жауабы: М(0,0) – өзін - өзі жанайтын нүкте.

б) (Никомед конхоидасы) қисығының ерекше нүктесін табу керек
және ерекше нүктедегі жанаманың теңдеуін құру керек.
Шешуі. және айнымалылары бойынша дербес бірінші
туындыларын табамыз.

Табылған өрнектерді жүйе түрінде жазып алып, оның шешімін табамыз
.
Бірінші теңдеуді шешіп, болғанда екенін аламыз.
Табылған шешімдерді бірінші теңдікке қойып, келесі өрнекті табамыз:

нүктесі берілген қисық үшін ерекше нүкте болады. Ерекше нүктенің
түрін анықтаймыз. Ол үшін нүктесіндегі екінші дербес туындыларын
табамыз .
.
мәнін табамыз.
.
Келесі жағдайларды қарастырамыз:
1. Егер . Бұл жағдайда М нүктесі оқшауланған нүкте болады және
бұл нүктеде жанама болмайды.
2. Егер . Онда М нүктесі торапты нүкте болады. Осы М нүктесіндегі
жанаманы табамыз.

3. Егер . Бұл жағдайда М нүктесі бірінші ретті қайту нүктесі
болады. Ендеше осы нүктедегі жанаманы табамыз.

Жауабы: 1) болса, онда – оқшауланған нүкте, жанама
табылмайды;
2) болса, онда – торапты нүкте, жанама
3) болса, онда – бірінші ретті қайту нүктесі, жанама
.

Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№55-59 Келесі теңдеулермен берілген қисықтардың ерекше нүктелерін табу
керек:
№55
№56
№57
№58
№59
№60-61. Келесі қисықтар үшін ерекше нүктелерін тауып, сол ерекше
нүктелердегі жанаманың теңдеуін жазу керек:
№60 (Диоклестің циссоидасы).
№61 (Никомедтің конхоидасы).
№62-97 Келесі теңдеулермен берілген, ерекше нүктелері бар сызықтарды
зерттеп, салу керек:
№62 .
№63
№64 .
№65
№66
№67
№68
№69
№70
№71
№72
№73
№74
№75
№76
№77
№78
№79
№80
№81
№82
№83
№84
№85
№86
№87
№88
№90
№91
№92
№93
№94
№95
№96
№97

1.5 Жазық қисықтар үйірі

Бет айқын емес түрде берілсін.
F(x,y,a)=0 теңдеуін қарастырамыз (1)
(1) теңдеуінің сол жағы үш айнымалыға тәуелді үзіліссіз,
дифференциалданатын функция, жазық қисықтан – ның әр түрлі мәндерінде
( параметр) шексіз көп қисықтар аламыз. Осындай қисықтардың барлық
жиыны параметріне тәуелді қисықтар үйірін құрайды.
Анықтама: Әрбір нүктесінде қандай- да бір қисықтар үйірін жанайтын
қисықты жазық қисықтар үйірінің ораушысы деп атайды.
Анықтама: Ораушының қисықпен жанасу нүктесі қисықтар үйірінің
сипаттамалық нүктесі деп аталады.
- ораушының теңдеуі (2)
Мысал:
сызықтар үйірінің ораушысын табу керек.
Шешуі: Жазық қисықтар үйірінің ораушысының теңдеуін жазамыз:

- ораушының теңдеуі.
Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№98-100 Қисықтар үйірін зерттеп, суретін салу керек.
№98
№99
№100 , мұндағы а) б)
№101-109 Ерекше нүктелері бар қисықтар үйірінің ораушысын табу керек.
№101
№102
№103
№104
№105
№106 .
№107 .
№108
№109
№110. Координаталық осьтерімен ауданы тұрақты S үшбұрыш құрайтын
түзулердің қисықтар үйірінің ораушысын табу керек.
№111 шеңбері Ax+By+C=0 түзулер үйірінің ораушысы болып табылады.
A, B, C коэфиценттері қандай қатынасты қанағаттандыруы керек.

1.6 Доғаның ұзындығы

Қисық х=x(t), y=y(t), z=z(t) параметрлік теңдеулерімен берілсін.
Теорема: Тегіс қисықтың кез-келген доғасының анықталған ұзындығы бар.
Егер қисық (t) теңдеуімен берілсе, онда қисықтың доғасының ұзындығы
формуласымен анықталады,мұндағы: - берілген доғадағы
параметрдің өзгеру аралығы.

Қисықтың әртүрлі берілү тәсілдеріндегі доғаның ұзындығы:

I.

II.

III. жазық қисық параметрлі түрде берілгендегі доғаның
ұзындығы;

IV. жазық қисық болса

Жазық қисықтың қисықтығы келесі формулалар арқылы есептеледі:

Мысалдар:

а) қисығы үшін кез келген және нүктелері арасындағы
доғаның ұзындығын есептеу керек:
Шешуі: Қисық параметрлік түрде берілген. Сондықтан доғаның ұзындығын
есептеу үшін келесі формуланы қолданамыз:
.
туындыларын табамыз

туындыларды квадраттап, шыққан өрнектерді формулаға қоямыз.

Жауабы: .

ә) қисығы үшін және нүктелері арасындағы доғаның
ұзындығын есептеу керек:
Шешуі: Қисық айқын түрде берілген. Сондықтан доғаның ұзындығын есептеу
үшін келесі формуланы қолданамыз:
.
туындысын табамыз:

Табылған туындыны формулаға қойып, доғаның ұзындығын есептейміз.

.
Жауабы: .

Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№112–117 Қисықтың және нүктелерінің арасындағы доғасының
ұзындығын есептеу керек.
№112
№113
№114
№115
№116
№117
№118-123 Келесі қисықтықтардың берілген нүктелерінің арасындағы
доғасының ұзындығын есептеу керек:
№118
№119 Оx осімен қиылысу нүктелері.
№120
№121
№122
№123
№124 Қисықтың ұзындығын табу керек.
№125-132 Келесі қисықтардың қисықтығын табу керек:
№125
№126
№127
№128
№129
№130
№131
№132
№133 түзуінің О(0; 0) нүктесінде қисықтығын есептеу керек.
№134 нүктесіндегі қисығының қисықтығын табу керек.

1.7 Жазық қисықтың эволютасы

Ораушының мысалы ретінде эволютаны қарастырамыз.
Анықтама: Жазық қисықтың нормальдар үйірінің ораушысын оның эволютасы
деп атайды.
(1)

(1) – ораушының теңдеуі немесе эволютаның теңдеуі.
Эволютаның жанама векторы қисықтың нормаль векторы болады.
Қисықтың натуралдық теңдеуі деп келесі түрдегі теңдеулерді атайды:
,
Мысалдар:
а) , қисығының эволютасының теңдеуін құру керек.
Шешуі: Эволютаның теңдеуін құру үшін, және айнымалылары
бойынша бірінші және екінші туындыларын табамыз:
, ,
,.
Келесі өрнектерді табамыз:
және .
Табылған өрнектерді эволютаны табуға арналған формулаға қоямыз:
,
.
Жауабы:

ә) қисығының эволютасының теңдеуін құру керек.
Шешуі: Келесі параметрді енгіземіз: , . Эволютаның теңдеуін
құру үшін, және айнымалылары бойынша бірінші және екінші
туындыларын табамыз:
, ,
, .
Енді и табамыз.
Алғашқы формуланың орнына қойып
, аламыз.

Жауабы:

Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№135-142 Келесі қисықтардың эволютасын сызып, теңдеуін табу керек:
№135
№136
№137
№138 бірден үлкен, натурал сан.
№139 кез келген натурал сан.
№140
№141
№142
№143
№144 .
№145 Эволютаның циклоидасы берілгенінде циклоидаға конгруэнті, екенін
дәлелдеу керек.
№146-150. Қисықтың натурал теңдеуін құру керек:
№146
№147
№148
№149
№150
№151 Келесі қисықтардың эволютасын табу керек:
1) эллипстің;
2) параболаның;
3) астроиданың;
№152 Натуралдық теңдеуі түрінде болатын қисықты табу керек,
мұндағы - қисықтық, ал осы қисықтың доғасының ұзындығы.
№153 түрінде параметрлік теңдеуі бар, қисықтың натуралдық
теңдеуін табу керек.
№154 Натуралдық теңдеуі түрінде болатын қисықты табу керек.
Бұндағы қисықтық, ал осы қисықтың доғасының ұзындығы.

1.8 Қисықтың ілесуші үшжағы. Френе формулалары

Анықтама: Қисықтың Р нүктесі арқылы өтетін және осы нүктедегі жанамаға
перпендикуляр түзу қисықтың нормалі деп аталады.
қисығын қарастырамыз, S – табиғи параметр.
- жанаманың бірлік векторы.
Кеңістіктің кез-келген нүктесі арқылы шексіз көп нормаль өтеді. Осы
жазықтық қисықтың нормаль жазықтығы деп аталады.
Ұзындығы тұрақты вектордың туындысы осы векторға перпендикуляр болады.
, ,
Ендеше - қандай да бір нормальдің бағыттаушы векторы болады.
Анықтама: Бағыттаушы векторы қисықтың радиус векторының табиғи
параметр бойынша екінші туындысы болатын нормаль бас нормаль деп аталады.
Анықтама: Жанасушы жазықтыққа перпендикуляр нормаль бинормаль деп
аталады.

Анықтама: Қисықтың кез-келген жанама түзуі арқылы өтетін жазықтық
жанама жазықтық деп аталады.

Анықтама: Қисықтың бас нормалі арқылы өтетін жанама жазықтық жанасушы
жазықтық деп аталады.

Бас нормаль, бинормаль, нормаль жазықтық, түзетуші жазықтықтың
теңдеулері:
- жанаманың теңдеуі.
немесе
-жанасушы жазықтықтың теңдеуі.
- бинормальдің теңдеуі.
Бас нормаль-бинормаль мен жанамаға перпендикуляр болу керек,ендеше бас
нормальдің бағыттаушы вектор болады.

- бас нормальдің теңдеуі.
- жанасушы жазықтық теңдеуі,
- нормаль жазықтық теңдеуі,
- түзетуші жазықтық теңдеуі.
- нормаль жазықтықтың теңдеуі.
- түзетуші жазықтықтың теңдеуі.
Жанаманың, бас нормальдің және бинормальдің бірлік векторлары келесі
формулалар арқылы анықталады:

- френе формулалары.
Френе формулаларындағы коэффиценттері сәйкесінше қисықтың
қисықтығы және бұралуы деп аталады.

Мысалдар:
а) Қисық параметрлік түрде берілген:
1) нүктесіндегі жанаманың теңдеуін;
2) жазықтығына параллель жанама түзудің теңдеуін құру керек.
Шешуі. Кеңістіктік қисық параметрлік түрде берілгендіктен,
оның жанамасының теңдеуі келесі түрде болады:

1) нүктесіндегі жанаманың теңдеуін жазу үшін, берілген нүктедегі
, , туындылардың мәнін тауып, жанаманың теңдеуіне қоямыз.

нүкте кеңістіктік қисыққа тиісті болғандықтан, оның
координаталары қисықтың теңдеуін қанағаттандырады. Берілген нүктедегі t
параметрінің мәнін табамыз:

Жүйенің шешімі t=-1 болғанда бар, демек, .
Осыдан нүктесіндегі жанаманың теңдеуі келесі түрде болады:

2) жазықтығына параллель жанама түзудің теңдеуін жазу үшін,
жанаманың бағыттаушы векторының координаталарын табамыз: =.
векторы және жазықтығының нормаль векторлары
кеңістіктегі түзу мен жазықтықтың параллельдік белгісі бойынша, өзара
перпендикуляр болады. Демек, олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең. Яғни,
,
Теңдеуді шешіп, t параметрінің мәнін табамыз.
,

болғанда, жанаманың бағыттаушы векторы .
болғанда, жанаманың бағыттаушы векторы . Яғни
нүктесінде жанаманың теңдеуі келесі түрде болады:

болғанда, жанаманың бағыттаушы векторы . Яғни
нүктесінде жанаманың теңдеуі келесі түрде болады:

Жауабы: 1) ; 2) , .

ә) қисығына (3;3;18) нүктесінде жүргізілген нормаль жазықтықтың
теңдеуін жазу керек.
Шешуі. Айнымалы х ті параметр ретінде аламыз, онда қисықтың келесі
түрдегі параметрлік түрде берілуін аламыз:

Нормаль жазықтықтың теңдеуі келесі түрде анықталады: = 0
Туындыларды табамыз:

Берілген (3;3;18), нүктесіндегі t параметрдің мәнін табамыз:

(3;3;18) нүктесіндегі нормаль вектордың координатасы түрде
болады. Ендеше нормаль жазықтықтың теңдеуін келесі түрде аламыз:
= 0,
.
Жауабы:

б) в қисығының (1;1;1) нүктесіндегі бас нормалі мен бинормалінің
теңдеуін табу керек.
Шешуі. y айнымалысын параметр ретінде аламыз, онда қисықтың келесі
түрдегі параметрлің теңдеуін аламыз:

Бас нормаль мен бинормальдың теңдеулерін табу үшін, олардың сәйкес
және бағыттаушы векторларының координаталарын табу керек.
.
Ол үшін, (1;1;1) нүктесіндегі туындыларының мәндерін табу керек.
Алдымен берілген нүктедегі t параметрінің мәнін тауып аламыз:

Яғни .

Бинормальдың бағыттаушы векторы келесі түрде болады:
==12-16-2,
осыдан =.
(1;1;1) нүктесіндегі бинормальдің теңдеуі:

Бас нормальдың бағыттаушы векторы келесі түрде болады:
==31+26-22,
Осыдан .
(1;1;1) нүктесіндегі бас нормальдің теңдеуі:

Жауабы: - бас нормальдің теңдеуі,
- бинормальдың теңдеуі.

в) қисығының нүктесіндегі түзетуші жазықтығының
теңдеуін табу керек.
Шешуі. Түзетуші жазықтықтың теңдеуін табу үшін, берілген нүктедегі
нормаль вектордың координатасын табу керек.
t параметрді анықтап аламыз:

Яғни .

==4-4+2, демек
.
==12+6-12, осыдан
.
нүктесіндегі түзетуші жазықтықтың нормаль векторының
координатасы тең.
Түзетуші жазықтықтың теңдеуі:
= 0,
.
Жауабы:

г) қисығының координаталар бас нүктесіндегі жанама, бас нормаль
және бинормальдың бірлік векторларының координаталарын табу керек.
Шешуі. қисығының жанамасының, бас нормальдың және бинормальдың
бірлік векторларының координаталары сәйкесінше келесі формулалар арқылы
табылады:

мұндағы – жанаманың, бас нормаль мен биномальдың бағыттаушы
векторлары.
векторларының (0;0;0) нүктесіндегі t=0 параметріне сәйкес
координаталарын табамыз:

Демек, ,
Ендеше, .
Бинормаль үшін бағыттаушы вектордың координатасын табамыз:

Яғни , осыдан .
Бас нормаль үшін бағыттаушы вектордың координатасын табамыз:

Яғни , осыдан .
Жауабы: , .

Өз бетімен шығаруға арналған есептер

№155-157 Берілген нүктелердегі келесі қисықтардың жанамаларының
теңдеулерін табу керек:
№155 , мұндағы
№156 , мұндағы
№157 , мұндағы
№158 нүктесіндегі қисығының жанамасының теңдеуін табу
керек. Oz осімен бұл жанама қандай бұрыш жасайды?
№159 Қай нүктеде қисығының жанамасы жазықтығына параллель
болады?
№160 нүктесіндегі винттік сызығының жанама түзуінің және
нормаль жазықтығының теңдеулерін табу керек.
№161 қисығы берілген. нүктесіндегі жанама түзуінің және
нормаль жазықтығының теңдеулерін табу керек. жазықтығымен
жанамаларының қиылысуында қандай сызық пайда болады?
№162 Кез келген нүктесіндегі сызығының жанама түзуінің және
нормаль жазықтығының теңдеулерін табу керек.
№163 Кез келген нүктесіндегі сызығының нормаль жазықтығының
теңдеуін жазу керек.
№164 нүктесі арқылы өтетін қисығының жанасушы
жазықтықтығың теңдеін табу керек.
№165 қисығының нүктесіндегі жанасушы жазықтығының теңдеуін
жазу керек.
№166 сферасымен гиперболалық цилиндрдің М(2, 1, 2)
нүктесіндегі қиылысу түзулерінің жанасушы жазықтығының теңдеуін құрастыру
керек.
№167-168 Келесі қисықтардың берілген нүктелеріндегі бас нормалі мен
бинормалінің теңделерін құру керек:
№167 мұндағы
№168 мұндағы
№169 жазықтығына бинормаль параллель болатын, қисығының
нүктелерін табу керек.
№170 қисығының координаталар басындағы бас нормалі мен
бинормалінің жанамасының бірлік векторын табу керек.
№171-172 Келесі қисықтардың кез келген нүктесіндегі бас нормалі мен
бинормаль жанамасының бірлік векторларын табу керек:
№171
№172
№173 винттік сызығының жанамасының, нормаль жазықтығының,
бинормалінің, жанасушы жазықтықтың, бас нормалі мен түзетуші жазықтығының
теңдеулерін кұрастырыңыз. Бас нормаль винттік сызығымен тік бұрыш жасап
қиылысатының, ал бинормаль онымен тұрақты бұрыш жасайтының дәлелдеңіз.
Френе репер векторларын табыңыз.
№174 винттік сызығының xOy жазықтығымен қиылысу нүктесінен кез
келген М нүктесіне дейінгі доғасының ұзындығын табу керек.
№175 қисығының xOy жазықтығымен қиылысуындағы екі нүктесінің
арасындағы бір орамының дағасының ұзындығын табу керек.
№176 , жазықтықтарының арасындағы сызығының доғасының
ұзындығын табу керек.
№177 тұық қисығының ұзындығы s=10 болатының дәлелдеу керек.
№178 параметрлеріне сәйкес келетін нүктелер арасындағы
қисығының доғасының ұзындығын табу керек.
№179 қисығының нүктесіндегі жанасушы жазықтығының теңдеуін
құрастыру керек.
№180 қисығының нүктесіндегі түзетуші жазықтығының теңдеуін
құрастыру керек.
№181 қисығының нүктесіндегі нормаль жазықтығының теңдеуін
құрастыру керек.
№182 нүктелері арасында орналасқан қисықтың доғасының
ұзындығын есептеу керек.
№183 жазық қисығы берілген . нүктелерінің арасында
орналасқан осы қисықтың доғасының ұзындығын есептеу керек.
184 XOY жазықтығында теңдеуімен қисық берілген. және
нүктелерінің арасында орналасқан осы қисықтың доғасының ұзындығын есептеу
керек.
№185 нүктелерінің арасында орналасқан теңдеулерімен
берілген қисықтың доғасының ұзындығын табу керек.
№186 винттік сызығының кез келген нүктесіндегі жанасушы
жазықтығының теңдеуін құрастыру керек.
№187 қисығының нүктесіндегі векторын табу керек.
№188 қисығының нүктесіндегі векторын табу керек.
№189 қисығының нүктесіндегі векторын табу керек.
№190 қисығының нүктесіндегі К қисықтығын табу керек.
№191 қисығының нүктесіндегі бұралуын табу керек.
№192 қисығы параметрлік түрде берілген. Осы қисыққа: а)
нүктесінде жүргізілген жанаманың теңдеуін
б) жазықтығына параллель жанаманың теңдеуін жазу керек.
№193 қисығына нүктесінде жүргізілген жанасушы жазықтықтың
теңдеуін жазу керек.
№194 қисығына нүктесінде жүргізілген нормаль жазықтықтың
теңдеуін жазу керек.
№195 YOZ жазықтығының барлық нүктелерінде қисықтың бас нормалі
параллель болатының дәлелдеу керек.
№196 қисығының нүктесіндегі бас нормалі мен бинормалінің
теңдеуін табу керек.
№197 қисығына нүктесінде жүргізілген түзетуші жазықтықтың
теңдеуін табу керек.

1.9 Қисықтың қисықтығы мен бұралуы

Анықтама: Қисықтың берілген нүктесіндегі қисықтығы деп,
жанаманың бұрылу бұрышының доғаның ұзындығына қатынасы аталады,
.

Теорема: Екі рет туындысы бар -қисығының әрбір нүктесінде k
қисықтығы бар. k=

Қисықтықты есептеу
- қисықтың қисықтығын есептеу формуласы.
Декарттық координатада:

Егер қисық жазық болса:
Егер қисық айқын түрде берілсе,
немесе

Анықтама: Тегіс қисықтың -дегі бұралуы деп, бинормаль векторының
бұрылу бұрышының нүктеде керетін доғасының ұзындығына қатынасын атайды.

Теорема: Үш рет үзіліссіз дифференциалданатын тегіс қисықтың қисықтығы
нөлден өзгеше әрбір нүктесінде анықталған абсолютті бұралу бар болады.
Абсолютті бұралу Френе формуласындағы 2-ші коэфициенке тең.

Кез келген параметр бойынша бұралуды есептеу:
- бұралуды натурал параметр бойынша есептеу формуласы.

- бұралуды кез келген параметр бойынша есептеу формуласы.

- параметрлік түрде берілген қисық үшін бұралуды есептеу
формуласы.

Мысалдар:
а) M(2, 0, 1) нүктесіндегі , , , қисығының
қисықтығы мен бұралуын табу керек.
Шешуі: t параметрін табамыз:

Қисықтың қисықтығы мен бұралуын табу үшін t параметрі бойынша үшінші
ретке дейінгі туындыларын табамыз:
болғанда ; болғанда ;
... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.