Мектепте геометрияны оқыту

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 30 бет
Таңдаулыға:

МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ

1
МЕКТЕПТЕ ГЕОМЕТРИЯНЫ ОҚЫТУДЫҢ ҒЫЛЫМИ НЕГІЗДЕРІ

1.1
Мектепте геометрияны оқыту

1.2
Жоғарғы сыныптарда стереометрияны оқыту

2
ЖОҒАРҒЫ СЫНЫП ОҚУШЫЛАРЫНА СТЕРЕОМЕТРИЯЛЫҚ ЕСЕПТЕРДІ ОҚЫТУДЫҢ ӘДІСТЕМЕСІ

2.1
Стереометрияның қиындатылған есептер шешу әдістері

2.2
10-11 сыныпта стереометрияның қиындатылған есептерін шығару

Қорытынды.

Қолданылған әдебиеттер тізімі.

КІРІСПЕ

Еліміздің әлеуметтік-экономикалық дамуын жақсарту қоғамдық өмірдің барлық саласында түбегейлі терең өзгерістер жасауды, ең алдымен, адам санасын шыңдауды, жаңаша ойлар қалыптастыруды, халқының өткен тарихи-мәдени мұраларын игере отырып шығармашылықпен еңбек етуді талап етеді. Қазақстанның ХХІ ғасырда өркениетті әлемнен орын алып, дамыған елдер деңгейіне жетуіне ықпал етер бірден-бір құдірет - білім және білімді ұрпақ. Білім беру жүйесінің барлық буындарына, соның ішінде білім мен тәлім - тәрбиенің негізі бастауыш мектепте қаланса, жалғасын 5-11 сыныпта табады.
Тәуелсіздік және егемендік алуына байланысты, өскелең ұрпаққа білім мен тәрбие беру мәселесін қоғам дамуына қазіргі кезеңнің талаптарынан туындап отырған міндет және мақсаттарға орай жан-жақты жетілдіру қажет болып отыр.
Мектепте оқылатын пәндерден жаңа мемлекеттік стандарт, бағдарламалар жасалып, соларға сәйкес төлтума оқу-әдістемелік жиынтықтар жазылады, демек, оқу-тәрбие процесін ұйымдастырудың жаңа жүйесі мектептердің тәжірибесіне енгізілуде, яғни педагогикалық ғылымның озық идеяларымен жинақталған құнды тәжірибелердің нәтижелері өзгерген және жаңа жағдайларда өзінің қолданысын табуда.
Осындай күрделі мәселенің дұрыс шешілуі ұстаздардың теориялық білімінің және кәсіби мамандығының деңгейіне тәуелді. Сондықтан, оқушыларына тек қана білім берумен шектеліп қалмай, қазіргі заман талабына сай тәлім-тәрбие беретін, яғни халқымыздың тарихы, мәдениеті, салт-санасы, әдеп-ғұрпы, педагогикасымен таныстырып, ой-өрісін, қабілетін жан-жақты дамытуға толық мүмкіндік туғызады.
Еліміз егеменді мемлекет болғалы бері барлық салаларда өзгерістер жүргізіп жатыр. Мұндай өзгерістерден білім беру сапасын да тыс қалған жоқ. Қазіргі білім беру жүйесі әлемдік өркениеттің барлық талабына сай келетін парасатты білім мен біліктілігі жетілген мамандар дайындауды қажет етеді. Сондықтан да Қазақстан Республикасының Білім туралы заңында білім беру жүйесінің міндеті ұлттық және жалпы азаматтық құндылықтар, ғылым мен практика жетістіктері негізінде жеке адамды қалыптастыруға, дамытуға және кәсіби шыңдауға бағытталған білім алу үшін қажетті жағдай жасау екендігі айтылған.
Бұл саладағы еңбектерді, әдебиеттерді талдау - осы бағыттағы зерттеулерді әрмен қарай жан-жақты жалғастыру қажет екенін көрсетеді.
Бұл біздің зерттеу жұмыстарымыздың көкейкестігін көрсетеді.
10-11 сынып оқушыларына стеометрияның қиындатылған есептерін шешудің әдістерін білу, оны сабақта қолдану мәселесі - біздің зерттеу проблемамыз болып табылады.
Зерттеу мақсаты - орта мектептің 10-11 сынып математика курсында стеометриялық элементтерді оқытуда білім беру үрдісінің стеометрияның қиындатылған есептерін шешудің әдістерін білу және оның тиімділігін арттыру, соның негізінде оның әдістемесін жасау.
Зерттеу нысаны - математика курсында стеометрияның қиындатылған есептерін шешудің әдістерін білу және оқыту үрдісі.
Зерттеу пәні - стеометрияның қиындатылған есептерін шешудің әдістерін білу және оқыту үрдісінде әдістемелік нұсқаулықты қолдану.
Зерттеудің ғылыми болжамы - егер 10-11 сынып математика курсында стеометрияның қиындатылған есептерін шешудің әдістемесі жасалып, ол оқу үрдісіне енгізілсе, онда оқушылардың геометриядан алған білімдерінің сапасы артады, өйткені бұл жағдайда стереометрияның қиындатылған есептерін шешудің әдістемесі стереометриялық материалдарды меңгеру барысы арттады, стеометриялық элементтерінің арасындағы байланыстарды дәл анықтауға және де математикалық ұғымдарды қалыптастырудың тиімділігінің артуына, оқушыларда есептер шығару іскерліктері жоғары дәрежеде қалыптасуына жағдай жасалады.
Қойылған зерттеу мақсатына сәйкес, зерттеу болжамын тексеру үшін, зерттеу жұмысының мынандай міндеттерін шешу қажет болды:
10-11 сынып оқушыларының психологиялық-педагогикалық ерекшеліктерін қадағалау;
10-11 сынып оқушыларының геометриялық түсініктерін қалыптастырудың жолдарын жасау;
10-11 сынып математикасындағы геометриялық элементтерді түсіндіру;
10-11 сынып оқушыларына геометриялық түсініктерді дамытуды тәрбиелік - эксперименттік жолмен түсіндіру, әдістемелік нұсқаулар беру;
10-11 сынып оқушыларына геометриялық фигураларды оқытуда дидактикалық мүмкіншіліктерін зерттеу.
Жетекші идея: 10-11 сынып оқушыларының геометриядан алатын білім сапасын арттыруға, жалпы оқу іскерліктері мен дағдыларын қалыптастыруға, оқушылардың кеңістікті елестету қабілетін арттыруға, есептерді шығара білу, өзін-өзі бақылау, бағалау іскерліктерін қалыптастыруға, өздігінен танымдық белсенділіктерін арттыру болып табылады.
Зерттеудің әдіснамалық негіздері: таным, білім, жеке тұлға және оның іс-әрекеті, ақыл-ой, ойлау, құндылық туралы философиялық, психологиялық, педагогикалық теориялар мен тұжырымдамалар, білім сапасын арттыру туралы қағидалар болып табылады.
Зерттеу әдістері: оқушылардың психологиялық-педагогикалық жас ерекшеліктерін зерттеу; геометрия пәні бойынша жасалған оқу бағдарламаларына, оқулықтарға, есептер жинақтарына, әдістемелік құралдарға, ғылыми-әдістемелік негізде талдау жасау; оқушылардың математикалық білім, білік және дағдыларының жайын зерттеу; пән мұғалімдерімен әңгімелесу; тәжірибелік-эксперимент жүргізу; сауалнамалар жүргізу; эксперимент нәтижелерін математикалық статистика көмегімен өңдеу және қорытындылау.
Диссертациялық жұмыстың құрлымы: жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан, пайдаланылған әдебиеттер тізімінен және қосымшалардан тұрады.

1. МЕКТЕПТЕ ГЕОМЕТРИЯНЫ ОҚЫТУДЫҢ ҒЫЛЫМИ НЕГІЗДЕРІ

4.1. Мектепте геометрияны оқыту
Жалпы білім беретін орта мектепте оқытылатын пәндер ішінен геометрия пәнінің орны ерекше. Ол математикалық пәндер тобында оқушылардың білімін тексеретін, бағалайтын, сараптайтын іс-әрекеттердің бәріне қатысады.
Геометрия (көне грекше:γεωμετρία көне грекше: γή - жер және көне грекше: μετρίω - өлшеу) - математиканың кеңістіктік пішіндер (формалар) мен қатынастарды, сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды зерттейтін ғылым саласы. Бұл анықтаманың соңғы жағы, атап айтқанда, ... сондай-ақ, оларға ұқсас басқа да пішіндер мен қатынастарды ... деген бөлігі ұғым анықтамасына кейін қосылған тіркес. Бұл тіркес қайдан және неге шықты?
Математиктер геометрияның даму таризын бес кезеңге бөліп қарастырады.
1-кезең. Ерте заманнан біздің заманымыздың 5 ғасырға дейінгі аралықты қамтиды.
Геометрия дамуының бұл кезеңінде қарапайым геометриялық ұғымдар Мысыр мен Вавилонда, Грекияда, Үндістанда, Қытайда пайда бола бастады. Оларға мыналар жатады: жер өлшеу, геометриялық мәліметтерді астрономияда қолдану, ұзындықтар мен бұрыштарды өлшеу, қарапайым фигуралардың (квадрат, қиық пирамида) ауданы мен көлемін есептеу, дұрыс көпбұрыштардың, қиық конустың ауданын табу, шеңберді 360 градусқа бөлу, есептерді теңдеулерге келтіру, Пифагор теоремасы және т.б.
Қарастырылып отырған кезеңнің соңына қарай Грекияда ғылыммен арнаулы айналысатын оқымыстылар шықты. Олар, тек қана бар мәліметтерді жүйелеп қана қоймай геометриялық тұжырымдарды, сөйлемдерді немесе математикалық тілмен айтқанда теоремаларды дәлелдеуге тырысты.
Бұл кезеңде геометрияның дамуына Фалес, Пифагор, Гиппократ, Демокрит, Феодесий сияқты грек ғалымдары зор үлес қосты. Олар геометрияны кезең соңына қарай ғылым дәрежесіне көтерді. Осы кезеңнің аяғында Гиппократ, Феодесий Геометрия негіздері деген атпен көлемді кітаптар жазды.
2-кезең. Евклидтен Р.Декартқа дейінгі, шамамен екі мың жылға созылған аралықты қамтиды.
Геометрия дамуының бұл кезеңінде геометрия саласындағы ең елеулі жұмыс-ол грек ғалымы Евклидтің өзіне дейінгі математикалық білімдер жүйелеп, жинап, талдап, қорытып, бір ізге түсіріп, біздің заманымыздан бұрын 300 жылы шамасында Негіздер ( Кейбір еңбектерде Бастамалар деп те атайды) атты, 13 бөлімнен, онда 121 анықтама, 5 постулат, 9 аксиома, 373 теорема келтірілген шығарма жазуы дер едік... Аксиоматикалық жолмен құрылған бұл, Евклид геометриясы әлі күнге дейін жалпы білім беретін мектептерде оқытылып келеді.
Сол сияқты бұл кезеңде геометрияның дамуына Архимед (дөңгелектің, парабола сегментінің ауданы, пирамиданың, конустың және шардың көлемі жөніндегі теоремалар), Апполлоний (конустық қималар), Гиппарх, К. Птолемей, Менелай (сфералық геометрия, тригонометрия) үлкен үлес қосты. Жалпы Грекиялық жоғарғы ғалымдардың еңбек істеген уақыттарын грек геометриясының алтын ғасыры деп бағалайды.
Орта Азия мен Қазақстан оқымыстыларынан бұл кезеңде геометриямен шұғылданғандар: Ғаббас әл-Жауhари, Әбу Наср әл-Фараби, Әбу Райхан әл-Бируни, Ғийас әд-Дин Жәмшид әл-Кәши болды.
Екінші кезең соңына қарай геометрия Батыс Еуропада жандана бастады. Бұл кезеңде И.Кеплер мен итальян математигі Б.Кавальеридің еңбектері өмірге келді.
Евклид постулаттары
Евклид (шамамен б.д.д 325 жыл - шамамен б.д.д 256 жыл)
Бірінші постулат: Екі нүкте арқылы тек қана бір түзу жүргізуге болады.
Екінші постулат: Кесінді шексіз жалғаса береді.
Үшінші постулат: Кез келген нүктеден кез келген радиустағы шеңбер сызуға болады.
Төртінші постулат: Барлық тік бұрыштар өзара тең.
Бесінші постулат:Түзуден тыс жатқан нүктеден түзуге параллель бір ғана түзу жүргізуге болады.
3-кезең. Р. Декарттан Н.И.Лобачевскийге дейінгі шамамен 200 жылға созылған аралықты қамтиды.
Геометрия дамуының бұл кезеңіне тән жағдайлар.
Бұл кезеңде геометрияның дамуына француз және неміс математиктері ерекше күш шығарды. Осы уақыт аралығында:
* Координаттар әдісіне сүйенген, негізін француз математиктері Р.Декарт пен П.Ферма қалаған аналитиклық геометрия;
* Негізін француз математиктері Ж. Дезарг, Б.Паскаль, Ж.Понселе, неміс математигі К.Штадут, швейцар математигі Я.Штейнер қалаған проективтік геометрия;
* Негізін француз математигі Г.Монж қалаған сызба геометриясы (Бұл геометрия бір жағынан проективтік геометрияның бір бөлімі болып та есептелінді);
* Негізін неміс математигі Эйлер мен француз математигі Г.Монж қалаған дифференциалдық геометриялар өмірге келді.
4-кезең.Лобачевский еңбектерінен басталады.
Геометрия дамуының бұл кезеңіне тән жағдайлар:
Орыс ғалымы Лобачевский 1829 жылы Евклидтің бесінші постулатын қарсы жору арқылы, яғни Түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы түзуге кем дегенде екі параллель түзу жүргізуге болады деген тұжырымды дәлелдеу барысында ешбір қарама-қайшылыққа кездескен жоқ. Осы жағдайдың негізінде үш түрлі пайымдау жасады.
1. Евклид геометриясы болуға тиіс және ол бірден-бір геометрия емес;
2. Аксиомаларды өзгертіп, жаңа геометрия жасауға болады;
3. Нақты кеңістікке қандай геометрия сәйкес келетіндігін тәжірибе көрсетеді.
Бұл шын мәнінде геометрия тарихындағы революция еді. Демек, екі мың жыл бойы Евклидтік геометриядан басқа геометрия жоқ делінген қағида бұзылды. Бұл жағдайлар неміс математигі Гаусс пен венгр математигі Я.Больяйда жақын келді.
Осы кезеңде, бесінші постулат орнына өз аксиомасын ұсынған неміс математигі Ф.Б.Риман, Риман геометриясының немесе эллипстік геометрияның негізін қалады.
Лобачевский геометриясы немесе Гиперболалық геометрияда:
1. Түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы түзуге өте көп параллель түзу жүргізуге болады.
2. Үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 градустан кем
3. Пифагор теоремасы орындалмайды және т.б.
4. Риман геометриясы немесе эллипстік геометрияда (Бұл геометрияны, сфералық геометрия, жер беті геометриясы, аспан денелері геометриясы деп те атайды):
5. Түзуден тысқары жатқан нүкте арқылы түзуге параллель түзу жүргізуге болмайды.
6. Үшбұрыштардың ішкі бұрыштарының қосындысы 180 градустан артық
Лобачевский және Риман геометриялары Евклид геометриясын теріске шығармайды. Бірақ, олар белгілі бір кеңістіктерде ғана орындалады, ол барлық кеңістіктер үшін әмбебап геометрия емес. Сол үшін олар жекелеген кеңістіктер үшін Евклид геометриясынан басқа да геометриялар бар деп тұжырымдайды. Лобачевчкий идеялары геометрияның жалпылануына және олардың одан әрі дамуына кең жол ашты. Соның негізінде, геометрия тағы да сараланып, топология, көп өлшемді кеңістіктер геометриясы, көпбейнеліктер геометриясы және тағы басқа салаларға бөлінді.
5-кезең. Қазіргі геометрия
Қазіргі геометрияға тән жағдайлар: кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды. Ол, табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда қуатты құрал болып табылады. Ол математикалық анализге, механикаға, физикаға, астрономияға, геодезияға, картографияға, кристаллографияға, тағы басқа ғылымдардың дамуына айтарлықтай ықпал етуде.
Қазіргі Геометрия, кеңістік пен фигураны жиын ұғымы арқылы анықтайды. Ондағы кеңістік әдеттегі қатынастар сияқты анықталған элементтердің жиыны ретінде қарастырылады. Табиғатты зерттеуде, техниканы дамытуда маңызды құрал- геометрия. Геометрия түрлі ғылымдарға маңызды ықпал етеді: математикалық анализ, механика, физикa, астрономия, геодезияға, кристаллография, картография, және тағы басқа.
Мектеп геометрия курсын құру туралы әр түрлі пікірлер бар және оларға сәйкес оқулықтар да жазылуда, бірақ ешқандай ортақ келісімге келген жоқ. Біреулерді геометрияны алгебраландыруды, яғни координаталық әдісті кең түрде қолдануды ұсынады. Екінші біреулері геометрия курсын геометриялық түрлендірулер идеясы негізінде құруды, ал үшіншісі геометриялық ұғымдарды вектор негізінде түсіндіруді жақтайды. Дедуктивті-аксиоматикалық жүйеде және жоғары логикалық деңгейде құрылған геометрия курсының 2000 жылдан артық үлгісі болып келген Евклидтік геометриядан мектепте, әсіресе мектептің жоғары сыныптарында тіптен бас тартуға шақырып жататындар да бар.
Осындай жағдайда Евклидтің Бастамаларының негізін сақтап (А.П.Киселевтың оқулығы), оны жетілдірген А.В.Погорелов және Л.С.Атанасян және т.б. қаламдастығымен жазылған оқулықтарды басшылыққа алып жарық көрген төл оқулықтарымыз Евклидтік геометрияны - геометриялық білімдердің алғашқы қалыптасу көзі және даму болашағаның бастауы ретінде алған. Бұл білімдердің шындық дүниенің кеңістіктік қасиеттерін дұрыс бейнелейтіндігі және оны зерттеп-білудегі қажеттілігі адамзаттың мыңдаған жылдар бойы практикалық қызметі нәтижесінде дәлелденген.
Евклидтің Бастамалары негізінде оқушылардың алған ғылыми білімдері кеңістікті дұрыс есептеуге, кеңістік пен уақыттың өзара байланысын терең түсінуге, интелектуалдық қабілеттерін дамытуға игі әсерін тигізіп отырды. Осы білімдер негізінде Циолковский ғарышта ұшуды есептеді, ал Лобачевский шындық кеңістіктің жаңа моделін жасады, соның негізінде Эйнштейн өзінің салыстырмалы теориясын ашты т.с.с [6].
Қазіргі мектеп геометрия курсы үшбұрыштардың теңдік және ұқсастық белгілер әдісі, тригонометриялық және алгебралық әдістер сияқты дәстүрлі әдістерді қолданумен бірге, аксиоматикалық әдісті, геометриялық түрлендірулер әдісін, координаталық және векторлық әдісті, математикалық талдау әдісінің элементтерін де пайдаланады.
1.2 Жоғарғы сыныптарда стереометрияны оқыту
Стереометрияның жүйелі курсы планиметрия курсы құрылған схема бойынша құрылады:
Анықтама берілмейтін негізгі ұғымдар айтылады.
Негізгі ұғымдардың қасиеттері айтылған аксиомалар тұжырымдалады.
Негізгі ұғымдардың көмегімен басқа геометриялық ұғымдардың анықтамалары тұжырымдалады.
Анықтамалар мен аксиомалар негізінде теоремалар дәлелденеді.
Стереометрияда негізгі ұғым төртеу: нүкте, түзу, жазықтық және қашықтық. Жиын ұғымы да негізгі ұғым болып табылады, ол тек геометрияда ғана емес, математиканың барлық басқа бөлімдерінде де солай.
Геометрияда қандай да болмасын нүктелер жиынын фигура деп атайды. Фигураның қарапайым мысалы - түзу мен жазықтық.
Жазықтықты параллелограмм немесе қандай да бір жазық фигура түрінде кескіндейміз (1, 2-сурет). Жазықтықты әдетте гректің т.с.с. әріптерімен белгілейді. Ал нүктелер мен түзулер үшін планиметриядағы белгілеулерді сақтап қаламыз: ... нүктелері, ...,сондай-ақ (АВ), (АС) т.с.с. түзулері.
Егер А нүктесі жазықтығына тиісті болса, онда:
жазықтығы А нүктесі арқылы өтеді (немесе жүргізілген) деп айтылады (1-сурет). А нүктесі тиісті болатын түзуіне қатысты да сондай терминдер қолданылады.

Стереометрияда қарастырылатын барлық нүктелердің жиыны кеңістік деп аталады. .А
.А

1-сурет 2-сурет

2. Стереометрия аксиомаларында анықталмайтын ұғымдардың: нүкте, түзу, жазықтық пен ара қашықтықтың негізгі қасиеттері өрнектелген. Стереометрия аксиомалары кеңістік қасиеттерін өрнектейді.
А к с и о м а-1: Кемінде бір түзу және кемінде бір жазықтық болады. Әрбір түзу және әрбір жазықтық дәлме-дәл келмейтін бос емес нүктелер жиыны болады.
1-аксиомадан кез келген жазықтығы үшін тиісті емес нүктесі болатындығы шығады (3-сурет). Мұндай жағдайда нүктесі жазықтығынан тыс алынған дейді де, былай жазады: .
.

3-сурет
А к с и о м а-2. Кез келген әр түрлі екі нүкте арқылы бір, тек бір ғана түзу өтеді.
А к с и о м а-3. Жазықтықтың әр түрлі екі нүктесі арқылы өтетін түзу сол жазықтықта жатады.
түзуі жазықтығында жатыр дегенді, басқаша айтқанда, жазықтығы түзуі арқылы өтеді дегенді деп белгілейді.
(3-сурет)
В

А

А

a
147-сурет
4-сурет
Егер түзу мен жазықтықтың ортақ бір нүктесі болса, онда түзу жазықты осы нүктеде қияды дейді. (4-сурет)
А к с и о м а-4. Бір түзуге тиісті емес үш нүкте арқылы бір, тек бір ғана жазықтық өтеді.
M
a
M
a
Бір түзуге тиісті емес , , нүктелері арқылы өтетін жазықтығын () түрінде де белгілейді (5-сурет)
. А . В

. С

рп
. А . В

. С

рп
5-сурет

6-сурет
А к с и о м а-5. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі болса, онда олардың қиылысуы түзу болады.
Қиылысуы түзу болатын екі жазықтық (6-сурет) қиылысатын жазықтықтар деп аталады.
А к с и о м а-6. Кез келген және екі нүкте үшін -дан -ге дейінгі қашықтық деп аталатын теріс емес шама болады. қашықтығы тек және нүктелері дәл келіп беттескен жағдайда ғана нольге тең болады.
А к с и о м а-7. нүктесінен нүктесіне дейінгі қашықтық нүктесінен нүктесіне дейінгі қашықтыққа тең болады.
А к с и о м а-8. Кез келген , , , үш нүкте үшін -дан -ге дейінгі қашықтық -дан -ге және -ден -ге дейінгі қашықтықтардың қосындысынан артық емес.

А к с и о м а-9. Әр жазықтық үшін планиметриядан белгілі реттік, жазықтықтың қозғалғыштығы және параллель түзулер аксиомалары орындалады.
Жоғарыда қабылданған аксиомалардан әр жазықтықта планиметрияның теоремаларын қолдануға болатындығы шығады.

3. 1-с а л д а р. Түзу мен оған тиісті емес нүкте арқылы бір, тек бір ғана жазықтық жүргізуге болады.
Дәлелдеуі: түзуі және онда жатпайтын нүктесі берілсін (7-сурет).
және нүктелері арқылы түзу
жүргізейік (аксиома-2). нүктесі түзуінде жатпайтындықтан және түзулері әртүрлі. 7-сурет
Сонымен қатар , , нүктелері бір түзудің бойында жатпайды. Олай болса, аксиома-4 бойынша жазықтығын жүргізуге болады. , , нүктелері жазықтығында жатқандықтан , түзулері де осы жазықтыққа тиісті екені белгілі. Бұл түзулердің ортақ нүктесі болғандықтан, олар қиылысатын түзулер.
2-с а л д а р. Қиылысатын екі түзу арқылы бір, тек бір ғана жазықтық жүргізуге болады.
3-с а л д а р. Әр түрлі екі параллель түзу арқылы тек бір ғана жазықтық жүргізуге болады.
Біз кеңістіктегі және екі түзу қиылысушы немесе параллель болуы мүмкін екендігін бұрыннан білеміз. Сонымен қатар екі түзудің кеңістікте өзара орналасуының стереометрияға тән жағдайы болады.
А1
В1
D1
C1
А
В
D
C
А1
В1
D1
C1
А
В
D
C
Анықтама. Екі түзу әрі қиылыспаса, әрі параллель болмаса, олар айқас түзулер деп аталады. Айқас түзулердің мысалын практикада
өте көп кездестіруге болады. Мысалы,
сынып бөлмесінің
қабырғаларының қырларынан, кубтың
қырларынан (8-сурет) кезіктіруге
болады. Мысалы, кубтың
қырымен айқас болатын қырлары , .
Т е о р е м а-1. Егер екі түзудің біреуі 8-сурет
жазықтықта жатып, ал екіншісі бұл жазықтықты бірінші түзуге тиісті емес нүктеде қиса, олар айқас түзулер болады.
Түзу мен жазықтықтың өзара орналасуының екі жағдайы бізге бұрыннан белгілі:
1) егер түзудің екі нүктесі жазықтыққа тиісті болса, онда ол түзу жазықтықта жатады;
2) егер түзу мен жазықтықтың жалғыз ғана ортақ нүктесі болса, онда ол түзу мен жазықтық қиылысады;
3) Ø. Екі түзудің өзара орналасуын қарастырғандағыдай, бірінші мен үшінші жағдайларды біріктіреміз.
Анықтама. Егер түзу мен жазықтықтың ортақ нүктесі болмаса немесе түзу жазықтықта жатса, олар параллель деп аталады.
а
а1
1
а
а1
1
Түзу мен жазықтықтың параллельдігін белгілеу: немесе .
Түзу мен жазықтықтың мынадай параллельдік белгісі бар:
Т е о р е м а. Егер түзу жазықтықта жатқан
қандай да бір түзуге параллель болса, онда берілген
түзу мен жазықтық параллель болады.
9-сурет
Дәлелдеуі: түзуі жазықтығынан тыс жатсын,
ал түзуі жазықтығында жатқан түзу болсын (9-сурет).

Сонымен қатар . Параллель екі түзу және арқылы жазықтығын жүргіземіз. және жазықтықтарының қиылысу сызығы түзуі болады. Егер түзуі жазықтығын қиса, онда қиылысу нүктесі түзуінің бойында болар еді. болғандықтан бұлай болуы мүмкін емес. Сонымен түзуі жазықтығымен қиылыспайды, яғни түзуі жазықтығына параллель болады.
Т е о р е м а. (кері). Егер жазықтық екінші жазықтыққа параллель түзу арқылы өтіп және оны қиятын болса, онда жазықтықтардың қиылысу сызығы берілген түзуге параллель болады.
Т е о р е м а. Егер параллель екі түзудің әрқайсысы арқылы жазықтық жүргізіліп және ол жазықтықтар қиылысса, онда олардың қиылысу сызығы берілген түзулердің әр қайсысына параллель болады.
Дәлелдеуі: түзуі түзуіне параллель болсын (10-сурет), түзуі арқылы жазықтығы, түзуі арқылы жазықтығы жүргізілген, мұнда және жазықтықтарының қиылысу сызығы түзуі болады. және екендігін дәлелдейміз. Түзу және жазықтықтың параллельдік белгісі бойынша түзуі жазықтығына параллель екендігі жайлы қорытынды жасаймыз, бірақ онда болады. Осылайша екендігі шығады.
Т е о р е м а. Егер екі түзу үшінші түзуге параллель болса, онда олар өзара парллель болады.
c
b
a
M
N
c
b
a
M
N
Дәлелдеуі: және болсын, мұнда , және бір жазықтықта жатпайды (11-сурет), түзуінен қандай дабір нүктесін аламыз. мен және менарқылы сәйкесжәне
* жазықтықтарынжүргіземіз; алдыңғы

10-сурет
теорема бойынша осы жазықтықтардың қиылысу сызығы түзуіне әрі түзуіне параллель. нүктесі арқылы түзуіне параллель болатын әр түрлі екі түзу жүргізуге болмайды, сондықтан және түзулері дәл келіп беттеседі. Ал болғандықтан, болады.
, , түзулері бір жазықтықта жататын жағдай планиметрияда қарастырылған болатын.
2. Екі жазықтықтың өзара орналасуының екі жағдайы бізге белгілі. Егер екі жазықтықтың:
1) түзуге тиісті емес ортақ үш нүктесі болса, онда олар беттеседі (аксиома-4);
2) олар әр түрлі болып және ортақ нүктесі болса, онда олар қиылысады (аксиома-5 ).
Екі жазықтықтың өзара орналасуындағы олардың ортақ нүктесі болмайтын үшінші жағдайы болуы мүмкін екендігін көрсетеміз.
Анықтама. Егер екі жазықтықтың ортақ нүктесі болмаса немесе олар беттесетін болса, онда олар параллель жазықтықтар деп аталады.
және жазықтықтарының параллельдігін белгілеу: .
Т е о р е м а. (екі жазықтықтың параллельдік белгісі). Егер бір жазықтықтың қиылысатын екі түзуі екінші
11-сурет M
c
B1
B
a1
b1
b
a
M
c
B1
B
a1
b1
b
a

b
c
b
c

12-сурет
a1
b1
b
a
B1
B
a1
b1
b
a
B1
B
жазықтықтың сәйкес екі түзуіне параллель болса, онда бұл жазықтықтар параллель болады. Дәлелдеуі: және түзулері
жазықтығында жатып, нүктесінде
қиылсын. Ал және түзулері 13-сурет
жазықтығында жатып нүктесінде қиылсын (12-сурет). және жазықтықтары қиылссын деп қарсы жориық, яғни болсын.
Сонда шығатыны:
болғандықтан, теорема-4 бойынша болады.
болғандықтан болады.
Параллель түзулер аксиомасына қайшылық келіп шықты. Демек, .
және жазықтықтары дәл келіп беттесуі
мүмкін (13-сурет). Бұл жағдайда параллельдік
белгісі тура болады, өйткені жазықтықтардың беттесуі
олардың параллельдігінің дербес жағдайы.
b
a
b
a
Т е о р е м а. Егер екі параллель жазықтық үшінші жазықтықпен қиылысса, онда қиылысу сызықтары параллель болады. (14-сурет). Т е о р е м а. Берілген нүкте арқылы
берілген жазықтыққа параллель бір,
тек бір ғана жазықтық жүргізуге болады.
Салдар. Егер берілген екі
жазықтықтың әрқайсысы үшінші
жазықтыққа параллель болса, 14-сурет
онда берілген екі жазықтық өзара
параллель болады.
3. Анықтама. Егер түзу жазықтықта жатқан әрбір түзуге перпендикуляр болса, онда ол түзу мен жазықтық өзара перпендикуляр деп аталады.
түзуі мен жазықтығының перпендикулярлығы былай белгіленеді: немесе (15-сурет).
a
b1
b2
a
b1
b2

15-сурет
Т е о р е м а. (түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық белгісі). Егер түзу жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзудің әрқайсысына перпендикуляр болса, онда бұл түзу мен жазықтық өзара перпендикуляр болады.
Дәлелдеуі: түзуі жазықтығындағы қиылысушы және түзулерінің әрқайсысына перпендикуляр болсын, яғни , сонымен қатар түзуі мен түзулерінің қиылысу нүктесі арқылы өтсін. түзуінің жазықтығына перпендикуляр екенін дәлелдейміз.
A1
A2
a
b
x
c
A
B
X
C
A1
A2
a
b
x
c
A
B
X
C

нүктесі арқылы жазықтығында кез келген түзуін жүргізіп, түзуінің осы түзуіне перпендикуляр екенін көрсету керек. жазықтығында нүктесі арқылы
өтпей , , түзулерін қиятын түзу жүргізейік.
Бұл түзу үшін , , түзулерін сәйкес , ,
нүктелерінде қисын (16-сурет).

16-сурет

түзуінің бойынан қарама-қарсы бағытта кесіндісін саламыз. Теореманың шарты бойынша болғандықтан кесіндісі теңбүйірлі үшбұрыш. Дәл осылайша теңбүйірлі үшбұрыш. Сондықтан (үшбұрыштар теңдігінің үшінші белгісі).
Бұл үшбұрыштардың теңдігінен шығады. Олай болса, (үшбұрыштар теңдігінің бірінші белгісі). Бұл үшбұрыштардың және қабырғаларының теңдігінен ( ) теңбүйірлі үшбұрыш болады. Сондықтан оның медианасы әрі биіктік болады, яғни . Бұл түзуі мен түзуіне перпендикуляр екенін көрсетеді. Олай болса, түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының анықтамасы бойынша түзуі жазықтығына перпендикуляр болады.
Т е о р ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.