Жиындар мен математикалық логика элементтері. Дәрістер жинағы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 94 бет
Таңдаулыға:

Жиындар мен математикалық логика элементтері. Нақты сандар және олардың
қасиеттері. Бірінің ішінде бірі кесінділер қағидасы. Жиындар. Жиындарға
қолданылатын амалдар. Функциялар. Функцияларды композиция-сы(бейнелеу),
Элементар функциялар. Функция графигі, кері функция.

Математика пәні кісілік қоғамында ерекше орын алады. Басқа табиғи
пәндер үшін түрлі табиғи құбылыстар арасындағы қатыстарды зерттейді.
Табиғи құбылыстардың моделін жасайды, және олардың элементтері арасындағы
байланысты зерттейді. Бұның үшін тұрақты және айнымалы шамаларды қолданады.
Кемінде екі түрлі мәнді қабылдайтын шамаға айнымалы шама делінеді.
Айнымалы шамаларды x,y,z, t... лармен ал тұрақты шамаларды a,b, c,
d,...лармен белгілеу қабылданған. Айнымалы шаманың мәндері тобына шаманың
мәндері жиындысы делінеді. Жиындар бас әріптермен белгіленеді. Мысал. а (
А жазуы а А жиынның элементі екендігін ал а ( А жазуы а А жиынның
элементі емес екендігін білдіреді. А жиынның элементтері А={a1,a2,...,
an}={an} мен белгіленеді. А жиыны негізгі U жиынының d қасиетіне ие
болатын элементтерінің жиынтығы ретінде берілсе ол А ={x(U:d(x)} арқылы
белгіленеді.
Мысал.
А={x(N:x(100}={100,101,102,...} A={1,2,3,5,7,10}, B={4,5,8,10,12} болса
A={ x(N: (x2-4x+3)=0}= {1,3}
A+B ға А және В жиындардың бірігуі деп аталады ол А ( В арқылы
белгіленеді. A*В А және В жиындыларының қиылысуы деп аталады ол А( В
арқылы белгіленеді.
Мысал. А={1,235,7,10} В={4,5,8,10,12} болса А ( В =
{1,2,3,4,5,6,9,10,12};
A={1,2,3,4,5}, B={3,4,5,6,7} болса А ( В= {4,5}
Бірігу және қиылысу төмендегі қасиеттерге ие.
1. А ( В = B ( A, A ( B = B ( A коммутативтік
қасиеті
2. A( (B(C)= (A (B)(C, A (( B ( C)= (A ( B)(C
ассоциативтік қасиеті
3. A( (B(C)= (A ( C)((B(C) дистрибутивтік қасиеті
(A ( B) (C=( A (C) ( (B(C)
А((=A А((=( (( бос топ)
А(В=( болса А және В қиылыспайтын жиындар
A \ B немесе А-В - А жиынының В Жиынына тиісті болмаған элементтеріне
айтылады.
Мысал. C = A\B={x(A:x(B}
A={1,2,5,7},B={3,5,9} болса,C={1,2,7} болады.
А жиынының толықтауышы мен белгіленеді. Сонда болады.
Енді негізгі сандар жиыннын атап өтейік.
1. {1,2,3,...}=N натурал сандар жиыны.
Натурал сандар жиынында қосу және көбейту амалдары үнемі орындалады.
2.{...,-2,-1,0,1,2,...} =Z бүтін сандар жиыны.
Бүтін сандар жиынында қосу, алу және көбейту амалдары үнемі орындалады.

3. сандар рационал сандар жиыны деп аталады.
Рационал сандар жиынында қосу, алу,көбейту және бөлу амалдары орындалады.
(математикада нөлге бөлу амалы жоқ)
4.Рационал болмаған сандар жиыны иррационал сандар жиыны деп
аталады.
Мысал: ((3,1415... е ( 2,7182818284..., ,...
5. Рационал және иррационал сандар тобы нақты сандар жиыны деп аталады.
Ол R мен белгіленеді. Нақты сандар мен Ох өсі нүктклері арасында бір
мәнді сәйкестік орнатылған.
Нақты сандар жиынында қосу, алу, көбейту, бөлу, дәрежеге көтеру және оң
сандарға түбір шығару амалдары орындалады.

Кейбір математикалық логика символдары.
1. ((( жазуы ( дан ( келіп шығады дегенді білдіреді. ( -
имплекация символы.
2.((( ( дан (, және ( дан ( келіп шығады дегенді білдіреді, яғни (=(.
( - пара –пар символы.
3.((( ( және ( дегенді білдіреді. ( - коньюнкция символы.
4. ((( ( немесе ( дегенді білдіреді. ( - дизьюнгция символы.
1. (х(Х:((х) Х жиынының кез келген х элементі үшін ((х) қасиеті орындалады
дегенді білдіреді. (Ағылшын Any–барлық сөзінің бірінші әріпінің
төңкеріліп жазылуы.
2. ( х(Х: ((х) Х жиынында ((х) қасиетке ие болған х элементтері бар
дегенді білдіреді. ( Ағылшын Existens–бар деген сөзінің бірінші әріпінің
теріс жазылуы. Х та ((х) шартына ие болған тек қана бір х бар
болса (( х(х: ((х) арқылы жазылады.

Кесінді, аралық және шенелген жиын.
[а,в] теңсіздікті қанағаттандырушы х сандар жиынына кесінді немесе
сегмент делінеді.
(а,в) – axв теңсіздікті қанағаттандырушы х сандар жиынына интервал
делінеді.
[а,в) немесе (а,в] белгілері жартылай сегмент деп аталады.
Кеңейтірілген сандар өрісінде а санының ε маңайы Оε(а) арқылы белгіленед
Оε(а)=(a- ε, a+ ε)={x(R: ε}
X жиынының үшін шарты орындалса Х жоғарыдан, ал шарты
орындалса Х төменнен шенелген делінеді.

Функция анықтамасы.Функцияның берілу тәсілдері
Анықтама. Егер қарастырылып отырған айнымала шама Х-тің әрбір мәніне
белгілі заң немесе ереже бойынша айнымалы шама у-тің анықталған бірақ мәні
сәйкес келіп отырса, айнымалы шама у айнымалы шама х-тің функциясы деп
аталады. Мұндағы х – тәуелсіз айнымалы немесе аргумент, ал у – тәуелді
айнымалы немесе функция деп аталады.
Анықтама. Егер тәуелсіз айнымалы х- тің әрбір мәніне белгілі заң немесе
ереже бойынша тәуелді айнымалы у-тің бірнеше мәндері сәйкес келетін болса,
ондай айнымалы у- көп мәнді функция деп аталады.
Функция берілген деп саналады, егер: біріншіден, аргументтің
қарастырылатын мәндерінің жиыны көрсетілген болса; екіншіден, аргумент х-
тің берілген мәні бойынша функция у-тің сәйкес мәнін табуға мүмкіндік
беретін сәйкестік заң көрсетілген болса.
Функцияның белгіленуі: y=f(x) , y=φ(x), , y=F(x)
Оқылуы: игрек икстен эфке тең, игрек икстен фиге тең.
Мұндағы f , φ , ψ , F- аргумент х- тің берілген мәні бойынша у-тің сәйкес
мәні қалай табылатынын көрсететін заңды немесе ережені бейнелейді.
Функция ұғымы бүкіл математика үшін өте маңызы зор ұғым, сондықтан да, ол
ұғым математикалық дамудың ең негізгі обектісі болып саналады.
Анықтама. Функция анықталған немесе ақырлы нақты мәндер қабылдайтын
тәуелсіз айнымалының барлық мәндерінің жиыны сол функицяның анықталу облысы
немесе функцияның бар болу облысы деп аталады, ал функцияның барлық
мәндерінің жиыны функция мәндерінің жиыны деп аталады.
Мысалы:
анықталу облысын табу керек.
Шешуі. Қарастырылып отырған f(х) функциясының мәндері аргумент х-тің
мәндері мына екі теңсіздікті бір кезде қанағаттандырғанда ғана нақты сандар
бола алады.
х² - 90 х²- 160
│х│3 │х│4
Функицяның анықталу облысы │х│4 теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық
мәндерінің жиыны болады, яғни (-∞;-4) (4;+∞)

2) және

3) φ(х) = D-?

а) 1-х 0 х²-х-60 б) 1-х
0 х²-х-60
1-х0 (х+2)(х-3)0 1-х0
(х+2)(х-3)0
-х-1 х-2 х3.
х1 -2х3 (1;3)
х 1 (-∞:-2)
1х3
4) g(x) = ln (1-2cosx) D (g)-?
1-2cosx0
cosx , те cosx = ; сонымен,
х,
R=0, 1, 2,...
5) D(h)-?.
-, , ,
2x≤1+x 2x≥-1-x

x≤1
2x+x-1

3x≥-1

x≥-
6) F(x) =

-1 -1≤sinx≤1, ендеше -11-
орындалмайды.
.

Функцияның графигі.
(а , в) аралығында анықталған у=f(x) функциясы берілген делік. Ол
дегеніміз (а,в) аралығындағы х-тің әрбір мәніне у-тің анықталған біріңғай
мәні сәйкес келеді.
Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар системасын алалық. N нүктесі (а ,
в) аралығындағы абщиссасы х – ке тең нүкте болсын. Абсциссалар өсіне N
нүктесі арқылы өтетін перпендикуляр тұрғызайық. Сонда абсциссасы х-ке тең,
оған сәйкес кординатасы f(x) ке тең болатын М нүктесі тұрғызылған
перпендикулярдың бойынша орналасады және ондай нүкте жалғыз болады. Сонымен
ON=x , NM=y=f(x). NM кесіндісінің М нүктесін х-тің берілген мәніне сәйкес
келетін f(x) тің мәнінің геометриялық кескіні деп санаймыз. Осылайша
берілген функцияның геометриялық кескінін сала аламыз. Ол кескін
аргументтің қабылдайтын барлық мәндеріне сәйкес функцияның барлық мәндерін
кескіндейтін нүктелердің геометриялық орны болады.
Қозғалмалы М нүктесі жасаған бұл геометриялық орын f(x) функциясының
графигі деп аталады.
Сонымен, абсциссалары – аргументтік мәндері, кординаталары –
функцияның мәндері болатын жазықтықтағы нүктелердің жиыны функцияның
графигі деп аталады.
Функцияның графигтері қисық сызықтар немесе түзулер болады.
Функцияның графигін салу үшін, ол функцияның аргументінің бірнеше
мәндерін алып, оған сәйкес функцияның мәндерін тауып таблица құру керек.

Х-тің мәндері ... ...
[pic
]
У-тің мәндері. ... ..

Мысалы: 1) f(x)= x+1 y=ax+b
x 0 1
F(x) 1 2

2

0 1

2) у=

-1 1

3)

4)

І. Функцияның берілу тәсілдері.
1. Аналитикалық тәсілмен берілу.
Сандарға және айнымалы шамаларға белгілі бір тәртіп бойынша қолданылатын
матеметикалық амалдардың жиынын аналитикалық өрнек деп түсінеміз.
Функцияның негізгі берілу түрі формуламен, яғни аналитикалық түрде.
Мысалы:
рационал сан
болса
– ирационал сан
болса

1)

.
3) sign x = 1 x0
Sign x =-1 x0 sign – таңба
Sign x = 0 x=0
Sign

ІІ. Функцияның кестемен берілуі.
Функцияны оның мәндерінің кестесі арқылы берілуі функцияның кестелік түрде
берілуі деп аталады.
ІІІ. Функцияның графикпен берілуі.
IV. Функцияның сөзбен берілу тәсілі.
Бір сарынды немесе үзік бір сарынды функциялар.
Функцияны зерттеу дегеніміз: аргументтің өзгеруіне байланысты функцияның
өзгеру ағымын сипаттау. Функциялық өзгерістердің бірі функцияның өсуі және
кемуі.
Анықтама: (а , в) аралығындағы аргументтің кез келген мәндері мен
үшін теңсіздігі орындалуымен бірге теңсіздігі де
орындалса , f(x) функциясы (а , в) аралығында бір сарынды өспелі функция
деп аталады.
Анықтама: Егер (а , в) аралығындағы аргумент х-тің кез келген екі мәні
мен үшін теңсіздігі орындалуымен бірге арақатысы
орындалса, f`(х) функицясы (а , в) аралығында кемімейтін функция деп
аталады.
Анықтама: Егер (а , в) аралығындағы аргумент х-тің кез келген екі мәні
мен үшін
теңсіздігі орындалуымен бірге теңсіздігі орындалса, яғни
f(х) функциясы бір сарынды кемімелі функция деп аталады.
Анықтама: Егер f(х) функциясы (а , в) аралығында беріліп, теңсіздігі
орындалуымен бірге арақатысы орындалса , f(х) функциясы (а,в)
аралығында өспейтін функция деп аталады.
Осы берілген төрт түрлі функцияны біріктіріп, берілген (а , в) аралығындағы
бір сарынды функция деп атайды.
Егер (а , в) аралығында анықталған, бірақ бүкіл аралық бойында бір сарынды
болмайтын f(х) функциясы (а , в) аралығының бөлік ) аралықтарында бір
сарынды болып келсе, ол функция үзік бір сарынды функция деп аталады.

Ж¥П ЖӘНЕ ТАҚ ФУНКЦИЯЛАР

Анықтама. Егер М жиынының құрамына кез келген х санымен бірге оған
симметриялық - х саны да кірсе, ол М жиыны симметриялық жиын деп
аталады.
Симметриялық жиындарға мысалдар: барлық бүтін сандар жиыны, [—5, +5]
сегментіндегі барлық сандардың жиыны, (-b, +b) интервалындағы барлық
сандардың жиыны.
Анықтама. Егер f(х) симметриялық облыста берілсе және сол облыстағы
аргумент x-тін, кез келген мәні үшін
f(-x)=f(x) (1)
теңдігі орындалса, f(х) сол симметриялық облыста жұп функция деп
аталады.
Басқаша айтқанда: егер аргументтің мәні х-ті -х - ке ауыстырғанда
f(x)-тің мәні өзгермейтін болса, f(х)-ті жұп функция деп атайды.
М ы с а л ы: у = sес x; у = х2n (бұндағы n — натурал сан), у = 2х4—
5х2 — 3; у = 2 — sіn2 х; функциялары интервалында жүп
функциялар.
Енді f(х) = ln(1— х) + ln(1+х) функциясы өзінің анықталу облысында жұп
функция екенін көрсетелік.
Шынында, берілген f(х) функциясы (—1, +1) интервалында анықталған.
F(-x)=ln[1-(-x)]+ln[1+(-x)]=ln(1+x) +ln(1-x)=f(x).
Демек, f(—х)=f(х) болады, яғни берілген функция (-1,+ 1)
интервалында жұп функция.

Жұп функцияның графигі ординаталар осіне симметриялық түрде
орналасатындығын f(—х)=f(х) теңдігінен көруге болады.

Анықтама. Егер f(х) симметриялық облыста беріліп, облыстағы аргумент x-
тің кез келген мәні үшін
f (-х) = - f(х).
(2)
теңдігі орындалса, яғни аргументтің таңбасы кері таңбаға ауысқанда
функцияның да таңбасы кері таңбаға ауысса, f(x) сол облыста тақ функция деп
аталады.
М ы с а л ы: у=х3; у=7х5 — 2х3 + х; у=сosес х; у=х2n-1
(бұндағы n —натурал сан); y=; у= х x ; у = сtgх функциялары
тақ функциялар.
Енді g(х) =ln өзінің анықталу облысында тақ функция екенін
көрсетелік.
Шынында: бұл функцияның анықталу облысы (—1, + 1) интервалы.
Ал
g(-x)=ln=ln =ln(1-x)-ln(1+x)=
=- [ln(1+x)-ln(1-x)]=-ln=-g(x),
яғни g(-х)= -g(х). Демек, берілген функция g(x) (-1, +1) интервалында тақ
функция болады. Тақ функцияның графигі координаталар системасының бас
нүктесіне симметриялық түрде орналасады.

Сөйтіп, егер тақ функция х=0 нүктесінде анықталған болса, функцияның ол
нүктедегі мәні нольге тең. Бұдан х = 0 нүктесінде анықталған тақ функцияның
графигі міндетті түрде координаталар системасының бас нүктесі арқылы
өтетіндігіне көзіміз жетеді.

Периодты функциялар
Анықтама. Егер f(х) функциясының анықталу облысындағы аргумент х-
тің әрбір мәні үшін f(x+L)=f(x)
(1)
теңдігі орындалатын нольге тең емес L саны табылатын болса, f(х) — периодты
функция, L саны — f(х)-тің периоды деп аталады.
Егер (1) теңдікті х + l нүктесі үшін қолдансақ,
f[(х+l)+l]=f(x+l)=f(x), немесе
f(x+2l)=f(x)
болар еді. Бұл процесті соза берсек, мына теңдіктер орындалар еді:
F(х+3l)=f(х).
f(х+4l)=f(х),
... ... ... ... ..
F(х+nl)=fх)
... ... ... ... ... ...,
Сонымен, егер периодты f(х) функциясының анықталу облысында х болса, х
+ nl сандары да (n — кез келген натурал сан) f(х)-тің анықталу облысында
болады және nl сандары f(x)-тің периодтары болады. Периоды L-ге тең функция
f(х) үшін f(х) =f[(х—I) +l] теңдігі де орындалатын болғандықтан, ( -L) саны
да f(х)-тің периоды болады. Сондай-ақ жоғарыдағыша байымдап тек саны
ғана емес,— 2l, —3l, ..., —nl сандарының да f(х) үшін периодтар
болатындығын байқау қиын емес.
Сөйтіп, егер f(х) —периодты функция болып, оның периоды болса,
kl (бұндағы k—кез келген нольге тең емес бүтін сан, k=±1,±2\ ...; ±nl)
сандары да f(x)-тің периодтары болатыны айқындалады.

Демек, егер f(х) (— , + ) интервалында периодты функция
болса, ол функцияның міндетті түрде оң периоды болуға тиіс, өйткені
және сандарының бірі оң сан болатыны анық. Сондықтан да (—, +
) интервалындағы периодты функцияның оң периодтары сансыз көп. Оң
периодтарының жиынында ең кіші ω саны болуы мүмкін. Бұл санды ең кіші
период немесе негізгі период деп атаймыз.
Периодты функцияларға мысалдар келтірейік.
1) Тригонометриялық функциялар:
sinx, cosx, tgx, ctgx.
sinx пен соsx-тің ең кіші (немесе негізгі) периоды 2π, ал tgx пен
сtgх-тің периоды π .
2) f(х)=х—Е (х) функциясы (—, + ) интервалында — периодты
функция және оның негізгі периоды 1.
Ш ы н ы н д а:
f(x+1))=x+1-E(x+1)=x+1-[E(x)+]= x-E(x)=f(x), яғни
f(x+1)=f(x).

Элементар функциялар. Кері функция. Күрделі функция.
Параметрлі түрде берілген функция.

Бір аргументті функциялардың ішінде элементарлық функциялар деп
аталатындары әдейі бір топқа бөлінеді. Олардын, бұлай аталуының себебі:
олар басқа элементарлық емес функциялардан тарихта бұрын шықкан, жан-жакты
зерттелген, кұрылысы біркелкі қарапайым болып келеді, және жиі колданылады.

Элементарлык. емес функцияларды көбінесе арнаулы ф у н к ц и я л а р деп
атап жүр. Бұл функциялар математика ғылымының дамуындағы соңғы дәуірлерде
кұбылыстардың математикалық жактарын зерттеу мәселелері элементарлық
функциялардың мүмкіншіліктері шеңберіне симаумен байланысты пайда болды.
Элементарлык функцияларға төмендегі функциялар жатады:
1. Дәрежелік функция f (х)=ха (бұндағы а — кез келген
нақты сан);
2. Көрсеткіштік функция ф(х)=ах (бұнда а0);
3. Логарифмдік функция ф(х)=lgах (бұнда а0);
4. Тригонометриялық функциялар sіnx:, соsх, tgх, сіgх, sесх,
соsесх;
5. Кері тригонометриялық функциялар агсsіпх, агссоsх,
агссtgx, агсsесх, агссоsесx
Ескерте кететін бір нәрсе мынау: элементарлық функцияларға алты
алгебралық амалды (қосу, азайту, көбейту, бө-лу, бутін оң дәрежеге шуғару
және түбірлеу) қолдану.
Барлық элементарлық функцияларды екі типке бөлуге болады:
1. Алгебр алық функциялар.
2. Трансценденттік функциялар.
Элементарлық алгебралық функциялар мынадай кластарға бөлінеді:
1. Рационалдық функциялар.
а) Бүтін рационалдық функциялар.
б) Бөлшек рационалдық функциялар.
2. Иррационалдық функциялар.
Анықтама. Егер функциясы дәреже көрсеткіші терім емес бүтін сан
болатын және коэффициенттері нақты сандар ғана болып келетін айнымалы
тің дәрежелерінің қосындысы түріне келтірілетін болса, -
бүтін рационалдық функция деп аталады.
Анықтама. Егер функциясыекі бүтін рационалдық функцияның
қатынасы түріне келтірілетін болса, ол бөлшек рационалдық деп аталады.
Демек, бөлшек рационалдық функцияның жалпы түрі мынадай болатын
болды:

Бұдан

Бөлшек рационалдық функцияларға мысалдар: , .
Егер рационалдық функцияларға түбірлеу амалын колдансақ, иррационалдық
функция пайда болады; оған мын а төмендегі мысалдарды келтіре кетейік:
, ,

Анықтама. Егер у=f (х) функциясы

теңдеуінен анықталатын болса (бұнда: Р0(х), P1(х), Р2(х), ..., Рп(х) —
бүтін рационалдық функциялар, п— иатурал сан, сонымен бірге Рп(х) # 0), оны
алгебралық функция деп атаймыз.
Алгебралық функцияға мысалдар:

Алгебралык емес кез келген басқа функция трансценденттік функция деп
аталады.
Трансценденттік деген сөз латын тіліндегі transcendens
(transcendentis) деген сөзден шыққан. Оныңмағынасы: шек-тен аса
адымдаушы, шектен шығушы.
Дәрежелік функция
Анықтама. Негізі — айнымалы, дәреже көрсеткіші — теріс емес бүтін сан
болатын функцияны теріc емес бүтін көрсеткішті дәрежелік функция деп
атайды. Демек, бұндай функцияның жалпы түрі мынау болады:
у=f
(х)=хn (1)

(бұндағы п — теріс емес бүтін сан).
п — натурал сан болса, (1) функцияның аныкталу облысы бүкіл сандар осі
болады да, ал егер п — теріс емес бүтін сан болған жағдайда функцияның
анықталу облысы (—∞,0)
(0, +∞) интервалдарынан тұрады.
Егер n 1 болса, (1) функцияны өзара тең п көбейткіштердің кебейтіндісі деп
түсіну керек, яғни
xn= x * x*...*x п рет
Бүл сияқты функциялар үшін мына теңдіктер орындалатыны айқын

(хт)п=хmn (2)
Анықтама. Егер шама x0 болса, шартты түрде х°=1 деп есептейміз.
Егер х = 0 десек, 0° шамасының ешбір сандық мәні болмай-ды
(аныкталмағандықтың бір түрі).
Анықтама. Егер х0 және п — оң бүтін сан болса,

(3)

болады деп есептейтін боламыз.
(3) түріндегі бутін теріс көрсеткішті функцияның аныкталу облысына
нольден баска нақты сандардың барлығы кіреді, яғни анықталу облысы (—∞, 0)
мен (0, + ∞) интервалдарынан тұрады.
(2) дәрежелік функция (— ∞, 0) және (0, + ∞) аральгқтарында үзіліссіз,
оған дәлел: дәрежелік функция у=1 мен у=хп екі үзіліссіз функцияларының
қатынасы арқылы өрнектеледі.
х = 0 нүктесі (2) функцияның екінші түрдегі үзіліс нүктесі болады,
өйткені:

Лекция №2

Тақырыбы: Сан тізбегі. Жинақты және жинақсыз тізбектер. Тізбектің шегі және
оның қасиеттері. Коши критериі. Монотондық тізбектердің шектері. Тізбектің
жоғары және төменгі шектері. Больцано-Вейерштрасс теоремасы. Шексіз аз
және шексіз үлкен тізбектер. е саны

Сан тізбегінің ұғымы. Шексіз сандар жиынын қарастырайық.

Осы сандар жиынын натурал сандар жиынмен сәйкестіріп, әрбір натурал
санға бір санды сәйкес қойып реттесек, онда біздің жиын реттеледі,
яғни 1 –ші орында 1 ,2-ші орында 12 , 3-ші орында 13 деп осылай
реттелсе, онда оны реттелген жиын дейді. Натурал сандар мен
нөмерленіп реттелген сандар жиынын сан тізбегі дейді. Жиындағы
сандар саны ақырлы болса , онда (жиынды) тізбекті ақырлы , ал саны
ақырсыз болса, онда тізбекті ақырсыз дейді. Жалпы жағдайда тізбек
былай кіші әріптермен белгіленіп беріледі.
(2)
Тізбектегі әрбір сан тізбектің мүшесі делінеді. – 1-ші мүше,
– 2-ші мүше ... .. - n –ші мүше.
Мысал. жалпы мүшесі формуламен берілетін сан тізбегін
қарастырайық. Бұл тізбек 0 және 1 сандармен шектелетінін дәлелдеу
қиынға соқпайды, және ол бірсарынды өспелі. Тізбектің нөмері өскен
сайын ол 1 санына жақындай береді. Сонда мына айырманы
қарастырайық. n - өсуіне бұл айырма кішірейе береді. Мысалы, n=11
болса айырма 0,1 – ден кіші, ал n=101 тең болса, онда 0,01
кіші, осылай кеми береді. Сонда біз бір кез келген оң кіші ε
санын алып, ол үшін N(ε) нөмері табылып, барлық үлкен
болғанда теңсіздігі орындалады, яғни {Xn}тізбегінің барлық
мүшелері (1-ε, 1+ε) аралығында жатады. Бұл деген 1 саны {Xn}
тізбегінің шегі дейді, және былай белгіленеді:

Тізбектердің берілу тәсілдері.
Тізбекті берілді дейді егер оның мүшелері белгілі болса. Сонда
тізбектерді 1) аналитикалық, 2) реккуренттік, 3) тізім
тәсілдерімен беруге болады.
1) Аналитикалық тәсіл. Бұл жағдайда тізбектің n – ші мүшесінің
формуласы беріледі.
Мысалы: осыдан ; sin0, sin4, sin6, ..., sin24... шығады.
2)Реккуренттік тәсіл. Тізбек мүшелері өзара реккуренттік байланыспен
беріледі.
Мысалы: , сонда
1, 4, 7, ... , шығады.
Тізбектің жинақтылығының қажетті шарты.
Тізбек {Xn} – жинақты болып, саны шегі болса, яғни .
Онда шектің анықтамасынан, кез – келген оң кіші ε саны үшін
теңсіздігі орындалады. Бұл дегеніміз десек теңсіздігі
орындалады, олай болса {Xn} тізбегі шенелген тізбек болады.
Тізбек жинақты болу үшін, оның шенелген болуы қажетті.

Тізбек шектері туралы теоремалар.
1) Тізбек екі әртүрлі шекке жинақтала алмайды. (шектің жалғыздығы
туралы теорема)
2) Мүшелер шамасы өзара тең болатын тізбектің шегі, сол шамаға
тең.
3) Егер {Xn} тізбегі бір – санына жинақталса және
болса , онда оның барлық мүшелерінің шамасы p – дан үлкен (q –
ден кіші) болады.
4) Егер {Xn} тізбектің шегі бар болса , онда ол шектелген болады.

5) Егер {Xn} және тізбектерінің шегі бар болса, онда олардың
қосындысы мен айырмасының да шегі бар болады.

6) Егер {Xn} және {Yn} тізбектерінің шегі бар болса , онда
олардың көбейтіндісініңде шегі бар болады.

7) Егер {Xn} және {Yn} тізбектерінің шегі бар және ≠0 болса,
онда олардың

қатынастарының да шегі бар болады.
Тізбектің шегі ұғымының геометриялық мағынасы:
Бұл мақсатта сандар осін алып, айнымалы хn -нің мәндерін және а — ε
мен а + ε сандарын нүктелермен кескінделік.

n-нің N-нен үлкен барлық мәндері үшін (3) теңсіздіктер орындалатын
болғандықтан х нүктесінен бастап барлық хn нүктелері (а - ε,
а + ε) интервалының (бұл интервалдың ұзындығы 2ε, центрі а
нүктесі) бойында болады. Бұл интервалдың сыртында айнымалы хn-нің
санаулы мүшелері ғана қалады.
Егер а саны айнымалы хn-нің шегі болса, өзгерту процесінде
айнымалы өзінің шегі а-ға мейлінше жақындайтыны (2) теңсіздіктен
көрінеді. Айнымалы хn-нің а санына жақындауының үш түрі болуы
мүмкін:
1. Айнымалы хn өзіңің шегі а-ға онан үнемі кіші бола отырып ұмтылады,
яғни хn а-ға
Мысалы:

тізбегінің шегі 1, бірақ тізбек мүшелерінің бәрі де 1-ден кіші.
Ш ы н ы н д а: кез келген аз сан ε0 берілген делік. Біздің
максатымыз: берілген ε0 үшін N саны табылып, nN теңсіздігін
қанағаттандыратын барлық n үшін
хn -1I ε
(4)
Яғни
теңсіздігінің орындалатындығын көрсету. Бұл теңсіздік орындалады десек,

болар еді. (5)
Демек, (5) теңсіздік орындалса ғана, (4) теңсіздік орындалады. Олай
болса, N нөмірі үшін -ні алуға болады,
яғни: N = Е. Егер Е 0 болса, N=1 деп аламыз. Сөйтіп, бұл сан
тізбегінің шегі а=1. Сонымен қатар

болғандықтан, тізбек 1-ге өсе ұмтылады .

x1
x2 x3 x4

0
1

Чертёжден х1-нің (0, 1) интервалының орта нүктесі, х2-нің (х1, 1)
интервалының орта нүктесі. х3-нің (х2, 1) интервалының орта нүктесі, ...,
xn-нің (хn-1 , 1) интервалының орта нүктесі екенін көреміз. Сонымен бірге
х1, х2, х3, ..., хn, ... нүктелері n өскен сайын a= 1 нүктесінің сол жақ
маңына қоюлана түсетіндігін байқаймыз.
2) Айнымалы өзінің шегі а-ға үнемі онан үлкен бола отырып
ұмтылады, яғни а-ға бара ұмтылады, яғни а-ға кеми бара ұмтылады.
Мысал: түрінде берілген сан тізбегі өзінің шегі ге кеми бере
ұмтылады.
Шешуі: 0
Айнымалы өзінің шегі а-ға үнемі онан үлкен бола отырып ұмтылады, яғни
а-ға кеми бара ұмтылады.
Мысал : түрінде берілген сан тізбегі өзінің шегі ге кеми
бара ұмтылады.
Шешуі: 0
теңсіздігі N нөмірінің қай мәніне бастап орындалатынын
анықтаймыз.
,
,
0
Демек n өссе қарастырылып отырған тізбектің мүшелері кемиді. Бұдан тізбек
өзінің шегі ке кеми бара ұмтылатынын көреміз.
Салдарлар:
1) Ақырсыз кішкене мен тұрақтының көбейтіндісі ақырсыз кішкене шама
болады.
2) Кез келген ақырсыз кішкене - шекара қойылған айнымалы, сонымен
бірнеше ақырсыз кішкенелердің көбейтіндісі де ақырсыз кішкене болады.
3) Ақырсыз кішкенелердің кез келген оң бүтін дәрежесі де ақырсыз кішкене
шама болады.
4) Ақырсыз мен арқылы текке ұмтылатын айнымалының ақырсыз кішкене болады.

3. Ақырсыз үлкен шамалар және олардың ақырсыз кішкенелерімен
байланысы.

Анықтама. Егер алдын- ала берілген мейлінше үлкен АО саны үшін Nа саны
табылатын теңсіздігін қанағаттандыратын n-нің барлық мәндері үшін
А теңсіздігін орындалатын болса, айнымалы хn ақырсыз үлкен шама
немесе ақырсыз үлкен болып табылады.
Мысалы:

1

Егер алдын –ала берілген мейлінше үлкен M0 саны үшін Nm нөмірі
табылып, nNm теңсіздігін қанағаттандыратын n-нің барлық мәндері үшін xnM
теңсіздігі орындалса, айнымалы xn-оң ақырсыз үлкен деп аталады , және
xn→+∞ , lim.
Егер алдына ала берілген сан номері табылып,
артық мәндері үшін теңсіздігі орындалса, айнымалы
теріс ақырсыз үлкен деп аталады.

Теорема 1. Егер ақырсыз үлкен, -шенелген айнымалы
болса, олардың қосындысы ақырсыз үлкен шама болады.
Теорема 2. Егер ақырсыз үлкен шамалар болса, олардың көбейтіндісі
де ақырсыз үлкен болады.
Теорема 3. Егер айнымалы ешбір мәні нолге тең болмайтын
ақырсыз кішкене шама болса, оған кері шама ақырсыз үлкен шама
болады: Керісінше, егер айнымалы ешбір мәні нольге тең
болмайтын ақырсыз үлкен шама болса, оған кері шама ақырсыз
кішкене болады.
Тізбекшелер . Больцано-Вейерштрасс теоремасы. Коши критерийі.
Анықтама: Егер нақты сандардан құралған тізбегінің кейбір бөлігін,
яғни тізбегін бөліп шығарсақ (2) тізбек (1) тізбектегі тізбекші
немесе (1) тізбектің бөліп тізбегі деп аталады.
Мысал: 1 ┘ 1,2,3,...,n,... шегі тізбекші шегі
2 –n,...,-4,-3,-1,1,2,3,4,...,n,...
3

Больцано-Вейерштрасс теоремасы:
Бернград Больцано (1781-1848)-чехтің философы және матиматигі.
Карл Вейерштрасс (1815-1897)- немістің көрнекті матиматігі.
Егер берілген (1) тізбек шенелген болса, оның құрамынан ақырлы шегі бар
тізбекше бөліп алуға болады;

Лекция.№3

Тақырыбы: Функция шегі. Функцияның Коши және Гейне бойынша шегі. Шегі бар
функциялардың қасиеттері. 1 және 2 тамаша шектер Функция шегінің
анықтамасы.
Анықтама : Кез-келген кіші сан Е0 үшін у=f(x)функцияның анықталу
аймағында сондай бір кіші сан табылып қанағаттандыратын
х тер үшін шарты орындалса А-ға f(x) функцияның дағы шегі
дейіледі. Ол былай жазылады.

болғанда f(x) функцияның мәні аралығында болып да f(x)
функця графигі (а,А) нүктеден өтеді.
1. Шегі бар функциялардың қасиеттері.
1). f(x) функцияның дағы шегі бар болса онда ол шек жалғыз.
2). болса деп жазса болады. Бүл жерде (x) дағы
шексіз кіші шама
3). Егерде x=a ның маңайында шарты орындалып,
болса онда болады.
4). Тұрақты санды функция шегінің алдана шығаруға болады.

5). Егер , болып А және В const болса онда.
А).
Алгебралық жиындының шегі қосылушылар шектерінің алгебралық жиындысына тең.

Б).
Көбейтіндінің шегі көбейушілер шектерінің көбейтіндісіне тең.

2. Тамаша шектер.
А). Бірінші тамаша шек.
Теорема
Дәлелі: 0А=1 сызбадан десек АВ=sinx 0В=cosx және CD=tgx болады.

Сонымен бірге (1)
(2)

(2)ні ке көбейтсек онда болады немесе
Лимиті бар функциялардың 4-ші қасиетінен келісіп шығарады.
Мысалдар: 1)

2)
3)

Б). Екінші тамаша шек.
Теорема: сан тізбегінің шегі да 2 мен 3 арасындағы санға
ұмтылады.
Дәлелі: ді Ньютон биномы бойынша жіктейік. Бұл жерде x=1
болғандығы үшін

болғанда (1)-дің барлық мүшелері оң таңбалы және олар (2)
сан тізбегі сәйкес мүшелерінен үлкен емес, ал (2) нің жақша ішіндегі
бөлігі болған кемейуіші геометриялық прогрессия . Сондықтан
теңсіздігі орындалады. Яғни ті аламыз.
Анықтама: е иррационал сан болып ол 2,7182818284... ке тең.
Теорема: Дәлелі.

ден келіп шығады.
Мысалдар:
1)
2)

Лекция №4

Тақырыбы: Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі. Үздіксіз функциялардың
қасиеттері. Кері функцияның үздіксіздігі. Кантор теоремасы.

1.Фуңцияның нүктеде және (а,в) интервалда үзіліссіздігі.

Берілген болсын y=f(x) фуңция. Оның анықталу аймағы ішіндегі х0 ге
өсімше берсек фуңцианың өсімшесі ге тең болады
Анықтама. 1. Аргумент өсімшесі да са f(x) ке нүктеде
үзіліссіз фуңция делінеді.
немесе
Анықтама 2. Фуңцияның анықталу аймағында (а,в) интервалдың әрбір
нүктесінде үзіліссіз болған f`(x) ке (а,в) интервалда үзіліссіз фуңция
делінеді.

2. Элементар функциалардың үзіліссіздігі.

Әрбір элементар функция өз анықталған аймақтың барлық нүктелерінде
үзіліссіз
Мысалы : 1) y=x2 функция анықталған

2)

3.Үзіліссіз функциялар туралы теоремалар

Теорема 1. Бір нүктеде үзіліссіз болған бірнеше ақырлы функциялардың
жиындысы үзіліссіз функция болады.
Дәлелі: x=x0 нүктеде үзіліссіз болған W=U+V+...+Z фуңциалар берілген
болып. болсын

Сонда

Теорема 2 Саны шекті үзіліссіз функциялардың көбейтіндісінде және
бөліндісі үзіліссіз функция болады.

4.Үзіліксіз функциялардың қасиеттері туралы теоремелар.

Теорема 1. Берілген[а,в] аралықта үзіліссіз болған функция осы арлықта
өзінің кемінде бір рет ең үлкен және кемінде бір рет ең кіші мәнін
қабылдайды.

Теорема 2. Берілген [а,в] аралықтағы үзіліссіз болған f(x) функция осы
аралықтың шекті нүктелдерде түрлі таңбалы мәндер қабылдаса, онда бұл
функция[а,в] аралығында кемінде бір рет нөлге тең болады.

Теорема 3. (Вейыршырас теоремасы ) f(x)функциясы [а,в] сегментте үзіліссіз
болса онда ол жоғарыдан M төменнен m тұрақты сандар мен шекараланған яғни
болғанда болады.

5.Функцияның үзіліс нүктелері.

Анықтама. Берілген y=f(x) функция бірер х0 нүктеде үзіліссіз болмаса х0
нүктеге f(x)тың үзіліс нүктесі делінеді.
Үзіліссіз нүктелері бірінші және екінші түрге бөлінеді. Функция ұзіліс
нүктесінің оң және сол жағы лиметтері анық болдып олар бір-біріне тең
болмаса (айырмасы анық сан болса) онда х0 ге бірінші түр үзіліс нүктесі
делінеді. болып, А –const; B-const.
Мысалы нүкте І түр үзіліс нүктесі болады.

Бірінші түр үзіліс нүктелерінен басқа үзіліс нүктелеріне екінші түр
үзіліс нүктелері дейіледі.

Мысалдар функция нүктелерде екінші түр үзіліске ие.
функция х=2 де екінші үзіліске ие.

Лекция №5

Тақырыбы: Функцияның өсімшесі.Туынды, оның геометриялық және механикалық
мағынасы.

1. Туындысы түсінігіне алып келуші мәселелер.

Автомабил АВ арасындағы s жолды t уақытқа басып өтсін. Ал В мен С
арасындағы жолды уапқытта басып өтсін. Сондада оның ВС
арасындағы орташа жылдамдығы ге тен болады кемейген сайын
ның мәні Автомабилдің В нүктесіндегі жылдамдық мәніне ұмтылады. Енді
бұл мәселенің жалпы шешіуін көріп шығайық.
Берілген (а,в) аралықта үзліссіз болған y=f(x) функцияның нүктедегі
аргументі өсімше қабылдансын сонда функция өсімшесі (1)
болады. Оның аргумент өсімшесіне қатысты .
Анықтама. Функция өсімшесінің аргументі өсімшесіне қатысының аргумент
өсімшесі нольге ұмтылғандағы лиміті бар болса оған функцияның х0
нүктедегі туындысы дейіледі.
Ол былай жазылады: немесе мен белгіленеді.
Функцияның туындысын табу операциасы оны диференциалдау деп аталады.
2. Функция туындысының геометриялық және механикалық мәндері.

Сызбадан М нүкте f(x) функцианың графигін бойлап жылжып М0 нүктенің
үстінде жайласқанда М0М қайталанушы функция графигінің М0 нүктесіндегі
жанамаға айланады.Ал сонымен бірге сызбадан екендігін көреміз. М
нүкте функция графигі бойлап жылжып М0 үстіне жайласқанда яғни
да ға ұмтылады.
Сонда болады.
Бұл тендіктен төмендегі қортындыға келеміз:
Функция туындысының геометриалық мәні оның графигінің туынды алынып отырған
х0 нүктесіне өткізілген жанама мен 0х өсі оң бағыты арасында бұрыштың
тангенісіне тен.
Функция туындысы бар болған нүктелерде ол үзіліксіз болады. Бірақ бұның
керісі орынды емес.
у=f(x) функция туындысы бар болған нүктегелерде үзілісіз. Бірақ ол
үзіліссіз болған барлық нүктелерде оның туындысы болуы шарт емес
Мысалы. нүктеде үзіліксіз. Бірақ бұл нүктеде оның туындысы жоқ.

Яғни х бірге сол жағынан ұмтылғандығы мәні мен
оңжағындағыұмтылғандығы мәніне тең емес. Сондықтан бұл нүктедегі тың
туындысы жоқ.
Ал енді туындының механикалық мәніне келсек ол әрекеттегі дененің жол
формуласынан уақыт бойынша алынған туынды дененің жылдамдығы формуласын
береді.
Мысалы болса оның жылдамдығының формуласы болады.
2. Функцияның туындысын табудың қарапайым қағидалары.

1. Тұрақты санның туындысы 0 ге тең .
2. Екі функция алгебралық жйындысының туындысы олардың туындыларының
алгебралық жиындысына тең

3. Екі функция көбейтіндісінің туындысы олардан біріншісінің туындысын
екіншісіне көбейтіндісіне екіншісінің туындысын біріншісіне көбейтіндісін
қосқанға тең.

3.
Енді жоғарыдағы қарапайым функцияларды туындысын табу қағидаларына сүйеніп
негізгі элементар функциялардың туындысын табу формулаларын келтіріп
шығарайық.
1. у=хn болсын

Мысал: а)
Б)

2 y=sinx;
осы жолмен тың туындысы табылады.

3.
Осы жолмен табылады.
4.

5.

Анықталмаған функцияның туындысы.
Анықталмаған функцияның жалпы көрінісі F(x,y)=0 жазылады.
Мысалы, радиусы R-ге тең орталығы тік бұрышты Oху өріс басында болған
шеңбердің теңдеуі x2+y2=R2 болып онда у анық көрсетілмеген. Бұл
теңдеуді х және у бойынша дефференциалдап у тің күрделі фукциялығын яғни х
тің функциясы екендігін есепке алсақ (x2+y2-R2=0)1=2x+2y*y1=0 болады. Бұл
теңдіктен y1=- екендігін көреміз.
Сүйтіп F(x,y)=0 функцияны дифференцалдағанда
А) Одан х және у бойынша туынды табамыз.
В) у бойынша алынған туындыларды у1 ке көбейтеміз.
С) Теңдеуден у1 ты табамыз.
Мысалдар: 4х5-2ху3-у=0;
4*5х4-2у3-2*3у2*у*х-у1=0
9ху2у120х4-2у3-у1; у1=
х3-у3+3х2у2=0
3х2-3у2у1+6х2уу1=0
у(6х2-3у)у1=-3х2-6ху2; у1=;

2. Күрделі функцияның туындысы.
Анықтама: Функцияның өзі де дәрежеліде бірар аргумент х тың функция болса
оған күрделі дәрежелі функція дейіледі. Ол былай у= жазылады. Қысқаша
у=UV Бұл функцияның туындысын табу үшін .
а) оны логарифм дейміз lny=u*lnU
б) у және х тың функциясы екендігін есепке алып (2) ның туындысын
аламыз.
y1 =Uv(V1lnu+
Мысалдар. А) y=(sinx)x2 болса y1=(sinx)x2*(2xln
Б) y=(tgx)x3-4. y1=(tgx)x3+4*

3. Кері функцияның туындысы.
Теорема: Бірар y=f(x) функция (a,в) аралығында қатаң өсуші, үзліксіз болып
x(a,в) нүктеде нөлге тең болмаған туындыға ие болсын. Сонда f(x) ке
кері болған x=(y) функция да туындыға ие болады.
Дәлелі: Теореманың шартынан f(x) x(a,в) да қатаң өсуші. Сондықтан
(y) те сол аралықта қатаң өсуші болады.y y өсімше берек
сонда х – та өсімшеге ие болады және y да ұмтылыды.
Енді келіп шығады.
Мысалдар: 1).

2).

4. Параметр арқылы берілген функцияның туындысы.
функцияға кері функция бар болып, оның туындысы
ке тең болсын, сонда болады. Ал енді күрделі функциядан
туынды алсақ келіп шығады.
Мысалдар: Радиусы R=a болған шеңбердің параметриялық теңдеуі
1). болады.
2).
3). Циклоиданың теңдеуі.

5. Гиперболалық функциялардың туындысы.
Гиперболалық функциялар деп төмендегі функцияларға айтылады.

екендігін дәлелденеді.

Лекция №6

Дифференциал және оның геометриялық мәні.

Бірер (а,в) интервалда y=f(x) функция диференциалданушы болсын.

қа функция өсімшесінің бас бөлегі, қа екінші дәрежелі бөлегі
дейіледі.
Анықтама: y=f(x) функция өсімшесінің бас бөлегіне оның диференциалы
делінеді. Ол былай жазылады аргументтің диференциялы оның
өсімшесіне тең. Өйткені d(x)=x1 dx=1*dx=dx
Ал функцияның диференциялы оның өсімшесіне тең емес
Себебі

Дифференциалдың геометриялық мәні сызбада көрсетілген болып, ол функция
графигінің дөңес нүктелерінде dyy, ойыс нүктелерінде dyy
екендігін көреміз. yy болғанда dyy деп алсада болады.
Мысалы: 1) Қабырғасын=100 болған квадраттың қабырғасына 1м қосқанда оның
ауданы қаншаға өзгереді.

S=(x+
ds==2xdx=200m2
Яғни функция өсімшесі орнына оның дифференциалын алсақ бары жоғы 1м2 қа
қате қылар екенбіз.
2. sin600=sin(600+10)=sin600+cos600*
таблицадан sin600mi тапсақ ол 0,875 ке тең. ға тең
3. ; х=100 dx=x=2 2100 Сондықтан ден түбір шығаруды
формуламен есептесек болады. Кесте немесе колкулятордан
екендігін табамыз.
Ферма теоремасы. Егер [а,в] интегралдың барлық нүктелерінде
дифференцалданушы у=f(x) функция осы интегралдың бірар ішкі с нүктесідеп
локалдық экстремумге ие болса онда f1(с)=0 болады.
Дәлелі: аcв тенсіздікті f(x) функция қанағаттандырушы с нүктеде лоналдық
max ие болсын.Сонда
f(c+f(x)0 болады.

Ролл теоремасы интервалдың барлық нүктелерінде дифференцалданушы f(x)
функция үшін f(a)=f(в) шарты орындалса онда аралығында сондай бір с
нүкте табылып f1(c)=0 болады.
Дәлелі. Теореманың шарты бойынша.f(a)=f(в) сондықтан f(х) функция
сегменттің кемінде бір нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші мәнін қабылдап
сол нүктеде Ферма теоремасына сәйкес нолге тең болады.

Лагранж теоремасы. F(x) функция сигменттің барлық нүктелерінде
дифференцалданушы шартын қанағаттандырушы с нүкте табылып f(в)-
f(a)=f1(c)(в-а) болады.
Дәлелі Ролл теоремасы шартын қанағаттандырушы F(x)=f(x)-f(a)-
функцияны аламыз:
Бұл тендіктен F (a)=0; F(в)=0; F1(x)=f1(x)- acв шартын
қанағаттандырушы с нүктеде F1(c)=0 болады: Сондықтан → келіп
шығады.

Коши теоремасы: сегментетің барлық нүктелерінде f1(x) және 1(x)
орындалып болса онда аcв қанағаттандырушы с нүктеде
болады.Дәлелі; Лагранж теоемасына сәйкес

2. Анықталмағандықтарды шешу. Лопиталь әдісі.
Lim f(x)=0 lim(x)=0 lim анықталмаған. Лоптал осындай
анықталмағандықтарды шешу туралы төмендегі теореманы дәлелдеген.
Теорема: f(x)және интервалда Коши теоремасы шартын қанағаттандырып
хх0 де f(x0)= (х0)=0 болсын. Сонда болады (
Мысалдар.1. жауабы;4
2. ; жауабы;
3. жауабы; 1
Бір мысалды шешу үшін политал әдісін бірнеше рет қолдауғада болады.
Мысал:
Мысал. ; ; бұны есептеу үшін алымынында бөліміненде n+1
рет туынды алсақ болады. ; 1анықталмағандықтар
немесе анықталмағандықтарға келтіріліп анықталады. 0,; 0; ;
Мысалдар. 1) lim(1-x)tg бұл 0,.Сондықтан жауап
2. анықталмаған
lny=; ; lny=-1 ; y= жауабы
3. tg( бұл 1 lny=tg

2. Жоғарғы реттік туындылар мен дифференциалдар.

(а,в) аралықта f1(x) орынды болсын. Сонда f1(x) тен алынған туындыға
f(х) тен алынған екінші ретті туынды дейіледі. Осы жолмен f(x) тің n-ші
ретті туындысы табылады.

Біріншіден бесінші ретке дейінгі туындыларды рим сандарымен, ал алтыншыдан
бастап оларды жақша ішіне алынған араб сандарымен белгілеу қабылданған.
Оларды дәрежеден айыру үшін жақшаның ішіне алып жазу қабылданған.
Мысал:f1(x); f11(x); f111(x); fIV(x); fV(x); f(6)(x); f(7)(x);...
Мысалдар: 1)y=sinх

y1=cosx=sin(x+)

y11=cos(x+)=sin(x+2)
y111=cos(x+2)=sin(x+3)
... ... ... ... ... ... ... ...
y(n)=sin(x+n)
2)y=cosx
y1=-sinx=cos(x+)
y11=-sin(x+)=cos(x+2)
y111=sin(x+2)=cos(x+3)

... ... ... ... ... ... .
y(n)=cos(x+n)
3) y=eax
y1=aeax
y11=a2eax
y111=a3eax
... ... ... ... ... ..
y(n)=aneax
n-ші ретті туындысы бар болған екі функцияның көбейтіндісінен алынған п-
ші ретті туынды формуласын Лейбниц қорытып шығарған. Ол былай жазылады.
y(n)=(U*K)(n)=U(n)V+nU(n-1)V1+U(n-2 )V2+...+UV(n)
Немесе y(n)=(U*V)(n)=C0nUnV+C1nU(n-1)V1+C2 nU(n-2)V2+...+CnnUV(n)
(C0n=Cnn=1)

Енді функция дифференциалының жоғарғы реттеріне келсек.
y=f(x) функция күрделі болмаса d(n)y=f(n)(x)dxn формуламен табылады.
Анықталмаған және параметр арқылы берілген функциялардың екінші ретті
туындысын табуды мысалда көрсетейік.
Мысал: 1.

берілген болсын

1. Тейлор, Маклорен формулалары.

Берілген y=f(x) функцияның х0 нүктеде кемінде n+1 ретті туындысы бар болса
онда f(x) ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.