Математика лекцилар жинағы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 132 бет
Таңдаулыға:

ЛЕКЦИЯ № 1 Сандардың бөлінгіштігі

Жоспар:

1. Сандардың бөлінгіштік белгілері. Паскаль белгісі.

2. Натурал санның қарапайым жіктелуі

3. Арифметиканың негізгі теоремасы

4. Натурал сандардың бөлгіштер санын және бөлгіштерінің қосындысын анықтау

1. Сандардың бөлінгіштік белгілері. Паскаль белгісі.

Сандардың бөлінгіштік белгілерін салыстыру жәрдемімен тағайындауға болатындығын ең алғаш француз математигі Блез Паскаль(1623-1682) көрсеткен.

Кез келген N натурал санының m натурал санға бөлінуінің қажетті және жеткілікті шартын сипаттайтын ереже N -нің m -ге бөліну белгісі делінеді. Ол белгі g жүйеде жазылған кез келген натурал санның цифрлары арқылы, сол санның берілген m санға бөлінетіндігін немесе бөлінбейтіндігін ажыратуға мүмкіндік береді . Француз Блез Паскаль натурал сандардың бөлінгіштігінің жалпы белгісін тұжырымдаған .

Паскаль белгісі . g санау жүйесінде жазылған N= a _n g ⁿ + a _n-1 g ^n-1 +…+ + a ₁ g + a ₀ натурал саны m натурал санына бөліну үшін Q=a _n r _n + + a _n-1 r _n-1 +…+ a ₁ r ₁ + a ₀ натурал саны m -ге бөлінуі қажетті және жеткілікті. Мұндағы r _i саны g ⁱ санын m- ге бөлгендегі қалдық.

Енді кейбір сандардың бөлінгіштік белгілерін келтірелік.

2-ге бөлінгіштік белгі. Егер санның соңғы цифры нөл немесе 2, 4, 6, 8 болса, онда бұл сан 2-ге қалдықсыз бөлінеді. Мысалы: 24, 654, 326, 320.

Соңғы цифрлары 0, 2, 4, 6, 8 болған сандар жұп сандар деген тұжырымға келеміз.

2) 4-ке бөлінгіштік белгі. Егер санның соңғы екі цифры да нөл болса немесе осы соңғы екі цифрдан құралган екі таңбалы сан 4-ке бөлінсе, онда бұл сан 4-ке қалдықсыз бөлінеді. Мысалы: 648:4; 123456:4; 8700:4. Себебі 48, 56, 100 сандары 4 ке қалдықсыз бөлінеді .

3) 5-ке бөлінгіштік белгі. Егер сан 0 немесе 5 цифрымен аяқталса, онда бұл сан 5-ке қалдықсыз бөлінеді. Мысалы: 125; 5; 130; 565; 166605; сандары 5-ке қалдықсыз бөлінеді. Себебі соңғы цифрлары 0 немесе 5 цифрымен аяқталған.

4) 3 пен 9-ға бөлінгіштік белгі. Егер санның құрамындағы цифрлардың қосындысы 3-ке (9-ға) бөлінсе, онда бұл сан 3-ке (9-ға) қалдықсыз бөлінеді.

1-мысал. 147 санының 3-ке бөлінетін, бөлінбейтінін білу үшін, ол санның цифрларының косындысын табамыз: 1+4+7=12, 12:3=4, олай болса 147 саны 3-ке қалдықсыз бөлінеді яғни 147:3=49 болады.

2-мысал 384 санының 3-ке бөлінгіштігін анықтау

Әрбір қосылғыш 3 ке бөлінеді екен. Олай болса берілген 384 саныда 3 ке қалдықсыз бөлінеді екен.

3-мысал 783 санының 9-ға бөлінгіштігін анықтау

Әрбір қосылғыш 9 ға бөлінеді екен. Олай болса берілген 783 саныда 9 ға қалдықсыз бөлінеді екен.

783 саны 9-ға бөліне ме? Санның цифрларының қосындысы 7+8+3=18. 18 саны 9-ға бөлінеді. Демек 783 9.

4-мысал. санының оң және сол жағына қандай цифрды тіркегенде, ол -ге қалдықсыз бөлінеді?

Шешу: 27 саны 3-ке және 9-ға бөлінеді. Берілген 97 санының цифрларының қосындысы 16 болғандықтан, оның 3-ке және 9-ға бөлінуі үшін қосынды 18, 27, 36, . . . болуы мүмкін. Сондықтан 1 цифрын алуға болады, яғни 1971 саны 27-ге қалдықсыз бөлінеді. Кейінгі қосынды 27 (36) болуы үшін алдыңғы қосынды 16-ға 11-ді (20-ны) қосу керек. Олар екі таңбалы сан болғандықтан, есептің шартына сәйкес келмейді.

Сонымен, , ізделінді сан - .

Жауабы: 1 цифры.

5-мысал. Олимпиада ойындарында тек аңдар! Тасбақаларды есептейміз.

Рептилияның командасында тек тасбақа болды. Тасбақалар саны -ден көп, бірақ -ден аз. Олимпиада ойындарының ашылу салтанатында бұл команданы 2, 3 немесе 4 тен құралған жануарлар қатарына орналастыруға мүмкін болмады, өйткені бір жануар соңғы қатарда әрқашан жетпеді.

Сондықтан әр қатарда жануардан тұратын тасбақа командасын құруға тура келді. Рептилия командасында қанша тасбақа болды?

Шешу:

Егер тасбақалар саны -ге ұлғайтылса, ол , , -ке бөлінеді. Осы сандардың ең кіші ортақ еселігі . Есеп шартына сәйкес тасбақалар саны -ден көп және -ден аз болуы үшін: олардың саны , , және -дан аспайды. Тасбақалар саны көрсетілген сандардан -ге аз болуы және -ке бөлінуі тиіс. Сондықтан қатардағы саны ғана жарамды, себебі: және ол 5-ке қалдықсыз бөлінеді. Сонымен, рептилия командасында тасбақа бар екен.

Салдар. 6-ға бөлінгіштік белгі. 3-ке бөлінетін жұп сандар 6-ға қалдықсыз бөлінеді. Мысалы: 132:6; 1320:6

5) 11-ге бөлінгіштік белгі. Егер санның құрамындағы тақ орындағы цифрларының қосындысы мен оның жұп орындарындағы цифрларының қосындысының айырмасы нөлге тең немесе 11-ге бөлінетін болса, онда бұл сан 11-ге қалдықсыз бөлінеді.

6-мысал. 1) 7896 және 2) 208912 сандарының 11 ге бөлінетіндігін тексеріңдер.

1) . Нәтижедегі 2 саны 11 ге бөлінбейді, берілген 7896 санда 11 ге бөлінбейді.

2) , демек, берілген сан 11 ге бөлінеді:

6) 25 ке бөлінгіштік белгі: Егер санның соңғы екі цифры да нөл болса немесе осы соңғы екі цифрлардан құралган екі таңбалы сан 25-ке бөлінсе, онда бұл сан 25-ке қалдықсыз бөлінеді. Мысалы, 500; 8500; сандары 25 ке қалдықсыз бөлінеді.

7) 7-ге бөлінгіштік белгілер (үш түрлі бөлінгіштік белгісін қарастырамыз) :

a) берілген санның соңғы цифрын сызып тастағандағы пайда болған саннан, берілген санның соңғы цифрын екі еселегендегі көбейтіндіні азайтқандағы сан 7-ге бөлінсе, берілген санда 7 ге бөлінеді:

7-мысал. 259 саны 7-ге бөлінеді, себебі болады. Ал бұл айырма 7 ге бөлінеді.

b) 7 -ге бөлінгіштіктің тағы да бір белгісін көбейтіндісінен пайдалану арқылы келтіріп шығаруға болады. Бөлінгіш сан төрт таңбалы сан немесе одан жоғары таңбалы сан болса ғана осы белгіні пайдалануға болады. Мұнда 1001 санының сиқырынан пайдаланылады. Кез келген үш таңбалы санды 1001 санына көбейтсек, сол үш таңбалы санды екі рет жазып (алты таңбалы сан түрінде) қоя салуға болады. Мысалы 859∙1001=859∙7∙11∙13= 859859; 658∙1001=658∙7∙11∙13 =658658.

1001 санының осындай сиқырынан пайдаланып 7-ге бөлінгіштік белгісін келтіріп шығаруға болады. Соған мысал келтіреміз.

8-мысал Мысалы, 859 516 санының 7-ге бөлінетінін 1001 санының сиқырынан пайдаланып тексерейік. Берілген 859516 санын мынадай түрлендірейік: 859∙1001=859∙7∙11∙13= 859859; екендігінен пайдалансақ 859516=859∙1001-859+516=859859-343 түрінде жазуға болады. Соңғы теңдікте азайғыш 1001 ге (сәйкесінше, 7-ге де) бөлінеді, азайтқыш 343 тың 7-ге бөлінетінін тексеру жеткілікті. 343 = 49∙7, демек 859516 санының өзі де 7-ге бөлінеді.

с) Егер санның құрамындағы тақ орындағы цифрларының қосындысы мен оның жұп орындарындағы цифрларының қосындысының айырмасы нөлге тең немесе 7-ге бөлінетін болса, онда бұл сан 7-ге қалдықсыз бөлінеді.

9-мысал. 1) 85314507229 және 2) 363862625 сандарының 7 ге бөлінетінін тексерейік.

Шешу. 1) берілген санның соңынан үш-үштен шартты түрде бөліктерге бөлеміз. Бірінші және үшінді үштіктен, екінші және төртінші үштіктерден екі қосынды құрастырамыз: және Олардың айырмасын табамыз бұл айырма 7 ге бөлінеді екен. Олай болса берілген санда 7 ге бөлінеді екен.

2) жоғарыдағыдай үштіктерден пайдалансақ, айырма

625-862+363=126 ға тең болады, a) белгісіне сәйкес, болса 7-ге бөлінеді, сондықтан 363862625 саны да 7-ге бөлінеді.

2. Натурал санның қарапайым жіктелуі

Айталық, а саны жай көбейткіштерге жіктелсін. Бұл жіктелудегі бірдей көбейткіштерді дәреже түрінде жазып, мынадай формула аламыз:

(1. 5. 1)

Мұнда p ₁ , p ₂ , . . . , р _к - әp түрлі жай сандар, олар берілген а санының жай бөлгіштері деп аталады, п ₁ , п ₂ , . . . , п _к - теріс емес бүтін сандар. Санның (1. 5. 1) түрінде жіктелуі оның қарапайым жіктелуі деп аталады. Мысалы,

1176 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 7 = 2 ³ ∙ 3 ∙ 7 ² .

Жалпы, санның карапайым жіктелуін табу (caн өте үлкен болғанда) күрделі әрі қиын жұмысқа айналады. Мысалы, ЭЕМ-ның көмегі арқылы 2 ¹⁹⁹³⁷ -1 санының жай сан болатындығы жақында ғана анықталған және бұл санның жазылуына 60 000-нан астам цифр қажет болатындығы анықталған.

Дегенмен, өте үлкен емес сандардың қарапайым жіктелулерін анықтауға болады.

3. Арифметиканың негізгі теоремасы

Әрбір құрама санды жай сандардың көбейтіндісі ретінде жіктеп жазуға болады. Мысалы, 252=2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 7 немесе 252=2 ² ∙ 3 ² ∙ 7. Бұл мысалдан кейбір жай сандар көбейткіш ретінде бірнеше рет қайталанатындығын көреміз.

Теорема . (Арифметиканың негізгі теоремасы) . 1-ден өзге әрбір натурал сан бір ғана түрде жай сандардың көбейтіндісіне жіктеледі.

4. Натурал сандардың бөлгіштер санын және бөлгіштерінің қосындысын анықтау

Кез келген күрделі n санын канондық жіктеуге болады. Мұндағы сандары жай сандардың дәреже көрсеткіштері сол көбейткіштердің неше рет қатысатынын көрсетеді.

n натурал санның барлық бөлгіштері санын деп, барлық натурал бөлгіштерінің қосындысын деп белгілейік.

2 -теорема. Егер n натурал санның канондық жіктелуі болса, онда

болады.

1-мысал. санның канондық жіктелуі болғандықтан, оның натурал бөлгіштері саны , ал осы әртүрлі натурал бөлгіштердің қосындысы

болады.

ЛЕКЦИЯ №2

Анықталмаған коэффициенттер әдісін қолданып теңдеулерді шешу.

Жоспар:

1. Горнер схемасы.

2. Безу теоремасы және анықталмаған коэффициенттер тәсiлi.

1 . Горнер схемасы.

1-Мысал. көпмүшелiгiн Безу теоремасы және Горнер схемасы әдiсiн пайдаланып көбейткiштерге жiктеу керек.

Шешуi: Көпмүшелiктiң коэффициенттерi бүтiн сандар, сондықтан көпмүшелiктiң түбiрi болуы үшiн саны 2-нiң натурал бөлгiштерi, яғни 1 мен 2, саны 8-дiң бүтін бөлгiштерi, яғни ±1, ±2, ±4, ±8 сандарының бiрi болуы керек.

Сонымен есептiң рационал түбiрi болса мына сандардың бiрi болуы керек: ±1, ±2, ±4, ±8, ±.

Сонымен берiлген көпмүшелiк екiмүшелiгiне бөлiнедi екен.

Горнер схемасымен бөлiндi көпмүшелiктi табайық:

x = -1

2 -3 -7 6 8

2 -5 -2 8 0

Сонда болады.

Бұл көпмүшелiктiң түбiрi болуы үшiн Р ₄ (х) жағдайдағыдай, ол ±1, ±2, ±4, ±8, ± сандарының бiрi болуы керек.

болғандықтан Q ₃ (х) көп-мүшелiгi (х-2) екiмүшелiгiне бөлiнедi.

Горнер схемасы бойынша:

x = 2

2 -5 -2 8

2 -1 -4 0

бөлiндi көпмүшелiк . Сонымен,

2-Мысал. көпмүшелiгiн Безу теоремасы және Горнер схемасының жәрдемiмен көбейткiштерге жiктеу. Мұнда . Сондықтан көпмүшелiк-тiң рационал түбiрi 18-дiң бөлгiштерi болу керек. Ол, Ал,

болғандықтан берiлген көпмүшелiк -ге бөлiнедi. Горнер схемасы бойынша:

x = 1

1 3 7 9 1 -3 18

1 4 11 20 21 18 0

Мұнда

Сондықтан көпмүшелiгi - ге бөлiнедi.

Горнер схемасы бойынша:

x = -2

1 4 11 20 21 18 18

1 2 7 6 9 0

Сонымен, .

2. Безу теоремасы және анықталмаған коэффициенттер тәсiлi.

3-Мысал. көпмүшелiгiн Безу теоремасы және анықталмаған коэффициенттер әдiсiмен көбейткiштерге жiктеңдер.

Шешуі:Көпмүшелiктiң рационал түбiрi бiрi болу керек.

болғандықтан көпмүшелiгi - ге бөлiнедi.

Анықталмаған коэффициенттер әдiсiмен көпмүшелi-гiн -ге бөлгенде шығатын көпмүшелiктi табайық, ол дейiк. Сонда

болады. Мұндағы тең дәрежелi -тың коэффициенттерiн теңестiрсек:

Сондықтан

Сонымен

ЛЕКЦИЯ№3 . Теңсiздiктердi дәлелдеу. Иррационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу әдістері. Қиындатылған есептер.

ЖОСПАР:

1. Теңсіздіктердің қасиеттері

2. Теңсіздіктерді дәлелдеу

3. Қиындатылған есептер

1. Теңсіздіктердің қасиеттері

Нақты сандар өрісінің тәртіптілік қасиеті бар: кез келген екі нақты санның бірі екіншісінен не үлкен, не тең, не кіші болады. Бұл қатыстарды таңбаларымен белгілейді. Сонда нақты сандар болса, онда олар арасында мына қатыстың тек бірі орындалады.

қатыстарын теңсіздіктер дейді. ол теңсіздіктің мүшелері делінеді деген мен -ның айырмасы оң сан, деген мен -ның айырымы теріс сан деген сөз. мен теңсіздіктерін бір мағыналы, ал мен теңсіздіктерін қарама қарсы мағыналы теңсіздіктер дейді. Олар қатаң теңсіздіктер. Олармен қатар қатаң емес теңсіздіктер қарастырылады.

теңсіздігі болғанда да, болғанда да дұрыс, ал болғанда дұрыс емес , екі теңсіздіктің орнына немесе қос теңсіздігін пайдалануға болады.

Сандық теңсіздіктердің мынадай түрлері бар:

Егерболса, ондаболады. Бұл теңсіздіктің қайтымсыздық қасиеті.
Егерболса, онда кез-келген с үшінболады.
Егерболса, ондаболады (Бұл теңсіздіктің транзитивтік қасиеті) .
Егерболса, ондаболады.
Егерболса, ондаболады.

Егер болса, онда болады.

Егерболса онда кез-.
Егерболса, ондаболады.
Егерболса, ондаболады.
Егерболса, онда кез-келген натурал санүшінболады. , ондаболады.
Егерболса, онда кез-келген натурал сан n үшінболады.
Егерболса, онда кез-келген натурал сан n үшінболады.
Егерболса, онда кез-келген натурал сан n үшінболады.

Сан модуліне арналған кейбір теңсіздіктерді дәлелдейік.

Кез келгенсаны үшінболады

Дәлелдеуі: болса, онда ал болса онда болғандықтан қатаң теңсіздігі орындалады. Сонымен екі жағдай үшін болады.

Кез-келгенжәнесандары үшінболады.

Дәлелдеуі: 13 бойынша болады оларды қоссақ 5 қасиет бойынша: болып шығады. Ал болғандықтан қоссақ . Сонда мен -ден болады. Мұндағы теңдік болғанда орын алады.

Кез-келгенменсандары үшінболады. Дәлелдеуі:болады.

Бұған 14 пайдалансақ: , бұдан .

Екі нақты саны өзара салыстыру үшін түрлі әдістер қолданылады.

Егер екі бүтін сан берілсе, онда олардың қайсысының екіншісінен үлкен не кіші екенін ажырату тікелей анықталады.
Екі бөлшек санды салыстыру үшін, олардың не алымдарын не бөлімдерін бірдей күйге келтіру керек. .

және бөлшектерін ортақ бөлімге келтірсек және болса, онда болар еді де, қысқартқаннан соң болып шығады.

1-Мысал. және бөлшектерін салыстыру үшін, ортақ бөлімге келтіреміз және . болғандықтан , бұдан болады.

3. Түбірлерді (радикалдарды) салыстыру үшін, түбірлердің дәрежесін теңестіріп, түбір астындағы санды салыстыру керек.

Мәселен, болса мына және күйге келтіріп болса, онда болады да, болып шығады.

2-Мысал. түбірлерін салыстыру үшін, түбір дәрежелерін, тең күйге келтіреміз. Сонда болып болғандықтан , бұдан болып шығады.

Логарифімді салыстырғанда мыналарды ескерту керк:

а) болғанда, егер болса, болады.

б) болғанда егер болса болады.

3-Мысал.

Бірінші теңсіздікте , екінші теңсіздікте

4-Мысал. . Егер деп жорысақ, онда болар еді. Түрлендірсек болар еді.

Бұл теңсіздік дұрыс емес, сондықтан дәл осы есепті былайша да салыстыруға болады, әр түбірді жеке-жеке бағалаймыз:

Бұдан қай түбірлер қосынндысының үлкен екендігі байқалмайды. Өйткені 6 мен 8-дің арасында жатқан сан 7 мен 9-дың арасында жатқан саннан кіші болады деуге болмайды. Мәселен, бірінші 7, 9 екіншісі 7, 5 болуы мүмкін. Сондықтан, енді ол қосылғыштарды 0, 1дәлдікте бағалаймыз.

Бұдан екінші қосылғыштың көп екені көрінеді, оның аз мәнінің өзі бірінші қосылғыштың артығымен алынған мәнінен көп болып кетті: Сонымен

5-Мысал. және сандарын салыстыру керек:

Ал,

Сонымен мен аралықта жатыр екен аралықтың қақ ортасы . Берілген сандар немесе аралықтың қайсысында жататынын анықтаймыз:

дейік, онда

Бұл теңсіздік дұрыс. Сондықтан яғни аралықта жатады екен. Енді

дейік, онда Бұл дұрыс емес теңсіздік. Сондықтан Сонымен

болып шығады.

6-Мысал. және сандарын салыстыру:

және алгебралық өрнектің мүмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнегінің сан мәні сол сандарға сай келетін өрнегінің сан мәнінен үлкен (кіші) болатын болса, теңсіздігі жиынында теңбе тең теңсіздік делінеді.

Мысалы: теңсіздігі нақты сандар жиынында теңбе-тең теңсіздік болады, өйткені -тың кез-келген нақты мәнінде бұл теңсіздік дұрыс теңсіздік.

Егер жиыны берілмесе, онда теңбе тең теңсіздік ол теңсіздікке кіретін өрнектердегі мүмкін мәндері жиынында қаратырылады.

Алгебралық өрнектерде де қатаң теңсіздіктермен қатар, қатаң емес теңсіздіктер қарастырылады. Қатаң емес теңсіздікте бұл өрнектердің мұмкін мәндері облысына кіретін жиынынан алынған сандарға сай келетін өрнектерінің сан мәндері не тең, не -ның сан мәні -ның сан мәнінен үлкен деп түсіну керек.

2. Теңсіздіктерді дәлелдеу

Теңбе-тең теңсіздіктердің мынадай қасиеттері бар:

алгебралық өрнектерінің мүмкін мәндері облысынан алынған жиынында:

болса, ондаболады.
болса, ондаболады. .
болса, ондаболады.
болса, ондаболады.
болса, ондаболады.
болса, ондаболады.
болса, ондаболады.
болса, ондаболады.
болса, ондаболады.
болса, ондаболады, -натурал сан.
болса, ондаболады, - натурал сан.
болса, ондаболады, - натурал сан.
болса, ондаболады, - натурал сан.
болса, ондаболады, - натурал сан.
болса, ондаболады, - натурал сан.

Бұл келтірілген қасиеттер теңсіздіктері үшін де дұрыс. Көптеген жағдайда теңсіздіктердің берілген жиынында немесе ол теңсіздіктерге кіретін алгебралық өрнектердің мүмкін мәндері жиыны облысында теңсіздіктердің дұрыс, не қате екенін дәлелдеуге тура келеді.

Дәлелдеу түрлі жолмен іске асады. Ол жолдардың кейбіреулеріне мысал келтірейік.

2. 1 Теңсіздікті оның анықтамасына сүйеніп дәлелдеу.

Теңсіздіктің анықтамасы бойынша болу үшін болуы жеткілікті. Сондықтан және алгебралық өрнектері үшін екенін көрсету үшін айнымалылардың қарастырылып отырған жиыннан алынатын кез-келген сан мәндері үшін екенін дәлелдеу керек.

1-Мысал. Таңбалас кез-келген екі нақты санның бір-біріне қатынастарының қосындысы 2-ден кем болмайтындығын, яғни болса, онда болатындығын дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі: Мына айырымды қарастырамыз.

Бұл өрнек болса оң, ал болса нөлге тең. Сондықтан дұрыс теңсіздік.

2-Мысал. Екі оң нақты санның арифметикалық ортасы, сол сандардың геометриялық ортасынан кем болмайды, Яғни болса, онда болады. (Коши теңсіздігі) .

Дәлелдеуі: Айырымын қарастырамыз.

Соңғы өрнек кез-келген сандары үші оң, ал болса нөл. Сондықтан теңсіздік дұрыс.

3-Мысал. Оң сан үшін болатындығын дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі: Айырымы

Бұл кез келген оң сан үшін. Сондықтан теңсіздік дұрыс. Тепе-теңдік тек болғанда орындалады.

4-Мысал. теңсіздігін дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: Айырымы

Кез-келген нақты сан үшін оң сан болады. Сондықтан, дұрыс теңсіздік.

5-Мысал. Кез-келген оң сандар үшін теңсіздігінің дұрыстығын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: Айырымы

Бұл кез-келген үшін оң сан. Сондықтан берілген теңсіздік дұрыс.

6-Мысал. болғанда, болатынын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: Айырымы

Есептің шарты бойынша болғандықтан бұл өрнек оң (теңдік болғанда орындалады) Сондықтан берілген теңсіздік дұрыс.

7-Мысал. Кез-келген сандары үшін теңсіздігінің дұрыстығын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: Айырымы

кез келген үшін оң сан, үшін нөл болады. Сондықтан берілген теңсіздік дұрыс.

2. 2 Теңсіздікті дәлелдеудің синтетикалық әдісі.

Бұл әдіс бойынша, бірқатар түрлендірулер арқылы дәлелденбек теңсіздікті, дұрыстығы дәлелденген немесе талас тудырмайтын шүбәсіз теңсіздіктерге алып келіп, солар арқылы дәлелдейді. Ондай теңсіздіктерді тірек теңсіздіктер дейді.

Оларға жататындар:

т. б. теңсіздіктер.

8-Мысал. болғанда, болатынын дәлелдеу керек.

Дәлелдеуі: Тірек теңсіздік үшін Коши теңсіздігін пайдаланайық. Сонда

болғандықтан, оларды мүшелеп қоссақ

болып шығады. Демек, берілген теңсіздік дұрыс.

9-Мысал. Оң сандар үшін болатынын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігін екі рет пайдаланамыз. Сонда

болып теңсіздік дәлелденеді.

10-Мысал. болғанда болатынын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: , болғандықтан

болар еді. Бұдан,

болады.

Мүшелеп қоссақ,

немесе .

11-Мысал. болғанда

болатынын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі:

⇒ ⇒

12-Мысал. Кез келген натурал n үшін болатынын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: кез келген натурал сан үшін мына теңсіздік болатындықтан

= болып шығады.

13-Мысал. Теңсіздікті дәлелдеңіздер:

Мұндағы

Дәлелдеуі: Коши теңсіздігін пайдаланамыз.

бұларды көбейтсек.

14-Мысал. Кез-келген нақты сан үшін

дұрыстығын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі. Сан осін және аралықтарға бөліп, сол аралықта берілген теңсіздікті қарастырайық.

а) аралықта ал болғандықтан, бұл аралықта

б) аралықта

болғандықтан .

в) аралықты қарасатырайық. Бұл кезде болатындықтан болып шығады. Сонымен үш аралықта да оң сан болатындықтан теңсіздік дұрыс.

2. 3. Қарсы жору арқылы дәлелдеу.

15-Мысал. болатынын дәлелдеңіздер.

Дәлелдеуі: а, в, с, д-лардың кебір мәндеріне теңсіздік дұыс емес дейік, онда

орындалады. Екі жағын квадраттайық (олар сан өрнек)

= .

Бұдан

Бұл теңсіздік дұрыс емес сондықтан берілген теңсіздік дұрыс.

16-Мысал. теңсiздiгiн дәлелдеңiздер. Дәлелдеуi. мен -ны» кейбiр мәндерiнде бұл дұрыс емес десек, онда өрнегi дұрыс болады. Бұдан оң болғандықтан,

Бұл терiс болуы мүмкiн емес және тек болғанда нөлге тең. Сондықтан берiлген теңсiздiк дұрыс.

2. 4. Математика индукция әдісімен теңсіздіктерді дәлелдеу.

Бір теңсіздіктің кез келген натурал сан үшін дұрыс екендігін дәлелдеу керек болсын . Ол теңсіздіктің барлық натурал сандар үшін дұрыстығын жеке-жеке тексеріп шығу мүмкін емес. Сондықтан ол теңсіздіктің болған кезде дұрыстығын тексереді де, ол теңсіздікті болғанда дұрыс деп алады да, болғанда дұрыс екенін дәлелдейді. Сонда дұрыс болып шықса, онда үшін де дұрыс болады.

17-Мысал. Кез келген натурал сан үшін болатынын дәлелдеңіздер

Дәлелдеуі. болғанда теңсіздік дұрыс болғанда теңсіздік дұрыс болғанда, теңсіздік дұрыс дейік те болғанда да дұрыстығын дәлелдейік, яғни -дің дұрыстығын дәлелдейік ескерсек,