Сандық қатарлар

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 11 бет
Таңдаулыға:

К. Сағадиев атындағы Халықаралық Бизнес Университет

РОС

Тақырыбы: «Сандық қатарлар. Қатар жиынтығының қажетті және жеткілікті шарты. Коши Белгісі»

Орындаған: Нургожа Перизат

1 курс студент, 22. 200 группа

Мамандық: Digital marketing

Ғылыми жетекші : Гусманова Фарида Равиловна

Алматы 2023

Жоспар

I. КІРІСПЕ . . . 3

II. НЕГІЗГІ БӨЛІМ

Негізгі ұғымдар мен анықтамалар . . . 4

Қатар жиынтығының қажетті және жеткілікті шарты . . . 6

Коши белгісі . . . 8

Сандық қатар теориясы мен Коши белгісін қолдану мысалдары . . . 10

III. ҚОРЫТЫНДЫ . . . 12

IV. ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ . . . 13

Кіріспе

Сандық қатарлар-бұл белгілі бір санның немесе функцияның сандық ыдырауы арқылы пайда болатын сандар тізбегі. Олар математика, информатика, физика және техника сияқты көптеген салаларда қолданылады. Қарастырылып отырған сандар жиынтығын сандық қатар деп атауға болатындай етіп, осы тізбектің әрбір саны белгілі бір сандық санау жүйесінде көрсетілуі керек. Жеткілікті шарт-бұл серия элементтердің қосындысы ретінде ұсынылуы керек, олардың әрқайсысы сандық жүйенің базасын белгілі бір дәрежеде құру және осы дәрежені бастапқы санның сәйкес цифрына көбейту арқылы алынады. Коши белгісі, өз кезегінде, функцияның шегін сипаттау үшін қолданылатын математикалық талдаудың негізгі құралдарының бірі болып табылады. Бұл сандық қатарлардың конвергенциясын талдау және олардынойам түрде ұсыну үшін пайдалы болуы мүмкін.

Ақпараттық технологиялар саласында Коши белгісін, мысалы, бағдарламалауда қолданылатын алгоритмдердің күрделілігін бағалау үшін қолдануға болады. Бұл алгоритмнің деректердің үлкен көлемінде қаншалықты жылдам жұмыс істейтінін анықтауға және оны ең жақсы өнімділікке жету үшін оңтайландыруға мүмкіндік береді.

Негізгі ұғымдар мен анықтамалар

Сандық қатар - бұл шексіз қосынды ретінде ұсынылуы мүмкін белгілі бір ретпен жазылған сандар тізбегі. Сандарды кез-келген санау жүйесінде жазуға болады, бірақ ондық жүйе жиі қолданылады. Сандық қатардың мысалы ретінде 0. 123456789101112131415 қатарын келтіруге болады . . . Бұл қатар 0-ден 9-ға дейінгі барлық сандардан тұрады, содан кейін 10-нан 15-ке дейінгі сандар дәйекті түрде жазылады. Мұндай қатарды шексіз кіші сандарды көрсету немесе иррационал сандарды құру үшін пайдалануға болады. Сандық сериялардың математикада және ғылым мен техниканың басқа салаларында көптеген маңызды қосымшалары бар. Мысалы, олар шексіз қатарлардың қасиеттерін жиі зерттейтін сандар теориясында, функцияларды сипаттау үшін қатарлар қолданылатын математикалық талдауда, сондай-ақ деректерді кодтау және беру үшін сандық қатарларды пайдалануға болатын ақпарат теориясында қолданылады. Және сандық қатарлар теориясындағы маңызды міндет-шексіз қатардың жақындасатын немесе бөлінетін жағдайларын анықтау. Ол үшін қатардың толықтығы, Коши белгісі және қатарлардың конвергенциясын талдаудың әртүрлі әдістері сияқты ұғымдар қолданылады.

Қатардың толықтығы - бұл сандық қатарлар теориясының тұжырымдамасы, бұл қатардың барлық мүшелерінің шексіз қосындысын берілген дәлдікпен есептеуге болатындығын білдіреді. Ресми түрде, егер кез-келген берілген эпсилон саны нөлден үлкен болса, онда n саны бар, сондықтан барлық n сандары үшін n-ден үлкен, серияның алғашқы N мүшелерінің қосындысының абсолютті мәні ("жеке сомалар" деп аталады) эпсилоннан аз болады. Бұл дегеніміз, кез-келген дәлдікпен қатардың қосындысын қосу үшін жеткілікті үлкен серия мүшелерін таңдау арқылы есептеуге болады. Қатардың толықтығы сандық қатарлар теориясындағы маңызды ұғым болып табылады, өйткені ол шексіз қатарды берілген дәлдікпен есептеуге болатынын немесе болмайтынын анықтауға мүмкіндік береді. Мысалы, егер қатар толық болса, онда оны шексіз кіші сандарды көрсету немесе иррационал сандарды құру үшін пайдалануға болады. Дегенмен, барлық шексіз жолдар толық емес. Мысалы, гармоникалық сандар қатары 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + . . . толық емес, яғни оның қосындысын дәл есептеу мүмкін емес. Мұндай жағдайларда қатардың конвергенциясын бағалау және шамамен соманы алу үшін шамамен әдістер қолданылады.

Коши белгісі - бұл сандық қатар теориясындағы шексіз қатардың жақындасуын немесе алшақтығын анықтауға мүмкіндік беретін құрал. Бұл әдісті алғаш қолданған математик Август Кошидің есімімен аталады. Ресми түрде, Коши белгісі an жалпы мүшесімен шексіз қатар үшін келесідей анықталады: lim inf an^(1/n) мұндағы lim inf жолдың төменгі шегін білдіреді және an / жолдың жалпы мүшесінің абсолютті мәнін білдіреді. Егер Коши белгісі нөлге тең болса, онда серия мүлдем жинақталады, яғни. оның мүшелерінің кез-келген ауысуы үшін жинақталады. Егер Коши белгісі шексіздікке тең болса, онда қатар әр түрлі болады. Егер Коши белгісі нөлден шексіздікке дейінгі аралықта болса, онда оның жалпы мүшелерінің қасиеттеріне байланысты қатар бір-біріне жақындауы немесе бөлінуі мүмкін. Коши белгісі шексіз қатарлардың конвергенциясын анықтаудың күшті құралы болып табылады, өйткені ол қатардың конвергенциясы немесе дивергенциясы туралы сұраққа жауап бере алады, оның барлық мүшелерінің қосындысын есептеуді қажет етпейді. Ол сонымен қатар күрделі математикалық модельдерді талдау үшін пайдалы болуы мүмкін қатардың конвергенция жылдамдығын бағалауға мүмкіндік береді.

Қатар жиынтығының қажетті және жеткілікті шарты

Қатар жиынтығының толықтығы туралы жалпы түсінік - оның барлық мүшелерінің шексіз қосындысын кез-келген дәлдікпен есептеуге болады. Егер қатар толық болса, онда кез-келген берілген Сан үшін эпсилон нөлден үлкен N нөмірін табуға болады, сондықтан барлық n сандары үшін n-ден үлкен, серияның алғашқы N мүшелерінің қосындысының абсолютті мәні эпсилоннан аз болады. Осылайша, егер қатар толық болса, онда ол кез-келген дәлдікпен табуға болатын соңғы сомаға ие, оны қосу үшін жеткілікті үлкен серия мүшелерін таңдау арқылы. Қатардың толықтығы Математикалық талдау мен сандық қатарлар теориясындағы маңызды ұғым болып табылады. Бұл шексіз қатарды дәл есептеуге болатындығын немесе болмайтынын және оны есептеу кезінде қандай дәлдікке қол жеткізуге болатындығын анықтауға мүмкіндік береді. Сонымен қатар, шексіз қатарлар арқылы берілген функциялардың қасиеттерін анықтау үшін қатар жиынтығын пайдалануға болады. Егер қатар толық болса, онда оны шексіз кіші сандарды көрсету немесе иррационал сандарды құру үшін пайдалануға болады. Дегенмен, барлық шексіз қатарлар толық емес және кейбір қатарлар үшін олардың қосындысын есептеудің немесе олардың конвергенциясын бағалаудың шамамен әдістері ғана бар.

Қатар жиынтығының толықтығының қажетті шарты - оның конвергенциясы. Егер шексіз қатар біріктірілмесе, онда ол толық бола алмайды. Осылайша, серия толық болуы үшін ол конвергентті болуы керек. Алайда, қатардың конвергенциясы оның толықтығына кепілдік бермейді, өйткені конвергентті қатарда оның мүшелерін қосу тәртібіне байланысты әр түрлі сомалар болуы мүмкін. Мысалы, ∑(-1) ^n/n қатары Лейбництің белгісі бойынша конвергентті, бірақ оның қосындысы екі Логарифмге тең, егер оның мүшелері белгілі бір ретпен қосылса ғана. Осылайша, конвергенция сериялардың толықтығының қажетті, бірақ жеткіліксіз шарты болып табылады. Серияның толық болуы үшін серияның жалпы мүшесінің қасиеттеріне байланысты өзгеруі мүмкін қосымша шарттарды орындау қажет.

Қатардың толықтығының жеткілікті шарты-Коши шартын орындау. Егер кош an шексіз қатары үшін Коши шарты орындалса, онда бұл қатар толық болады. Коши шартында кез-келген берілген эпсилон саны үшін нөлден үлкен N нөмірін табуға болады, бұл барлық m және n сандары үшін N-ден үлкен, M-M және n-m мүшелері арасындағы қатар мүшелерінің қосындысының абсолютті мәні эпсилоннан аз болады. Басқаша айтқанда, Коши шартын орындау кезінде шексіз қатарды оның мүшелерінің кез келген ақырлы санының қосындысымен қалағаныңызша дәл бағалауға болады. Бұл шарт жеткілікті, өйткені ол шексіз қатарды ішінара қосындылармен қалағаныңызша дәл жақындатуға мүмкіндік береді. Егер Коши шарты орындалса, онда серияның ақырғы қосындысы бар және бұл соманы кез-келген дәлдікпен табуға болады деп айтуға болады. Осылайша, конвергенция және орындау Коши шарттары қатардың толықтығының қажетті және жеткілікті шарттары болып табылады. Егер серия осы шарттарды қанағаттандырса, онда біз оның түпкілікті сомасы бар екеніне кепілдік бере аламыз және оны кез-келген дәлдікпен есептеуге болады.

Коши белгісі

Коши белгісі - шексіз қатарлардың конвергенция жылдамдығын бағалау әдісі. Ол өз атын француз математигі Августин Луи Кошидің құрметіне алды.

an шексіз сериясы үшін Коши белгісі келесідей анықталады:

Егер INF (an+1/an) шегі n → ∞ болса және ол біреуден аз болса, онда серия мүлдем конвергентті болады.
Егер INF (an+1/an) шегі n → ∞ болғанда және ол біреуден үлкен болса, онда серия әр түрлі болады.
Егер бұл тізбектің шегі бір болса, онда Коши белгісі қатардың конвергенциясы немесе дивергенциясы туралы ақпарат бермейді.

Коши белгісі қатарлардың конвергенциясын зерттеуде пайдалы құрал болып табылады, өйткені ол қатардың конвергентті, дивергентті екенін немесе оның конвергенциясын зерттеу үшін басқа әдістерді қолдану қажет екенін анықтауға мүмкіндік береді. Алайда, Коши белгісі қатарлардың конвергенциясын бағалау әдістерінің бірі ғана екенін және кейбір жағдайларда дұрыс емес нәтиже беруі мүмкін екенін есте ұстаған жөн. Сондықтан, қатарлардың конвергенциясын зерттеу кезінде дәлірек нәтиже алу үшін Даламбер белгісі, Коши-Маклорен белгісі және т. б. сияқты басқа әдістерді қолдану қажет.

Коши белгісі - шексіз қатарлардың конвергенциясын зерттеу әдістерінің бірі. Оның келесі қасиеттері бар:

Егер кош an қатарының Коши белгісі нөлге тең болса, онда қатар бір-біріне жақындауы да, бөлінуі де мүмкін.
Егер кош an сериясы үшін Коши белгісі бар болса және біреуден аз болса, онда серия мүлдем конвергентті болады.
Егер кош an қатарына арналған Коши белгісі біреуден көп болса, онда қатар әр түрлі болады.
Егер кош an қатарының Коши белгісі бір болса, онда қатар бір-біріне жақындауы да, бөлінуі де мүмкін.
Коши белгісі жол элементтерінің орналасу тәртібіне байланысты емес.
Егер ряд an қатары шартты түрде жақындаса, онда оған Коши белгісі жоқ.
Егер кош an сериясы үшін Коши белгісі бар болса, онда бұл Далмерберге қарағанда конвергенцияның жалпы белгісі.
Коши белгісі an+1 / an шегі болмаса, қатардың конвергенциясы туралы ақпарат бермеуі мүмкін.

Коши белгісінің қасиеттерін білу шексіз қатарлардың конвергенциясын зерттеуге және конвергенцияны немесе дивергенцияны анықтау үшін тиісті әдісті таңдауға көмектеседі. Алайда, Коши белгісі кейбір жағдайларда дұрыс емес нәтиже беруі мүмкін екенін есте ұстаған жөн және оны қолдану басқа әдістер мен тексерулермен бірге жүруі керек.

Сандық қатарларды зерттеуде Коши белгісін пайдалану үшін келесі қадамдарды орындау қажет:

сандық қатарды жалпы түрінде жазу an an, мұндағы an-n-ря қатардың мүшесі.
Формуланы қолдана отырып, осы қатар үшін Коши белгісін есептеңіз:

lim sup (n → ∞) √(an)

Коши белгісінің қасиеттерін қолдана отырып, қатардың конвергенциясын анықтаңыз.
Егер серияға арналған Коши белгісі біреуден аз болса, онда серия мүлдем жақындайды.
Егер қатар үшін Коши белгісі біреуден көп болса, онда қатар әр түрлі болады.
Егер қатар үшін Коши белгісі бір болса, онда қатардың конвергенциясын зерттеу үшін басқа әдістерді қолдану қажет.

Коши белгісі сандық қатарлардың конвергенциясын зерттеудің ыңғайлы әдісі болып табылады, әсіресе егер қатарда күрделі формула болса немесе көптеген мүшелер болса. Алайда, кейбір қатарлар үшін Коши белгісі қате нәтиже беруі немесе қатардың конвергенциясы туралы ақпарат бермеуі мүмкін. Сондықтан, Коши белгісін пайдалану басқа әдістермен және тексерулермен бірге жүруі керек.

Сандық қатар теориясы мен Коши белгісін қолдану мысалдары

Коши белгісімен сандық қатарлардың конвергенциясын анықтауға арналған есептерді шешудің бірнеше мысалы:

Мысал 1. Қатардың конвергенциясын зерттеу

$\sum_{n = 1}^{\infty}{(\frac{5n - 1}{6n + 7}) }^{{(n + 1) }^{2}}$

Шешімі.

Біз Кошидің радикалды белгісін қолданамыз-қатардың жалпы мүшесінен n-ші дәрежелі түбір шегін табамыз. Түбір астындағы өрнектен n-ші дәрежелі түбір дәрежесіне түрлендіру ережесін еске түсіреміз - алынған өрнекте түбір астындағы өрнек дәрежесі түбір дәрежесіне бөлінеді:

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n] {{(\frac{5n - 1}{6n + 7}) }^{{(n + 1) }^{2^{1}$ = $\lim_{n \rightarrow \infty}{(\frac{5n - 1}{6n + 7}) }^{\frac{n^{2} + 2n + 1}{n}}\$ = ${(\frac{5}{6}) }^{\lim_{n \rightarrow \infty}\left( n + 2 + \frac{1}{n} \right) ^{}}$ = ${(\frac{5}{6}) }^{\infty} = 0$