Талдау мектеп оқулықтары және материалдар ҰБТ осы тақырып бойынша Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар
КІРІСПЕ
Сандар тізбегі тақырыбы ежелгі дәуірде пайда болды және математика ғылымының дамуына үлес қосқан ғалымдардың есімдерімен байланысты әр түрлі тізбектерді зерттейді. Сандар тізбегіне байланысты көптеген мәселелер ежелгі уақытта пайда болған. Сандар тізбегі тақырыбы негізгі мектеп бағдарламасына енгізілген және базалық деңгейде, ең бастысы қарапайым сандық тізбектер - арифметикалық және геометриялық прогрессияны зерттеуге бағытталған. Алайда, нақты өмірде біз әртүрлі типтермен жиі кездесеміз тізбектер. Олардың көпшілігі әртүрлі ғылымдарда қолданылады. Мысалы, Фибоначчи сандары ежелгі тарихты хронологияда және кезеңдеуде, сәулет өнерінде, музыкада, биологияда, астрономияда, бағаны болжауда қолданылады, грек вазалары мен спираль тәрізді галактикалардың пішінін, күнбағыс пен ұлу үйінің құрылымын анықтайды. Н.Слоанның бүтін тізбектер туралы анықтамалық кітабында 2300 бүтін тізбектер жинақталған және тапсырыс берілген, бұл олардың қолдану аясы өте кең екендігін білдіреді.
Орта мектеп алгебра курсында Арифметика және геометриялық прогрессиялар тақырыбы бөлек оқылады, тек тоғызыншы сыныпта, мектеп бағдарламасының басқа бөлімдерімен аз ортақтықтары бар. Бірақ, бұған қарамастан, тек n-ші мүшенің формулаларын және бірінші n мүшесінің қосындыларын ғана емес, сонымен қатар арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қасиеттерін білу қажет есептер ҰБТ-да және жоғары оқу орнына түсу емтихандарында. Студенттің білімі жеткілікті жоғары деңгейде болуы үшін прогрессияны зерттеу кезінде оның танымдық белсенділігін белсендіру қажет. Геометриялық және арифметикалық прогрессиялар мектептің алгебра курсында ғана емес өмірде қолданыста маңызды рөл атқарады.
Өмірде қолдану аясы өте кең. Мысалы, химияда арифметикалық прогрессияда температура көтерілген сайын, химиялық реакциялардың жылдамдығы геометриялық прогрессияда өседі. Әдебиетте: ... Ол хореядан иамба бола алмады, өйткені біз ажырату үшін күрескен жоқпыз .... Ямбия мен хореяның айырмашылығы өлеңнің екпінді буындарының әр түрлі орналасуында. Iambic - бұл 2, 4, 6, 8, жұп буындарына баса назар аударатын поэтикалық метр ... Стресті буындардың сандары арифметикалық прогрессияны 2-ші мүшемен және 2-ші прогрессиямен айырмашылықты құрайды. Хорея - бұл поэтикалық метр өлеңнің тақ буындарына екпін беру. Стресті буындардың сандары арифметикалық прогрессияны құрайды 1, 3, 5, 7, ... және т.б. ҰБТ тапсырмаларында математикадан сонымен қатар арифметикалық және геометриялық прогрессияларды қолдануға арналған, бірақ практикалық мазмұны бар тапсырмалар бар. Сондықтан, студент мектеп курсынан өзіне белгілі материалды қайталап, тіпті көптеген жаңа және қызықты нәрселерді білуі үшін бұл курстың толық сипаттамасын беру өте маңызды. Бұл қорытынды біліктілік жұмысы тақырыбының өзектілігі.
Зерттеу нысаны - тақырыпты ұсыну процесі.
Ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолдана отырып, мектептегі математика курс да дәйектілік.
Нәрсе зерттеу: Мүмкіндіктер зерттеу арифм етикалық ақпараттық-коммуникациялық технологиялар арқылы геометриялық прогрессия.
Қашан орындау жұмыс болды қолданылғ ан келесісі зерттеу әдістері:
1. Таңдалған тақырыптың теориялық негіздерін зерттеу;
2. Талдау мектеп оқулықтары және материалдар ҰБТ осы тақырып бойынша Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар;
3. Зерттеу тақырыбы бойынша тест тапсырмаларын өздігінен таңдау;
4. Дамуы әдістемелік ұсыныстар арқы лы ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолданатын тақырып Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар.
Қорытынды біліктілік жұмысын аяқтау барысында оның құрылымы анықталды: мазмұны, теориялық және практикалық бөлігі, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімі.
Кіріспеде өзектілік негізделеді, қорытынды жұмыстың мақсаты мен міндеттері қойылады, оларды шешу әдістері келтірілген.
Бірінші тарауда тақырып бойынша барлық теориялық материалдар бар
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар. Негізгі ұғымдардың анықтамалары берілген, прогрессия мүшелерінің қасиеттері, арифметикалық және геометриялық прогрессияның алғашқы n-мүшелерінің қосындысы қарастырылған. Зерттеу тақырыбын ұсыну бойынша мектеп оқулықтарына талдау жасалды.
Екінші тарауда тақырып бойынша зерттеудің практикалық бағыты келтірілген.
Қорытындысында атқарылған жұмыстардың нәтижелері келтірілді.
САНДЫҚ ТІЗБЕКТЕР ТУРАЛЫ АНЫҚТАМА
Анықтама. Мүшелерін нөмірлеп шығуға болатын шексіз сандар жиыны сандық тізбек деп аталады. Ал тізбекті құрайтын сандарды тізбектің мүшелері деп атайды.
a1, a2 ,a3, ... .., an, ... ..
a1, a2 ,a3, ... .., an, ... ..
Тізбекті мүшелері сәйкес мүшелердің индексі (реттік нөмірі) көрсетілген әріппен белгіленеді:
а1 саны - тізбектің бірінші мүшесі;
а1 саны - тізбектің бірінші мүшесі;
Берілген жазуда:a2 саны - тізбектің екінші мүшесі;
a2 саны - тізбектің екінші мүшесі;
a3 саны - тізбектің үшінші мүшесі;
a3 саны - тізбектің үшінші мүшесі;
an саны - тізбектің n-ші мүшесі;
an саны - тізбектің n-ші мүшесі;
Мысалы, 2;4;6;8;10;12;... тізбекте
а1=2; а5=10; а12=24; аn=2n;
1.2 МАТЕМАТИКА МЕКТЕБІНІҢ КУРСЫНДА ІЛІКТІЛІКТІ ЗЕРТТЕУДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
Тізбектегі шектеулі мүшелер болуы мүмкін екенін ескеріңіз. Бұл жағдайда оны ақырғы деп атайды. Шекті тізбектің мысалы ретінде екі таңбалы сандар тізбегін келтіруге болады: 10; он бір; 12;
13; ..., 98; 99.
Кезектілікті көрсету үшін кез-келген санмен қатардың мүшесін табуға мүмкіндік беретін әдісті көрсету керек.
Жиі рет n санының функциясы ретінде оның n-ші мүшесін білдіретін формуланы қолдану арқылы берілген. Бұл формула тізбектің n-ші мүшесінің формуласы деп аталады. Мысалы, оң жұп сандар тізбегін аn = 2 n формуласы, ал тізбегі арқылы анықтауға болады
Нөмірі 1-ге тең тұрақты бөлшектер, формула бойынша ...
1-мысал... Уn = формуласы бойынша реттілік берілсін n [2018-04-21 121 2] - 3 n.
Оның мүшелерінің алғашқы бесін есептейік.
1, 2, 3, 4, 5 натурал сандарын n орнына қойып, аламыз: y 1 = - 2,
y 2 = - 2, yz = 0, y 4 = 4, y 5 = 10.
2-мысал... Тізбектің бірінші мүшесі (аn) 3-ке тең болсын, ал әрбір келесі мүше алдыңғы квадратқа тең, яғни. a 1 = 3, және n + 1 =
Аn + 1 = аn + 1 = формуласын қолдану тізбектің белгілі бірінші мүшесінен екіншісін есептеуге болады, содан кейін белгілі секундтан үшіншісін табуға болады және т.б. 3, 9, 81, 6561, ... ретін аламыз ...
4-ке бөлгенде 1: 1, 5, 9, 13, 17, 21 ,. ... ... ... Оның әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, алдыңғы мүшеге 4 санын қосу арқылы алынады. Бұл реттілік арифметикалық прогрессияның мысалы болып табылады.
Арифметикалық прогрессия
Анықтама. Арифметика прогрессия деп аталады әр мүше, екіншісінен бастап, сол санға қосылған алдыңғы мүшеге тең болатын реттілік.
Егер кез-келген натурал n үшін келесі шарт орындалса, (an) тізбегі арифметикалық прогрессия болатындығын ескеру маңызды:
a т + 1 = аn + d, (1)
мұндағы d - бірнеше сан.
Арифметикалық прогрессияның анықтамасынан оның кез-келген мүшесінің екіншісінен бастап алдыңғы мүшесінің айырмашылығы d-ге тең болатындығы шығады, яғни. кез-келген натурал сан үшін келесі теңдік орын алады: аn + 1 - аn = d.
D саны арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады.
Арифметикалық прогрессияны орнату үшін оның бірінші мүшесі мен айырмашылығын көрсету жеткілікті.
Міне бірнеше мысал:
1-мысал... Егер a 1 = 1 және d = 1 болса, онда арифметикалық прогрессия аламыз: 1, 2, 3, 4, 5, ..., олардың мүшелері қатарынан натурал сандар болады.
2-мысал... Егер a 1 = 1 және d = 2 болса, онда біз арифметикалық прогрессия аламыз: 1, 3, 5, 7, 9 ,. ... ... , бұл оң тақ сандар тізбегі.
3-мысал... Егер a 1 = - 2 және d = - 2 болса, онда берілген арифметикалық прогрессия:
- 2, - 4, 0, 8, 10 ,. ... ... - теріс жұп сандар тізбегі. Мысал 4. Егер a 1 = 7 және d = 0 болса, онда бізде арифметикалық прогрессия болады: 7,
7, 7 ,. , барлық мүшелері тең.
Бірінші мүшені және арифметикалық прогрессияның айырмашылығын біле отырып, оның кез-келген мүшесін екінші, үшінші, төртінші және тағы басқа мүшелерді бірінен соң бірін есептеу арқылы табуға болады. Бірақ прогрессияның үлкен санымен мүшесін табу үшін бұл әдіс қолданылады ыңғайсыз. Аз есептеу жұмысын қажет ететін әдісті табуға тырысамыз.
Арифметикалық прогрессияның анықтамасы бойынша a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d, a4 = a3 + d = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d, a5 = a4 + d = (a 1 +) 3d) + d = a 1 + 4d.
Дәл осылай a 6 = a 1 + 5 d, a 7 = a 1 + 6 d болатындығын анықтаймыз, ал жалпы ан табу үшін 1-ге (n - 1) d қосу керек, яғни.
ан= a 1 + d * (n- 1) (2)
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын алдық. Мұны математикалық индукция әдісімен дәлелдейік.
N = 1 үшін бұл формула дұрыс: a 1 = a.
(2) формуласы n = k, k 1 үшін ақиқат делік, яғни. ak = a 1
+ d (k - 1).
Ak + 1 арифметикалық прогрессиясының анықтамасы бойынша Мұндағы k мүшесін өрнектің орнына ak + 1 = a 1 + d (k - 1) аламыз
+ d = a + dk, және бұл n = k + 1 үшін формула (2).
Математикалық индукция принципінен (2) формуланың кез-келген натурал сан үшін ақиқат екендігі шығады.
Q.E.D.
Осы формуланы пайдаланып есептер шығаруға мысалдар келтірейік.
1-мысал... Рет (cn) - с 1 = 2, 3 және d = 0, 45 болатын арифметикалық прогрессия. Осы прогрессияның оныншы және жүзінші мүшелерін табайық.
Бізде: c 10 = 2, 3 + 0, 45 - 9 = 2, 3 + 4, 05 = 6, 35
100 = 2.3 + 0.45 - 99 = 2.3 + 44.55 = 46.85 болғанда.
2-мысал... 71 саны арифметикалық прогрессияның мүшесі екенін анықтайық (xn): - 10, - 5, 5, - 1, 3, 5 ,. ... ... ...
IN берілген арифметикалық прогресси я xn = -10 және г. =
x 2 - x 1, d = -5, 5 - (- 10) = 4, 5. Прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жазайық
xn = - 10+ 4, 5 (n - 1), яғни. xn = 4, 5 n- 14, 5.
Нөмір 71 болып табылады мүшесі арифметикалық прогр ессия (xn), егер а бар өрнектің мәні болатындай n nатурал саны (4, 5 n
он төрт, 5) 71-ге тең. 4, 5 n-14, 5 = 71 теңдеуін шешейік.
Аламыз: 4, 5 n = 85, 5, n = 19.
Бұл 71 саны осы арифметикалық прогрессияның мүшесі екенін білдіреді. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы n + d (n- 1 ) =бірақ
басқаша жазуға болады: аn = dn + (а 1 - d).
Демек, кез-келген арифметикалық прогрессияны аn = кn + b формуласы арқылы беруге болатыны анық, мұндағы k және b бірнеше сандар.
Керісінше де дұрыс: форманың формуласымен берілген реттілік (аn)
Ан= kn + b, мұндағы k және b - кейбір сандар, арифметикалық прогрессия.
Шынында да, (аn) реттіліктің (n + 1) th және n-ші мүшелері арасындағы айырмашылықты табамыз:
ан+ бір - аn = k (n + 1) + b- (kn + b) = kn + k + b- kn- b = k
Демек, кез-келген n үшін аn +1 = аn + k теңдігі ақиқат, ал анықтамасы бойынша (аn) тізбегі арифметикалық прогрессия болады. Бұл прогрессияның айырымы k-ге тең екенін ескеріңіз.
Арифметикалық прогрессияның қасиеттері.
Арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, көршілес мүшелерінің арифметикалық ортасына тең, яғни. k 2 үшін формула дұрыс болады
ақ= ... (3)
Шынында да, k = 2 үшін бізде ak = ak - 1 + d және ak = ak +1 - d болады. Осы теңдіктердің мүшесін шарт бойынша қосқанда, 2аk = аk - 1 + аk +1 аламыз, қайдан (3) шығады.
Шекті арифметикалық прогрессияның 1, a 2 ,. ... ... , және n оның ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан мүшелердің қосындысы экстремалды мүшелердің қосындысына тең, яғни. k = 1, 2 үшін,
...,n дұрыс формула ақ+ аn - k +1 = а 1 + аn. (4)
Шынында да, ақырлы арифметикалық прогрессияда a 1, a 2 ,. ... ... , және ak және an - k +1 мүшелері ұштардан бірдей қашықтықта орналасқан. (2) формула бойынша аk = а 1 + d (k - 1) және аn - k +1 = а 1 + d (n - k). Осы мүшелердің қосындысы ak + an - k +1 = 2 a 1 + d (n) -ке тең
1) және экстремалды мүшелердің қосындысына тең a 1 + an = 2 a + d (n - 1) .
Алғашқы жүз натурал санның қосындысын тапқыңыз келеді делік. Бұл мәселені сандарды тікелей қоспай-ақ қалай шешуге болатындығын көрсетейік.
Қажетті қосынды S-мен белгілеп, оны екі жағдайда жазайық, бірінші жағдайда терминдерді өсу ретімен, екіншісінде кему ретімен орналастырайық: S = 1 + 2 + 3 +. ... ... + 98 + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 +. ... ... + 3 + 2 + 1.
Бірінен соң бірі орналасқан сандардың әр жұбы 101-ге дейін қосады.
Мұндай жұптардың саны 100.
Ұқсас пайымдаудың көмегімен кез-келген арифметикалық прогрессияның алғашқы мүшелерінің қосындысын табуға болады.
Сома мүшелері түпкілікті арифметика лық прогрессия теңэкстремалды мүшелердің жарты қосындысының терминдер санына көбейтіндісі, т.а. егер а
Sn= a1 + a2 + - + an-1 + an,
содан кейін Sn =...
Шынында да, егер Sn = a1 болса
+ a2 +... + an-1 + an, содан Sn = an + an-1 +... + a2 + a1.
Осы теңдіктердің мерзімін терминге қосып, 2 қасиетін пайдаланып, біз 2Sn аламыз
= (а1 + аn) + (а2 + аn-1) + ... + (а1 + аn) = n (а1 + аn), қайдан (5) формула шығады.
Міне бірнеше мысал:
1-мысал... 1, 3, 5 арифметикалық прогрессияның алғашқы жиырма мүшесінің қосындысын табыңыз. ... ... ...
Бұл ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Сандар тізбегі тақырыбы ежелгі дәуірде пайда болды және математика ғылымының дамуына үлес қосқан ғалымдардың есімдерімен байланысты әр түрлі тізбектерді зерттейді. Сандар тізбегіне байланысты көптеген мәселелер ежелгі уақытта пайда болған. Сандар тізбегі тақырыбы негізгі мектеп бағдарламасына енгізілген және базалық деңгейде, ең бастысы қарапайым сандық тізбектер - арифметикалық және геометриялық прогрессияны зерттеуге бағытталған. Алайда, нақты өмірде біз әртүрлі типтермен жиі кездесеміз тізбектер. Олардың көпшілігі әртүрлі ғылымдарда қолданылады. Мысалы, Фибоначчи сандары ежелгі тарихты хронологияда және кезеңдеуде, сәулет өнерінде, музыкада, биологияда, астрономияда, бағаны болжауда қолданылады, грек вазалары мен спираль тәрізді галактикалардың пішінін, күнбағыс пен ұлу үйінің құрылымын анықтайды. Н.Слоанның бүтін тізбектер туралы анықтамалық кітабында 2300 бүтін тізбектер жинақталған және тапсырыс берілген, бұл олардың қолдану аясы өте кең екендігін білдіреді.
Орта мектеп алгебра курсында Арифметика және геометриялық прогрессиялар тақырыбы бөлек оқылады, тек тоғызыншы сыныпта, мектеп бағдарламасының басқа бөлімдерімен аз ортақтықтары бар. Бірақ, бұған қарамастан, тек n-ші мүшенің формулаларын және бірінші n мүшесінің қосындыларын ғана емес, сонымен қатар арифметикалық және геометриялық прогрессиялардың қасиеттерін білу қажет есептер ҰБТ-да және жоғары оқу орнына түсу емтихандарында. Студенттің білімі жеткілікті жоғары деңгейде болуы үшін прогрессияны зерттеу кезінде оның танымдық белсенділігін белсендіру қажет. Геометриялық және арифметикалық прогрессиялар мектептің алгебра курсында ғана емес өмірде қолданыста маңызды рөл атқарады.
Өмірде қолдану аясы өте кең. Мысалы, химияда арифметикалық прогрессияда температура көтерілген сайын, химиялық реакциялардың жылдамдығы геометриялық прогрессияда өседі. Әдебиетте: ... Ол хореядан иамба бола алмады, өйткені біз ажырату үшін күрескен жоқпыз .... Ямбия мен хореяның айырмашылығы өлеңнің екпінді буындарының әр түрлі орналасуында. Iambic - бұл 2, 4, 6, 8, жұп буындарына баса назар аударатын поэтикалық метр ... Стресті буындардың сандары арифметикалық прогрессияны 2-ші мүшемен және 2-ші прогрессиямен айырмашылықты құрайды. Хорея - бұл поэтикалық метр өлеңнің тақ буындарына екпін беру. Стресті буындардың сандары арифметикалық прогрессияны құрайды 1, 3, 5, 7, ... және т.б. ҰБТ тапсырмаларында математикадан сонымен қатар арифметикалық және геометриялық прогрессияларды қолдануға арналған, бірақ практикалық мазмұны бар тапсырмалар бар. Сондықтан, студент мектеп курсынан өзіне белгілі материалды қайталап, тіпті көптеген жаңа және қызықты нәрселерді білуі үшін бұл курстың толық сипаттамасын беру өте маңызды. Бұл қорытынды біліктілік жұмысы тақырыбының өзектілігі.
Зерттеу нысаны - тақырыпты ұсыну процесі.
Ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолдана отырып, мектептегі математика курс да дәйектілік.
Нәрсе зерттеу: Мүмкіндіктер зерттеу арифм етикалық ақпараттық-коммуникациялық технологиялар арқылы геометриялық прогрессия.
Қашан орындау жұмыс болды қолданылғ ан келесісі зерттеу әдістері:
1. Таңдалған тақырыптың теориялық негіздерін зерттеу;
2. Талдау мектеп оқулықтары және материалдар ҰБТ осы тақырып бойынша Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар;
3. Зерттеу тақырыбы бойынша тест тапсырмаларын өздігінен таңдау;
4. Дамуы әдістемелік ұсыныстар арқы лы ақпараттық-коммуникациялық технологияларды қолданатын тақырып Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар.
Қорытынды біліктілік жұмысын аяқтау барысында оның құрылымы анықталды: мазмұны, теориялық және практикалық бөлігі, қорытынды, пайдаланылған әдебиеттер тізімі.
Кіріспеде өзектілік негізделеді, қорытынды жұмыстың мақсаты мен міндеттері қойылады, оларды шешу әдістері келтірілген.
Бірінші тарауда тақырып бойынша барлық теориялық материалдар бар
Арифметикалық және геометриялық прогрессиялар. Негізгі ұғымдардың анықтамалары берілген, прогрессия мүшелерінің қасиеттері, арифметикалық және геометриялық прогрессияның алғашқы n-мүшелерінің қосындысы қарастырылған. Зерттеу тақырыбын ұсыну бойынша мектеп оқулықтарына талдау жасалды.
Екінші тарауда тақырып бойынша зерттеудің практикалық бағыты келтірілген.
Қорытындысында атқарылған жұмыстардың нәтижелері келтірілді.
САНДЫҚ ТІЗБЕКТЕР ТУРАЛЫ АНЫҚТАМА
Анықтама. Мүшелерін нөмірлеп шығуға болатын шексіз сандар жиыны сандық тізбек деп аталады. Ал тізбекті құрайтын сандарды тізбектің мүшелері деп атайды.
a1, a2 ,a3, ... .., an, ... ..
a1, a2 ,a3, ... .., an, ... ..
Тізбекті мүшелері сәйкес мүшелердің индексі (реттік нөмірі) көрсетілген әріппен белгіленеді:
а1 саны - тізбектің бірінші мүшесі;
а1 саны - тізбектің бірінші мүшесі;
Берілген жазуда:a2 саны - тізбектің екінші мүшесі;
a2 саны - тізбектің екінші мүшесі;
a3 саны - тізбектің үшінші мүшесі;
a3 саны - тізбектің үшінші мүшесі;
an саны - тізбектің n-ші мүшесі;
an саны - тізбектің n-ші мүшесі;
Мысалы, 2;4;6;8;10;12;... тізбекте
а1=2; а5=10; а12=24; аn=2n;
1.2 МАТЕМАТИКА МЕКТЕБІНІҢ КУРСЫНДА ІЛІКТІЛІКТІ ЗЕРТТЕУДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
Тізбектегі шектеулі мүшелер болуы мүмкін екенін ескеріңіз. Бұл жағдайда оны ақырғы деп атайды. Шекті тізбектің мысалы ретінде екі таңбалы сандар тізбегін келтіруге болады: 10; он бір; 12;
13; ..., 98; 99.
Кезектілікті көрсету үшін кез-келген санмен қатардың мүшесін табуға мүмкіндік беретін әдісті көрсету керек.
Жиі рет n санының функциясы ретінде оның n-ші мүшесін білдіретін формуланы қолдану арқылы берілген. Бұл формула тізбектің n-ші мүшесінің формуласы деп аталады. Мысалы, оң жұп сандар тізбегін аn = 2 n формуласы, ал тізбегі арқылы анықтауға болады
Нөмірі 1-ге тең тұрақты бөлшектер, формула бойынша ...
1-мысал... Уn = формуласы бойынша реттілік берілсін n [2018-04-21 121 2] - 3 n.
Оның мүшелерінің алғашқы бесін есептейік.
1, 2, 3, 4, 5 натурал сандарын n орнына қойып, аламыз: y 1 = - 2,
y 2 = - 2, yz = 0, y 4 = 4, y 5 = 10.
2-мысал... Тізбектің бірінші мүшесі (аn) 3-ке тең болсын, ал әрбір келесі мүше алдыңғы квадратқа тең, яғни. a 1 = 3, және n + 1 =
Аn + 1 = аn + 1 = формуласын қолдану тізбектің белгілі бірінші мүшесінен екіншісін есептеуге болады, содан кейін белгілі секундтан үшіншісін табуға болады және т.б. 3, 9, 81, 6561, ... ретін аламыз ...
4-ке бөлгенде 1: 1, 5, 9, 13, 17, 21 ,. ... ... ... Оның әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, алдыңғы мүшеге 4 санын қосу арқылы алынады. Бұл реттілік арифметикалық прогрессияның мысалы болып табылады.
Арифметикалық прогрессия
Анықтама. Арифметика прогрессия деп аталады әр мүше, екіншісінен бастап, сол санға қосылған алдыңғы мүшеге тең болатын реттілік.
Егер кез-келген натурал n үшін келесі шарт орындалса, (an) тізбегі арифметикалық прогрессия болатындығын ескеру маңызды:
a т + 1 = аn + d, (1)
мұндағы d - бірнеше сан.
Арифметикалық прогрессияның анықтамасынан оның кез-келген мүшесінің екіншісінен бастап алдыңғы мүшесінің айырмашылығы d-ге тең болатындығы шығады, яғни. кез-келген натурал сан үшін келесі теңдік орын алады: аn + 1 - аn = d.
D саны арифметикалық прогрессияның айырымы деп аталады.
Арифметикалық прогрессияны орнату үшін оның бірінші мүшесі мен айырмашылығын көрсету жеткілікті.
Міне бірнеше мысал:
1-мысал... Егер a 1 = 1 және d = 1 болса, онда арифметикалық прогрессия аламыз: 1, 2, 3, 4, 5, ..., олардың мүшелері қатарынан натурал сандар болады.
2-мысал... Егер a 1 = 1 және d = 2 болса, онда біз арифметикалық прогрессия аламыз: 1, 3, 5, 7, 9 ,. ... ... , бұл оң тақ сандар тізбегі.
3-мысал... Егер a 1 = - 2 және d = - 2 болса, онда берілген арифметикалық прогрессия:
- 2, - 4, 0, 8, 10 ,. ... ... - теріс жұп сандар тізбегі. Мысал 4. Егер a 1 = 7 және d = 0 болса, онда бізде арифметикалық прогрессия болады: 7,
7, 7 ,. , барлық мүшелері тең.
Бірінші мүшені және арифметикалық прогрессияның айырмашылығын біле отырып, оның кез-келген мүшесін екінші, үшінші, төртінші және тағы басқа мүшелерді бірінен соң бірін есептеу арқылы табуға болады. Бірақ прогрессияның үлкен санымен мүшесін табу үшін бұл әдіс қолданылады ыңғайсыз. Аз есептеу жұмысын қажет ететін әдісті табуға тырысамыз.
Арифметикалық прогрессияның анықтамасы бойынша a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2d, a4 = a3 + d = (a 1 + 2d) + d = a 1 + 3d, a5 = a4 + d = (a 1 +) 3d) + d = a 1 + 4d.
Дәл осылай a 6 = a 1 + 5 d, a 7 = a 1 + 6 d болатындығын анықтаймыз, ал жалпы ан табу үшін 1-ге (n - 1) d қосу керек, яғни.
ан= a 1 + d * (n- 1) (2)
Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын алдық. Мұны математикалық индукция әдісімен дәлелдейік.
N = 1 үшін бұл формула дұрыс: a 1 = a.
(2) формуласы n = k, k 1 үшін ақиқат делік, яғни. ak = a 1
+ d (k - 1).
Ak + 1 арифметикалық прогрессиясының анықтамасы бойынша Мұндағы k мүшесін өрнектің орнына ak + 1 = a 1 + d (k - 1) аламыз
+ d = a + dk, және бұл n = k + 1 үшін формула (2).
Математикалық индукция принципінен (2) формуланың кез-келген натурал сан үшін ақиқат екендігі шығады.
Q.E.D.
Осы формуланы пайдаланып есептер шығаруға мысалдар келтірейік.
1-мысал... Рет (cn) - с 1 = 2, 3 және d = 0, 45 болатын арифметикалық прогрессия. Осы прогрессияның оныншы және жүзінші мүшелерін табайық.
Бізде: c 10 = 2, 3 + 0, 45 - 9 = 2, 3 + 4, 05 = 6, 35
100 = 2.3 + 0.45 - 99 = 2.3 + 44.55 = 46.85 болғанда.
2-мысал... 71 саны арифметикалық прогрессияның мүшесі екенін анықтайық (xn): - 10, - 5, 5, - 1, 3, 5 ,. ... ... ...
IN берілген арифметикалық прогресси я xn = -10 және г. =
x 2 - x 1, d = -5, 5 - (- 10) = 4, 5. Прогрессияның n-ші мүшесінің формуласын жазайық
xn = - 10+ 4, 5 (n - 1), яғни. xn = 4, 5 n- 14, 5.
Нөмір 71 болып табылады мүшесі арифметикалық прогр ессия (xn), егер а бар өрнектің мәні болатындай n nатурал саны (4, 5 n
он төрт, 5) 71-ге тең. 4, 5 n-14, 5 = 71 теңдеуін шешейік.
Аламыз: 4, 5 n = 85, 5, n = 19.
Бұл 71 саны осы арифметикалық прогрессияның мүшесі екенін білдіреді. Арифметикалық прогрессияның n-ші мүшесінің формуласы n + d (n- 1 ) =бірақ
басқаша жазуға болады: аn = dn + (а 1 - d).
Демек, кез-келген арифметикалық прогрессияны аn = кn + b формуласы арқылы беруге болатыны анық, мұндағы k және b бірнеше сандар.
Керісінше де дұрыс: форманың формуласымен берілген реттілік (аn)
Ан= kn + b, мұндағы k және b - кейбір сандар, арифметикалық прогрессия.
Шынында да, (аn) реттіліктің (n + 1) th және n-ші мүшелері арасындағы айырмашылықты табамыз:
ан+ бір - аn = k (n + 1) + b- (kn + b) = kn + k + b- kn- b = k
Демек, кез-келген n үшін аn +1 = аn + k теңдігі ақиқат, ал анықтамасы бойынша (аn) тізбегі арифметикалық прогрессия болады. Бұл прогрессияның айырымы k-ге тең екенін ескеріңіз.
Арифметикалық прогрессияның қасиеттері.
Арифметикалық прогрессияның әрбір мүшесі, екіншісінен бастап, көршілес мүшелерінің арифметикалық ортасына тең, яғни. k 2 үшін формула дұрыс болады
ақ= ... (3)
Шынында да, k = 2 үшін бізде ak = ak - 1 + d және ak = ak +1 - d болады. Осы теңдіктердің мүшесін шарт бойынша қосқанда, 2аk = аk - 1 + аk +1 аламыз, қайдан (3) шығады.
Шекті арифметикалық прогрессияның 1, a 2 ,. ... ... , және n оның ұштарынан бірдей қашықтықта орналасқан мүшелердің қосындысы экстремалды мүшелердің қосындысына тең, яғни. k = 1, 2 үшін,
...,n дұрыс формула ақ+ аn - k +1 = а 1 + аn. (4)
Шынында да, ақырлы арифметикалық прогрессияда a 1, a 2 ,. ... ... , және ak және an - k +1 мүшелері ұштардан бірдей қашықтықта орналасқан. (2) формула бойынша аk = а 1 + d (k - 1) және аn - k +1 = а 1 + d (n - k). Осы мүшелердің қосындысы ak + an - k +1 = 2 a 1 + d (n) -ке тең
1) және экстремалды мүшелердің қосындысына тең a 1 + an = 2 a + d (n - 1) .
Алғашқы жүз натурал санның қосындысын тапқыңыз келеді делік. Бұл мәселені сандарды тікелей қоспай-ақ қалай шешуге болатындығын көрсетейік.
Қажетті қосынды S-мен белгілеп, оны екі жағдайда жазайық, бірінші жағдайда терминдерді өсу ретімен, екіншісінде кему ретімен орналастырайық: S = 1 + 2 + 3 +. ... ... + 98 + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 +. ... ... + 3 + 2 + 1.
Бірінен соң бірі орналасқан сандардың әр жұбы 101-ге дейін қосады.
Мұндай жұптардың саны 100.
Ұқсас пайымдаудың көмегімен кез-келген арифметикалық прогрессияның алғашқы мүшелерінің қосындысын табуға болады.
Сома мүшелері түпкілікті арифметика лық прогрессия теңэкстремалды мүшелердің жарты қосындысының терминдер санына көбейтіндісі, т.а. егер а
Sn= a1 + a2 + - + an-1 + an,
содан кейін Sn =...
Шынында да, егер Sn = a1 болса
+ a2 +... + an-1 + an, содан Sn = an + an-1 +... + a2 + a1.
Осы теңдіктердің мерзімін терминге қосып, 2 қасиетін пайдаланып, біз 2Sn аламыз
= (а1 + аn) + (а2 + аn-1) + ... + (а1 + аn) = n (а1 + аn), қайдан (5) формула шығады.
Міне бірнеше мысал:
1-мысал... 1, 3, 5 арифметикалық прогрессияның алғашқы жиырма мүшесінің қосындысын табыңыз. ... ... ...
Бұл ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz