Дифференциалдық теңдеу пәні

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 48 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан Университеті

ӘОЖ-514(023 ) қолжазба құқығында

Мухаматов Мухтарбек Бегматович

Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің шынайы процестерді модельдеуде қолданылуы

7M01510 - «Математика» білім беру бағдарламасы бойынша

педагогика ғылымдарының магистрі дәрежесін алу үшін

дайындалған диссертация

Ғылыми жетекшісі:

Шымкент 2023

Мазмұны

Кіріспе . . .

1 тарау Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер . . . … . . .

1. 1 Бірінші ретті туындыға қатысты теңдеу. Жалпы ұғымдар. . . .

1. 2 Айнымалыларды ажырату . . .

1. 3 Физикалық мысалдар . . .

1. 3. 1 Түзу сызықты қозғалыс жылдамдығы . . .

1. 3. 2 Реактивтік қозғалыс . . .

2 тарау Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер . . . . . . ….

2. 1 Екінші ретті толымсыз дифференциалдық теңдеулер. Екінші ретті

теңдеудің жалпы түрі . . . . . .

2. 2 Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықты дифференциалдық

теңдеулер . . . . .

2. 3 Айнымалы коэффициентті екінші ретті сызықты дифференциалдық

теңдеулер . . . . . . . .

2. 3. 1 Эйлер теңдеуі . . .

2. 3. 2 Біртекті сызықты теңдеу . . .

2. 4 Екінші ретті туындысы бойынша шешілген дифференциалдық теңдеулер

у" = const . . .

2. 4. 1 Теориялық механика . . .

2. 4. 2 Маятниктің тербелісі . . .

2. 4. 3 Жіптің тепе-теңдігі . . .

Қорытынды . . .

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . .

Кіріспе

Жұмыстың өзектілігі : Жай дифференциалдық теңдеулер теориясының көптеген және әр саладағы қолданыстары өз кезегінде әртүрлі физикалық-механикалық заңдылықтарды білуді қажет ететіні белгілі. Осы себепті дифференциалдық теңдеулер бойынша теориялық курстарда инженерлік-техникалық есептерді шығаруға жеткіліксіз назар аударылады, әсіресе педагогикалық мамандықтарға. Дифференциалдық теңдеулер курсын оқып шыққан студенттер өмірдегі, өндірістегі пайда болатын мәселелер мен есептерді шығаруда дағдылары мен шығармашылдығы жеткіліксіз болады.

Ал жаратылыстану мен техниканың кең тараған нақты есептерін қамтитын дифференциалдық теңдеулерді құрастыру бойынша арнайы оқу құралдар жоққа жақын.

Бұл есептер бірқатар ғылыми-техникалық пәндерді қамтиды да, дифференциалдық теңдеулердің басқа да ғылыми пәндермен байланысын ашып көрсетеді.

Бұл есептер сонымен қатар кез келген сала маманының, соның ішінде мектеп мұғалімінің де білім негізін құрайтын бірқатар маңызды пәндерді оқуды жеңілдетеді деуге болады.

Жаратылыстану мен техниканың көптеген есептерін шығару қарастырылып отырған құбылыс немесе үдерістерді сипаттайтын, белгісіз функциялар мен олардың туындыларын арасын байланыстыратын қатынастыр белгілі болған жағдайда белгісіз функцияларды табуға келтіріледі. Осындай қатынастар дифференциалдық теңдеулер деп аталады.

Дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін есептердің көпшілігін механика бөлімі береді. Нүкте динамикасының классикалық есебі әсер етуші күштер белгілі болғандағы материалдық нүктенің қозғалыс заңын табу есебі болып табылады. Бұл жағдайда Ньютонның екінші заңы дифференциалдық теңдеуге алып келеді. Әсер етуші күштерге байланысты әртүрлі типті теңдеулер шығады.

Кейбір жағдайларда, теңдеу ең үлкен туындысына қатысты алгебралық теңдеу болса, онда теңдеудің дәрежесі деп аталатын термин пайдаланылады. Мұнда дифференциалдық теңдеудің дәрежесі деп теңдеуді туындының ең үлкен дәрежесі бойынша бүтін рационал түрге келтірген соң оның осы туындысының көрсеткішін айтады.

Берілген дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын, яғни у-ті $\phi(x)$ функциялары және оның туындыларына ауыстырғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын кез келген $y = \phi(x)$ функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі деп аталады.

Диссертациялық жұмыстың мақсаты : Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді шынайы процестерді пайдалануын көрсету, физика есептері бойынша дифференциалдық теңдеулер құру, талдау жасау, есеп шығарудың ғылыми-теориялық, әдістемелік және практикалық негіздемелерін жасау, мысалдарда көрсету.

Диссертациялық жұмыстың міндеті: дербес туынлылы дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдарын көрсету, механиканың есептерін шығаруда дифференциалдық теңдеулерді пайдалану жолдарын көрсету және талдау жасау.

Диссертациялық жұмыстың жаңалығы: физикадағы механика есептерін шығаруға қатысты теориялық зерттеулер жасалынды.

Зерттеу объектісі : Дифференциалдық теңдеу пәні

Жұмыстың практикалық құндылығы: Дифференциалдық теңдеулер курсында практикалық сабақтарға арналған қосымша әдістемелік нұсқау ретінде пайдалануға ұсынылады

1 тарау Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

1. 1 Туындыға қатысты бірінші ретті теңдеулер, жалпы ұғымдар

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің сол жақ бөлігі тек х, у, және у'-тен тәуелді болғандықтан, бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы түрі

Fi (x, у, у') = 0 (1) болады. Әдетте (1) теңдеуді туындыға қатысты теңдеу түрінде:

y'=f(x, y) (2)

немесе құрамында дифференциалдары болатын формада:

М(х, y) dx + N(x, y) dy = 0 (3)

жазады.

(2) түріндегі формадан (3) формасына және керісінше өтуге болады. шынында да, егер (2) теңдеудегі у' -ті у пен х арқылы жазатын болсақ, теңдеудің екі жағын да dx өрнегіне көбейтіп, теңдеудің барлық мүшелерін теңдеудің бәр жағына өткізсек,

f(x, y) dx-dy = 0,

теңдеуін аламыз, бұл (3) формаға келеді, мұндағы М (х, y) = f(x, у), ал N (х, у) = -1. Керісінше, егер (3) теңдеудің бірінші мүшесін оң жаққа өткізіп, теңдеудің екі жағын да N (х, у) ≠О деп алып, N (х, y) dx өрнегіне бөлсек,

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = - \frac{M(x, \ y) }{N(x, \ y) }$ ,

теңдеуін аламыз, яғни (2) форманы, мұндағы $f(x, \ y) = - \frac{M\ (x, \ y) }{N(x, \ y) }$

Осылайша, (2) және (3) формалар бірдей; әрі қарай біз оларды нақты зерттеуге қайсысы ыңғайлы болса, сол формасын пайдаланатын боламыз.

Дифференциалдық теңдеуді бүтін бір функциялар жүйесі қанағаттандырады. Олардың бірін ерекшелеп алу үшін оның мәнін қандай да бір аргументтің мәнінде көрсету қажет, яғни х = х ₀ болғанда у = у ₀ түріндегі шартты бастапқы шарт деп атайды. Оны әдетте

y/х=х _о = y ₀ (4)

түрінде жазады.

Анықтама. (2) дифференциалдық теңдеуінің (4) шартына қанағаттандыратын $y = \phi\ (x)$ [немесе ф (х, у) = 0 интегралы] шешімі (егер ол бар болса) дифференциалдық теңдеудің берілген бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімі (немесе дербес интегралы) деп аталады.

Мысалы, ху' + у=0 дифференциалдық теңдеуінің у=6/х шешімі $y_{y - 3} = 2$ бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімі болып табылады. Сәйкесінше ху = 6 - осы теңдеудің дербес интегралы.

Функцияның х аргументінің бастапқы мәні х0-ге сәйкес келетін у = у ₀ мәнін еркін түрде беруге болады. у ₀ мәнінің өзгеруіне байланысты шешім де өзгере береді, осылайша шешім тек х аргументіне ғана емес, сонымен қатар у _о =С кез келген шамасына да тәуелді функция болады. Алайда теңдеудің шешімінде С тұрақтысы тек у ₀ бастапқы мәні ретінде ғана болмауы да мүмкін.

Анықтама. (2) дифференциалдық теңдеудің кез келген С тұрақтысынан тәуелді $y = \phi(x, C)$ [немесе Ф(х, у, С) = 0 интегралы] шешімі (2) теңдеудің жалпы шешімі деп аталады, егер кез келген тұрақтының мәндерін таңдау арқылы одан кез келген мүмкін $_{x = x_{0}} = y_{0}$ бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімін (дербес интегралын) табуға болатын болса.

Іс жүзінде С тұрақтысын анықтау үшін жалпы шешімге (жалпы интегралға) х пен у орнына х ₀ және у ₀ берілген мәндерін қойып, $y_{0} = \phi(x_{0}, \ C)$ [Ф ( $x_{0}, \ y_{0}, \ C) \ = 0$ ] теңдеуін белгісіз С-ға қатысты шешу қажет. С=С ₀ болсын, онда дербес шешім $y = \phi(x, C_{0})$ [сәйкес дербес интеграл Ф(х, у, С ₀ ) = 0] болады.

Геометриялық тұрғыда жалпы шешім С параметріне тәуелді интегралдық қисықтар үйірін құрайды. Ал дербес шешім осы үйірдің М ₀ (х ₀ ; у ₀ ) нүктесінен өтетін интегралдық қисықтарының тек біреуі ғана. Мысалы, у=С/х шешімі (гиперболалар үйірі) ху'+у=0 теңдеуінің жалпы шешімі. Егер $y_{y = 3} = 2$ шартын қойса, онда жалпы шешімге х = 3 және y = 2 мәндерін қойып, C=6 мәнін табамыз, демек, у = С/х жалпы шешімінен Мо (3; 2) нүктесінен өтетін у = 6/х бір ғана гиперболаны аламыз.

1-сурет

(2) дифференциалдық теңдеу геометриялық ьұрғыдан былай түсіндіріледі.

y = $\phi$ (x, С) осы теңдеудің жалпы шешімі болсын, яғни хОу жазықтығындағы f(x, y) функциясы анықталған қандай да бір D жазықтығындағы интегралдық қисықтар үйірі болсын. (2) теңдеу облыстың кез келген М (х; у) нүктесінің координаттары мен осы нүктедегі туындысының мәнінің арасында байланыс орнатады. М нүктесінің х және у координаттарының мәнін бере отырып (2) теңдеуден туындының мәнін, яғни М нүктесінен өтетін интегралдықт қисықтың бұрыштық коэффициентін табуға болады. Осылайша, (2) дифференциалдық теңдеу Dоблысындағы бағыттар жиынын, немесе бағыттар өрісін анықтайды. Облыстың әрбір нүктесіндегі бағытты кішкене бағдаршамен көрсете отырып, (2) дифференциалдық теңдеудің бағыттар өрісін салуға болады (1 сурет) .

(2) дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебін геометриялық тұрғыда шешу өзінің әрбір нүктесінде өріс арқылы берілген бағытпен жанасатын қисықтарды табуды білдіреді.

Жалпы шешімді табуда мүмкін бастапқы шарттар туралы айтылғандықтан, осы берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешімнің қай жағдайда бар болатындығы және ол тек жалғыз ғана болатындығына кепілдік беруге болатыны туралы сұрақ туындайды. Бұл сұрақтар шешімнің бар болуы және жалғызды туралы теоремамен түсіндіріледі.

Енді жалпы шешімдері интегралдарды есептеуге әртүрлі амалдар орындауға келтірілетін дифференциалдық теңдеулерді шешудің жекелеген түрлерін қарастыруға көшеміз.

1. 2 Айнымалыларды ажырату

Бірінші ретті ең қарапайым дифференциалдық теңдеуге туындысы бойынша шешілген және құрамында у жоқ болатын түрдегі теңдеу жатады:

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = f(x)$ (1)

Интегралдық есептеу курсынан білетініміздей, бұл жағдайда белгісіз у функциясын табу үшін f(x) функциясынан анықталмаған интеграл тапсақ жеткілікті. (1) теңдеудің жалпы шешімі мына түрде жазылады:

y = $\int_{}^{}{}$ f(x) dx + C.

Егер $y_{x = x_{0}} = y_{0}$ бастапқы шарты берілсе, онда С мәнін есептеп, дербес шешімді табуға болады.

х=1 болғанда у=2 бастапқы шартын қанағаттандыратын у'=3х ² -2x+1 дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табайық.

Интегралдай отырып

$y = x^{3} - x^{2} + x + C$

жалпы шешімін табамыз.

Дербес шешімді табу үшін жалпы шешімге х=1, у =2 мәндерін қойып, С=1 болатынын көреміз. Демек, ізделінді дербес шешім

$y = x^{3} - x^{2} + x + 1$

түрінде болады.

$y_{x = x_{0}} = y_{0}$ шарты бар (1) теңдеудің дербес шешімін әдетте анықталған интеграл түрінде жазып алған ыңғайлы. Шынында да, алғашқы функцияны төменгі және жоғарғы шектері белгілі анықталған интеграл түрінде жазып алуға, мысалы

$y = \underset{x_{0}}{\overset{x}{\int_{}^{}}}f(t) \text{dt} + C$ (2)

түрінде жазып алуға болады.

$x = x_{0}$ болғанда бұл интеграл нольге айналатындықтан, бастапқы шарттарды қанағаттандыру үшін С = у0 деп алу керек, демек, $y_{x = x_{0}} = y_{0}$ шартын қанағаттандыратын (1) дифференциалдық теңдеудің дербес шешімінің түрі:

$y = y_{0} + \underset{x_{0}}{\overset{x}{\int_{}^{}}}f(t) \text{dt}$ (3)

болады.

dx алдындағы көбейткіш у-тен емес, тек х айнымалысынан тәуелді, ал dy алдындағы көбейткіш х-тен емес, тек у-тен ғана тәуелді болатын

$f_{1}(x) \text{dx} + f_{2}(y) \text{dy} = 0$ (4)

түріндегі дифференциалдық теңдеу айнымалылары ажыратылған дифференциалдық теңдеу деп аталады.

у= $\phi$ (х) функциясы осы теңдеудің шешімі болсын. Егер $\text{dy} = \phi'(x)$ есептеп, у пен dy орнына олардың $\phi(x)$ және $\phi'(x) \text{dx}$ , мәндерін (4) теңдеуге қойса, онда шешімнің анықтамасы бойынша интегралдауға болатын

$f_{1}(x) \text{dx} + f_{2}\lbrack\phi(x) \rbrack\phi'(x) \text{dx} = 0$

тепе-теңдігін алуға болады. Осылайша,

$\int_{}^{}f_{1}(x) \text{dx} + \int_{}^{}f_{2}\lbrack\phi(x) \phi'(x) \text{dx} = C$ , (5)

бұл тепе-теңдіктің сол жақ бөлігінде $f_{1}(x) \$ және $\ f_{2}\lbrack\phi(x) \rbrack\ \phi'(x)$ алғашқыт функциялар бар, ал екі интегралдың еркін тұрақтылары бір тұрақтыға біріктіріліп, теңдіктің оң жағына орналастырылды.

Екінші интегралды $\phi(x) = y$ түрінде айнымалыны ауыстыру арқылы түрлендіруге болады. сонымен қатар мұнда (5) тепе-теңдік

$\int_{}^{}f_{1}(x) \text{dx} + \int_{}^{}f_{2}(y) \text{dy} = C$ (6)

түріне түрленеді. Бұл теңдік (4) теңдеудің барлық шешімдері қанағаттандыратын х пен у арасындағы ақырлы (туындысы немесе дифференциалы жоқ) қатынас болып табылады.

Егер қандай да бір $y = \phi(x)$ функциясы ауыстыру арқылы (6) теңдеуді тепе-теңдікке айналдыратын болса, онда соңғы тепе-теңдікті дифференциалдай отырып оның (4) теңдеуді де қанағаттандыратынын көреміз. демек, (6) тепе-теңдік (4) теңдеудің жалпы интегралы болып табылады.

(6) тепе-теңдікті (4) теңдеуден бірінші қосылғышты х бойынша, ал екінші қосылғышты у бойынша у-ті х сияқты тәуелсіз айнымалы ретінде алып интегралдау арқылы шығатынын ескерте кетеміз. Бұл амалдың мүмкіндігін былай да түсіндіруге де болады: у х-тен тәуелді функция болғандықтан, f ₂ (у) dy қосылғышы х-тен алынған дифференциал болып табылады, мұндағы у аралық аргумент ролінде болады. Бірінші дифференциалдың формасының инварианттылығы туралы теоремаға сәйкес бұл дифференциал у тәуелсіз айнымалы ретінде болады. сондықтан (4) теңдіктің әрбір қосылғышын өз аргументі бойынша интегралдауға болады, осылайша (6) тепе-теңдікке келеміз.

Осылай, (4) теңдеудің жалпы интегралын табу интегралдауға алып келді. Кейбір жағдайда $\int_{}^{}f_{1}(x) \text{dx}$ немесе $\int_{}^{}f_{2q}(y) \ \text{dy}$ интегралдарын элементар функциялар түрінде өрнектеу мүмкін емес жағдайлар болуы мүмкін. Біз бұл жағдайда да дифференциадық теңдеуді интегралдау есебін ол анағұрлым оңай есепке - интегралдарды есептеуге келтірілді деп алып, шығарылды деп ұйғарамыз.

Мәселен, $y_{y = 0} = 1$ бастапқы шартын қанағаттандыратын,

$\frac{\text{xdx}}{1 + x^{2}} - \frac{y^{2}\text{dy}}{1 + y^{3}} = 0$

дифференциалдық теңдеуінің дербес интегралын табайық. Интегралдай отырып:

$\frac{1}{2}\text{ln}(1 + x^{2} - \frac{1}{3}\text{ln}(1 + y^{3}) = \frac{1}{6}\text{ln}\ C,$

табамыз. Әрі қарай түрлендіру ығңайлы болуы үшін еркін тұрақты ретінде $\frac{1}{6}\text{ln}\ C$ өрнегі таңдалынып алынды. Теңдіктің екі жағын да 6-ға көбейтіп, потенцирлей отырып, жалпы интегралды табамыз:

$\frac{(1 + x^{2}) ^{3}}{(1 + y^{3}) ^{2}} = C$

Дербес интегралды табу үшін жалпы интегралға интеграл х = 0, у=1 мәндерін қойып, С=1/4 мәнін табамыз. Ізделінді дербес интеграл

( $1 + y^{3}) ^{2} - 4(1 + x^{2}) ^{3} = 0$

болады.

1. Оң жақ бөлігі біреуі у-тен, ал екіншісі х-тен тәуелсіз екі функциялардың көбейтіндісі болып табылатын

$\frac{\text{dy}}{\text{dx}} = f_{1}(x) \ f_{2}(y)$ (7)

түріндегі дифференциалдық теңдеу айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық теңдеу деп аталады.

Бұл теңдеу оны жоғарыда қарастырылған (4) дифференциалдық теңдеуге алып келетін айнымалыларды ажырату тәсілі арқылы интегралданады. Ол үшін (7) теңдеудің екі жағын да f ₂ (у) -ке бөліп, dx-ке көбейтеміз; сонда айнымалылары ажыратылған

$\frac{\text{dy}}{f_{2}(y) } = f_{1}(x) \ \text{dx}$ , (8)

теңдеуін аламыз.

Интегралдап, жалпы интегралын табамыз:

$\int_{}^{}\frac{\text{dy}}{f_{2}(y) } = \int_{}^{}f_{1}(x) \ \text{dx} + C$

Айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп

f ₁ (х) f ₂ (у) + f ₃ (х) f ₄ (у) = Q, (9)

түріндегі теңдеуді де айтамыз, себебі f ₃ (х) f ₂ (у) өрнегіне бөлу арқылы ол (4) түріне келтіріледі. Оның жалпы интегралы

$\int_{}^{}\frac{f_{1}(x) }{f_{3}(x) }\text{dx} + \int_{}^{}\frac{f_{4}(y) }{f_{2}(y) }\text{dy} = C$ (10)

болады. егер Если $y_{x = x_{0}} = y_{0}$ бастапқы шарты берілсе, онда дербес интегралды не С тұрақтысының мәнін табу арқылы, не

$\int_{}^{}\underset{x_{0}}{\overset{x}{}}\frac{f_{f}(x) }{f_{3}(x) }\text{dx} + \int_{}^{}\underset{y_{0}}{\overset{y}{}}\frac{f_{4}(y) }{f_{2}(y) }\text{dy} = 0$

формуласы арқылы есептеу арқылы табуға болады.

Мысал.

$\sqrt{1 - y^{2}}\text{dx} + \sqrt{1 - x^{2}}\text{dy} = 0$

дифференциалдық теңдеуінің жалпы интегралын табайық. Теңдеудің екі жақ бөлігін де $\sqrt{1 - x^{2}}\sqrt{1 - y^{2}}$ көбейтіндісіне бөліп, айнымалылары ажыратылған теңдеу аламыз.

$\frac{\text{dx}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{\text{dy}}{\sqrt{1 - y^{2}}} = 0$

одан жалпы интегралды табамыз

$\text{arcsin}\ x + \text{arcsin}\ y = \text{arcsin}\ C$

Егер соңғы теңдікте синустарға көшетін болсақ, онда алгебралық формадағы жалпы интегралды аламыз:

$x\sqrt{1 - y^{2}} + y\sqrt{1 - x^{2}} = C$

$\sqrt{1 - y^{2}}$ өрнегіне бөлгенде біз $y = \pm 1$ шешімдерін жоғалтуымыз мүмкін екендігіне назар аударамыз. Тікелей тексеру у=±1 шынында да шешімдері болатынын көрсетеді.

$y_{x = 0} = 0$ бастапқы шарты С(С=0) табуға мүмкіндік береді және

$x\sqrt{1 - y^{2}} + y\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

дербес интегралына алып келеді.

1. 3 Физикалық есептер

1. 3. 1 Түзу сызықты қозғалыс жылдамдығы. Егер материалдық нүктенің қозғаласының жылдамдығы күштің әсер ету сызығы бойымен бағытталса, онда материалдық нүктенің қозғалысы түзу сызықты болады. Қозғалыс сызығын Ох осі деп алайық. Ньютонның екінші заңынан нүктенің қозғалысының дифференциалдық теңдеуін аламыз

$m\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = X$ (11)

мұндағы $\frac{\text{dv}}{\text{dt}}$ - үдеу (v жылдамдығының t уақыт бойынша туындысы), т - қозғалып келе жатқан нүкте массасы, X - күш шамасы.

Бұл теңдеу дененің барлық нүктелері бірдей қозғалатын қозғалысын да сипаттайды, сондықтан дененің қозғалысын оның ауырлық центрінде орналасқан материалдық нүктенің қозғалысы ретінде қарастыруға болады.

Х күші t уақыттан тәуелді функция ретінде берілсін t: X - X (t), t-=t ₀ бастапқы жылдамдық v = v ₀ болсын. (11) теңдеуді интегралдай отырып, жалпы шешімді аламыз:

$v = \frac{1}{m}\underset{t_{0}}{\overset{t}{\int_{}^{}}}X(\tau) d\tau + C$