Нүктенің центрлік проекциясы нүкте
МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1 СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... 6
1.1 Жоғары сыныптарда стереометрияны оқыту барысында туындайтын мәселелер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..9
2 СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ (КЕҢІСТІКТІК) ФИГУРАЛАРДЫ ОҚЫТУ
ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15
2.1 Оқушылардың кеңістіктегі геометриялық есептерді шешуіне ыңғайлы әдіс-тәсілдерді зерттеу. Проекциялау әдісі. Сызбаға қойылатын талаптар ... .15
2.2 Кеңістік фигураларының кескіні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
2.3 Стереометрия есептерінің қоршаған ортамен байланысын айқындау ... ..39
2.4 Жоғары сынып оқушыларына кеңістіктегі геометриялық түрлендірулерді оқыту әдістемесі тақырыбы бойынша әдістемелік ұсынымдар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .51
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 60
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...62
КІРІСПЕ
Зерттеудің өзектілігі. Стереометриялық есептер оқушының ақыл-ойын дамытудың маңызды құралы болып табылады. Осындай есептерді шешуге оқыту мақсаттарының ішінде негізгілері оқушылардың логикалық ойлауларын және кеңістіктік елестетулерін дамыту. Бұл ой әрекеттерін оқыту процесінде қатар дамыту тиімді екенін практика көрсетіп отыр.
Логикалық ойлау ұғымдарды, логикалық байланыстарды пайдаланумен сипатталады. Геометриялық ұғымдарды қалыптастыру үшін осы ұғыммен сипатталатын объектілер туралы түсініктер маңызды роль атқарады. Түсініктедің ролі қандай да бір ой тұжырымдарын алу процесінде де өте маңызды. Оқу материалын түсіну кезінде бейнелерді актуалдау ойдың жалпылылық дәрежесін арттыруға мүмкіндін туғызады [1] Басқа жағынан, қалыптастырылып отырған түсініктерде тиісті ұғымдардың елеулі қасиеттерін және пайымдау негізінде алынған қорытындылар байқалады.
Психологтардың ойынша , орта және жоғарғы сынып оқушыларында абстрактты ойлаудың нақтылы ойлауға ыкпалы білінеді және бұл ықпал бейнелердің тек сипатталып қана қоймай, сонымен қатар олар интерпретациялануы (кескінделуі) кезінде де көрінеді, жалпыланған білімдерді қолдану әсерінен объектілерді, қабылдау аясы кеңейеді[2].
Оқушының ақыл-ойының дамуы туралы айта отырып ол даму екі қарам қарсы бағытта - нақтыға қарай және абстрактыға қарай жүзеге асатынын ескеру қажет. Бұл жағдайға ерекше көңіл аудару керек, өйткені көрнекі бейнелі, практикалық ойлауды ақыл-ойдың жетілмеген ең төменгі формасы ретінде түсіну дұрыс емес. Осы ақыл-ойдың жетілмеген формасының функциясы, негізінен, абстрактты ойлаудың уақытша тірегі болады да, ал соңғысы қалынтасқаннан кейін нақты ойлаудың маңызы тоқтаған сияқты, оқыту процесінде есепке алынбайды. Шынында нақты ойпаудың барлық формаларындағы дамуының дерексіз дамуға қарағанда маңызы аз емес және біріншісін қарапайымдылау, ақыл-ой әрекетінің квалификациялан-баған формасы ретінде бағалауға болмайды. Өздерінің жұмыстарында бұл көзкарасты Г. Д Глейзер, Е.Н. Кабанова-Меллер, Н.А Менчинская, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Четверухин, И.С. Якиманская тағы да басқа психология және математиканы оқыту әдістемесі саласын-дағы мамандар ұстанады.
Олар ойлаудың дамуын көрнекі-бейнелі таным формаларының түсінікті формаларға ауысуы деп түсінбей, ақпаратты оңдеу механизмдерінің күрделенуі арқылы түсіндіріледі. Түсініктік ойлау қалыптасқанда бейнелі ойлау жойылмай, басқаша құрылады. Ойлаудың ерекшелігі, оның түсініктік немесе бейнелі түрдегі қызметі, іс-әрекеттің ерекшелігімен немесе мақсатымен, және де субъектінің жас ерекшелік және дара - психологиялық ерекшеліктерімен анықталады.
Стереометриялық есептерді шешу кезінде бейнелі ойлау да, логикалық ойлау да қатысады, және есепті шешудің тимділігі осы ойлау түрлерін байланыстыра білуінен тәуелді болады.
Логикалық ойлау бір мағыналы контексті ұйымдастыруды болжайды, ал бейнелі ойлау - көп мағыналы. Егер логикалық ойлау альтернатива принципіне бағынса (қайсы бір әрекет немесе қатынас оған қарама-қайшыны автоматты түрде жояды), онда бейнелі ойлау үшін мұндай альтернативалар жоқ - екі бірін-бірі жоққа шығаратын қатынастар бірін-бірі толықтыратын сияқты болады. Мұндай дүниеге көзқарастың кеңдігі әдеттегі логика көзқарасы бойынша жағдай тұйыққа тірелген жерде іздеу белсенділігін сақтауға мүмкіншілк береді.
Стереометриялық есептерді шешу тиімділігі есептеп шығарушының білім қорынан және осы білмдерді қолдана білуден де, есепте айтылып жатқан объектіні оқушы қаншалықты жақсы түсінетінен де тәуелді болады. Бұл жағдайда ойлаудың ауызша (вербальді) және бейнелі элементтері бірін-бірі алмастырмай, есепті шешу кезінде әр түрлі қызмет атқарады.
Зерттеудің мақсаты:
Жалпы білім берудің жоғары сатысындағы студенттер кеңістігін геометриялық түрлендіруді бейіндік саралау жағдайында оқытудың ғылыми негізделген әдістемесін жасау болып табылады.
Зерттеу гипотезасы, егер орта мектеп оқушыларының кеңістігін геометриялық түрлендіруді оқыту әдістемесін жасау кезінде математика курсының пән ішіндегі байланыстары, негізгі және мамандандырылған курстардағы кеңістік қозғалыстарын және профильді және элективті курстардағы кеңістік қозғалыстарының композицияларын зерттеу ерекшеліктері ескерілсе, оқушыларға геометриялық есептерді геометриялық қайта құру әдісімен шешуге үйрету тәсілі ұсынылады, таңдалған принциптер негізінде оқушылардың білімін тереңдету үшін тиісті тақырып бойынша элективті курс құрылады., бұл түлектердің жалпы математикалық дайындығының сапасын арттыруға мүмкіндік береді.
Осы мақсатқа жету және гипотезаны тексеру үшін келесі зерттеу міндеттері шешілді:
- бейіндік саралау жағдайында кеңістікті геометриялық түрлендіруге оқыту мазмұнын іріктеу критерийлерін және тиісті элективті курсты құру принциптерін анықтау;
- бейіндік саралау жағдайында кеңістікті геометриялық түрлендіруді оқыту әдістемесін әзірлеу, базалық және бейіндік деңгейлерде қозғалыс түрлерін (изометрия) және бейіндік және элективті курстарда кеңістікті түрлендіру композицияларын оқыту ерекшеліктерін анықтау;
- курстың негізгі ұғымдарын енгізу және қалыптастыру үшін есептер құрастыру және түрлендіру жағдайға енгізілмеген кеңістіктің геометриялық түрлендірулерін қолдана отырып, есептерді шешуге оқыту тәсілін анықтау;
- "кеңістіктің геометриялық өзгерістері және оларды есептерді шешуге қолдану" тақырыбы бойынша элективті курс әзірлеу және оның әдістемелік қамтамасыз етілуі (курс бағдарламасы, курсты зерделеу нәтижесінде оқушылардың математикалық дайындығына қойылатын талаптар, оқыту мазмұны, әдістері, нысандары, құралдары және оны өткізу жөніндегі әдістемелік ұсынымдар);
- базалық, бейінді және элективті курстарда кеңістікті геометриялық түрлендіруді оқытудың әзірленген әдістемесінің тиімділігін эксперименттік тексеру.
Қойылған міндеттерді шешу үшін мынадай зерттеу әдістері қолданылды: тарихи, психологиялық-педагогикалық, ғылыми, оқу-әдістемелік әдебиеттерді, осы жұмыстың тақырыбы бойынша диссертациялық зерттеулерді, нормативтік құжаттарды зерделеу және талдау және топтық әңгімелер, педагогикалық тәжірибені зерттеу және жалпылау, педагогикалық эксперимент, эксперимент нәтижелерін өңдеудің статистикалық әдістері.
Стереометрия есептерін оқыту үрдісінде студенттерге терең және берік білім беру, іскерлік пен дағдыларын бекіту;
Технологиялық амал-тәсіл түрлерін орындау жолдарын меңгерту, салу есептерін шешу процесінде қолданылатын аспаптарды қолдана білуге үйрету
Технологиялық ойлауды дамыту, өз бетімен жоспарлауды, алгоритмдеуді, өзінің оқу, өз білімін жетілдіру әрекетін стандарттауды үйрету;
Оқу сабақтары мен есептеуге, дәлелдеуге, салуға берілген есептерді шешуді ұйымдастырудағы технологиялық тәртіп талаптарын сақтауға тәрбиелеу.
Оқып-білудің негізгі міндеті
Геометрия есептерін шешуде қолданылатын геометриялық түрлендірулерді қолдануда, кеңістіктегі декарттық координаталар, нүктелердің ара қашықтығы, кесіндінің ортасының координаталары, т.б. тақырыптарына жаңа компъютерлік технологияны (жаңа ақпараттық технология) қолдану студенттерге жаңа ақпараттарды түсіндіру арқылы олармен жұмыс істеу қабілеттерін, дағдыларын, іскерліктерін дамыту.
Зерттеу нысаны: Жалпы білім беру мектептерінде оқушыларға кәсіби бағдар беру процесі.
Зерттеу пәні: 10-11 сыныптардың Геометрия пәні.
Жұмыстың құрылымы мен көлемі: Жұмыс кіріспе екі тараудан, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттерден тұрады. Курстық жұмыстың жалпы көлемі 62 бет.
1.1 Жоғары сыныптарда стереометрияны оқыту барысында туындайтын мәселелер
Мектепте геометрия курсы үлкен орын алады және оқытуға көп көңіл бөлінеді. 7-11 кластарда математикаға бөленген уақыттың 40% геометрияға тиісті.
Мектеп геометриясының негізгі мазмұны 200 жылдан бері бір қалыпты сақталып келеді және оның шығар жері (қайнар көзі) Евклидтің Негіздері. Планиметрия курсында түзулердің өзара орналасуы; үшбұрыш, төртбұрыш және шеңбер қасиеттері; фигуралардың теңдігі және ұқсастығы; ұзындықты, бұрыштар мен аудандар шамаларын өлшеу сияқты мәселелер қарастырылады.
Геометрия курсының негізгі мәселелері:
* геометрияның негізгі фактілерің, оларды алу өдістерің және оларды қолдану мүмкіндіктерін жүйелі түрде оқу;
* шектес пәндерді оқу үшін одан алған білімдерді колдануды қамтамасыз ететін, оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамыту;
* оқушылардың кеңістікті елестетуін және логикалық ойлауын дамыту.
Сонымен, геометрияның міндеті - оқушыларда үш түрлі сапаны дамыту: кеңістікті елестету; практиканы түсіну және логикалық ойлау.
Оқушылардың кеңістікті елестетуі мен логикалық ойлауын дамытудың негізі, олардың геометриялық фактілер мен әдістерді білуі.
А.В. Погорелов оқулығында бірінші орынға оқушылардың логикалық ойлауын дамыту қойылған. Ол өзінің кітабында былай деп жазады:
геометрияны оқытудың басты мәселесі - оқушыларды логикалық ойлауға, өз пікірін дәлелдеуге үйрету ...
Ал Л.С. Атанасян мен В.Ф. Бутузовтардың оқулығында оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамытуға, түсінікті етіп баяндауға ерекше көңіл аударылады.
В.Г. Болтянский, мектепте геометрияны оқытудын басты мақсаты,- оқушыларға есеп шешуде қалай ойлау, қалай дұрыс ой тұжымдауды көрсету деп есептейді [3].
Геометрияны үйрену кезінде кеңістікке жүйелі түрде көшу оқушылардың геометриялық даму деңгейін жақсартуға көмектеседі. Бұл ауысу стереометрияның жеке теоремаларын зерттеуде емес, жазықтық фигураларын зерттеу кезінде оқушылардың кеңістіктік көріністерін жүйелі түрде тартуда жүзеге асырылады.
Орта мектеп оқушыларының геометриялық білімінің кемшіліктерін анықтайтын себептердің бірі-стереометрияны оқудың планиметриядан ауысуы. Оқушылар жазық фигураларды тек тақта немесе оқушы дәптерінің жазықтығында жатқанын көруге дағдыланған. Геометриялық объектілерді визуалды қабылдау әрдайым осы объектінің заңдылықтарына сәйкес келе бермейді. Мысалы, қиылысатын түзулер қиылысатын немесе параллель түзулер сияқты көрінуі мүмкін, тік бұрыш өткір немесе доғал бұрыш сияқты көрінуі мүмкін, тең сегменттер әртүрлі ұзындықтағы сегменттер сияқты көрінуі мүмкін және т. б.
Оқушыларға сұрақ қояйық: "тақта жазықтығында жатқан үшбұрыш кеңістіктік фигура ма?. Оқушылар теріс жауап береді, өйткені үшбұрыш - жазық фигура. Егер сіз басқаша сұрақ қойсаңыз:" Үшбұрыш тақта жазықтығында қарастырылмаса, жазықтық фигура бола ма? ". Содан кейін оқушылардың пікірлері сәйкесінше екіге бөлінеді.
Көріп отырғанымыздай, стереометрияны үйрену кезінде негізгі қиындықтар екеу. Біріншісі-алгоритмдердің болмауы. Іс жүзінде әрбір мәселе және әрбір теорема жаңа ретінде шешіледі және дәлелденеді. Екіншісі-оқушылардың дамымаған кеңістіктік көріністері.
Стереометрияны зерттей отырып, қиялдың тіршілігін логикамен, қатаң тұжырымдар мен дәлелдермен көрнекі суреттермен байланыстыру қажет. Анықтаманың, теореманың немесе есептің тұжырымдамасын келтіре отырып, ең алдымен олардың мазмұнын түсіну керек: көрнекі түрде ұсыну, сурет салу және ең жақсысы, ең қиын болса да, қарастырылып отырған нәрсені елестету Геометриялық есептердегі ең маңызды рөлге ие - ол сызба. Бұл тапсырманы одан әрі дұрыс шешудің кепілі. Өкінішке орай, стереометрияны үйрену кезінде мұғалім сызбаны орындауға өте аз уақыт пен көңіл бөледі. Ол кейде қателіктерді байқамайды, ең ұтымды шешім үшін кеңістіктегі фигураның орнын таңдауға назар аудармайды, оқушылармен тапсырмаға арналған сызбаны талқыламайды, бірақ оны бірден құра бастайды, сызбаны орындау техникасына назар аудармайды. Сондықтан, мектеп оқушылары мәселені шешуде сызбаның маңыздылығын түсінбей, кескінді құру кезінде қателіктер жібереді, нәтижесінде стереометриялық есептерді одан әрі шешуді қиындатады.
Оқушылардың негізгі қателігі - бұл не туралы екенін елестетпестен, сурет салмай жаттауға тырысу. Анықтаманы, теореманы немесе есепті тұжырымдауда көрнекі бейнелеудің қалай дәл көрсетілетінін түсінуге ұмтылу жоқ.
Сұрақ туындайды: егер кеңістіктік ойлау адам үшін жалпы білім беру тұрғысынан өте маңызды болса және оқушылардың кеңістіктік бейнелері стереометрияны зерттеу үшін соншалықты маңызды болса, онда неге оларды қалыптастырудың барлық жұмыстары геометрия пәнінің соңғы екі жылына кіріктіріледі? Бұл жұмысты геометрияны оқытудың алғашқы қадамдарынан бастап жүргізіп, оны үзбеген дұрыс шығар. Осылайша, асықпай, белгілі бір геометриялық фигуралардың бар екендігін, олардың суреттерінде әртүрлі денелермен, олардың қасиеттерін, қашықтықтарды, бұрыштарды санауды, бір жазықтықта жатпайтын үшбұрыштарды салыстыруды үйренуге болады. Содан кейін уақыт өте келе оқушылар кеңістіктік фигуралардың көрнекі көріністерінің жеткілікті қорына және стереометриялық есептерді шешуде тәжірибеге ие болады.
Белгілі бір сенім-белгілі бір объектіні білу оның анықтамасынан басталады. Бірақ бұл әрдайым солай болуы тиіс деген сөз емес. Дұрыс пирамидамен танысу оны қарау, сипаттау, сурет салудан басталуы мүмкін. Содан кейін оның қасиеттері, оның визуалды бейнесінен орнатылады. Олардың бірі оның анықтамасына айналады. Егер біз оқушыларға математикалық білім жүйесінің қалай дамып жатқанын көрсеткіміз келсе, дәл осы тәсіл маңызды.
Объектіні білу дегеніміз - оны тану, оның қасиеттерін, сипаттамалық қасиеттерін, белгілерін білу, оның құрылымын, ондағы қатынастарды, басқа объектілермен байланысын білу. Оқушылардың санасында, негізінен, объектіні анықтау соншалықты маңызды емес. Ал бұл ой олардың білімінде формализмге әкеледі. Әрине, бұл оқу орындарында анықтамаларды оқытуды мүлдем тоқтатуды білдірмейді. Егер оқушы анықтаманы есіне түсірмесе, ол әрине жақсы дей алмаймыз. Алайда, егер оқушы көрсетілген объект туралы анықтамадан басқа ештеңе білмесе, бұл әлдеқайда нашар көрсеткіш.
Тағы бір мәселе, студенттер өздерінің алдында тек жазықтықта жатқан фигураларды көруге дағдыланған, кеңістіктік фигураны құру үшін фигураның қасиеттері туралы білім қажет. Мұндай қиындықтар оқушының геометриялық объектілерді визуалды түрде қабылдауынан туындайды.
Көбінесе оқушылар фигураның кеңістіктегі орналасуын, оның қасиеттері мен басқа фигуралармен байланысын білмей, олардың іс-әрекеттерінің дұрыстығына және құрастырылған сызбаның дұрыстығына күмәндана бастайды, өйткені әр түрлі жағдайларда бірдей операцияны орындау арқылы оңай қателесуге болады. Мысалы, студент негізге сызылған тұрақты тетраэдрдің биіктігін дұрыс бейнелейді, бірақ негіздің жоғарғы жағынан бүйір бетіне сызылған биіктікті бейнелеу қиынға соғады.
Кеңістіктік фигураларды зерттеуді жеңілдету үшін студенттер көрнекі құралдар жасай алады. Бұл материалды өз бетінше зерттеудің бір әдісі, көрнекі оқулықтармен стереографияны үйрену барысында оқушылар алған теориялық білімдері мен дағдыларын игереді, ал фигуралардың қасиеттері мен ерекшеліктері оңай танылады және оқушылардың жадында мықтап бекітіледі.
Соңғы екі онжылдықта компьютерлік технологиялар адам қызметінің барлық саласында қолданылады. Білім беру процесі де тыс қалған жоқ. Мектеп білімінде инновациялық әдістерді, компьютерлерді қолданудың орындылығы мен тиімділігі айқын. Олар әсіресе стереометрия сабақтарында пайдалы, егер компьютерге дейінгі кезеңде жазықтықта кеңістіктік денелер (пирамидалар, параллелепипедтер, цилиндрлер, конустар) бейнеленген болса, енді сабақта геометриялық денелер үш өлшемді (3D) кескінде көрсетілетін компьютерді қолдануға болады, оларды үлкейтуге, жылжытуға, түрлі-түсті бейнелеуге болады. Геометрия сабақтарында компьютерлік технологияларды қолданудың арнайы әдістері әзірленді, жалпы оларды қолдану жалпы білім беретін мекемелерде геометрияны сапалы және терең игеруге ықпал етеді.
Қорытындылай келе, кеңістіктік фигураны құрудың күрделілігі, фигураны дұрыс бейнелеу, материалды қабылдаудың күрделілігі сияқты жалпы проблемалар оқушылардың материалды жаттауға, оның мәнін түсінуге, фигураны дұрыс бейнелеуге көмектесетін өз құралдарын құрастыру арқылы шешіледі деп қорытынды жасауға болады. Экранда көруге, жылжытуға және үш өлшемді кескіндегі геометриялық денелерді үлкейтуге болатын компьютер туралы ұмытпаңыз. Материалды дұрыс игеруге мұғалімнің жұмысы да ықпал етеді, ол материалды оқушыларға қол жетімді түрде ұсынуы керек. Сызбалардың дұрыс жасалуын тексеріп, әр оқушының материалдың мәнін түсінгеніне көз жеткізуі керек, өйткені стереометрияны зерттеу оқушының ойлауын дамыту үшін өте маңызды.16
1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары.
Стереометрия курсын оқу стереометрия аксиомаларынан басталады. Стереометрияда, планиметриядағы сияқты, геометриялық фигуралардың қасиеттері сейкес теоремаларды дәлелдеу арқылы тағайындалады. Мұнда негіз болатын - негізгі геометриялық фигуралардың аксиомалармен өрнектелетін қасиеттері. Кеңістікте негізгі фигуралар болатындар: нүкте, түзу және жазықтық. Жазықтық, түзу сияқты шексіз болады.
Жаңа геометриялық бейне - жазықтықты енгізу аксиомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді.
Жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалар тобы:
1. Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.
2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда олар осы нүктелер арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
Сонымен , стереометрияның аксиомалар жүйесі планиметрия аксиомалары мен жоғарыда келтірілген аксиомалардан тұрады.
Стереометрия аксиомаларын өткенде оқушыларға мынаны ескерткен жөн. Планиметрияда қарастырылатын фигуралар бір жазықтықта орналасады. Ал, стереометрияда жазықтықтар көп, тіпті шексіз көп. Осыған байланысты планиметрияның кейбір аксиомаларының тұжырымдамасы, стереометрияның аксиомалары сияқты анықтай түсуді талап етеді. Осыларды қарастырайық.
Жазықтыққа тиісті түзу бұл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.
Жарты түзу жатқан жазықтықта жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа градустық өлшеуіші берілген 180- тан кем бұрышты өлшеп салуға болады және ол жалғыз болады.
Ұшбұрыш қандай болса да берілген жазықтықта, осы жазықтықта берілген жарты түзуге қарағанда берілген қалыпта орналасатын, онымен тең үшбұрыш болады.
Жазықтықта берілген түзу бойында жатпайтын нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.
Стереометрияның әрбір аксиомасын енгізу үшін төмендегі схеманы қолданған жөн:
oo аксиомаларды модельде көрсету;
oo аксиоманы тұжырымдау;
oo сызбасын схемалық түрде көрсету;
oo символдық жазуын беру.
Стереометрияның екінші аксиомасы жазықтықтардың қиылысуының бар болатынын көрсетеді. Сондықтан, осы аксиомадан соң оқушыларды қиылысатын жазықтықтармен таныстыру керек.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиома оқулықтарды әртүрлі тұжырымдалады. Көпшілік оқулықтарда оның дәстүрлі тұжырымдамасы былай: Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады. Ал, А.В. Погореловтың оқулығында ол үшінші аксиома түрінде берілген.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиоманы енгізу процессінде оқушыларға оның мәні дұрыс түсіндіру қажет . Яғни, аксиомада берілген шарттарды қанағаттандыратын жазықтық бар және ол жалғыз. Себебі осы фактілер кейінгі теоремаларды дәлелдеуде қолданылады.
Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады аксиомасын енгізу процессінде көрнекіліктерді қолданып , әртүрлі жағдайларды қарастыру керек.
Негізгі ұғымдарды және стереометрия аксиомаларын бір сабақта енгізген жөн. Себебі,оқушыларда бірінші рет үш өлшемді кеңістік геометриясы туралы жалпы базалық түсінік болуы үшін.
Стереометрия аксиомаларынан соң оның салдарлары оқытылады. Осы салдарларды оқу процессінде оқушылар жоғарыда өтілген аксиомаларды алғаш қолдана бастайды. Мұнда ескеретін жай, салдар - теоремаларды оқығанда олардың екі бөлімнен тұратыныдығы - бірінші теорема шарттарына сейкес жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, екінші ондай жазықтықтың жалғыз болуын дәлелдеу [6].
Математикалық есептердің ішінде геометриялық салу есептері ең ерте заманғысы болуы мүмкін. Салу есептерімен ерте замандағы атақты ғалымдар Пифагор, Гиппократ, Евклид, Архимед және т.б. айналысқан. ХП-ХХ ғасырларда математиканың жаңа бөлімдерінің пайда болуына байланысты,геометрияның салу теориясыда қарқынды дамыды.
Геометриялық салулар оқушылардың ойлау қабілетін дамытуға көп ықпал етеді. Геометриялық фигураны салу ұғымы конструктивтік геометрияның негізгі ұғымдарына жатады, сондықтан оған анықтама берілмейді. Мектепте геометриялық фигураларды салу негізінен сызғыш және циркуль арқылы орындалады.
Сызғыш (бір жақты) арқылы төмендегі геометриялық салуларды орындауға болады: а) екі салынған нүктені қосатын, кесіндіні салу; ә) екі салынған нүкте арқылы өтетін түзуді салу; б) салынған нүктеден шығатын және салынған басқа нүкте арқылы өтетін сәулені салу. Оқушыларға сызғышпен жоғарыда көрсетілген амалдардан басқа амалдар орындауға болмайтынын түсіндіру қажет. Циркуль арқылы: а) шеңбер салуға болады, егер шеңбер центрі және оның радиусына тең кесінді салынса; ә)шеңбердің қосымша доғаларының екеуіне кезкелгенін салуға болады, егер шеңбер центрі және осы доғалардың ұштары салынса.
Салу есебін шешудің мәнісі фигураны салуда ғана емес, оны қалай салуға болатындығын айтып,тиісті дәлелдеулер жүргізуде. Есеп шешілді деп санау үшін, фигураны салудың тәсілі көрсетілуі және осы салу жұмымтарын орындау нәтижесінде шынында да бізге қажетті фигура шығатындығын дәлелдеу керек.
Салу есептерін шешу 4 кезеңнен тұрады: талдау, салу; дәлелдеу; зерттеу. Есепті шығарғанда талдау,салу және зерттеу - неғұрлым маңызды кезең болып саналады. Дәлелдеме көбінесе талдау мен салудан шығады [7].
Талдау. Талдауда берілген фигуралар мен ізделінетін фигура арасындағы байланысты орнатуға әрекет жасалынады. Әдетте, ізделінетін фигураның бейнесін шамамен салып, ондағы есепте берілгендер есеп шартында көрсетілгендермен қандай байланыста екені қарастырылады. Соңынан салу жоспары құрылады.
Салу. Салу жоспар бойынша орындалады.
Дәлелдеу. Салынған фигура есеп шарттарының барлығын қанағаттандыратыны белгілі теоремалар бойынша негізделеді.
Зерттеу. Бұл кезеңде есептің қандай шарттары орындалғанда шешімі бар екені, неше шешімі болатындығы зерттеледі.
Салу есебінің кезеңдері мектеп геометриясы курсының оқулықтарында келтірілмейді, дегенмен мұғалім оларды білуі керек.
Салу есептерін шешудің негізгі тәсілдері - геометриялық орындар тәсілі, геометриялық түрлендірулер (осьтік симметрия, айналдыру (бұру), параллель көшіру, гомотетия) және алгебралық тәсіл. Олардың кейбіреулеріне тоқталып өтелік.
Нүктелердiң геометриялық орны. Нүктелердiң геометриялық орны деп белгiлi бiр қасиетке ие болатын жазықтықтың барлық нүктелерiнен тұратын фигураны айтады.
Егер фигура НГО болса, онда 1) осы фигураның кезкелген нүктесi берiлген қасиетке ие болады және 2) берiлген қасиетке ие болатын нүктелердiң барлығы осы фигурада жатады. Мысалы, шеңбердiң кез келген нүктесi берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта орналасқан және берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта жатқан нүктелердiң барлығы осы шеңберде жатады. Геометриялық орын әдiсiмен есептердi шешу үшiн негiзгi НГО бiлу қажет . Олар мыналар:
1) берiлген екi нүктеден бiрдей қашықтықтағы НГО осы нүктелердi қосатын кесiндiге перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтетiн түзу болады;
2)берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта жатқан НГО центрi берiлген нүктеде және радиусы берiлген қашықтыққа тең шенбер;
3) бұрыштың қабырғаларынан бiрдей қашықтықтағы НГО, осы бұрыштың биссектриссасы болады;
4) берiлген түзуден бiрдей қашықтықтағы НГО берiлген түзуге параллель және одан бiрдей қашықтыктағы екi түзу;
5) екi параллель түзуден бiрдей қашықтықтағы НГО берiлген түзулерге параллель және олардан бiрдей қашықтықта болатын түзу;
6) АВ кесiндiсi бұрышынан көрiнетiн және АВ түзуiнiң бiр жағында жататын НГО ұштары А және В нүктелерi болатын шеңбер доғасы болады.
Салу есептерiн шешуде пайдаланылатын геометриялық орындар әдiсiнiң мәнiсi мынада. Айталық, салу есебiн шешкенде екi шартты бiрдей қанағаттандыратын Х нүктесiн табу керек болсын. Бiрiншi шартты қанағаттандыратын нүктелердiң геометриялық орны қайсiбiр фигурасы болады, ал екiншi шартты қанағаттандыратын нүктелердiң геометриялық орны қайсiбiр фигурасы болады. Iзделiнетiн Х нүктесi фигурасынада, фигурасынада тиiстi, яғни олардың қиылысу нүктесi болады [8].
Геометриялық орындар әдiсi салу есептерiн шешкенде қолданылады. Мысалы, АВС үшбұрышын үш қабырғасы бойынша салуда, А және В төбелерiн бiле отырып, үшiншi төбесi С-ны табамыз. Ол мынадай шарттарды қанағаттандыруы керек:
1. С нүктесi А нүктесiнен берiлген қашықтықта болуы керек, және
2. С нүктесi В нүктесiнен берiлген қашықтықта болуы керек.
НГО-на берiлген есептердi екi түрге бөлуге болады. Бiрiншi түрге кейбiр фигура берiлген және оның белгiлi бiр шарттарды орындайтын нүктесiн табу талап етiледi . Бұл жағдайда iзделiнiп отырған нүкте төмендегi шарттарды қанағаттандырады: 1) есеп шартында көрсетiлген геометриялық фигурада жатады; 2) барлық нүктелерi белгiлi бiр қасиетке ие болатын фигурада жатады.Екінші түрге, бір мезгілде төмендегі екі шартты қанағаттандыратын нүктені табуды талап ететін есептер жатады: а) барлық нүктелері белгілі бір қасиетке ие болатын F1 фигурасында жатады; ә) барлық нүктелері белгілі бір қасиетке ие болатын F2 фигурасында жатады.
Мысал ретiнде осы түрлерге жататын мынадай салу есептерін қарастыралық.
Есеп1. Бұрыш қабырғаларын қиып өтетiн түзуде, берiлген бұрыш қабырғаларынан бiрдей қашықтықта жататын нүктенi тап(сурет 1).
Талдау: 1) ізделiнетiн Х нүктесi О бұрышының қабырғаларын қиып өтетiн MN түзуiнде жатады.
2) Х нүктесi О бұрышының қабырғалары ОМ және ON дан бiрдей қашықтықта жатады, сондықтан осы шартты қанағаттандыратын НГО-берiлген бұрыштың биссектриссасы болады.
3) ізделiнетiн Х нүктесi MN түзуiмен О бұрышының биссектриссасының қиылысуында жатады.
Салу 1) m - О бұрышының биссектриссасы.
2) Х - MN түзуi мен m биссектриссасының қиысу нүктесi.
Сурет 1. Бұрыш қабырғаларын қиып өтетiн түзу
Есеп 2. Берiлген екi параллель түзуден бiрдей қашықтықта жатқан және берiлген нүктеден берiлген қашықтықта жатқан нүктенi сал(сурет 2).
Талдау: ав-берiлген түзулер. М-берiлген нүкте . d-берiлген қашықтық.
1) ізделiнетiн нүкте Х екi шартты қанағаттандырады:
а) параллель а және в түзулерiнен бiрдей қашықтықта жатады;
б) М нүктесiнен берiлген қашықтықта жатады.
2) Бiрiншi шартты қанағаттандыратын НГО l түзуi а және в-ға параллель және олардан бiрдей қашықтықта жатады.
3) Екiншi шартты қанағаттандыратын НГО шеңбер - радиусы берiлген d қашықтыққа тең, центрi М нүктесi.
4) Iзделiнетiн Х нүкте осы НГО қиылысу нүктесi .
Салу: 1) a мен b түзулеріне параллель және олардан бірдей қашықтықта жататын l түзуін саламыз; 2) Центрі М нүктесі және радиусы d-ға тең шеңбер саламыз; 3) l түзуi мен центрі М нүктесі және радиусы d-ға тең шеңбердің қиылысу нүктелері Х және Y. Бұл ізделініп отырған нүктелер.
Сурет 2. Берiлген екi параллель түзуден бiрдей қашықтықта жатқан және берiлген нүктеден берiлген қашықтықта жатқан нүктенi сал
Жоғарыда көрсетiлген есептер оқушыларда НГО қолданудың жалпыланған тәсiлiн қалыптастыруға көмек болады.
Бірінші түрдегi есептердi шешудiң алгоритмi:
1) ізделiнетiн Х нүктесi жататын геометриялық фигураны салу;
2) есеп текстiне қарап Х нүктесi қанағаттандыратын шартты тұжырымдау;
3) осы шартты қанағаттандыратын НГО атау;
4) аталған НГО салу;
5) берiлген фигурамен НГО қилысуын салу.
НГО берiлген есептердiң екiншi түрiн шешудің жалпыланған тәсілі:
1) есепті талдау негізінде ізделінетін Х нүктесі қанағаттандыратын екі шартты тұжырымдау;
2) бірінші шартты қанағаттандыратын НГО атау;
3) екінші шартты қанағаттандыратын НГО атау;
4) аталынған НГО салу;
5) осы геометриялық орындардың қиылысуынан пайда болатын (нүктені) нүктелерді табу [9].
2 СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ (КЕҢІСТІКТІК) ФИГУРАЛАРДЫ
ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Оқушылардың кеңістіктегі геометриялық есептерді шешуіне ыңғайлы әдіс-тәсілдерді зерттеу. Проекциялау әдісі. Сызбаға қойылатын талаптар
Жазықтықта геометриялық фигураларды кескіндеудің бірнеше әдістері бар. Олар-центрлік проекциялау, параллель проекциялау, ортогональ преокциялау. Геометриялық фигураларды кескіндегенде, фигураның түпнұсқасына қарағанда орналасуы есепке алынбайды, яғни бос кескіні қолданылады.
Фигураларды кескіндеуге қойылатын талаптар: кескін дұрыс, көрнекі, салуға ыңғайлы болуы керек.
Дұрыс чертеж белгілі кеңістіктегі дененің проекциясы болып табылады. Объектінің барлық элементтерінің проекциясы бір ғана проекциялау әдісімен салынған болуы керек.
Көрнекі чертеж, түпнұсқаның дұрыс көрінуін, кеңістікті дұрыс түсінуін дамытуға әсер етеді, есепті шешудің дұрыс жолын табуға жәрдем береді. Сабақ үстінде чертеж оңай және барлық салулар оқушыға түсінікті болып орындалуы керек.
Центрлік проекциялау әдісі. Сызба геометрияда, архитектурада және тағы басқаларда центрлік симметрия проекциялау әдісі қолданылады. Кеңістіктегі фигураларды кескіндеуді центрлік проекциялау әдісі арқылы орындалуы перспектива деп аталады. Осы әдісті қарастыралық.
1. Берілген A нүктесінің кескінін салу үшін жазықтығын және S нүктесін (S) алады. Сонда А нүктесінің кескіні ретінде оны S нүктесімен қосатын түзудің жазықтығымен қиылысу нүктесі А қабылданады
(сурет 3).
Сурет 3. центрлік проекциялау
A=(AS) .
- проекциялау жазықтығы, S - проекциялау центрі, А берілген А нүктесінің центрлік проекциясы деп аталады.
1. Берілген АВ кесіндісінің кескінін салу үшін жазықтығын және S нүктесін (S) алады. Сонан соң А және В нүктелерінің жазықтығындағы
центрлік проекцияларын салады (жоғарыдағы мысалды қара)(сурет 4).
Сурет 4. АВ кесіндісінің кескінін салу
10. Нүктенің центрлік проекциясы нүкте.
20.Жалпы жағдайда түзудің (кесіндінің) проекциясы түзу (кесінді) болады.
Егер түзу (кесінді) проекциялау центрі арқылы өтетін болса, онда ол нүктеге проекцияланады.
Параллель проекциялау әдісі.Параллель проекциялаудың анықтамасы. Параллель проекциялау іс жүзінде көптен қолданылады.Мысалы, жазықтықтағы, кеңістіктегі фигураны жазықтыққа кескіндеу үшін ол төмендегідей анықталады.
жазықтығы және оны қиып өтетін а түзуі берілсін. Кез-келген X нүктесін аламыз. Мұнда мынадай жағдайлар болуы мүмкін(сурет 5):
Сурет 5. Параллель проекциялау
10 а, .
20 а, .
30 , а.
40 а, .
10.Бірінші жағдайда X нүктесінен а-ға паралель а түзуін жүргіземіз, онда а. . нүктесі X нүктесін а түзуіне қарағанда паралель проекциялағандағы жазықтығындағы проекциясы деп атайды (суретті қара).
20.Бұл жағдайда а. 30 Бұл жағдайда X=X. 40 Бұл жағдайда X=X.
-проекция жазықтығы, а-проекция бағыттаушысы немесе проекциялаушы түзулер.(аав...)
Ф фигурасының а түзуіне қарағандағы параллель проекциясы деп сол фигураның барлық нүктесінің параллель проекцияларының Ф1 жиынын айтады.
Паралель проекциялаудың қасиеттері.
Теорема 1.Нүктенің(түзудің) проекциясы нүкте(түзу) болады. Түзудің проекциясы түзу болатындығын дәлелдейміз(жалпы жағдайда)(сурет 6).
Сурет 6. (Нүктенің(түзудің) проекциясы)
1. Аа, а.
2. А1-А-ның, В1-В-ның -жазықтығындағы проекциясы.
3. AA1l,BB1l,AA1BB1.
4. ABB1A1.
5. a1. a1 - түзуі а түзуінің проекциясы болады.
6. Шындығында, нүктесінің проекциясы Xa1 болады және Xa нүктесі X-тің кескіні болады.Сондықтан түзуін проекциялайтын барлық түзулер (АА1,ВВ1,...) а1 түзуін қияды және жазықтығында жатады.
Салдар. Кесіндінің проекциясы кесінді болады (жалпы жағдайда).
Теорема 2.Түзудің кесінділерінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең.
Берілгені: - проекциялар жазықтығы; l- проекциялаушы түзу; а түзуі проекциялаушы жазықтықта жатпайды жєне A, B,Cа; а1 түзуі а түзуінің жазықтығындағы проекциясы; A, B,C нүктелерінің жазықтығындағы проекциялары A1,B1,C1 нүктелері жєне A1,B1,C1а1 .
Дәлелдеу керек:
Дәлел: Бұл бүрыштың қабырғаларын пропорционал бөліктерге бөлу теоремасынан шығады.
Салдар: Параллель проекциялағанда кесіндінің ортасы оның проекциясының ортасы болады [10].
Теорема 3. Параллель түзудің проекциялары параллель болады(сурет 7).
Берілгені:l,
l l
Дәлелдеу керек:A1B1M1N1.
Дәлел: lAA1, lBB1, A1 B1
LMM1, lNN1, N1, M1
(AA1B1B) 11
1A
1
Сурет 7. Параллель түзудің проекциялары
Теорема 4. Екі паралель кесіндінің проекциялары ұзындықтарының қатынасы проекцияланаиын кесінділер ұзындықтарының қатынасына тең болады(сурет 8).
Дәлелдеу керек:.
Дәлел: 1. АВ түзуінде BN=ММ саламыз..
7. Онда 20 қасиет бойынша. =
8. BMNN[]-паралллелограмм1N[]=M1N1.
9. .
Сурет 8. Паралель кесіндінің проекциялары
Тік бұрыштап проекциялау әдісі. Параллель проекциялау әдісінің проекция-лау бағыты проекциялар жазықтығына перпендикуляр болып келетін дербес түрі тік бұрыштап проекциялау (ортогональ) деп аталады. Яғни l .
Кесіндінің тік бұрышты проекциясы оның өзінен үлкен болуы мүмкін емес.
АВ1= АВ cos .
Сурет 9. Тік бұрыштап проекциялау
Жазық фигуралардың кескіні. Жазық фигуралардың кескіндерін салу параллель проекциялардың қасиеттеріне негізделген.
Үшбұрыш кескіні. A0B0C0 үшбұрышы кеңістікте орналасқан болсын. Ал, A1 ,B1 ,C1 1-нүктелері A0, B0,C0 нүктелерінің жазықтығындағы кескіні болсын. Кесіндінің проекциясы кес інді болғандықтан, A1B1C1 үшбұрышы (сондай-ақ A1B1C1 үшбұрышына ұқсас кез-келген ABC үшбұрышы) A0B0C0 үшбұрышының кескіні болады(сурет 10.).
Берілген үшбұрыштың кескіні ретінде сызбада кез-келген үшбұрышты алуға болады.
Сурет 10. Үшбұрыш кескіні
Параллелограмның кескіні. Түзулердің параллельдігі параллель проекциялағанда сақталатын болғандықтан, параллелограммның кескіні параллелограмм болады.(квадрат, ромб та сондай).
Сурет 11. Параллелограмның кескіні
Трапецияның кескіні. Табандары А0В0 және С0D0 болған трапецияның кескіні ABCD болады және де параллелограммның қасиеті бойынша
(1),
яғни кескіндегі трапецияның табандары трапеция табандарына пропорционал болады.Трапецияның кескінін қарастыралық(сурет 12).
Ол үшін A0B0C0D0 трапециясын параллелограммға және үшбұрышқа бөлеміз:C0E0A0D0, A0E0C0D0-параллелограмм, C0E0B0-үшбұрыш, A0D0C0E0 - параллелограммның кескіні ретінде ADCE кез-келген параллелограммын аламыз. AE=DC болғандықтан (1) теңдікті былай жазуға болады: (2), (2) пропорцияны пайдаланып, B0 нүктесінің кескіні B-ны саламыз. Ол төмендегі суретте көрсетілген, мұнда AA2=C0D0, AA1=A0B0 .
Салынған ABCD трапециясы A0B0C0D0 трапецияның кескіні болады.Оған (1) пропорция орындалады. Айта кететін жәйт, теңбүйірлі A0B0C0D0 трапециясының кескіні ABCD теңбүйірлі емес трапеция болуы мүмкін,Мұнда теңбүйірлі трапецияның ось симметриясяның кескіні EF түзуі болады,ол AD және BC табандарының ортасы арқылы өтеді,EF кесіндісі теңбүйірлі трапецияның биіктігінің кескіні болады [11].
Сурет 12. Трапецияның кескіні.
Шеңбер кескіні. Шеңбердің параллель проекциясы эллипс болады. Шеңбер эллипстің дербес бір түрі, себебі оның жазықтыққа проекциясы (шеңбер жазықтығына), шеңбер, ол берілген шеңберге тең (сурет 12.).
Параллель проекциялардың қасиеттері бойынша шеңбер центрінің О проекциясы эллипстің симметрия центрі.Бұл нүктені эллипс центрі деп атайды.
Сурет 13. Шеңбер кескіні
0.2 Кеңістік фигураларының кескіні
Призманы кескіндеу және оның қимасын салу.Параллель проекциялаудың ережесіне сәйкес призманың кескінін төмендегідей етіп саламыз. Ең алдымен табандарының бірі Р- ны салады (14- сурет) . Ол қандай да бір жазық көпбұрыш. Сонан соң Р көпбұрышының төбелерінен ұзындықтары бірдей паралелль кесінділер түрінде призманың бүйір қырлары жүргізіледі. Осы кесінділердің ұштары өзара қосылса да, призманың екінші табанын шығарып алады. Көрінбейтін қырларды үзік сызықтармен жүргізеді.
Сурет 14 Сурет 15
Призманың бүйір қырларына паралелль жазықтықтармен қиғанда шығатын қималар параллелограмдар болып табылады. Бұл қималар бір жаққа тиісті емес екі бүйір қыры арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда шығады. (15- сурет)
Призманы кескіндеу және оның қимасы
Іс жүзінде атап айтқанда есеп шығарғанда, көбінесе, призманың бір табанының жазықтығында берілген g түзуі арқылы өтетін жазықтықпен қиғанда пайда болатын призма қимасын салуға тура келеді. Мұндай түзуді қиюшы жазықтықтың табан жазықтығындағы ізі деп аталады. Призманың қимасын салу үшін қиюшы жазықтықтың призма жақтарымен қиылысатын кесінділерін салу жеткілікті. Призманың бетінде жатқан және қимаға тиісті қандай да бір А нүктесі белгілі болғанда осындай қиманы қалай салатынын көрсетейік. (16- сурет).
Егер берілген А нүктесі призманың екінші табанына тиісті болса, онда оның қиюшы жазықтықпен қиылысуы g ізіне паралелль және берілген А нүктесін қамтитын ВС кесіндісі болады (16.а - сурет)
а) б) 16 - Сурет
Егер А нүктесі призманың бүйір жағына тиісті болса, онда осы жақтың қиюшы жазықтықпен қиғандағы қимасын 16.б - суретте көрсетілгендей етіп салады.
Призманың бетінде жатқан және қима
Атап айтсақ: ең алдымен жақтың жазықтығы мен алдын ала берілген g ізі қиылысатын D нүктесін салып алады. Содан соң А және D нүктелері арқылы түзу жүргізіледі. Қарастырып отырған жақтың бетінде жатқан АD түзуінің ВС кесіндісі - осы жақпен қиюшы жазықтықтың қиылысуы. Егер А нүктесін қамтитын жақ g ізіне параллель болса, онда қиюшы жазықтық бұл жақты А нүктесі арқылы өтетін және g түзуіне параллель ВС кесіндісінің бойымен қияды.
ВС кесіндісінің ұштары көршілес жақтарға да тиісті болады. Сондықтан жоғарыда аталған тәсілмен осы жақтардың өзіміздің қиюшы жазықтығымызбен қиылысуын салуға болады, т.с.с.
Пирамидаларды және оның жазық қималарын салу. Паралелль проекциялау ережесіне сәйкес пирамиданың кескінін төмендегідей салады. Ең алдымен табаны салынады. Бұл қандай да бір жазық көпбұрыш. Содан соң пирамиданың төбесін белгілейді де. Оны бүйір қыры арқылы табанының төбесімен қосады, 17- сурет бес бұрышты пирамиданың кескіні көрсетілген [12].
Сурет 17
Бес бұрышты пирамиданың кескіні
Пирамиданы төбесі арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда қималар үшбұрыштар болып келеді (18 - сурет). Дербес жағдайда, диогональдық қималар үшбұрыштар болады. Бұл - пирамиданың көршілес емес екі бүйір қыры арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда шығатын қималар. (19 - сурет).
Жазықтықтың пирамиданың табан жазықтығындағы g ізі берінген жағдайда пирамиданың осы жазықтықпен қиғанда шығатын қимасын призманың қимасын салғандай етіп саламыз. Пирамиданың жазықтықпен қиғандаға қимасын салу үшін, оның бүйір жақтарын қиюшы жазықтықпен қиылысуын салу жеткілікті.
Сурет 18 Сурет 19
Сурет 18 Сурет 19
Пирамиданы төбесі арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда қималар
Егер g ізге паралелль емес жақтың қимағы тиісті қандай да бір А нүктесі белгілі болса, онда қиюшы жазықтықтың g ізінің осы жақ жазықтығымен қиылысуын - 20-суреттегі D нүктесін салады. D нүктесін А нүктесімен түзу арқылы қосады. Сонда осы түзудың жаққа тиікесіндісі осы жықпне қиюшы жазықтықтың қиылысуы болып шығады. Егер А нүктесі g ізіне паралелль жақта жатса, онда қиюшы жызықтық бұл жақты g түзуінепп кесіндінің бойымен қиып өтеді. Көршілес бүйір жаққа ауысып, оның қиюшы жазықтықпен қиылысуын салады және т.с.с. Нәтижесінде пирамиданың қажет болып отырған қимасы шығады [13].
Сурет 20 Сурет 21
21-суретте төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасымен оның бүйір қырларының бірінде жатқан А нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғанда қимасы салып көрсетілген. Төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасымен оның бүйір қырларының бірінде жатқан
а) б)
Сурет 22
Қималарды салуға арналған есептер. Тетраэдрмен және параллелелипедпен байланысты көптеген геометриялы есептерді шығару үшін суретте олардың әр түрлі жазықтықтармен қимасын сала білу керек. Тетраэдрдың немесе параллелепипедтің қимасы деп нені түсінетінімізге тоқталсақ. Тетраэдрдің (параллелепипедтің) қиюшы жазықтығы деп екі жағында да берілген тетраэдрдің (параллелепипедтің) нүктелері бар кез келген жазықтықты атайық, қиюшы жазықтық тетраэдрдың (параллелепипедтің) жақтарын кесінділер бойымен қиып өтеді. Қабырғалары осы кесінділер болып табылатын көпбұрыш тетраэдрдың (параллелепипедтің) қимасы дел аталады. Тетраэдрдің төрт жағы болғандықтан, оның қимасы
Тетраэдрдің төрт жағы болғандықтан, оның қимасы тек үшбұрыштар мен төртбұрыштар болып табылады (22 - сурет).
а) б) в)
Параллелепипедтің алты қыры бар. Оның қимасы үшбұрыштар (23.а-Cурет 23. Параллелепипедтің қималары
сурет), төртбұрыштар (23.б-сурет), бесбұрыштар және алтыбұрыштар (23.в - сурет) бола алады.
Параллелепипедтің қимасын салған кезде суретте мына жағдайды ескерген жөн: егер қиюшы жазықтық қарама- қарсы екі жақта қандай да бір кесінділер бойымен қисы, онда бұл кесінділер параллель болады. 23.б-суретте қиюшы жазықтық қарама - қарсы екі (сол және оң) жарты AB және CD кесінділер бойымен, ал басқа, қарама - қарсы екі (алдыңғы және артқы) жағы AE және ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..3
1 СТЕРЕОМЕТРИЯ КУРСТАРЫН ЖҮЙЕЛІ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... 6
1.1 Жоғары сыныптарда стереометрияны оқыту барысында туындайтын мәселелер ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6
1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ..9
2 СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ (КЕҢІСТІКТІК) ФИГУРАЛАРДЫ ОҚЫТУ
ӘДІСТЕМЕСІ ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .15
2.1 Оқушылардың кеңістіктегі геометриялық есептерді шешуіне ыңғайлы әдіс-тәсілдерді зерттеу. Проекциялау әдісі. Сызбаға қойылатын талаптар ... .15
2.2 Кеңістік фигураларының кескіні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
2.3 Стереометрия есептерінің қоршаған ортамен байланысын айқындау ... ..39
2.4 Жоғары сынып оқушыларына кеңістіктегі геометриялық түрлендірулерді оқыту әдістемесі тақырыбы бойынша әдістемелік ұсынымдар ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .51
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 60
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...62
КІРІСПЕ
Зерттеудің өзектілігі. Стереометриялық есептер оқушының ақыл-ойын дамытудың маңызды құралы болып табылады. Осындай есептерді шешуге оқыту мақсаттарының ішінде негізгілері оқушылардың логикалық ойлауларын және кеңістіктік елестетулерін дамыту. Бұл ой әрекеттерін оқыту процесінде қатар дамыту тиімді екенін практика көрсетіп отыр.
Логикалық ойлау ұғымдарды, логикалық байланыстарды пайдаланумен сипатталады. Геометриялық ұғымдарды қалыптастыру үшін осы ұғыммен сипатталатын объектілер туралы түсініктер маңызды роль атқарады. Түсініктедің ролі қандай да бір ой тұжырымдарын алу процесінде де өте маңызды. Оқу материалын түсіну кезінде бейнелерді актуалдау ойдың жалпылылық дәрежесін арттыруға мүмкіндін туғызады [1] Басқа жағынан, қалыптастырылып отырған түсініктерде тиісті ұғымдардың елеулі қасиеттерін және пайымдау негізінде алынған қорытындылар байқалады.
Психологтардың ойынша , орта және жоғарғы сынып оқушыларында абстрактты ойлаудың нақтылы ойлауға ыкпалы білінеді және бұл ықпал бейнелердің тек сипатталып қана қоймай, сонымен қатар олар интерпретациялануы (кескінделуі) кезінде де көрінеді, жалпыланған білімдерді қолдану әсерінен объектілерді, қабылдау аясы кеңейеді[2].
Оқушының ақыл-ойының дамуы туралы айта отырып ол даму екі қарам қарсы бағытта - нақтыға қарай және абстрактыға қарай жүзеге асатынын ескеру қажет. Бұл жағдайға ерекше көңіл аудару керек, өйткені көрнекі бейнелі, практикалық ойлауды ақыл-ойдың жетілмеген ең төменгі формасы ретінде түсіну дұрыс емес. Осы ақыл-ойдың жетілмеген формасының функциясы, негізінен, абстрактты ойлаудың уақытша тірегі болады да, ал соңғысы қалынтасқаннан кейін нақты ойлаудың маңызы тоқтаған сияқты, оқыту процесінде есепке алынбайды. Шынында нақты ойпаудың барлық формаларындағы дамуының дерексіз дамуға қарағанда маңызы аз емес және біріншісін қарапайымдылау, ақыл-ой әрекетінің квалификациялан-баған формасы ретінде бағалауға болмайды. Өздерінің жұмыстарында бұл көзкарасты Г. Д Глейзер, Е.Н. Кабанова-Меллер, Н.А Менчинская, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Четверухин, И.С. Якиманская тағы да басқа психология және математиканы оқыту әдістемесі саласын-дағы мамандар ұстанады.
Олар ойлаудың дамуын көрнекі-бейнелі таным формаларының түсінікті формаларға ауысуы деп түсінбей, ақпаратты оңдеу механизмдерінің күрделенуі арқылы түсіндіріледі. Түсініктік ойлау қалыптасқанда бейнелі ойлау жойылмай, басқаша құрылады. Ойлаудың ерекшелігі, оның түсініктік немесе бейнелі түрдегі қызметі, іс-әрекеттің ерекшелігімен немесе мақсатымен, және де субъектінің жас ерекшелік және дара - психологиялық ерекшеліктерімен анықталады.
Стереометриялық есептерді шешу кезінде бейнелі ойлау да, логикалық ойлау да қатысады, және есепті шешудің тимділігі осы ойлау түрлерін байланыстыра білуінен тәуелді болады.
Логикалық ойлау бір мағыналы контексті ұйымдастыруды болжайды, ал бейнелі ойлау - көп мағыналы. Егер логикалық ойлау альтернатива принципіне бағынса (қайсы бір әрекет немесе қатынас оған қарама-қайшыны автоматты түрде жояды), онда бейнелі ойлау үшін мұндай альтернативалар жоқ - екі бірін-бірі жоққа шығаратын қатынастар бірін-бірі толықтыратын сияқты болады. Мұндай дүниеге көзқарастың кеңдігі әдеттегі логика көзқарасы бойынша жағдай тұйыққа тірелген жерде іздеу белсенділігін сақтауға мүмкіншілк береді.
Стереометриялық есептерді шешу тиімділігі есептеп шығарушының білім қорынан және осы білмдерді қолдана білуден де, есепте айтылып жатқан объектіні оқушы қаншалықты жақсы түсінетінен де тәуелді болады. Бұл жағдайда ойлаудың ауызша (вербальді) және бейнелі элементтері бірін-бірі алмастырмай, есепті шешу кезінде әр түрлі қызмет атқарады.
Зерттеудің мақсаты:
Жалпы білім берудің жоғары сатысындағы студенттер кеңістігін геометриялық түрлендіруді бейіндік саралау жағдайында оқытудың ғылыми негізделген әдістемесін жасау болып табылады.
Зерттеу гипотезасы, егер орта мектеп оқушыларының кеңістігін геометриялық түрлендіруді оқыту әдістемесін жасау кезінде математика курсының пән ішіндегі байланыстары, негізгі және мамандандырылған курстардағы кеңістік қозғалыстарын және профильді және элективті курстардағы кеңістік қозғалыстарының композицияларын зерттеу ерекшеліктері ескерілсе, оқушыларға геометриялық есептерді геометриялық қайта құру әдісімен шешуге үйрету тәсілі ұсынылады, таңдалған принциптер негізінде оқушылардың білімін тереңдету үшін тиісті тақырып бойынша элективті курс құрылады., бұл түлектердің жалпы математикалық дайындығының сапасын арттыруға мүмкіндік береді.
Осы мақсатқа жету және гипотезаны тексеру үшін келесі зерттеу міндеттері шешілді:
- бейіндік саралау жағдайында кеңістікті геометриялық түрлендіруге оқыту мазмұнын іріктеу критерийлерін және тиісті элективті курсты құру принциптерін анықтау;
- бейіндік саралау жағдайында кеңістікті геометриялық түрлендіруді оқыту әдістемесін әзірлеу, базалық және бейіндік деңгейлерде қозғалыс түрлерін (изометрия) және бейіндік және элективті курстарда кеңістікті түрлендіру композицияларын оқыту ерекшеліктерін анықтау;
- курстың негізгі ұғымдарын енгізу және қалыптастыру үшін есептер құрастыру және түрлендіру жағдайға енгізілмеген кеңістіктің геометриялық түрлендірулерін қолдана отырып, есептерді шешуге оқыту тәсілін анықтау;
- "кеңістіктің геометриялық өзгерістері және оларды есептерді шешуге қолдану" тақырыбы бойынша элективті курс әзірлеу және оның әдістемелік қамтамасыз етілуі (курс бағдарламасы, курсты зерделеу нәтижесінде оқушылардың математикалық дайындығына қойылатын талаптар, оқыту мазмұны, әдістері, нысандары, құралдары және оны өткізу жөніндегі әдістемелік ұсынымдар);
- базалық, бейінді және элективті курстарда кеңістікті геометриялық түрлендіруді оқытудың әзірленген әдістемесінің тиімділігін эксперименттік тексеру.
Қойылған міндеттерді шешу үшін мынадай зерттеу әдістері қолданылды: тарихи, психологиялық-педагогикалық, ғылыми, оқу-әдістемелік әдебиеттерді, осы жұмыстың тақырыбы бойынша диссертациялық зерттеулерді, нормативтік құжаттарды зерделеу және талдау және топтық әңгімелер, педагогикалық тәжірибені зерттеу және жалпылау, педагогикалық эксперимент, эксперимент нәтижелерін өңдеудің статистикалық әдістері.
Стереометрия есептерін оқыту үрдісінде студенттерге терең және берік білім беру, іскерлік пен дағдыларын бекіту;
Технологиялық амал-тәсіл түрлерін орындау жолдарын меңгерту, салу есептерін шешу процесінде қолданылатын аспаптарды қолдана білуге үйрету
Технологиялық ойлауды дамыту, өз бетімен жоспарлауды, алгоритмдеуді, өзінің оқу, өз білімін жетілдіру әрекетін стандарттауды үйрету;
Оқу сабақтары мен есептеуге, дәлелдеуге, салуға берілген есептерді шешуді ұйымдастырудағы технологиялық тәртіп талаптарын сақтауға тәрбиелеу.
Оқып-білудің негізгі міндеті
Геометрия есептерін шешуде қолданылатын геометриялық түрлендірулерді қолдануда, кеңістіктегі декарттық координаталар, нүктелердің ара қашықтығы, кесіндінің ортасының координаталары, т.б. тақырыптарына жаңа компъютерлік технологияны (жаңа ақпараттық технология) қолдану студенттерге жаңа ақпараттарды түсіндіру арқылы олармен жұмыс істеу қабілеттерін, дағдыларын, іскерліктерін дамыту.
Зерттеу нысаны: Жалпы білім беру мектептерінде оқушыларға кәсіби бағдар беру процесі.
Зерттеу пәні: 10-11 сыныптардың Геометрия пәні.
Жұмыстың құрылымы мен көлемі: Жұмыс кіріспе екі тараудан, қорытынды және пайдаланылған әдебиеттерден тұрады. Курстық жұмыстың жалпы көлемі 62 бет.
1.1 Жоғары сыныптарда стереометрияны оқыту барысында туындайтын мәселелер
Мектепте геометрия курсы үлкен орын алады және оқытуға көп көңіл бөлінеді. 7-11 кластарда математикаға бөленген уақыттың 40% геометрияға тиісті.
Мектеп геометриясының негізгі мазмұны 200 жылдан бері бір қалыпты сақталып келеді және оның шығар жері (қайнар көзі) Евклидтің Негіздері. Планиметрия курсында түзулердің өзара орналасуы; үшбұрыш, төртбұрыш және шеңбер қасиеттері; фигуралардың теңдігі және ұқсастығы; ұзындықты, бұрыштар мен аудандар шамаларын өлшеу сияқты мәселелер қарастырылады.
Геометрия курсының негізгі мәселелері:
* геометрияның негізгі фактілерің, оларды алу өдістерің және оларды қолдану мүмкіндіктерін жүйелі түрде оқу;
* шектес пәндерді оқу үшін одан алған білімдерді колдануды қамтамасыз ететін, оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамыту;
* оқушылардың кеңістікті елестетуін және логикалық ойлауын дамыту.
Сонымен, геометрияның міндеті - оқушыларда үш түрлі сапаны дамыту: кеңістікті елестету; практиканы түсіну және логикалық ойлау.
Оқушылардың кеңістікті елестетуі мен логикалық ойлауын дамытудың негізі, олардың геометриялық фактілер мен әдістерді білуі.
А.В. Погорелов оқулығында бірінші орынға оқушылардың логикалық ойлауын дамыту қойылған. Ол өзінің кітабында былай деп жазады:
геометрияны оқытудың басты мәселесі - оқушыларды логикалық ойлауға, өз пікірін дәлелдеуге үйрету ...
Ал Л.С. Атанасян мен В.Ф. Бутузовтардың оқулығында оқушылардың іскерлігі мен дағдысын дамытуға, түсінікті етіп баяндауға ерекше көңіл аударылады.
В.Г. Болтянский, мектепте геометрияны оқытудын басты мақсаты,- оқушыларға есеп шешуде қалай ойлау, қалай дұрыс ой тұжымдауды көрсету деп есептейді [3].
Геометрияны үйрену кезінде кеңістікке жүйелі түрде көшу оқушылардың геометриялық даму деңгейін жақсартуға көмектеседі. Бұл ауысу стереометрияның жеке теоремаларын зерттеуде емес, жазықтық фигураларын зерттеу кезінде оқушылардың кеңістіктік көріністерін жүйелі түрде тартуда жүзеге асырылады.
Орта мектеп оқушыларының геометриялық білімінің кемшіліктерін анықтайтын себептердің бірі-стереометрияны оқудың планиметриядан ауысуы. Оқушылар жазық фигураларды тек тақта немесе оқушы дәптерінің жазықтығында жатқанын көруге дағдыланған. Геометриялық объектілерді визуалды қабылдау әрдайым осы объектінің заңдылықтарына сәйкес келе бермейді. Мысалы, қиылысатын түзулер қиылысатын немесе параллель түзулер сияқты көрінуі мүмкін, тік бұрыш өткір немесе доғал бұрыш сияқты көрінуі мүмкін, тең сегменттер әртүрлі ұзындықтағы сегменттер сияқты көрінуі мүмкін және т. б.
Оқушыларға сұрақ қояйық: "тақта жазықтығында жатқан үшбұрыш кеңістіктік фигура ма?. Оқушылар теріс жауап береді, өйткені үшбұрыш - жазық фигура. Егер сіз басқаша сұрақ қойсаңыз:" Үшбұрыш тақта жазықтығында қарастырылмаса, жазықтық фигура бола ма? ". Содан кейін оқушылардың пікірлері сәйкесінше екіге бөлінеді.
Көріп отырғанымыздай, стереометрияны үйрену кезінде негізгі қиындықтар екеу. Біріншісі-алгоритмдердің болмауы. Іс жүзінде әрбір мәселе және әрбір теорема жаңа ретінде шешіледі және дәлелденеді. Екіншісі-оқушылардың дамымаған кеңістіктік көріністері.
Стереометрияны зерттей отырып, қиялдың тіршілігін логикамен, қатаң тұжырымдар мен дәлелдермен көрнекі суреттермен байланыстыру қажет. Анықтаманың, теореманың немесе есептің тұжырымдамасын келтіре отырып, ең алдымен олардың мазмұнын түсіну керек: көрнекі түрде ұсыну, сурет салу және ең жақсысы, ең қиын болса да, қарастырылып отырған нәрсені елестету Геометриялық есептердегі ең маңызды рөлге ие - ол сызба. Бұл тапсырманы одан әрі дұрыс шешудің кепілі. Өкінішке орай, стереометрияны үйрену кезінде мұғалім сызбаны орындауға өте аз уақыт пен көңіл бөледі. Ол кейде қателіктерді байқамайды, ең ұтымды шешім үшін кеңістіктегі фигураның орнын таңдауға назар аудармайды, оқушылармен тапсырмаға арналған сызбаны талқыламайды, бірақ оны бірден құра бастайды, сызбаны орындау техникасына назар аудармайды. Сондықтан, мектеп оқушылары мәселені шешуде сызбаның маңыздылығын түсінбей, кескінді құру кезінде қателіктер жібереді, нәтижесінде стереометриялық есептерді одан әрі шешуді қиындатады.
Оқушылардың негізгі қателігі - бұл не туралы екенін елестетпестен, сурет салмай жаттауға тырысу. Анықтаманы, теореманы немесе есепті тұжырымдауда көрнекі бейнелеудің қалай дәл көрсетілетінін түсінуге ұмтылу жоқ.
Сұрақ туындайды: егер кеңістіктік ойлау адам үшін жалпы білім беру тұрғысынан өте маңызды болса және оқушылардың кеңістіктік бейнелері стереометрияны зерттеу үшін соншалықты маңызды болса, онда неге оларды қалыптастырудың барлық жұмыстары геометрия пәнінің соңғы екі жылына кіріктіріледі? Бұл жұмысты геометрияны оқытудың алғашқы қадамдарынан бастап жүргізіп, оны үзбеген дұрыс шығар. Осылайша, асықпай, белгілі бір геометриялық фигуралардың бар екендігін, олардың суреттерінде әртүрлі денелермен, олардың қасиеттерін, қашықтықтарды, бұрыштарды санауды, бір жазықтықта жатпайтын үшбұрыштарды салыстыруды үйренуге болады. Содан кейін уақыт өте келе оқушылар кеңістіктік фигуралардың көрнекі көріністерінің жеткілікті қорына және стереометриялық есептерді шешуде тәжірибеге ие болады.
Белгілі бір сенім-белгілі бір объектіні білу оның анықтамасынан басталады. Бірақ бұл әрдайым солай болуы тиіс деген сөз емес. Дұрыс пирамидамен танысу оны қарау, сипаттау, сурет салудан басталуы мүмкін. Содан кейін оның қасиеттері, оның визуалды бейнесінен орнатылады. Олардың бірі оның анықтамасына айналады. Егер біз оқушыларға математикалық білім жүйесінің қалай дамып жатқанын көрсеткіміз келсе, дәл осы тәсіл маңызды.
Объектіні білу дегеніміз - оны тану, оның қасиеттерін, сипаттамалық қасиеттерін, белгілерін білу, оның құрылымын, ондағы қатынастарды, басқа объектілермен байланысын білу. Оқушылардың санасында, негізінен, объектіні анықтау соншалықты маңызды емес. Ал бұл ой олардың білімінде формализмге әкеледі. Әрине, бұл оқу орындарында анықтамаларды оқытуды мүлдем тоқтатуды білдірмейді. Егер оқушы анықтаманы есіне түсірмесе, ол әрине жақсы дей алмаймыз. Алайда, егер оқушы көрсетілген объект туралы анықтамадан басқа ештеңе білмесе, бұл әлдеқайда нашар көрсеткіш.
Тағы бір мәселе, студенттер өздерінің алдында тек жазықтықта жатқан фигураларды көруге дағдыланған, кеңістіктік фигураны құру үшін фигураның қасиеттері туралы білім қажет. Мұндай қиындықтар оқушының геометриялық объектілерді визуалды түрде қабылдауынан туындайды.
Көбінесе оқушылар фигураның кеңістіктегі орналасуын, оның қасиеттері мен басқа фигуралармен байланысын білмей, олардың іс-әрекеттерінің дұрыстығына және құрастырылған сызбаның дұрыстығына күмәндана бастайды, өйткені әр түрлі жағдайларда бірдей операцияны орындау арқылы оңай қателесуге болады. Мысалы, студент негізге сызылған тұрақты тетраэдрдің биіктігін дұрыс бейнелейді, бірақ негіздің жоғарғы жағынан бүйір бетіне сызылған биіктікті бейнелеу қиынға соғады.
Кеңістіктік фигураларды зерттеуді жеңілдету үшін студенттер көрнекі құралдар жасай алады. Бұл материалды өз бетінше зерттеудің бір әдісі, көрнекі оқулықтармен стереографияны үйрену барысында оқушылар алған теориялық білімдері мен дағдыларын игереді, ал фигуралардың қасиеттері мен ерекшеліктері оңай танылады және оқушылардың жадында мықтап бекітіледі.
Соңғы екі онжылдықта компьютерлік технологиялар адам қызметінің барлық саласында қолданылады. Білім беру процесі де тыс қалған жоқ. Мектеп білімінде инновациялық әдістерді, компьютерлерді қолданудың орындылығы мен тиімділігі айқын. Олар әсіресе стереометрия сабақтарында пайдалы, егер компьютерге дейінгі кезеңде жазықтықта кеңістіктік денелер (пирамидалар, параллелепипедтер, цилиндрлер, конустар) бейнеленген болса, енді сабақта геометриялық денелер үш өлшемді (3D) кескінде көрсетілетін компьютерді қолдануға болады, оларды үлкейтуге, жылжытуға, түрлі-түсті бейнелеуге болады. Геометрия сабақтарында компьютерлік технологияларды қолданудың арнайы әдістері әзірленді, жалпы оларды қолдану жалпы білім беретін мекемелерде геометрияны сапалы және терең игеруге ықпал етеді.
Қорытындылай келе, кеңістіктік фигураны құрудың күрделілігі, фигураны дұрыс бейнелеу, материалды қабылдаудың күрделілігі сияқты жалпы проблемалар оқушылардың материалды жаттауға, оның мәнін түсінуге, фигураны дұрыс бейнелеуге көмектесетін өз құралдарын құрастыру арқылы шешіледі деп қорытынды жасауға болады. Экранда көруге, жылжытуға және үш өлшемді кескіндегі геометриялық денелерді үлкейтуге болатын компьютер туралы ұмытпаңыз. Материалды дұрыс игеруге мұғалімнің жұмысы да ықпал етеді, ол материалды оқушыларға қол жетімді түрде ұсынуы керек. Сызбалардың дұрыс жасалуын тексеріп, әр оқушының материалдың мәнін түсінгеніне көз жеткізуі керек, өйткені стереометрияны зерттеу оқушының ойлауын дамыту үшін өте маңызды.16
1.2 Стереометрия курсының алғашқы сабақтары.
Стереометрия курсын оқу стереометрия аксиомаларынан басталады. Стереометрияда, планиметриядағы сияқты, геометриялық фигуралардың қасиеттері сейкес теоремаларды дәлелдеу арқылы тағайындалады. Мұнда негіз болатын - негізгі геометриялық фигуралардың аксиомалармен өрнектелетін қасиеттері. Кеңістікте негізгі фигуралар болатындар: нүкте, түзу және жазықтық. Жазықтық, түзу сияқты шексіз болады.
Жаңа геометриялық бейне - жазықтықты енгізу аксиомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді.
Жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалар тобы:
1. Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.
2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда олар осы нүктелер арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.
3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.
Сонымен , стереометрияның аксиомалар жүйесі планиметрия аксиомалары мен жоғарыда келтірілген аксиомалардан тұрады.
Стереометрия аксиомаларын өткенде оқушыларға мынаны ескерткен жөн. Планиметрияда қарастырылатын фигуралар бір жазықтықта орналасады. Ал, стереометрияда жазықтықтар көп, тіпті шексіз көп. Осыған байланысты планиметрияның кейбір аксиомаларының тұжырымдамасы, стереометрияның аксиомалары сияқты анықтай түсуді талап етеді. Осыларды қарастырайық.
Жазықтыққа тиісті түзу бұл жазықтықты екі жарты жазықтыққа бөледі.
Жарты түзу жатқан жазықтықта жарты түзуден бастап берілген жарты жазықтыққа градустық өлшеуіші берілген 180- тан кем бұрышты өлшеп салуға болады және ол жалғыз болады.
Ұшбұрыш қандай болса да берілген жазықтықта, осы жазықтықта берілген жарты түзуге қарағанда берілген қалыпта орналасатын, онымен тең үшбұрыш болады.
Жазықтықта берілген түзу бойында жатпайтын нүкте арқылы берілген түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.
Стереометрияның әрбір аксиомасын енгізу үшін төмендегі схеманы қолданған жөн:
oo аксиомаларды модельде көрсету;
oo аксиоманы тұжырымдау;
oo сызбасын схемалық түрде көрсету;
oo символдық жазуын беру.
Стереометрияның екінші аксиомасы жазықтықтардың қиылысуының бар болатынын көрсетеді. Сондықтан, осы аксиомадан соң оқушыларды қиылысатын жазықтықтармен таныстыру керек.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиома оқулықтарды әртүрлі тұжырымдалады. Көпшілік оқулықтарда оның дәстүрлі тұжырымдамасы былай: Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады. Ал, А.В. Погореловтың оқулығында ол үшінші аксиома түрінде берілген.
Кеңістікте жазықтықтың орналасуын анықтайтын аксиоманы енгізу процессінде оқушыларға оның мәні дұрыс түсіндіру қажет . Яғни, аксиомада берілген шарттарды қанағаттандыратын жазықтық бар және ол жалғыз. Себебі осы фактілер кейінгі теоремаларды дәлелдеуде қолданылады.
Бір түзудің бойында жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады аксиомасын енгізу процессінде көрнекіліктерді қолданып , әртүрлі жағдайларды қарастыру керек.
Негізгі ұғымдарды және стереометрия аксиомаларын бір сабақта енгізген жөн. Себебі,оқушыларда бірінші рет үш өлшемді кеңістік геометриясы туралы жалпы базалық түсінік болуы үшін.
Стереометрия аксиомаларынан соң оның салдарлары оқытылады. Осы салдарларды оқу процессінде оқушылар жоғарыда өтілген аксиомаларды алғаш қолдана бастайды. Мұнда ескеретін жай, салдар - теоремаларды оқығанда олардың екі бөлімнен тұратыныдығы - бірінші теорема шарттарына сейкес жазықтықтың бар болуын дәлелдеу, екінші ондай жазықтықтың жалғыз болуын дәлелдеу [6].
Математикалық есептердің ішінде геометриялық салу есептері ең ерте заманғысы болуы мүмкін. Салу есептерімен ерте замандағы атақты ғалымдар Пифагор, Гиппократ, Евклид, Архимед және т.б. айналысқан. ХП-ХХ ғасырларда математиканың жаңа бөлімдерінің пайда болуына байланысты,геометрияның салу теориясыда қарқынды дамыды.
Геометриялық салулар оқушылардың ойлау қабілетін дамытуға көп ықпал етеді. Геометриялық фигураны салу ұғымы конструктивтік геометрияның негізгі ұғымдарына жатады, сондықтан оған анықтама берілмейді. Мектепте геометриялық фигураларды салу негізінен сызғыш және циркуль арқылы орындалады.
Сызғыш (бір жақты) арқылы төмендегі геометриялық салуларды орындауға болады: а) екі салынған нүктені қосатын, кесіндіні салу; ә) екі салынған нүкте арқылы өтетін түзуді салу; б) салынған нүктеден шығатын және салынған басқа нүкте арқылы өтетін сәулені салу. Оқушыларға сызғышпен жоғарыда көрсетілген амалдардан басқа амалдар орындауға болмайтынын түсіндіру қажет. Циркуль арқылы: а) шеңбер салуға болады, егер шеңбер центрі және оның радиусына тең кесінді салынса; ә)шеңбердің қосымша доғаларының екеуіне кезкелгенін салуға болады, егер шеңбер центрі және осы доғалардың ұштары салынса.
Салу есебін шешудің мәнісі фигураны салуда ғана емес, оны қалай салуға болатындығын айтып,тиісті дәлелдеулер жүргізуде. Есеп шешілді деп санау үшін, фигураны салудың тәсілі көрсетілуі және осы салу жұмымтарын орындау нәтижесінде шынында да бізге қажетті фигура шығатындығын дәлелдеу керек.
Салу есептерін шешу 4 кезеңнен тұрады: талдау, салу; дәлелдеу; зерттеу. Есепті шығарғанда талдау,салу және зерттеу - неғұрлым маңызды кезең болып саналады. Дәлелдеме көбінесе талдау мен салудан шығады [7].
Талдау. Талдауда берілген фигуралар мен ізделінетін фигура арасындағы байланысты орнатуға әрекет жасалынады. Әдетте, ізделінетін фигураның бейнесін шамамен салып, ондағы есепте берілгендер есеп шартында көрсетілгендермен қандай байланыста екені қарастырылады. Соңынан салу жоспары құрылады.
Салу. Салу жоспар бойынша орындалады.
Дәлелдеу. Салынған фигура есеп шарттарының барлығын қанағаттандыратыны белгілі теоремалар бойынша негізделеді.
Зерттеу. Бұл кезеңде есептің қандай шарттары орындалғанда шешімі бар екені, неше шешімі болатындығы зерттеледі.
Салу есебінің кезеңдері мектеп геометриясы курсының оқулықтарында келтірілмейді, дегенмен мұғалім оларды білуі керек.
Салу есептерін шешудің негізгі тәсілдері - геометриялық орындар тәсілі, геометриялық түрлендірулер (осьтік симметрия, айналдыру (бұру), параллель көшіру, гомотетия) және алгебралық тәсіл. Олардың кейбіреулеріне тоқталып өтелік.
Нүктелердiң геометриялық орны. Нүктелердiң геометриялық орны деп белгiлi бiр қасиетке ие болатын жазықтықтың барлық нүктелерiнен тұратын фигураны айтады.
Егер фигура НГО болса, онда 1) осы фигураның кезкелген нүктесi берiлген қасиетке ие болады және 2) берiлген қасиетке ие болатын нүктелердiң барлығы осы фигурада жатады. Мысалы, шеңбердiң кез келген нүктесi берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта орналасқан және берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта жатқан нүктелердiң барлығы осы шеңберде жатады. Геометриялық орын әдiсiмен есептердi шешу үшiн негiзгi НГО бiлу қажет . Олар мыналар:
1) берiлген екi нүктеден бiрдей қашықтықтағы НГО осы нүктелердi қосатын кесiндiге перпендикуляр және оның ортасы арқылы өтетiн түзу болады;
2)берiлген нүктеден бiрдей қашықтықта жатқан НГО центрi берiлген нүктеде және радиусы берiлген қашықтыққа тең шенбер;
3) бұрыштың қабырғаларынан бiрдей қашықтықтағы НГО, осы бұрыштың биссектриссасы болады;
4) берiлген түзуден бiрдей қашықтықтағы НГО берiлген түзуге параллель және одан бiрдей қашықтыктағы екi түзу;
5) екi параллель түзуден бiрдей қашықтықтағы НГО берiлген түзулерге параллель және олардан бiрдей қашықтықта болатын түзу;
6) АВ кесiндiсi бұрышынан көрiнетiн және АВ түзуiнiң бiр жағында жататын НГО ұштары А және В нүктелерi болатын шеңбер доғасы болады.
Салу есептерiн шешуде пайдаланылатын геометриялық орындар әдiсiнiң мәнiсi мынада. Айталық, салу есебiн шешкенде екi шартты бiрдей қанағаттандыратын Х нүктесiн табу керек болсын. Бiрiншi шартты қанағаттандыратын нүктелердiң геометриялық орны қайсiбiр фигурасы болады, ал екiншi шартты қанағаттандыратын нүктелердiң геометриялық орны қайсiбiр фигурасы болады. Iзделiнетiн Х нүктесi фигурасынада, фигурасынада тиiстi, яғни олардың қиылысу нүктесi болады [8].
Геометриялық орындар әдiсi салу есептерiн шешкенде қолданылады. Мысалы, АВС үшбұрышын үш қабырғасы бойынша салуда, А және В төбелерiн бiле отырып, үшiншi төбесi С-ны табамыз. Ол мынадай шарттарды қанағаттандыруы керек:
1. С нүктесi А нүктесiнен берiлген қашықтықта болуы керек, және
2. С нүктесi В нүктесiнен берiлген қашықтықта болуы керек.
НГО-на берiлген есептердi екi түрге бөлуге болады. Бiрiншi түрге кейбiр фигура берiлген және оның белгiлi бiр шарттарды орындайтын нүктесiн табу талап етiледi . Бұл жағдайда iзделiнiп отырған нүкте төмендегi шарттарды қанағаттандырады: 1) есеп шартында көрсетiлген геометриялық фигурада жатады; 2) барлық нүктелерi белгiлi бiр қасиетке ие болатын фигурада жатады.Екінші түрге, бір мезгілде төмендегі екі шартты қанағаттандыратын нүктені табуды талап ететін есептер жатады: а) барлық нүктелері белгілі бір қасиетке ие болатын F1 фигурасында жатады; ә) барлық нүктелері белгілі бір қасиетке ие болатын F2 фигурасында жатады.
Мысал ретiнде осы түрлерге жататын мынадай салу есептерін қарастыралық.
Есеп1. Бұрыш қабырғаларын қиып өтетiн түзуде, берiлген бұрыш қабырғаларынан бiрдей қашықтықта жататын нүктенi тап(сурет 1).
Талдау: 1) ізделiнетiн Х нүктесi О бұрышының қабырғаларын қиып өтетiн MN түзуiнде жатады.
2) Х нүктесi О бұрышының қабырғалары ОМ және ON дан бiрдей қашықтықта жатады, сондықтан осы шартты қанағаттандыратын НГО-берiлген бұрыштың биссектриссасы болады.
3) ізделiнетiн Х нүктесi MN түзуiмен О бұрышының биссектриссасының қиылысуында жатады.
Салу 1) m - О бұрышының биссектриссасы.
2) Х - MN түзуi мен m биссектриссасының қиысу нүктесi.
Сурет 1. Бұрыш қабырғаларын қиып өтетiн түзу
Есеп 2. Берiлген екi параллель түзуден бiрдей қашықтықта жатқан және берiлген нүктеден берiлген қашықтықта жатқан нүктенi сал(сурет 2).
Талдау: ав-берiлген түзулер. М-берiлген нүкте . d-берiлген қашықтық.
1) ізделiнетiн нүкте Х екi шартты қанағаттандырады:
а) параллель а және в түзулерiнен бiрдей қашықтықта жатады;
б) М нүктесiнен берiлген қашықтықта жатады.
2) Бiрiншi шартты қанағаттандыратын НГО l түзуi а және в-ға параллель және олардан бiрдей қашықтықта жатады.
3) Екiншi шартты қанағаттандыратын НГО шеңбер - радиусы берiлген d қашықтыққа тең, центрi М нүктесi.
4) Iзделiнетiн Х нүкте осы НГО қиылысу нүктесi .
Салу: 1) a мен b түзулеріне параллель және олардан бірдей қашықтықта жататын l түзуін саламыз; 2) Центрі М нүктесі және радиусы d-ға тең шеңбер саламыз; 3) l түзуi мен центрі М нүктесі және радиусы d-ға тең шеңбердің қиылысу нүктелері Х және Y. Бұл ізделініп отырған нүктелер.
Сурет 2. Берiлген екi параллель түзуден бiрдей қашықтықта жатқан және берiлген нүктеден берiлген қашықтықта жатқан нүктенi сал
Жоғарыда көрсетiлген есептер оқушыларда НГО қолданудың жалпыланған тәсiлiн қалыптастыруға көмек болады.
Бірінші түрдегi есептердi шешудiң алгоритмi:
1) ізделiнетiн Х нүктесi жататын геометриялық фигураны салу;
2) есеп текстiне қарап Х нүктесi қанағаттандыратын шартты тұжырымдау;
3) осы шартты қанағаттандыратын НГО атау;
4) аталған НГО салу;
5) берiлген фигурамен НГО қилысуын салу.
НГО берiлген есептердiң екiншi түрiн шешудің жалпыланған тәсілі:
1) есепті талдау негізінде ізделінетін Х нүктесі қанағаттандыратын екі шартты тұжырымдау;
2) бірінші шартты қанағаттандыратын НГО атау;
3) екінші шартты қанағаттандыратын НГО атау;
4) аталынған НГО салу;
5) осы геометриялық орындардың қиылысуынан пайда болатын (нүктені) нүктелерді табу [9].
2 СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ (КЕҢІСТІКТІК) ФИГУРАЛАРДЫ
ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ
2.1 Оқушылардың кеңістіктегі геометриялық есептерді шешуіне ыңғайлы әдіс-тәсілдерді зерттеу. Проекциялау әдісі. Сызбаға қойылатын талаптар
Жазықтықта геометриялық фигураларды кескіндеудің бірнеше әдістері бар. Олар-центрлік проекциялау, параллель проекциялау, ортогональ преокциялау. Геометриялық фигураларды кескіндегенде, фигураның түпнұсқасына қарағанда орналасуы есепке алынбайды, яғни бос кескіні қолданылады.
Фигураларды кескіндеуге қойылатын талаптар: кескін дұрыс, көрнекі, салуға ыңғайлы болуы керек.
Дұрыс чертеж белгілі кеңістіктегі дененің проекциясы болып табылады. Объектінің барлық элементтерінің проекциясы бір ғана проекциялау әдісімен салынған болуы керек.
Көрнекі чертеж, түпнұсқаның дұрыс көрінуін, кеңістікті дұрыс түсінуін дамытуға әсер етеді, есепті шешудің дұрыс жолын табуға жәрдем береді. Сабақ үстінде чертеж оңай және барлық салулар оқушыға түсінікті болып орындалуы керек.
Центрлік проекциялау әдісі. Сызба геометрияда, архитектурада және тағы басқаларда центрлік симметрия проекциялау әдісі қолданылады. Кеңістіктегі фигураларды кескіндеуді центрлік проекциялау әдісі арқылы орындалуы перспектива деп аталады. Осы әдісті қарастыралық.
1. Берілген A нүктесінің кескінін салу үшін жазықтығын және S нүктесін (S) алады. Сонда А нүктесінің кескіні ретінде оны S нүктесімен қосатын түзудің жазықтығымен қиылысу нүктесі А қабылданады
(сурет 3).
Сурет 3. центрлік проекциялау
A=(AS) .
- проекциялау жазықтығы, S - проекциялау центрі, А берілген А нүктесінің центрлік проекциясы деп аталады.
1. Берілген АВ кесіндісінің кескінін салу үшін жазықтығын және S нүктесін (S) алады. Сонан соң А және В нүктелерінің жазықтығындағы
центрлік проекцияларын салады (жоғарыдағы мысалды қара)(сурет 4).
Сурет 4. АВ кесіндісінің кескінін салу
10. Нүктенің центрлік проекциясы нүкте.
20.Жалпы жағдайда түзудің (кесіндінің) проекциясы түзу (кесінді) болады.
Егер түзу (кесінді) проекциялау центрі арқылы өтетін болса, онда ол нүктеге проекцияланады.
Параллель проекциялау әдісі.Параллель проекциялаудың анықтамасы. Параллель проекциялау іс жүзінде көптен қолданылады.Мысалы, жазықтықтағы, кеңістіктегі фигураны жазықтыққа кескіндеу үшін ол төмендегідей анықталады.
жазықтығы және оны қиып өтетін а түзуі берілсін. Кез-келген X нүктесін аламыз. Мұнда мынадай жағдайлар болуы мүмкін(сурет 5):
Сурет 5. Параллель проекциялау
10 а, .
20 а, .
30 , а.
40 а, .
10.Бірінші жағдайда X нүктесінен а-ға паралель а түзуін жүргіземіз, онда а. . нүктесі X нүктесін а түзуіне қарағанда паралель проекциялағандағы жазықтығындағы проекциясы деп атайды (суретті қара).
20.Бұл жағдайда а. 30 Бұл жағдайда X=X. 40 Бұл жағдайда X=X.
-проекция жазықтығы, а-проекция бағыттаушысы немесе проекциялаушы түзулер.(аав...)
Ф фигурасының а түзуіне қарағандағы параллель проекциясы деп сол фигураның барлық нүктесінің параллель проекцияларының Ф1 жиынын айтады.
Паралель проекциялаудың қасиеттері.
Теорема 1.Нүктенің(түзудің) проекциясы нүкте(түзу) болады. Түзудің проекциясы түзу болатындығын дәлелдейміз(жалпы жағдайда)(сурет 6).
Сурет 6. (Нүктенің(түзудің) проекциясы)
1. Аа, а.
2. А1-А-ның, В1-В-ның -жазықтығындағы проекциясы.
3. AA1l,BB1l,AA1BB1.
4. ABB1A1.
5. a1. a1 - түзуі а түзуінің проекциясы болады.
6. Шындығында, нүктесінің проекциясы Xa1 болады және Xa нүктесі X-тің кескіні болады.Сондықтан түзуін проекциялайтын барлық түзулер (АА1,ВВ1,...) а1 түзуін қияды және жазықтығында жатады.
Салдар. Кесіндінің проекциясы кесінді болады (жалпы жағдайда).
Теорема 2.Түзудің кесінділерінің қатынасы олардың проекцияларының қатынасына тең.
Берілгені: - проекциялар жазықтығы; l- проекциялаушы түзу; а түзуі проекциялаушы жазықтықта жатпайды жєне A, B,Cа; а1 түзуі а түзуінің жазықтығындағы проекциясы; A, B,C нүктелерінің жазықтығындағы проекциялары A1,B1,C1 нүктелері жєне A1,B1,C1а1 .
Дәлелдеу керек:
Дәлел: Бұл бүрыштың қабырғаларын пропорционал бөліктерге бөлу теоремасынан шығады.
Салдар: Параллель проекциялағанда кесіндінің ортасы оның проекциясының ортасы болады [10].
Теорема 3. Параллель түзудің проекциялары параллель болады(сурет 7).
Берілгені:l,
l l
Дәлелдеу керек:A1B1M1N1.
Дәлел: lAA1, lBB1, A1 B1
LMM1, lNN1, N1, M1
(AA1B1B) 11
1A
1
Сурет 7. Параллель түзудің проекциялары
Теорема 4. Екі паралель кесіндінің проекциялары ұзындықтарының қатынасы проекцияланаиын кесінділер ұзындықтарының қатынасына тең болады(сурет 8).
Дәлелдеу керек:.
Дәлел: 1. АВ түзуінде BN=ММ саламыз..
7. Онда 20 қасиет бойынша. =
8. BMNN[]-паралллелограмм1N[]=M1N1.
9. .
Сурет 8. Паралель кесіндінің проекциялары
Тік бұрыштап проекциялау әдісі. Параллель проекциялау әдісінің проекция-лау бағыты проекциялар жазықтығына перпендикуляр болып келетін дербес түрі тік бұрыштап проекциялау (ортогональ) деп аталады. Яғни l .
Кесіндінің тік бұрышты проекциясы оның өзінен үлкен болуы мүмкін емес.
АВ1= АВ cos .
Сурет 9. Тік бұрыштап проекциялау
Жазық фигуралардың кескіні. Жазық фигуралардың кескіндерін салу параллель проекциялардың қасиеттеріне негізделген.
Үшбұрыш кескіні. A0B0C0 үшбұрышы кеңістікте орналасқан болсын. Ал, A1 ,B1 ,C1 1-нүктелері A0, B0,C0 нүктелерінің жазықтығындағы кескіні болсын. Кесіндінің проекциясы кес інді болғандықтан, A1B1C1 үшбұрышы (сондай-ақ A1B1C1 үшбұрышына ұқсас кез-келген ABC үшбұрышы) A0B0C0 үшбұрышының кескіні болады(сурет 10.).
Берілген үшбұрыштың кескіні ретінде сызбада кез-келген үшбұрышты алуға болады.
Сурет 10. Үшбұрыш кескіні
Параллелограмның кескіні. Түзулердің параллельдігі параллель проекциялағанда сақталатын болғандықтан, параллелограммның кескіні параллелограмм болады.(квадрат, ромб та сондай).
Сурет 11. Параллелограмның кескіні
Трапецияның кескіні. Табандары А0В0 және С0D0 болған трапецияның кескіні ABCD болады және де параллелограммның қасиеті бойынша
(1),
яғни кескіндегі трапецияның табандары трапеция табандарына пропорционал болады.Трапецияның кескінін қарастыралық(сурет 12).
Ол үшін A0B0C0D0 трапециясын параллелограммға және үшбұрышқа бөлеміз:C0E0A0D0, A0E0C0D0-параллелограмм, C0E0B0-үшбұрыш, A0D0C0E0 - параллелограммның кескіні ретінде ADCE кез-келген параллелограммын аламыз. AE=DC болғандықтан (1) теңдікті былай жазуға болады: (2), (2) пропорцияны пайдаланып, B0 нүктесінің кескіні B-ны саламыз. Ол төмендегі суретте көрсетілген, мұнда AA2=C0D0, AA1=A0B0 .
Салынған ABCD трапециясы A0B0C0D0 трапецияның кескіні болады.Оған (1) пропорция орындалады. Айта кететін жәйт, теңбүйірлі A0B0C0D0 трапециясының кескіні ABCD теңбүйірлі емес трапеция болуы мүмкін,Мұнда теңбүйірлі трапецияның ось симметриясяның кескіні EF түзуі болады,ол AD және BC табандарының ортасы арқылы өтеді,EF кесіндісі теңбүйірлі трапецияның биіктігінің кескіні болады [11].
Сурет 12. Трапецияның кескіні.
Шеңбер кескіні. Шеңбердің параллель проекциясы эллипс болады. Шеңбер эллипстің дербес бір түрі, себебі оның жазықтыққа проекциясы (шеңбер жазықтығына), шеңбер, ол берілген шеңберге тең (сурет 12.).
Параллель проекциялардың қасиеттері бойынша шеңбер центрінің О проекциясы эллипстің симметрия центрі.Бұл нүктені эллипс центрі деп атайды.
Сурет 13. Шеңбер кескіні
0.2 Кеңістік фигураларының кескіні
Призманы кескіндеу және оның қимасын салу.Параллель проекциялаудың ережесіне сәйкес призманың кескінін төмендегідей етіп саламыз. Ең алдымен табандарының бірі Р- ны салады (14- сурет) . Ол қандай да бір жазық көпбұрыш. Сонан соң Р көпбұрышының төбелерінен ұзындықтары бірдей паралелль кесінділер түрінде призманың бүйір қырлары жүргізіледі. Осы кесінділердің ұштары өзара қосылса да, призманың екінші табанын шығарып алады. Көрінбейтін қырларды үзік сызықтармен жүргізеді.
Сурет 14 Сурет 15
Призманың бүйір қырларына паралелль жазықтықтармен қиғанда шығатын қималар параллелограмдар болып табылады. Бұл қималар бір жаққа тиісті емес екі бүйір қыры арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда шығады. (15- сурет)
Призманы кескіндеу және оның қимасы
Іс жүзінде атап айтқанда есеп шығарғанда, көбінесе, призманың бір табанының жазықтығында берілген g түзуі арқылы өтетін жазықтықпен қиғанда пайда болатын призма қимасын салуға тура келеді. Мұндай түзуді қиюшы жазықтықтың табан жазықтығындағы ізі деп аталады. Призманың қимасын салу үшін қиюшы жазықтықтың призма жақтарымен қиылысатын кесінділерін салу жеткілікті. Призманың бетінде жатқан және қимаға тиісті қандай да бір А нүктесі белгілі болғанда осындай қиманы қалай салатынын көрсетейік. (16- сурет).
Егер берілген А нүктесі призманың екінші табанына тиісті болса, онда оның қиюшы жазықтықпен қиылысуы g ізіне паралелль және берілген А нүктесін қамтитын ВС кесіндісі болады (16.а - сурет)
а) б) 16 - Сурет
Егер А нүктесі призманың бүйір жағына тиісті болса, онда осы жақтың қиюшы жазықтықпен қиғандағы қимасын 16.б - суретте көрсетілгендей етіп салады.
Призманың бетінде жатқан және қима
Атап айтсақ: ең алдымен жақтың жазықтығы мен алдын ала берілген g ізі қиылысатын D нүктесін салып алады. Содан соң А және D нүктелері арқылы түзу жүргізіледі. Қарастырып отырған жақтың бетінде жатқан АD түзуінің ВС кесіндісі - осы жақпен қиюшы жазықтықтың қиылысуы. Егер А нүктесін қамтитын жақ g ізіне параллель болса, онда қиюшы жазықтық бұл жақты А нүктесі арқылы өтетін және g түзуіне параллель ВС кесіндісінің бойымен қияды.
ВС кесіндісінің ұштары көршілес жақтарға да тиісті болады. Сондықтан жоғарыда аталған тәсілмен осы жақтардың өзіміздің қиюшы жазықтығымызбен қиылысуын салуға болады, т.с.с.
Пирамидаларды және оның жазық қималарын салу. Паралелль проекциялау ережесіне сәйкес пирамиданың кескінін төмендегідей салады. Ең алдымен табаны салынады. Бұл қандай да бір жазық көпбұрыш. Содан соң пирамиданың төбесін белгілейді де. Оны бүйір қыры арқылы табанының төбесімен қосады, 17- сурет бес бұрышты пирамиданың кескіні көрсетілген [12].
Сурет 17
Бес бұрышты пирамиданың кескіні
Пирамиданы төбесі арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда қималар үшбұрыштар болып келеді (18 - сурет). Дербес жағдайда, диогональдық қималар үшбұрыштар болады. Бұл - пирамиданың көршілес емес екі бүйір қыры арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда шығатын қималар. (19 - сурет).
Жазықтықтың пирамиданың табан жазықтығындағы g ізі берінген жағдайда пирамиданың осы жазықтықпен қиғанда шығатын қимасын призманың қимасын салғандай етіп саламыз. Пирамиданың жазықтықпен қиғандаға қимасын салу үшін, оның бүйір жақтарын қиюшы жазықтықпен қиылысуын салу жеткілікті.
Сурет 18 Сурет 19
Сурет 18 Сурет 19
Пирамиданы төбесі арқылы өтетін жазықтықтармен қиғанда қималар
Егер g ізге паралелль емес жақтың қимағы тиісті қандай да бір А нүктесі белгілі болса, онда қиюшы жазықтықтың g ізінің осы жақ жазықтығымен қиылысуын - 20-суреттегі D нүктесін салады. D нүктесін А нүктесімен түзу арқылы қосады. Сонда осы түзудың жаққа тиікесіндісі осы жықпне қиюшы жазықтықтың қиылысуы болып шығады. Егер А нүктесі g ізіне паралелль жақта жатса, онда қиюшы жызықтық бұл жақты g түзуінепп кесіндінің бойымен қиып өтеді. Көршілес бүйір жаққа ауысып, оның қиюшы жазықтықпен қиылысуын салады және т.с.с. Нәтижесінде пирамиданың қажет болып отырған қимасы шығады [13].
Сурет 20 Сурет 21
21-суретте төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасымен оның бүйір қырларының бірінде жатқан А нүктесі арқылы өтетін жазықтықпен қиғанда қимасы салып көрсетілген. Төртбұрышты пирамиданың табан қабырғасымен оның бүйір қырларының бірінде жатқан
а) б)
Сурет 22
Қималарды салуға арналған есептер. Тетраэдрмен және параллелелипедпен байланысты көптеген геометриялы есептерді шығару үшін суретте олардың әр түрлі жазықтықтармен қимасын сала білу керек. Тетраэдрдың немесе параллелепипедтің қимасы деп нені түсінетінімізге тоқталсақ. Тетраэдрдің (параллелепипедтің) қиюшы жазықтығы деп екі жағында да берілген тетраэдрдің (параллелепипедтің) нүктелері бар кез келген жазықтықты атайық, қиюшы жазықтық тетраэдрдың (параллелепипедтің) жақтарын кесінділер бойымен қиып өтеді. Қабырғалары осы кесінділер болып табылатын көпбұрыш тетраэдрдың (параллелепипедтің) қимасы дел аталады. Тетраэдрдің төрт жағы болғандықтан, оның қимасы
Тетраэдрдің төрт жағы болғандықтан, оның қимасы тек үшбұрыштар мен төртбұрыштар болып табылады (22 - сурет).
а) б) в)
Параллелепипедтің алты қыры бар. Оның қимасы үшбұрыштар (23.а-Cурет 23. Параллелепипедтің қималары
сурет), төртбұрыштар (23.б-сурет), бесбұрыштар және алтыбұрыштар (23.в - сурет) бола алады.
Параллелепипедтің қимасын салған кезде суретте мына жағдайды ескерген жөн: егер қиюшы жазықтық қарама- қарсы екі жақта қандай да бір кесінділер бойымен қисы, онда бұл кесінділер параллель болады. 23.б-суретте қиюшы жазықтық қарама - қарсы екі (сол және оң) жарты AB және CD кесінділер бойымен, ал басқа, қарама - қарсы екі (алдыңғы және артқы) жағы AE және ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz