Рационал функцияларды интегралдау жолдары

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ
4
Анықталмаған интеграл

1.1 Анықталмаған интеграл ұғымы
5
1.2 Анықталмаған интеграл қасиеттері
5
1.3 Анықталмаған интеграл кестесі
6
Анықталған интеграл

2.1 Анықталған интеграл ұғымы
9
2.2 Анықталған интеграл қасиеттері
10
2.3 Ньютон-Лейбниц формуласы
11
Анықталған интегралдың қолданылуы

3.1 Қисық доғасының ұзындығы
14
3.2 Жазық фигура ауданы
16
3.3 Айналу денесінің көлемі
18
Рационал функцияларды интегралдау

Рационал функция ұғымы
20
Қарапайым рационал бөлшек функцияларды интегралдау
22
Рационaл функцияларды интегралдауға қатысты есептер жинағы
26
ҚОРЫТЫНДЫ
28
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
29

КІРІСПЕ
Қарапайым бөлшектер -- х айнымалысы мен тұрақты шамаларға саны шекті арифметикалық амалдарды (қосу, азайту, көбейту, бөлу) қолданғаннан пайда болған функция. Рационал функцияның жалпы түрі мынадай: мұндағы a0, a1, an, b0, b1, bm (a0-0, b0-0) -- тұрақтылар, ал n мен m -- оң бүтін сандар. Рационал функция бөлшектің бөлімі нөлге айналмайтын нүктелердің бәрінде анықталған. m=0 болған жағдайда R(x) функциясы бүтін Рационал функция немесе көпмүше деп аталады. Ал кез келген Рационал функция көпмүшеліктердің қатынасы ретінде де қарастырылады. Рационал функцияны дифференциалдау мен интегралдау амалдары оңай орындалады, Рационал функцияның туындысы да Рационал функция болады. Рационал функцияның интегралы әр уақытта элементар функциялар арқылы өрнектеледі. Қарапайым бөлшектер -- алгебр. функцияның дербес жағдайы.
Зерттеудің өзектілігі: курстық жұмыстың мазмұнының ғылыми құндылығын арттыру және оның негізінде пәнге деген қызығушылығын арттырып, өз бетінше іздену. Білім, білік, дағды алуын қамтамасыз етуге, жеке шығармашылық қабілеті дамуы үшін жағдай туғызу.
Зерттеудің мақсаты:Қарапайым бөлшектер және оларды интегралдау жолдарын талдау.
Зерттеудің міндеті:Қарапайым бөлшектер интегралдаудағы теориялық бөлімін қарастыру.
Қарапайым бөлшектер интегралдауды есептер мен мысалдарда қарастыру.
Зерттеу әдістері: талдау нәтижесінде алынған мәліметтерді бақылап,
тақырып бойынша әдебиеттерді зерттеу.
Құрылымы: курстық жұмыс кіріспеден, негізгі бөлімнен, практикалық бөлім, қорытынды және қолданылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Анықталмаған интеграл

1.1Анықталмаған интеграл және оның қасиеттері
Дифференциалдау амалына кері амал, яғни әрқайсысының туындысы берілген функцияға тең болатын барлық функцияны табу амалы, интегралдау деп аталады.
Егер Х аралығында үзіліссіз f(x) функциясы үшін әрбір x∈X мәнінде F'x=fxнемесе dF(x)=f(x)dx болатындай F(x) функциясы табылатын болса, онда F(x) функциясы f(x) үшін X аралығында алғашқы функция (немесе алғашқы образ) деп аталады.
Егер X=[a, b] болса, онда F ′ (a)= f(a), F′ (b)= f(b) болуы тиіс.
Анықтама. [a; b] кесіндісінің әрбір нүктесінде

F'x=fx

теңдігі орындалатын болса, онда осы кесіндіде F(x) функциясы f(x) функциясының алғашқы функциясы деп аталады.
Мысалы,

13cos3x-sin3x үшін алғашқы функция.
Алғашқы функциялардың негізгі қасиеті: С тұрақтысының кез-келген мәнінде F(x)+C функциясы f(x) үшін алғашқы функция болады немесе f(x) функциясының кез-келген G(x) алғашқы функциясы G(x)=F(x)+C, C=const түрінде өрнектеледі. Бұл тұжырымның геометриялық мағынасы: f(x) функциясының кез-келген екі алғашқы функциясының графиктері бір-бірінен Oy осі бойымен параллель көшіру арқылы алынады.
Әдетте, алғашқы функциясын табу барысында f(x) функциясының берілген аралығы көрсетілмейді. Бұл жағдайда алғашқы функцияны f(x) үшін табиғи анықталу облысында табады.
f(x) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынтығы f(x) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және fxdxтүрінде белгіленеді. Сонымен анықтама бойынша: fxdx=Fx+C,C- кез келген тұрақты сан. Яғни, функцияның анықталмаған интегралы - оның алғашқы функцияларының жалпы түрі.
fxdxанықталмаған интегралында: x - интегралдау айнымалысы; f(x) - интеграл астындағы функция; fxdx - интеграл.
Анықтамадан анықталмаған иинтегралдың негізгі қасиеті шығады:

яғни анықталмаған интегралдың туындысы интеграл астындағы функция тең. Басқаша айтқанда: dfxdx'=fxdx, яғни анықталмаған интегралдың дифференциалы интеграл астындағы өрнекке тең.
Сонымен қатар: dFx=Fx+C.
Функцияларды интегралдаудың барлық әдістері негізінде қарапайым функциялар интегралдары жатады.
1.1 Анықталмаған интегралдың негізгі қасиеттері:
[fxdx=fxdFx=fxdx

dFx=Fx+C

A∙fxdx=Afxdx,A-нақтысан

fx+-gxdx=fxdx+-gxdx

Егер Х аралықтаfxdx=Fx+Cболса,ондасоларалы қтаax+bdx=1aFax+b+C

fxdx=Fx+Cболса,ондаfudu=Fu+Cмұндағы u=ux,теңдікорындалады.

1.3 Негізгі анықталмаған интегралдар кестесі:

0∙dx=C

1∙dx=x+C

xαdx=xα+1α+1+C,α!=-1

dxx=lnx+Cx!=0

axdx=axlna+C,0a!=1

exdx=ex+C

sinxdx=-cosx+C

cosxdx=sinx+C

dxcos2x=tanx+C,x!=PI2+kPI,k∈Z

dxsin2x=-cotx+C,x∈kPI,kϵZ

dx1-x2=sinhx+C,x1

dxa2-x2=sinhxa+C,xa

dx1+x2=tanhx+C

dxa2+x2=1atanhxa+C

dxx2+a=lnx+x2+a+C,a!=0

dxa2-x2=12alna+xa-x+C,x!=a

tanxdx=-lncosx+C

cotxdx=lnsinx+C

Ескерту. 7 қасиет бойынша кестедегі формулалар x-тің орнына u=uxфункциясын қойғанда да орындалады. Мысалы cosuxdu=sinux+C
Анықталмаған интегралдан алынған туынды интеграл астындағы функцияға тең:
fxdx'=fx.
Анықталмаған интегралдан алынған дифференциал интеграл астындағы өрнекке тең, яғни дифференциал мен интеграл кері амалдар сияқты бірін бірі жояды:
dfxdx=fxdx.
Дәлелдеу.

dfxdx=fxdx'dx=Fx+C'dx=F'xdx=fxdx.

Функцияның дифференциалынан алынған анықталмаған интеграл функцияның өзімен ерікті тұрақтының қосындысына тең:
dfx=fx+C.
Дәлелдеу.

dfx=f'xdx=F1x+C,албұлF1'x=f'xнемесе F1x=fxжәнеөрнекfx+C-ғатең.

Егер интеграл астындағы fx функциясы жұп (тақ) болса, онда алғашқы функциясы тақ (жұп) болады.
Бұл қаситетті басқаша былай тұжырымдауға болады:
дифференциалданғанда және интегралданғанда функция өзінің жұптығын немесе тақтығын қарама-қарсысына өзгертеді).
Дәлелдеу.

fxжұп функция болсын, яғни f-x=fx.
fxdx=Fx
интегралын қарастырамыз. F-x мәнін табамыз,

F-x=f-xd-x=fxd-x=-fxdx=-Fx,өйткеніf x-жұпфункция.

Сонымен, F-x=-Fx,яғниFx-тақалғашқыфункция.

Кейбір интегралдар кестесі

cosudu=sinu+C;sinudu=-cosu+C;

1cos2udu=tanu+C;1sin2udu=-cotu+C;

Бұл кесте аргументі тек x функциясы үшін емес, күрделі ux функциясы үшін келтіріліп отыр.

sinxdx=-cosx+C;sinx3dx3=-cosx3+C;

etan5xdx=etan5x+C.
2 Рационалдық функцияларды интегралдау

2.1 Рационал функцияларды интегралдау жолдары
Интегралдары әрдайым қарапайым функциялар арқылы өрнектелетін функциялардың маңызды бір тобын рационал функциялар, яғни PnxQmx

бөлшегі түріндегі (мұндағы: Pn(x) және Qm(x) - сәйкесінше n - ші және m - ші ретті функциялар) құрайды.
Егер n=m болса, онда бөлу амалын орындау нәтижесінде функцияның бүтін бөлігі (көпмүшелік) және дұрыс бөлігі (алымындағы көпмүшелік реті - нен кем бөлшек) ажыратылады:

PnxQmx꞊ W(x) + RkxQmx, km.

Сондықтан: PnxQmxdx=Wxdx+RkxQmxdx,

яғни, рационал-бөлшек функцияны интегралдау интегралы таблицалық болып табылатын бүтін рационал W(x) функциясын интегралдауға және

дұрыс рационал RkxQmx бөлшегін интегралдауға келтіріледі.

Ал дұрыс бөлшек түріндегі функцияны интегралдау оны алдын ала саны арқылы мынадай түрлердегі қарапайым рационал бөлшектерге жіктеу арқылы орындалады:

Аx-a,

Аx-ak,

Ax+Bx2+px+q,

(Ax+B)〖(x^2+px+q)〗^k , p² - 4q0.

Мұның негізіне алгебра курсынан белгілі теоремалар жатады:
Коэффициенттері нақты сандар болатын, m-ші ретті кез келген Qm(x) көпмүшелігін бір ғана тәсілмен

Amx-a1γ1

. . . x2+psx+qsls көбейтіндісі түрінде

өрнектеуге болады. Мұндағы: a1,a2...ar - көпмүшеліктіңсәйкесінше

γ1,γ2...,γrеселінақтытүбірлері,алкв адратүшмүшеліктер-көпмүшеліктіңl1,l 2...,lsеселі өзара түйіндес комплекс түбірлеріне сәйкес келетін көбейткіштер,

γ1+γ2+...+γr+l1+l2+...+ls=m,

14pj2-qj0,j=1,2,...,s;

Кез- келген дұрыс рационал бөлшек бір ғана тәсілмен 1 - 4 түрлердегі саны арқылы қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеледі:

RkxQmx=A1,1x-a1+A1,2x-a12+...+A1,γ1 x-a1γ1+A2,1x-a2+A2,2x-a22+...+A2,γ2 x-a2γ2+...

+B1,1x+C1,1x2+p1x+q1+B1,2x+C1,2x2+p 1x+q12+...+B1,l1x+C1,l1x2+p1x+q1l1+ ...+Bs,1x+Cs,1x2+psx+qs+

+Bs,1x+Cs,2x2+psx+qs2+...+Bs,lsx+Cs ,lsx2+psx+qsls.

Жіктелу коэффициенттерін анықтаудың қарапайым әдістерінің бірі - белгісіз коэффициенттер әдісі. Оның мағынасы: теңбе-теңдіктің оң жағы ортақ бөлімге келтіріледі, алымында шыққан көпмүшелік пен Rk(x) көпмүшелігіндегі х айнамалысының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттер теңестірілгенде, шешімі жіктелудің ізделінді коэффициенттері болатын сызықтық теңдеулер жүйесі шығады. Коэффициенттерді анықтайтын жүйені дербес мәндер әдісі бойынша да құруға болады (теңбе - теңдіктің екі жағына да х айнымалысының кейбір қолайлы дербес мәндерін қою арқылы). Кейде аталған екі әдісті үйлестіре қолданған тиімді болуы мүмкін.
Сонымен, дұрыс рационал - бөлшек түріндегі функцияның интегралы оның жіктелуіндегі қарапайым бөлшектер интегралдарының қосындысы ретінде табылады.

Қарапайым рационал функцияларды интегралдау:

Ax-adx=Adx-ax-a=Alnx-a+C;

Ax-akdx=Ax-a-kdx-a=Ax-a-k+11-k+C,k! =1;

Bx+Cx2+px+qdx=AB22x+p+C-Bp2x2+px+qd x=B22x+pdxx2+px+q+

+ (C -Bp2dxx+p22+q-p24=B2lnx2+px+q+

+2C-Bp4q-p2arctg2x+p4q-p2+C;

Bx+C

Мұндағы: Ik = dxx+p22+4q-p222kинтегралы

Ik=2k-14q-p2, k 1,

Рекуренттік формуласы бойынша табылады,

I1=dxx2+px+q=24q-p2arctg 2x+p4q-p2+C.

Егер Q(x) көпмүшелігінің еселі түбірлері бар болса, онда RxQxдұрыс

бөлшегінің интегралын М. В. Остроградский формуласы бойынша табуға болады:
RxQxdx=R1xQ1x+R2xQ2xdx,

Мұндағы: Q1x көпмүшелігі - Q(x) пен оның Q'(x) туындысының ең үлкен

ортақ бөлгіші; Q2x=Qx:Q1x;R1x пен R2x - реттері

сәйкесінше Q1xпен Q2x реттерінен 1-ге кем көпмүшеліктер. Олар

RxQx=

теңбе - теңдігін белгісіз коэффициенттер әдісі бойынша анықталады. Бұл формула интегралдауға кіріспей - ақ және бөлшектің бөлімін көбейткіштерге жіктемей - ақ интегралдың рационал бөлігін ажыратуға мүмкіндік береді.
Анықталмаған интегралдарды есептеп шығарудың қарапайым тәсілдері кез - келген интегралды есептеп шығарудың жалпы жолын күні бұрын дәл көорсетпейді. Әрбір берілген интегралды есептеу, шығарудың лайықты жолын тауып алу шығарушының жаттығуының дәрежесіне байланысты болып келеді. Сондықтан бұл жаттығуларда функциялардың кейбір маңызды кластарына толығырақ тоқтап, сонымен бірге олардан анықталмаған интеграл табу үшін қолданылуға тиісті есептеу тәртіптерін баяндап көрсек.
Егер бүтін рационалдық функция

F(x) = a0xn+a1xn-1+...+an

берілсе, оны бірден интегралдауға болады, атап айтқанда:

Fxdx=a0xndx+a1xn-1dx+...+andx=

a0n+1xn+1+a1nxn+...+anx+C болады.

Ал, егер алымы да, бөлімі де көпмүшеліктер болатын fxφx

түріндегі бөлшек рационалдық функция берілсе, оны бірден интегралдау басым көпшілік жағдайда мүмкін емес.
Егер f(x) көпмүшелігінің дәрежесі φx көпмүшелігінің дәрежесінен
төмен болмаса, f(x) -ті φx - ге бөлсек, берілген бөлшек рационалдық
функция мына қосынды түрінде жазылар еді:

fxφx=δx+hxφx.

Бұнда: δxкөпмүшелігі деп f(x)- тіφx-гебөлуден шыққан бүтін

бөлікті, ал h(x) арқылы дәрежесі φx-тіңдәрежесінен төмен болатые

қалдықты белгіледік. Сонда hxφxдұрыс бөлшек болады. ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.