Рационал функцияларды интегралдау жолдары

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ

Қарапайым бөлшектер - х айнымалысы мен тұрақты шамаларға саны шекті арифметикалық амалдарды (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қолданғаннан пайда болған функция. Рационал функцияның жалпы түрі мынадай: мұндағы a0, a1, an, b0, b1, bm (a0-0, b0-0) - тұрақтылар, ал n мен m - оң бүтін сандар. Рационал функция бөлшектің бөлімі нөлге айналмайтын нүктелердің бәрінде анықталған. m=0 болған жағдайда R(x) функциясы бүтін Рационал функция немесе көпмүше деп аталады. Ал кез келген Рационал функция көпмүшеліктердің қатынасы ретінде де қарастырылады. Рационал функцияны дифференциалдау мен интегралдау амалдары оңай орындалады, Рационал функцияның туындысы да Рационал функция болады. Рационал функцияның интегралы әр уақытта элементар функциялар арқылы өрнектеледі. Қарапайым бөлшектер - алгебр. функцияның дербес жағдайы.

Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.

Зерттеудің мақсаты: Қарапайым бөлшектер және оларды интегралдау жолдарын талдау.

Зерттеудің міндеті: Қарапайым бөлшектер интегралдаудағы теориялық бөлімін қарастыру.

Қарапайым бөлшектер интегралдауды есептер мен мысалдарда қарастыру.

Зерттеу әдістері: талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап,

тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.

Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Анықталмаған интеграл

1. 1Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері

Дифференциалдау амалына кері амал, яғни әрқайсысының туындысы берілген функцияға тең болатын барлық функцияны табу амалы, интегралдау деп аталады.

Егер Х аралығында үзіліссіз f(x) функциясы үшін әрбір x $\in X$ мәнінде F $'(x) = f(x)$ немесе dF(x) =f(x) dx болатындай F(x) функциясы табылатын болса, онда F(x) функциясы f(x) үшін X аралығында алғашқы функция ( немесе алғашқы образ) деп аталады.

Егер X=[a, b] болса, онда F ^′ (a) = f(a), F ^′ (b) = f(b) болуы тиіс.

Анықтама. [a; b] кесіндісінің әрбір нүктесінде

$$F'(x) = f(x)$$

теңдігі орындалатын болса, онда осы кесіндіде F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.

Мысалы,

$\frac{1}{3}\cos 3x - \sin 3x\$ үшін алғашқы функция.

Алғашқы функциялардың негізгі қасиеті: С тұрақтысының кез-келген мәнінде F(x) +C функциясы f(x) үшін алғашқы функция болады немесе f(x) функциясының кез-келген G(x) алғашқы функциясы G(x) =F(x) +C, C=const түрінде өрнектеледі. Бұл тұжырымның геометриялық мағынасы: f(x) функциясының кез-келген екі алғашқы функциясының графиктері бір-бірінен Oy осі бойымен параллель көшіру арқылы алынады.

Әдетте, алғашқы функциясын табу барысында f(x) функциясының берілген аралығы көрсетілмейді. Бұл жағдайда алғашқы функцияны f(x) үшін табиғи анықталу облысында табады.

f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және $\int_{}^{}{f(x) dx}$ түрінде белгіленеді. Сонымен анықтама бойынша: $\int_{}^{}{f(x) dx} = F(x) + C, C -$ кез келген тұрақты сан. Яғни, функцияның анықталмаған интегралы - оның алғашқы функцияларының жалпы түрі.

$\int_{}^{}{f(x) dx}$ анықталмаған интегралында: x - интегралдау айнымалысы; f(x) - интеграл астындағы функция; $\int_{}^{}{f(x) dx}$ - интеграл.

Анықтамадан анықталмаған иинтегралдың негізгі қасиеті шығады:

яғни анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функция тең. Басқаша айтқанда: $d\left( \int_{}^{}{f(x) dx} \right) ´ = f(x) dx,$ яғни анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең.

Сонымен қатар: $\int_{}^{}{dF(x) = F(x) + C. }$

Функцияларды интегралдаудың барлық әдістері негізінде қарапайым функциялар интегралдары жатады.

1. 1 Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері:

1. [∫f(x) dx=f(x) d[F(x) ] =f(x) dx\int_{}^{}{f(x) dx} = f(x) d\left\lbrack F(x) \right\rbrack = f(x) dx
2. ∫dF(x) =F(x) +C\int_{}^{}{dF(x) = F(x) + C}
3. ∫A•f(x) dx=A∫f(x) dx, A−нақтысан\int_{}^{}{A \bullet f(x) dx = A\int_{}^{}{f(x) dx, A - нақтысан}}
4. ∫[f(x) ±g(x) ] dx=∫f(x) dx±∫g(x) dx\int_{}^{}{\left\lbrack f(x) \pm g(x) \right\rbrack dx = \int_{}^{}{f(x) dx \pm \int_{}^{}{g(x) dx}}}
5. ЕгерХаралықта∫f(x) dx=F(x) +Cболса, ондасоларалықта∫(ax+b) dx=1aF(ax+b) +CЕгер\ Х\ аралықта\int_{}^{}{f(x) dx = F(x) + Cболса, ондасоларалықта\int_{}^{}{(ax + b) dx = \frac{1}{a}F(ax + b) + C}}
6. ∫f(x) dx=F(x) +Cболса, онда∫f(u) du=F(u) +Cмұндағыu=u(x), теңдікорындалады. \int_{}^{}{f(x) dx = F(x) + Cболса, онда\int_{}^{}{f(u) du = F(u) + Cмұндағыu = u(x), теңдікорындалады. }}

1. 3 Негізгі анықталмаған интегралдар кестесі:

1. ∫0•dx=C\int_{}^{}{0 \bullet dx = C}
2. ∫1•dx=x+C\int_{}^{}{1 \bullet dx = x + C}
3. ∫xαdx=xα+1α+1+C, α≠−1\int_{}^{}{x^{\alpha}dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C, \alpha \neq - 1}
4. ∫dxx=lnx+C(x≠0) \int_{}^{}{\frac{dx}{x} = lnx + C(x \neq 0) }
5. ∫axdx=axlna+C, 0<a≠1\int_{}^{}{a^{x}dx = \frac{a^{x}}{lna} + C, 0 < a \neq 1}
6. ∫exdx=ex+C\int_{}^{}{e^{x}dx = e^{x} + C}
7. ∫sinxdx=−cosx+C\int_{}^{}{sinxdx = - cosx + C}
8. ∫cosxdx=sinx+C\int_{}^{}{cosxdx = sinx + C}
9. ∫dxcos⁡2x=tanx+C, (x≠π2+kπ, k∈Z) \int_{}^{}{\frac{dx}{\cos^{2}x} = tanx + C, \left( x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z \right) }
10. ∫dxsin⁡2x=−cotx+C, (x∈kπ, kϵZ) \int_{}^{}{\frac{dx}{\sin^{2}x} = - cotx + C, (x \in k\pi, k\epsilon Z) }
11. ∫dx1−x2=sinhx+C, (x<1) \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = sinhx + C, \left( x < 1 \right) }
12. ∫dxa2−x2=sinhxa+C, (x<a) \int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} = sinh\frac{x}{a} + C, \left( x < a \right) }
13. ∫dx1+x2=tanhx+C\int_{}^{}{\frac{dx}{1 + x^{2}} = tanhx + C}
14. ∫dxa2+x2=1atanh⁡xa+C\int_{}^{}{\frac{dx}{a^{2} + x^{2}} = \frac{1}{a}\tanh\frac{x}{a} + C}
15. ∫dxx2+a=lnx+x2+a+C, a≠0\int_{}^{}{\frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a}} = ln\left x + \sqrt{x^{2} + a} \right + C, a \neq 0}
16. ∫dxa2−x2=12aln⁡a+xa−x+C, x≠a\int_{}^{}{\frac{dx}{a^{2} - x^{2}} = \frac{1}{2a}\ln\left \frac{a + x}{a - x} \right + C, x \neq a}
17. ∫tanxdx=−lncosx+C\int_{}^{}{tanxdx = - lncosx + C}
18. ∫cotxdx=lnsinx+C\int_{}^{}{cotxdx = lnsinx + C}

Ескерту. 7 қасиет бойынша кестедегі формулалар $x -$ тің орнына $u = u(x)$ функциясын қойғанда да орындалады. Мысалы $\int_{}^{}{cosu(x) du = sinu(x) + C}$

Анықталмаған интегралдан алынған туынды интеграл астындағы функцияға тең:

$$\left\lbrack \int_{}^{}{f(x) dx} \right\rbrack ´ = f(x) .$$

Анықталмаған интегралдан алынған дифференциал интеграл астындағы өрнекке тең, яғни дифференциал мен интеграл кері амалдар сияқты бірін бірі жояды:

$$d\int_{}^{}{f(x) dx = f(x) dx}.$$

Дәлелдеу.

$$d\left\lbrack \int_{}^{}{f(x) dx} \right\rbrack = \left\lbrack \int_{}^{}{f(x) dx} \right\rbrack ´dx = \left\lbrack F(x) + C \right\rbrack ´dx = F´(x) dx = f(x) dx.$$

Функцияның дифференциалынан алынған анықталмаған интеграл функцияның өзімен ерікті тұрақтының қосындысына тең:

$$\int_{}^{}{df(x) = f(x) + C. }$$

Дәлелдеу.

$$df(x) = \int_{}^{}{f´(x) dx = F_{1}(x) + C, албұлF_{1}´(x) = f´(x) немесеF_{1}(x) = f(x) }жәнеөрнекf(x) + C - ғатең.$$

Егер интеграл астындағы $f(x)$ функциясы жұп (тақ) болса, онда алғашқы функциясы тақ (жұп) болады.

Бұл қаситетті басқаша былай тұжырымдауға болады:

дифференциалданғанда және интегралданғанда функция өзінің жұптығын немесе тақтығын қарама-қарсысына өзгертеді) .

Дәлелдеу.

$f(x)$ жұп функция болсын, яғни $f( - x) = f(x) .$

$$\int_{}^{}{f(x) dx = F(x) }$$

интегралын қарастырамыз. $F( - x)$ мәнін табамыз,

$$F( - x) = \int_{}^{}{f( - x) d( - x) = \int_{}^{}{f(x) d( - x) = - \int_{}^{}{f(x) dx = - F(x), өйткеніf(x) - жұпфункция. }}}$$

Сонымен, $F( - x) = - F(x), яғниF(x) - тақалғашқыфункция.$

Кейбір интегралдар кестесі

$$\int_{}^{}{cosudu = sinu + C; \int_{}^{}{sinudu = - cosu + C; }}$$

$$\int_{}^{}{\frac{1}{\cos^{2}u}du = tanu + C; \int_{}^{}{\frac{1}{\sin^{2}u}du = - cotu + C; }}$$

Бұл кесте аргументі тек $x$ функциясы үшін емес, күрделі $u(x)$ функциясы үшін келтіріліп отыр.

$$\int_{}^{}{sinxdx = - cosx + C; \int_{}^{}{\sin(x) ^{3}d(x) ^{3} = - cos(x) ^{3} + C; }}$$

$\int_{}^{}{e^{tan5x}dx = e^{tan5x} + C. }$

2 Рационалдық функцияларды интегралдау

2. 1 Рационал функцияларды интегралдау жолдары

Интегралдары әрдайым қарапайым функциялар арқылы өрнектелетін функциялардың маңызды бір тобын рационал функциялар , яғни $\frac{Pn(x) }{Qm(x) }$

бөлшегі түріндегі (мұндағы: Pn(x) және Qm(x) - сәйкесінше n - ші және m - ші ретті функциялар) құрайды.

Егер n≥m болса, онда бөлу амалын орындау нәтижесінде функцияның бүтін бөлігі (көпмүшелік) және дұрыс бөлігі (алымындағы көпмүшелік реті -нен кем бөлшек) ажыратылады:

$\frac{Pn(x) }{Qm(x) }$ ꞊ W(x) + $\frac{Rk(x) }{Qm(x) }$ , k<m.

Сондықтан: $\int_{}^{}\frac{Pn(x) }{Qm(x) }dx = \int_{}^{}{W(x) dx + \int_{}^{}\frac{Rk(x) }{Qm(x) }}dx,$

яғни, рационал-бөлшек функцияны интегралдау интегралы таблицалық болып табылатын бүтін рационал W(x) функциясын интегралдауға және

дұрыс рационал $\frac{Rk(x) }{Qm(x) }$ бөлшегін интегралдауға келтіріледі.

Ал дұрыс бөлшек түріндегі функцияны интегралдау оны алдын ала саны арқылы мынадай түрлердегі қарапайым рационал бөлшектерге жіктеу арқылы орындалады:

1. Аx−a\frac{А}{x - a},
2. А(x−a) k\frac{А}{(x - a) ^{k}},
3. Ax+Bx2+px+q\frac{Ax + B}{x^{2} + px + q},
4. (Ax+B) /〖(x^2+px+q) 〗^k, p²­4q<0.

Мұның негізіне алгебра курсынан белгілі теоремалар жатады:

1. Коэффициенттері нақты сандар болатын, m-ші ретті кез келгенQm(x) көпмүшелігін бір ғана тәсілмен

Am $\left( x - a_{1} \right) ^{\gamma_{1}}$

. . . $x^{2} + p_{s}x + q_{s}{}^{l_{s}}$ көбейтіндісі түрінде

өрнектеуге болады. Мұндағы: $a_{1}, a_{2} . . . a_{r}-$

$\gamma_{1}, \gamma_{2} . . . , \gamma_{r}еселінақтытүбірлері, алквадратүшмүшеліктер - көпмүшеліктіңl_{\begin{array}{r} 1 \\ \end{array}, l_{2} . . . , l_{s}}$ еселі өзара түйіндес комплекс түбірлеріне сәйкес келетін көбейткіштер,

$$\gamma_{1} + \gamma_{2} + . . . + \gamma_{r} + l_{1} + l_{2} + . . . + l_{s} = m,$$

$$\frac{1}{4}p_{j}^{2} - q_{j} < 0, j = 1, 2, . . . , s;$$

2. Кез- келген дұрыс рационал бөлшек бір ғана тәсілмен 1 - 4 түрлердегі саны арқылы қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеледі:

$$\frac{Rk(x) }{Qm(x) } = \frac{A_{1, 1}}{\left( x - a \middle \middle 1 \right) + \frac{A_{1, 2}}{\left( x - a \middle \middle 1 \right) ^{2} + . . . + \frac{A_{{1, \gamma}_{1}}}{\left( x - a \middle \middle 1 \right) ^{\gamma_{1}} + \frac{A_{2, 1}}{\left( x - a \middle \middle 2 \right) + \frac{A_{2, 2}}{\left( x - a \middle \middle 2 \right) ^{2} + . . . + \frac{A_{{2, \gamma}_{2}}}{\left( x - a \middle \middle 2 \right) ^{\gamma_{2}} + . . .$$

+ $\frac{B_{1, 1}x + C_{1, 1}}{x^{2} + p_{1}x + q_{1}} + \frac{B_{1, 2}x + C_{1, 2}}{\left( x \middle \middle 2 + p_{1}x + q_{1} \right) ^{2} + . . . + \frac{B_{1, l1}x + C_{1, l1}}{\left( x \middle \middle 2 + p_{1}x + q_{1} \right) ^{l_{1}} + . . . + \frac{B_{s, 1}x + C_{s, 1}}{x^{2} + p_{s}x + q_{s}} +}}$

+ $\frac{B_{s, 1}x + C_{s, 2}}{\left( x \middle \middle 2 + p_{s}x + q_{s} \right) ^{2} + . . . + \frac{B_{s, ls}x + C_{s, ls}}{\left( x \middle \middle 2 + p_{s}x + q_{s} \right) ^{ls}. }}$

Жіктелу коэффициенттерін анықтаудың қарапайым әдістерінің бірі - белгісіз коэффициенттер әдісі. Оның мағынасы: теңбе-теңдіктің оң жағы ортақ бөлімге келтіріледі, алымында шыққан көпмүшелік пен Rk(x) көпмүшелігіндегі х айнамалысының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттер теңестірілгенде, шешімі жіктелудің ізделінді коэффициенттері болатын сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Коэффициенттерді анықтайтын жүйені дербес мәндер әдісі бойынша да құруға болады (теңбе - теңдіктің екі жағына да х айнымалысының кейбір қолайлы дербес мәндерін қою арқылы) . Кейде аталған екі әдісті үйлестіре қолданған тиімді болуы мүмкін.

Сонымен, дұрыс рационал - бөлшек түріндегі функцияның интегралы оның жіктелуіндегі қарапайым бөлшектер интегралдарының қосындысы ретінде табылады.

Қарапайым рационал функцияларды интегралдау:

1. ∫Ax−adx=A∫d(x−a) x−a=Alnx−a+C; \int_{}^{}\frac{A}{x - a}dx = A\int_{}^{}\frac{d(x - a) }{x - a} = Alnx - a + C; ∫A(x−a) kdx=A∫(x−a) −kd(x−a) =A(x−a) −k+11−k+C, k≠1; \int_{}^{}\frac{A}{(x - a) ^{k}}dx = A\int_{}^{}{(x - a) ^{- k}d(x - a) = A\frac{(x - a) ^{- k + 1}}{1 - k}} + C, k \neq 1; ∫Bx+Cx2+px+qdx=A∫B2(2x+p) +(C−Bp2) x2+px+qdx=B2∫(2x+p) dxx2+px+q+\int_{}^{}\frac{Bx + C}{x^{2} + px + q}dx = A\int_{}^{}\frac{\frac{B}{2}(2x + p) + \left( C - \frac{Bp}{2} \right) }{x^{2} + px + q}dx = \frac{B}{2}\int_{}^{}\frac{(2x + p) dx}{x^{2} + px + q} +

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс