Кеңейтілген натурал сандар жиынының қасиеттері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 157 бет
Таңдаулыға:

КЕНЖЕБЕКОВА РАБИГА ИБРАХИМОВНА

МАТЕМАТИКА НЕГІЗДЕРІ

Шымкент, 2023

Дәріс №1. Математиканың бастауыш курсын пән ретінде оқуды ұйымдастыру

Дәріс мақсаты: Математиканың бастауыш курс негіздері пәні, оның қажеттілігі, актуальдылығы, қолданысы туралы қарастыру.

1. 1. Курстың объектісі, пәні, міндеттері

1. 2. Курстың мазмұны

1. 3. Курстың басқа оқу пәндерімен байланысы

Қазақстан Республикасының «Білім туралы» заңында «Білім беру жүйесінің басты міндеті - ұлттық және жалпы азаматтық құндылықтар, ғылым мен практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға және кәсіби шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдайлар жасау, оқытудың жаңа технологияларын енгізу, білім беруді ақпараттандыру, халықаралық ғаламдық коммуникациялық желілерге шығу» деп, білім беру жүйесін одан әрі дамыту міндеттері көзделеді.

Білім алу, шеберлікке, іс-әрекет дағдыларына үйрету мен меңгеру барысы және адамды өмір мен еңбекке бейімді етіп даярлаудың негізгі құралы - оқыту. Оқыту барысының нәтижесінде білім беру мен тәрбие мақсаттары жүзеге асырылады. Түрлі оқу орындарындағы оқыту - білім берудің басты жолы, сол сияқты оқу отбасында, ондірісте, жұмыста т. б. күнделікті адамның тіршілік және қызмет барысындағы жағдайларды іске асып отырады.

Оқытудың мазмұны мен сипаты қоғамның материалдық және мәдени даму дәрежесіне сай белгіленеді. Оқудың мақсаты мен мазмұны, оны ұйымдастырудың түрлері мен әдістері адамзат қоғамының даму кезеңдеріндегі қоғамдық қатынастар негізінде, жалпы білімге, адамдардың даярлығы негізінде қойылатын талаптардың сипатына және оқыту жөніндегі педагогикалық идеяларға сай өзгеріп отырады.

Білім беру саласындағы болып жатқан өзгерістер соңғы жылдары педагогикалық білім алатын болашақ мамандарға, олардың кәсіби дайындықтарына елеулі талаптар қоюда. Әсіресе, бастауыш сынып мұғалімдерін даярлауға қойылатын талаптар күрделі де сан-салалы болып отыр. Себебі бастауыш сынып мұғалімі - жас ұрпақ бойына ең алғашқы білім негіздерін сіңіретін, олардың дағдылары мен машықтарын дұрыс бағытта қалыптасуын қамтамасыз ететін, ізгілікті және отаншылдық қасиеттерге баулитын тұлға.

Мемлекеттік білім стандартында бастауыш сынып мұғалімдеріне кәсіби жан-жақты теориялық және практикалық білім мен дағдыларды, әлеуметтік және гуманитарлық пәндер негіздері өнерпаздық қабілеттерді, оқыту мен ақпараттық технологияларды пайдалану дағдыларын, іскерлік машықтарын жан-жақты меңгерту көзделген.

«Математиканың бастауыш курсының негіздері» пәні студенттерге математиканы табысты оқытып-үйретуге, оқушыларды бастауыш математика курсы ұғымдарының негізгі мектепте қолданылу мүмкіндіктерін көре білуге қажет болатын даярлықты қамтамасыз етеді.

«Математиканың бастауыш курсының негіздері» пәні бастауыш сыныптар мұғалімдерінің кәсіби даярлығы жүйесіндегі арнаулы пән ретінде өткен ғысырдың ХХ-сыншы жылдары жоғары мектеп жұмысын ұйымдастырудың бірыңғай мемлекеттік принциптері анықталған кезде қалыптаса бастады.

Бастауыш сынып мұғалімдеріне кәсіби теориялық білім педагогика, психология, әдістеме ғылымдарын оқытумен бірге бастауыш сыныптардағы негізгі пәндер - қазақ (орыс) тілі, математика, ана тілі, бейнелеу өнері, дүние тану, музыка т. б. ғылымдардың негіздерін меңгерту арқылы да белгілі.

Осы тұрғыда бастауыш сыныпта берілетін математикалық білім мазмұны мен оқушылардың дайындықтарының міндетті деңгейіне қойылатын талаптар басты назарға алынады. Мектептің бастауыш сатысында берілетін математикалық білім мазмұны қарапайым математикалық түсініктерді қалыптастыру, сандар нумерациясы, алгебра элементтері, геометрия элементтері, шамалар және оның өлшем бірліктері деп аталатын бөлімдерден тұрады.

Әрбір мұғалім математика пәнінде оқушыларды терең ойлай білуге, олардың шығармашылық қабілеттерін дамытып, өз бетінше жұмыс жасай білуге үйрету мақсатын қояды. Бұл мақсатты орындау, яғни оқушылардың білім, білік, дағдысын, өзіндік танымын қалыптастыру - нақты ұйымдастырылған кезеңдер арқылы жүзеге асырылатын күрделі үрдіс. Жалпыға міндетті орта білім стандарттарында (жалпы бастауыш білім) білім объектісі ретінде - білім мазмұны алынған болса, өркениетті елдердің тәжірибесінде білім объектісі ретінде - оқыту нәтижесі алынған. Осыған орай білім мазмұнын жаңарту мен оқытудың инновациялық әдістерін өндіру бүгінгі күннің талабы болып отыр.

Білім сапасы оның төрт сипатын (білім - құндылық, білім - жүйе, білім - процесс, білім - нәтиже) біртұтас қарастыра отырып, олардың ішінде білімнің құндылық ретіндегі және білімнің нәтиже ретіндегі сипатына мән берумен тікелей байланысты.

«Математика» білім саласы бойынша күтілетін нәтижелер білім мазмұнының жетекші компоненттері және білім, түсіну, қолдану, жоғарғы сипаттағы біліктер деп аталатын категориялар арқылы бейнелеген оқу материалдарын меңгеру деңгейлерін ескере отырып анықталады. Мұнда басты есте болатын нәрсе - оқушылардың математикалық мәдениетін көтеру, математиканы оқып- үйренуге ынталандыру, нақты дағдыларды бекіту.

Курсты оқытудың әдістері: ғылыми-педагогикалық әдебиеттерді, бағдарламаларды, математикадан оқулықтар мен оқу-әдістемелік құралдарды теориялық талдау; педагогикалық эксперимент; бақылау; озат педагогикалық тәжірибені оқып-үйрену және жалпылау; әңгіме; анкетк; тест және т. б.

Математиканы оқыту теориясы мен технологиясы педагогикалық ғылым және оқу пәні ретінде ұзақ уақыт қалыптасты және дамыды. Оның даму кезеңдері Қазақстан Республикасы мектептік білім берудің реформалаумен тығыз байланысты. XX -шы ғасырдың 70-ші жылдарына дейін оқытылған арифметика курсы өзіне алгебра және геометрия элементтерін біріктіре отырып, математиканы оқыту әдістемесінің негізі болады. Математиканың әдістемесіне 80-90 жылдардағы математиканы оқыту процесіне дамыта оқыту теориясының, білімнің дидактикалық бірліктерін ірілендіру теориясының енгізілуіне орай елеулі өзгерсітер енді. Математика негіздері пәні педагогикалық ғылым саласы ретіндегі объектісі, пәні, міндеттері мен ғылыми-зерттеу әдістері, оның басқа ғылым салаларымен (философиямен, логикамен, математикамен, педагогикамен, психологиямен және т. б) байланысты.

Қазіргі кезде білім беру саласында болып жатқан ауқымды өзгерістер түрлі ынталы бастамалар мен түрлендірулерге кеңінен жол ашуда. Осы қарастырылған мәселелер реті болашақ бастауыш сынып мұғалімдерінің оқушылардың математикалық білімін тереңдете және кеңейте түсуімен байланысты шығармашылық ізденісін қамтамасыз етеді. Кіші жастағы оқушыларға математиканы оқытудың әдістемелік жүйесінің өзіндік ерекшеліктерін сипаттайтын әдістемелік ережелер, сондай-ақ оқытуға тұлғалық-іскерлік және дамытушылық тұрғыдан қарау әдістемелік құрал мазмұнын құрайды.

Дәріс №2.

Жиындар. Жиындарға қолданылатын амалдар және олардың заңдары

Дәріс мақсаты: Жиындар, жиын элементтеріне анықтама беріп, таныстыру. Жиындарға амал қолда білуге үйрету

Жиын уғымы. Жиынның элементтері

Жиындардың жазылуы мен оның берілу тәсілдері

Бос жиын

Тең жиындар

Ішкі жиындар

Жиындардың графикалық иллюстрациясы (сипаттамасы. )

Жиындарға қолданылатын амалдар.

а) Жиындардың қиылысуы

ә) Жиындардың бірігуі

б) Жиынның толықтауышы. Жиындардың айырмасы

в) Жиындардың декарттық көбейтіндісі

Жиын математиканың негiзгi ұғымдарының бiрi. Оны тек мысалдармен түсiндiруге болады. Мысалы, кiтап бетiндегi әрiптер жиыны, институттағы студенттер жиыны, т. с. с Жиынды құрайтын барлық заттарды оның элементтерi деп атайды. Жиын элементтерiнiң табиғаты әртүрлi болады: елдер, жұлдыздар, үйлер, сандар, геометриялық денелер, жан-жануарлар т. с. с. Жиынды латын алфавитiнiң бас әрiптерiмен белгiлейдi.

Мысалы: M={a, b, c, d, e} түріндегі жазылу элементтері a, b, c, d, e әрiптерiнен құралған жиынды көрсетедi. Бұл жиынды элементтерiнiң орналасу ретiн өзгертiп те жазуға болады. «a элементi M жиынынына тиiстi» немесе «a заты M жиынының элементi» сөйлемдерi а∈Μ символымен белгiленедi. Ал k∉Μ символы «k заты M жиынының элементi емес» деп оқылады.

Элементтердiң санына қарай жиындар шектеулi және шектеусiз жиындар болып бөлiнедi. Мысалы, кейбiр институттағы студенттер жиыны шектеулi. Ал шектеусiз жиындарға өзiмiзге белгiлi мынадай сандық жиындар мысал болады:

N - натурал сандар жиыны,

N _o -кеңейтілген натурал сандар (теріс емес бүтін сандар) жиыны,

Z - бүтiн сандар жиыны,

Q - рационал сандар жиыны,

R - нақты сандар жиыны.

Математикада бiрде-бiр элементi жоқ жиынды да қарастырады. Ондай жиынды бос жиын дейдi. Бос жиынды ∅ символымен белгiлейдi. Мысалы, теңдеуiнiң нақты шешiмдерiнiң жиыны бос жиын болады.

Жиынды оның барлық элементтерiн атау арқылы анықтауға болады. Жиынның осындай түрде берiлуi тек шектеулi жиындар үшiн орын алады.

Жиын барлық элементтеріне тән қасиетiн атау арқылы да берiледi. Онда жиын элементтерi сипаттайтын қасиетiмен берiлдi дейдi. Мысалы, 7-ден кiшi натурал сандар жиыны М берiлсiн. Бұл жиын элементтерiн сипаттайтын қасиет : жиын элементтерi натурал сандар және олар 7-ден кiшi. Бұл жиынды былай жазады M = {x / x∈N, x<7}.

Бiр жиынның өзi әртүрлi мiнездемелiк қасиеттері арқылы берiлуi мүмкiн. Мысалы, жоғарыда келтiрiлген M={x / x∈N, x<7} жиынын 0 және 7, 5 сандарының арасында орналасқан натурал сандар жиыны ретiнде де анықтауға болады. Демек, M={x / x∈N, 0<x<7, 5}.

Көптеген есептер элементтерiнiң мiнездемелiк қасиетi белгiлi болған жағдайда, жиынды анықтауға әкелiп соғады. Мысалы, теңдеуiнiң барлық түбiрлерiнiң жиынын анықтайық. Бұл жиын элементтерiнiң қасиетi « теңдеуiнiң түбiрi болуы».

Яғни A= {x /x∈( ) } түрiнде жазылады.

теңдеуiн шешейiк. Сонда болғандықтан, түбiрлерi х ₁ = -1, х ₂ = 1 болады. Сондықтан A={-1, 1}. Егер А және В жиындары бiрдей элементтерден тұрса, оларды тең жиындар деп, A=В түрiнде жазады. Мысалы, A={5, 6, 7, 8, 9} және В={7, 5, 9, 6, 8} жиындары тең жиындар. Олар тек 5, 6, 7, 8, 9 элементтерiнен тұрады.

Егер А жиынның әрбiр элементi В жиынының да элементi болса, онда А жиын В жиынның бөлiгi (iшкi жиыны) дейдi. Мұны А⊂В немесе В⊃А деп белгiлейдi және «А жиыны В жиынның iшкi жиыны деп оқиды». Мысалы, В - институттағы барлық студенттер жиыны, ал А - топ студенттерi жиыны дейiк. Сонда А жиыны В жиынының бөлiгi болатыны анық. Демек А⊂В.

Әрбiр жиын өзiнiң iшкi жиыны (бөлiгi) болады, яғни А⊂А деп есептеледi. Осы сияқты, бос жиын кез келген А жиынының iшкi жиыны болады, яғни ∅⊂А. А жиынының А-дан өзгеше бос емес кез келген В iшкi жиыны оның меншiктi бөлiгi (iшкi жиыны) деп, ал А мен ∅ iшкi жиындары меншiктi емес бөлiктерi (iшкi жиындары) деп аталады. Мысалы, M={ x / x ∈N, x <4} жиынының меншiктi iшкi жиындары {1}, {2}, {3}, {1; 2}, {1; 3}, {2; 3}, ал меншiктi емес жиындары {1, 2, 3} мен ∅ болады.

Кез келген n элементтен тұратын жиынның 2 ⁿ iшкi жиыны болады.

Егер. В⊂А және А⊂В болса, онда А=В болады. Сонымен бiрге, егер А⊂В және В⊂С болса, А⊂С болады.

Егер U жиынның ғана iшкi жиындары қарастырылатын болса, ондай жиынды универсал жиын деп атайды. Айталық, А -институттағы қыздар жиыны, В- сол институттағы спортшылар жиыны, ал С - сол институттағы ұлдар жиыны болсын. Сонда институттағы студенттер жиыны U универсал жиын, яғни А⊂U, В⊂U, С⊂U болады.

Жиындар арасындағы қатынастарды көрсету үшiн, кез келген жиынның элементтерiн тұйық контур iшiнде орналасқан нүктелер ретiнде қарастырады. Бұл контурдың iшкi нүктелерiн тiкелей бейнелеу қажет емес. А жиыны В жиынының меншiктi ішкі жиыны болатыныны 1-суреттегiдей кескінделеді.

A B

1-сурет 2-сурет

U - универсал жиын төртбұрыш ретiнде кескінделеді (2-сурет) . Мысалы, U - кiтапханадағы кiтаптар жиыны, ал А- математика пәнi кiтаптарының жиыны, В - «Бастауыш мектеп» журналының жиыны. Осылайша графиктiк кескiндеу әдiсi Эйлер-Венн дөңгелектерi немесе диаграммалары деп аталады.

А мен В жиындарына ортақ элеметтерден құрылған жиынды олардың қиылысуы деп атайды. А мен В жиынының қиылысуы А∩В түрiнде белгiленедi. Мұндағы ∩ символы жиындардың қиылысуы белгiсi.

А В

А В: 3-сурет

А мен В жиындарының қиысуын Эйлер-Венн дөңгелектері арқылы бейнелеуге болады (3-сурет) . А мен В жиындарының ортақ элементерi болмаса, олардың қиылысуы бос жиын болады: А В=∅. Бұл жиындарды қиылыспайды дейдi. Үш немесе бiрнеше жиындардың қиылысуы да жоғарыда айтылғандай анықталады.

Жиындардың қиылысуының қасиеттерi:

АВ=ВА (орын ауыстырымдылық)
(АВ) С=А(ВС) (терiмдiлiк)
Егер А⊂В болса, онда АВ=А болады.
Кез келген А жиыны үшiн АА=А, А∅=∅ және АU=А болады.

Мысалы, А={x / x∈R, }, В={x / x∈R, }.

Осы екi жиынның қиылысуын табайық.

Шешуi. А және В жиынын сан өсiнде бейнелейiк. Сонда А жиыны шеткi нүктелерi -2 және 7 де жататын кесiндiнi ал, В жиыны шеткi

нүктелерi 3 және 10 болатын кесiндiнi бейнелейдi. Ал осы екі жиынның қиылысуы: А В қос сызықпен штрихталған (4-сурет) кесiндiні бередi.

4-сурет

-2

А және В жиындарының кем дегенде бiрiнде жататын элементтерден құрылған жиынды, олардың бiрiгуi деп атайды. Оны А∪В деп белгiлейдi. Мұндағы ∪ символы жиындарының бiрiгуінің белгiсi.

Жиындардың бiрiгуiнiң қасиеттерi:

1. А∪В= В∪А (орын ауыстырымдылық),

2. (А∪В) ∪C =A∪(В∪C) (терiмдiлiк),

3. Егер. В⊂А болса, онда А∪В=А болады.

4. а) А∩(В∪С) =(А∩В) ∪(А∩С) ;

ә) А∪(В∩С) =(А∪В) ∩(А∪С) (жиындардың қиылысуы мен бiрiгуiнiң арасындағы үлестiрiмдiлiк) .

Мысалы, А={a, b, c, d, e, f} және В={d, e, f, n, m, k} болсын. Сонда осы жиындардың бiрiгуі А∪В={a, b, c, d, e, f, n, m, k} болады. А∪В жиыны 7-суретте Эйлер-Венн диаграммалары көмегiмен кесiкiнделген.

Егер А және В жиындары берiлсе, онда В жиынында жатпайтын А жиынының элементерінің жиынын олардың айырмасы деп айтады. Оны А\В=С деп жазады. Эйлер-Венн дөңгелектерімен 8-суретте кескiнделген.

Мысалы, А={1, 2, 3, 4, 5} және В={2, 4, 6, 8} болса, А\В={1, 3, 5} болады. Сонымен А\В=A\(A∩B) болады. А\В жиынының кез келген «x элементi А-да жатады, В-да жатпайды» қасиетiне ие болады. А жиыны В-ның iшкi жиыны болсын. Сонда, А жиынының В-да жатпайтын элементтерiнiң жиынын В жиынының А-дағы толықтауышы деп атайды. Оны символымен белгiлейдi. Мысалы, N - натурал сандар жиыны, Р - барлық жұп натурал сандар жиыны болса, онда Р - iшкi жиынының толықтауышы барлық тақ натурал сандар жиыны Р ^/ _N ={1, 3, 5, …, 2n-1, …} болады. Универсал жиынының кез келген iшкi жиындары А, В және С үшiн төмендегі теңдiктер орындалады.

1) (А∩B) ^/ =А ^/ ∪В ^/ ;

2) (А∪B) ^/ =А ^/ ∩В ^/ ;

3) А\(В∩С) =(A\B) ∪(A\C) ;

4) А\(В∪C) =(A\B) ∩(A\C) =(A\B) \C

Берiлген жиынды өзара қос-қостан қиылыспайтын iшкi жиындарға бөлiктеу үшiн мынадай шарттар орындалуы керек:

Бөлiктердi құрайтын әрбiр iшкi жиын бос жиын емес.
Әрбiр iшкi жиындар өзара қиылыспайды.
Барлық iшкi жиындардың бiрiгуi берiлген жиынға тең.

Мысалы, X={бақ, бағбан, қар, бақташы, қарлы, пiсiру, пiскен} жиыны элементерiнiң арасында «түбiрi бiрдей» қатынасы берiлсе, осы қатынас арқылы X жиынын ішкі жиындарға бөліктеуге бола ма?

Шешуi. X ₁ жиынына түбiрi «бақ» болатын сөздер жиналады.

Х ₁ ={бақ, бағбан, бақташы};

Х ₂ жиынына түбiрi «қар» болатын сөздер жиналады.

Х ₂ ={қар, қарлы};

Х ₃ жиыныныа түбiрi «пiс» болатын сөздер жиналады.

Х ₃ ={пiсiру, пiскен} болады.

Х ₁ , Х ₂ және Х ₃ жиындары бос емес, олар қос-қостан қиылыспайды, ал олардың бiрiгуi Х ₁ ∪Х ₂ ∪Х ₃ =Х болатыны көрiніп тұр. Сонымен әр түрлi сөздер жиынында «түбiрi бiрдей» деген қатынас осы жиынды «түбiрi бiрдей» сөздер кластарына бөліктеуге мүмкiндiк бердi.

Кейбiр жағдайда, жиынды өзара қос-қостан қиылыспайтын iшкi жиындарға бөлiктеу мүмкiн болмайды.

Мысалы, барлық үшбұрыштар жиынын теңбүйiрлi үшбұрыштар жиыны және тiкбұрышты үшбұрыштар жиынына бөлiктеуге болмайды, өйткенi жоғарыдағы үш шарттың кейбiреуi орындалмайды.

№3 Дәріс

Жоспар:

Реттелген жұптар.
Кортеж.
Декарттық көбейтiндi.
Декарттық координаттар жүйесі

Айталық 35 саны берiлсiн. Бұл сан 3 және 5 цифрларымен жазылған. Олар белгiлi бiр анықталған ретпен алдымен 3, содан соң 5 цифры жазылған. Олардың орынын ауыстырсақ басқа 53 саны алынады. Сондықтан реттелген жұптар ұғымын енгiзуге тура келедi. х пен у шамаларын реттелген (х, у) түрiнде жазуға болады.

х пен у-тi (х, у) реттелген жұбының компоненттерi немесе координаттары деп атайды. (х ₁ , у ₁ ) және (х ₂ , у ₂ ) жұптары, х ₁ =x ₂ , у ₁ =у ₂ болғанда ғана бiрi-бiрiне дәл келедi.

Кортеж ұғымын түсіндіру үшін «параллелограмм» деген сөздi құрайтын әрiптердiң жиынын жазайық. Ол {п, а, р, л, е, о, г, м} болады. Бiрақ «параллелограмм» сөзi дұрыс жазылуы үшiн, онда қолданылатын әрiптердi ғана емес, олардың жазылу ретiн де бiлу керек, демек әрiптердiң орналасу тәртiбi де ескерiледі. Математикада мұндай жағдайлар көптеп кездеседi. Мысалы, 15531122 санындағы цифрлар жиыны: {1, 5, 3, 2}. Бiрақ бұл сандағы цифрлар өзiнiң тұрған ретiне, орнына байланысты түрлi мағынаға ие. Айталық, сол жағынан санағанда бiрiншi 1-лiк 10 миллиондықты білдірсе, екінші 1-лiк 1 мыңдықты көрсетедi. Математикада мұндай реттелген жиынтықтарды кортеждер деп атайды. Кортеждiң әрбiр элементi оның компонентi немесе координаты деп аталады. Осы мысалдағы цифрлардың кортежi (1, 5, 5, 3, 1, 1, 2, 2) түрiнде жазылады. Кортеж координаттарының саны оның ұзындығы деп аталады. Мысалы (п, а, р, а, л, л, е, л, о, г, р, а, м, м) кортежiнiң ұзындығы 14-ке тең.

Кортеж ұғымын пайдаланып екi, үш, төрт, тіпті n жиындарының декарттық көбейтiндiсiн анықтауға болады.

Х және У жиындарының декарттық көбейтіндісі деп бірінші компоненті х∈Х, ал екінші компоненті у∈У болатын барлық (х, у) жұптарының жиынын айтады, оны деп белгілейді.

А және В сандық жиындар болса олардың декарттық көбейтіндісі сандардың реттелген жұптарының жиыны болады. Әрбір жұпты жазықтықтағы нүктемен белгілесек, А және В жиындарының декарттық көбейтіндісін бейнелейтін фигура шығады. Мұны х пен у шамаларының реттелген (х, у) жұбы түрінде жазуға болады. х пен у-ті (х, у) реттелген жұбының компоненттері немесе координаттары деп атайды. (х ₁ , у ₁ ) және (х _2, у ₂ ) жұптары, х ₁ =х ₂ , у ₁ =у ₂ болғанда ғана бірі-біріне дәл келеді.

Ал, (а ₁ , а ₂ , …, а _m ) және (b ₁ , b ₂ , …, b _n ) кортеждерi а ₁ =b ₁ , а ₁ =b ₂ , . . . , а _m =b _n болғанда ғана тең болады. Айталық А ₁ , А ₂ , …, А _n жиындары элементерiнен ұзындығы n-ге тең 1-шi компонентi А ₁ жиынынан, 2-шi компонентi А ₂ жиынан, … n-шi компонентi А _n жиынынан алынған кортеждер жасайық. Осылайша жасалған кортеждер жиынын А ₁ , А ₂ , …, А _n жиындарының декарттық көбейтiндiсi деп атайды да, деп белгiлейдi:

Егер ХхХ декарттық көбейтіндінің ішкі жиыны көрсетілсе, онда X жиынында катыс берілген деп есептеледі. Қатынасты Р, R, S, Q т. б. әріптерімен белгілеу және хРу, хRу, хSу т. с. с. түрінде жазу қабылданған.

Мысалы, А ₁ ={1; 2}, А ₂ ={3, 4}, А ₃ ={5; 6; 7} берiлсе,

А ₁ х А ₂ х А ₃ ={(1; 3; 5), (1; 3; 6), (1; 3; 7), (1; 4; 5), (1; 4; 6), (1; 4; 7), (2; 3; 5), (2; 3; 6), (2; 3; 7; ), (2; 4; 5), (2; 4; 6), (2; 4; 7) } болады.

Декарттық көбейтiндiлер үшiн мынадай қатыстар орын алады: