Жиындар мен математикалық логика элементтері. Дәрістер жинағы

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 94 бет
Таңдаулыға:

Жиындар мен математикалық логика элементтері. Нақты сандар және олардың қасиеттері. Бірінің ішінде бірі кесінділер қағидасы. Жиындар. Жиындарға қолданылатын амалдар. Функциялар. Функцияларды композиция-сы(бейнелеу), Элементар функциялар. Функция графигі, кері функция.

Математика пәні кісілік қоғамында ерекше орын алады. Басқа табиғи пәндер үшін түрлі табиғи құбылыстар арасындағы қатыстарды зерттейді. Табиғи құбылыстардың моделін жасайды, және олардың элементтері арасындағы байланысты зерттейді. Бұның үшін тұрақты және айнымалы шамаларды қолданады. Кемінде екі түрлі мәнді қабылдайтын шамаға айнымалы шама делінеді. Айнымалы шамаларды x, y, z, t… лармен ал тұрақты шамаларды a, b, c, d, …лармен белгілеу қабылданған. Айнымалы шаманың мәндері тобына шаманың мәндері жиындысы делінеді. Жиындар бас әріптермен белгіленеді. Мысал. а ∈ А жазуы а А жиынның элементі екендігін ал а ∉ А жазуы а А жиынның элементі емес екендігін білдіреді. А жиынның элементтері А={a ₁ , a _{2, …,} a _n }={a _n } мен белгіленеді. А жиыны негізгі U жиынының d қасиетіне ие болатын элементтерінің жиынтығы ретінде берілсе ол А ={x∈U:d(x) } арқылы белгіленеді.

Мысал .

А={x∈N:x≥100}={100, 101, 102, …} < A={1, 2, 3, 5, 7, 10}, B={4, 5, 8, 10, 12} болса

A={ x∈N: (x ² -4x+3) =0}= {1, 3}

A+B ға А және В жиындардың бірігуі деп аталады ол А ∪ В арқылы белгіленеді. A*В А және В жиындыларының қиылысуы деп аталады ол А∩ В арқылы белгіленеді.

Мысал. А={1, 235, 7, 10} В={4, 5, 8, 10, 12} болса А ∪ В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12};

A={1, 2, 3, 4, 5}, B={3, 4, 5, 6, 7} болса А ∩ В= {4, 5}

Бірігу және қиылысу төмендегі қасиеттерге ие.

1. А ∪ В = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A коммутативтік қасиеті

2. A∪ (B∪C) = (A ∪B) ∪C, A ∩( B ∩ C) = (A ∩ B) ∩C ассоциативтік қасиеті

3. A∪ (B∩C) = (A ∩ C) ∪(B∩C) дистрибутивтік қасиеті

(A ∩ B) ∪C=( A ∪C) ∩ (B∪C)

А∪∅=A А∩∅=∅ (∅ бос топ)

А∩В=∅ болса А және В қиылыспайтын жиындар

A \ B немесе А-В - А жиынының В Жиынына тиісті болмаған элементтеріне айтылады.

Мысал. C = A\B={x∈A:x∉B}

A={1, 2, 5, 7}, B={3, 5, 9} болса, C={1, 2, 7} болады.

А жиынының толықтауышы мен белгіленеді. Сонда болады.

Енді негізгі сандар жиыннын атап өтейік.

{1, 2, 3, …}=Nнатуралсандар жиыны.

Натурал сандар жиынында қосу және көбейту амалдары үнемі орындалады.

2. {…, -2, -1, 0, 1, 2, …} =Z бүтін сандар жиыны.

Бүтін сандар жиынында қосу, алу және көбейту амалдары үнемі орындалады.

3. сандар рационал сандар жиыны деп аталады.

Рационал сандар жиынында қосу, алу, көбейту және бөлу амалдары орындалады. (математикада нөлге бөлу амалы жоқ)

4. Рационал болмаған сандар жиыны иррационал сандар жиыны деп аталады.

Мысал: π≈3, 1415 . . . е ≈ 2, 7182818284 . . . , , . . .

5. Рационал және иррационал сандар тобы нақты сандар жиыны деп аталады. Ол R мен белгіленеді. Нақты сандар мен Ох өсі нүктклері арасында бір мәнді сәйкестік орнатылған.

Нақты сандар жиынында қосу, алу, көбейту, бөлу, дәрежеге көтеру және оң сандарға түбір шығару амалдары орындалады.

Кейбір математикалық логика символдары.

1. α⇒β жазуы α дан β келіп шығады дегенді білдіреді. ⇒ - имплекация символы.

2. α⇔β α дан β, және β дан α келіп шығады дегенді білдіреді, яғни α=β. ⇔ - пара -пар символы.

3. α∧β α және β дегенді білдіреді. ∩ - коньюнкция символы.

4. α∨β α немесе β дегенді білдіреді. ∨ - дизьюнгция символы.

∀х∈Х:α(х) Х жиынының кез келген х элементі үшін α(х) қасиеті орындалады дегенді білдіреді. ∀Ағылшын Any-барлық сөзінің бірінші әріпінің төңкеріліп жазылуы.
∃ х∈Х: α(х) Х жиынында α(х) қасиетке ие болған х элементтері бар дегенді білдіреді. ∃ Ағылшын Existens-бар деген сөзінің бірінші әріпінің теріс жазылуы. Х та α(х) шартына ие болған тек қана бір х бар болса ∃! х∈х: α(х) арқылы жазылады.

Кесінді, аралық және шенелген жиын.

[а, в] теңсіздікті қанағаттандырушы х сандар жиынына кесінді немесе сегмент делінеді.

(а, в) - a<x<в теңсіздікті қанағаттандырушы х сандар жиынына интервал делінеді.

[а, в) немесе (а, в] белгілері жартылай сегмент деп аталады.

Кеңейтірілген сандар өрісінде а санының ε маңайы Оε(а) арқылы белгіленед Оε(а) =(a- ε, a+ ε) ={x∈R: ε}

X жиынының үшін шарты орындалса Х жоғарыдан, ал шарты орындалса Х төменнен шенелген делінеді.

Функция анықтамасы. Функцияның берілу тәсілдері

Анықтама. Егер қарастырылып отырған айнымала шама Х-тің әрбір мәніне белгілі заң немесе ереже бойынша айнымалы шама у-тің анықталған бірақ мәні сәйкес келіп отырса, айнымалы шама у айнымалы шама х-тің функциясы деп аталады. Мұндағы х - тәуелсіз айнымалы немесе аргумент , ал у - тәуелді айнымалы немесе функция деп аталады.

Анықтама. Егер тәуелсіз айнымалы х- тің әрбір мәніне белгілі заң немесе ереже бойынша тәуелді айнымалы у-тің бірнеше мәндері сәйкес келетін болса, ондай айнымалы у- көп мәнді функция деп аталады.

Функция берілген деп саналады, егер: біріншіден, аргументтің қарастырылатын мәндерінің жиыны көрсетілген болса; екіншіден, аргумент х- тің берілген мәні бойынша функция у-тің сәйкес мәнін табуға мүмкіндік беретін сәйкестік заң көрсетілген болса.

Функцияның белгіленуі: y=f(x) , y=φ(x), , y=F(x)

Оқылуы: игрек икстен эфке тең, игрек икстен фиге тең.

Мұндағы f, φ, ψ, F- аргумент х- тің берілген мәні бойынша у-тің сәйкес мәні қалай табылатынын көрсететін заңды немесе ережені бейнелейді.

Функция ұғымы бүкіл математика үшін өте маңызы зор ұғым, сондықтан да, ол ұғым математикалық дамудың ең негізгі обектісі болып саналады.

Анықтама . Функция анықталған немесе ақырлы нақты мәндер қабылдайтын тәуелсіз айнымалының барлық мәндерінің жиыны сол функицяның анықталу облысы немесе функцияның бар болу облысы деп аталады, ал функцияның барлық мәндерінің жиыны функция мәндерінің жиыны деп аталады.

Мысалы: анықталу облысын табу керек.

Шешуі. Қарастырылып отырған f(х) функциясының мәндері аргумент х-тің мәндері мына екі теңсіздікті бір кезде қанағаттандырғанда ғана нақты сандар бола алады.

х² - 9>0 х²- 16>0

│х│>3 │х│>4

Функицяның анықталу облысы │х│>4 теңсіздігін қанағаттандыратын х-тің барлық мәндерінің жиыны болады, яғни (-∞; -4) (4; +∞)

2) және

3) φ(х) = D-?

а) 1-х >0 х²-х-6>0 б) 1-х< 0 х²-х-6<0

1-х>0 (х+2) (х-3) >0 1-х<0 (х+2) (х-3) <0

-х>-1 х<-2 х>3. х>1 -2<х<3 (1; 3)

х< 1 (-∞:-2)

1<х<3

4) g(x) = ln (1-2cosx) D (g) -?

1-2cosx>0

cosx < , те cosx = ; сонымен, <х< ,

R=0, 1, 2, . . .

5) D(h) -?.

- , , ,

2x≤1+x 2x≥-1-x

x≤1 2x+x>-1

3x≥-1

x≥-

F(x) =

-1 -1≤sinx≤1, ендеше -1< <1- орындалмайды.

.

Функцияның графигі.

(а, в) аралығында анықталған у=f(x) функциясы берілген делік. Ол дегеніміз (а, в) аралығындағы х-тің әрбір мәніне у-тің анықталған біріңғай мәні сәйкес келеді.

Жазықтықтағы тік бұрышты координаталар системасын алалық. N нүктесі (а, в) аралығындағы абщиссасы х - ке тең нүкте болсын. Абсциссалар өсіне N нүктесі арқылы өтетін перпендикуляр тұрғызайық. Сонда абсциссасы х-ке тең, оған сәйкес кординатасы f(x) ке тең болатын М нүктесі тұрғызылған перпендикулярдың бойынша орналасады және ондай нүкте жалғыз болады. Сонымен ON=x, NM=y=f(x) . NM кесіндісінің М нүктесін х-тің берілген мәніне сәйкес келетін f(x) тің мәнінің геометриялық кескіні деп санаймыз. Осылайша берілген функцияның геометриялық кескінін сала аламыз. Ол кескін аргументтің қабылдайтын барлық мәндеріне сәйкес функцияның барлық мәндерін кескіндейтін нүктелердің геометриялық орны болады.

Қозғалмалы М нүктесі жасаған бұл геометриялық орын f(x) функциясының графигі деп аталады.

Сонымен, абсциссалары - аргументтік мәндері, кординаталары - функцияның мәндері болатын жазықтықтағы нүктелердің жиыны функцияның графигі деп аталады.

Функцияның графигтері қисық сызықтар немесе түзулер болады.

Функцияның графигін салу үшін, ол функцияның аргументінің бірнеше мәндерін алып, оған сәйкес функцияның мәндерін тауып таблица құру керек.

Х-тің мәндері: Х-тің мәндері

……. .: ……. .

Х-тің мәндері: У-тің мәндері.

……. .: ……

Мысалы: 1) f(x) = x+1 y=ax+b

x: x

0: 0

1: 1

x: F(x)

0: 1

1: 2

0 1

2) у=

-1 1

І. Функцияның берілу тәсілдері.

1. Аналитикалық тәсілмен берілу.

Сандарға және айнымалы шамаларға белгілі бір тәртіп бойынша қолданылатын матеметикалық амалдардың жиынын аналитикалық өрнек деп түсінеміз.

Функцияның негізгі берілу түрі формуламен, яғни аналитикалық түрде.

Мысалы:

рационал сан болса: рационал сан болса

рационал сан болса: - ирационал сан болса

3) sign x = 1 x>0

Sign x =-1 x<0 sign - таңба

Sign x = 0 x=0

Sign

ІІ. Функцияның кестемен берілуі.

Функцияны оның мәндерінің кестесі арқылы берілуі функцияның кестелік түрде берілуі деп аталады.

ІІІ. Функцияның графикпен берілуі.

IV. Функцияның сөзбен берілу тәсілі.

Бір сарынды немесе үзік бір сарынды функциялар.

Функцияны зерттеу дегеніміз: аргументтің өзгеруіне байланысты функцияның өзгеру ағымын сипаттау. Функциялық өзгерістердің бірі функцияның өсуі және кемуі.

Анықтама: (а, в) аралығындағы аргументтің кез келген мәндері мен үшін теңсіздігі орындалуымен бірге теңсіздігі де орындалса, f(x) функциясы (а, в) аралығында бір сарынды өспелі функция деп аталады.

Анықтама: Егер (а, в) аралығындағы аргумент х-тің кез келген екі мәні мен үшін теңсіздігі орындалуымен бірге арақатысы орындалса, f`(х) функицясы (а, в) аралығында кемімейтін функция деп аталады.

Анықтама: Егер (а, в) аралығындағы аргумент х-тің кез келген екі мәні мен үшін

теңсіздігі орындалуымен бірге теңсіздігі орындалса, яғни f(х) функциясы бір сарынды кемімелі функция деп аталады.

Анықтама : Егер f(х) функциясы (а, в) аралығында беріліп, теңсіздігі орындалуымен бірге арақатысы орындалса, f(х) функциясы (а, в) аралығында өспейтін функция деп аталады.

Осы берілген төрт түрлі функцияны біріктіріп, берілген (а, в) аралығындағы бір сарынды функция деп атайды.

Егер (а, в) аралығында анықталған, бірақ бүкіл аралық бойында бір сарынды болмайтын f(х) функциясы (а, в) аралығының бөлік ) аралықтарында бір сарынды болып келсе, ол функция үзік бір сарынды функция деп аталады.

Ж¥П ЖӘНЕ ТАҚ ФУНКЦИЯЛАР

Анықтама. Егер М жиынының құрамына кез келген х санымен бірге оған симметриялық - х саны да кірсе, ол М жиыны симметриялық жиын деп аталады.

Симметриялық жиындарға мысалдар: барлық бүтін сандар жиыны, [-5, +5] сегментіндегі барлық сандардың жиыны, (-b, +b) интервалындағы барлық сандардың жиыны.

Анықтама. Егер f(х) симметриялық облыста берілсе және сол облыстағы аргумент x-тін, кез келген мәні үшін

f(-x) =f(x) (1)

теңдігі орындалса, f (х) сол симметриялық облыста жұп функция деп аталады.

Басқаша айтқанда: егер аргументтің мәні х-ті -х - ке ауыстырғанда f(x) -тің мәні өзгермейтін болса, f( х) -ті жұп функция деп атайды.

М ы с а л ы: у = sес x; у = х ²ⁿ (бұндағы n - натурал сан), у = 2х ⁴ - 5х ² - 3; у = 2 - sіn ² х; функциялары интервалында жүп функциялар.

Енді f (х) = ln(1- х) + ln (1 +х) функциясы өзінің анықталу облысында жұп функция екенін көрсетелік.

Шынында, берілген f (х) функциясы (-1, +1) интервалында анықталған.

F(-x) =ln[1-(-x) ] +ln[1+(-x) ] =ln(1+x) +ln(1-x) =f(x) .

Демек, f (-х) =f(х) болады, яғни берілген функция (-1, + 1) интервалында жұп функция.

Жұп функцияның графигі ординаталар осіне симметриялық түрде орналасатындығын f( -х) =f(х) теңдігінен көруге болады.

Анықтама. Егер f( х) симметриялық облыста беріліп, облыстағы аргумент x-тің кез келген мәні үшін

f (-х) = - f(х) . (2)

теңдігі орындалса, яғни аргументтің таңбасы кері таңбаға ауысқанда функцияның да таңбасы кері таңбаға ауысса, f(x) сол облыста тақ функция деп аталады.

М ы с а л ы: у=х ³ ; у=7х ⁵ - 2х ³ + х; у=сosес х; у=х ^2n-1

(бұндағы n -натурал сан) ; y= ; у= х x ; у = сtgх функциялары тақ функциялар.

Енді g (х) =ln өзінің анықталу облысында тақ функция екенін көрсетелік.

Шынында: бұл функцияның анықталу облысы (-1, + 1) интервалы. Ал

g(-x) =ln =ln =ln(1-x) -ln(1+x) =

=- [ln(1+x) -ln(1-x) ] =-ln =-g(x),

яғни g (-х) = -g(х) . Демек, берілген функция g(x) (-1, +1) интервалында тақ функция болады. Тақ функцияның графигі координаталар системасының бас нүктесіне симметриялық түрде орналасады.

Сөйтіп, егер тақ функция х=0 нүктесінде анықталған болса, функцияның ол нүктедегі мәні нольге тең. Бұдан х = 0 нүктесінде анықталған тақ функцияның графигі міндетті түрде координаталар системасының бас нүктесі арқылы өтетіндігіне көзіміз жетеді.

Периодты функциялар

Анықтама. Егер f(х) функциясының анықталу облысындағы аргумент х-тің әрбір мәні үшін f(x+L) =f(x) (1)

теңдігі орындалатын нольге тең емес L саны табылатын болса, f(х) - периодты функция, L саны - f(х) -тің периоды деп аталады.

Егер (1) теңдікті х + l нүктесі үшін қолдансақ,

f[( х+l) +l] =f(x+l) =f(x), немесе

f(x+2l) =f(x)

болар еді. Бұл процесті соза берсек, мына теңдіктер орындалар еді:

F(х+3l) =f(х) .

f(х+4l) =f(х),

F(х+nl) =fх)

. .,

Сонымен, егер периодты f( х) функциясының анықталу облысында х болса, х + nl сандары да (n - кез келген натурал сан) f(х) -тің анықталу облысында болады және nl сандары f(x) -тің периодтары болады. Периоды L-ге тең функция f(х) үшін f(х) =f[(х-I) +l] теңдігі де орындалатын болғандықтан, ( -L) саны да f(х) -тің периоды болады. Сондай-ақ жоғарыдағыша байымдап тек саны ғана емес, - 2l, -3l, . . . , -nl сандарының да f(х) үшін периодтар болатындығын байқау қиын емес.

Сөйтіп, егер f(х) -периодты функция болып, оның периоды болса, k l (бұндағы k - кез келген нольге тең емес бүтін сан, k=±1, ±2\ . . . ; ±nl) сандары да f(x) -тің периодтары болатыны айқындалады.

Демек, егер f(х) (- , + ) интервалында периодты функция болса, ол функцияның міндетті түрде оң периоды болуға тиіс, өйткені және сандарының бірі оң сан болатыны анық. Сондықтан да (- , + ) интервалындағы периодты функцияның оң периодтары сансыз көп. Оң периодтарының жиынында ең кіші ω саны болуы мүмкін. Бұл санды ең кіші период немесе негізгі период деп атаймыз.

Периодты функцияларға мысалдар келтірейік.

1) Тригонометриялық функциялар:

sinx, cosx, tgx, ctgx.

sinx пен соsx-тің ең кіші (немесе негізгі) периоды 2π, ал tgx пен сtgх-тің периоды π .

2) f (х) =х-Е (х) функциясы (- , + ) интервалында - периодты функция және оның негізгі периоды 1.

Ш ы н ы н д а:

f(x+1) ) =x+1-E(x+1) =x+1-[E(x) + ] = x-E(x) =f(x), яғни

f(x+1) =f(x) .

Элементар функциялар. Кері функция. Күрделі функция.

Параметрлі түрде берілген функция.

Бір аргументті функциялардың ішінде элементарлық функциялар деп аталатындары әдейі бір топқа бөлінеді. Олардын, бұлай аталуының себебі: олар басқа элементарлық емес функциялардан тарихта бұрын шықкан, жан-жакты зерттелген, кұрылысы біркелкі қарапайым болып келеді, және жиі колданылады.

Элементарлык. емес функцияларды көбінесе арнаулы ф у н к ц и я л а р деп атап жүр. Бұл функциялар математика ғылымының дамуындағы соңғы дәуірлерде кұбылыстардың математикалық жактарын зерттеу мәселелері элементарлық функциялардың мүмкіншіліктері шеңберіне симаумен байланысты пайда болды.

Элементарлык функцияларға төмендегі функциялар жатады:

Дәрежелікфункцияf (х) =ха(бұндағыа- кез келгеннақты сан) ;
Көрсеткіштікфункцияф(х) =ах(бұнда а>0) ;
Логарифмдікфункцияф(х) =lgах(бұнда а>0) ;
sіnx:, соsх, tgх, сіgх, sесх, соsесх;

5. Кері тригонометриялық функциялар агсsіпх, агссоsх,
агссtgx, агсsесх, агссоsесx

Ескерте кететін бір нәрсе мынау: элементарлық функцияларға алты алгебралық амалды (қосу, азайту, көбейту, бө-лу, бутін оң дәрежеге шуғару және түбірлеу) қолдану.

Барлық элементарлық функцияларды екі типке бөлуге болады:

Алгебр алық функциялар.
Трансценденттік функциялар.

Элементарлық алгебралық функциялар мынадай кластарға бөлінеді:

Рационалдық функциялар.

а) Бүтін рационалдық функциялар.

б) Бөлшек рационалдық функциялар.

2. Иррационалдық функциялар.

Анықтама . Егер функциясы дәреже көрсеткіші терім емес бүтін сан болатын және коэффициенттері нақты сандар ғана болып келетін айнымалы тің дәрежелерінің қосындысы түріне келтірілетін болса, - бүтін рационалдық функция деп аталады.

Анықтама . Егер функциясыекі бүтін рационалдық функцияның қатынасы түріне келтірілетін болса, ол бөлшек рационалдық деп аталады.

Демек, бөлшек рационалдық функцияның жалпы түрі мынадай болатын болды:

Бұдан

Бөлшек рационалдық функцияларға мысалдар: , .

Егер рационалдық функцияларға түбірлеу амалын колдансақ, иррационалдық функция пайда болады; оған мын а төмендегі мысалдарды келтіре кетейік:

, ,

Анықтама. Егер у=f (х) функциясы

теңдеуінен анықталатын болса (бұнда: Р ₀ (х), P ₁ (х), Р ₂ (х), . . . , Р _п (х) - бүтін рационалдық функциялар, п - иатурал сан, сонымен бірге Р _п (х) # 0), оны алгебралық функция деп атаймыз.

Алгебралық функцияға мысалдар:

Алгебралык емес кез келген басқа функция трансценденттік функция деп аталады.

«Трансценденттік» деген сөз латын тіліндегі «transcendens (transcendentis) » деген сөзден шыққан. Оныңмағынасы: «шек-тен аса адымдаушы», «шектен шығушы».

Дәрежелік функция

Анықтама. Негізі - айнымалы, дәреже көрсеткіші - теріс емес бүтін сан болатын функцияны теріc емес бүтін көрсеткішті дәрежелік функция деп атайды. Демек, бұндай функцияның жалпы түрі мынау болады:

у=f (х) =х ⁿ (1)

(бұндағы п - теріс емес бүтін сан) .

п - натурал сан болса, (1) функцияның аныкталу облысы бүкіл сандар осі болады да, ал егер п - теріс емес бүтін сан болған жағдайда функцияның анықталу облысы (-∞, 0)

(0, +∞) интервалдарынан тұрады.

Егер n >1 болса, (1) функцияны өзара тең п көбейткіштердің кебейтіндісі деп түсіну керек, яғни

x ⁿ = x * x*…*x п рет

Бүл сияқты функциялар үшін мына теңдіктер орындалатыны айқын

(х ^т ) ^п =х ^mn (2)

Анықтама. Егер шама x 0 болса, шартты түрде х°=1 деп есептейміз.

Егер х = 0 десек, 0° шамасының ешбір сандық мәні болмай-ды (аныкталмағандықтың бір түрі) .

Анықтама. Егер х 0 және п - оң бүтін сан болса,

(3)

болады деп есептейтін боламыз.

(3) түріндегі бутін теріс көрсеткішті функцияның аныкталу облысына нольден баска нақты сандардың барлығы кіреді, яғни анықталу облысы (-∞, 0) мен (0, + ∞) интервалдарынан тұрады.

(2) дәрежелік функция (- ∞, 0) және (0, + ∞ ) аральгқтарында үзіліссіз, оған дәлел: дәрежелік функция у=1 мен у=х ^п екі үзіліссіз функцияларының қатынасы арқылы өрнектеледі.