Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 26 бет
Таңдаулыға:

Қазақстан Республикасынынң ғылым және жоғары білім министрлігі М.Өтемісов атындағы Батыс Қазақстан университеті

Математика кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Бірмүшелер мен көпмүшелер және амалдар қолдану

Орындаған: Маштакова Б.Т
Мамандық: 6В01502 Математика - Физика Топ: МФ232
Тексерген: аға оқытушы С.М.Маутеева.

Орал, 2022 жыл

Мазмұны

I Кіріспе 3

II Негізгі бөлім 5
2.1 Бірмүшелер және оларға амалдар қолдану.
Бірмүшенің дәрежесі және стандарт түрі.
2.2 Көпмүшелер.Көпмүшенің дәрежесі және стандарт түрі 7
2.3 Көпмүшелерге амалдар қолдану 8
2.4 Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу 10
2.5 Өрнектерді тепе-тең түрлендіру 12
2.6 Қысқаша көбейту формулалары 14
III Қорытынды 21
IV Пайдаланылған әдебиеттер 22

Кіріспе

Адам қоғамы дамуының қазіргі кезеңі- ғылыми техникалық революция дәуірі ғылыми білімнің қауырт өсуімен техникалық идеялардың тез алмасуымен, практикалық іс-әрекеттің көптеген түрінің практикаландырылуымен сипатталады. Ғылыми - техникалық білім соншалықты тез дамып барады, ол жыл сайын бірнеше есе артып отырады. Қоғам өмірінің барлық салаларында қазіргі ғылым мен техниканың жаңалықтары ақпараттық технологияларды қолдануға байланысты математика мен математикалық ойлаудың жоғарғы дәрежедегі қажеттігі туындап отыр. Осы кезеңдегі ғылыми - техникалық прогресс математикалық біліктерге жаңа талаптар қойып отыр. Елбасымыз өз халқына Жолдауында Әлемдік білім кеңістігіне толығымен кіру білім беру жүйесін халықаралық деңгейге көтеруді талап ететіні сөзсіз деп көрсеткен. Математика - абстрактілі ғылым. Сондықтан оқудың алғашқы күндерінен бастап-ақ сабақтас пәндермен байланыстыруды қажет етеді. Мектептің басқа оқу пәндерінен алған білімдеріне сүйене отырып,оқушылар өтілетін материалды сапалы түрде меңгереді. Математика курсының әрбір тақырыбы айнала қоршаған ортаны танудағы математиканың рөлін дұрыс түсінуге және алған білімдерін практикалық есептерді шешуде қолдана білуге әсері тиетіндей пәнаралық байланыстарды іске асырып отыруы қажет.Математика сабағында пәнаралық есептерді шешу арқылы оқушылар жаңа жағдайлармен танысады, математикалық теорияларды, есептердің шешімін табуға қолдануды үйренеді, есеп шешуге қатысты жаңа әдістерді оқып үйренеді. Басқаша айтқанда, есептерді шешу арқылы математикалық білімі мен білігін дамытады. Күнделікті өмірге қатысты практикалық есептерді шешу барысында оқушы математикалық білімін қолдануды үйренеді. Меңгерілген математикалық білім, білік, дағдылары олардың өндірісте өздігінен білім жетілдіруіне негіз болады. Көбейткіштерге жіктеу - көпмүшеліктерді бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне теңбе-тең етіп түрлендіру. Көбейткіштерге жіктеу өрнекті жинақы түрге келтіреді. Курстық жұмыстың өзектілігі. Математика курсының алгебралық есептерін шешуде құрамында ең болмағанда бір айнымалысы бар көпмүшені екі немесе бірнеше көпмүшелердің, немесе көпмүше мен бірмүшенің көбейтіндісі түрінде жазуға болады. Көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеуде әр түрлі әдістерді пайдаланады, атап айтқанда ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару; көпмүшенің ұқсас мүшелерін топтау; ауыстыру; қысқаша көбейту формуларын пайдалану және т.б. әдістер.
Зерттеу жұмысының өзектілігі: Математика курсын оқытуда ғылым мен техниканың дамуына байланысты, мектептегі оқу пәндерінің мазмұнына өзгерістер енуі, оқушылардың білім сапасын арттыру бүгінгі күннің талабы. Оқу процесінде көпмүшені көбейткіштерге жіктеу, көпмүшенің түбірі, жоғары дәрежелі теңдеулерді шешуде оқушыларға қиындықтар туғызатыны мәлім. Жоғары дәрежелі теңдеулер жүйесін шешуде көпмүшені жіктеу әдістерін қолданудың да маңызы зор.
Зерттеу жұмысының мақсаты: Математиканы оқыту барысында оқушыларды көпмүше ұғымымен таныстыру, бір айнымалы көпмүшелерді жіктеу тәсілдерін толық зерттеу, оқушылардың ойлау қабілетттерін арттыру, пәнге қызығушылығын дамыту арқылы көпмүшелерді қолданып есептерді шешудің жолдарын үйрету.Ой өрiсi дамыған, сана сезiмi оянған, рухани ойлау дәрежесi биiк, математикадан бiлiм деңгейi жоғары, пәнге деген қызығушылығы мол, теориялық бiлiмдi терең түсiне алатын оқушыларды тәрбиелеу.
Зерттеу жұмысының міндеттері: Алгебра және сандар теориясының негізгі ұғымдарын, формулаларын,қолданатын жерін; көпмүшелерге амалдар қолдануын; Безу теоремасын; көпмүшелерді қалдықпен бөлу алгоритмін; Горнер схемасын; көпмүше түрлерін; көпмүшелерді қолдану арқылы есептерді шешудің жолдарын білуі керек.
Зерттеу жұмысының ғылыми жаңашылдығы: Математика курсын оқытуда жалпыға бірдей жоғары білім беру жағдайларында оқу процесінде көпмүшелер теориясы туралы толық түсінік алу арқылы жеке тұлғаның дағдысын қалыптастыру.
Күтілетін нәтиже: Осы жобада анықталған зерттеулер мен есептер математикадан қосымша сабақтарда кеңінен қолданылса, жоғарғы математика курсын оқытуда оқушылардың білім, білік қабілетін дамытуда көпмүшелер теориясында алған теориялық білімдерін практикада жүзеге асыруға септігін тигізеді.Қазіргі уақытта бұл материал жоғарғы оқу орнына түсуші талапкерлердің өздігінен дайындалуына, оқушылардың білігі мен дағдысын қалыптастыруына және оқушылардың білім сапасын көтеруіне мүмкіндік береді. Курстық жұмыстың зерттеу әдiсi: Оқушылардың ғылыми - дүниетанымдық қабілетiн қалыптастыру, логикалық ойлау қабiлетiн дамыту, практикалық дағдылары мен ебдейлiктерiн дамыту және т.б өзектi мәселелердiң iшiнде оқушылардың мектептің жоғарғы сыныптарындағы алгебра курсына дайындығын жетілдіру.
Курстық жұмыстың болжамы: Егер оқушыларға алгебралық материалдарды жетік меңгерте алсақ, онда олардың математикадан бiлiм деңгейi жоғарылайды және т.б пәндердi оқушылардың жетелей түсiнуiне, қазіргі заман талабына сай терең білім алуына ықпал жасайды.

ІІ. Негізгі бөлім
2.1 Бірмүшелер. Бірмүшенің дәрежесі және стандарт түрі Бірмүшелерге амалдар қолдану.
7.2.1.2 - бірмүше анықтамасын білу, оның коэффициенті мен дәрежесін табу;
7.2.1.3 - бірмүшені стандарт түрде жазу;
7.2.1.4 - бірмүшелерді көбейтуді орындау және бірмүшені көбейткіштердің көбейтіндісі түрінде көрсету.
Бірмүше -- алгебрада қарастырылатын қарапайым түрдегі алгебралық өрнек; көпмүшенің дербес жағдайы. Сандар, айнымалылар, айнымалылар дәрежелерінің көбейтіндісі бірмүше деп аталған. Сандар, айнымалылар және дәрежелері де бірмүше делінеді. Бірінші орында коэффициент деп аталатын сан (тұрақты шама) көбейтінді жазылған, ал бірдей айнымалылардың әрбір көбейтіндісі бұлардың дәрежелерімен өрнектелген көбейтінді бірмүшенің стандарт түрі деп аталған. коэффициенті, әдетте, жазылмайды. Бірмүшенің мысалы, коэффициенті, әдетте, жазылмайды. Бірмүшенің мысалы, - 5 ,
Кез келген бiрмүшенi стандарт түрге келтiруге болады. Стандарт түрде жазылған бiрмүшедегi санды көрсеткiштi бiрмүшенiң коэффициентi деп атайды.
Бірмүшелерді көбейткенде, олардың коэффициенттері көбейтілді. Бірдей айнымалылардың дәреже көрсеткіштері қосылады, ал бір көбейткіш құрамына ғана енетін айнымалылар сол қалпында қалтырылады, сөйтіп шыққан нәтежиелер бір-біріне көбейтіледі. Бірмүшені дәрежеге шығару үшін әрбір көбейткішті осы дәрежеге шығарып, нәтежиелерді көбейтсе, жеткілікті. m - бірмүше, себебі әріп бір мүше болып саналады; -12 - бірмүше, себебі сан бірмүше болып саналады. - бірмүше, себебі және бірмүше болып саналады, ал олардың көбейтіндісі де бірмүше; - бірмүше, себебі бірнеше бірмүшелелердің көбейтіндісі де бірмүше болып саналады; - бір мүше емес, себебі бірмүшелердің көбейтіндісі емес, бірмүшелердің айырымы.
Бірінші орында сан көбейткіш, ал оған жалғастыра айнымалылар мен олардың дәрежелері жазылған түрін бірмүшенің стандарт түрі деп атайды.
Бірмүше құрамындағы айнымалылардың дәреже көрсеткіштерінің қосындысы бірмүшенің дәрежесі деп аталады.
Бірдей бірмүшелер және коэффициенттерімен ерекшеленетін әріпті бөліктері ортақ бірмүшелер ұқсас бірмүшелер деп аталады.
Егер бірмүшелер коэффициенттерінің бәрі бүтін сандар болса, онда ортақ көбейткіштің коэффициенті ретінде бірмүшелер коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгіші алынады.
Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығарғанда, айнымалының көпмүшенің барлық мүшелерінің құрамында бар ең кіші дәрежесі шығарылады. 6ax3+3x2 - 12bx көпмүшесінде мүшелердің ортақ көбейткіші 3x, себебі: 6ax3=3x.2ax2; 3x2=3x.x; 12bx=3x.4b, сонда 6ax3+3x2 - 12bx = 3x(2ax2+x - 4b). Көпмүшені ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару арқылы көбейткіштерге жіктеу - көпмүшені бірмүшеге көбейту амалына кері амал, мұндағы амал түсінігі әдеттегі математикалық амал түсінігінен кеңірек, өйткені өрнекті көпмүшеге түрлендіргенде және оған керісінше көпмүшені көбейткіштерге жіктегенде бірнеше математикалық амалдар орындалуы мүмкін. Сондықтан жіктеудің дұрыстығын тексеру үшін шыққан көбейтіндіні көпмүшеге түрлендіру керек. Келтірілген мысалда ортақ көбейткішті жақша сыртына шығардық: 6ax3+3x2 - 12bx = 3x(2ax2+x - 4b), ал оған кері амал көбейтіндіні көпмүшеге түрлендіру орындалады: 3x(2ax2+x - 4b) = 6ax3+3x2 - 12bx. Бірмүшелерге амалдар қолдану.
Бірмүшелерді көбейту, мономдарды табиғи дәрежеге көтеру.
Бір мүшені бірмүшеге көбейту нәтижесінде жаңасы шығады мономиалды стандартты пішінге келтіру керек:
3a 2x 3::5a 3y 2 = 3a 2x 3 5a 3y 2 = 15a 5x 3y 2 .
Мономиалды қуатқа көтеру үшін біз ережелерді қолданамыз өкілеттіктері бар әрекеттер.
(4x 2y 4) 3 = 4 3 (x 2) 3 (y 4) 3 = 64x 6y 12
Бір мүшені бір мүшеге бөлу.
Бірмүшені бірмүшеге бөлгенде ескеру керек үш түрлі жағдай.
1) Бөлгіште дивидендте бар айнымалылар бар,
Сонымен қатар, бөлгіштегі сәйкес дәрежелер артық болмайды,
дивидендке қарағанда:
Бөлу нәтижесінде мономиал алынды.

2) Бөлгіште дивидендте бар айнымалылар бар, сәйкес дәрежелердің кейбірі немесе барлығымен бөлгіш дивидендтен үлкен:
Бөлу нәтижесінде жеңілдетілген алгебралық бөлшек пайда болды.

3) Бөлгіште дивидендте жоқ айнымалылар бар:
Бөлу нәтижесінде жеңілдетілген алгебралық бөлшек пайда болды.

2.2 Көпмүшелер. Көпмүшенің дәрежесі және стандарт түрі
7.2.1.5 - көпмүше анықтамасыг білу және оның дәрежесін табу;
7.2.1.6 - көпмүшені стандарт түрге келтіру.
Бірмүшелердің қосындысын көпмүшелер деп аталады.
Көпмүше дегеніміз бірнеше бірмүшеліктін қосындысынан не алымынан тұратын өрнек. Мысалы x2 + 3y өрнегі көпмүшелік болады, себебі бұл өрнек екі x2 және 3y бірмүшеліктен құралған. 7x - 2xy те көпмүше болады.
Көпмүшеліктің дәрежесі
Көпмүшелік бірмүшеліктерден құралған. Әрбір бірмүшеліктін дәрежесі бар. Көпмүшелікте бар бірмүшеліктердің ең үлкен дәрежесі көпмүшеліктің дәрежесі деп аталады. Мысалы x2 + 3y көпмүшеліктің дәрежесі екіге тең, себебі x2 дәрежесі екіге ал 3y дәрежесі бірге тең.
Көпмүшелік дәрежесі деп оның бірмүшеліктерінің ең максималды дәрежесін айтады, нөлдің дәрежесі болмайды.Коэффициенттері нөл болмайтындай мультииндекстер жиынын көпмүшелік игерушісі, ал оның дөңес қабығын -- Ньютон көпжағы дейді. Көпмүшеліктер элементар функциялардың маңызды тобы болып табылады.
Классикалық алгебраның негізгі мақсаты осындай көпмүшеліктерді және олардың теңдеулерін шешу болып табылған. Осыған байланысты математикадағы негізгі өзгерістер пайда болған: нөлді енгізу, теріс сан, ал сосын комплекс санның пайда болуы, т.б..n айнымалылы көпмүшелік (немесе полином) деп келесі түрдегі шекті қосындыны айтады
Көпмүшелік коэффициенттері әдетте белгілі бір коммутативті сақинасынан (көбінесе өрістен, мысалы, нақты сандар немесе комплекс сандар өрісінен) алынады. Бұл жағдайда қосу мен көбейту операцияларына қатысты көпмүшеліктер деп белгіленетін сақина (оның үстіне сақинасында нөл бөлгіштерінсіз ассоциативті-коммутативті сақинадағы алгебраны) құрайды.

2.3. Көпмүшелерге амалдар қолдану
7.2.1.7 - көпмүшелерді қосу және азайтуды орындау;
7.2.1.8 - көпмүшені бірмүшеге көбецтуді орындау;
7.2.1.9 - көпмүшені көпмүшеге көбейтуді орындау.
Теңдеулерді шешкенде, түрліше есептеулерді орындағанда және басқа да есептерді шығарғанда көпмүшені оған теңбе-тең бірнеше көпмүшенің көбейтіндісі түріндегі (олардың ішінде бірмүше де болуы мүмкін) өрнекпен алмастырған ыңғайлы болатын жағдайлар кездеседі.
Мысалдар қарастырайық.1) а=37, b=26, c=17 және d=23 болғанда, ab+ac-ad өрнегінің сан мәнін табу керек болсын. Әріптердің берілген мәндерін орындарына қойып есептесек:
ab+ac-ad=37.26+37.17-37.23=962=962+ 629-851=1591-851=740.
Өрнекті алдын ала түрлендіріп алса, оның мәнін табу жеңілдейді, көбейтудің үлестірімділік заңы бойынша бұл өрнекті былай жазуға болады: ab+ac-ad=a(b+c-d).
Сонда берілген өрнекке теңбе-тең өрнектің мәнін есептеу жеңіл: 37.(26+17-23)= 37.20=740.
Бұл жағдайда есептеудің біраз жеңілдегенін байқау қиын емес.
2) a2-b2 өрнегінің мәнін a=247,5 және b=147,5 болғанда есептегенде, әдетте төрт таңбалы сандарды квадрат дәрежеге шығарып, нәтижелерін бірінен бірін азайтамыз. Берілген өрнекті онымен теңбе-тең өрнекпен алмастырғаннан кейін есептеуді ауызша орындауға да болады.
a2-b2=(a+b)(a-b)=247,52=(247,5+147, 5)(247,5-147,5)=395.100=39500.
3) x2+7х=0 теңеуінің сол жағын бірмүше мен екімүшенің көбейтіндісі түрінде жазып алса, оңай шешуге болады: х(х+7)=0, бұдан х=0 немесе х+7=0, x= -7.
Көпмүшені екі немесе бірнеше көпмүшенің (олардың ішінде бірмүшелер де болуы мүмкін) көбейтіндісі түріне келтіруді көпмүшені көбейткіштерге жіктеу деп атайды.
Алгебралық өрнектерді көбейткіштерге жіктеу көп жағдайда сандарды жай көбейткіштерге жіктеуге ұқсас. Сандарды жай көбейткіштерге жіктеуді бөлшекті қысқартқанда, бірнеше бөлшекті ортақ бөлімге келтіргенде қолданатынбыз. Алгебралық өрнектерді көбейткіштерге жіктегенде де сол мақсат көзделеді. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу тек бөлшектерге ғана қолданылып қоймайды, сонымен бірге ол алгебраның басқа тарауларын оқып үйренгенде де пайдаланылады.
Кез келген көпмүшені (дәрежесі екіден кем емес) өзінен дәрежесі төмен көпмүшелерге жіктеу мүмкін бола бермейді.
Мысалы, a2+b2, a4+b4, a5+b3 сияқты көпмүшелер көбейткіштерге жіктелмейді. Ондай көпмүшелерді келтірілмейтін көпмүшелер деп атайды.
Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару тәсілі.
Бірмүшені көпмүшеге көбейту ережесі бойынша a(b+c -- d)=ab+ac -- ad. Енді теңбе-теңдіктің екі жағындағы өрнектердің орнын алмастырып жазайық: ab+ac -- ad= a(b+c -- d). Егер көпмүшенің барлық мүшелерінің ортақ көбейткіші бар болса, онда оны жақшаның сыртына шығаруға болады. Сонда жақшаның ішінде берілген көпмшенің әрбір мүшесін жақшаның сыртына шығаратын көбейткішке бөлгендегі бөлінді алынады. Мысалы,8a2x3 - 6ab5x4+ +12a5b7x2 : (2ax2) = 4ax; -- 6ab5x4 : (2ax2) = -- 3b5x2,12a5b7x2 : (2ax2) = 6a4b7. Олай болса, жақшаның ішінде 4ax - 3b5x2 + 6a4b7 көпмүшесі қалады, яғни 8a2x3 - 6ab5x4 + 12a5b7x2 = 2ax2(4ax - 3b5x2 + 6a4b7). Жақша сыртына шығарылатын көбейткіш берілген көпмүшенің барлық мүшелерінің ең үлкен ортақ бөлгіші болуы керек.
Мысалы, -- 15x2y3 - 30x3y2 + 45x4y көпмүшесі мүшелерінің әр түрлі ортақ көбейткіштері бар. Олар: x,y,3xy,5x2,15x2y. Жіктеуді бірден толық орындау үшін жақшаның сыртына бірден 15x2y немесе -- 15x2y-ті шығарған дұрыс, сонда жақшаның ішіндегі көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші бар және 15x2y -- ең үлкен ортақ бөлгіш болады.
- 15x2y3 - 30x3y2 + 45x4y= - 15x2y (y2+2xy - 3x2) немесе
- 15x2y3 - 30x3y2 + 45x4y= 15x2y ( - y2 - 2xy + 3x2).

2.4. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеу.
7.2.1.12 - алгебралық өрнектерді ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару және топтау тәсілдері арөылы көбейткіштерге жіктеу.
Көпмүшені ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару арқылы көбейткіштерге жіктеу үшін:

* ортақ көбейткішті анықтап алу керек;
* оған берілген көпмүшені бөлу керек;
* ортақ көбейткіш пен шыққан бөліндінің (бөліндіні жақшаның ішіне алып) көбейтіндісін жазу керек.

Кейде көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші де көпмүше болуы мүмкін. Ол жағдайда ортақ көбейткіш бірмүше сияқты жақшаның сыртына шығарылады.
Мысалы, 5x3(a - b) - 4x2y(a - b)+3z(a - b) = (a - b) (5x3 - 4x2y + 3z), мұндағы (a - b) - ортақ көбейткіш.
Топтау тәсілі.
Көпшілік жағдайда көпмүше мүшелерінің ортақ көбейткіші бола бермейді. Мұндай жағдайда көпмүшенің ортақ көбейткіштері бар қосылғыштарын бірыңғай топтастырады. Осылай топтастыру нәтижесінде ортақ көбейткіш табылады да, оны жақша сыртына шығарады. Сонда кейбір жағдайда жақшаның ішіндегі көпмүшені ортақ көбейткіш ретінде жақшаның сыртына шығаруға болады. Жіктеудің мұндай тәсілін топтау тәсілі деп атайды. Топтау тәсілін қолданғанда қосу мен көбейтудің заңдарына сүйенеді.
Мысалдар қарастырайық:

*
a(b+c)+b+c=a(b+c)+1(b+c)=(b+c) (a+1);
*
a(b-c) - b+c= a(b-c)+ (-b+c)=a(b-c) - 1(b-c)=(b-c)(a-1);
*
m(3x-y)+3ax - m(3x - y)+a(3x - y)=(3x - y) (m+a);

Көпмүшенің мүшелерін топтауды түрліше жүргізуге болады. Мысалы, 2am+2a - 3bm - 3bn көпмүшесінің мүшелерін екі түрлі тәсілмен топтауға болады:
2am+2a - 3bm - 3bn=(2am+2an)+(- 3bm - 3bn)=2a(m+n) - 3b(m+n)=(m+n)(2a - 3b)
Енді алты мүшесі бар мынадай көпмүшені қарастырайық:
ax+bx-ay-by+az+bz=(ax+bx) - (ay+by)+(az+bz)=x(a+b)-y(a+b) - y(a+b)+z(a+b)=(a+b)(x-y+z).
Мұнда әр топқа екі мүшеден алынды, оларды үш-үштен алып топтастыруға да болады: ax+bx-ay-by+az+bz=(ax+bx) - (ay+by)+(az+bz)=(ax-ay+az)+(bx-by+b z)= a(x-y+z)+b(x-y+z)=(x-y+z)(a+b).
Топтау тәсілімен көпмүшені көбейткіштерге жіктеу үшін:

*
көпмүшенің ортақ көбейткіштері бар мүшелерін ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығарғанда, жақша ішіндегілер ұқсас болатындай топтарға біріктіру керек;
*
жақшаның ішіндегі ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару керек.

Көпмүшені топтау тәсілімен көбейткіштерге жіктеу дегеніміз - көпмүшені көпмүшеге көбейтуге кері түрлендіру. Сондықтан нәтиженің дұрысығын тексеру үшін шыққан көбейтіндіні көпмүшеге түрлендіреді. Мысалы, a4+2a3-a-2=a3(a+2)-(a+2)=(a+2)(a3-1 ) жіктелуі дұрыс, өйткені (a+2)(a3-1)=a4+2a3 -- a-2.
Біз қарастырған мысалдардағы көпмүшелердің мүшелер саны жұп еді, енді көпмүшенің мүшелер саны тақ болғанда қалай топтаймыз? Мысалы, x2+4x+3 көпмүшесін көбейткіштерге жіктеу керек болсын дейік. Егер берілген көпмүше келтірілетін көпмүше болса, онда ол бір көпмүшені екінші көпмүшеге көбейтуден алынған және де оның кейбір мүшелері екі көпмүшенің көбейтіндісіндегі ұқсас мүшелерді біріктіруден алынған деп ұйғарып, өрнектің кейбір мүшелерін ұқсас қосылғыштарға жіктеп, содан кейін тоаптау тәсілін қолданамыз.
Мысалы, x2+4x+3=x2+(x+3x)+3=(x2+x)+(3x+3)=x .(x+1)+3(x+1)=(x+1).(x+3).

2.5. Өрнектерді тепе-тең түрлендіру
7.2.1.13 - көпмүшелерге амалдар қолдану, көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу арқылы алгебралық өрнектерді тепе-тең түрлендірулерді орындау.
Тепе-теңдік- егер айнымалының кез келген мәнінде екі өрнектің мәні бірдей болуы. Мысалы: (3+m)(3-m) және 9 - m2 өрнектері тепе-тең. (a+b)(a-b) = a2 - b2 теңдігінің a,b-ның кез келген мәнінде орындалатыны дәлелденген. Өрнектекті оған тепе-тең өрнекпен ауыстыру тепе-тең түрлендіру деп аталады. Қосу және көбейтудің қасиеттерін пайдалану, жақшаны ашу, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару арқылы берілген өрнекті оған тепе-тең өрнекпен ауыстырамыз.
Көпмүшелік сақина, Қ[X], жылы X астам өріс (немесе, жалпы, а ауыстырғыш сақина) Қ анықтауға болады[1] (әдетте қолданылатын басқа балама анықтамалар бар) өрнектер жиынтығы деп аталады көпмүшелер жылы X, форманың қайда б0, б1, ..., бм, коэффициенттер туралы б, элементтері болып табылады Қ, бм != 0 егер м 0, және X, X2, ..., символдары болып табылады, олар күштер ретінде қарастырылады X, және әдеттегі ережелерін сақтаңыз дәрежелеу: X0 = 1, X1 = X, және кез келген үшін теріс емес бүтін сандар к және л. Таңба X анықталмаған деп аталады[2] немесе айнымалы.[3] (Айнымалы термині терминологиясынан шыққан көпмүшелік функциялар. Алайда, міне, X ешқандай мәні жоқ (өзінен басқа), және өзгере алмайды, a тұрақты көпмүшелік шеңберде.) Екі көпмүше әрқайсысының сәйкес коэффициенттері болғанда тең болады Xк тең.
Сақина туралы ойлауға болады Қ[X] ретінде пайда болады Қ бір жаңа элемент қосу арқылы X бұл сыртқы Қ, барлық элементтерімен жүреді Қ, және басқа ерекше қасиеттері жоқ. (Бұл полиномдық сақиналарды анықтау үшін қолданылуы мүмкін.) Көпмүшелік сақина X аяқталды Қ қосу, көбейту және а-мен жабдықталған скалярлық көбейту оны жасайтын а ауыстырмалы алгебра. Бұл операциялар алгебралық өрнектермен жұмыс істеудің қарапайым ережелеріне сәйкес анықталады. Нақтырақ айтқанда, егер
және содан кейін және қайда к = максимум (м, n), л = м + n,және
Бұл формулаларда көпмүшелер б және q нөлдік коэффициенттері бар муляждық терминдерді қосу арқылы кеңейтіледі, осылайша барлығы бмен және qмен формулаларда пайда болатын анықталған. Нақтырақ айтқанда, егер м n, содан кейін б мен = 0 үшін м мен = n.
Скалярлық көбейту - бұл көбейтудің ерекше жағдайы, мұндағы б = б0 дейін азаяды тұрақты мерзім (тәуелді емес термин) X);

Осы үш амалдың коммутативті алгебраның аксиомаларын қанағаттандыратындығын тексеру өте қарапайым Қ. Сондықтан көпмүшелік сақиналар деп те аталады көпмүшелік алгебралар. Тағы бір эквивалентті анықтамаға интуитивті емес болғанымен жиі басымдық беріледі, өйткені оны полиномды шексіз деп анықтаудан тұратын толық қатаң ету оңайырақ жүйелі (б0, б1, б2, ...) элементтері Қ, элементтердің тек ақырғы саны нөлге тең немесе олардың эквивалентті болатын жүйеге ие болатын қасиетке ие м сондай-ақ бn = 0 үшін n м. Бұл жағдайда, б0 және X реттіліктің балама белгілері ретінде қарастырылады (б0, 0, 0, ...) және (0, 1, 0, 0, ...)сәйкесінше. Операция ережелерін тікелей қолдану өрнек екенін көрсетеді.
бұл кезектіліктің балама жазбасы (б0, б1, б2, ..., бм, 0, 0, ...).
Көпмүшелік бағалау
Келіңіздер Қ өріс немесе жалпы, а ауыстырғыш сақина, және R бар сақина Қ. Кез келген көпмүшелік үшін б жылы Қ[X] және кез-келген элемент а жылы R, ауыстыру X үшін а жылы б элементін анықтайды R, қайсысы белгіленді P(а). Бұл элемент ішке қарай жүру арқылы алынады R ауыстырғаннан кейін көпмүшелік өрнегімен көрсетілген амалдар. Бұл есептеу деп аталады бағалау туралы P кезінде а. Мысалы, егер бізде болса
Бізде бар (бірінші мысалда R = Қ, ал екіншісінде R = Қ[X]). Ауыстыру X өзі үшін нәтиже сөйлемдердің неліктен екенін түсіндіріп Let P көпмүше бол және Let P (X) көпмүше бол деген сөз барабар.

2.6. Қысқаша көбейту формулаларын қолдану
Қысқаша көбейту формулалары көпшілік жағдайда көпмүшені көбейткіштерге жіктеуге мүмкіндік береді. Сондықтан қысқаша көбейту формулаларын көпмүшені көбейткіштерге жіктеу формулалары деп атауға да болады.
Енді қысқаша көбейту формулаларын көпмүшені көбейткіштерге жіктеу формулалары түрінде жазайық:
1)a2 - b2=(a+b)(a - b);
2) a2 +2ab+b2=(a+b)2;

*
a2 - 2ab+b2=(a - b)2;
*
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
*
a3 - 3a2b + 3ab2 - b3=(a -- b)3
*
a3+b3=(a+b)(a2 - ab + b2)
*
a3 - b3 =(a - b)( a2 + ab + b2)

Егер үшмүше берілсе, оның мүшелерінің таңбалары бірдей ме, әлде ортаңғы мүшесінің таңбасы басқаларынан өзгеше ме, соны анықтап алып, соған қарай ол үшмүшені қандай да бір екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының квадраты ретінде қарастыру керек.
Егер төртмүше берілсе, онда оны көп жағдайда қандай да бір екі өрнектің қосындысының немесе айырмасының кубы ретінде көрсетуге болады. Мысалы, m3+6m2n+12mn2+8n3=(m+2n)3 .
Көбейткіштерге жіктеудің әр түрлі тәсілдерін қолдану.
Көпмүшені көбейткіштерге жіктеудің бірнеше тәсілін: ортақ көбейткішті жақша сыртына шығаруды; топтау тәсілін; қысқаша көбейту формулаларын қолдануды қарастырайық. Кейде көпмүшені көбейткіштерге жіктегенде осы тәсілдердің бірнешеуін қолдануға тура келеді. Бірақ ол туралы жалпы ереже жоқ, ол берілген көпмүшенің құрамына қарай жасалады. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеуге бірнеше мысал келтірейік.
1) a3 - a =a(a2 - 1)=a(a+1)(a - 1). Мұнда екі тәсілді бірінен соң бірін қолдандық. Олар: ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару және екі өрнектің квадраттарының айырмасының формуласы.
2) (a2+1)2 - 4a2=(a2+1)2 - (2a)2=(a2+1+2a)(a2+1 - 2a)=(a+1)2(a - 1)2.
Мұнда қосылғыштардан ортақ көбейткіші болмағандықтан, алдымен екі өрнектің квадраттарының айырмасының формуласы, одан кейін екі өрнектің қосындысының квадраты мен айырмасының квадратының формулалары қолданылды.
3) a5+a3 - ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.