Сызықтық дифференциалдық теңдеу
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М. Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан Университеті
ӘОЖ-514(023) қолжазба құқығында
Маханова Кулаш Жакслыковна
Болашақ математика мұғалімдерін ақпараттық технологияларды пайдалану негізінде дифференциалдық теңдеулерді шешуге оқыту әдістемесі
7M01510 - Математика білім беру бағдарламасы бойынша
педагогика ғылымдарының магистрі дәрежесін алу үшін
дайындалған диссертация
Ғылыми жетекшісі:
Шымкент 2023
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҰҒЫМЫ
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің негізгі ұғымдары мен элементтері
1.2 Сызықтық дифференциалдық теңдеу
1.3 Біртекті дифференциалдық теңдеу
2 Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың әдістемелік тәсілдері
2.1 Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде ақпараттық коммуникациялық технологияларды кешенді пайдалану
2.2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың ұйымдастырушылық формалары мен әдістері.
2.3. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математика курсын оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияны пайдаланудағы педагогикалық орындылығы
2.4 Дифференциалдық теңдеулерді шешуде ақпараттық технологияны пайдалану
2.4. 1 Дифференциалдық теңдеуді odesolve функциясының көмегімен шешу
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... .
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
КІРІСПЕ
Қоғам дамуының қазіргі кезеңінде адам қызметінің барлық салалары ақпараттандырылуда. Осылайша, қазіргі қоғам және оның үнемі дамып келе жатқан экономикасы жаңа ақпараттық технологияларды сауатты қолдана алатын қызметтің барлық салаларында мақсатты және бастамашыл жоғары білікті мамандарға мұқтаж.
Білім беруді ақпараттандыру туралы алғаш рет 1990 жылдарда "Информатика және білім беру" журналында жарияланған. Сонымен бірге, 1990 жылдан бері жарияланған басылымдарға қарамастан, бұл мәселе және қазіргі уақытта ол соңына дейін шешілмеген.
Білім беруде ақпараттық технологияларды қолдану әдістемесі В. Л. В.П. Андреев, Б. С. Беспалько, А.П. Гершунский, И. Г. Ершов, В. Г. Захарова, И. Л. Кинелев, Б. И. Лернер, В. М. Машбиц, П. И. Монахов, Ю. А. Образцов, Е. С. Первин, Г. К. Полат және т.б. көптеген еңбектерінде зерттелген. Бұлар арқылы ақпараттық технологияларды қолданудың нақты жолдары әзірленуде, оқытуда бұл технологияларды дидактикалық құрал ретінде пайдалану, психологиялық педагогикалық зерттеулер жүргізу кезінде оқытудың әртүрлі нысандарын іске асыру үшін оқытуды автоматтандыру, автоматтандырылған оқыту жүйелерін қолдана отырып оқытуды автоматтандыру, сценарийді әзірлеуді, сараптаманы және т. б. қоса алғанда, компьютерлік оқу курстарын және грамматикалық-әдістемелік кешендерді , педагогикалық бағдарламалық құралдардың сапасын бағалау және т. б.
Болашақ математика мұғалімінің дайындық мәселелерін зерттейтін көптеген жұмыстар бар, оларға И. И. Баврин, Д. А.Власов, Г. Д. Глейзер, В. А. Горелик, В. А. Гусева, О. Б. Епишева, А. Ж. Жафярова, О. А. Иванова, В. И. Игошина, Ю. М. Колягина, Э. И. Кузнецова, В.Ф. Люби чева, В. Л. Матросова, В. М. Монахова, А. И. Нижникова, г. И. Саранцева, Н.Л. және т.б. жоғары оқу орындарында дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқытуда өзінің кәсіби және қолданбалы дамуын табады.
Алайда, бұл жұмыстар мемлекеттік жаңа буын кәсіптік білім беру стандарттарына көшуге байланысты аспектілерді жеткілікті түрде көрсетпейді. Атап айтқанда, математикалық пәндерді оқу кезінде математика мұғалімін кәсіби даярлауда ақпараттық технологияларды қолдану туралы мәселелер қамтылмаған.
Дифференциалдық теңдеулер курсына қатысты зерттеулердің көпшілігі математиканың осы бөлімінің қолданбалы бағыты бойынша келіседі. Сонымен қатар ақпараттық технологиялар арқылы осы бағытты іске асыру бойынша жұмыстар жоқтың қасы.
Осылайша, болашақ математика мұғалімдерінің математикалық дайындығына байланысты бірқатар қайшылықтар бар. Олардың ішінде мыналарды бөліп көрсетуге болады:
* еліміздің білім беру стандартына сәйкес университеттің білім беру процесін құру қажеттілігі арасында, болашақ пән мұғалімдерінде ақпараттық технологияларды қолдану қабілетін қалыптастыруға және ғылыми әдістемелік әдебиеттер мен заманауи зерттеулерде осы мәселелердің жеткіліксіз дамуына ықпал ететін математикалық курстарды әдістемелік қамтамасыз етуді құруды көздейді;
* Ақпараттық технологиялар құралдарының, атап айтқанда, әртүрлі шешімдерді шешуге үлкен мүмкіндіктері бар компьютерлік бағдарламалардың болуы, математикалық есептер, оның ішінде дифференциалды есептер, және оларды болашақ мұғалімдердің тақырыптық дайындығында қолдануға байланысты әзірлемелердің жеткіліксіздігі.
Көрсетілген қарама-қайшылықтар осы зерттеудің тақырыбын таңдауды анықтайды.
Зерттеу мәселесі жоғарыда айтылған қарама-қайшылықтан және педагогикалық жоғары оқу орнында болашақ математика мұғалімдерін ақпараттық технологияны пайдалану негізінде дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістемесін жасаудан туындайды.
Зерттеу объектісі: жоғары педагогикалық білім беруде математика пәні мұғалімін дайындау үдерісі.
Зерттеу пәні: болашақ математика пәні мұғалімдерін ақпараттық технологияларды пайдалану негізінде дифференциялық теңдеулерді шешуге оқыту.
Зерттеудің мақсаты - дифференциалдық теңдеулер курсының қолданбалы мәнін түсінетін және дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін жаңа ақпараттық технологиялар құралдарын қолдана алатын білікті математика мұғалімдерін даярлауға мүмкіндік беретін білім беруді ақпараттандыру жағдайында дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқыту әдістемесін әзірлеу.
Зерттеу гипотезасы: ақпараттық технологияларды, атап айтқанда компьютерлік бағдарламаларды қолдана отырып, дифференциалдық теңдеулерді шешуге үйрету болашақ математика мұғалімдерінің математикалық дайындығының сапасын арттыруға ықпал етеді және дәстүрлі әдістерді, формалар мен құралдарды дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерімен оңтайлы үйлестіретін дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқыту әдістемесін әзірлеу арқылы іске асырылған компьютерлік бағдарламалар курстың қолданбалы бағытын күшейтуге мүмкіндік береді,
Зерттеудің мақсатына, объектісіне, тақырыбына және гипотезасына сәйкес зерттеудің келесі міндеттері қойылды:
*"білім берудегі ақпараттық технологиялар" ұғымын талдау және болашақ математика мұғалімін дайындауда ақпараттық технологиялар құралы ретінде компьютерлік бағдарламаларды қолдану мүмкіндіктерін анықтау
* дифференциалдық теңдеулер курсы бойынша есептердің белгілі бір класын шешу үшін компьютерлік бағдарламаларды қолданудың орындылығын анықтау және негіздеу,
*дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған компьютерлік бағдарламалардың мүмкіндіктерін талдау және ең қолайлы бағдарламаларды таңдау;
:: компьютерлік бағдарламаларды қолдана отырып, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқытудың моделін және оған сәйкес әдістемесін әзірлеу, оқытудың тиісті мақсаттарын, мазмұнын, әдістерін, нысандары мен құралдарын анықтау.
* ұсынылған оқыту әдістемесін қолданудың тиімділігін эксперименталды түрде тексеру.
Зерттеудің теориялық және әдістемелік негіздемесі: педагогикалық жоғары оқу орнында болашақ математика пәні мұғалімдерін кәсіби дайындық облысында (А.В. Абрамов, Р.М. Асланов, И.И. Баврин, В.А. Гусев, В.И. Игошин, Э.И. Кузнецов, С.И. Калинин, Н.Д. Кучугурова, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, В.Р. Майер, А.И. Нижников, Л.В. Павлова, Е.И. Смирнов, И.Л. Тимофеева, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин, Л.В. Шкерина и др.); білім беруді ақпараттандыру теориясында (Ю.С. Брановский, А.П. Ершов, С.А. Жданов, Т.Б. Захарова, С.Д. Каракозов, О.А. Козлов, Г.А. Кручинина, А.А. Кузнецов, Д.Ш. Матрос, Е.И. Машбиц, П.И. Образцов, Е.С. Полат, И.В. Роберт, Г.К. Селевко, Н.В. Софронова и др.); математика сабағында ақпараттық және телекоммуникациялық технологияларды пайдаланудың әдістемелік аспектілерін (В.В. Алейников, И.В. Беленкова, Д.П. Голоскоков, И.Б, Горбунова, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Е.В. Клименко, Т.Г. Кузьмичева, С.В. Поршнев, С.Е. Савотченко и др.) зерттеу.
Қойылған міндеттерді шешу үшін мынадай зерттеу әдістері пайдаланылды: зерттеу мәселесі бойынша математикалық, психологиялық-педагогикалық, оқу және ғылыми-әдістемелік әдебиеттерді талдау; жоғары мектеп оқытушыларының педагогикалық тәжірибесін талдау және жалпылау; оқу процесінің барысын бақылау; педагогикалық университеттердің математика факультеттерінің студенттерімен, оқытушыларымен, түлектерімен әңгімелесу; студенттерге сауалнама жүргізу; педагогикалық эксперименттің анықтау, іздеу және оқыту кезеңдері; педагогикалық эксперименттің нәтижелерін өңдеу және түсіндіру.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:
* компьютерлік бағдарламаларды (Dfield, Pplane, Odesolve) қолдана отырып, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқытудың моделі мен оған сәйкес әдістемесі әзірленді және ұсынылды
* компьютерлік бағдарламаларды қолдана отырып, оқыту мен оқытудың дәстүрлі формасын оған сәйкес оқытудың негізгі формаларының бірі зертханалық-практикалық сабақты үйлестіру мүмкіндіктері ашылды
*қолданыстағы тапсырмалар іріктеліп алынды және жаңа компьютерлік-бағдарланған міндеттер, оның ішінде қолданбалы тапсырмалар әзірленді;
*компьютерлік бағдарламаларды дифференциалдық теңдеулер курсында көрнекілік құралдарының бірі ретінде пайдалану мүмкіндіктері көрсетілді.
Теориялық маңыздылығы: дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін компьютерлік бағдарламаларды қолдану әдістемесі теориялық тұрғыдан негізделген және осы әдістеменің моделі ұсынылған. Dfield, Plane, Odesolve компьютерлік бағдарламалары дифференциалдық теңдеулерді шешуге үйретудегі жаңа ақпараттық технологиялардың құралы ретіндегі рөлі мен әлеуеті тұрғысынан егжей-тегжейлі зерттелген. Дифференциалдық теңдеулер курсында компьютерге бағытталған есептер бөлініп, оларды шешудің орындылығы негізделген.
Алынған нәтижелердің практикалық маңыздылығы, диссертацияда дифференциалдық теңдеулер курсына жаңа ақпараттық технологиялар құралдарын енгізу бойынша нақты ұсыныстар бар. Оқытудың бұл әдістемесі болашақ математика мұғалімдерінің кәсіби даярлығының сапасын арттыруға бағытталған педагогикалық жоғары оқу орындарының математикалық мамандықтарының студенттері үшін дифференциалдық теңдеулер бойынша бағдарламаларды, оқу құралдары мен оқулықтарды және оқу жоспарларын одан әрі жетілдіруге негіз бола алады.
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҰҒЫМЫ
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің негізгі ұғымдары мен элементтері
Дифференциалдық теңдеу деп ізделінді функцияны, оның туындылары мен дифференциалдарын және аргументтерін байланыстыратын теңдеуді айтамыз.
Теңдеуге кіретін туындының (дифференциалдың) ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.
Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп кез келген функцияны айтамыз, егер оның өзін, туындысын және дифференциалын теңдеуге қойғанда тепе-теңдік шығатын болса.
Тек қана бір айнымалыға (бірнеше айнымалыға) тәуелді дифференциалдық теңдеуді қарапайым (дербес туындылы) дифференциалдық теңдеулер деп айтамыз.
Айталғанға сай п - ші ретті жай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
(1.1.1)
Мұндағы х - тәуелсіз айнымалы, у - ізделінді функция, ал -туындылар.
Егер (1.1.1) теңдеуде екі тәуелсіз айнымалыны бір ғана ізделінді функция болса, онда ол п - ші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу болар еді де, былай жазылар еді:
Егер (1.1.1) теңдеуде n=1 болса, онда алынған теңдеу
(1.1.2)
бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп, ал қалған болған жағдайларда жоғары ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Егер (1.1.2) теңдеу бойынша шешілетін болса, онда алынған теңдеу
(1.1.3)
туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. (1.1.3) теңдеудегі функциясын кейінде берілген Д облысында бір мәнді, қос аргумент бойынша үздіксіз деп есептейміз. Д - облысы (1.1.3) теңдеудің анықталу облысы деп аталады.
Мысал 1.
а) - екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу;
б) - үшінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу;
в) - бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу.
Ескерту 1. Ары қарай дифференциалдық теңдеу дегенді қарапайым дифференциалдық теңдеу деп түсінеміз. [1],[2].
Мысал 2. Теңдеудің жалпы шешімін тап
а)
(1.1.4)
(1.1.4) шешімі кез келген С тұрақтысына байланысты, яғни, С-ның әртүрлі мәнінде әртүрлі шешім аламыз. Енді С тұрақтысын анықтау үшін қосымша бір шарт (бастапқы шарт) берелік:
Онда осы бастапқы шартты (1)-ге қойсақ: - дербес шешім.
б)
- жалпы шешім. (1.1.5)
Екінші ретті (1.1.5) теңдеуі екі тұрақтыға байланысты С1 және С2 , оларды анықтау үшін екі шарт (бастапқы) қажет: . Бұдан:
- дербес шешім.
Геометриялық тұрғыдан, (1.1.4) және (1.1.5) шешімдері - параболалар жиынтығы. Бастапқы шарт берілді деген: осы параболалар жиынтығынан мына шарттарды қанағаттандыратын параболаны тап деген сөз:
а) нүктесі арқылы өтетін; б) нүктесі арқылы өтетін және нүктесінде жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффиценті болатын.
Коши теоремасы. Жалпы және дербес шешім
ші ретті айқын дифференциалдық теңдеу мына түрде жазылады:
, (1.1.6)
ал айқын емес ші ретті дифференциалдық теңдеу: .
Коши есебі. (1.1.3) дифференциалдық теңдеуінің, болғанда
,, ... , (1.1.7)
бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімдерін тап.
Коши теоремасы. Егер қандай да бір тұйық облыста функциясы барлық аргументі бойынша үзіліссіз болып және осы облыста оның дербес туындылары табылса, онда (1.1.3) дифференциалдық теңдеуінің (1.1.4) бастапқы шартын қанағаттандыратын жалғыз шешімі болады, мұндағы нүктесі - осы облысқа тиісті нүкте. [2],[3].
Кез келген дифференциалданатын функция
, (1.1.8)
мұндағы - кез келген тұрақтылар, (1.1.5) дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі деп аталады, егер:
а) ол -дің кез келген тұрақты мәндерінде (1.1.5) дифференциалдық теңдеуінің шешімі болса,
б) Коши теоремасының шартын қанағаттандыратын осы облыстың кез келген бастапқы шарты үшін,
(1.1.9)
шешімі бастапқы шартты қанағаттандыратындай тұрақтылары табылатын болса.
Дифференциал теңдеудің берілген облысындағы әрбір нүктесі үшін жалғыздық шарты орындалатын болса, онда (1.1.6) түріндегі шешім дербес шешім деп аталады.
Геометриялық тұрғыдан, (1.1.5) - қисықтар жиынтығы (интегралдық қисықтар). Коши теоремасының шарты орындалды дегеніміз - облысқа тиісті кез келген нүктесінен (1.1.4) шартын қанағаттандыратын тек бір ғана қисық өтеді деген сөз.
(1.1.5) теңдеуінің айқын емес түрде берілген жалпы (дербес) шешімі:
сәйкесінше дифференциалдық теңдеудің жалпы (дербес) интегралы деп аталады. (1.1.5) теңдеуінің жалпы және дербес шешімінен басқа ерекше шешімдері болады.
-ді () қандай етіп таңдап алсақ та, жалпы шешімнен шықпайтын және шешімнің жалғыздық шарты бұзылатын нүктелерде орналасқан (облыстың шекарасында) шешімдерді ерекше шешімдер деп атаймыз.
Мысал 3. Мынадай теңдеуді қарастыралық:
(1.1.10)
Шешуі. Орнына қою арқылы (1.1.10) теңдеуінің жалпы интегралы:
(1.1.11)
болатынына көз жеткізуге болады.
, (1.1.12)
болғандықтан, түзулерінде - шектелмеген, яғни, Коши теоремасының шарты бұзылып тұр. (1.1.10)-теңдеуінің шешімі болмайтыны анық, ал түзулері (10) теңдеуінің шешімдері және бұл шешімдер жалпы шешім (11)-дегі қалай таңдалса да онымен беттеспейді, С=+-infinity болса да. Геометриялық тұрғыдан, бұл - түзулерінің кез келген нүктесі арқылы екі интегралдық қисық өтеді деген сөз. Мысалы, нүктесі арқылы және қисықтары өтеді. Сонымен, - ерекше шешім.
2 мысалда байқағанымыздай, теңдеуді шешу кезінде біз алғашқы функция табамыз. Сондықтан, дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процессі теңдеуді интегралдау деп аталады. [4],[5].
1.2 Сызықтық дифференциалдық теңдеу
Егер дифференциал теңдеу ізделінді функция мен оның туындысы бойынша сызықты болса, ондай теңдеуді сызықты дифференциал теңдеу деп атаймыз.
Бірінші ретті сызықты дифференциал теңдеуді мына түрде жазуға болады:
(1.1.13)
, (1.1.14)
(1.1.13) - біртектес емес, ал (1.1.14) - біртектес дифференциал теңдеу деп аталады.
Біртектес дифференциал теңдеудің жалпы шешімін табалық:
(1.1.15)
Лагранж әдісін (тұрақты шаманы вариациалау әдісі) қолданып, (1.1.13) теңдеуінің шешімін алуға болады. Шешімді (1.1.15) түрінде іздейміз, мұндағы - белгісіз функция. Онда (1.1.13) теңдеуіндегі -тың орнына:
,
ал - тің орнына (1.1.5)-ті қойсақ:
Осы табылған -ті (1.1.5)-ке қоя отырып, (1.1.13) теңдеуінің жалпы шешімін аламыз.
(1.1.16)
Ескерту. - теңдеуінің жалпы шешімі, ал - (1.1.13) теңдеуінің дербес шешімі ( болғанда) болғандықтан, кез келген ретті сызықтық теңдеу үшін ақиқат болатын мынадай тұжырым жасауға болады: біртектес емес сызықты теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті сызықтық теңдеудің жалпы шешімі мен біртексіз сызықты теңдеудің дербес шешімінің қосындысына тең ( болғандағы).
Мысал 4. теңдеуінің жалпы шешімін тап. Бастапқы шарт у(-2)=2 болғандағы, Коши есебін шеш.
Берілген теңдеуді екі жағын да өрнегіне бөліп келтіреміз:
Мұнда
Берілген теңдеудің (6) формуласына сәйкес жалпы шешімі:
(1.1.17)
Осы шешімнің ішіндегі интегралдарды шығаралық:
мұндағы және таңбалары теңдігінен шығады. Табылған интегралдарды (7) шешіміне қойсақ, берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз:
у(-2)=2 бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімі:
Мысал 5. теңдеуін шеш.
Шешуі. Бұл теңдеу -ке қатысты сызықты емес. -ті у тәуелсіз айнымалысына тәуелді функция ретінде қарастырсақ: . Онда
Бұл теңдеу -ке қатысты сызықты .
(6)-дан,
- жалпы шешім.
Сонымен қатар, (1.1.13) сызықты дифференциал теңдеуін Бернулли әдісін қолданып та, интегралдауға болады. Екі белгісіз функция u(x ), v(x) енгіземіз және y=u(x)v(x) (Бернулли ауыстыруы) деп аламыз. Онда және өрнектерін (1.1.13) теңдеуіне қоя отырып, немесе
(1.1.18)
теңдеуін аламыз. Жақшаның ішіндегі өрнекті =0 десек, бұл айнымалысы ажыратылатын дифференциалдық теңдеу. Осы теңдеуді шешіп, v-ны табуға болады. Енді жақшаның ішіндегі өрнекті нөлге тең деп алғандықтан, (1.1.18) теңдеуі мына түрге келеді: . Бұл теңдеуге жоғарыда табылған v-ны қойсақ, бұл да айнымалылары ажыратылатын теңдеу болады, бұл жерден u-ды табамыз. Табылған u мен v-ны Бернулли ауыстыруына қоятын болсақ, берілген теңдеудің жалпы шешімі шығады.
Мысал 6.
дифференциалдық теңдеуін Бернулли әдісін қолданып шеш және бастапқы шарт болғандағы, Коши есебін шығар.
Бернулли ауыстыруын жасаймыз: онда:
теңдеуінің шешімін іздейміз.
деп, шешімін табамыз. Енді теңдеуін шешеміз, мұндағы
Онда берілген теңдеудің жалпы шешімі:
Енді бастапқы шартқа сәйкес дербес шешім іздейміз: бұдан Табылған С=-1 мәнін жалпы шешімге қойып, теңдеудің дербес шешімін аламыз: [6],[7].
1.3 Біртекті дифференциалдық теңдеу
функциясы пен бойынша -шы ретті біртекті функция деп аталады, егер кез келген үшін: теңдігі орындалатын болса.
Егер және - бірдей ретті біртекті функциялар болса, онда (1) теңдеуі біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
теңдеуі біртекті болады, егер , яғни, .
Біртекті дифференциалдық теңдеу айнымалыларды ауыстыру көмегімен айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіріледі: немесе .
Мысал 7. Теңдеуді шеш: .
Шешуі. Барлығын теңдеудің бір жағына жинақтау арқылы, біртекті дифференциалдық теңдеуге келтіреміз:
және - 2-ші ретті біртекті функциялар болғандықтан, теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеу. белгілеуін енгіземіз.
- бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу. Екі жағын да көбейтіндісіне бөліп, интегралдасақ:
- жалпы шешім.
және жағдайлары жағдайымен тепе-тең. Жалпы шешімнен С=0 болғанда шығады.
Ескерту. түріндегі теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеуге келтіріледі.
Мысал 8. теңдеуін біртекті дифференциалдық теңдеу түріне келтір.
Шешуі. Айнымалыларды ауыстырамыз ( және - тұрақтылар):
және -ны бос мүшелері нөлге тең болатындай етіп, таңдап аламыз:
Сонымен, деп жаңа айнымалылар енгізсек,
түріндегі біртекті дифференциал теңдеуге келеміз.
Мысал 9. дифференциал теңдеуін интегралда және оның у(1)=0 бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімін тап.
және функциялары екінші ретті біртекті функция болғандықтан, берілген теңдеу - біртекті. Айнымалыларды ауыстырамыз:
Онда
х!=0 деп, теңдеудің екі жағын да -қа бөлеміз:
Айнымалыларды ажыратып, екі жағын да интегралдасақ:
.
Соңғы өрнектегі u-дың орнына ух - ті қойып, жалпы интегралды аламыз: .
Оны у - ке қатысты шешсек, берілген дифференциал теңдеудің жалпы шешімін аламыз:
у(1)=0 бастапқы шартын ескере, С тұрақтысын анықталық:
Сонымен, берілген теңдеудің дербес шешімі: [8],[9].
2 Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың әдістемелік тәсілдері
2.1 Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде ақпараттық коммуникациялық технологияларды кешенді пайдалану
АКТ-ның негізгі техникалық әдістері
Кесте 1
№
АКТ техникалық құралдарының атаулары
Ағылшынша атауы
Қысқаша жазылуы
Электрондық оқулық
electronic textbook
c-tbook
Мультиорталық жүйе
multimedia system
CD-sys
Эксперттік жүйе
experts system
ex.sys
Электорндық кітапханалық каталог
electronic library
e-libr
Мәліметтер банкі
Database
db
Электрондық пошта
electronic mail
e-mail
Дыбыстық электрондық пошта
voice mail
v-mail
Электрондық хабарландыру тақтасы
bulletin system
BS
Телеконференциялар жүйесі
Teleconference
t-conf
Ғылыми зерттеулерді басқарудың автоматтандырылған жүйесі
Computer research system
aided CAR
Ұйымдастыруды басқарудың автоматтандырылған жүйесі
Management information system
MIS
Шағын электорондық баспахана
dest-top publishing
d.t.-publ
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ пайдалану кезінде қолданылатын бағдарламалық құралдар:
1. Жалпы мақсаттағы және аппараттық құралдармен өзара байланысты (драйверлер және т.б.) - әртүрлі деректер түрлерімен жұмыс істеуге мүмкіндік береді.
2. Деректер базасы - құрылған ақпараттық массивтер-КД (компакт диск) энциклопедиялары, ақпараттық веб - сайттар және Интернет желісінің іздеу жүйелері, оның ішінде білім беру саласында пайдалану үшін мамандандырылған.
3. Виртуалды конструкторлар-математикалық және физикалық шындықтың визуалды және символдық модельдерін қалыптастыруға және осы модельдермен эксперименттер жүргізуге мүмкіндік береді.
4. Тренажерлер - оларда ақпараттық объектілермен жұмыс істеудің Автоматты қабілеттерін пысықтауға болады яғни мәтін енгізу, экранда және проекторда графикалық объектілермен операция жасау, тілдік ортада жазбаша және ауызша қарым-қатынас жасау.
5. Басқарудың ақпараттық жүйелері - білім беру процесінің барлық қатысушылары-студенттер, педагогтар, әкімшілік, ата-аналар, жұртшылық арасында ақпараттық ағындардың өтуіне кепілдік береді.
Дифференциалдық теңдеулерді заманауи оқытуда қалыптасқан және дамыған құралдар, оқыту әдістері мен кешендері түсінуді, қайта құруды және жаңа педагогикалық шешімдерді қажет ететін жағдай туындады. Бұл, ең алдымен, АКТ-ны кеңінен енгізуге және кеңінен қолдануға байланысты. Мұндай технологиялар материалдарды беру және заманауи ашық және қашықтықтан білім беру жүйелерінде мұғалім мен студенттің өзара әрекеттесуін құру үшін тиімді қолданылады. Бүгінгі таңда мұғалім АКТ-ны қолдану саласындағы білімге ие болып қана қоймай, оларды кәсіби жұмысында қалай қолдануға болатындығын білуі керек. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану - жоғары оқу орындарындағы сабақтарды жетілдіру мен оңтайландырудың, жұмыстың қызықты түрін жасауға мүмкіндік беретін, сондай-ақ студенттер үшін есте қаларлық әдістемелік құралдар мен тәсілдер жиынтығының өсуінің басты факторларының бірі. Бүгінгі таңда білім беру парадигмасы оқытудың компьютерлік компоненттерінде әзірленген, студенттің дайын білімді, дағдыларды беруіне емес, студенттерді өз бетінше білім табу мүмкіндігіне итермелеу қажеттілігіне негізделген. Студенттердің сабақтардағы жұмысы интерактивті компьютерлік бағдарламалар мен аудиовизуалды құралдардың көмегімен құрылған мұғаліммен сөйлесу сипатына ие. Зерттеушілердің пікірінше, оқытудың әрбір әдісі оған ақпараттық технологияларды біріктіру арқылы толықтырылады. Бірақ егер информатиканы оқыту барысында АКТ құралдары зерттеу объектісі ретінде де, оқыту әдісі ретінде де қызмет етсе, онда кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқыту барысында олар тек оқыту құралы болып табылады. АКТ құралдары деп микропроцессорлық, есептеу техникасы негізінде әзірленген бағдарламалық, бағдарламалық аппараттық және техникалық тәсілдер мен құрылғылар, сондай-ақ материалдарды жинау, өндіру, жинақтау, жинақтау, талдау, материалдарды беру жөніндегі рәсімді және жергілікті және жаһандық ақпараттық элементтерге қол жеткізу мүмкіндігін қамтамасыз ететін материалдарды таратудың, ақпарат алмасудың қазіргі заманғы құралдары мен жүйелері түсінілуі қажет [139, Б. 51].
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту процесінде ең көп қолданылатын АКТ құралдарына мыналар жатады: - компьютер мен мультимедиялық проектордың көмегімен көрсетілетін электрондық оқулықтар мен құралдар,
- Оқу ақпараттық-анықтамалық жүйелер;
- бақылау және тестілеу бағдарламалары;
- Интернеттің білім беру ресурстары,
- суреттер мен иллюстрациялары бар DVD және CD дискілер,
- бейне және аудио техника,
- ғылыми-зерттеу жұмыстары және жобалар.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану оқу ақпаратын ауызша емес, визуалды және қол жетімді түрде беруге мүмкіндік береді. Ең бастысы, студент сабақта өз бетінше жұмыс істей алады, өз қарқынымен жұмыс істей алады, қажет болған жағдайда түсініксіз фрагменттерге баса назар аударады немесе егер бәрі түсінікті болса және проблема болмаса, басқаларына қарағанда тезірек жасайды [183].
Тәжірибе көрсеткендей, оқытудың техникалық әдістері студенттердің дербестігін қалыптастырады және сабақтарда жақсы әлеуметтік-психологиялық атмосфера қалыптастырады, оларға өзіне деген сенімділік береді, бұл студенттердің жеке басын дамытудың маңызды буыны болып табылады [183].
Сондықтан, техникалық құралдарды қолдана отырып, студенттердің іс-әрекетінің артықшылықтары туралы айта отырып, оның пайдалы жақтарына тоқталу қажет:
- студенттердің жалпы мәдени дамуы;
- компьютерді меңгеру дағдыларын жетілдіру;
- тілдік деңгейді жетілдіру;
- қолайлы психологиялық жағдайларды ұйымдастыру;
- студенттердің мотивациясының өсуі және олардың пәнге деген қызығушылығы;
- оқытуды дараландыру қабілеті;
- керісінше принципті жүзеге асыру - материалды көрнекі көрсету қабілеті;
- бақылау мен өзін-өзі бақылаудың үйлесімі;
- студенттердің іс-әрекеттерін объективті және өзекті бағалау;
- студенттердің өзіндік жұмыс дағдыларын жандандыру.
АКТ-ның техникалық құралдары жаңа тілдік білімді, дағдыларды, дағдыларды таныстыру, жаттықтыру және бекіту үшін, сондай-ақ оларды бақылау сатысында тиімді пайдаланылуы мүмкін.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану білімнің тұрақты моделінен ойлау әрекеттерінің динамикалық жүйесіне дейін; оқытудың сыртқы мотивациясынан ішкі моральдық-ерікті реттеуге дейін есте сақтау функциясы ретінде оқытудан ақыл-ой қалыптастыру элементі ретінде оқытуға көшуге мүмкіндік береді; Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану тиімді оқыту құралы ретінде компьютердің үлкен мүмкіндіктерін анықтайды. Компьютердің оқу қосымшалары сөйлеу жұмысының әртүрлі түрлерін жаттықтыруға және оларды әртүрлі комбинацияларда біріктіруге, тілдік құбылыстарды түсінуге мүмкіндік береді. Олар математикалық дағдыларды қалыптастыруға, коммуникативті жағдайлар жасауға, тілдік және сөйлеу әрекеттерін автоматтандыруға, сондай-ақ жеке көзқарасты жүзеге асыруға және студенттердің өзіндік жұмысын күшейтуге мүмкіндік береді. Әр мұғалім өз жұмысында АКТ-ны қолдана отырып, ең бастысы түсінуі маңызды: сабақтағы компьютер мұғалім мен тірі сөзді алмастыра алмайды, бұл студенттердің дағдыларын дамытудың тиімді әдісі, бұл оның дағдыларын кеңейтуге және тереңдетуге мүмкіндік береді. АКТ-ның техникалық құралдары мұғалімге шығармашылық жұмыс пен студенттердің жеке білім беру маршруттарын жүзеге асыруға уақыт бөлуге мүмкіндік береді. АКТ оқыту құралдарының үлкен таңдауы оларды жоғары математиканы оқытуда тиімді қолдануға мүмкіндік береді. Педагогикалық жұмыс тәжірибесінде біз белгілі бір сабақтарға арналған презентацияның мультимедиялық рефераттарын кеңінен қолданамыз, олар тақырып бойынша қысқаша ақпаратты, негізгі математикалық формулаларды, теоремаларды, математикалық терминдердің қасиеттерін және т. б. қамтиды.
Интерактивті құралдардың көмегімен компьютерлік презентациялар студенттердің жеке қасиеттеріне негізделген оқу ақпаратын тиімді қолдануға көмектеседі. Интерактивті әдістердің өсуі студенттің сабақтарына белсенді қатысуға әкеледі, бұл тақырып бойынша материалды түсіну мен есте сақтаудың тиімділігін арттыруға мүмкіндік береді. Электрондық оқулықтар материалды көрнекі түрде көрсетеді, жылдам кері байланысқа ықпал етеді (ақпаратты түсінуді жедел бақылау). Интерактивті режим студенттерге оқу материалын түсіну процесі мен қарқынын бақылауға мүмкіндік береді; гиперсілтемелердің тармақталған құрылымы қосымша мәліметтер, түсініктемелер алуға мүмкіндік береді. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану процесінде компьютерлік тестілеу маңызды орын алады. Зерттеулер көрсеткендей, тестілеуді компьютерде қолдану оқу процесінің тиімділігін арттырады, студенттердің танымдық жұмысын дамытады. Бағдарлама жүргізетін үлгерімді объективті бақылау студенттерді бағалауға деген көзқарасты жояды. Интернет желісінің білім беру компоненттерінің оқу жұмысындағы көп қырлы қабілеттері студенттердің шығармашылық, аналитикалық дағдыларын қалыптастырады, олардың динамикасын арттырады, болашақ кәсіби қызметте қажетті дағдыларды алуға әсер етеді. Акт жоғары математиканы оқытуда студенттердің жеке басын білдіру үшін жағдай жасайды: олардың шығармашылық қызметінің өнімдері басқаларға қажет, пайдалы болуы мүмкін. АКТ-ны қолдану үнемі өсіп келе жатқанымен, бұл процесс Қазақстан Республикасы оқытушыларының тұрақты пікірталастарына жатады. Компьютерлік оқытудың қарсыластары компьютердің студенттердің де, оқытушылардың да денсаулығына зияны, компьютермен жұмыс істеуден шаршау туралы пікір айтады. Олар мұғалімнің қажетті оқу компоненттерін компьютерлік түрде таңдау және дамыту бойынша жаһандық алдын-ала ұйымдастырушылық жұмыстарын жүргізу маңызды деп санайды. Жүргізілген зерттеу нәтижелерін қорытындылай келе, жоғары математиканы оқыту процесінде студенттердің танымдық қызметін белсендіру тәсілі ретінде АКТ-ны қолданудың ұйымдастырушылық-педагогикалық шарттары атап өтілуі мүмкін: - танымдық мотивацияларды дамытуға, пәнді оқуға деген қызығушылықты оятуға, көрнекі-бейнелі ойлауды қалыптастыруға, оқу және танымдық міндеттерді шешу үшін модельдер мен схемаларды қалыптастыру, пайдалану және өзгерту қабілетін дамытуға мүмкіндік беретін сабақ тақырыбы бойынша АКТ негізінде көрнекі пайдалану мен иллюстрацияны жүйелі және мақсатты жүзеге асыру; - студенттерді сандық ресурстарды, анимациялық ресурстарды қолдана отырып жүзеге асырылатын бақылаулар, өлшеулер, құру, компьютерлік модельдеу арқылы ұйымдастырылған танымдық жұмыс арқылы ізденістерге тарту (проблемалық жағдай туғызу, оны шешу үшін маңызды материалдарды табу, гипотезаларды ұсыну, талдау және дәлелдеу, қорытынды жасау және алынған нәтижені пайдалану мүмкіндіктерін анықтау). Эксперимент, виртуалды зертханалар және мұғалімнің көмегімен де, жеке өзі де жүзеге асырылады; - АКТ-ның бақылаушы бағдарламалық құралдары арқылы жүзеге асырылатын студенттердің математикалық білімі мен дағдыларын біртіндеп және құрамдас сараланған бақылауды, өзін-өзі бақылауды және түрлендіруді іске асыру; - Оқу ақпаратының деректерін табу, түсіну және меңгеру үшін, танымдық міндеттерді, оқу және шығармашылық жобаларды іске асыру үшін кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ-ны пайдалану бойынша студенттердің жеке білім беру мүмкіндіктеріне, ерекшеліктері мен қажеттіліктеріне сүйене отырып студенттердің өзіндік қызметін ұйымдастыру. Осылайша, кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану студенттердің пәнге деген қызығушылығын арттыруға және олардың сөйлеу-ойлау жұмысының өсуіне, өз бетінше жұмыс істеу және топта жұмыс істеу қабілеттерін қалыптастыруға, сөйлеу әрекетінің барлық түрлерін тиімді дамытуға көмектеседі. Компьютерлік құралдармен жүйелі жұмыс студенттердің өзіндік жұмысының тұрақты қабілеттерін дамытады, бұл классикалық тапсырмаларды орындау уақытын азайтуға мүмкіндік береді және осы уақытты шығармашылық тапсырмаларды орындау үшін пайдалануға мүмкіндік береді.
2.2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың ұйымдастырушылық формалары мен әдістері.
Дифференциалдық теңдеулер оқытушысының негізгі міндеттерінің бірі пәнді дағдылары мен дағдыларын қалыптастыру және дамыту ойлау және ілім мәдениетінің элементтерін оқыту. Осы мақсатта қажет жоғары математиканы оқытудың мазмұнды аспектісін әзірлеу, бүкіл курстың тұжырымдамалық компоненттерін игеруге, дамытуға ықпал етеді, студенттердің танымдық қабілеттері, олардың оқу іс-әрекетіндегі белсенділігі қызметі, сондай-ақ коммуникативтік қызметті қалыптастыру және дамыту құзыреті.
АКТ көмегімен сабақтарда жұмысы белсенді, студенттердің өзін-өзі тәрбиелеу дағдылары мен дағдыларының деңгейі жоғары болады. Айта кету керек,қазіргі заманғы оқыту құралдары ақпараттық-коммуникативтік, тұлғалық-бағдарланған шығармашылық және іздеу әрекетінің әдістері бар технологиялар органикалық түрде біріктіруге мүмкіндік береді. Заманауибілім беруді компьютерлерді енгізбестен елестету мүмкін емес яғни технология оқу процесі және бұл құбылыс сөзсіз болады, сондықтан оқытудың тиімділігі мен сапасы : оқыту және жаңа материалды зерттеу, тексеру және бақылау жұмыстары, дайындық және өзіндік жұмыстарды тексеру, аудиториядан тыс және шығармашылық жұмысты жақсартады.
Ақпараттық технология, Г. К. Селевконың пікірінше, ақпараттық технология мынадай үш нұсқада жүзеге асырылуы мүмкін [143, б. 26]:
-ену ретінде (зерттеу кезінде жеке тақырыптарды, бөлімдерді, жеке дидактикалық есептерді шешу үшін компьютерді пайдалану);
-негізгі ретінде (педагогикада қолданылатын ең маңызды технология);
-монотехнология ретінде (барлық оқыту және оқу менеджменті болған кезде диагностиканың, бақылаудың және бақылаудың барлық түрлерін қоса алғанда компьютерді қолдануға негізделген).
Мұнда мұғалім мен студенттің ұмтылысын интерактивті ортаға ең көп үйретілгенін ескеру қажет, яғни дайын электрондық курс пайдалану. Біздің ойымызша, ақпараттық технологияларды барлық білім беру процестерінің бірлігінде қарастыру керек:
- ақпараттық технологияны қолдану арқылы сабақ өткізу;
- білім алушылардың шығармашылық қызметінің жобалары;
- қашықтықтан оқыту бойынша конкурстар;
- Интернет ресурстар мен электрондық кітаптарды қолдану;
- элективті курстарға қатысу;
- студенттің тұлғалық тұрғыдан дамуы және қалыптасуы;
- мұғалімнің көмегіне назар аудара отырып, шығармашылық қабілеттерін дамыту.
Ақпараттық қоғамды қалыптастыру және ұйымдастыру мыналарды қамтиды
АКТ-ны терең қолдану, бұл бірнеше фактілерге тән. Ең алдымен, адамдардың білімі мен жинақталған әлеуметтік тәжірибесін беру АКТ-ны қолдану қарқынын едәуір арттырады. Екіншіден, жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану жоғары оқу сапасын жақсартатын несиелік оқыту жүйелері математика, бүгінде болып жатқан әлеуметтік өзгерістер студенттерге тиімді бейімделуге мүмкіндік береді. Үшіншіден, оқу кезінде қазіргі заманғы талаптарға сәйкес білім беру жүйелері қоғамдар кредиттік оқыту жүйесінің шарттары-жаңартудың басты шарты АКТ қолдануды белсенді және тиімді енгізу.
Мұғалімдерге мазмұнын, әдістерін және ЖОО - да оқытудың ұйымдастырушылық нысандары ақпараттық технологиялардың оқу процесіне енуі. Ақпараттық қоғам, сондай-ақ ізгілендіру, даралау,оқу барысын күшейту және әр кезеңде оқыту сапасының өсуі білім беру жүйесі АКТ-ны қолдану мақсаты оқуда студенттердің ақыл-ой қабілеттерін арттыру ұсынылады [157, б. 573].
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде АКТ-ның білім беру әдістеріні қолданудың бірнеше аспектілерін атап өтуге болады:
1. Мотивациялық аспект. Жоғары оқу орындарында кредиттік оқыту жүйесі жағдайында АКТ қолдану студенттердің қызығушылығы мен жағымды қалыптастырып математиканы мотивациясын арттыруға мүмкіндік береді, өйткені олар мынадай жағдайларда құрылады:
- студенттердің қабілеттері мен қажеттіліктеріне сай жеке білім беруді пайдалану және есепке алу;
- сабақтарды жүргізудің мазмұнын, формаларын, үлкен қарқыны мен деңгейлерін таңдау;
- студенттердің шығармашылық амбицияларын ашу;
- студенттердің де, жоғары математика оқытушыларының да игеруі.
2. Мазмұнды аспект. АКТ-ны пайдалану мүмкіндіктері кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда мыналар қолданылуы мүмкін:
- интерактивті кестелер, плакаттар, әртүрлі сандық кестелер жасау кезінде
нақты тақырыптар мен оқу бөлімдері бойынша білім беру ресурстары нысандағы жеке шағын сабақтарды әзірлеу үшін тесттер;
- интерактивті жеке тапсырмаларды ұйымдастыру үшін және студенттердің өзіндік жұмысына арналған тренажерлар.
3. Оқу-әдістемелік аспект. Электрондық және ақпараттық жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану процесіндегі құралдар кредиттік оқыту жүйесінде әдістемелік әдіс ретінде оқу жүйесімен бірге жүруі мүмкін процесс. Жоғары математиканы оқытудағы мұғалім жаңа ақпаратты беру кезінде, дайындық кезінде әртүрлі білім беру әдістерін қолдана алады.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану компьютермен жұмыс істеудің жаңалығы ғана емес, білім де алуға мотивацияны арттыруға мүмкіндік береді, оқуға деген қызығушылық деңгейін арттыруға мүмкіндік береді.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану интерактивті сөйлесу арқылы зерттелетін объектілерді визуализациялау, оқу процесін және оқу жұмысы мен компьютерлік режимді таңдап ажыратып жекелендіруге мүмкіндік береді. Оқу бағдарламасын қолдауға бағытталған бағдарламалық-әдістемелік қамтамасыз етудің болуы оқу процессін көрсету үшін және дербес компьютермен жабдықтау сыныпта аналитикалық жұмыс жасауға, жеке оқу және жаңа ақпараттық технологиялық құралдардың көмегімен пәндік жұмыс оқу мүмкіндіктеріне ықпал етуге мүмкіндік береді. Компьютер икемділікке кепілдік бере отырып тиісті деңгейде түрлендіруге, студенттердің жұмысын бақылауға, сабақтың барысын басқаруға мүмкіндік береді. Компьютерде жұмыс істей отырып, студент сұрақтарға қанша уақыт қажет болса, соны қарай алады; сұрақ қою кезінде білімді жеке бағалау мәселесі, өйткені олар апсырмаларға дұрыс жауаптарды санау арқылы компьютер бағалайды; жауап тез талданады, бұл жауап алушыға немесе сұрақты нығайтуға немесе берілген қате жауапты өзгертуге немесе мұғалімнен көмек сұрай алады. АКТ студенттерге өз дағдыларын жетілдіре отырып, виртуалды серіктеспен диалог жүргізу, монологиялық және диалогтық мәлімдеме жасауға белсенді мүмкіндік береді.
Компьютерлік тесттер мен тест тапсырмалары білімді бақылау мен бағалаудың әртүрлі формаларын жүзеге асыру мақсаттарында қолдануға болады.
4. Ұйымдастырушылық аспект. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ арқылы оқытуды мына әртүрлі формаларын қолдануға болады:
- оқыту кезінде барлық студенттерді жеке жоспарға сүйене отырып жеке бағдарлама бойынша;
- жұмыс бүкіл аудиториямен бірге немесе топпен жүргізіледі.
5. Бақылау-бағалау аспектісі. Жоғары математиканы оқытуда кредиттік оқыту жүйесі жағдайында АКТ қолдану барысында студенттердің білім беру нәтижелерін бағалау , негізгі бақылау құралы және тапсырмалар тестілеу түрінде ұсынылады. Бақылаудың әртүрлі түрлері жүзеге асырылады: кіріспе, аралық және қорытынды.
Тесттерді онлайн режимінде өткізуге болады (мұндай тапсырмалар компьютерде интерактивті режимде орындау, нәтижені бағалау, ол автоматты түрде жүйемен жүзеге асырылады) және off-line режимінде (яғни мұғалімнің өзі орындалған тапсырмаларды бағалайды, қорытындылайды, түсініктеме береді, қателер бойынша жұмыс өткізеді). Демек, жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану тек өнімділікті ғана емес сонымен қатар оқытудың әртүрлі формалар мен әдістерді жақсартуға, қызығушылық танытатын студенттер санын көбейтеді,бағдарламалық материалды терең зерттеуге ықпал етеді.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану үшін келесі оқытудың құралдарды қолдана алады:
1. Баспа басылымдары. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқыту кезінде АКТ-ны қолданудың өзекті міндеттерінің бірі
білім беру электрондық құралдар, ресурстар және т.б. жүйелеу мәселесі болып табылады. Бұл құрылымды әр түрлі критерийлер бойынша сүйене отырып жасауға болады. Біріншіден, іске асырылатын функциялар бойынша.
Ал сонымен, электрондық оқу құралдарын классикаға жатқызуға болады, құрылымдау принциптерін қолдануға болады, оқу кітабы үшін қолданылады. Екіншіден, олар электрондық басылымдар және оларға принциптер қолданылуы мүмкін электрондық басылымдарды құрылымдау типіне жатады
Тікелей қолдануға көшпес бұрын оларды ерекшелендіретін параметрлер содан кейін негізгі болуы мүмкін жіктеу білім беру электронды басылымдарын анықтау маңызды.
Негізгі ұқсас параметрлер-критерийлер арқылы мыналар анықталады:
- электрондық басылым түрі;
- Пәндік білім беру саласы;
- ұсынылатын білім деңгейі;
- білім беру процесінің ұсынылатын түрі;
- білім беру процесінің ұсынылатын түрі;
- аудиторияның ерекшелігі [183].
Білім беру электрондық рубрикацияларының жарияланған түрлері басылымдар мен ресурстар жоғарыда көзделген ақпараттық кешендер стандарттар мен рубрикаторлар әртүрлі білім берудің бірлігі ретінде сипатталады.
2. Ақпараттық электрондық өнімдер. Электрондық білім беру ресурсында материалдар, деректер болуы мүмкін, оны құру және қолдану үшін маңызды бағдарламалық жасақтамада АКТ қолдану.
Кредиттік жүйе жағдайында жоғары математиканы оқытуда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
М. Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан Университеті
ӘОЖ-514(023) қолжазба құқығында
Маханова Кулаш Жакслыковна
Болашақ математика мұғалімдерін ақпараттық технологияларды пайдалану негізінде дифференциалдық теңдеулерді шешуге оқыту әдістемесі
7M01510 - Математика білім беру бағдарламасы бойынша
педагогика ғылымдарының магистрі дәрежесін алу үшін
дайындалған диссертация
Ғылыми жетекшісі:
Шымкент 2023
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҰҒЫМЫ
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің негізгі ұғымдары мен элементтері
1.2 Сызықтық дифференциалдық теңдеу
1.3 Біртекті дифференциалдық теңдеу
2 Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың әдістемелік тәсілдері
2.1 Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде ақпараттық коммуникациялық технологияларды кешенді пайдалану
2.2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың ұйымдастырушылық формалары мен әдістері.
2.3. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математика курсын оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияны пайдаланудағы педагогикалық орындылығы
2.4 Дифференциалдық теңдеулерді шешуде ақпараттық технологияны пайдалану
2.4. 1 Дифференциалдық теңдеуді odesolve функциясының көмегімен шешу
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... .
ҚОСЫМША ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
КІРІСПЕ
Қоғам дамуының қазіргі кезеңінде адам қызметінің барлық салалары ақпараттандырылуда. Осылайша, қазіргі қоғам және оның үнемі дамып келе жатқан экономикасы жаңа ақпараттық технологияларды сауатты қолдана алатын қызметтің барлық салаларында мақсатты және бастамашыл жоғары білікті мамандарға мұқтаж.
Білім беруді ақпараттандыру туралы алғаш рет 1990 жылдарда "Информатика және білім беру" журналында жарияланған. Сонымен бірге, 1990 жылдан бері жарияланған басылымдарға қарамастан, бұл мәселе және қазіргі уақытта ол соңына дейін шешілмеген.
Білім беруде ақпараттық технологияларды қолдану әдістемесі В. Л. В.П. Андреев, Б. С. Беспалько, А.П. Гершунский, И. Г. Ершов, В. Г. Захарова, И. Л. Кинелев, Б. И. Лернер, В. М. Машбиц, П. И. Монахов, Ю. А. Образцов, Е. С. Первин, Г. К. Полат және т.б. көптеген еңбектерінде зерттелген. Бұлар арқылы ақпараттық технологияларды қолданудың нақты жолдары әзірленуде, оқытуда бұл технологияларды дидактикалық құрал ретінде пайдалану, психологиялық педагогикалық зерттеулер жүргізу кезінде оқытудың әртүрлі нысандарын іске асыру үшін оқытуды автоматтандыру, автоматтандырылған оқыту жүйелерін қолдана отырып оқытуды автоматтандыру, сценарийді әзірлеуді, сараптаманы және т. б. қоса алғанда, компьютерлік оқу курстарын және грамматикалық-әдістемелік кешендерді , педагогикалық бағдарламалық құралдардың сапасын бағалау және т. б.
Болашақ математика мұғалімінің дайындық мәселелерін зерттейтін көптеген жұмыстар бар, оларға И. И. Баврин, Д. А.Власов, Г. Д. Глейзер, В. А. Горелик, В. А. Гусева, О. Б. Епишева, А. Ж. Жафярова, О. А. Иванова, В. И. Игошина, Ю. М. Колягина, Э. И. Кузнецова, В.Ф. Люби чева, В. Л. Матросова, В. М. Монахова, А. И. Нижникова, г. И. Саранцева, Н.Л. және т.б. жоғары оқу орындарында дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқытуда өзінің кәсіби және қолданбалы дамуын табады.
Алайда, бұл жұмыстар мемлекеттік жаңа буын кәсіптік білім беру стандарттарына көшуге байланысты аспектілерді жеткілікті түрде көрсетпейді. Атап айтқанда, математикалық пәндерді оқу кезінде математика мұғалімін кәсіби даярлауда ақпараттық технологияларды қолдану туралы мәселелер қамтылмаған.
Дифференциалдық теңдеулер курсына қатысты зерттеулердің көпшілігі математиканың осы бөлімінің қолданбалы бағыты бойынша келіседі. Сонымен қатар ақпараттық технологиялар арқылы осы бағытты іске асыру бойынша жұмыстар жоқтың қасы.
Осылайша, болашақ математика мұғалімдерінің математикалық дайындығына байланысты бірқатар қайшылықтар бар. Олардың ішінде мыналарды бөліп көрсетуге болады:
* еліміздің білім беру стандартына сәйкес университеттің білім беру процесін құру қажеттілігі арасында, болашақ пән мұғалімдерінде ақпараттық технологияларды қолдану қабілетін қалыптастыруға және ғылыми әдістемелік әдебиеттер мен заманауи зерттеулерде осы мәселелердің жеткіліксіз дамуына ықпал ететін математикалық курстарды әдістемелік қамтамасыз етуді құруды көздейді;
* Ақпараттық технологиялар құралдарының, атап айтқанда, әртүрлі шешімдерді шешуге үлкен мүмкіндіктері бар компьютерлік бағдарламалардың болуы, математикалық есептер, оның ішінде дифференциалды есептер, және оларды болашақ мұғалімдердің тақырыптық дайындығында қолдануға байланысты әзірлемелердің жеткіліксіздігі.
Көрсетілген қарама-қайшылықтар осы зерттеудің тақырыбын таңдауды анықтайды.
Зерттеу мәселесі жоғарыда айтылған қарама-қайшылықтан және педагогикалық жоғары оқу орнында болашақ математика мұғалімдерін ақпараттық технологияны пайдалану негізінде дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістемесін жасаудан туындайды.
Зерттеу объектісі: жоғары педагогикалық білім беруде математика пәні мұғалімін дайындау үдерісі.
Зерттеу пәні: болашақ математика пәні мұғалімдерін ақпараттық технологияларды пайдалану негізінде дифференциялық теңдеулерді шешуге оқыту.
Зерттеудің мақсаты - дифференциалдық теңдеулер курсының қолданбалы мәнін түсінетін және дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін жаңа ақпараттық технологиялар құралдарын қолдана алатын білікті математика мұғалімдерін даярлауға мүмкіндік беретін білім беруді ақпараттандыру жағдайында дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқыту әдістемесін әзірлеу.
Зерттеу гипотезасы: ақпараттық технологияларды, атап айтқанда компьютерлік бағдарламаларды қолдана отырып, дифференциалдық теңдеулерді шешуге үйрету болашақ математика мұғалімдерінің математикалық дайындығының сапасын арттыруға ықпал етеді және дәстүрлі әдістерді, формалар мен құралдарды дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістерімен оңтайлы үйлестіретін дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқыту әдістемесін әзірлеу арқылы іске асырылған компьютерлік бағдарламалар курстың қолданбалы бағытын күшейтуге мүмкіндік береді,
Зерттеудің мақсатына, объектісіне, тақырыбына және гипотезасына сәйкес зерттеудің келесі міндеттері қойылды:
*"білім берудегі ақпараттық технологиялар" ұғымын талдау және болашақ математика мұғалімін дайындауда ақпараттық технологиялар құралы ретінде компьютерлік бағдарламаларды қолдану мүмкіндіктерін анықтау
* дифференциалдық теңдеулер курсы бойынша есептердің белгілі бір класын шешу үшін компьютерлік бағдарламаларды қолданудың орындылығын анықтау және негіздеу,
*дифференциалдық теңдеулерді шешуге арналған компьютерлік бағдарламалардың мүмкіндіктерін талдау және ең қолайлы бағдарламаларды таңдау;
:: компьютерлік бағдарламаларды қолдана отырып, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқытудың моделін және оған сәйкес әдістемесін әзірлеу, оқытудың тиісті мақсаттарын, мазмұнын, әдістерін, нысандары мен құралдарын анықтау.
* ұсынылған оқыту әдістемесін қолданудың тиімділігін эксперименталды түрде тексеру.
Зерттеудің теориялық және әдістемелік негіздемесі: педагогикалық жоғары оқу орнында болашақ математика пәні мұғалімдерін кәсіби дайындық облысында (А.В. Абрамов, Р.М. Асланов, И.И. Баврин, В.А. Гусев, В.И. Игошин, Э.И. Кузнецов, С.И. Калинин, Н.Д. Кучугурова, Г.Л. Луканкин, В.Л. Матросов, А.Г. Мордкович, В.Р. Майер, А.И. Нижников, Л.В. Павлова, Е.И. Смирнов, И.Л. Тимофеева, Г.Г. Хамов, М.И. Шабунин, Л.В. Шкерина и др.); білім беруді ақпараттандыру теориясында (Ю.С. Брановский, А.П. Ершов, С.А. Жданов, Т.Б. Захарова, С.Д. Каракозов, О.А. Козлов, Г.А. Кручинина, А.А. Кузнецов, Д.Ш. Матрос, Е.И. Машбиц, П.И. Образцов, Е.С. Полат, И.В. Роберт, Г.К. Селевко, Н.В. Софронова и др.); математика сабағында ақпараттық және телекоммуникациялық технологияларды пайдаланудың әдістемелік аспектілерін (В.В. Алейников, И.В. Беленкова, Д.П. Голоскоков, И.Б, Горбунова, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, С.А. Дьяченко, Е.В. Клименко, Т.Г. Кузьмичева, С.В. Поршнев, С.Е. Савотченко и др.) зерттеу.
Қойылған міндеттерді шешу үшін мынадай зерттеу әдістері пайдаланылды: зерттеу мәселесі бойынша математикалық, психологиялық-педагогикалық, оқу және ғылыми-әдістемелік әдебиеттерді талдау; жоғары мектеп оқытушыларының педагогикалық тәжірибесін талдау және жалпылау; оқу процесінің барысын бақылау; педагогикалық университеттердің математика факультеттерінің студенттерімен, оқытушыларымен, түлектерімен әңгімелесу; студенттерге сауалнама жүргізу; педагогикалық эксперименттің анықтау, іздеу және оқыту кезеңдері; педагогикалық эксперименттің нәтижелерін өңдеу және түсіндіру.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:
* компьютерлік бағдарламаларды (Dfield, Pplane, Odesolve) қолдана отырып, дифференциалдық теңдеулерді шешуді оқытудың моделі мен оған сәйкес әдістемесі әзірленді және ұсынылды
* компьютерлік бағдарламаларды қолдана отырып, оқыту мен оқытудың дәстүрлі формасын оған сәйкес оқытудың негізгі формаларының бірі зертханалық-практикалық сабақты үйлестіру мүмкіндіктері ашылды
*қолданыстағы тапсырмалар іріктеліп алынды және жаңа компьютерлік-бағдарланған міндеттер, оның ішінде қолданбалы тапсырмалар әзірленді;
*компьютерлік бағдарламаларды дифференциалдық теңдеулер курсында көрнекілік құралдарының бірі ретінде пайдалану мүмкіндіктері көрсетілді.
Теориялық маңыздылығы: дифференциалдық теңдеулерді шешу үшін компьютерлік бағдарламаларды қолдану әдістемесі теориялық тұрғыдан негізделген және осы әдістеменің моделі ұсынылған. Dfield, Plane, Odesolve компьютерлік бағдарламалары дифференциалдық теңдеулерді шешуге үйретудегі жаңа ақпараттық технологиялардың құралы ретіндегі рөлі мен әлеуеті тұрғысынан егжей-тегжейлі зерттелген. Дифференциалдық теңдеулер курсында компьютерге бағытталған есептер бөлініп, оларды шешудің орындылығы негізделген.
Алынған нәтижелердің практикалық маңыздылығы, диссертацияда дифференциалдық теңдеулер курсына жаңа ақпараттық технологиялар құралдарын енгізу бойынша нақты ұсыныстар бар. Оқытудың бұл әдістемесі болашақ математика мұғалімдерінің кәсіби даярлығының сапасын арттыруға бағытталған педагогикалық жоғары оқу орындарының математикалық мамандықтарының студенттері үшін дифференциалдық теңдеулер бойынша бағдарламаларды, оқу құралдары мен оқулықтарды және оқу жоспарларын одан әрі жетілдіруге негіз бола алады.
1 ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҰҒЫМЫ
1.1 Дифференциалдық теңдеулердің негізгі ұғымдары мен элементтері
Дифференциалдық теңдеу деп ізделінді функцияны, оның туындылары мен дифференциалдарын және аргументтерін байланыстыратын теңдеуді айтамыз.
Теңдеуге кіретін туындының (дифференциалдың) ең жоғарғы реті дифференциалдық теңдеудің реті деп аталады.
Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп кез келген функцияны айтамыз, егер оның өзін, туындысын және дифференциалын теңдеуге қойғанда тепе-теңдік шығатын болса.
Тек қана бір айнымалыға (бірнеше айнымалыға) тәуелді дифференциалдық теңдеуді қарапайым (дербес туындылы) дифференциалдық теңдеулер деп айтамыз.
Айталғанға сай п - ші ретті жай дифференциалдық теңдеу жалпы түрде былай жазылады:
(1.1.1)
Мұндағы х - тәуелсіз айнымалы, у - ізделінді функция, ал -туындылар.
Егер (1.1.1) теңдеуде екі тәуелсіз айнымалыны бір ғана ізделінді функция болса, онда ол п - ші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу болар еді де, былай жазылар еді:
Егер (1.1.1) теңдеуде n=1 болса, онда алынған теңдеу
(1.1.2)
бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп, ал қалған болған жағдайларда жоғары ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Егер (1.1.2) теңдеу бойынша шешілетін болса, онда алынған теңдеу
(1.1.3)
туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеу деп аталады. (1.1.3) теңдеудегі функциясын кейінде берілген Д облысында бір мәнді, қос аргумент бойынша үздіксіз деп есептейміз. Д - облысы (1.1.3) теңдеудің анықталу облысы деп аталады.
Мысал 1.
а) - екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу;
б) - үшінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу;
в) - бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу.
Ескерту 1. Ары қарай дифференциалдық теңдеу дегенді қарапайым дифференциалдық теңдеу деп түсінеміз. [1],[2].
Мысал 2. Теңдеудің жалпы шешімін тап
а)
(1.1.4)
(1.1.4) шешімі кез келген С тұрақтысына байланысты, яғни, С-ның әртүрлі мәнінде әртүрлі шешім аламыз. Енді С тұрақтысын анықтау үшін қосымша бір шарт (бастапқы шарт) берелік:
Онда осы бастапқы шартты (1)-ге қойсақ: - дербес шешім.
б)
- жалпы шешім. (1.1.5)
Екінші ретті (1.1.5) теңдеуі екі тұрақтыға байланысты С1 және С2 , оларды анықтау үшін екі шарт (бастапқы) қажет: . Бұдан:
- дербес шешім.
Геометриялық тұрғыдан, (1.1.4) және (1.1.5) шешімдері - параболалар жиынтығы. Бастапқы шарт берілді деген: осы параболалар жиынтығынан мына шарттарды қанағаттандыратын параболаны тап деген сөз:
а) нүктесі арқылы өтетін; б) нүктесі арқылы өтетін және нүктесінде жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффиценті болатын.
Коши теоремасы. Жалпы және дербес шешім
ші ретті айқын дифференциалдық теңдеу мына түрде жазылады:
, (1.1.6)
ал айқын емес ші ретті дифференциалдық теңдеу: .
Коши есебі. (1.1.3) дифференциалдық теңдеуінің, болғанда
,, ... , (1.1.7)
бастапқы шартын қанағаттандыратын шешімдерін тап.
Коши теоремасы. Егер қандай да бір тұйық облыста функциясы барлық аргументі бойынша үзіліссіз болып және осы облыста оның дербес туындылары табылса, онда (1.1.3) дифференциалдық теңдеуінің (1.1.4) бастапқы шартын қанағаттандыратын жалғыз шешімі болады, мұндағы нүктесі - осы облысқа тиісті нүкте. [2],[3].
Кез келген дифференциалданатын функция
, (1.1.8)
мұндағы - кез келген тұрақтылар, (1.1.5) дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі деп аталады, егер:
а) ол -дің кез келген тұрақты мәндерінде (1.1.5) дифференциалдық теңдеуінің шешімі болса,
б) Коши теоремасының шартын қанағаттандыратын осы облыстың кез келген бастапқы шарты үшін,
(1.1.9)
шешімі бастапқы шартты қанағаттандыратындай тұрақтылары табылатын болса.
Дифференциал теңдеудің берілген облысындағы әрбір нүктесі үшін жалғыздық шарты орындалатын болса, онда (1.1.6) түріндегі шешім дербес шешім деп аталады.
Геометриялық тұрғыдан, (1.1.5) - қисықтар жиынтығы (интегралдық қисықтар). Коши теоремасының шарты орындалды дегеніміз - облысқа тиісті кез келген нүктесінен (1.1.4) шартын қанағаттандыратын тек бір ғана қисық өтеді деген сөз.
(1.1.5) теңдеуінің айқын емес түрде берілген жалпы (дербес) шешімі:
сәйкесінше дифференциалдық теңдеудің жалпы (дербес) интегралы деп аталады. (1.1.5) теңдеуінің жалпы және дербес шешімінен басқа ерекше шешімдері болады.
-ді () қандай етіп таңдап алсақ та, жалпы шешімнен шықпайтын және шешімнің жалғыздық шарты бұзылатын нүктелерде орналасқан (облыстың шекарасында) шешімдерді ерекше шешімдер деп атаймыз.
Мысал 3. Мынадай теңдеуді қарастыралық:
(1.1.10)
Шешуі. Орнына қою арқылы (1.1.10) теңдеуінің жалпы интегралы:
(1.1.11)
болатынына көз жеткізуге болады.
, (1.1.12)
болғандықтан, түзулерінде - шектелмеген, яғни, Коши теоремасының шарты бұзылып тұр. (1.1.10)-теңдеуінің шешімі болмайтыны анық, ал түзулері (10) теңдеуінің шешімдері және бұл шешімдер жалпы шешім (11)-дегі қалай таңдалса да онымен беттеспейді, С=+-infinity болса да. Геометриялық тұрғыдан, бұл - түзулерінің кез келген нүктесі арқылы екі интегралдық қисық өтеді деген сөз. Мысалы, нүктесі арқылы және қисықтары өтеді. Сонымен, - ерекше шешім.
2 мысалда байқағанымыздай, теңдеуді шешу кезінде біз алғашқы функция табамыз. Сондықтан, дифференциалдық теңдеудің шешімін табу процессі теңдеуді интегралдау деп аталады. [4],[5].
1.2 Сызықтық дифференциалдық теңдеу
Егер дифференциал теңдеу ізделінді функция мен оның туындысы бойынша сызықты болса, ондай теңдеуді сызықты дифференциал теңдеу деп атаймыз.
Бірінші ретті сызықты дифференциал теңдеуді мына түрде жазуға болады:
(1.1.13)
, (1.1.14)
(1.1.13) - біртектес емес, ал (1.1.14) - біртектес дифференциал теңдеу деп аталады.
Біртектес дифференциал теңдеудің жалпы шешімін табалық:
(1.1.15)
Лагранж әдісін (тұрақты шаманы вариациалау әдісі) қолданып, (1.1.13) теңдеуінің шешімін алуға болады. Шешімді (1.1.15) түрінде іздейміз, мұндағы - белгісіз функция. Онда (1.1.13) теңдеуіндегі -тың орнына:
,
ал - тің орнына (1.1.5)-ті қойсақ:
Осы табылған -ті (1.1.5)-ке қоя отырып, (1.1.13) теңдеуінің жалпы шешімін аламыз.
(1.1.16)
Ескерту. - теңдеуінің жалпы шешімі, ал - (1.1.13) теңдеуінің дербес шешімі ( болғанда) болғандықтан, кез келген ретті сызықтық теңдеу үшін ақиқат болатын мынадай тұжырым жасауға болады: біртектес емес сызықты теңдеудің жалпы шешімі оған сәйкес біртекті сызықтық теңдеудің жалпы шешімі мен біртексіз сызықты теңдеудің дербес шешімінің қосындысына тең ( болғандағы).
Мысал 4. теңдеуінің жалпы шешімін тап. Бастапқы шарт у(-2)=2 болғандағы, Коши есебін шеш.
Берілген теңдеуді екі жағын да өрнегіне бөліп келтіреміз:
Мұнда
Берілген теңдеудің (6) формуласына сәйкес жалпы шешімі:
(1.1.17)
Осы шешімнің ішіндегі интегралдарды шығаралық:
мұндағы және таңбалары теңдігінен шығады. Табылған интегралдарды (7) шешіміне қойсақ, берілген теңдеудің жалпы шешімін аламыз:
у(-2)=2 бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімі:
Мысал 5. теңдеуін шеш.
Шешуі. Бұл теңдеу -ке қатысты сызықты емес. -ті у тәуелсіз айнымалысына тәуелді функция ретінде қарастырсақ: . Онда
Бұл теңдеу -ке қатысты сызықты .
(6)-дан,
- жалпы шешім.
Сонымен қатар, (1.1.13) сызықты дифференциал теңдеуін Бернулли әдісін қолданып та, интегралдауға болады. Екі белгісіз функция u(x ), v(x) енгіземіз және y=u(x)v(x) (Бернулли ауыстыруы) деп аламыз. Онда және өрнектерін (1.1.13) теңдеуіне қоя отырып, немесе
(1.1.18)
теңдеуін аламыз. Жақшаның ішіндегі өрнекті =0 десек, бұл айнымалысы ажыратылатын дифференциалдық теңдеу. Осы теңдеуді шешіп, v-ны табуға болады. Енді жақшаның ішіндегі өрнекті нөлге тең деп алғандықтан, (1.1.18) теңдеуі мына түрге келеді: . Бұл теңдеуге жоғарыда табылған v-ны қойсақ, бұл да айнымалылары ажыратылатын теңдеу болады, бұл жерден u-ды табамыз. Табылған u мен v-ны Бернулли ауыстыруына қоятын болсақ, берілген теңдеудің жалпы шешімі шығады.
Мысал 6.
дифференциалдық теңдеуін Бернулли әдісін қолданып шеш және бастапқы шарт болғандағы, Коши есебін шығар.
Бернулли ауыстыруын жасаймыз: онда:
теңдеуінің шешімін іздейміз.
деп, шешімін табамыз. Енді теңдеуін шешеміз, мұндағы
Онда берілген теңдеудің жалпы шешімі:
Енді бастапқы шартқа сәйкес дербес шешім іздейміз: бұдан Табылған С=-1 мәнін жалпы шешімге қойып, теңдеудің дербес шешімін аламыз: [6],[7].
1.3 Біртекті дифференциалдық теңдеу
функциясы пен бойынша -шы ретті біртекті функция деп аталады, егер кез келген үшін: теңдігі орындалатын болса.
Егер және - бірдей ретті біртекті функциялар болса, онда (1) теңдеуі біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады.
теңдеуі біртекті болады, егер , яғни, .
Біртекті дифференциалдық теңдеу айнымалыларды ауыстыру көмегімен айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеуге келтіріледі: немесе .
Мысал 7. Теңдеуді шеш: .
Шешуі. Барлығын теңдеудің бір жағына жинақтау арқылы, біртекті дифференциалдық теңдеуге келтіреміз:
және - 2-ші ретті біртекті функциялар болғандықтан, теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеу. белгілеуін енгіземіз.
- бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу. Екі жағын да көбейтіндісіне бөліп, интегралдасақ:
- жалпы шешім.
және жағдайлары жағдайымен тепе-тең. Жалпы шешімнен С=0 болғанда шығады.
Ескерту. түріндегі теңдеу біртекті дифференциалдық теңдеуге келтіріледі.
Мысал 8. теңдеуін біртекті дифференциалдық теңдеу түріне келтір.
Шешуі. Айнымалыларды ауыстырамыз ( және - тұрақтылар):
және -ны бос мүшелері нөлге тең болатындай етіп, таңдап аламыз:
Сонымен, деп жаңа айнымалылар енгізсек,
түріндегі біртекті дифференциал теңдеуге келеміз.
Мысал 9. дифференциал теңдеуін интегралда және оның у(1)=0 бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімін тап.
және функциялары екінші ретті біртекті функция болғандықтан, берілген теңдеу - біртекті. Айнымалыларды ауыстырамыз:
Онда
х!=0 деп, теңдеудің екі жағын да -қа бөлеміз:
Айнымалыларды ажыратып, екі жағын да интегралдасақ:
.
Соңғы өрнектегі u-дың орнына ух - ті қойып, жалпы интегралды аламыз: .
Оны у - ке қатысты шешсек, берілген дифференциал теңдеудің жалпы шешімін аламыз:
у(1)=0 бастапқы шартын ескере, С тұрақтысын анықталық:
Сонымен, берілген теңдеудің дербес шешімі: [8],[9].
2 Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың әдістемелік тәсілдері
2.1 Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде ақпараттық коммуникациялық технологияларды кешенді пайдалану
АКТ-ның негізгі техникалық әдістері
Кесте 1
№
АКТ техникалық құралдарының атаулары
Ағылшынша атауы
Қысқаша жазылуы
Электрондық оқулық
electronic textbook
c-tbook
Мультиорталық жүйе
multimedia system
CD-sys
Эксперттік жүйе
experts system
ex.sys
Электорндық кітапханалық каталог
electronic library
e-libr
Мәліметтер банкі
Database
db
Электрондық пошта
electronic mail
Дыбыстық электрондық пошта
voice mail
v-mail
Электрондық хабарландыру тақтасы
bulletin system
BS
Телеконференциялар жүйесі
Teleconference
t-conf
Ғылыми зерттеулерді басқарудың автоматтандырылған жүйесі
Computer research system
aided CAR
Ұйымдастыруды басқарудың автоматтандырылған жүйесі
Management information system
MIS
Шағын электорондық баспахана
dest-top publishing
d.t.-publ
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ пайдалану кезінде қолданылатын бағдарламалық құралдар:
1. Жалпы мақсаттағы және аппараттық құралдармен өзара байланысты (драйверлер және т.б.) - әртүрлі деректер түрлерімен жұмыс істеуге мүмкіндік береді.
2. Деректер базасы - құрылған ақпараттық массивтер-КД (компакт диск) энциклопедиялары, ақпараттық веб - сайттар және Интернет желісінің іздеу жүйелері, оның ішінде білім беру саласында пайдалану үшін мамандандырылған.
3. Виртуалды конструкторлар-математикалық және физикалық шындықтың визуалды және символдық модельдерін қалыптастыруға және осы модельдермен эксперименттер жүргізуге мүмкіндік береді.
4. Тренажерлер - оларда ақпараттық объектілермен жұмыс істеудің Автоматты қабілеттерін пысықтауға болады яғни мәтін енгізу, экранда және проекторда графикалық объектілермен операция жасау, тілдік ортада жазбаша және ауызша қарым-қатынас жасау.
5. Басқарудың ақпараттық жүйелері - білім беру процесінің барлық қатысушылары-студенттер, педагогтар, әкімшілік, ата-аналар, жұртшылық арасында ақпараттық ағындардың өтуіне кепілдік береді.
Дифференциалдық теңдеулерді заманауи оқытуда қалыптасқан және дамыған құралдар, оқыту әдістері мен кешендері түсінуді, қайта құруды және жаңа педагогикалық шешімдерді қажет ететін жағдай туындады. Бұл, ең алдымен, АКТ-ны кеңінен енгізуге және кеңінен қолдануға байланысты. Мұндай технологиялар материалдарды беру және заманауи ашық және қашықтықтан білім беру жүйелерінде мұғалім мен студенттің өзара әрекеттесуін құру үшін тиімді қолданылады. Бүгінгі таңда мұғалім АКТ-ны қолдану саласындағы білімге ие болып қана қоймай, оларды кәсіби жұмысында қалай қолдануға болатындығын білуі керек. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану - жоғары оқу орындарындағы сабақтарды жетілдіру мен оңтайландырудың, жұмыстың қызықты түрін жасауға мүмкіндік беретін, сондай-ақ студенттер үшін есте қаларлық әдістемелік құралдар мен тәсілдер жиынтығының өсуінің басты факторларының бірі. Бүгінгі таңда білім беру парадигмасы оқытудың компьютерлік компоненттерінде әзірленген, студенттің дайын білімді, дағдыларды беруіне емес, студенттерді өз бетінше білім табу мүмкіндігіне итермелеу қажеттілігіне негізделген. Студенттердің сабақтардағы жұмысы интерактивті компьютерлік бағдарламалар мен аудиовизуалды құралдардың көмегімен құрылған мұғаліммен сөйлесу сипатына ие. Зерттеушілердің пікірінше, оқытудың әрбір әдісі оған ақпараттық технологияларды біріктіру арқылы толықтырылады. Бірақ егер информатиканы оқыту барысында АКТ құралдары зерттеу объектісі ретінде де, оқыту әдісі ретінде де қызмет етсе, онда кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқыту барысында олар тек оқыту құралы болып табылады. АКТ құралдары деп микропроцессорлық, есептеу техникасы негізінде әзірленген бағдарламалық, бағдарламалық аппараттық және техникалық тәсілдер мен құрылғылар, сондай-ақ материалдарды жинау, өндіру, жинақтау, жинақтау, талдау, материалдарды беру жөніндегі рәсімді және жергілікті және жаһандық ақпараттық элементтерге қол жеткізу мүмкіндігін қамтамасыз ететін материалдарды таратудың, ақпарат алмасудың қазіргі заманғы құралдары мен жүйелері түсінілуі қажет [139, Б. 51].
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту процесінде ең көп қолданылатын АКТ құралдарына мыналар жатады: - компьютер мен мультимедиялық проектордың көмегімен көрсетілетін электрондық оқулықтар мен құралдар,
- Оқу ақпараттық-анықтамалық жүйелер;
- бақылау және тестілеу бағдарламалары;
- Интернеттің білім беру ресурстары,
- суреттер мен иллюстрациялары бар DVD және CD дискілер,
- бейне және аудио техника,
- ғылыми-зерттеу жұмыстары және жобалар.
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану оқу ақпаратын ауызша емес, визуалды және қол жетімді түрде беруге мүмкіндік береді. Ең бастысы, студент сабақта өз бетінше жұмыс істей алады, өз қарқынымен жұмыс істей алады, қажет болған жағдайда түсініксіз фрагменттерге баса назар аударады немесе егер бәрі түсінікті болса және проблема болмаса, басқаларына қарағанда тезірек жасайды [183].
Тәжірибе көрсеткендей, оқытудың техникалық әдістері студенттердің дербестігін қалыптастырады және сабақтарда жақсы әлеуметтік-психологиялық атмосфера қалыптастырады, оларға өзіне деген сенімділік береді, бұл студенттердің жеке басын дамытудың маңызды буыны болып табылады [183].
Сондықтан, техникалық құралдарды қолдана отырып, студенттердің іс-әрекетінің артықшылықтары туралы айта отырып, оның пайдалы жақтарына тоқталу қажет:
- студенттердің жалпы мәдени дамуы;
- компьютерді меңгеру дағдыларын жетілдіру;
- тілдік деңгейді жетілдіру;
- қолайлы психологиялық жағдайларды ұйымдастыру;
- студенттердің мотивациясының өсуі және олардың пәнге деген қызығушылығы;
- оқытуды дараландыру қабілеті;
- керісінше принципті жүзеге асыру - материалды көрнекі көрсету қабілеті;
- бақылау мен өзін-өзі бақылаудың үйлесімі;
- студенттердің іс-әрекеттерін объективті және өзекті бағалау;
- студенттердің өзіндік жұмыс дағдыларын жандандыру.
АКТ-ның техникалық құралдары жаңа тілдік білімді, дағдыларды, дағдыларды таныстыру, жаттықтыру және бекіту үшін, сондай-ақ оларды бақылау сатысында тиімді пайдаланылуы мүмкін.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану білімнің тұрақты моделінен ойлау әрекеттерінің динамикалық жүйесіне дейін; оқытудың сыртқы мотивациясынан ішкі моральдық-ерікті реттеуге дейін есте сақтау функциясы ретінде оқытудан ақыл-ой қалыптастыру элементі ретінде оқытуға көшуге мүмкіндік береді; Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану тиімді оқыту құралы ретінде компьютердің үлкен мүмкіндіктерін анықтайды. Компьютердің оқу қосымшалары сөйлеу жұмысының әртүрлі түрлерін жаттықтыруға және оларды әртүрлі комбинацияларда біріктіруге, тілдік құбылыстарды түсінуге мүмкіндік береді. Олар математикалық дағдыларды қалыптастыруға, коммуникативті жағдайлар жасауға, тілдік және сөйлеу әрекеттерін автоматтандыруға, сондай-ақ жеке көзқарасты жүзеге асыруға және студенттердің өзіндік жұмысын күшейтуге мүмкіндік береді. Әр мұғалім өз жұмысында АКТ-ны қолдана отырып, ең бастысы түсінуі маңызды: сабақтағы компьютер мұғалім мен тірі сөзді алмастыра алмайды, бұл студенттердің дағдыларын дамытудың тиімді әдісі, бұл оның дағдыларын кеңейтуге және тереңдетуге мүмкіндік береді. АКТ-ның техникалық құралдары мұғалімге шығармашылық жұмыс пен студенттердің жеке білім беру маршруттарын жүзеге асыруға уақыт бөлуге мүмкіндік береді. АКТ оқыту құралдарының үлкен таңдауы оларды жоғары математиканы оқытуда тиімді қолдануға мүмкіндік береді. Педагогикалық жұмыс тәжірибесінде біз белгілі бір сабақтарға арналған презентацияның мультимедиялық рефераттарын кеңінен қолданамыз, олар тақырып бойынша қысқаша ақпаратты, негізгі математикалық формулаларды, теоремаларды, математикалық терминдердің қасиеттерін және т. б. қамтиды.
Интерактивті құралдардың көмегімен компьютерлік презентациялар студенттердің жеке қасиеттеріне негізделген оқу ақпаратын тиімді қолдануға көмектеседі. Интерактивті әдістердің өсуі студенттің сабақтарына белсенді қатысуға әкеледі, бұл тақырып бойынша материалды түсіну мен есте сақтаудың тиімділігін арттыруға мүмкіндік береді. Электрондық оқулықтар материалды көрнекі түрде көрсетеді, жылдам кері байланысқа ықпал етеді (ақпаратты түсінуді жедел бақылау). Интерактивті режим студенттерге оқу материалын түсіну процесі мен қарқынын бақылауға мүмкіндік береді; гиперсілтемелердің тармақталған құрылымы қосымша мәліметтер, түсініктемелер алуға мүмкіндік береді. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану процесінде компьютерлік тестілеу маңызды орын алады. Зерттеулер көрсеткендей, тестілеуді компьютерде қолдану оқу процесінің тиімділігін арттырады, студенттердің танымдық жұмысын дамытады. Бағдарлама жүргізетін үлгерімді объективті бақылау студенттерді бағалауға деген көзқарасты жояды. Интернет желісінің білім беру компоненттерінің оқу жұмысындағы көп қырлы қабілеттері студенттердің шығармашылық, аналитикалық дағдыларын қалыптастырады, олардың динамикасын арттырады, болашақ кәсіби қызметте қажетті дағдыларды алуға әсер етеді. Акт жоғары математиканы оқытуда студенттердің жеке басын білдіру үшін жағдай жасайды: олардың шығармашылық қызметінің өнімдері басқаларға қажет, пайдалы болуы мүмкін. АКТ-ны қолдану үнемі өсіп келе жатқанымен, бұл процесс Қазақстан Республикасы оқытушыларының тұрақты пікірталастарына жатады. Компьютерлік оқытудың қарсыластары компьютердің студенттердің де, оқытушылардың да денсаулығына зияны, компьютермен жұмыс істеуден шаршау туралы пікір айтады. Олар мұғалімнің қажетті оқу компоненттерін компьютерлік түрде таңдау және дамыту бойынша жаһандық алдын-ала ұйымдастырушылық жұмыстарын жүргізу маңызды деп санайды. Жүргізілген зерттеу нәтижелерін қорытындылай келе, жоғары математиканы оқыту процесінде студенттердің танымдық қызметін белсендіру тәсілі ретінде АКТ-ны қолданудың ұйымдастырушылық-педагогикалық шарттары атап өтілуі мүмкін: - танымдық мотивацияларды дамытуға, пәнді оқуға деген қызығушылықты оятуға, көрнекі-бейнелі ойлауды қалыптастыруға, оқу және танымдық міндеттерді шешу үшін модельдер мен схемаларды қалыптастыру, пайдалану және өзгерту қабілетін дамытуға мүмкіндік беретін сабақ тақырыбы бойынша АКТ негізінде көрнекі пайдалану мен иллюстрацияны жүйелі және мақсатты жүзеге асыру; - студенттерді сандық ресурстарды, анимациялық ресурстарды қолдана отырып жүзеге асырылатын бақылаулар, өлшеулер, құру, компьютерлік модельдеу арқылы ұйымдастырылған танымдық жұмыс арқылы ізденістерге тарту (проблемалық жағдай туғызу, оны шешу үшін маңызды материалдарды табу, гипотезаларды ұсыну, талдау және дәлелдеу, қорытынды жасау және алынған нәтижені пайдалану мүмкіндіктерін анықтау). Эксперимент, виртуалды зертханалар және мұғалімнің көмегімен де, жеке өзі де жүзеге асырылады; - АКТ-ның бақылаушы бағдарламалық құралдары арқылы жүзеге асырылатын студенттердің математикалық білімі мен дағдыларын біртіндеп және құрамдас сараланған бақылауды, өзін-өзі бақылауды және түрлендіруді іске асыру; - Оқу ақпаратының деректерін табу, түсіну және меңгеру үшін, танымдық міндеттерді, оқу және шығармашылық жобаларды іске асыру үшін кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ-ны пайдалану бойынша студенттердің жеке білім беру мүмкіндіктеріне, ерекшеліктері мен қажеттіліктеріне сүйене отырып студенттердің өзіндік қызметін ұйымдастыру. Осылайша, кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану студенттердің пәнге деген қызығушылығын арттыруға және олардың сөйлеу-ойлау жұмысының өсуіне, өз бетінше жұмыс істеу және топта жұмыс істеу қабілеттерін қалыптастыруға, сөйлеу әрекетінің барлық түрлерін тиімді дамытуға көмектеседі. Компьютерлік құралдармен жүйелі жұмыс студенттердің өзіндік жұмысының тұрақты қабілеттерін дамытады, бұл классикалық тапсырмаларды орындау уақытын азайтуға мүмкіндік береді және осы уақытты шығармашылық тапсырмаларды орындау үшін пайдалануға мүмкіндік береді.
2.2. Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда ақпараттық-коммуникациялық технологияларды пайдаланудың ұйымдастырушылық формалары мен әдістері.
Дифференциалдық теңдеулер оқытушысының негізгі міндеттерінің бірі пәнді дағдылары мен дағдыларын қалыптастыру және дамыту ойлау және ілім мәдениетінің элементтерін оқыту. Осы мақсатта қажет жоғары математиканы оқытудың мазмұнды аспектісін әзірлеу, бүкіл курстың тұжырымдамалық компоненттерін игеруге, дамытуға ықпал етеді, студенттердің танымдық қабілеттері, олардың оқу іс-әрекетіндегі белсенділігі қызметі, сондай-ақ коммуникативтік қызметті қалыптастыру және дамыту құзыреті.
АКТ көмегімен сабақтарда жұмысы белсенді, студенттердің өзін-өзі тәрбиелеу дағдылары мен дағдыларының деңгейі жоғары болады. Айта кету керек,қазіргі заманғы оқыту құралдары ақпараттық-коммуникативтік, тұлғалық-бағдарланған шығармашылық және іздеу әрекетінің әдістері бар технологиялар органикалық түрде біріктіруге мүмкіндік береді. Заманауибілім беруді компьютерлерді енгізбестен елестету мүмкін емес яғни технология оқу процесі және бұл құбылыс сөзсіз болады, сондықтан оқытудың тиімділігі мен сапасы : оқыту және жаңа материалды зерттеу, тексеру және бақылау жұмыстары, дайындық және өзіндік жұмыстарды тексеру, аудиториядан тыс және шығармашылық жұмысты жақсартады.
Ақпараттық технология, Г. К. Селевконың пікірінше, ақпараттық технология мынадай үш нұсқада жүзеге асырылуы мүмкін [143, б. 26]:
-ену ретінде (зерттеу кезінде жеке тақырыптарды, бөлімдерді, жеке дидактикалық есептерді шешу үшін компьютерді пайдалану);
-негізгі ретінде (педагогикада қолданылатын ең маңызды технология);
-монотехнология ретінде (барлық оқыту және оқу менеджменті болған кезде диагностиканың, бақылаудың және бақылаудың барлық түрлерін қоса алғанда компьютерді қолдануға негізделген).
Мұнда мұғалім мен студенттің ұмтылысын интерактивті ортаға ең көп үйретілгенін ескеру қажет, яғни дайын электрондық курс пайдалану. Біздің ойымызша, ақпараттық технологияларды барлық білім беру процестерінің бірлігінде қарастыру керек:
- ақпараттық технологияны қолдану арқылы сабақ өткізу;
- білім алушылардың шығармашылық қызметінің жобалары;
- қашықтықтан оқыту бойынша конкурстар;
- Интернет ресурстар мен электрондық кітаптарды қолдану;
- элективті курстарға қатысу;
- студенттің тұлғалық тұрғыдан дамуы және қалыптасуы;
- мұғалімнің көмегіне назар аудара отырып, шығармашылық қабілеттерін дамыту.
Ақпараттық қоғамды қалыптастыру және ұйымдастыру мыналарды қамтиды
АКТ-ны терең қолдану, бұл бірнеше фактілерге тән. Ең алдымен, адамдардың білімі мен жинақталған әлеуметтік тәжірибесін беру АКТ-ны қолдану қарқынын едәуір арттырады. Екіншіден, жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану жоғары оқу сапасын жақсартатын несиелік оқыту жүйелері математика, бүгінде болып жатқан әлеуметтік өзгерістер студенттерге тиімді бейімделуге мүмкіндік береді. Үшіншіден, оқу кезінде қазіргі заманғы талаптарға сәйкес білім беру жүйелері қоғамдар кредиттік оқыту жүйесінің шарттары-жаңартудың басты шарты АКТ қолдануды белсенді және тиімді енгізу.
Мұғалімдерге мазмұнын, әдістерін және ЖОО - да оқытудың ұйымдастырушылық нысандары ақпараттық технологиялардың оқу процесіне енуі. Ақпараттық қоғам, сондай-ақ ізгілендіру, даралау,оқу барысын күшейту және әр кезеңде оқыту сапасының өсуі білім беру жүйесі АКТ-ны қолдану мақсаты оқуда студенттердің ақыл-ой қабілеттерін арттыру ұсынылады [157, б. 573].
Дифференциалдық теңдеулерді оқыту кезінде АКТ-ның білім беру әдістеріні қолданудың бірнеше аспектілерін атап өтуге болады:
1. Мотивациялық аспект. Жоғары оқу орындарында кредиттік оқыту жүйесі жағдайында АКТ қолдану студенттердің қызығушылығы мен жағымды қалыптастырып математиканы мотивациясын арттыруға мүмкіндік береді, өйткені олар мынадай жағдайларда құрылады:
- студенттердің қабілеттері мен қажеттіліктеріне сай жеке білім беруді пайдалану және есепке алу;
- сабақтарды жүргізудің мазмұнын, формаларын, үлкен қарқыны мен деңгейлерін таңдау;
- студенттердің шығармашылық амбицияларын ашу;
- студенттердің де, жоғары математика оқытушыларының да игеруі.
2. Мазмұнды аспект. АКТ-ны пайдалану мүмкіндіктері кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда мыналар қолданылуы мүмкін:
- интерактивті кестелер, плакаттар, әртүрлі сандық кестелер жасау кезінде
нақты тақырыптар мен оқу бөлімдері бойынша білім беру ресурстары нысандағы жеке шағын сабақтарды әзірлеу үшін тесттер;
- интерактивті жеке тапсырмаларды ұйымдастыру үшін және студенттердің өзіндік жұмысына арналған тренажерлар.
3. Оқу-әдістемелік аспект. Электрондық және ақпараттық жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану процесіндегі құралдар кредиттік оқыту жүйесінде әдістемелік әдіс ретінде оқу жүйесімен бірге жүруі мүмкін процесс. Жоғары математиканы оқытудағы мұғалім жаңа ақпаратты беру кезінде, дайындық кезінде әртүрлі білім беру әдістерін қолдана алады.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану компьютермен жұмыс істеудің жаңалығы ғана емес, білім де алуға мотивацияны арттыруға мүмкіндік береді, оқуға деген қызығушылық деңгейін арттыруға мүмкіндік береді.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану интерактивті сөйлесу арқылы зерттелетін объектілерді визуализациялау, оқу процесін және оқу жұмысы мен компьютерлік режимді таңдап ажыратып жекелендіруге мүмкіндік береді. Оқу бағдарламасын қолдауға бағытталған бағдарламалық-әдістемелік қамтамасыз етудің болуы оқу процессін көрсету үшін және дербес компьютермен жабдықтау сыныпта аналитикалық жұмыс жасауға, жеке оқу және жаңа ақпараттық технологиялық құралдардың көмегімен пәндік жұмыс оқу мүмкіндіктеріне ықпал етуге мүмкіндік береді. Компьютер икемділікке кепілдік бере отырып тиісті деңгейде түрлендіруге, студенттердің жұмысын бақылауға, сабақтың барысын басқаруға мүмкіндік береді. Компьютерде жұмыс істей отырып, студент сұрақтарға қанша уақыт қажет болса, соны қарай алады; сұрақ қою кезінде білімді жеке бағалау мәселесі, өйткені олар апсырмаларға дұрыс жауаптарды санау арқылы компьютер бағалайды; жауап тез талданады, бұл жауап алушыға немесе сұрақты нығайтуға немесе берілген қате жауапты өзгертуге немесе мұғалімнен көмек сұрай алады. АКТ студенттерге өз дағдыларын жетілдіре отырып, виртуалды серіктеспен диалог жүргізу, монологиялық және диалогтық мәлімдеме жасауға белсенді мүмкіндік береді.
Компьютерлік тесттер мен тест тапсырмалары білімді бақылау мен бағалаудың әртүрлі формаларын жүзеге асыру мақсаттарында қолдануға болады.
4. Ұйымдастырушылық аспект. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқытуда АКТ арқылы оқытуды мына әртүрлі формаларын қолдануға болады:
- оқыту кезінде барлық студенттерді жеке жоспарға сүйене отырып жеке бағдарлама бойынша;
- жұмыс бүкіл аудиториямен бірге немесе топпен жүргізіледі.
5. Бақылау-бағалау аспектісі. Жоғары математиканы оқытуда кредиттік оқыту жүйесі жағдайында АКТ қолдану барысында студенттердің білім беру нәтижелерін бағалау , негізгі бақылау құралы және тапсырмалар тестілеу түрінде ұсынылады. Бақылаудың әртүрлі түрлері жүзеге асырылады: кіріспе, аралық және қорытынды.
Тесттерді онлайн режимінде өткізуге болады (мұндай тапсырмалар компьютерде интерактивті режимде орындау, нәтижені бағалау, ол автоматты түрде жүйемен жүзеге асырылады) және off-line режимінде (яғни мұғалімнің өзі орындалған тапсырмаларды бағалайды, қорытындылайды, түсініктеме береді, қателер бойынша жұмыс өткізеді). Демек, жоғары математиканы оқытуда АКТ қолдану тек өнімділікті ғана емес сонымен қатар оқытудың әртүрлі формалар мен әдістерді жақсартуға, қызығушылық танытатын студенттер санын көбейтеді,бағдарламалық материалды терең зерттеуге ықпал етеді.
Дифференциалдық теңдеулерді оқытуда АКТ қолдану үшін келесі оқытудың құралдарды қолдана алады:
1. Баспа басылымдары. Кредиттік оқыту жүйесі жағдайында жоғары математиканы оқыту кезінде АКТ-ны қолданудың өзекті міндеттерінің бірі
білім беру электрондық құралдар, ресурстар және т.б. жүйелеу мәселесі болып табылады. Бұл құрылымды әр түрлі критерийлер бойынша сүйене отырып жасауға болады. Біріншіден, іске асырылатын функциялар бойынша.
Ал сонымен, электрондық оқу құралдарын классикаға жатқызуға болады, құрылымдау принциптерін қолдануға болады, оқу кітабы үшін қолданылады. Екіншіден, олар электрондық басылымдар және оларға принциптер қолданылуы мүмкін электрондық басылымдарды құрылымдау типіне жатады
Тікелей қолдануға көшпес бұрын оларды ерекшелендіретін параметрлер содан кейін негізгі болуы мүмкін жіктеу білім беру электронды басылымдарын анықтау маңызды.
Негізгі ұқсас параметрлер-критерийлер арқылы мыналар анықталады:
- электрондық басылым түрі;
- Пәндік білім беру саласы;
- ұсынылатын білім деңгейі;
- білім беру процесінің ұсынылатын түрі;
- білім беру процесінің ұсынылатын түрі;
- аудиторияның ерекшелігі [183].
Білім беру электрондық рубрикацияларының жарияланған түрлері басылымдар мен ресурстар жоғарыда көзделген ақпараттық кешендер стандарттар мен рубрикаторлар әртүрлі білім берудің бірлігі ретінде сипатталады.
2. Ақпараттық электрондық өнімдер. Электрондық білім беру ресурсында материалдар, деректер болуы мүмкін, оны құру және қолдану үшін маңызды бағдарламалық жасақтамада АКТ қолдану.
Кредиттік жүйе жағдайында жоғары математиканы оқытуда ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz
Реферат
Курстық жұмыс
Диплом
Материал
Диссертация
Практика
Презентация
Сабақ жоспары
Мақал-мәтелдер
1‑10 бет
11‑20 бет
21‑30 бет
31‑60 бет
61+ бет
Негізгі
Бет саны
Қосымша
Іздеу
Ештеңе табылмады :(
Соңғы қаралған жұмыстар
Қаралған жұмыстар табылмады
Тапсырыс
Антиплагиат
Қаралған жұмыстар
kz