Кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын математиканың арнайы бөлімі зерттейді ықтималдық теориясы

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 25 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасының
Білім және ғылым министрлігі

Академик Е.А.Бөкетов атындағы
Қарағанды университеті

А.Н.Аппақова

Мектептегі алгебра курсында Ықтималдықтар теориясын оқудың әдістемелері (7-9 сынып)

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

6B01502-Математика-Информатика
Білім беру бағдарламасы

Қарағанды қ.
2022

Қазақстан Республикасының
Білім және ғылым министрлігі

Академик Е.А.Бөкетов атындағы
Қарағанды университеті

Қорғауға жіберілді
Кафедра атауы Математика және
информатиканы оқыту әдістемесі
Кафедра меңгерушісі Д.Р.Бейсенова
_______________
қолы
6B01502-Математика-Информатика білім беру
бағдарламасы бойынша
Мектептегі алгебра курсында Ықтималдықтар теориясын оқудың әдістемелері (7-9 сынып) тақырыбындағы
КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Ізделінетін дәреже: бакалавр
Орындаған: А.Н.Аппақова_____________________

Ғылыми жетекшісі: ф.- м.ғ.к., қауымдастырылған профессор Д.М.Ахманов ___________________

Қарағанды қ.
2022

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1.Негізгі ұғымдар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1.1 Комбинаторика элементтері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1.2 Ықтималдықтартеориясы ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2.Мектептегі алгебра курсында Ықтималдықтар теориясын оқудың әдістемелік аспектілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.1Ықтималдықтар теориясы тақырыбы бойынша алгебра сабағының үзіндісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Кіріспе

Жақсарту мәселесі математикалық білім беру отандық мектепте 20 ғасырдың 60-жылдарының басында көрнекті математиктер Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, И.И. Кикоин, А.И. Маркушевич, А.Я. Хинчин. B.V. Гнеденко былай деп жазды: Мектептің математикалық оқу бағдарламасына ықтималдық-статистикалық білім элементтерін енгізу мәселесі әлдеқашан кешіктірілген және одан әрі кешіктіруге жол бермейді. Қатаң детерминация заңдары, оларды зерттеу бойынша біздің мектептегі білім, тек бір жақты ғана қоршаған дүниенің мәнін ашады. Шындықтың көптеген құбылыстарының кездейсоқ табиғаты біздің мектеп оқушыларының назарынан тыс қалады. Соның салдарынан олардың көптеген табиғи және әлеуметтік процестердің табиғаты туралы ойлары біржақты, адекватты емес қазіргі ғылым. Оларды таныстыру керек статистикалық заңдар заттар мен құбылыстардың болмысының көп қырлы байланыстарын ашу.
Левин былай деп жазды: қызметіне қажетті статистикалық мәдениетті тәрбиелеу керек ерте жылдар. Дамыған елдерде бұған көп көңіл бөлінуі кездейсоқ емес: студенттер ықтималдықтар теориясының элементтерімен және статистикамен алғашқы кезден-ақ танысады. мектеп жылдары және оқу барысында олар күнделікті өмірде жиі кездесетін жағдайларды талдаудың ықтималды-статистикалық тәсілдерін үйренеді.
1980 жылдардағы реформаға қарай ықтималдықтар теориясы мен статистиканың элементтері бейіндік сыныптардың, атап айтқанда физика, математика және жаратылыстану ғылымдарының бағдарламаларына, сонымен қатар математиканы оқытудың факультативтік курсына енгізілді.
Оқушылардың ойлау қабілетінің жеке қасиеттерін дамытудың өзектілігін ескере отырып, авторлық әзірлемелер пайда болады факультативтік курстар ықтималдық теориясы бойынша. Бұған мысал ретінде Н.Н. Авдеева 7 және 9-сыныптар статистикасы бойынша және орта мектептің 10-сыныбына арналған математикалық статистика элементтері курсы. 10-сыныпта тестілер өткізілді, оның нәтижелері, сонымен қатар мұғалімдердің бақылаулары мен оқушылардан сауалнамалар ұсынылған материалдың оқушыларға жеткілікті қолжетімді екенін көрсетті, олардың үлкен қызығушылық көрсету арнайы қолданбағылым мен техниканың практикалық мәселелерін шешуге арналған математика.
Ықтималдықтар теориясының элементтерін енгізу процесі міндетті курс мектеп математикасы өте жақсы болып шықты қиын жұмыс. Ықтималдық теориясының принциптерін меңгеру үшін қатаң шартты құбылыстардың заңдылықтарымен таныстыру шеңберінде мектеп оқушыларының дәстүрлі білім беру кезінде дамытатындарынан түбегейлі ерекшеленетін идеялардың, әдеттердің алдын ала қоры қажет деген пікір бар. Сондықтан бірқатар мұғалімдер - математиктердің пікірінше, ықтималдық теориясы мектеп математикасына келесідей енуі керек. Бұл бізді қоршаған дүние құбылыстарының ықтималдық сипаты туралы идеялардың қалыптасуын, жүйеленуін және дамуын қамтамасыз ететін еді.
Ықтималдықтар теориясын зерттеу мектеп бағдарламасына жақында енгізілгендіктен, қазіргі уақытта бұл материалды мектеп оқулықтарына енгізуде қиындықтар туындауда. Сондай-ақ, бұл курстың ерекшелігіне байланысты саны әдістемелік әдебиеттер сонымен қатар әлі кішкентай. Әдебиеттердің басым көпшілігінде келтірілген тәсілдерге сәйкес, бұл тақырыпты зерделеуде студенттердің практикалық тәжірибесі ең бастысы болуы керек деп есептеледі, сондықтан оқуды табуды қажет ететін сұрақтардан бастаған жөн нақты жағдайдың фонында қойылған мәселенің шешімі. Оқу процесінде барлық теоремаларды дәлелдеуге болмайды, өйткені бұған көп уақыт жұмсалады, ал курстың міндеті пайдалы дағдыларды қалыптастыру болып табылады, ал теоремаларды дәлелдеу қабілеті мұндай дағдыларға қолданылмайды.
Ықтималдық теориясының пайда болуы сұраққа жауап іздеуде пайда болды: сол немесе басқа оқиға бірдей жағдайларда болатын кездейсоқ нәтижелермен сынақтардың үлкен сериясында қаншалықты жиі орын алады?
Оқиғаның болу мүмкіндігін бағалай отырып, біз жиі айтамыз: Бұл өте мүмкін, бұл міндетті түрде болады, бұл екіталай, бұл ешқашан болмайды. Лотерея билетін сатып алу арқылы сіз ұта аласыз, бірақ ұта алмайсыз; ертең математика сабағында сізді тақтаға шақыруы да, шақырмауы да мүмкін; келесі сайлауда билеуші партия жеңіске жетуі де мүмкін.
Қарапайым мысалды қарастырайық.Қанша адам болуы керек деп ойлайсыз белгілі бір топ кем дегенде екеуінің туған күні 100% ықтималдығымен бірдей болуы үшін (туған жылын есепке алмағанда күн мен айды білдіреді)? Бұл дегенді білдірмейді, яғни. 365 күннен тұратын жыл. Жауап анық - топта 366 адам болуы керек. Енді тағы бір сұрақ: 99,9% ықтималдықпен туған күні бірдей жұпты табу үшін қанша адам болуы керек? Бір қарағанда бәрі қарапайым - 364 адам. Негізі 68 адам жеткілікті!
Міне, осындай қызықты есептеулерді жүргізу үшін және өзіміз үшін әдеттен тыс жаңалықтар ашамыз, біз математиканың Ықтималдықтар теориясы бөлімін оқимыз.
Курстық жұмыстың мақсаты - мектептегі математика курсында ықтималдық теориясының негіздерін зерттеу. Осы мақсатқа жету үшін келесі міндеттер тұжырымдалды:
Зерттеудің әдіснамалық аспектілерін қарастырамыз Мектептегі алгебра курсында Ықтималдықтар теориясы.
Мектеп курсында Ықтималдықтар теориясы бойынша негізгі анықтамалармен және теоремалармен танысу.
Курстық жұмыстың тақырыбы бойынша сабақтың үзіндісін әзірлеу.

1-тарау: Негізгі ұғымдар
1.1 Комбинаторика элементтері
Курсты оқу комбинаторика негіздерін оқудан басталуы керек, ал ықтималдық теориясын параллельді түрде оқу керек, өйткені ықтималдықтарды есептеуде комбинаторика қолданылады.Комбинаторика әдістері физикада, химияда, биологияда, экономикада және білімнің басқа салаларында кеңінен қолданылады.
Ғылымда және тәжірибеде жиі проблемалар туындайды, оларды шешу үшін элементтердің шектеулі санының әртүрлі комбинацияларын жасауға тура келеді және комбинациялар санын есептеңіз. Мұндай есептер комбинаторлық есептер, ал математиканың осы есептерді шығаратын бөлімі деп аталады комбинаторика.
Комбинаторика - ақырлы жиындардағы элементтер санын санау тәсілдерін зерттейтін ғылым. Ықтималдықтарды есептеу үшін комбинаторика формулалары қолданылады.
n элементтен тұратын кейбір Х жиынын қарастырайық. Біз осы жиынтықтан әртүрлі реттелген ішкі жиындарды таңдаймыз k элементтердің Y.
X жиынының n элементінің k элементпен орналасуы Х жиынының элементтерінің кез келген реттелген жиыны () болып табылады.
Егер Х-тен Y жиынының элементтерін таңдау қайтарумен орын алса, яғн Х жиынының әрбір элементін бірнеше рет таңдауға болады, содан кейін n-ден k-ге дейінгі орналасулар саны формула бойынша табылады.
Егер таңдау қайтарусыз жасалса, яғни Х жиынының әрбір элементін тек бір рет таңдауға болады, содан кейін n-ден k-ге дейінгі орналастырулар саны белгіленеді және теңдікпен анықталады. n=k үшін орналастырудың ерекше жағдайы шақырылады ауыстыру n элементтен n элементтің барлық алмастыруларының саны. Енді ретсіз ішкі жиын X жиынынан таңдалсын (ішкі жиындағы элементтердің реті маңызды емес) n элементті k арқылы біріктіру бір-бірінен кемінде бір элементпен ерекшеленетін k элементтердің ішкі жиындары болып табылады n-ден k-ге дейінгі барлық комбинациялардың жалпы саны белгіленеді және оған тең
Жарамды теңдіктер: ,
Комбинаторика есептерді шығарғанда келесі ережелерді қолданады:
Қосынды ережесі. Егер қандай да бір А объектісін объектілер жиынтығынан m тәсілмен, ал басқа В нысанын n тәсілмен таңдауға болатын болса, онда А немесе В m + n тәсілмен таңдалуы мүмкін.
Өнім ережесі. Егер А объектісін объектілер жиынынан m тәсілмен таңдауға болатын болса және әрбір осындай таңдаудан кейін В объектісін n тәсілмен таңдауға болатын болса, онда көрсетілген ретпен объектілер жұбын (A, B) m * n арқылы таңдауға болады. жолдары.
1.2 Ықтималдық теориясы
Күнделікті өмірде, практикалық және ғылыми қызмет біз белгілі бір құбылыстарды жиі байқаймыз, белгілі бір эксперименттер жүргіземіз.
Бақылау немесе эксперимент кезінде орын алуы немесе болмауы мүмкін оқиға деп аталады кездейсоқ оқиға. Мысалы, шам төбенің астында ілулі тұр - оның қашан жанып кететінін ешкім білмейді.Кездейсоқ оқиға- өте көп кездейсоқ шамалардың әрекетінің салдары бар. Бұл себептердің барлығының нәтижеге әсерін есепке алу мүмкін емес, өйткені олардың саны көп және әрекет ету заңдылықтары белгісіз.Кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын математиканың арнайы бөлімі зерттейді ықтималдық теориясы.
Ықтималдықтар теориясы өзіне бір оқиғаның болатынын немесе болмайтынын болжау міндетін қоймайды - ол жай ғана мұны істей алмайды. Егер біз сөйлесеміз жаппай біртекті кездейсоқ оқиғалар туралы, содан кейін олар белгілі бір заңдарға, атап айтқанда, ықтималдық заңдарға бағынады.
Алдымен оқиғалардың классификациясын қарастырайық. Оқиғаларды ажырату бірлескен және буынсыз. Оқиғалар біріккен деп аталады, егер олардың біреуінің болуы екіншісінің болуын жоққа шығармаса. Әйтпесе, оқиғалар үйлесімсіз деп аталады. Мысалы, ойын тастарын екі рет лақтырыңыз. А оқиғасы - бірінші өлшегіште үш ұпай, В оқиғасы - екінші өлкеде үш ұпай. A және B - бірлескен оқиғалар. Дүкенге бірдей стильдегі және өлшемдегі, бірақ басқа түсті аяқ киім партиясын алуға рұқсат етіңіз. А оқиғасы - кездейсоқ алынған қорап қара аяқ киіммен, В оқиғасы - қорапта аяқ киіммен болады қоңыр, A және B үйлесімді емес оқиғалар.
Оқиға деп аталады шынайы егер ол берілген тәжірибе жағдайында міндетті түрде орын алса.
Оқиға деп аталады мүмкін емес егер ол берілген тәжірибе жағдайында орын алмаса. Мысалы, стандартты бөлікті стандартты бөлшектер партиясынан алу оқиғасы белгілі, бірақ стандартты емес бөлік мүмкін емес.
Оқиға деп аталады мүмкін немесе кездейсоқ , егер тәжірибе нәтижесінде ол пайда болуы немесе болмауы мүмкін. Кездейсоқ оқиғаның мысалы ретінде дайын өнім партиясын бақылау кезінде өнім ақауларының анықталуы, өңделетін өнім мен берілген мөлшерінің сәйкес келмеуі, автоматтандырылған басқару жүйесінің буындарының бірінің істен шығуы жатады.
Оқиғалар деп аталады бірдей мүмкін егер сынақ шарттарына сәйкес осы оқиғалардың ешқайсысы басқаларына қарағанда объективті түрде ықтималдығы жоғары болмаса. Мысалы, дүкенге бірнеше өндіруші шамдар (және бірдей мөлшерде) жеткізілді делік. Осы зауыттардың кез келгенінен шам сатып алудан тұратын оқиғалар бірдей ықтимал.
Маңызды ұғым болып табылады оқиғалардың толық тобы. Берілген эксперименттегі бірнеше оқиға толық топты құрайды, егер олардың кем дегенде біреуі тәжірибе нәтижесінде міндетті түрде пайда болса. Мысалы, урнада он шар бар, оның алтауы қызыл, төртеуі ақ, бесеуі нөмірленген. А - бір суретте қызыл шардың пайда болуы, В - ақ шардың пайда болуы, С - саны бар шардың пайда болуы. A, B, C оқиғалары бірлескен оқиғалардың толық тобын құрайды.
Оқиға болуы мүмкін қарама-қарсы немесе қосымша . Қарама-қарсы оқиға деп, егер қандай да бір А оқиғасы орын алмаған болса, міндетті түрде болуы керек оқиға түсініледі.Қарама-қарсы оқиғалар үйлеспейді және жалғыз мүмкін. Олар оқиғалардың толық тобын құрайды. Мысалы, егер өндірілген заттардың партиясы жақсы және ақаулы элементтерден тұратын болса, онда бір элементті алып тастағанда, ол жақсы - А оқиғасы немесе ақаулы - оқиға болып шығуы мүмкін.
Мысал қарастырайық. Олар сүйек лақтырады (яғни кішкентай текше, оның бүйірлерінде 1, 2, 3, 4, 5, 6 нүктелері қағылды). Оған сүйек лақтырылғанда жоғарғы бет бір ұпай, екі ұпай, үш ұпай, т.б. түсуі мүмкін. Бұл нәтижелердің әрқайсысы кездейсоқ.
Мұндай сынақ жүргізілді. Сүйектер 100 рет лақтырылды және 6 ұпай өліге түсті оқиғасының неше рет болғанын бақылады. Бұл эксперименттер сериясында алтылық 9 рет құлағаны белгілі болды. Қарастырылып отырған оқиғаның осы сынақта қанша рет болғанын көрсететін 9 саны осы оқиғаның жиілігі және жиіліктің қатынасы деп аталады. жалпы саны тең сынақтар осы оқиғаның салыстырмалы жиілігі деп аталады.
Тұтастай алғанда, белгілі бір сынақ бірдей жағдайларда қайталансын және бір уақытта, бізді қызықтыратын оқиға орын алды ма, жоқ па, ол белгіленсін А Оқиғаның ықтималдығы үлкен P әрпімен белгіленеді. Сонда А оқиғасының ықтималдығы P(A) деп белгіленеді.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы:
Оқиға ықтималдығы А істер санының қатынасына тең жалпы ішінен оған қолайлы n жалғыз мүмкін, бірдей мүмкін және санға сәйкес келмейтін жағдайлары, яғни
Сондықтан ықтималдықты табу шаралар қажет:
1. әртүрлі сынақ нәтижелерін қарастыру;
2. бірегей, бірдей мүмкін және үйлеспейтін жағдайлардың жиынтығын табу, олардың жалпы санын есептеу n , жағдайлар саны m бұл оқиғаға қолайлы;
3. формуланы есептеу.
Формуладан оқиғаның ықтималдығы теріс емес сан болатыны және жағдайлардың жалпы санынан қолайлы санының үлесіне байланысты нөлден бірге дейін өзгеруі мүмкін екендігі шығады:
Тағы бір мысалды қарастырайық. Қорапта 10 шар бар. Оның 3-уі қызыл, 2-уі жасыл, қалғаны ақ. Кездейсоқ тартылған доптың қызыл, жасыл немесе ақ болу ықтималдығын табыңыз. Қызыл, жасыл және сыртқы түрі ақ шарлар оқиғалардың толық тобын құрайды. Қызыл шардың пайда болуын - А оқиғасын, жасылдың пайда болуын - В оқиғасын, ақ түстің пайда болуын - С оқиғасын белгілейік. Содан кейін жоғарыда жазылған формулаларға сәйкес мынаны аламыз:
Екі жұптық үйлесімсіз оқиғалардың біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең екенін ескеріңіз.
Салыстырмалы жиілік А оқиғасы - нәтижесінде А оқиғасы болған эксперименттер санының эксперименттердің жалпы санына қатынасы. Салыстырмалы жиілік пен ықтималдық арасындағы айырмашылық ықтималдық тәжірибелердің тікелей өнімінсіз есептелетіндігінде, ал салыстырмалы жиілік - тәжірибеден кейін.
Сонымен, жоғарыда келтірілген мысалда қораптан кездейсоқ 5 шар шығарылып, оның 2-і қызыл болып шықса, қызыл шардың пайда болуының салыстырмалы жиілігі:
Көріп отырғанымыздай, бұл мән табылған ықтималдықпен сәйкес келмейді. Жеткілікті кезде үлкен сандар жүргізілген тәжірибелерде салыстырмалы жиілік аз өзгереді, бір санның айналасында ауытқиды. Бұл санды оқиғаның ықтималдығы ретінде алуға болады геометриялық ықтималдық. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы элементар нәтижелер санын болжайды әрине бұл да оның практикада қолданылуын шектейді.
Сынақ болған жағдайда шексіз нәтижелер саны, геометриялық ықтималдық анықтамасын қолданыңыз - аймақтағы нүктені соғу. Анықтау кезінде геометриялық ықтималдықтар аумақтың бар екенін болжайды және оның ауданы кішірек М ауданына кездейсоқ нүктені лақтыру (бұл аймақтағы барлық нүктелерді білдіреді кездейсоқ лақтырылған нүктеге соғуға қатысты тең).
Оқиға А - аймаққа лақтырылған нүктенің соққысы М. Аудан М сәтті оқиға деп атайды А.
Аймақтың кез келген бөлігіне соғу ықтималдығы Н осы бөліктің өлшеміне пропорционалды және оның орналасуы мен пішініне байланысты емес.
Геометриялық ықтималдықпен қамтылған аудан болуы мүмкін:
1. сегмент (өлшем - ұзындық)
2. геометриялық фигура жазықтықта (аудан - өлшем)
3. геометриялық дене кеңістікте (өлшем - көлем)

Істің геометриялық ықтималдығын анықтайық жалпақ фигура.
Аудан М болсын аймақтың бір бөлігі болып табылады. Оқиға А алаңға кездейсоқ лақтырылған соққыдан тұрады N нүктесі М аймағына. геометриялық ықтималдықоқиғалар А ауданы қатынасы деп аталады М аудан аймағына N :
Бұл жағдайда кездейсоқ лақтырылған нүктенің аймақтың шекарасына соғу ықтималдығы нөлге тең деп есептеледі.
Мысал қарастырайық: сағат он екі циферблаты бар механикалық сағат сынып, жұмысын тоқтатты. Сағат тілі 8-де емес, сағат 5-те қатып қалу ықтималдығын табыңыз.
Шешім. Нәтижелердің саны шексіз, біз геометриялық ықтималдық анықтамасын қолданамыз. Сағат 5 пен 8 арасындағы сектор бүкіл теру аймағының бөлігі болып табылады сондықтан .
Оқиғалар бойынша операциялар:
А және В оқиғалары деп аталады тең егер А оқиғасының орын алуы В оқиғасының туындауына әкеп соқтырса және керісінше. Одақ немесе сома оқиға А оқиғасы деп аталады, бұл оқиғалардың ең болмағанда біреуінің болуын білдіреді. Қиылысу немесе өнім оқиғалар барлық оқиғаларды жүзеге асырудан тұратын А оқиғасы деп аталады.
A =∩
айырмашылық А және В оқиғалары С оқиғасы деп аталады, бұл А оқиғасы орын алады, бірақ В оқиғасы болмайды.
C=A\B
Мысалы:
A+B - 2 орама; 4; 6 немесе 3 ұпай
A ∙ B - 6 ұпай түсіп қалды
А-Б - 2 және 4 ұпай төмендетті
Қосымша А оқиғасы оқиға деп аталады, яғни А оқиғасы болмайды.
қарапайым нәтижелер тәжірибе бірін-бірі жоққа шығаратын тәжірибе нәтижелері деп аталады және тәжірибе нәтижесінде осы оқиғалардың біреуі орын алады, сонымен қатар А оқиғасы қандай болса да, келген элементар нәтижеге сәйкес бұл оқиғаның орын алуын немесе бағалауға болады пайда болмайды. Тәжірибенің барлық элементарлық нәтижелерінің жиынтығы деп аталады элементар оқиғалар кеңістігі. Ықтималдықтарды қосу және көбейту.
А оқиғасы деп аталады ерекше жағдай В оқиғасы, егер А болған кезде, В да болады.Бұл А B-ның ерекше жағдайы, біз A ⊂ B деп жазамыз.
А және В оқиғалары деп аталадытең егер әрқайсысы екіншісінің ерекше жағдайы болса. А және В оқиғаларының теңдігі А = В деп жазылған. А және В оқиғалары А + В оқиғасы деп аталады, ол оқиғалардың ең болмағанда біреуі орын алған жағдайда ғана болады: А немесе В.
Қосу теоремасы 1. Екі үйлесімсіз оқиғаның біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең.
P=P+P
Кездейсоқ оқиғалар үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құраса, онда теңдік
P + P +...+ P =1
жұмыс А және В оқиғалары АВ оқиғасы деп аталады, ол тек және егер екі оқиға бір уақытта орын алса: А және В кездейсоқ A және B оқиғалары, егер осы оқиғалардың екеуі де берілген сынақ кезінде орын алуы мүмкін болса, бірлескен деп аталады.
Қосу теоремасы 2. Бірлескен оқиғалар қосындысының ықтималдығы формула бойынша есептеледі
P=P+P-P
Қосу теоремасы бойынша есептер мысалдары. Геометрия емтиханында студент тізімнен бір сұрақ алады емтихан сұрақтары. Бұл сызылған дөңгелек сұрақ болу ықтималдығы 0,2. Бұл параллелограмм сұрағы болу ықтималдығы 0,15. Бұл екі тақырыпқа бір мезгілде қатысты сұрақтар жоқ. Студенттің емтиханда осы екі тақырыптың біреуі бойынша сұрақ алу ықтималдығын табыңыз.
Шешім. Екі үйлесімсіз оқиғаның қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең: 0,2 + 0,15 = 0,35.
Жауабы: 0,35.
А және В оқиғаларының оқиғалары деп аталады тәуелсіз егер олардың біреуінің пайда болуы екіншісінің пайда болу ықтималдығын өзгертпесе. А оқиғасы деп аталады тәуелді В оқиғасынан, егер А оқиғасының ықтималдығы В оқиғасының орын алғанына немесе болмағанына байланысты өзгерсе.
Шартты ықтималдық P(AB ) А оқиғасы В оқиғасы болған жағдайда есептелген ықтималдық деп аталады. Сол сияқты арқылы P(BA ) белгіленеді шартты ықтималдық А оқиғасы болған жағдайда, В оқиғасы.
Анықтама бойынша тәуелсіз оқиғалар үшін
P(AB) = P(A); P(BA) = P(B)
Тәуелді оқиғалар үшін көбейту теоремасы
Тәуелді оқиғалардың туындысының ықтималдығы бірінші орын алған жағдайда олардың біреуінің ықтималдығының екіншісінің шартты ықтималдығына көбейтіндісіне тең:
P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(BA) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(AB)
Теореманың салдары:
Тәуелсіз оқиғалар үшін көбейту теоремасы. Тәуелсіз оқиғалардың пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең:
P (A ∙ B ) = P (A ) ∙ P (B )
А және В тәуелсіз болса, (;), (; В), (А;) жұптары да тәуелсіз болады.
Дүкенде екі төлем автоматы бар. Олардың әрқайсысы басқа автоматқа қарамастан 0,05 ықтималдықпен ақаулы болуы мүмкін. Ең болмағанда бір автоматтың жұмысқа жарамды болу ықтималдығын табыңыз.
Шешім. Екі автоматтың да ақаулы болу ықтималдығын табыңыз. Бұл оқиғалар тәуелсіз, олардың туындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: 0,05x 0,05 = 0,0025.
Кем дегенде бір автоматтың қызмет көрсету мүмкіндігінен тұратын оқиға керісінше. Демек, оның ықтималдығы 1 − 0,0025 = 0,9975.
Жауабы: 0,9975.
Формула толық ықтималдық
Ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары толық ықтималдық формуласы болып табылады:
Ықтималдық P (А) В оқиғаларының (гипотезалардың) біреуі болған жағдайда ғана болуы мүмкін А оқиғасы 1 , V 2 , V 3 ... V n , жұптық үйлесімсіз оқиғалардың толық тобын құра отырып, оқиғалардың (гипотезалардың) әрқайсысының ықтималдықтарының көбейтіндісінің қосындысына тең B. 1 , V 2 , V 3 , ..., Vn А оқиғасының сәйкес шартты ықтималдықтары бойынша:
P (A) \ P (B 1) P (A B 1) + P (B 2) P (A B 2) + P (B 3) P (A B 3) + .. + P (В n ) P (A B n )
Мысал қарастырайық : Автоматты желі батареяларды жасайды. Дайын батареяның ақаулы болу ықтималдығы 0,02. Орау алдында әрбір аккумулятор басқару жүйесінен өтеді. Жүйенің нашар батареядан бас тарту ықтималдығы 0,99. Жүйенің жақсы батареяны қате қабылдамауы ықтималдығы 0,01. Кездейсоқ таңдалған батареяның қабылданбау ықтималдығын табыңыз.
Шешім. Оқиғалар нәтижесінде батарея қабылданбаған жағдай туындауы мүмкін: A - батарея шынымен ақаулы және әділ түрде қабылданбады немесе B - батарея жақсы, бірақ қателікпен қабылданбады. Бұл үйлеспейтін оқиғалар, олардың қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең. Бізде бар:
P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0,02 0,99 + 0,98 0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.
Жауабы: 0,0296.

2-тарау: Мектеп алгебра курсында Ықтималдықтар теориясын оқудың әдістемелік аспектілері
Мектеп бағдарламасына енгізудің өтпелі кезеңі аяқталып, статистика мен ықтималдық теориясының бөлімдері өз орнын алған жағдайда оқу жоспарлары 7-9 сыныптар, осы оқулықтарда қолданылатын негізгі анықтамалар мен белгілеулердің сәйкестігін талдау және түсіну қажет.
Бұл оқулықтардың барлығы мектепте математиканың осы бөлімдерін оқыту дәстүрі болмаған кезде жасалған. Бұл келмеушілік оқулықтардың авторларын жоғары оқу орындарына арналған қазіргі оқулықтармен салыстыруға итермеледі. Соңғысы жеке мамандықтардағы қалыптасқан дәстүрлерге байланысты орта мектеп негізгі ұғымдар мен формулаларды белгілеудегі елеулі терминологиялық сәйкессіздік пен айырмашылықтарға жиі жол берді. Жоғарыда аталған мектеп оқулықтарының мазмұнын талдау олардың бүгінгі таңда жоғары мектеп оқулықтарынан осы ерекшеліктерді мұра етіп алғанын көрсетеді. бірге Көбірек дәлдігі, нақты таңдау деп айтуға болады оқу материалы кездейсоқ ұғымына қатысты жаңа математика бөлімдері бойынша кездеседі осы кездейсоқ жолмен, атаулар мен белгілерге дейін. Сондықтан ықтималдықтар теориясы мен статистикасы бойынша жетекші мектеп оқулықтарының авторларының ұжымдары ықтималдық бойынша мектеп оқулықтарында қолданылатын негізгі анықтамалар мен белгілерді біріздендіру бойынша келісілген ұстанымдарды әзірлеу үшін Мәскеу ашық білім беру институтының қамқорлығымен күш-жігерін біріктіруге шешім қабылдады. теория және статистика.
Мектеп оқулықтарына Ықтималдықтар теориясы тақырыбының енгізілуіне талдау жасайық.
Жалпы сипаттамасы:
Білім беру мекемелеріне арналған бағдарлама Математика бөлімінде көрсетілген Ықтималдықтар теориясының элементтері тақырыбы бойынша оқытудың мазмұны қарастырылған одан әрі дамыту студенттердің математикалық қабілеттерін, математикаға айтарлықтай байланысты мамандықтарға бағдарлануын, университетте оқуға дайындығын. Қарастырылатын тақырыптың математикалық мазмұнының ерекшелігі таңдалған негізгі тапсырманы нақтылауға мүмкіндік береді тереңдетіп оқу математика келесідей.
1. Математиканың білімнің дедуктивті жүйесі ретінде мазмұнын ашуды жалғастыру.
Негізгі ұғымдарға анықтамалар жүйесін құру;
Енгізілген ұғымдардың қосымша қасиеттерін ашу;
Енгізілген және бұрын зерттелген ұғымдар арасында байланыс орнату.
2. Есептерді шешудің кейбір ықтималдық жолдарын жүйелеу; белгілі бір типтегі мәселелердің шешімін іздеудің жедел құрамын ашу.
3. Оқушылардың негізгі ойды түсініп, түсінуіне жағдай жасау практикалық маңызы негізгі теориялық фактілерді талдау арқылы ықтималдық теориясы. Осы тақырыпта оқытылатын теорияның практикалық қолданылуын ашу.
Алға қойған білім беру мақсаттарына қол жеткізу келесі міндеттерді шешуге ықпал етеді:
1. Оқиғаның ықтималдығын анықтаудың әртүрлі тәсілдері туралы түсінік қалыптастыру.
2. Оқиғаларға негізгі амалдар туралы білімдерін қалыптастыру және кейбір оқиғаларды басқалары арқылы сипаттау үшін оларды қолдана білу.
3. Ықтималдықтарды қосу және көбейту теориясының мәнін ашу; осы теоремалардың қолданылу шегін анықтау. Толық ықтималдық формулаларын шығару үшін олардың қолданбаларын көрсетіңіз.
4. Оқиғалардың ықтималдығын табу алгоритмдерін анықтау а)ықтималдықтың классикалық анықтамасы бойынша; б) қосу ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.