Мектеп математика курсында функцияны оқытудың мақсаттары
АБАЙ АТЫНДАҒЫ ҚАЗАҚ ҰЛТТЫҚ ПЕДАГОГИКАЛЫҚ УНИВЕРСИТЕТІ
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ИНФОРМАТИКА ИНСТИТУТЫ
ӘОЖ 373.5.016.02:514.112(574)
ЖҰМАТАЙ САЛТАНАТ ҚАНАТҚЫЗЫ
Алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі
7М01501 - Математика
Педагогика ғылымдары магистрі дәрежесін алу үшін орындалған
диссертация
Ғылыми жетекшісі:
Қасқатаева Б.Р., п.ғ.д., профессор
Қорғауға жіберілді:
Математика, физика және информатика
институтының директоры
_____________Сыдықов Б.Д.
___________2023 ж.
Кaфeдрa мeңгeрушici __________________ A.E.Әбiлқacымoвa, п.ғ.д., прoфeccoр
Ғылыми ceминaр төрaйымы ____________ A.E.Әбiлқacымoвa, п.ғ.д., прoфeccoр
Алматы, 2023
ҚAЗAҚCТAН РECПУБЛИКACЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНE ҒЫЛЫМ МИНИCТРЛІГІ
AБAЙ AТЫНДAҒЫ ҚAЗAҚ ҰЛТТЫҚ ПEДAГOГИКAЛЫҚ УНИВEРCИТEТІ
ЖҰМАТАЙ САЛТАНАТ ҚАНАТҚЫЗЫ
Алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі
ДИССЕРТАЦИЯЛЫҚ ЖҰМЫC
7М01501 - Математика
Aлмaты, 2023
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4
1 АЛГЕБРАНЫ ОҚЫТУ ПРОЦЕСІНДЕ ОҚУШЫЛАРДЫҢ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ-ГРАФИКТІК БІЛІМІН ҚАЛЫПТАСТЫРУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
9
9
23
28
1.1
1.2
1.3
Математикадағы функция ұғымының даму тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Мектеп математика курсында функцияны оқытудың мақсаттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Әр түрлі авторлардың алгебра оқулықтарындағы Функция тақырыбының мазмұнын талдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 НЕГІЗГІ МЕКТЕПТЕ ОҚУШЫЛАРДЫҢ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ-ГРАФИКТІК БІЛІМІН ҚАЛЫПТАСТЫРУ ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... . .
45
2.1
2.2
2.3
Алгебра курсында функция ұғымын енгізу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістері мен технологиялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Негізгі мектеп алгебра курсында функцияларды оқытуға арналған әдістемелік нұсқаулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
45
61
74
80
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
89
90
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
1. Қазақстан Республикасында Білім беруді және ғылымды дамытудың 2016-2019 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасы Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2018 жылғы 24 шілдедегі № 460 Қаулысымен бекітілген.
2. Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы. 2007ж.27.07. - №319-ІІІ (04.07.2018ж. өзгертулер мен толықтырулар енгізілген).
3. Білім берудің барлық деңгейінің мемлекеттік жалпыға міндетті білім беру стандарттарын бекіту туралы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің 2018 жылғы 31 қазандағы № 604 бұйрығы.
4. Жалпы білім беру ұйымдарына арналған жалпы білім беретін пәндердің, таңдау курстарының және факультативтердің үлгілік оқу бағдарламаларын бекіту туралы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің м.а. 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығы.
5. Негізгі орта білім беру деңгейінің 7-9-сыныптарына арналған Геометрия пәнінен жаңартылған мазмұндағы үлгілік оқу бағдарламасы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрі м.а. 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығымен бекітілген.
6. Жалпы орта білім беру деңгейінің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-11-сыныптарына арналған Геометрия пәнінен жаңартылған мазмұндағы үлгілік оқу бағдарламасы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығымен бекітілген.
7. Жалпы орта білім беру деңгейінің қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы 10-11-сыныптарына арналған Геометрия пәнінен жаңартылған мазмұндағы үлгілік оқу бағдарламасы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығымен бекітілген.
8. 2019-2020 оқу жылында Қазақстан Республикасының орта білім беру ұйымдарында оқу-тәрбие процесін ұйымдастырудың ерекшеліктері туралы: Әдістемелік нұсқау хат. - Нұр-Сұлтан: Ы. Алтынсарин атындағы Ұлттық білім академиясы, 2019. - 440 б.
КІРІСПЕ
Зерттеудің өзектілігі. Функция ұғымы фундаменталды (іргелі) математикалық ұғымдардың бірі болып табылады. Функция нақты өмірмен тікелей байланысты. Онда нақты әлемнің өзгергіштігі мен динамикасы, нақты әлемнің өзара шарттылығы айқын бейнеленген. Функциялар, олардың қасиеттері мен графиктері мектеп математика курсының негізін құрайды. Барлық заманауи мектеп алгебрасы, математикалық анализ бастамасы және белгілі бір дәрежеде геометрия функцияның айналасында топтастырылған. Функцияның тағы бір ерекшелігі оның математиканы оқытуда пәнішілік және пәнаралық байланыстар орнатуға мүмкіндігі мол [].Ю.М. Колягин
Кез-келген нақты процестің бастапқы алгебралық формасы - бұл функция. Функционалдық графиктердің мәнерлілігі, түсініктілігі, қысқалығы, әмбебаптығы, мағыналық анықтығы, графикалық бейнелердің айқындығы сияқты қасиеттері оларды ғылыми-практикалық жұмыста техникалық және әлеуметтік-экономикалық мәселелерді шешуде таптырмас мүмкіндік болып саналады. Графикалық түрде ұсынылған үлкен көлемдегі ақпаратты өңдеу, жалпылау және талдау энергетикада, экологияда, экономикада және ғылым мен тәжірибенің басқа салаларында өте маңызды рөл атқарады.
Функционалдық-графиктік білімнің негізін құрайтын элементар функциялардың графиктерін оқуға және бейнелеуге қажетті дағдыларды қалыптастыруда мектептегі Алгебра пәні жетекші орын алады.
Алгебра - өмірде көптеген қосымшалары бар математиканың бір бөлімі. Ол білім алушылар үшін дерексіз ойлауды қажет ететін жаңа күрделі шеберлік болып табылады. Алгебра арифметикалық амалдарды қолдануды ғана емес, сонымен қатар сандарды бейнелеу мен математикалық өрнектерді таңбалауға баса назар аударады. Алгебраны түсіну математика ғылымында сәттіліктің кілті, себебі алгебра саласындағы білім мен дағдыны қалыптастыру мектепті бітіргеннен кейін табысқа жету үшін де, болашақ білім беруде білікті мамандар дайындау үшін де, мансапқа жету кезіндеде маңызды. Алгебра бірнеше көріністерді соның ішінде таңбалар, теңдеулер мен графиктерді, сондай-ақ математика ғылымында шешуші рөл атқаратын логикалық ойлау қабілетін иеленеуді талап етеді.
Функциялардың қасиеттерін зерттеу және олардың графиктерін құру мектеп курсының маңызды бөлігі болып табылады. Кейде график функцияны анықтаудың жалғыз мүмкін тәсілі болуы мүмкін. Ол техникада кеңінен қолданылады және көптеген өздігінен жазылатын автоматты құрылғылардың жұмысының негізінде жатыр. Диаграммаларды құру әдістерін еркін меңгеру көбінесе күрделі есептерді шешуге көмектеседі, ал кейде оларды шешудің жалғыз құралы болып табылады. Сонымен қатар, функциялардың графиктерін тұрғыза білу оқушыларға үлкен қызығушылық тудырады.
Функционалды-графиктік білім деп мектеп оқушыларында элементар функциялардың графиктерін оқуға және бейнелеуге қажетті функционалдық-графикалық білімдер мен дағдылар жүйесін айтамыз.
Оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру 7-9-сыныптарда алгебраны оқытумен байланысты, бұл мектеп алгебра курсында элементар функциялар мен олардың қасиеттерін оқытудың хронологиясына байланысты.
Қазақстандық әдіскер ғалымдар А.Е.Әбілқасымова [4], Д.Рахымбек [5], Ж.А.Қараев [6], Б.Р Қасқатаева [7] және т.б. математиканы оқытудың әдістемесін жетілдіруді көрсетті.
Р.Л.Аракелянның, А.Т.Звереваның, В.И.Зыкованың, Л.М.Савинцеваның, А.М.Нәбиевтің зерттеулері алгебраны оқыту үдерісінде графикалық дағдыларды қалыптастыру және дамыту мәселелерін зерттеуге арналған.
Графиктік білімді қалыптастырудың психологиялық аспектілерін Е.Н.Кабанова-Меллер, В.А.Крутецкий, Б.Ф.Ломов, Л.М.Фридман, И.С.Якиманская қарастырылған. Графикалық мәдениетті қалыптастыру Т.И.Бугаева, В.А.Курина, М.В.Лагунова, И.В.Чугунова зерттеулерінде көрсетілген.
Зерттеу нысаны: негізгі мектепте алгебраны оқыту процесі.
Зерттеу пәні: Негізгі мектепте алгебра сабақтарында Функциялар тақырыбын оқушыларға оқыту әдістемесі.
Зерттеу мақсаты: алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесін жетілдіру
Зерттеу міндеттері:
Негізгі мектептің алгебра курсында функцияларды оқытудың теориялық негіздерін айқындау;
Мектеп математика курсында функция ұғымын енгізу әдістемесін әзірлеу;
Оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістері мен технологияларын анықтау;
Негізгі мектеп алгебра курсында функцияларды оқытуға арналған әдістемелік нұсқаулар дайындау
Зерттеу әдістері: жүйелі талдау және белсенділік тәсілі; психологиялық-педагогикалық, әдістемелік әдебиеттерді, диссертациялық зерттеулерді талдау, оқу бағдарламаларын, оқулықтар мен оқу құралдарын талдау; мұғалімдердің тәжірибесін және өзіндік педагогикалық тәжірибесін жинақтау; алгебраны оқытудың мектеп практикасындағы осы мәселенің жай-күйін зерттеу.
Зерттеудің теориялық және әдістемелік негізі: педагогикалық ғылымның әдіснамасы, педагогикалық психологияның негізгі ережелері, мектеп оқушыларының білімін, білігі мен дағдыларын қалыптастыру мәселелері бойынша дидактика және математика әдістемесі; іс-әрекет тәсілінің тұжырымдамалары; математикалық ұғымдарды қалыптастыру теориясы, оқушылардың оқу-танымдық іс-әрекетін басқару болды.
Теориялық маңыздылығы: оқушылардың өзіндік оқу-танымдық іс-әрекетке қабілеттілігін дамытуға бағытталған негізгі мектептің алгебра курсында функцияны оқыту әдістемесін жасаудан тұрады. Алынған ғылыми нәтижелер негізгі және орта мектепте алгебраны оқыту әдістемесін дамытуға және жетілдіруге мүмкіндік береді.
Практикалық маңыздылығы: әзірленген функцияларды оқыту әдістемесін негізгі мектептің математика мұғалімдері алгебра сабақтарының тиімділігін арттыру мақсатында мектеп практикасында қолдана алады; негізгі мектептің алгебра курсында функцияларды оқытуға арналған тапсырмалар жүйесін, мұғалімдерге арналған әдістемелік нұсқауларды оқытушылар мен студенттер педагогикалық практика кезінде және одан әрі кәсіби қызметінде қолдана алады.
Қорғауға шығарылатын негізгі тұжырымдар: негізгі мектеп алгебра курсында оқушыларға функцияларды оқытуға арналған әдістемелік нұсқаулар; негізгі мектеп алгебра курсындағы Функциялар тақырыбына құрастырылған есептер жүйесі.
Жұмыстың құрылымы: жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымшалардан тұрады.
Зерттеу нәтижелерінің апробациясы:
Мектеп оқушыларының алгебраны оқыту процесінде функционалдық-графиктік білімін қалыптастыруглобальная наука и инновация 2022: центральная азия № 4(18). Желтоқсан 2022 жыл серия педагогические науки. Xviii том. 19-21 стр
Мектепте алгебра пәнін оқытуда функция ұғымын енгізу әдістемесі. білім times № 5 (74) 2023. 2-3 стр
Диссертациялық жұмыстың құрылымы. Жұмыстың құрылымы қойылған міндеттерді шешудің ретімен және логикасымен анықталды. Жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен, кестелерден, суреттерден тұрады.
Кіріспеде жұмыстың ғылыми-әдіснамалық аппараты тұжырымдалған, яғни зерттеу тақырыбының өзектілігі, зерттеудің мақсаты мен міндеттері айқындалған, зерттеудің нысаны мен пәні, әдістері, теориялық және практикалық маңыздылығы, әдіснамалық негіздемесі келтірілген.
Алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастырудың теориялық негіздері бірінші тарауында алгебраны оқыту процесіндегі функция ұғымының тарихы, функцияны оқытудағы негізгі мақсаттар мен мектеп оқулықтарын талдау қарастырылған.
Негізгі мектепте оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі екінші тарауында алгебра курсында функция ұғымын енгізе отырып, оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі тұжырымдалған. Сонымен қатар, компьютерлік программаларды қолдану мүмкіндіктері көрсетіліп, оқушылардың функционалдық сауаттылығын дамытуға бағытталған практикалық мазмұнды есептер жүйесі берілген.
Қорытындыда жүргізілген зерттеу жұмысының негізгі нәтижелері тұжырымдалып, геометриялық шамаларды жүйелі оқыту негізінде оқушылардың білімдерін дамытуға қатысты әдістемелік ұсыныстар берілді.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімінде зерттеу барысында талданған, қарастырылған әдебиеттер тізімі көрсетілген.
1 АЛГЕБРАНЫ ОҚЫТУ ПРОЦЕСІНДЕ ОҚУШЫЛАРДЫҢ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ-ГРАФИКТІК БІЛІМІН ҚАЛЫПТАСТЫРУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Математикадағы функция ұғымының даму тарихы
Функция негізгі математикалық және жалпы ғылыми ұғымдардың бірі болып табылады. Ол шынайы дүниені тануда үлкен рөл атқарды және әлі де атқаруда.
Математикадағы функция ұғымының даму тарихы бірнеше ғасырларға созылады және көптеген математиктердің қосқан үлесін қамтиды. Осы ұғымның ерте бастауларынан бастайық және оның дамуының негізгі кезеңдерін атап өтейік.
Антикалық дәуір: Ежелгі Греция мен Үндістанда шамалар арасындағы байланыс туралы алғашқы түсініктер пайда болды. Мысалы, көне гректер түзулер мен параболалар сияқты шамалар арасындағы қатынасты көрсету үшін геометриялық қисықтарды пайдаланған.
Функционалдық тәуелділік идеясы ежелгі дәуірден басталады. Оның мазмұны шамалар арасындағы алғашқы математикалық өрнектелген қатынастарда, сандармен амалдардың бірінші ережелерінде кездеседі. Белгілі бір фигуралардың ауданы мен көлемін табудың бірінші формулаларында. Сонымен, вавилондық ғалымдар (4-5 мың жыл бұрын)шамамен формуланы табу арқылы шеңбердің ауданы оның радиусының функциясы екенін анықтады: S=3r2. Вавилондықтардың, ежелгі гректердің және үнділердің астрономиялық кестелері функцияның кестелік тағайындалуына мысал бола алады және шеңбер мен шаршы аудандарының оның диаметріне қатынасының тұрақтылығы туралы теорема немесе конустың ежелгі анықтамалары. бөлімдер функцияның ауызша тағайындалуының мысалдары бола алады және бұл қисықтардың өзі сәйкес тәуелділіктің геометриялық бейнесі ретінде әрекет етті. Ежелгі Вавилон математиктері функциялардың жалпы тұжырымдамасын құрудың ұзақ жолында алғашқы қадамдарды жасады. Олар сандардың кері сандарының кестелерінен, олардың квадраттары мен кубтарынан, квадраттар мен кубтардың қосындыларынан тұрады. Қазіргі мағынада бұл функциялардың мәндерінің кестелері болды: y=1x, y=x2 y=x3, y=x2+x3.
Функция идеясы француз математигі Рене Декарттың (1-сурет) жұмысында дами бастайды. Ол шамалар арасындағы тәуелділікті көрсету үшін координаталар жүйесін қолдануды ұсынады және координаталық функция ұғымын енгізеді. Сонымен бірге итальян математигі Джилиэльмо Бролла шамалар арасындағы байланысты белгілеу үшін функция терминін қолдануды ұсынды.
Тек 17 ғасырдан бастап, айнымалылар идеясының математикаға енуіне байланысты функция ұғымы анық және саналы түрде қолданыла бастады.
1-сурет. Рене Декарт
Функция ұғымының пайда болу жолын 17 ғасырда француз ғалымдары Франсуа Виет пен Рене Декарт қалаған; олар көп ұзамай жалпыға бірдей танылған бірыңғай әріптік математикалық символизмді дамытты. Бір белгі енгізілді: белгісіз - латын әліпбиінің соңғы әріптері - x, y, z, белгілі - сол алфавиттің бастапқы әріптері - a, b, c, ... және т. б. әр әріп бойынша нақты деректерді ғана емес, көптеген басқа мәліметтерді де түсінуге болады; математикаға өзгеріс идеясы келді. Осылайша, жалпы формулаларды жазу мүмкіндігі пайда болды.
Вавилондықтардың, ежелгі гректердің және үнділердің астрономиялық кестелері функцияның кестелік тағайындалуына мысал бола алады. (2-сурет)
2-сурет.
Сонымен қатар, Декарт пен Ферма (1601-1665) геометриялық жұмыстарда айнымалы шаманың және тікбұрышты координаттар жүйесінің айқын көрінісі пайда болады. 1637 жылы өзінің" геометриясында " Декарт абсциссаның өзгеруіне байланысты нүктенің ординатасының өзгеруі ретінде функция ұғымын береді; сонымен қатар негізінен алгебралық теңдеулерді қолдана отырып дәл ұсынуға болатын қисықтарды ғана жүйелі түрде қарастырды. Бірте - бірте функция ұғымы аналитикалық өрнек-формула ұғымымен анықтала бастады. 1671 жылы Ньютон функция арқылы уақыт өте келе өзгеретін айнымалы шаманы түсіне бастады (оны "флюент"деп атады).\
"Функция" сөзінің өзі (латын тілінен functio-орындау, орындау) алғаш рет неміс математигі Лейбниц 1673 жылы Гюйгенске жазған хатында қолданған (функция бойынша ол ұзындығы белгілі бір заңға сәйкес өзгеретін сегментті түсінді), 1694 жылдан бастап баспаға енгізілді. 1698 жылдан бастап Лейбниц "айнымалы" және "тұрақты"терминдерін де енгізді.
Ұлы неміс математигі Леонхард Эйлер функциялар теориясының дамуына орасан зор үлес қосты. Ол экспоненциалды, логарифмдік және тригонометриялық функцияларды қамтитын функциялардың жалпы теориясын жасады. Сондай-ақ Эйлер ойша бірлік түсінігін енгізіп, күрделі функцияларды зерттеді.
18 ғасырда функцияға бір айнымалыны екіншісімен байланыстыратын формула ретінде жаңа көзқарас пайда болады.Бұл функция ұғымына аналитикалық көзқарас деп аталады. Мұндай анықтамаға алғаш рет швейцариялық математик Иоганн Бернулли (1667-1748) көзқараспен қарады(3-сурет), ол 1718 жылы функцияны келесідей анықтады: "айнымалы шаманың функциясы-Бұл айнымалы шаманың және тұрақтылардың кез-келген түрінен пайда болған шама". X-тен ерікті функцияны белгілеу үшін Бернулли j(x) белгісін қолданып, функцияның сипаттамасын, сондай-ақ x немесе e әріптерін атады ; Лейбниц қазіргі f1(x), f2(x) орнына x1 , x2 қолданды. Эйлер f : y, f: (x + y) арқылы біз қазір f(x), f(X+y) арқылы белгілейтін нәрсені белгіледі.
\
3-сурет. Иоганн Бернулли
Олардың көмегімен кері есептерді шығару мүмкін болды. Олар сонымен қатар екі айнымалы функциялардың мәндерінің кестелерін құрастырды, мысалы, қосу және көбейту кестелері.
Ежелгі Греция математиктері ең үлкен және ең кіші мәндерге кейбір есептерді шығарды, хордалардың ұзындықтары мен диаметрлерінің арасындағы байланысты ашты.
Грек астрономдары математиканың жаңа саласы - тригонометрияның негізін қалады. Олар доғалардың өлшемдері мен оларға бағынатын хордалардың ұзындықтары арасындағы байланыс кестелерін құрастырды.
Шын мәнінде, бұл y = 2sin(x2) функция мәндерінің кестелері болды.
Кейіннен математиктер көптеген басқа функционалдық тәуелділіктерді зерттеді, дегенмен функция ұғымы әлі енгізілмеген. Тіпті Р.Декарт, П. Ферма, и. Ньютон және Г. Лейбництің жазбаларында функция ұғымы негізінен интуитивті болды және геометриялық немесе механикалық бейнелермен байланысты болды.
Функцияның алғашқы анықтамасына француз математигі Рене Декарт (1596-1650) айнымалы шама ұғымын енгізу арқылы жол ашты.
Функция терминін алғаш рет 1692 жылы көрнекті неміс философы және математигі Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) белгілі бір қисық сызықтың нүктелерін қосатын әртүрлі кесінділерді сипаттау үшін ұсынған.
4-сурет. Готфрид Вильгельм Лейбниц
Алғашында функция ұғымы тек геометриялық бейнелермен байланыстыра отырып, өте тар мағынада қолданылды. Бұл қисық сызықтарға жанамалардың сегменттері, олардың координат осьтеріндегі проекциялары және берілген фигура үшін белгілі бір функцияны орындайтын басқа сызықтар туралы болды (латын тілінен functus - орындау). Демек, ол кездегі функция ұғымы геометриялық пішіннен әлі арыла қоймаған еді.
Тек 1718 жылы швейцар математигі Иоганн Бернулли (1667 - 1748) геометриялық тілден функцияның анықтамасын тұжырымдады: Айнымалы шаманың функциясы - бұл айнымалы шама мен тұрақтылардан кез келген жолмен жасалған шама.
Геометриялық кескіндерден ауытқу функцияларды зерттеуде жаңа дәуірді белгіледі.
И.Бернуллидің анықтамасы тек Г.Лейбниц пен оның мектебінің еңбегіне ғана емес, сонымен қатар көптеген әртүрлі функционалдық тәуелділіктер мен олардың қасиеттерін зерттеген И.Ньютонның зерттеулеріне негізделді. Функция сөзінің орнына И.Ньютон ординат терминін қолданған. Ол геометриялық және физикалық тәуелділіктерді зерттеуді осы ординаттарды зерттеуге қысқартты және ол ординаттардың өзін әртүрлі аналитикалық өрнектермен сипаттады.
И.Бернулли берген функцияның анықтамасы толық болуы үшін функцияларды анықтаудың қандай әдістерін қолайлы деп санауға болатынын келісу қажет болды. Жалпы өрнектермен берілген функцияларға рұқсат етілген деп есептелді, олар сандарды, әріптерді, арифметикалық амалдардың белгілерін, бүтін дәрежелі дәрежеге көтеруді және түбірлерді алуды қамтиды. Тригонометриялық, кері тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік функциялар да қарастырылды.
Мұндай функцияларды элементар функциялар деп атайды.
Бүкіл ғылыми қызметі Ресей және Германиямен байланысты Швейцариядан шыққан көрнекті математик Леонхард Поль Эйлер (1707-1783) Дифференциалдық есептеулер (1755) трактатында И.Бернуллидің анықтамасын нақтылап, жалпылады.
Аналитикалық тұрғыдан функцияның анықтамасының соңғы тұжырымын 1748 жылы Бернуллидің студенті Эйлер (Шексізді талдауға кіріспеде) жасаған: Айнымалы шаманың функциясы аналитикалық өрнек болып табылады. , қандай да бір түрде осы шама мен сандардан немесе тұрақты шамалардан құралған. Бұл функцияны бүкіл 18 ғасырда дерлік д'Аламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) және басқа да көрнекті математиктер түсінді. Эйлерге келсек, ол жоғарыдағы анықтаманы үнемі ұстанған жоқ; еңбектерінде математикалық талдау талаптарына сәйкес функция ұғымы одан әрі дамыды.
Дәлірек айтқанда, Л.Эйлер былай деп жазды: Кейбір шамалар басқаларға тәуелді болса, соңғысы өзгергенде, олардың өзі де өзгеріске ұшыраса, онда біріншісі соңғысының функциялары деп аталады. Л.Эйлер өз еңбектерінің бірінде функция графигін қолдың еркін қозғалысы арқылы сызылатын қисық сызық деп те қарастырған.
Математикалық анализді геометрия мен механика тілінен босатуда Л.Эйлердің еңбектері маңызды рөл атқарды. Оларда алғаш рет тригонометриялық функциялар теориясы геометрияға жүгінбей ұсынылып, көрсеткіштік және логарифмдік функциялар алгебралық функциялармен тең құқыққа ие болды.
Л.Эйлер математикалық талдаудың функциялар туралы ғылым екенін, шексіз аздардың бүкіл талдауы айнымалы шамалар мен олардың функцияларының төңірегінде жүретінін атап көрсетті. Л.Эйлер f(x) функциясының символын енгізуге жатады.
Л.Эйлердің функция туралы бұл көзқарасына байланысты оның және оның бәсекелестері арасында, атап айтқанда, атақты француз математигі Жан Лерон д'Аламбермен (1717 - 1783) аналитикалық өрнектің мүмкіндігі төңірегінде ерікті қисық және екі анықтаманың қайсысы болатындығы жайлы дау туды(қисық немесе формула) жалпылама қарастырылуы керек. Сондай-ақ бір функцияны бірнеше аналитикалық өрнектермен беруге болатындығы туралы дау болды.
Француз математигі Жан Батист Фурье (1768-1830) түсініктеме берді. Ол 1807 және 1811 жылдары Париж ғылым академиясына ұсынған қатты денеде жылудың таралу теориясы туралы естеліктерде әртүрлі аналитикалық өрнектермен әр түрлі аралықтарда берілген функциялардың алғашқы мысалдары келтірілген.
Бұл қазіргі уақытта теориялық зерттеулерде де, тәжірибеде де кеңінен қолданылып жүрген бөлшектік берілген функциялар деп аталады.
Ж.Фурье еңбектерінен кез келген қисық қанша және қандай гетерогенді бөліктерден тұратынына қарамастан, біртұтас аналитикалық өрнек ретінде ұсынылуы мүмкін екендігі анықталды. Дж.Фурье аналитикалық өрнекте жазылатын үзіліссіз функциялардың бар екенін де анықтады.
Ж.Фурьенің тұжырымдары француз математигі Августин Луи Кошидің (1789 - 1857) Алгебралық анализ курсы (1821) трактатында дәлелденді.
Математикалық талдаудың әрі қарай дамуы және математиканың практикалық қолданылуы функция түсінігінің кеңеюіне әкелді. 1834 жылы көрнекті орыс математигі Николай Иванович Лобачевский (1792 - 1856) сәйкестік идеясына негізделген функцияның анықтамасын тұжырымдады: . Функцияның мәні аналитикалық өрнекпен немесе барлық сандарды тексеру және олардың біреуін таңдау құралын беретін шартпен берілуі мүмкін; немесе, сайып келгенде, тәуелділік бар және белгісіз болып қалуы мүмкін....
Функция ұғымына ұқсас көзқарасты чех математигі Бернард Болзано (1781 - 1848) ертерек айтқан болатын. Өкінішке орай, оның 1830 жылы жазылған Функция туралы ілім атты ғылыми еңбегі талантты математик қайтыс болғаннан кейін жүз жылдан кейін ғана жарық көрді.
1837 жылы неміс математигі Питер Густав Лежеун Дирихле (1805 - 1859) функция түсінігіне мынадай жалпылау жасады: y - х айнымалысының функциясы (a = x = b интервалында), егер х-тің әрбір мәні белгілі y мәніне сәйкес келеді және бұл сәйкестіктің қалай орнатылғаны маңызды емес - аналитикалық формуламен, графикпен, кестемен немесе тіпті жай сөздермен.
Осы жалпы анықтамаға сәйкес келетін мысал Дирихле функциясы төмендегідей аталуы мүмкін:
Dx=1, егер х-рационал сан0, егер х-иррационал сан
XIX ғасырдың екінші жартысында. Жиын теориясын жасағаннан кейін сәйкестік идеясымен қатар функцияның анықтамасына жиын идеясы да кірді, сондықтан функцияның анықтамасы былай тұжырымдала бастады: Егер әрбір элемент Х жиынының х-і Y жиынының қандай да бір нақты y элементімен байланысты болса, онда олар Х жиынында у = f(x) функциясы берілгенін айтады. Кейде f заңы бойынша Х жиыны Y жиынына бейнеленеді деп айтылады.
Функцияның бұл анықтамасын тек шамалар мен сандарға ғана емес, геометриялық фигуралар сияқты басқа математикалық объектілерге де қолдануға болады.
Алайда, 19 ғасырдағы математикалық талдау тек сандық функцияларды, яғни анықтау облысы мен мәндерінің жиыны сандық жиындар болатын функцияларды зерттеумен шектелді. Осылайша, он тоғызыншы ғасырдағы математикалық талдау Дирихле анықтамасына негізделуін жалғастырды.
20 ғасырдың басынан бастап Дирихленің анықтамасы математиктердің бір бөлігі арасында күмән тудыра бастады. Физикаға кеңірек көзқарасты қажет ететін құбылыстарға тап болған физиктерді сынау одан да маңызды болды. Функция ұғымын одан әрі кеңейту қажеттілігі әсіресе 1930 жылы Кванттық механиканың негізін қалаушылардың бірі, ең ірі ағылшын физигі Пол Дирактың (1902-1984) "кванттық механика негіздері" кітабы шыққаннан кейін өткір болды. Дирак функцияның классикалық анықтамасынан асып түсетін дельта деп аталатын функцияны енгізді.
Бірақ 20 ғасырдың басында физиканың қажеттіліктерінен туындаған функция түсінігін одан әрі кеңейту қажеттілігі туындады. Ол 1930 жылы ағылшын физигі Пол Адриен Морис Дирактың (1902 - 1984) жазған Кванттық механиканың негіздері монографиясы жарияланғаннан кейін ерекше өткір болды.
П.Дирак функцияның классикалық анықтамасынан әлдеқайда асып түсетін дельта функциясы деп аталатын ұғымды енгізді.
П.Дирактың анықтамасы бойынша дельта функциясы х = 0-ден басқа барлық х үшін нөлге тең y = δ(x) функциясы болып табылады, мұнда delta функциясы шексіздікке айналады және
Осыған байланысты 30-40 жж. 20 ғасыр Кеңес математигі Николай Максимович Гюнтер (1871 - 1941) және басқа ғалымдар нүктелік функцияларды емес, кванттық механикалық құбылыстардың физикалық мәніне жақсырақ сәйкес келетін домендік функцияларды қарастырған еңбектер жариялады.
Одан әрі ғылыми зерттеулер дельта функциясын қамтитын жалпыланған функция ұғымына әкелді. Жалпыланған функциялар теориясының дамуына негізгі үлесті француз математигі Лоран Шварц (1915 - 2002) мен көрнекті кеңес математигі Сергей Львович Соболев (1908 - 1989) қосты.
С.Л. Соболев оны 1935 жылы ұсынды. 10 жылдан кейін Л.Шварц өз бетінше осыған ұқсас идеяға келді, барлық алдыңғы тәсілдерді біріктіріп, топологиялық векторлық кеңістіктер теориясына негізделген ыңғайлы формализмді ұсынады.
Жалпыланған функциялар теориясының дамуына кеңес математиктері Израиль Моисеевич Гельфанд (1913 - 2009) және Георгий Евгеньевич Шилов (ғылыми мансабының басында Юрий Боссе деген атпен белгілі; 1917 - ) маңызды үлес қосқанын атап өткен жөн. 1975) және т.б.
ХІХ ғасырдың екінші жартысында алгебра оқулықтары жеткіліксіз болды. 60-шы жылдардан бастап алгебраны оқыту бағдарламалары мен әдістері туралы кеңінен талқылау басталды [1].
Қарастырылатын негізгі мәселелер:
- алгебраны оқыту мақсаттары;
- арифметикадан алгебраға өту жолдары мен әдістерін іздеу;
- функция ұғымын алгебра курсына қосу.
"Функция" тақырыбын Алгебра курсына енгізу идеясын Михаил Васильевич Остроградский айтты. Ол орта мектепте идеяны функцияны енгізуді жақтады және талдауды бастады.
В.П. Шереметевский Математика ғылым ретінде және оның мектеп суррогаттары мақаласында Функция тақырыбын алгебра курсына енгізу қажеттігін дәлелдеген.
19 ғасырдың аяғында мектепте математикалық білім берудің классикалық жүйесі құрылды және оның идеяларының бірі Функция тақырыбын алгебра курсына қосу идеясы болды.
Өз мәнінде өзгеріссіз қалатын шамалар тұрақтылар деп аталады. Әртүрлі мәндерді қабылдай алатын айнымалылар айнымалылар деп аталады.
Белгілі бір шамаларды тек салыстырмалы мағынада, қарастырылып отырған мәселе шегінде тұрақты деп есептеуге болатынын байқаймыз. Өмір шындығында біз өзгермейтін құндылықты көрсете алмаймыз. Жоғарыда келтірілген мысалда белгілі бір уақыт кезеңінен кейін тауардың бағасы бір немесе басқа бағытта өзгеруі мүмкін.
Әдетте, формулаға енгізілген тұрақтылар алфавиттің бірінші әріптерімен a, b, c, ..., m, ал айнымалылар соңғы x, y, z арқылы белгіленеді, әрине, бұл шарт әрқашан сақтала бермейді.
Кейде айнымалы бір емес, екі, үш немесе одан да көп басқа айнымалыларға тәуелді болады. Сонда ол екі, үш немесе одан да көп айнымалылар функциясы деп аталады.
Мысалы: бірқалыпты қозғалыс жолының формуласы келесідей өрнектеледі:
S=vt
мұнда v (жылдамдық) тұрақты шама; t (уақыт) - тәуелсіз айнымалы (аргумент); s (жүрілген жол) осы аргументтің функциясы болып табылады.
Сонымен, функция ұғымы математика ғылымының дамуы мен оның практикалық қолдану қажеттіліктеріне сәйкес дамып, кеңейе береді.
20 ғасырда функциялар теориясы одан әрі дамыды. Топология және абстрактілі кеңістіктер ұғымының енгізілуі функциялар теориясын жалпылауға және кеңейтуге мүмкіндік берді. Луи Брауэр, Эмиль Борель, Андре Вайль сияқты математиктер функциялар теориясына және олардың жалпылауына елеулі үлес қосты. Қазіргі математикада функциялар әртүрлі контексттерде, соның ішінде функционалдық талдау, өлшем және интегралдық теория, ықтималдықтар теориясы және басқа салаларда зерттеледі.
1.2 Алгебра курсында функцияларды оқытудың негізгі мақсаттары
Математикадағы функция ұғымы математикадағы іргелі ұғымның бірі болып табылады. Алгебра мен геометрияның негізгі ұғымдары функционалдық негізде құрылады.
Математикалық есептерді шешу процесінде функциялардың қасиеттері жиі пайдаланылады. Мысалы, теңдеулер мен теңсіздіктерді, олардың жүйелерін шешкен кезде көбінесе оның сол жақ және оң жақ бөліктерінде тұрған функциялардың мәндер облысын салыстыру пайдалы. Олардың қиылысуы бос немесе бір нүктеге тең болуы мүмкін. Бұл теңдеуді немесе теңсіздікті шешу туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Параметрлері бар есептерді шешу кезінде тапсырмада берілген функциялардың графигін қолдану жиі көмектеседі. Жалпы, функционалдық графиктерді қолдануға негізделген графикалық шешім математикалық есептерді шешудің әдістерінің бірі болып табылады.
Функция жалпы мәдени, дүниетанымдық мәнге ие. Оны зерттеу оқушыларды жалпыға ортақ тәуелділік идеясымен, үздіксіздік, шексіздік, идеясымен таныстырады. Уақытқа тәуелді барлық процестер функционалдық тәуелділіктер болып табылады. Функция көптеген нақты процестердің үлгісі. Функциялардың қасиеттерін зерттеу қоршаған әлем құбылыстарын зерттеуге мүмкіндік береді.
Функционалдық тәуелділіктер әртүрлі ғылымдар мен оқу пәндерінде қолданылады. Мектепте функцияны оқыту оқушыларға осы ұғымның маңыздылығы мен қолданысын көрсетуге, функциялар зерттелетін жерде көптеген заңдар мен байланыстардың функционалдық негізі бар екенін көруге мүмкіндік береді.
Мектептегі математика курсында функцияны оқытудың міндеттеріне мыналар жатады:
1. Функция ұғымын түсіну: негізгі мақсат оқушыларға функцияның не екенін және оның шамалар арасындағы байланысын түсіну. Оқушылар функцияның белгілі бір жиынның әрбір элементіне екінші жиынның тек қана бір элементі сәйкес келетін тәуелділік (бейнелеу) екенін білуі керек.
2. Функцияның графиктерімен жұмыс: оқушыларға функция графиктерін салу және түсіндіре білу. Функцияның графигін салу оқушыларға функцияның нөлдері, жоғары, ең төменгі мәндері, өсуі және кемуі сияқты қасиеттерін көрнекі түрде талдауға және терең түсінуге мүмкіндік береді. Функциялардың графикалық көрінісі студенттерге олардың қасиеттерін түсінуге және есте сақтауға көмектеседі.
3. Алгебралық функциялармен жұмыс: Мақсаты студенттерге сызықтық, квадраттық және кубтық функциялар сияқты алгебралық функциялардың әртүрлі түрлерін талдау және олармен жұмыс істей білу. Оқушылар функциялардың түбірлерін табу, теңдеулерді шешу, функциялардың мәндерін табу және олардың қасиеттерін талдай алуы керек.
4. Трансценденттік функцияларды түсіну: Мақсат студенттерге көрсеткіштік және логарифмдік функциялар сияқты трансценденттік функцияларды түсіну және олармен жұмыс істей білу. Студенттер бұл функциялардың әртүрлі салаларда өзіндік ерекше қасиеттері мен қолданбалары бар екенін білуі керек.
5. Практикалық жағдайларда функцияларды қолдану: Мақсаты студенттерге функция ұғымын практикалық жағдайларда қолдана білу. Бұл функцияларды экономика, физика, биология және басқа ғылымдардағы, сондай-ақ күнделікті өмірдегі мәселелерді шешуде қолдануды қамтуы мүмкін.
6. Математикалық ойлауды дамыту: Мақсаты функцияны оқыту оқушылардың математикалық ойлауын дамытуға ықпал етеді.
Функцияларды зерттеу аналитикалық ойлауды, логикалық ойлауды, абстрактілі ойлауды және жағдайларды модельдеу қабілетін қажет етеді. Функцияларға байланысты есептерді шығару барысында оқушыларда бұл дағдылар қалыптасады.
Мектеп математика курсында функцияны оқытудың міндеттері функциялар туралы негізгі түсінік беру және математиканы академиялық оқуда да, күнделікті өмірде де пайдалы болатын дағдылар мен дағдыларды дамыту болып табылады.
Егер біз даму мақсаттарын қарастыратын болсақ, онда функцияларды зерттеу, ең алдымен, әртүрлі объектілердің өзгерістері арасындағы тәуелділіктерді көруге жауап беретін функционалды ойлауды дамытуға, сондай-ақ алгебралық материалды зерттеу кезінде қойылған мақсаттарға ықпал етеді (абстрактілі материалмен жұмыс істеу қабілетін дамыту, талдау қабілеті және т.б.).
Функционалдық график алгебраның негізгі мазмұндық бағыттарының бірі болып табылады. Функционалдық график функция ұғымымен тікелей байланысты мәселелерді зерттеуде де, алгебраның көптеген ұғымдарына функционалдық бағыт беруде де жүзеге асырылады.
Алгебрадан жұмыс бағдарламалар жинағында Т.А. Бурмистрова математика курсында функционалдық сызықтың мазмұны студенттерге айналамыздағы құбылыстар мен процестерді зерттеуге және талдауға мүмкіндік беретін іргелі алгебралық мысалы ретінде функция туралы белгілі бір білім алуға бағытталғанын көрсетеді.
Функционалдық материалды меңгеру оқушылардың математиканың сөздік, графикалық және символдық тілдерін қолдану қабілетін қалыптастыруға ықпал етеді. Сонымен қатар, функционалдық графиктің материалы басқа ғылымдардың дамуындағы математика ғылымының рөлін көрсетуге мүмкіндік береді.
Негізгі мектептің мектептің алгебра курсында Функциялар тақырыбын оқу нәтижесінде оқушылар:
- біледі:
1. Функционалдық ұғымдар жүйесі.
2. Функционалды тіл және символдар.
3. Элементар функционалдық тәуелділіктер
-қолданады:
1. Функционалдық ұғымдар жүйесін, функционалдық тіл мен таңбаларды қолдану.
2. Элементар функциялардың графиктерін тұрғызу.
3. Функцияның негізгі қасиеттерін көрсету үшін оның графигін талдаңыз.
4. Бізді қоршаған дүниенің тәуелділіктерін және математикалық есептерді сипаттау және талдау үшін функционалды графикалық көріністерді қолдану.
5. Графикалық бейнелерді теңдеулерді, теңсіздіктерді, жүйелерді шешу және зерттеу үшін қолдану.
2015 жылғы 8 сәуірдегі негізгі жалпы білім берудің үлгілік бағдарламасында күнделікті өмірде қолдану үшін 7-9-сыныптарда функционалдық графикті зерделеу барысында басқа пәндерді оқу кезінде және оқуды табысты жалғастыру мүмкіндігін қамтамасыз ету көрсетілген. базалық деңгейде студенттер білуі керек:
1. Аргументтің мәні берілген, функцияның мәнін табу, сонымен қатар кері тапсырманы орындау.
2. Нүктенің координаталық жазықтықта орналасуына қарай координаталарын табу, координаталары бойынша нүктенің орнын анықтау.
3. Функцияның графигін оның негізгі қасиеттерін (домені, мәндер диапазоны, функция жойылатын нүктелері, тұрақтылық интервалдары, монотондылық, функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері) көрсету үшін талдаңыз.
4. Сызықтық функцияның графигін тұрғызыңыз.
5. Графиктен берілген функцияның түрін анықтаңыз (сызықтық, квадраттық, кері пропорционалдық).
6. Функция графиктерінің қиылысу нүктесінің координаталарының жуық мәндерін табыңыз.
7. Негізгі деңгейде ұғымдарды қолдану: реттілік, арифметикалық және геометриялық прогрессиялар.
8. Жауабын формулаларды қолданбай тікелей есептеу арқылы алуға болатын прогрессияға есептер шығару.
9. Нақты процестер мен тәуелділіктердің графиктерін талдаңыз.
10. Сызықтық функцияның қасиеттері мен графигін әртүрлі оқу пәндерінен есептер шығару үшін қолдану.
Оқушы 7-9-сыныптарда білім алуды негізгі және қосымша деңгейлерде табысты жалғастыруды қамтамасыз ету мүмкіндігіне ие болады:
Функционалдық терминологияның негізін меңгеру.
y=a+kx+b y=x, y=3x, y=xфнукцияларын графикалық түрде сызықтық, квадраттық функцияларды, кері пропорционалдылықты көрсету.
Квадраттық функцияның мысалын пайдалана отырып, функция графиктерінің түрлендірулерін қолдану (координаталар осі бойынша жылжулар, қысу, созу).
Екі нүктедегі түзудің теңдеуін, сондай-ақ берілген нүкте арқылы өтетін және берілген түзуге параллель түзудің теңдеуін құрастыру.
Функцияның қасиеттерін графикалық бейнелеу арқылы анықтау.
Мәндер ауқымын, функция жойылатын нүктелерді, тұрақты таңбалы интервалдарды, квадраттық функцияның монотондылығын анықтаңыз.
Реттілік, арифметикалық және геометриялық прогрессия анықтамалмарды білу.
Арифметикалық және геометриялық прогрессияға есептер шығару.
Нақты тәуелділікті немесе процесті сипаттамаларына сәйкес графикалық түрде көрсету.
Басқа оқу пәндеріндегі әртүрлі есептерді шешу үшін квадраттық функцияның графигі мен қасиеттерін қолдану.
Оқушы 7-9-сыныптарда оқуын жоғары деңгейде жалғастыру үшін, сондай-ақ күнделікті жағдайларда қолдану және әртүрлі пәндік салалардағы мәселелерді шешу үшін оқуға мүмкіндік алады:
Негізгі функционалдық ұғымдарды (тақжұп функциялар, асимптоталар, мерзімділік және т.б.) еркін меңгеру.
Мына функцияларды графикалық түрде көрсетіңіз: сызықтық, квадраттық, бөлшек-сызықтық, дәреже, y=x.
Функция графиктерінің түрлендірулерін қолдану (координаталар осі бойынша жылжулар, қысу, созу).
Функциялардың қасиеттерін және параметрлерге байланысты график түрін зерттеңіз.
Тізбек шегі, арифметикалық және геометриялық прогрессиялар сияқты ұғымдарды меңгеру.
Арифметикалық және геометриялық прогрессияға әртүрлі есептер шығару.
Математикалық индукция әдісін бөлінгіштік есептерді шығаруда, формулаларды шығаруда, теңдік пен теңсіздікті дәлелдеуде қолдану.
Берілген қайталанатын тізбектерді зерттеу.
Қоршаған шындықтың құбылыстары мен процестеріне сәйкес функцияларды құру және зерттеу, зерттелетін құбылыстың немесе процестің ерекшеліктерін ескере отырып, алынған тұжырымдарды түсіндіру.
Тәуелділік графиктерін қолдана отырып, бізді қоршаған әлемнің процестері мен құбылыстарын зерттеу.
Функцияларды жобалау және зерттеу арқылы басқа пәндік салалардағы мәселелерді шешу.
Т. А. Песковтың "орта мектептегі функцияларды зерттеу туралы" мақаласында [41] функцияларды зерттеудің тәрбиелік, практикалық және тәрбиелік мәні басқа шамаларға байланысты бізді қоршаған шындықтың әртүрлі шамаларының өзгеру заңдылықтарын орнатуға мүмкіндік беретіндігінде баса айтылған.
Функцияларды зерттеудің негізгі мақсаттары төмендегідей:
Функциялардың қасиеттерін қолдану математикалық есептерді шешу әдісінің негізінде жатыр (мысалы, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде).
Функция жалпы мәдени, дүниетанымдық мәнге ие. Функцияларды зерттей отырып, оқушылар жалпыға ортақ байланыс, үздіксіздік, шексіздік идеясымен танысады. Функция көптеген нақты процестердің үлгісі болғандықтан, оның қасиеттерін зерттеу осы процестерді білуге мүмкіндік береді.
Функционалдық тәуелділіктер әртүрлі ғылыми салаларда және оқу пәндерінде кеңінен қолданылады. Мектептегі функцияны зерттеу оқушыларға осы ұғымның маңыздылығы мен таралуын көрсетуге мүмкіндік береді.
Функцияларды зерттеу әртүрлі объектілердегі өзгерістер арасындағы байланыстарды жүргізуге жауапты функционалды ойлауды қалыптастыруға және дамытуға ықпал етеді. Сонымен қатар, функционалды ойлау дерексіз материалмен жұмыс істеу, талдау дағдыларын дамытуға ықпал етеді.
Д. Денбал [55] мақаласында функциялар математиканың ажырамас бөлігі екенін атап өтті. Оқушылар алгебра және геометрия сабақтарында ғана емес, басқа ғылымдарда да функцияларға тап болады. Мысалы, жазықтықтың геометриялық түрлендірулерін функция ретінде қабылдауға және зерттеуге болады. Автордың пікірінше, функциялар математикадан тыс құбылыстар мен жағдайларды модельдеуге мүмкіндік береді.
Осылайша, жоғарыда айтылғандардың барлығын қорытындылай келе, негізгі мектепте функционалды сызықты оқытудың келесі негізгі мақсаттарын тұжырымдауға болады:
Функцияларды қолдана отырып, нақты тәуелділіктерді зерттеу негізінде оқушыларда қоршаған әлем туралы және оның компоненттерінің өзара байланысы туралы тұтас түсінік қалыптастыру.
Күнделікті өмірде функцияларды пайдалану дағдыларын қалыптастыру.
Алгебрада және басқа ғылымдарда оқушылардың функционалды сызықпен байланысты ұғымдық аппаратты қолдану білімін, дағдыларын және дағдыларын қалыптастыру.
Оқушылардың ақпаратты бір түрден екінші түрге: графикалық түрден мәтіндік, кестелік, формула тіліне аудару дағдыларын қалыптастыру.
1.3 Әр түрлі авторлардың алгебра оқулықтарындағы Функция тақырыбының мазмұнын талдау
Мектеп математикадағы негізгі ұғымның бірі функция болып саналады. Мектеп бағдарламасында бұл мәселеге көп көңіл бөлінген. Оқушылардың бұл ұғымды неғұрлым терең меңгеруі олардың математикалық білімдері деңгейінің көрсеткіші.
5-сынып математикасындағы айнымалысы бар өрнектерді оқып үйрену функцияны оқып үйренуге дайындық болып табылады. Мұнда функция термині енгізілмейді, алайда осы ұғымды қалыптастыру жөнінде жыл бойы жүйелі түрде жұмыс жүргізіледі. Функция ұғымының қалыптасуына айнымалы шамалары бар арифметикалық есептерді шығару көмектеседі. 5 сыныптағы функционалдық түсініктерді қалыптастыру жөнінде басталған жұмыс 6-сыныпта функция ұғымын енгізуге мүмкіндік береді, функция ұғымының мазмұны айқындалып, тиісті анықтама беріледі. Функцияның берілу тәсілдері (таблицалық, графиктік, аналитикалық) қарастырылады. у=kx және y=kx функцияларын оқып - үйренеді. Олардың графиктері салынады.
7-сыныпта у=ах пен у=ах функцияларының графиктерімен танысады.
8-сыныпта функциялық түсініктер дамытылады. Мысалы, бүтін теріс көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда у=ах, у=ах түріндегі функциялардың графиктері, квадрат түбірлерді оқығанда у= функциясының графигі, квадрат теңдеулерді оқығанда квадрат үшмүшеліктердің графиктері қарастырылады.
9-сыныпта оқылатын алгебра курсында функцияларды оқып-үйрену әрі қарай жалғастырылады. Берілген функцияға кері функция ұғымы енгізіледі,
8-сынып геометриясында sinx пен cosx функцияларының қарапайым қасиеттері оқылады. tgx функциясы sinxcosx қатынасы ретінде енгізіледі.
Алгебра. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулықӘ.Н.Шыныбеков,Д.Ә.Шыныбеков - Алматы: Атамұра, 2017.-200 б.
Осы талдау барысында Ә.Н.Шыныбековбастаған авторлық топтың оқулығына тоқталамыз. Бұл оқулық 5-6-сыныптардағы математика курсын қайталауға арналған жаттығулардан басталады. Ең бірінші 5-6-сыныпта өткен тақырыптар бойынша сұрақтар қойылған. Одан кейін келесідей тақырыптарға жаттығулар берілген:
Жай бөлшектерді қосу және азайту,бөлу,көбейту
Аралас сандарды қосу және азайту, бөлу,көбейту
Ондық бөлшектерге амалдар қолдану
Ұқсас қосылғаштар. Ұқсас қосылғыштарды біріктіру.
Өрнектерді тепе-тең түрлендіру. Тепе-теңдік.
Пропорция
Бір айнымалысы бар теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешу
Мәтінді есептерді шешу тақырыптары бойынша жалпы алғанда 96
есеп берілген.Осы есептерді шығару арқылы математика курсын қайталап, 7-сынып материалдарын игеруге көшеді.
Оқулықтың өзі 6 тараудан:
Натурал және бүтін көрсеткішті дәреже
Бірмүшелер және көпмүшелер
Функция
Статистика элементтері
Қысқаша көбейту формулалары
Алгебралық өрнектер
Және ең соңғы 7-тарауды қайталау есептеріне арнаған.
3-тарауда функция ұғымымен танысып,оның берілу тәсілдерін үйренеді. Сызықтық функциялардың графигін зерттеп, өзара орналасуын біледі. Сонымен қатар, y=ax2 және y=ax3, y=kx функцияларын және оның қасиетін, графигін салып үйренеді.
Қорыта айтқанда,Ә.Н.Шыныбеков оқулығының артықшылықтары:
- жаңа тақырыпты түсіндіру, анықтамалардың берілуі нақты әрі, түсінікті;
- оқушылардың жас ерекшелігі ескерілген;
- есептердің берілуінде деңгейлік есептер берілген;
- әр тақырып бойынша қысқаша тарихи шолу жасалған;
- қосымша есептер қоса берілген;
- мәтіндік есептер жеке тақырып ретінде қарастырылған.
- жаңа тақырыпты түсіндіру кезінде бұл оқулықта шұбалаңқы сөздер аз, практикалық есептер мен мысалдарда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА ЖӘНЕ ИНФОРМАТИКА ИНСТИТУТЫ
ӘОЖ 373.5.016.02:514.112(574)
ЖҰМАТАЙ САЛТАНАТ ҚАНАТҚЫЗЫ
Алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі
7М01501 - Математика
Педагогика ғылымдары магистрі дәрежесін алу үшін орындалған
диссертация
Ғылыми жетекшісі:
Қасқатаева Б.Р., п.ғ.д., профессор
Қорғауға жіберілді:
Математика, физика және информатика
институтының директоры
_____________Сыдықов Б.Д.
___________2023 ж.
Кaфeдрa мeңгeрушici __________________ A.E.Әбiлқacымoвa, п.ғ.д., прoфeccoр
Ғылыми ceминaр төрaйымы ____________ A.E.Әбiлқacымoвa, п.ғ.д., прoфeccoр
Алматы, 2023
ҚAЗAҚCТAН РECПУБЛИКACЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНE ҒЫЛЫМ МИНИCТРЛІГІ
AБAЙ AТЫНДAҒЫ ҚAЗAҚ ҰЛТТЫҚ ПEДAГOГИКAЛЫҚ УНИВEРCИТEТІ
ЖҰМАТАЙ САЛТАНАТ ҚАНАТҚЫЗЫ
Алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі
ДИССЕРТАЦИЯЛЫҚ ЖҰМЫC
7М01501 - Математика
Aлмaты, 2023
МАЗМҰНЫ
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
3
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4
1 АЛГЕБРАНЫ ОҚЫТУ ПРОЦЕСІНДЕ ОҚУШЫЛАРДЫҢ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ-ГРАФИКТІК БІЛІМІН ҚАЛЫПТАСТЫРУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
9
9
23
28
1.1
1.2
1.3
Математикадағы функция ұғымының даму тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Мектеп математика курсында функцияны оқытудың мақсаттары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Әр түрлі авторлардың алгебра оқулықтарындағы Функция тақырыбының мазмұнын талдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2 НЕГІЗГІ МЕКТЕПТЕ ОҚУШЫЛАРДЫҢ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ-ГРАФИКТІК БІЛІМІН ҚАЛЫПТАСТЫРУ ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... . .
45
2.1
2.2
2.3
Алгебра курсында функция ұғымын енгізу әдістемесі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістері мен технологиялары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Негізгі мектеп алгебра курсында функцияларды оқытуға арналған әдістемелік нұсқаулар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
45
61
74
80
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
89
90
НОРМАТИВТІК СІЛТЕМЕЛЕР
1. Қазақстан Республикасында Білім беруді және ғылымды дамытудың 2016-2019 жылдарға арналған мемлекеттік бағдарламасы Қазақстан Республикасы Үкіметінің 2018 жылғы 24 шілдедегі № 460 Қаулысымен бекітілген.
2. Қазақстан Республикасының Білім туралы Заңы. 2007ж.27.07. - №319-ІІІ (04.07.2018ж. өзгертулер мен толықтырулар енгізілген).
3. Білім берудің барлық деңгейінің мемлекеттік жалпыға міндетті білім беру стандарттарын бекіту туралы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің 2018 жылғы 31 қазандағы № 604 бұйрығы.
4. Жалпы білім беру ұйымдарына арналған жалпы білім беретін пәндердің, таңдау курстарының және факультативтердің үлгілік оқу бағдарламаларын бекіту туралы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің м.а. 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығы.
5. Негізгі орта білім беру деңгейінің 7-9-сыныптарына арналған Геометрия пәнінен жаңартылған мазмұндағы үлгілік оқу бағдарламасы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрі м.а. 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығымен бекітілген.
6. Жалпы орта білім беру деңгейінің жаратылыстану-математика бағытындағы 10-11-сыныптарына арналған Геометрия пәнінен жаңартылған мазмұндағы үлгілік оқу бағдарламасы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығымен бекітілген.
7. Жалпы орта білім беру деңгейінің қоғамдық-гуманитарлық бағыттағы 10-11-сыныптарына арналған Геометрия пәнінен жаңартылған мазмұндағы үлгілік оқу бағдарламасы Қазақстан Республикасы Білім және ғылым министрінің 2017 жылғы 25 қазандағы № 545 бұйрығымен бекітілген.
8. 2019-2020 оқу жылында Қазақстан Республикасының орта білім беру ұйымдарында оқу-тәрбие процесін ұйымдастырудың ерекшеліктері туралы: Әдістемелік нұсқау хат. - Нұр-Сұлтан: Ы. Алтынсарин атындағы Ұлттық білім академиясы, 2019. - 440 б.
КІРІСПЕ
Зерттеудің өзектілігі. Функция ұғымы фундаменталды (іргелі) математикалық ұғымдардың бірі болып табылады. Функция нақты өмірмен тікелей байланысты. Онда нақты әлемнің өзгергіштігі мен динамикасы, нақты әлемнің өзара шарттылығы айқын бейнеленген. Функциялар, олардың қасиеттері мен графиктері мектеп математика курсының негізін құрайды. Барлық заманауи мектеп алгебрасы, математикалық анализ бастамасы және белгілі бір дәрежеде геометрия функцияның айналасында топтастырылған. Функцияның тағы бір ерекшелігі оның математиканы оқытуда пәнішілік және пәнаралық байланыстар орнатуға мүмкіндігі мол [].Ю.М. Колягин
Кез-келген нақты процестің бастапқы алгебралық формасы - бұл функция. Функционалдық графиктердің мәнерлілігі, түсініктілігі, қысқалығы, әмбебаптығы, мағыналық анықтығы, графикалық бейнелердің айқындығы сияқты қасиеттері оларды ғылыми-практикалық жұмыста техникалық және әлеуметтік-экономикалық мәселелерді шешуде таптырмас мүмкіндік болып саналады. Графикалық түрде ұсынылған үлкен көлемдегі ақпаратты өңдеу, жалпылау және талдау энергетикада, экологияда, экономикада және ғылым мен тәжірибенің басқа салаларында өте маңызды рөл атқарады.
Функционалдық-графиктік білімнің негізін құрайтын элементар функциялардың графиктерін оқуға және бейнелеуге қажетті дағдыларды қалыптастыруда мектептегі Алгебра пәні жетекші орын алады.
Алгебра - өмірде көптеген қосымшалары бар математиканың бір бөлімі. Ол білім алушылар үшін дерексіз ойлауды қажет ететін жаңа күрделі шеберлік болып табылады. Алгебра арифметикалық амалдарды қолдануды ғана емес, сонымен қатар сандарды бейнелеу мен математикалық өрнектерді таңбалауға баса назар аударады. Алгебраны түсіну математика ғылымында сәттіліктің кілті, себебі алгебра саласындағы білім мен дағдыны қалыптастыру мектепті бітіргеннен кейін табысқа жету үшін де, болашақ білім беруде білікті мамандар дайындау үшін де, мансапқа жету кезіндеде маңызды. Алгебра бірнеше көріністерді соның ішінде таңбалар, теңдеулер мен графиктерді, сондай-ақ математика ғылымында шешуші рөл атқаратын логикалық ойлау қабілетін иеленеуді талап етеді.
Функциялардың қасиеттерін зерттеу және олардың графиктерін құру мектеп курсының маңызды бөлігі болып табылады. Кейде график функцияны анықтаудың жалғыз мүмкін тәсілі болуы мүмкін. Ол техникада кеңінен қолданылады және көптеген өздігінен жазылатын автоматты құрылғылардың жұмысының негізінде жатыр. Диаграммаларды құру әдістерін еркін меңгеру көбінесе күрделі есептерді шешуге көмектеседі, ал кейде оларды шешудің жалғыз құралы болып табылады. Сонымен қатар, функциялардың графиктерін тұрғыза білу оқушыларға үлкен қызығушылық тудырады.
Функционалды-графиктік білім деп мектеп оқушыларында элементар функциялардың графиктерін оқуға және бейнелеуге қажетті функционалдық-графикалық білімдер мен дағдылар жүйесін айтамыз.
Оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру 7-9-сыныптарда алгебраны оқытумен байланысты, бұл мектеп алгебра курсында элементар функциялар мен олардың қасиеттерін оқытудың хронологиясына байланысты.
Қазақстандық әдіскер ғалымдар А.Е.Әбілқасымова [4], Д.Рахымбек [5], Ж.А.Қараев [6], Б.Р Қасқатаева [7] және т.б. математиканы оқытудың әдістемесін жетілдіруді көрсетті.
Р.Л.Аракелянның, А.Т.Звереваның, В.И.Зыкованың, Л.М.Савинцеваның, А.М.Нәбиевтің зерттеулері алгебраны оқыту үдерісінде графикалық дағдыларды қалыптастыру және дамыту мәселелерін зерттеуге арналған.
Графиктік білімді қалыптастырудың психологиялық аспектілерін Е.Н.Кабанова-Меллер, В.А.Крутецкий, Б.Ф.Ломов, Л.М.Фридман, И.С.Якиманская қарастырылған. Графикалық мәдениетті қалыптастыру Т.И.Бугаева, В.А.Курина, М.В.Лагунова, И.В.Чугунова зерттеулерінде көрсетілген.
Зерттеу нысаны: негізгі мектепте алгебраны оқыту процесі.
Зерттеу пәні: Негізгі мектепте алгебра сабақтарында Функциялар тақырыбын оқушыларға оқыту әдістемесі.
Зерттеу мақсаты: алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесін жетілдіру
Зерттеу міндеттері:
Негізгі мектептің алгебра курсында функцияларды оқытудың теориялық негіздерін айқындау;
Мектеп математика курсында функция ұғымын енгізу әдістемесін әзірлеу;
Оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістері мен технологияларын анықтау;
Негізгі мектеп алгебра курсында функцияларды оқытуға арналған әдістемелік нұсқаулар дайындау
Зерттеу әдістері: жүйелі талдау және белсенділік тәсілі; психологиялық-педагогикалық, әдістемелік әдебиеттерді, диссертациялық зерттеулерді талдау, оқу бағдарламаларын, оқулықтар мен оқу құралдарын талдау; мұғалімдердің тәжірибесін және өзіндік педагогикалық тәжірибесін жинақтау; алгебраны оқытудың мектеп практикасындағы осы мәселенің жай-күйін зерттеу.
Зерттеудің теориялық және әдістемелік негізі: педагогикалық ғылымның әдіснамасы, педагогикалық психологияның негізгі ережелері, мектеп оқушыларының білімін, білігі мен дағдыларын қалыптастыру мәселелері бойынша дидактика және математика әдістемесі; іс-әрекет тәсілінің тұжырымдамалары; математикалық ұғымдарды қалыптастыру теориясы, оқушылардың оқу-танымдық іс-әрекетін басқару болды.
Теориялық маңыздылығы: оқушылардың өзіндік оқу-танымдық іс-әрекетке қабілеттілігін дамытуға бағытталған негізгі мектептің алгебра курсында функцияны оқыту әдістемесін жасаудан тұрады. Алынған ғылыми нәтижелер негізгі және орта мектепте алгебраны оқыту әдістемесін дамытуға және жетілдіруге мүмкіндік береді.
Практикалық маңыздылығы: әзірленген функцияларды оқыту әдістемесін негізгі мектептің математика мұғалімдері алгебра сабақтарының тиімділігін арттыру мақсатында мектеп практикасында қолдана алады; негізгі мектептің алгебра курсында функцияларды оқытуға арналған тапсырмалар жүйесін, мұғалімдерге арналған әдістемелік нұсқауларды оқытушылар мен студенттер педагогикалық практика кезінде және одан әрі кәсіби қызметінде қолдана алады.
Қорғауға шығарылатын негізгі тұжырымдар: негізгі мектеп алгебра курсында оқушыларға функцияларды оқытуға арналған әдістемелік нұсқаулар; негізгі мектеп алгебра курсындағы Функциялар тақырыбына құрастырылған есептер жүйесі.
Жұмыстың құрылымы: жұмыс кіріспеден, екі тараудан, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымшалардан тұрады.
Зерттеу нәтижелерінің апробациясы:
Мектеп оқушыларының алгебраны оқыту процесінде функционалдық-графиктік білімін қалыптастыруглобальная наука и инновация 2022: центральная азия № 4(18). Желтоқсан 2022 жыл серия педагогические науки. Xviii том. 19-21 стр
Мектепте алгебра пәнін оқытуда функция ұғымын енгізу әдістемесі. білім times № 5 (74) 2023. 2-3 стр
Диссертациялық жұмыстың құрылымы. Жұмыстың құрылымы қойылған міндеттерді шешудің ретімен және логикасымен анықталды. Жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен, кестелерден, суреттерден тұрады.
Кіріспеде жұмыстың ғылыми-әдіснамалық аппараты тұжырымдалған, яғни зерттеу тақырыбының өзектілігі, зерттеудің мақсаты мен міндеттері айқындалған, зерттеудің нысаны мен пәні, әдістері, теориялық және практикалық маңыздылығы, әдіснамалық негіздемесі келтірілген.
Алгебраны оқыту процесінде оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастырудың теориялық негіздері бірінші тарауында алгебраны оқыту процесіндегі функция ұғымының тарихы, функцияны оқытудағы негізгі мақсаттар мен мектеп оқулықтарын талдау қарастырылған.
Негізгі мектепте оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі екінші тарауында алгебра курсында функция ұғымын енгізе отырып, оқушылардың функционалдық-графиктік білімін қалыптастыру әдістемесі тұжырымдалған. Сонымен қатар, компьютерлік программаларды қолдану мүмкіндіктері көрсетіліп, оқушылардың функционалдық сауаттылығын дамытуға бағытталған практикалық мазмұнды есептер жүйесі берілген.
Қорытындыда жүргізілген зерттеу жұмысының негізгі нәтижелері тұжырымдалып, геометриялық шамаларды жүйелі оқыту негізінде оқушылардың білімдерін дамытуға қатысты әдістемелік ұсыныстар берілді.
Пайдаланылған әдебиеттер тізімінде зерттеу барысында талданған, қарастырылған әдебиеттер тізімі көрсетілген.
1 АЛГЕБРАНЫ ОҚЫТУ ПРОЦЕСІНДЕ ОҚУШЫЛАРДЫҢ ФУНКЦИОНАЛДЫҚ-ГРАФИКТІК БІЛІМІН ҚАЛЫПТАСТЫРУДЫҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ
1.1 Математикадағы функция ұғымының даму тарихы
Функция негізгі математикалық және жалпы ғылыми ұғымдардың бірі болып табылады. Ол шынайы дүниені тануда үлкен рөл атқарды және әлі де атқаруда.
Математикадағы функция ұғымының даму тарихы бірнеше ғасырларға созылады және көптеген математиктердің қосқан үлесін қамтиды. Осы ұғымның ерте бастауларынан бастайық және оның дамуының негізгі кезеңдерін атап өтейік.
Антикалық дәуір: Ежелгі Греция мен Үндістанда шамалар арасындағы байланыс туралы алғашқы түсініктер пайда болды. Мысалы, көне гректер түзулер мен параболалар сияқты шамалар арасындағы қатынасты көрсету үшін геометриялық қисықтарды пайдаланған.
Функционалдық тәуелділік идеясы ежелгі дәуірден басталады. Оның мазмұны шамалар арасындағы алғашқы математикалық өрнектелген қатынастарда, сандармен амалдардың бірінші ережелерінде кездеседі. Белгілі бір фигуралардың ауданы мен көлемін табудың бірінші формулаларында. Сонымен, вавилондық ғалымдар (4-5 мың жыл бұрын)шамамен формуланы табу арқылы шеңбердің ауданы оның радиусының функциясы екенін анықтады: S=3r2. Вавилондықтардың, ежелгі гректердің және үнділердің астрономиялық кестелері функцияның кестелік тағайындалуына мысал бола алады және шеңбер мен шаршы аудандарының оның диаметріне қатынасының тұрақтылығы туралы теорема немесе конустың ежелгі анықтамалары. бөлімдер функцияның ауызша тағайындалуының мысалдары бола алады және бұл қисықтардың өзі сәйкес тәуелділіктің геометриялық бейнесі ретінде әрекет етті. Ежелгі Вавилон математиктері функциялардың жалпы тұжырымдамасын құрудың ұзақ жолында алғашқы қадамдарды жасады. Олар сандардың кері сандарының кестелерінен, олардың квадраттары мен кубтарынан, квадраттар мен кубтардың қосындыларынан тұрады. Қазіргі мағынада бұл функциялардың мәндерінің кестелері болды: y=1x, y=x2 y=x3, y=x2+x3.
Функция идеясы француз математигі Рене Декарттың (1-сурет) жұмысында дами бастайды. Ол шамалар арасындағы тәуелділікті көрсету үшін координаталар жүйесін қолдануды ұсынады және координаталық функция ұғымын енгізеді. Сонымен бірге итальян математигі Джилиэльмо Бролла шамалар арасындағы байланысты белгілеу үшін функция терминін қолдануды ұсынды.
Тек 17 ғасырдан бастап, айнымалылар идеясының математикаға енуіне байланысты функция ұғымы анық және саналы түрде қолданыла бастады.
1-сурет. Рене Декарт
Функция ұғымының пайда болу жолын 17 ғасырда француз ғалымдары Франсуа Виет пен Рене Декарт қалаған; олар көп ұзамай жалпыға бірдей танылған бірыңғай әріптік математикалық символизмді дамытты. Бір белгі енгізілді: белгісіз - латын әліпбиінің соңғы әріптері - x, y, z, белгілі - сол алфавиттің бастапқы әріптері - a, b, c, ... және т. б. әр әріп бойынша нақты деректерді ғана емес, көптеген басқа мәліметтерді де түсінуге болады; математикаға өзгеріс идеясы келді. Осылайша, жалпы формулаларды жазу мүмкіндігі пайда болды.
Вавилондықтардың, ежелгі гректердің және үнділердің астрономиялық кестелері функцияның кестелік тағайындалуына мысал бола алады. (2-сурет)
2-сурет.
Сонымен қатар, Декарт пен Ферма (1601-1665) геометриялық жұмыстарда айнымалы шаманың және тікбұрышты координаттар жүйесінің айқын көрінісі пайда болады. 1637 жылы өзінің" геометриясында " Декарт абсциссаның өзгеруіне байланысты нүктенің ординатасының өзгеруі ретінде функция ұғымын береді; сонымен қатар негізінен алгебралық теңдеулерді қолдана отырып дәл ұсынуға болатын қисықтарды ғана жүйелі түрде қарастырды. Бірте - бірте функция ұғымы аналитикалық өрнек-формула ұғымымен анықтала бастады. 1671 жылы Ньютон функция арқылы уақыт өте келе өзгеретін айнымалы шаманы түсіне бастады (оны "флюент"деп атады).\
"Функция" сөзінің өзі (латын тілінен functio-орындау, орындау) алғаш рет неміс математигі Лейбниц 1673 жылы Гюйгенске жазған хатында қолданған (функция бойынша ол ұзындығы белгілі бір заңға сәйкес өзгеретін сегментті түсінді), 1694 жылдан бастап баспаға енгізілді. 1698 жылдан бастап Лейбниц "айнымалы" және "тұрақты"терминдерін де енгізді.
Ұлы неміс математигі Леонхард Эйлер функциялар теориясының дамуына орасан зор үлес қосты. Ол экспоненциалды, логарифмдік және тригонометриялық функцияларды қамтитын функциялардың жалпы теориясын жасады. Сондай-ақ Эйлер ойша бірлік түсінігін енгізіп, күрделі функцияларды зерттеді.
18 ғасырда функцияға бір айнымалыны екіншісімен байланыстыратын формула ретінде жаңа көзқарас пайда болады.Бұл функция ұғымына аналитикалық көзқарас деп аталады. Мұндай анықтамаға алғаш рет швейцариялық математик Иоганн Бернулли (1667-1748) көзқараспен қарады(3-сурет), ол 1718 жылы функцияны келесідей анықтады: "айнымалы шаманың функциясы-Бұл айнымалы шаманың және тұрақтылардың кез-келген түрінен пайда болған шама". X-тен ерікті функцияны белгілеу үшін Бернулли j(x) белгісін қолданып, функцияның сипаттамасын, сондай-ақ x немесе e әріптерін атады ; Лейбниц қазіргі f1(x), f2(x) орнына x1 , x2 қолданды. Эйлер f : y, f: (x + y) арқылы біз қазір f(x), f(X+y) арқылы белгілейтін нәрсені белгіледі.
\
3-сурет. Иоганн Бернулли
Олардың көмегімен кері есептерді шығару мүмкін болды. Олар сонымен қатар екі айнымалы функциялардың мәндерінің кестелерін құрастырды, мысалы, қосу және көбейту кестелері.
Ежелгі Греция математиктері ең үлкен және ең кіші мәндерге кейбір есептерді шығарды, хордалардың ұзындықтары мен диаметрлерінің арасындағы байланысты ашты.
Грек астрономдары математиканың жаңа саласы - тригонометрияның негізін қалады. Олар доғалардың өлшемдері мен оларға бағынатын хордалардың ұзындықтары арасындағы байланыс кестелерін құрастырды.
Шын мәнінде, бұл y = 2sin(x2) функция мәндерінің кестелері болды.
Кейіннен математиктер көптеген басқа функционалдық тәуелділіктерді зерттеді, дегенмен функция ұғымы әлі енгізілмеген. Тіпті Р.Декарт, П. Ферма, и. Ньютон және Г. Лейбництің жазбаларында функция ұғымы негізінен интуитивті болды және геометриялық немесе механикалық бейнелермен байланысты болды.
Функцияның алғашқы анықтамасына француз математигі Рене Декарт (1596-1650) айнымалы шама ұғымын енгізу арқылы жол ашты.
Функция терминін алғаш рет 1692 жылы көрнекті неміс философы және математигі Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716) белгілі бір қисық сызықтың нүктелерін қосатын әртүрлі кесінділерді сипаттау үшін ұсынған.
4-сурет. Готфрид Вильгельм Лейбниц
Алғашында функция ұғымы тек геометриялық бейнелермен байланыстыра отырып, өте тар мағынада қолданылды. Бұл қисық сызықтарға жанамалардың сегменттері, олардың координат осьтеріндегі проекциялары және берілген фигура үшін белгілі бір функцияны орындайтын басқа сызықтар туралы болды (латын тілінен functus - орындау). Демек, ол кездегі функция ұғымы геометриялық пішіннен әлі арыла қоймаған еді.
Тек 1718 жылы швейцар математигі Иоганн Бернулли (1667 - 1748) геометриялық тілден функцияның анықтамасын тұжырымдады: Айнымалы шаманың функциясы - бұл айнымалы шама мен тұрақтылардан кез келген жолмен жасалған шама.
Геометриялық кескіндерден ауытқу функцияларды зерттеуде жаңа дәуірді белгіледі.
И.Бернуллидің анықтамасы тек Г.Лейбниц пен оның мектебінің еңбегіне ғана емес, сонымен қатар көптеген әртүрлі функционалдық тәуелділіктер мен олардың қасиеттерін зерттеген И.Ньютонның зерттеулеріне негізделді. Функция сөзінің орнына И.Ньютон ординат терминін қолданған. Ол геометриялық және физикалық тәуелділіктерді зерттеуді осы ординаттарды зерттеуге қысқартты және ол ординаттардың өзін әртүрлі аналитикалық өрнектермен сипаттады.
И.Бернулли берген функцияның анықтамасы толық болуы үшін функцияларды анықтаудың қандай әдістерін қолайлы деп санауға болатынын келісу қажет болды. Жалпы өрнектермен берілген функцияларға рұқсат етілген деп есептелді, олар сандарды, әріптерді, арифметикалық амалдардың белгілерін, бүтін дәрежелі дәрежеге көтеруді және түбірлерді алуды қамтиды. Тригонометриялық, кері тригонометриялық, көрсеткіштік, логарифмдік функциялар да қарастырылды.
Мұндай функцияларды элементар функциялар деп атайды.
Бүкіл ғылыми қызметі Ресей және Германиямен байланысты Швейцариядан шыққан көрнекті математик Леонхард Поль Эйлер (1707-1783) Дифференциалдық есептеулер (1755) трактатында И.Бернуллидің анықтамасын нақтылап, жалпылады.
Аналитикалық тұрғыдан функцияның анықтамасының соңғы тұжырымын 1748 жылы Бернуллидің студенті Эйлер (Шексізді талдауға кіріспеде) жасаған: Айнымалы шаманың функциясы аналитикалық өрнек болып табылады. , қандай да бір түрде осы шама мен сандардан немесе тұрақты шамалардан құралған. Бұл функцияны бүкіл 18 ғасырда дерлік д'Аламбер (1717-1783), Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) және басқа да көрнекті математиктер түсінді. Эйлерге келсек, ол жоғарыдағы анықтаманы үнемі ұстанған жоқ; еңбектерінде математикалық талдау талаптарына сәйкес функция ұғымы одан әрі дамыды.
Дәлірек айтқанда, Л.Эйлер былай деп жазды: Кейбір шамалар басқаларға тәуелді болса, соңғысы өзгергенде, олардың өзі де өзгеріске ұшыраса, онда біріншісі соңғысының функциялары деп аталады. Л.Эйлер өз еңбектерінің бірінде функция графигін қолдың еркін қозғалысы арқылы сызылатын қисық сызық деп те қарастырған.
Математикалық анализді геометрия мен механика тілінен босатуда Л.Эйлердің еңбектері маңызды рөл атқарды. Оларда алғаш рет тригонометриялық функциялар теориясы геометрияға жүгінбей ұсынылып, көрсеткіштік және логарифмдік функциялар алгебралық функциялармен тең құқыққа ие болды.
Л.Эйлер математикалық талдаудың функциялар туралы ғылым екенін, шексіз аздардың бүкіл талдауы айнымалы шамалар мен олардың функцияларының төңірегінде жүретінін атап көрсетті. Л.Эйлер f(x) функциясының символын енгізуге жатады.
Л.Эйлердің функция туралы бұл көзқарасына байланысты оның және оның бәсекелестері арасында, атап айтқанда, атақты француз математигі Жан Лерон д'Аламбермен (1717 - 1783) аналитикалық өрнектің мүмкіндігі төңірегінде ерікті қисық және екі анықтаманың қайсысы болатындығы жайлы дау туды(қисық немесе формула) жалпылама қарастырылуы керек. Сондай-ақ бір функцияны бірнеше аналитикалық өрнектермен беруге болатындығы туралы дау болды.
Француз математигі Жан Батист Фурье (1768-1830) түсініктеме берді. Ол 1807 және 1811 жылдары Париж ғылым академиясына ұсынған қатты денеде жылудың таралу теориясы туралы естеліктерде әртүрлі аналитикалық өрнектермен әр түрлі аралықтарда берілген функциялардың алғашқы мысалдары келтірілген.
Бұл қазіргі уақытта теориялық зерттеулерде де, тәжірибеде де кеңінен қолданылып жүрген бөлшектік берілген функциялар деп аталады.
Ж.Фурье еңбектерінен кез келген қисық қанша және қандай гетерогенді бөліктерден тұратынына қарамастан, біртұтас аналитикалық өрнек ретінде ұсынылуы мүмкін екендігі анықталды. Дж.Фурье аналитикалық өрнекте жазылатын үзіліссіз функциялардың бар екенін де анықтады.
Ж.Фурьенің тұжырымдары француз математигі Августин Луи Кошидің (1789 - 1857) Алгебралық анализ курсы (1821) трактатында дәлелденді.
Математикалық талдаудың әрі қарай дамуы және математиканың практикалық қолданылуы функция түсінігінің кеңеюіне әкелді. 1834 жылы көрнекті орыс математигі Николай Иванович Лобачевский (1792 - 1856) сәйкестік идеясына негізделген функцияның анықтамасын тұжырымдады: . Функцияның мәні аналитикалық өрнекпен немесе барлық сандарды тексеру және олардың біреуін таңдау құралын беретін шартпен берілуі мүмкін; немесе, сайып келгенде, тәуелділік бар және белгісіз болып қалуы мүмкін....
Функция ұғымына ұқсас көзқарасты чех математигі Бернард Болзано (1781 - 1848) ертерек айтқан болатын. Өкінішке орай, оның 1830 жылы жазылған Функция туралы ілім атты ғылыми еңбегі талантты математик қайтыс болғаннан кейін жүз жылдан кейін ғана жарық көрді.
1837 жылы неміс математигі Питер Густав Лежеун Дирихле (1805 - 1859) функция түсінігіне мынадай жалпылау жасады: y - х айнымалысының функциясы (a = x = b интервалында), егер х-тің әрбір мәні белгілі y мәніне сәйкес келеді және бұл сәйкестіктің қалай орнатылғаны маңызды емес - аналитикалық формуламен, графикпен, кестемен немесе тіпті жай сөздермен.
Осы жалпы анықтамаға сәйкес келетін мысал Дирихле функциясы төмендегідей аталуы мүмкін:
Dx=1, егер х-рационал сан0, егер х-иррационал сан
XIX ғасырдың екінші жартысында. Жиын теориясын жасағаннан кейін сәйкестік идеясымен қатар функцияның анықтамасына жиын идеясы да кірді, сондықтан функцияның анықтамасы былай тұжырымдала бастады: Егер әрбір элемент Х жиынының х-і Y жиынының қандай да бір нақты y элементімен байланысты болса, онда олар Х жиынында у = f(x) функциясы берілгенін айтады. Кейде f заңы бойынша Х жиыны Y жиынына бейнеленеді деп айтылады.
Функцияның бұл анықтамасын тек шамалар мен сандарға ғана емес, геометриялық фигуралар сияқты басқа математикалық объектілерге де қолдануға болады.
Алайда, 19 ғасырдағы математикалық талдау тек сандық функцияларды, яғни анықтау облысы мен мәндерінің жиыны сандық жиындар болатын функцияларды зерттеумен шектелді. Осылайша, он тоғызыншы ғасырдағы математикалық талдау Дирихле анықтамасына негізделуін жалғастырды.
20 ғасырдың басынан бастап Дирихленің анықтамасы математиктердің бір бөлігі арасында күмән тудыра бастады. Физикаға кеңірек көзқарасты қажет ететін құбылыстарға тап болған физиктерді сынау одан да маңызды болды. Функция ұғымын одан әрі кеңейту қажеттілігі әсіресе 1930 жылы Кванттық механиканың негізін қалаушылардың бірі, ең ірі ағылшын физигі Пол Дирактың (1902-1984) "кванттық механика негіздері" кітабы шыққаннан кейін өткір болды. Дирак функцияның классикалық анықтамасынан асып түсетін дельта деп аталатын функцияны енгізді.
Бірақ 20 ғасырдың басында физиканың қажеттіліктерінен туындаған функция түсінігін одан әрі кеңейту қажеттілігі туындады. Ол 1930 жылы ағылшын физигі Пол Адриен Морис Дирактың (1902 - 1984) жазған Кванттық механиканың негіздері монографиясы жарияланғаннан кейін ерекше өткір болды.
П.Дирак функцияның классикалық анықтамасынан әлдеқайда асып түсетін дельта функциясы деп аталатын ұғымды енгізді.
П.Дирактың анықтамасы бойынша дельта функциясы х = 0-ден басқа барлық х үшін нөлге тең y = δ(x) функциясы болып табылады, мұнда delta функциясы шексіздікке айналады және
Осыған байланысты 30-40 жж. 20 ғасыр Кеңес математигі Николай Максимович Гюнтер (1871 - 1941) және басқа ғалымдар нүктелік функцияларды емес, кванттық механикалық құбылыстардың физикалық мәніне жақсырақ сәйкес келетін домендік функцияларды қарастырған еңбектер жариялады.
Одан әрі ғылыми зерттеулер дельта функциясын қамтитын жалпыланған функция ұғымына әкелді. Жалпыланған функциялар теориясының дамуына негізгі үлесті француз математигі Лоран Шварц (1915 - 2002) мен көрнекті кеңес математигі Сергей Львович Соболев (1908 - 1989) қосты.
С.Л. Соболев оны 1935 жылы ұсынды. 10 жылдан кейін Л.Шварц өз бетінше осыған ұқсас идеяға келді, барлық алдыңғы тәсілдерді біріктіріп, топологиялық векторлық кеңістіктер теориясына негізделген ыңғайлы формализмді ұсынады.
Жалпыланған функциялар теориясының дамуына кеңес математиктері Израиль Моисеевич Гельфанд (1913 - 2009) және Георгий Евгеньевич Шилов (ғылыми мансабының басында Юрий Боссе деген атпен белгілі; 1917 - ) маңызды үлес қосқанын атап өткен жөн. 1975) және т.б.
ХІХ ғасырдың екінші жартысында алгебра оқулықтары жеткіліксіз болды. 60-шы жылдардан бастап алгебраны оқыту бағдарламалары мен әдістері туралы кеңінен талқылау басталды [1].
Қарастырылатын негізгі мәселелер:
- алгебраны оқыту мақсаттары;
- арифметикадан алгебраға өту жолдары мен әдістерін іздеу;
- функция ұғымын алгебра курсына қосу.
"Функция" тақырыбын Алгебра курсына енгізу идеясын Михаил Васильевич Остроградский айтты. Ол орта мектепте идеяны функцияны енгізуді жақтады және талдауды бастады.
В.П. Шереметевский Математика ғылым ретінде және оның мектеп суррогаттары мақаласында Функция тақырыбын алгебра курсына енгізу қажеттігін дәлелдеген.
19 ғасырдың аяғында мектепте математикалық білім берудің классикалық жүйесі құрылды және оның идеяларының бірі Функция тақырыбын алгебра курсына қосу идеясы болды.
Өз мәнінде өзгеріссіз қалатын шамалар тұрақтылар деп аталады. Әртүрлі мәндерді қабылдай алатын айнымалылар айнымалылар деп аталады.
Белгілі бір шамаларды тек салыстырмалы мағынада, қарастырылып отырған мәселе шегінде тұрақты деп есептеуге болатынын байқаймыз. Өмір шындығында біз өзгермейтін құндылықты көрсете алмаймыз. Жоғарыда келтірілген мысалда белгілі бір уақыт кезеңінен кейін тауардың бағасы бір немесе басқа бағытта өзгеруі мүмкін.
Әдетте, формулаға енгізілген тұрақтылар алфавиттің бірінші әріптерімен a, b, c, ..., m, ал айнымалылар соңғы x, y, z арқылы белгіленеді, әрине, бұл шарт әрқашан сақтала бермейді.
Кейде айнымалы бір емес, екі, үш немесе одан да көп басқа айнымалыларға тәуелді болады. Сонда ол екі, үш немесе одан да көп айнымалылар функциясы деп аталады.
Мысалы: бірқалыпты қозғалыс жолының формуласы келесідей өрнектеледі:
S=vt
мұнда v (жылдамдық) тұрақты шама; t (уақыт) - тәуелсіз айнымалы (аргумент); s (жүрілген жол) осы аргументтің функциясы болып табылады.
Сонымен, функция ұғымы математика ғылымының дамуы мен оның практикалық қолдану қажеттіліктеріне сәйкес дамып, кеңейе береді.
20 ғасырда функциялар теориясы одан әрі дамыды. Топология және абстрактілі кеңістіктер ұғымының енгізілуі функциялар теориясын жалпылауға және кеңейтуге мүмкіндік берді. Луи Брауэр, Эмиль Борель, Андре Вайль сияқты математиктер функциялар теориясына және олардың жалпылауына елеулі үлес қосты. Қазіргі математикада функциялар әртүрлі контексттерде, соның ішінде функционалдық талдау, өлшем және интегралдық теория, ықтималдықтар теориясы және басқа салаларда зерттеледі.
1.2 Алгебра курсында функцияларды оқытудың негізгі мақсаттары
Математикадағы функция ұғымы математикадағы іргелі ұғымның бірі болып табылады. Алгебра мен геометрияның негізгі ұғымдары функционалдық негізде құрылады.
Математикалық есептерді шешу процесінде функциялардың қасиеттері жиі пайдаланылады. Мысалы, теңдеулер мен теңсіздіктерді, олардың жүйелерін шешкен кезде көбінесе оның сол жақ және оң жақ бөліктерінде тұрған функциялардың мәндер облысын салыстыру пайдалы. Олардың қиылысуы бос немесе бір нүктеге тең болуы мүмкін. Бұл теңдеуді немесе теңсіздікті шешу туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді. Параметрлері бар есептерді шешу кезінде тапсырмада берілген функциялардың графигін қолдану жиі көмектеседі. Жалпы, функционалдық графиктерді қолдануға негізделген графикалық шешім математикалық есептерді шешудің әдістерінің бірі болып табылады.
Функция жалпы мәдени, дүниетанымдық мәнге ие. Оны зерттеу оқушыларды жалпыға ортақ тәуелділік идеясымен, үздіксіздік, шексіздік, идеясымен таныстырады. Уақытқа тәуелді барлық процестер функционалдық тәуелділіктер болып табылады. Функция көптеген нақты процестердің үлгісі. Функциялардың қасиеттерін зерттеу қоршаған әлем құбылыстарын зерттеуге мүмкіндік береді.
Функционалдық тәуелділіктер әртүрлі ғылымдар мен оқу пәндерінде қолданылады. Мектепте функцияны оқыту оқушыларға осы ұғымның маңыздылығы мен қолданысын көрсетуге, функциялар зерттелетін жерде көптеген заңдар мен байланыстардың функционалдық негізі бар екенін көруге мүмкіндік береді.
Мектептегі математика курсында функцияны оқытудың міндеттеріне мыналар жатады:
1. Функция ұғымын түсіну: негізгі мақсат оқушыларға функцияның не екенін және оның шамалар арасындағы байланысын түсіну. Оқушылар функцияның белгілі бір жиынның әрбір элементіне екінші жиынның тек қана бір элементі сәйкес келетін тәуелділік (бейнелеу) екенін білуі керек.
2. Функцияның графиктерімен жұмыс: оқушыларға функция графиктерін салу және түсіндіре білу. Функцияның графигін салу оқушыларға функцияның нөлдері, жоғары, ең төменгі мәндері, өсуі және кемуі сияқты қасиеттерін көрнекі түрде талдауға және терең түсінуге мүмкіндік береді. Функциялардың графикалық көрінісі студенттерге олардың қасиеттерін түсінуге және есте сақтауға көмектеседі.
3. Алгебралық функциялармен жұмыс: Мақсаты студенттерге сызықтық, квадраттық және кубтық функциялар сияқты алгебралық функциялардың әртүрлі түрлерін талдау және олармен жұмыс істей білу. Оқушылар функциялардың түбірлерін табу, теңдеулерді шешу, функциялардың мәндерін табу және олардың қасиеттерін талдай алуы керек.
4. Трансценденттік функцияларды түсіну: Мақсат студенттерге көрсеткіштік және логарифмдік функциялар сияқты трансценденттік функцияларды түсіну және олармен жұмыс істей білу. Студенттер бұл функциялардың әртүрлі салаларда өзіндік ерекше қасиеттері мен қолданбалары бар екенін білуі керек.
5. Практикалық жағдайларда функцияларды қолдану: Мақсаты студенттерге функция ұғымын практикалық жағдайларда қолдана білу. Бұл функцияларды экономика, физика, биология және басқа ғылымдардағы, сондай-ақ күнделікті өмірдегі мәселелерді шешуде қолдануды қамтуы мүмкін.
6. Математикалық ойлауды дамыту: Мақсаты функцияны оқыту оқушылардың математикалық ойлауын дамытуға ықпал етеді.
Функцияларды зерттеу аналитикалық ойлауды, логикалық ойлауды, абстрактілі ойлауды және жағдайларды модельдеу қабілетін қажет етеді. Функцияларға байланысты есептерді шығару барысында оқушыларда бұл дағдылар қалыптасады.
Мектеп математика курсында функцияны оқытудың міндеттері функциялар туралы негізгі түсінік беру және математиканы академиялық оқуда да, күнделікті өмірде де пайдалы болатын дағдылар мен дағдыларды дамыту болып табылады.
Егер біз даму мақсаттарын қарастыратын болсақ, онда функцияларды зерттеу, ең алдымен, әртүрлі объектілердің өзгерістері арасындағы тәуелділіктерді көруге жауап беретін функционалды ойлауды дамытуға, сондай-ақ алгебралық материалды зерттеу кезінде қойылған мақсаттарға ықпал етеді (абстрактілі материалмен жұмыс істеу қабілетін дамыту, талдау қабілеті және т.б.).
Функционалдық график алгебраның негізгі мазмұндық бағыттарының бірі болып табылады. Функционалдық график функция ұғымымен тікелей байланысты мәселелерді зерттеуде де, алгебраның көптеген ұғымдарына функционалдық бағыт беруде де жүзеге асырылады.
Алгебрадан жұмыс бағдарламалар жинағында Т.А. Бурмистрова математика курсында функционалдық сызықтың мазмұны студенттерге айналамыздағы құбылыстар мен процестерді зерттеуге және талдауға мүмкіндік беретін іргелі алгебралық мысалы ретінде функция туралы белгілі бір білім алуға бағытталғанын көрсетеді.
Функционалдық материалды меңгеру оқушылардың математиканың сөздік, графикалық және символдық тілдерін қолдану қабілетін қалыптастыруға ықпал етеді. Сонымен қатар, функционалдық графиктің материалы басқа ғылымдардың дамуындағы математика ғылымының рөлін көрсетуге мүмкіндік береді.
Негізгі мектептің мектептің алгебра курсында Функциялар тақырыбын оқу нәтижесінде оқушылар:
- біледі:
1. Функционалдық ұғымдар жүйесі.
2. Функционалды тіл және символдар.
3. Элементар функционалдық тәуелділіктер
-қолданады:
1. Функционалдық ұғымдар жүйесін, функционалдық тіл мен таңбаларды қолдану.
2. Элементар функциялардың графиктерін тұрғызу.
3. Функцияның негізгі қасиеттерін көрсету үшін оның графигін талдаңыз.
4. Бізді қоршаған дүниенің тәуелділіктерін және математикалық есептерді сипаттау және талдау үшін функционалды графикалық көріністерді қолдану.
5. Графикалық бейнелерді теңдеулерді, теңсіздіктерді, жүйелерді шешу және зерттеу үшін қолдану.
2015 жылғы 8 сәуірдегі негізгі жалпы білім берудің үлгілік бағдарламасында күнделікті өмірде қолдану үшін 7-9-сыныптарда функционалдық графикті зерделеу барысында басқа пәндерді оқу кезінде және оқуды табысты жалғастыру мүмкіндігін қамтамасыз ету көрсетілген. базалық деңгейде студенттер білуі керек:
1. Аргументтің мәні берілген, функцияның мәнін табу, сонымен қатар кері тапсырманы орындау.
2. Нүктенің координаталық жазықтықта орналасуына қарай координаталарын табу, координаталары бойынша нүктенің орнын анықтау.
3. Функцияның графигін оның негізгі қасиеттерін (домені, мәндер диапазоны, функция жойылатын нүктелері, тұрақтылық интервалдары, монотондылық, функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері) көрсету үшін талдаңыз.
4. Сызықтық функцияның графигін тұрғызыңыз.
5. Графиктен берілген функцияның түрін анықтаңыз (сызықтық, квадраттық, кері пропорционалдық).
6. Функция графиктерінің қиылысу нүктесінің координаталарының жуық мәндерін табыңыз.
7. Негізгі деңгейде ұғымдарды қолдану: реттілік, арифметикалық және геометриялық прогрессиялар.
8. Жауабын формулаларды қолданбай тікелей есептеу арқылы алуға болатын прогрессияға есептер шығару.
9. Нақты процестер мен тәуелділіктердің графиктерін талдаңыз.
10. Сызықтық функцияның қасиеттері мен графигін әртүрлі оқу пәндерінен есептер шығару үшін қолдану.
Оқушы 7-9-сыныптарда білім алуды негізгі және қосымша деңгейлерде табысты жалғастыруды қамтамасыз ету мүмкіндігіне ие болады:
Функционалдық терминологияның негізін меңгеру.
y=a+kx+b y=x, y=3x, y=xфнукцияларын графикалық түрде сызықтық, квадраттық функцияларды, кері пропорционалдылықты көрсету.
Квадраттық функцияның мысалын пайдалана отырып, функция графиктерінің түрлендірулерін қолдану (координаталар осі бойынша жылжулар, қысу, созу).
Екі нүктедегі түзудің теңдеуін, сондай-ақ берілген нүкте арқылы өтетін және берілген түзуге параллель түзудің теңдеуін құрастыру.
Функцияның қасиеттерін графикалық бейнелеу арқылы анықтау.
Мәндер ауқымын, функция жойылатын нүктелерді, тұрақты таңбалы интервалдарды, квадраттық функцияның монотондылығын анықтаңыз.
Реттілік, арифметикалық және геометриялық прогрессия анықтамалмарды білу.
Арифметикалық және геометриялық прогрессияға есептер шығару.
Нақты тәуелділікті немесе процесті сипаттамаларына сәйкес графикалық түрде көрсету.
Басқа оқу пәндеріндегі әртүрлі есептерді шешу үшін квадраттық функцияның графигі мен қасиеттерін қолдану.
Оқушы 7-9-сыныптарда оқуын жоғары деңгейде жалғастыру үшін, сондай-ақ күнделікті жағдайларда қолдану және әртүрлі пәндік салалардағы мәселелерді шешу үшін оқуға мүмкіндік алады:
Негізгі функционалдық ұғымдарды (тақжұп функциялар, асимптоталар, мерзімділік және т.б.) еркін меңгеру.
Мына функцияларды графикалық түрде көрсетіңіз: сызықтық, квадраттық, бөлшек-сызықтық, дәреже, y=x.
Функция графиктерінің түрлендірулерін қолдану (координаталар осі бойынша жылжулар, қысу, созу).
Функциялардың қасиеттерін және параметрлерге байланысты график түрін зерттеңіз.
Тізбек шегі, арифметикалық және геометриялық прогрессиялар сияқты ұғымдарды меңгеру.
Арифметикалық және геометриялық прогрессияға әртүрлі есептер шығару.
Математикалық индукция әдісін бөлінгіштік есептерді шығаруда, формулаларды шығаруда, теңдік пен теңсіздікті дәлелдеуде қолдану.
Берілген қайталанатын тізбектерді зерттеу.
Қоршаған шындықтың құбылыстары мен процестеріне сәйкес функцияларды құру және зерттеу, зерттелетін құбылыстың немесе процестің ерекшеліктерін ескере отырып, алынған тұжырымдарды түсіндіру.
Тәуелділік графиктерін қолдана отырып, бізді қоршаған әлемнің процестері мен құбылыстарын зерттеу.
Функцияларды жобалау және зерттеу арқылы басқа пәндік салалардағы мәселелерді шешу.
Т. А. Песковтың "орта мектептегі функцияларды зерттеу туралы" мақаласында [41] функцияларды зерттеудің тәрбиелік, практикалық және тәрбиелік мәні басқа шамаларға байланысты бізді қоршаған шындықтың әртүрлі шамаларының өзгеру заңдылықтарын орнатуға мүмкіндік беретіндігінде баса айтылған.
Функцияларды зерттеудің негізгі мақсаттары төмендегідей:
Функциялардың қасиеттерін қолдану математикалық есептерді шешу әдісінің негізінде жатыр (мысалы, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде).
Функция жалпы мәдени, дүниетанымдық мәнге ие. Функцияларды зерттей отырып, оқушылар жалпыға ортақ байланыс, үздіксіздік, шексіздік идеясымен танысады. Функция көптеген нақты процестердің үлгісі болғандықтан, оның қасиеттерін зерттеу осы процестерді білуге мүмкіндік береді.
Функционалдық тәуелділіктер әртүрлі ғылыми салаларда және оқу пәндерінде кеңінен қолданылады. Мектептегі функцияны зерттеу оқушыларға осы ұғымның маңыздылығы мен таралуын көрсетуге мүмкіндік береді.
Функцияларды зерттеу әртүрлі объектілердегі өзгерістер арасындағы байланыстарды жүргізуге жауапты функционалды ойлауды қалыптастыруға және дамытуға ықпал етеді. Сонымен қатар, функционалды ойлау дерексіз материалмен жұмыс істеу, талдау дағдыларын дамытуға ықпал етеді.
Д. Денбал [55] мақаласында функциялар математиканың ажырамас бөлігі екенін атап өтті. Оқушылар алгебра және геометрия сабақтарында ғана емес, басқа ғылымдарда да функцияларға тап болады. Мысалы, жазықтықтың геометриялық түрлендірулерін функция ретінде қабылдауға және зерттеуге болады. Автордың пікірінше, функциялар математикадан тыс құбылыстар мен жағдайларды модельдеуге мүмкіндік береді.
Осылайша, жоғарыда айтылғандардың барлығын қорытындылай келе, негізгі мектепте функционалды сызықты оқытудың келесі негізгі мақсаттарын тұжырымдауға болады:
Функцияларды қолдана отырып, нақты тәуелділіктерді зерттеу негізінде оқушыларда қоршаған әлем туралы және оның компоненттерінің өзара байланысы туралы тұтас түсінік қалыптастыру.
Күнделікті өмірде функцияларды пайдалану дағдыларын қалыптастыру.
Алгебрада және басқа ғылымдарда оқушылардың функционалды сызықпен байланысты ұғымдық аппаратты қолдану білімін, дағдыларын және дағдыларын қалыптастыру.
Оқушылардың ақпаратты бір түрден екінші түрге: графикалық түрден мәтіндік, кестелік, формула тіліне аудару дағдыларын қалыптастыру.
1.3 Әр түрлі авторлардың алгебра оқулықтарындағы Функция тақырыбының мазмұнын талдау
Мектеп математикадағы негізгі ұғымның бірі функция болып саналады. Мектеп бағдарламасында бұл мәселеге көп көңіл бөлінген. Оқушылардың бұл ұғымды неғұрлым терең меңгеруі олардың математикалық білімдері деңгейінің көрсеткіші.
5-сынып математикасындағы айнымалысы бар өрнектерді оқып үйрену функцияны оқып үйренуге дайындық болып табылады. Мұнда функция термині енгізілмейді, алайда осы ұғымды қалыптастыру жөнінде жыл бойы жүйелі түрде жұмыс жүргізіледі. Функция ұғымының қалыптасуына айнымалы шамалары бар арифметикалық есептерді шығару көмектеседі. 5 сыныптағы функционалдық түсініктерді қалыптастыру жөнінде басталған жұмыс 6-сыныпта функция ұғымын енгізуге мүмкіндік береді, функция ұғымының мазмұны айқындалып, тиісті анықтама беріледі. Функцияның берілу тәсілдері (таблицалық, графиктік, аналитикалық) қарастырылады. у=kx және y=kx функцияларын оқып - үйренеді. Олардың графиктері салынады.
7-сыныпта у=ах пен у=ах функцияларының графиктерімен танысады.
8-сыныпта функциялық түсініктер дамытылады. Мысалы, бүтін теріс көрсеткіші бар дәрежелерді оқығанда у=ах, у=ах түріндегі функциялардың графиктері, квадрат түбірлерді оқығанда у= функциясының графигі, квадрат теңдеулерді оқығанда квадрат үшмүшеліктердің графиктері қарастырылады.
9-сыныпта оқылатын алгебра курсында функцияларды оқып-үйрену әрі қарай жалғастырылады. Берілген функцияға кері функция ұғымы енгізіледі,
8-сынып геометриясында sinx пен cosx функцияларының қарапайым қасиеттері оқылады. tgx функциясы sinxcosx қатынасы ретінде енгізіледі.
Алгебра. Жалпы білім беретін мектептің 7-сыныбына арналған оқулықӘ.Н.Шыныбеков,Д.Ә.Шыныбеков - Алматы: Атамұра, 2017.-200 б.
Осы талдау барысында Ә.Н.Шыныбековбастаған авторлық топтың оқулығына тоқталамыз. Бұл оқулық 5-6-сыныптардағы математика курсын қайталауға арналған жаттығулардан басталады. Ең бірінші 5-6-сыныпта өткен тақырыптар бойынша сұрақтар қойылған. Одан кейін келесідей тақырыптарға жаттығулар берілген:
Жай бөлшектерді қосу және азайту,бөлу,көбейту
Аралас сандарды қосу және азайту, бөлу,көбейту
Ондық бөлшектерге амалдар қолдану
Ұқсас қосылғаштар. Ұқсас қосылғыштарды біріктіру.
Өрнектерді тепе-тең түрлендіру. Тепе-теңдік.
Пропорция
Бір айнымалысы бар теңдеулер мен теңсіздіктерді және олардың жүйелерін шешу
Мәтінді есептерді шешу тақырыптары бойынша жалпы алғанда 96
есеп берілген.Осы есептерді шығару арқылы математика курсын қайталап, 7-сынып материалдарын игеруге көшеді.
Оқулықтың өзі 6 тараудан:
Натурал және бүтін көрсеткішті дәреже
Бірмүшелер және көпмүшелер
Функция
Статистика элементтері
Қысқаша көбейту формулалары
Алгебралық өрнектер
Және ең соңғы 7-тарауды қайталау есептеріне арнаған.
3-тарауда функция ұғымымен танысып,оның берілу тәсілдерін үйренеді. Сызықтық функциялардың графигін зерттеп, өзара орналасуын біледі. Сонымен қатар, y=ax2 және y=ax3, y=kx функцияларын және оның қасиетін, графигін салып үйренеді.
Қорыта айтқанда,Ә.Н.Шыныбеков оқулығының артықшылықтары:
- жаңа тақырыпты түсіндіру, анықтамалардың берілуі нақты әрі, түсінікті;
- оқушылардың жас ерекшелігі ескерілген;
- есептердің берілуінде деңгейлік есептер берілген;
- әр тақырып бойынша қысқаша тарихи шолу жасалған;
- қосымша есептер қоса берілген;
- мәтіндік есептер жеке тақырып ретінде қарастырылған.
- жаңа тақырыпты түсіндіру кезінде бұл оқулықта шұбалаңқы сөздер аз, практикалық есептер мен мысалдарда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz