Фурье тригометриялық қатары

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 15 бет
Таңдаулыға:

ҚОЖА АХМЕТ ЯСАУИ АТЫНДАҒЫ ХАЛЫҚАРАЛЫҚ ҚАЗАҚ-ТҮРІК УНИВЕРСИТЕТІ

ИНЖЕНЕРИЯ ФАКУЛЬТЕТІ

КОМПЬЮТЕРЛІК ИНЖЕНЕРИЯ КАФЕДРАСЫ

ЖОБА

Тақырыбы: Фурье қатары туралы жалпы түсінік

Орындады

6B06151- «Ақпараттық жүйелер» бағыты бойынша білім алушылар

Айсултанов Ғалымжан

Төрехан Олжас

Орынбасар Нұрасыл

Қабылдаған

Аға оқытушы Марасулов А.

Кентау 2023

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ3

1. Фурье қатары туралы жалпы түсінік5

1. 1. Фурье интегралы түріндегі сигнал нергиясының таралуы 6

1. 2. Сигналды спектралдық талдауда Фурье қатарының қолданылуы 8

2. Бағдарламаны жазу17

ҚОРЫТЫНДЫ20

ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР МЕН СІЛТЕМЕЛЕР21

КІРІСПЕ

Фурье. Жан Батес Жозеф Фурье- ол Париж Ғалым Академиясының мүшесі және франциялық математика ғылымдарыың докторы. Жан Батес Жозеф Фурьенің алғашқы еңбегінде «Фурье» қатарларын өзі зерттегі үшін өз есімін берді. Фурьенің алғышқы еңбегі математикалык алгебра саласына жатады . Бұл еңбегін математик 1796 жылы математиктер отырысында баяндады. Баяндамасында математикалык және алгебралық тендеулердің түбірлері және матемаикалық деректер, математикалық теңдеулердің түбірлері және математикалық амалдардың толық шешімдері туралы баяндады. Жозеф Фурье - 1818 жылы Ньютонның математикалық теңдеулердің шешу әдісіне туындаған сұрақтарға зерттеп талқылады.

Фурье қатары - [а, b] кесіндісінде ортонормаланған (жүйенің әрбір элементінің бірлік нормасы болатын ортогональды жүйе) φ1(х), φ2(х), . . . , φn(х), . . . функциялар жүйесі бойынша f(x) функциясының Фурье қатарына

Жататын функцияны айтамыз. Мысалдағы:ck Фурье коэффициенттері:

1, consx, sinnx, n=1, 2, …, тригонметриялық жүйесіндегі Фурье қатары:

Мысалдағы a0, ak, bk- Фурье коэффициенттері.

Фурье қатарлары шекералық есептерді шешкенде дифференциалдық теңдеулер теориясында қолданалытан құрал болды. Фурье әдісінің идеясына дифференциалдық теңдеулер үшін және тәуелсіз айнымалылар болатын дифференциалдық теңдеуге келтіреді. Нәтижесінде осы теңдеудің дербес шешімдері пайда болады.

Фурье қатарлары -әртүрлі техникалық мақсаттарға арналған электротехникалық құрылғыларда және энергетикалық өзгертулер кезінде құрылады. Олардың көбісінде электр энергиясы құрылғысында жеке бөлшектері арасында қайта бөлінеді. Электр тізбегі кезінде техникалық тәжірибелік қолданыста өте қажет.

Спектральдық талдау жасау үшің Фурье қатарына қолданылатыны.

Спектр дегеніміз- физикада берілген физикалық шаманың қабылдайтын әр түрлі мәндерінің жиынтығы және жарықтың түрлі түсті сәулелерге ыдырауы. Спектр ұғымы көбінесе тербелес спектрі, дыбыс спектрі, оптикалық спектрлер ж»не тербелмелі процесттерде жиі пайдаланылады. Ядролық физикада массалар спектр - ипмульстер, энергиялар және жылдамдықтар спектері ұғымдары да пайдаланылады. Электромагниттік сәуле шығарудың кезінде бірнеше сәулелер шығарады.

Спектр- әртүрлі заттардың химиялық құрамын олардың сызықтық сәулелену немесе жұту спектрлері бойынша да алынады және біз оны спектрлік талдау деп атаймыз. Спектрлік талдау заттың болмашы кішігірім мөлшерін қажет етеді. Спектрлік талдау астрофизкада да таптырмас бөлігі болды. Физикалық ғалымдар Кирхгоф пнг Бунсен спектрді алғаш рет 1859 жылы спектрлік спектроскоп құрып жасауға тырысты. Оған жарық телескоптың бір бөлігінен бөлінген алынған тар саңылау арқылы өтті. Осылайша спектр пайда болды.

Фурье қатары туралы жалпы түсінік

Фурье тригометриялық қатары. Фурье қатарының мазмұны болып табылады. Фурьенің жалпы қатары туралы түсінік отонормальды жүйе бойынша шексіз өлшемді болатын Евклид кеңістігі арқылы ыдауға байланысты болады. Евклид кеңістігін, яғни тригометриялық жүйенің функциялары тұрғысынан тәуелсіз элементтердің шексіз көп саны бар сызықтық кеңістігіне жатқызамыз.

Электротехника бізге қатысты шамамалардың мысалдарын береді. Қазіргі уақытта мерзімді функциялар жақс зерттелген және техникалыө әртүрлі салаларында кеңінен қолданылады.

T ≠ 0 саны y = f (x) функциясын пероды деп аталады, егер х-Т санының функциясын анықтау аймағынан кез келген х, х+Т аймағында анықтау саласына жатады

f (x) = f (x ± T)

1-формула

Фурье қатары - [а, b] кесіндісінде ортонормаланған φ1(х), φ2(х), . . . , φn(х), . . . функциялар жүйесі бойынша f(x) функциясының Фурье қатары деп

2-формула

қатарын айтады. Мұндағы сk Фурье коэффициенттері:

3-формула

1, cosnx, sinnx, n=1, 2, . . . , тригонометриялық жүйесіндегі Фурье қатары:

4-формула

мұндағы a0, ak, bk - Фурье коэффициенттері.

1. 1. Фурье интегралы түріндегі сигнал нергиясының таралуы

Периодтық емес кернеу u ( t ) Фурье интегралы түрінде берілсін:

1. 5-формула

Берілген кернеу қосылған R =1 Ом резистивтік кедергіде белгіленетін W энергиясын анықтайық. Сонда мынаны аламыз:

1. 6-формула

(1. 1) -да математикадан белгілі Рэле теоремасы қолданылған. Алынған байланыстан U(jω) ² функциясы ағымдағы жиілікте ω жиілік жолағына 1 рад/с келетін сигнал құраушыларының энергиясын сипаттайтындығы белгілі. Бұл функцияны сигнал энергиясының спектральдық тығыздығы деп атайды.

Қорыта келгенде U(jω) ² функциясы бойынша периодтық емес сигналдың энергетикалық манызды бөліктері жайлы сөз қозғауға болады. 1. 1- суретте тікбұрыш пішінді видеоимпульс энергиясының спектральды тығыздығының графигі келтірілген. Ол мына формула бойынша есептелінген:

1. 7-формула

Безымянный

1. 8-графикалық формула

Импульс энергиясының негізгі бөлігі төменгі жиіліктер облысында тұрақтанған. Импульс энергиясының 90%нан көбі негізгі жолаққа келеді деп айтуға болады, яғни ω = 0ден ω = 2 π / t _и ға дейінгі жиілік жолағына. Көбінесе практикалық қосымшаларда бұл жиіліктер жолағы импульс спектрінің ені ретінде қабылданады. Импульс ұзақтығы неғұрлым аз болса, оның спектрінің ені соғұрлым көп болады .

1. 2. Сигналды спектралдық талдауда Фурье қатарының қолданылуы

Берілген әдістің негізі ретінде Фурьенің кері түрлендіруі алынады. Кіріс дабылдың спектральді тығыздығы және сызықтық буынның тарату коэффициенті белгілі болған жағдайда, шығыс дабылының спектральді тығыздығы

1. 9- формула

өрнегіне сәйкес келесідей жазылады:

1. 10-формула

Әрі қарай Фурьенің кері түрлендіруіне сәйкес, шығыс дабылы есептеледі. Ескеретін жайт, Фурье түрлендіруін қолданылу шарты - интеграл астындағы функцияның абсолютті интегралдануы. Бұл шарт берілген әдісте қолданылатын дабылдар класын азайтады.

Фурье түрлендіруінің Лаплас түрлендіруімен байланысы

Талдаудың екі түрі мен сипаттамалардың екі типі. Талдаудың екі түрі - уақыттық және спектральді (басқаша атауы - жиіліктік) - сызықтық динамикалық жүйелерді зерттеуде қолданылады. Сәйкесінше, сипаттамалардың екі типі сызықтық құралдың жұмысын анықтайды, олар: уақыттық және жиіліктік.

Уақыттық зерттеудің негізі болып Лапластың кері және тура түрлендіруі алынсса, ал спектральді зерттеу үшін Фурьенің кері және тура түрлендіруі алынады.

Лапластың түрлендіруіне сәйкес, құрылғының уақыттық сипаттамаларды табуға мүмкіндік беретін беріліс функциясы анықталса, Фурье түрлендіруіне сәйкес, объектінің жиіліктік қасиеттерін анықтайтын тарату коэффициентін табады. Фурье интегралдары Лаплас түрлендіріуінің жеке жағдайы болып саналғандықтан, мен арасында уақыттық сипаттамалардан жиіліктікке және керісінше көшуге мүмкіндік беретін тура байланыс бар.

Сызықтық жүйенің қарапайым буынын - төртұштықты қарастырайық.

Жоғарыда айтылған сипаттамаларды дәл осы төртұштыққа үш тестілік кіріс дабылы барысында анықтайық: синусоидалы, бірлік секіріске және бірлік импульске ие.

беріліс функциясы. Сызықтық төртұштықтың қасиетін n-ші дәрежелі сызықтық дифференциалды теңдеудің көмегімен анықтауға болады.

1. 11-формула

Мұндағы, - шығыс дабылы;

- кіріс.

Сызықтық буындарды операциялық әдіспен талдау барысында Лаплас-Карсон түрлендіруі қолданылады.

Оған сәйкес (1. 11) теңдігі операциялық формада келесі түрге ие болады:

1. 11-формула

Шығыс дабыл бейнесінің кіріс дабыл бейнесіне қатынасына тең болатын құрылғының беріліс функциясы үшін (1. 12) теңдігі келесі түрге ие болады:

1. 12-формула

Немесе алымы мен мен бөлімін көбейткіштерге жіктесек ( )

1. 13-формула

мұндағы , , , - беріліс функциясының нөлдері деп аталатын теңдеуінің түбірлері;

, , , - беріліс функциясының полюстері деп аталатын теңдеудің түбірлері.

Орнықты жүйеде, яғни автотербеліс режиміне өтпейтін жүйеде, операторының барлық полюстері комплексті айнымалының жартыжазықтығының сол жағында орналасады, яғни барлық полюстердің нақты бөлігі , мұнда .

тарату коэффициенті. Фурьенің тура түрлендіруіне сәйкес кіріс және шығыс дабылдарының спектральді тығыздықтарын анықтайық.

Бұл спектральді тығыздықтардың қатынасы буынның тарату коэффициентінің дәл өзі

1. 14-формула

шамасын Фурье интегралы Лаплас түрлендіруінің жеке жағдайы екендігін негізге ала отырып, барысында қарапайымырақ жолмен табуға болады.

Сондықтан алмастыру арқылы беріліс функциясы (1. 14) арқылы буынды тарату коэффициентінің комплексті шамасын аламыз

1. 15-формула

(1. 15) өрнегін келесі түрге келтірейік:

1. 16-формула

мұндағы тарату коэффициентінің модулі келесі формула бойынша анықталады

1. 17-формула

тарарту коэффициентінің фазасы

1. 18-формула

мұндағы - тарату коэффициентінің нақты және жорамал бөліктері.

Тарату коэффициентінің көмегімен сызықтық буынның жиіліктік және уақыттық сипаттамаларын анықтауға болады.

Амплитудалы-жиіліктік сипаттама (АЖС) дегеніміз шығыс дабыл амплитудасының тұрақты амлитуда мәніне ие кіріс дабылының жиілігіне тәуелділігі. АЖС (1. 18) өрнегіне сәйкес анықталған тарату коэффициентінің комплексті шамасының модулі болып табылады.

1. 19-формула

Фаза-жиіліктік сипаттама (ФЖС) дегеніміз шығыс дабыл фазасының тұрақты амплитудаға ие кіріс дабыл фазасына тәуелділігі. ФЖС - бұл (1. 20) өрнегіне сәйкес анықталған тарату коэффициентінің комплексті шамасының аргументі.

Тәжірибе жүзінде АЖС мен ФЖС анықтау кезінде кіріс дабылы гармоникалық дабыл ретінде алынады.

Ауысу сипаттамасы дегеніміз кіріс дабылы бірлік функция - кернеу секірісі - ретінде берілгендегі шығыс дабылының тәуелділігі:

1. 20-формула

Бірлік функцияның бейнесі . басқа, барлық жиіліктері үшін спектральді функция . Ал болғанда, , яғни дельта-функциясына тең.

Уақыттық сипаттама үшін тәуелділікті табуды шығыс дабылдың бейнесі арқылы жүзеге асыруға болады. Лаплас-карсон түрлендіруіне сәйкес, бірлік функцияның бейнесі болғандықтан, ауысу сипаттамасы - беріліс функциясының түпнұсқасы: функцияның бейнесі арқылы түпнұсқаны табу жіктеу формуласымен операциялық есептеулер жүргізу арқылы жүзеге асады. Ол үшін беріліс функциясының полюстерін, (1, 21) өрнегіне сәйкес теңдеудің нақты және комплексті түбірлерін табу қажет.

1. 21-формула

Нақты коэффициенттері бар полиномның (1. 21) нақты және комплексті түбірлерін табудың бірнеше сандық әдістері белгілі. Олардың бірі Ньютон-Рафсон әдісі. Осы тәріздес есептерді Mathcad бағдарламасының математикалық пакеті арқылы жүзеге асыруға болады.

Ауысу сипаттамасын есептеудің басқа әдісі беріліс функциясының (1. 22) өрнегінен шығады және полиномның (1. 23) түбірлерін алдын-ала табуды талап етпейді.

Тізбектің орнықтылық шарттарын жүргізу барысында және болғандағы Фурье интегралының Лаплас түрлендіруімен байланысына және интеграл асты функциясының интегралдану шарттарына қайта негізделе отырып, тізбектің ауыспалы сипаттамасы үшін дәл сол объектінің (3. 7) тарату коэффициентінің нақты бөлігі арқылы берілген келесі өрнекке қол жетуізуге болады.

1. 21-формула

Импульсті сипаттама дегеніміз бірлік импульс немесе бірлік функциясының (3. 11) туындысы - дельта-функция түріндегі кіріс әсеріне объектінің үндеуі

1. 22-формула

Бірлік импульстің амплитудасы , ұзақтығы , импульстің ауланы . Лапла-Карсон түрлендіруіне сәйкес бірлік импульстің бейнесі . Бірлік функция мен бірлік импульстің бейнелері қатынасымен байланысқан. Тікбұрышты импульстің спектральді функциясының талдауынан ұзақтық кезінде спектрдің ені шығады. Сондықтан бірлік импульстің спектральді функциясы барлық жиілікте , (1. 3. 5) өрнегін ескере отырып, жазуға мүмкіндік береді. Сонымен қоса, импульсті сипаттама Фурьенің кері түрлендіруіне сәйкес, интеграл асты функциясының интегралдану шартымен келесіге тең

1. 22-формула

Мұндағы,

1. 23-формула

Интегралдаушы типті тізбек үшін импульсті сипаттаманы беріліс коэффициентінің нақты бөлігі белгілі болғанда, анықтауға мүмкіндік бар. Мұнда аталған тізбек дегеніміз полиномның, яғни көпмүшенің алымындағы дәреже бөлімінің дәрежесінен кем дегенде 1 дәрежеге артық болатын, ал амплитудалы-жиіліктік сипаттама жоғарғы жиілік аймағында нөлге дейін төмендейтін тізбек. Мұндай тізбектер үшін

1. 23-формула

өрнегін ескерсек, импульсті сипаттама - бұл ауысу сипаттамасының туындысы.

Сигналды спектралдық

Жоғарыда айтылғандардың мәліметтерді жіберуге қандай қатысы бар екенін түсіну үшін “b” символды ASCII екнін кодты жіберу жөнінде нақты мысал арқылы қарастырамыз. Бұл үшін 8 бит қажет (яғни 1 байт) мақсатымыз 01100010 битті жіберу. Анализ нәтижесінде бұл сигналдын коэффицентінің мәнін табамыз:

Орта квадратты амплитуда бірінші алдынғы гормоника сазанына арналады (2. 1) a. оң жақтағы. Бұл мән көрсетілген желіде жіберілетін пропорционалды энергияның квадраты болып табылады.

Ешбір канал сигналдарды қуаттылығын жоғалтпай жібер алмайды. Фурье қатарының барлық гармоникалары тең дәрежеде жібергенде азаймайды, онда сигнал амплитуда бойынша азаятын еді, бірақ таусылмайды ( яғни онда тікбұрышты форма болатын еді 2. 1, а) өкнішке орай Фурье қатарының гармоникасы барлық каналдың байланысын азайтады әртүрлі дәрежеде, сол себептен жіберілетін сигналды баяулатады. Ереже бойынша амплитудалар жиілік диапазоны 0 ден f азаймай жіберілінеді ( секундтпен немесе герцпен (Гц) өлшенеді) сонымен жоғары желідегі сигналдың күші азаяды. Бұл диапазонның желісі жіберу жолы деп аталады. Тәжірибе жүзінде тоқтау (кесу) анағұрлым қатты болмайтындықтан жіберу жолынан 50% аспайтын желілер күштін жоғалуымен болады.

Жіберу жолының ортасы мәліметтерді жіберудің физикалық сипаты әдетте конструкцияның ұзындығы мен жалпақтығына байланысты болады. Кейде жіберу жолын әдейі азайту үшін абоненттерге мүмкін жеңіл қолда болатын арнайы құрылғы фильтр болады. Мысалы, кабильде телефон үшін қолданатын аз қашықтықтағы жіберу жолы 1 МГц бар, бірақта телефон компаниялары желісін фильтр арқылы оны кеседі тұтынушыларға тек 3100 Гц ті береді.

Мұндай жіберу жолы арқылы мәліметтерді анық жіберуге болады, өйткені әрбір абоненттің ресурстарының азаюы мен жалпы жүйенің тиімділігі артады.

Енді 2. 1 а) суретіндей сигналдың қандай екендігін қарастырайық егер тек ең төменгі желілер ғана өтетіндей болса жіберу жолы (яғни g(t) функциясы аппроксимировталған тек алдыңғы бірінші қатардағы теңдеудегі болса (2. 1) 2. 1, б суретінде каналдың шығатын жерінде сигналы көрсетілген, тек бірінші смигналдың гармоникасын өткізеді. Ұқсастығы бойынша 2. 1 в-g спектрды көрсетеді де сигналдарды қайта қалыптастырады кең жіберу жолы бар каналдар үшін

2. Бағдарламаны жазу

Фурье қатарына бағдарлама жазу

№1

% Сигнал параметрлерін орнатыңыз

sigma = 2; % орташа квадраттық ауытқу

L = 20; % кеңістіктік интервалдың ұзындығы

N = 512; % интервалдағы нүктелер саны

% Тор жасаңыз

x = linspace(-L/2, L/2, N) ;

y = linspace(-L/2, L/2, N) ;

z = linspace(-L/2, L/2, N) ;

[X, Y, Z] = meshgrid(x, y, z) ;