Дифференциалдық теңдеу пәні

Жұмыс түрі: Диссертация
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 48 бет
Таңдаулыға:

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫНЫҢ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
М. Әуезов атындағы Оңтүстік Қазақстан Университеті

ӘОЖ-514(023) қолжазба құқығында

Мухаматов Мухтарбек Бегматович
Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулердің шынайы процестерді
модельдеуде қолданылуы

7M01510 – Математика білім беру бағдарламасы бойынша
педагогика ғылымдарының магистрі дәрежесін алу үшін
дайындалған диссертация

Ғылыми жетекшісі:

Шымкент 2023

Мазмұны
Кіріспе
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ...
1 тарау Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер
... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
1.1 Бірінші ретті туындыға қатысты теңдеу. Жалпы ұғымдар ... ... ... ... ... ...

1.2 Айнымалыларды ажырату
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

1.3 Физикалық мысалдар
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..
1.3.1 Түзу сызықты қозғалыс
жылдамдығы ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...
1.3.2 Реактивтік
қозғалыс ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .
2 тарау Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер ... ... . ... ... ... ... ... ... ... .
2.1 Екінші ретті толымсыз дифференциалдық теңдеулер. Екінші ретті
теңдеудің жалпы түрі. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
2.2 Тұрақты коэффициентті екінші ретті сызықты дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.3 Айнымалы коэффициентті екінші ретті сызықты дифференциалдық
теңдеулер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... .
2.3.1 Эйлер теңдеуі ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..
2.3.2 Біртекті сызықты теңдеу ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2.4 Екінші ретті туындысы бойынша шешілген дифференциалдық теңдеулер
у" = const
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ..
2.4.1 Теориялық механика
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...
2.4.2 Маятниктің тербелісі.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... .
2.4.3 Жіптің тепе-
теңдігі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ..
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .
Пайдаланылған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Кіріспе

Жұмыстың өзектілігі: Жай дифференциалдық теңдеулер теориясының көптеген
және әр саладағы қолданыстары өз кезегінде әртүрлі физикалық-механикалық
заңдылықтарды білуді қажет ететіні белгілі. Осы себепті дифференциалдық
теңдеулер бойынша теориялық курстарда инженерлік-техникалық есептерді
шығаруға жеткіліксіз назар аударылады, әсіресе педагогикалық мамандықтарға.
Дифференциалдық теңдеулер курсын оқып шыққан студенттер өмірдегі,
өндірістегі пайда болатын мәселелер мен есептерді шығаруда дағдылары мен
шығармашылдығы жеткіліксіз болады.
Ал жаратылыстану мен техниканың кең тараған нақты есептерін қамтитын
дифференциалдық теңдеулерді құрастыру бойынша арнайы оқу құралдар жоққа
жақын.
Бұл есептер бірқатар ғылыми-техникалық пәндерді қамтиды да,
дифференциалдық теңдеулердің басқа да ғылыми пәндермен байланысын ашып
көрсетеді.
Бұл есептер сонымен қатар кез келген сала маманының, соның ішінде мектеп
мұғалімінің де білім негізін құрайтын бірқатар маңызды пәндерді оқуды
жеңілдетеді деуге болады.
Жаратылыстану мен техниканың көптеген есептерін шығару қарастырылып
отырған құбылыс немесе үдерістерді сипаттайтын, белгісіз функциялар мен
олардың туындыларын арасын байланыстыратын қатынастыр белгілі болған
жағдайда белгісіз функцияларды табуға келтіріледі. Осындай қатынастар
дифференциалдық теңдеулер деп аталады.
Дифференциалдық теңдеулерге келтірілетін есептердің көпшілігін механика
бөлімі береді. Нүкте динамикасының классикалық есебі әсер етуші күштер
белгілі болғандағы материалдық нүктенің қозғалыс заңын табу есебі болып
табылады.Бұл жағдайда Ньютонның екінші заңы дифференциалдық теңдеуге алып
келеді. Әсер етуші күштерге байланысты әртүрлі типті теңдеулер шығады.
Кейбір жағдайларда, теңдеу ең үлкен туындысына қатысты алгебралық теңдеу
болса, онда теңдеудің дәрежесі деп аталатын термин пайдаланылады. Мұнда
дифференциалдық теңдеудің дәрежесі деп теңдеуді туындының ең үлкен
дәрежесі бойынша бүтін рационал түрге келтірген соң оның осы туындысының
көрсеткішін айтады.
Берілген дифференциалдық теңдеуді қанағаттандыратын, яғни у-ті
функциялары және оның туындыларына ауыстырғанда оны тепе-теңдікке
айналдыратын кез келген функциясы дифференциалдық теңдеудің шешімі
деп аталады.
Диссертациялық жұмыстың мақсаты: Дербес туындылы дифференциалдық
теңдеулерді шынайы процестерді пайдалануын көрсету, физика есептері
бойынша дифференциалдық теңдеулер құру, талдау жасау, есеп шығарудың ғылыми-
теориялық, әдістемелік және практикалық негіздемелерін жасау, мысалдарда
көрсету.
Диссертациялық жұмыстың міндеті: дербес туынлылы дифференциалдық
теңдеулерді шешу жолдарын көрсету, механиканың есептерін шығаруда
дифференциалдық теңдеулерді пайдалану жолдарын көрсету және талдау жасау.
Диссертациялық жұмыстың жаңалығы: физикадағы механика есептерін шығаруға
қатысты теориялық зерттеулер жасалынды.
Зерттеу объектісі: Дифференциалдық теңдеу пәні
Жұмыстың практикалық құндылығы: Дифференциалдық теңдеулер курсында
практикалық сабақтарға арналған қосымша әдістемелік нұсқау ретінде
пайдалануға ұсынылады

1 тарау Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

1.1 Туындыға қатысты бірінші ретті теңдеулер, жалпы ұғымдар

Бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің сол жақ бөлігі тек х, у, және у'-
тен тәуелді болғандықтан, бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің жалпы
түрі
Fi (x, у, у') = 0
(1) болады. Әдетте (1) теңдеуді туындыға қатысты
теңдеу түрінде:
y'=f(x,y)
(2)
немесе құрамында дифференциалдары болатын формада:

М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0
(3)

жазады.
(2) түріндегі формадан (3) формасына және керісінше өтуге болады.
шынында да, егер (2) теңдеудегі у' –ті у пен х арқылы жазатын болсақ,
теңдеудің екі жағын да dx өрнегіне көбейтіп, теңдеудің барлық мүшелерін
теңдеудің бәр жағына өткізсек,
f(x, y)dx-dy = 0,
теңдеуін аламыз, бұл (3) формаға келеді, мұндағы М (х, y) = f(x, у), ал N
(х, у) = -1. Керісінше, егер (3) теңдеудің бірінші мүшесін оң жаққа
өткізіп, теңдеудің екі жағын да N (х, у)≠О деп алып, N (х, y)dx
өрнегіне бөлсек,
,
теңдеуін аламыз, яғни (2) форманы, мұндағы
Осылайша, (2) және (3) формалар бірдей; әрі қарай біз оларды нақты
зерттеуге қайсысы ыңғайлы болса, сол формасын пайдаланатын боламыз.
Дифференциалдық теңдеуді бүтін бір функциялар жүйесі қанағаттандырады.
Олардың бірін ерекшелеп алу үшін оның мәнін қандай да бір аргументтің
мәнінде көрсету қажет, яғни х = х0 болғанда у = у0 түріндегі шартты
бастапқы шарт деп атайды. Оны әдетте
yх=хо = y0
(4)
түрінде жазады.
Анықтама. (2) дифференциалдық теңдеуінің (4) шартына қанағаттандыратын
[немесе ф (х, у) = 0 интегралы] шешімі (егер ол бар болса)
дифференциалдық теңдеудің берілген бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес
шешімі (немесе дербес интегралы) деп аталады.
Мысалы, ху' + у=0 дифференциалдық теңдеуінің у=6х шешімі
бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімі болып табылады. Сәйкесінше
ху = 6 – осы теңдеудің дербес интегралы.
Функцияның х аргументінің бастапқы мәні х0-ге сәйкес келетін у = у0
мәнін еркін түрде беруге болады. у0 мәнінің өзгеруіне байланысты шешім де
өзгере береді, осылайша шешім тек х аргументіне ғана емес, сонымен қатар
уо=С кез келген шамасына да тәуелді функция болады. Алайда теңдеудің
шешімінде С тұрақтысы тек у0 бастапқы мәні ретінде ғана болмауы да мүмкін.
Анықтама. (2) дифференциалдық теңдеудің кез келген С тұрақтысынан
тәуелді [немесе Ф(х, у, С) = 0 интегралы] шешімі (2) теңдеудің жалпы
шешімі деп аталады, егер кез келген тұрақтының мәндерін таңдау арқылы одан
кез келген мүмкін бастапқы шартын қанағаттандыратын дербес шешімін
(дербес интегралын) табуға болатын болса.
Іс жүзінде С тұрақтысын анықтау үшін жалпы шешімге (жалпы интегралға) х
пен у орнына х0 және у0 берілген мәндерін қойып, [Ф (]
теңдеуін белгісіз С-ға қатысты шешу қажет. С=С0 болсын, онда дербес шешім
[сәйкес дербес интеграл Ф(х, у, С0) = 0] болады.
Геометриялық тұрғыда жалпы шешім С параметріне тәуелді интегралдық
қисықтар үйірін құрайды. Ал дербес шешім осы үйірдің М0(х0; у0) нүктесінен
өтетін интегралдық қисықтарының тек біреуі ғана. Мысалы, у=Сх шешімі
(гиперболалар үйірі) ху'+у=0 теңдеуінің жалпы шешімі. Егер шартын
қойса, онда жалпы шешімге х = 3 және y = 2 мәндерін қойып, C=6 мәнін
табамыз, демек, у = Сх жалпы шешімінен Мо (3; 2) нүктесінен өтетін у =
6х бір ғана гиперболаны аламыз.
(2) дифференциалдық теңдеу геометриялық ьұрғыдан былай түсіндіріледі.
y = (x, С) осы теңдеудің жалпы шешімі болсын, яғни хОу
жазықтығындағы f(x,y) функциясы анықталған қандай да бір D жазықтығындағы
интегралдық қисықтар үйірі болсын. (2) теңдеу облыстың кез келген М (х; у)
нүктесінің координаттары мен осы нүктедегі туындысының мәнінің арасында
байланыс орнатады. М нүктесінің х және у координаттарының мәнін бере отырып
(2) теңдеуден туындының мәнін, яғни М нүктесінен өтетін интегралдықт
қисықтың бұрыштық коэффициентін табуға болады. Осылайша, (2)
дифференциалдық теңдеу Dоблысындағы бағыттар жиынын, немесе бағыттар өрісін
анықтайды. Облыстың әрбір нүктесіндегі бағытты кішкене бағдаршамен көрсете
отырып, (2) дифференциалдық теңдеудің бағыттар өрісін салуға болады (1
сурет).
(2) дифференциалдық теңдеуді интегралдау есебін геометриялық тұрғыда
шешу өзінің әрбір нүктесінде өріс арқылы берілген бағытпен жанасатын
қисықтарды табуды білдіреді.
Жалпы шешімді табуда мүмкін бастапқы шарттар туралы айтылғандықтан, осы
берілген бастапқы шарттарды қанағаттандыратын шешімнің қай жағдайда бар
болатындығы және ол тек жалғыз ғана болатындығына кепілдік беруге болатыны
туралы сұрақ туындайды. Бұл сұрақтар шешімнің бар болуы және жалғызды
туралы теоремамен түсіндіріледі.
Енді жалпы шешімдері интегралдарды есептеуге әртүрлі амалдар орындауға
келтірілетін дифференциалдық теңдеулерді шешудің жекелеген түрлерін
қарастыруға көшеміз.

1.2 Айнымалыларды ажырату

Бірінші ретті ең қарапайым дифференциалдық теңдеуге туындысы бойынша
шешілген және құрамында у жоқ болатын түрдегі теңдеу жатады:

(1)
Интегралдық есептеу курсынан білетініміздей, бұл жағдайда белгісіз у
функциясын табу үшін f(x) функциясынан анықталмаған интеграл тапсақ
жеткілікті. (1) теңдеудің жалпы шешімі мына түрде жазылады:
y = f(x)dx + C.
Егер бастапқы шарты берілсе, онда С мәнін есептеп, дербес шешімді
табуға болады.
х=1 болғанда у=2 бастапқы шартын қанағаттандыратын у'=3х2-2x+1
дифференциалдық теңдеуінің дербес шешімін табайық.
Интегралдай отырып

жалпы шешімін табамыз.
Дербес шешімді табу үшін жалпы шешімге х=1, у =2 мәндерін қойып, С=1
болатынын көреміз. Демек, ізделінді дербес шешім

түрінде болады.
шарты бар (1) теңдеудің дербес шешімін әдетте анықталған интеграл
түрінде жазып алған ыңғайлы. Шынында да, алғашқы функцияны төменгі және
жоғарғы шектері белгілі анықталған интеграл түрінде жазып алуға, мысалы

(2)
түрінде жазып алуға болады.
болғанда бұл интеграл нольге айналатындықтан, бастапқы шарттарды
қанағаттандыру үшін С = у0 деп алу керек, демек, шартын
қанағаттандыратын (1) дифференциалдық теңдеудің дербес шешімінің түрі:

(3)
болады.
dx алдындағы көбейткіш у-тен емес, тек х айнымалысынан тәуелді, ал dy
алдындағы көбейткіш х-тен емес, тек у-тен ғана тәуелді болатын

(4)
түріндегі дифференциалдық теңдеу айнымалылары ажыратылған дифференциалдық
теңдеу деп аталады.
у=(х) функциясы осы теңдеудің шешімі болсын. Егер есептеп, у
пен dy орнына олардың және , мәндерін (4) теңдеуге қойса, онда
шешімнің анықтамасы бойынша интегралдауға болатын

тепе-теңдігін алуға болады. Осылайша,
,
(5)
бұл тепе-теңдіктің сол жақ бөлігінде және алғашқыт функциялар
бар, ал екі интегралдың еркін тұрақтылары бір тұрақтыға біріктіріліп,
теңдіктің оң жағына орналастырылды.
Екінші интегралды түрінде айнымалыны ауыстыру арқылы түрлендіруге
болады. сонымен қатар мұнда (5) тепе-теңдік

(6)
түріне түрленеді. Бұл теңдік (4) теңдеудің барлық шешімдері
қанағаттандыратын х пен у арасындағы ақырлы (туындысы немесе дифференциалы
жоқ) қатынас болып табылады.
Егер қандай да бір функциясы ауыстыру арқылы (6) теңдеуді тепе-
теңдікке айналдыратын болса, онда соңғы тепе-теңдікті дифференциалдай
отырып оның (4) теңдеуді де қанағаттандыратынын көреміз. демек, (6) тепе-
теңдік (4) теңдеудің жалпы интегралы болып табылады.
(6) тепе-теңдікті (4) теңдеуден бірінші қосылғышты х бойынша, ал екінші
қосылғышты у бойынша у-ті х сияқты тәуелсіз айнымалы ретінде алып
интегралдау арқылы шығатынын ескерте кетеміз. Бұл амалдың мүмкіндігін былай
да түсіндіруге де болады: у х-тен тәуелді функция болғандықтан, f2 (у) dy
қосылғышы х-тен алынған дифференциал болып табылады, мұндағы у аралық
аргумент ролінде болады. Бірінші дифференциалдың формасының инварианттылығы
туралы теоремаға сәйкес бұл дифференциал у тәуелсіз айнымалы ретінде
болады. сондықтан (4) теңдіктің әрбір қосылғышын өз аргументі бойынша
интегралдауға болады, осылайша (6) тепе-теңдікке келеміз.
Осылай, (4) теңдеудің жалпы интегралын табу интегралдауға алып келді.
Кейбір жағдайда немесе интегралдарын элементар функциялар
түрінде өрнектеу мүмкін емес жағдайлар болуы мүмкін. Біз бұл жағдайда да
дифференциадық теңдеуді интегралдау есебін ол анағұрлым оңай есепке –
интегралдарды есептеуге келтірілді деп алып, шығарылды деп ұйғарамыз.
Мәселен, бастапқы шартын қанағаттандыратын,

дифференциалдық теңдеуінің дербес интегралын табайық. Интегралдай отырып:

табамыз. Әрі қарай түрлендіру ығңайлы болуы үшін еркін тұрақты ретінде
өрнегі таңдалынып алынды. Теңдіктің екі жағын да 6-ға көбейтіп,
потенцирлей отырып, жалпы интегралды табамыз:

Дербес интегралды табу үшін жалпы интегралға интеграл х = 0, у=1
мәндерін қойып, С=14 мәнін табамыз. Ізделінді дербес интеграл
(
болады.
1. Оң жақ бөлігі біреуі у-тен, ал екіншісі х-тен тәуелсіз екі
функциялардың көбейтіндісі болып табылатын

(7)
түріндегі дифференциалдық теңдеу айнымалылары ажыратылатын
дифференциалдық теңдеу деп аталады.
Бұл теңдеу оны жоғарыда қарастырылған (4) дифференциалдық теңдеуге алып
келетін айнымалыларды ажырату тәсілі арқылы интегралданады. Ол үшін (7)
теңдеудің екі жағын да f2 (у)-ке бөліп, dx-ке көбейтеміз; сонда
айнымалылары ажыратылған
, (8)
теңдеуін аламыз.
Интегралдап, жалпы интегралын табамыз:

Айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп
f1(х) f2(у) + f3(х) f4(у) = Q, (9)
түріндегі теңдеуді де айтамыз, себебі f3(х) f2(у) өрнегіне бөлу арқылы ол
(4) түріне келтіріледі. Оның жалпы интегралы
(10)
болады. егер Если бастапқы шарты берілсе, онда дербес интегралды не С
тұрақтысының мәнін табу арқылы, не

формуласы арқылы есептеу арқылы табуға болады.
Мысал.

дифференциалдық теңдеуінің жалпы интегралын табайық. Теңдеудің екі жақ
бөлігін де көбейтіндісіне бөліп, айнымалылары ажыратылған теңдеу
аламыз.

одан жалпы интегралды табамыз

Егер соңғы теңдікте синустарға көшетін болсақ, онда алгебралық формадағы
жалпы интегралды аламыз:

өрнегіне бөлгенде біз шешімдерін жоғалтуымыз мүмкін
екендігіне назар аударамыз. Тікелей тексеру у=±1 шынында да шешімдері
болатынын көрсетеді.
бастапқы шарты С(С=0) табуға мүмкіндік береді және

дербес интегралына алып келеді.

1.3 Физикалық есептер

1.3.1 Түзу сызықты қозғалыс жылдамдығы. Егер материалдық нүктенің
қозғаласының жылдамдығы күштің әсер ету сызығы бойымен бағытталса, онда
материалдық нүктенің қозғалысы түзу сызықты болады. Қозғалыс сызығын Ох осі
деп алайық. Ньютонның екінші заңынан нүктенің қозғалысының дифференциалдық
теңдеуін аламыз

(11)

мұндағы — үдеу (v жылдамдығының t уақыт бойынша туындысы), т —
қозғалып келе жатқан нүкте массасы, X — күш шамасы.
Бұл теңдеу дененің барлық нүктелері бірдей қозғалатын қозғалысын да
сипаттайды, сондықтан дененің қозғалысын оның ауырлық центрінде орналасқан
материалдық нүктенің қозғалысы ретінде қарастыруға болады.
Х күші t уақыттан тәуелді функция ретінде берілсін t: X — X (t), t-=t0
бастапқы жылдамдық v = v0 болсын. (11) теңдеуді интегралдай отырып, жалпы
шешімді аламыз:

С тұрақтысын t =t0 болғандағы v=v0 шартынан анықтап аламыз, сонда

Бұл шешімді

(12)
түрінде жазып аламыз. Бұл өрнек келесі заңды сипаттайды: нүктенің
шектеулі уақыт аралығындағы қозғалысының өзгеруі әсер етуші күштің осы
уақыт аралығындағы импульсына тең болады. Егер Х функциясы Х = Х(х)
нүктесінің х координатына тәуелді және қозғалыс х = х0 бастапқы нүктесінен
басталса, онда (11) теңдеудің екі жағын да dx-қа көбейтіп келесі теңдеуді
аламыз:
,
(13)
немесе
mv dv = X (x) dx,
себебі

Интегралдай отырып

аламыз.
х = х0 болғанда v = v0 бастапқы шартынан С тұрақтысының мәнін
анықтаймыз:

осылайша, келесі түрдегі дербес интегралды табамыз:

(14)
Бұл қатынас нүктенің х - х0 қашықтыққа орын ауыстыруы кезіндегі
кинетикалық энергияның өзгеруі күштің осы аумақтағы жұмысына тең болатынын
көрсетеді. Бұл қатынас күш орын ауыстыру функциясы ретінде беріліп,
нүктенің жылдамдығын да орын ауыстыру функциясы ретінде өрнектеу қажет
болғанда өте қолайлы.
Мысал (Оқтың қозғалысы). Оқ уо = 400 мс жылдамдықпен қозғалып келе
жатып, қалыңдығы h=20 см қабырғаны тесіп өтіп, одан v1=100 мc жылдамдықпен
шығады. Қабырғаның кедергі күшін оқы қозғалысының жылдамдығының квадратына
пропорционал деп алып, оқтың қабырғаның ішіндегі қозғалысының Т уақытын
табу керек.
Шешуі. Ньютонның екінші заңына сәйкесоқтың қозғалысының дифференциалдық
теңдеуі келесі түрде болады:

(15)
(минус таңбасы кедергі күші жылдамдық бағытына қарама-қарсы
бағытталғандықтан қойылып отыр).
Бұл айнымалылары ажыратылатын дифференциалдық таңдеу. Айнымалыларды
ажыратып, қатынасын k1 арқылы белгілеп алып,

аламыз, бұдан

немесе

шығады.
t = 0 болғандағы v = v0 болатын бастапқы шартынан C=lv0 тауып аламыз;
сондықтан

(16)
Егер осы қатынаста v = v1 қойсақ, t = T және ізделінді Т уақыты

теңдеуінен анықталады, одан

(17)
табамыз.
Т үшін алынған өрнекте белгісіз k1 шамасы қатысады. Оны анықтау үшін
(16) жалпы шешімін былай жазып аламыз:

мұндағы v жылдамдығы арқылы алмастырылған. Бұл теңдеуді
интегралдай отырып

табамыз.
t = 0 болғанда x = 0 (оқ қабырғаға еніп барады), сондықтан С1 = 0;
t=T болғанда
х = h (оқ қабырғадан шығып келеді), сондықтан .
(17) теңдігінен

табамыз, одан шығады.
lk1 табылған мәнін (17) өрнегіне қойып, Т ізделінді уақытын анықтауға
арналған формуланы аламыз:

(18)
Сандық есептеулер жасай отырып (v0 = 400 мс, v1=100 мс, h = 20 см
деп алып), Т = 0,00108 с деген шешімді аламыз.

1.3.2 Реактивтік қозғалыс

Салмағы айнымалы денелердің қозғалысы кезінде (мәселен ракеталар)
Ньютонның екінші заңын қолдануға болмайды, себебі ол тек массасы тұрақты
денелер үшін орындалады. Бұл жағдайда күшті үдеумен байланыстыратын басқа
теңдеу қолданылады.
t уақыт моментінде массасы m болатын материалдық нүктеның (абсолютті)
жылдамдығы v болсын. t уақыт аралығында оған барлық массасы m
болатын және қосылмастан бұрын жылдамдығы u-ға тең бөлшектер қосылады.
моментінде нүкте мен оған қосылған бөлшектің массасы және
жылдамдығы болады.
Жүйенің t моментіндегі қозғалыс саны
Q = mv + u m,
болады, ал моментінде ол

тең болады.
Демек, жүйенің қозғалыстарының At аралығында өзгеру саны
.
тең болып шығады.
Айталық, жылдамдық сияқты масса да уақыт бойынша дифференциалданатын
және үзіліссіз функция болсын. Теңдіктің екі жақ бөлігін де t бөліп,
ұмтылғандағы шегіне көшеміз.

болатынын ескере отырып,

(19)
қатынасын аламыз.
Өзгермелі массаның нүктесіне түсірілген сыртқы күштердің бірдей әсер
етушісі F тең болса, онла қозғалыстар саны туралы теорема негізінде келесі
теңдеуді аламыз:

бұл теңдеу Мещерский теңдеуі деп аталады.
болғанда, нүктенің массасы артатынын (бөлшектер қосылады),ал
болғанда азаятынын көреміз (бөлшектер тасталады). болса, нүктенің
массасы тұрақты, ал Мещерский теңдеуінен Ньютонның екінші заңы шығады.
Мещерский теңдеуін

(20)
түріне келтіруге болады.
Атап көрсетсек, u = 0 болғанда

Егер қосылатын бөлшектердің салыстырмалы жылдамдығының векторын енгізсе
(айнымалы массалы нүктеге қатысты ),

(21)
аламыз. Ал u0 = 0 болғанда қайтадан Ньютонның екінші заңын аламыз.
өрнегін реактивті күш деп санау қабылданған. Егер оны R арқылы
белгілесе, онда Мещерский теңдеуі келесі түрде жазылады:

(22)
Айнымалы массалы нүктенің сыртқы күштер болмаған жағдайда үдеумен
қозғала алатынын ескереміз. F = 0 болғанда,

аламыз.
Реактивті күштің шамасы

массаның уақыт бойынша өзгерісіне (секундтық массаға) және
қосылатын немесе алынып тасталынатын бөлшектердің салыстырмалы жылдамдығына
пропорционал.
Мысал 1 Бастапқы массасы М0 тең ракета түзу сызық бойымен ракетадан газ
ағынының шығуының әсерінен қозғалып келеді. Газ ағынының u0 жылдамдығы
(ракетаға қатысты) шамасы бойынша тұрақты және ракетаның бастапқы v0
жылдамдығының бағытына қарама-қарсы бағытталған. Ауырлық күші мен ауаның
кедергі күшін ескермей, ракетаның қозғалыс заңын табу керек. (Ракетаның бос
кеңістікте түзу сызықты қозғалысы туралы Циолковский есебі).
Шешуі (21) түріндегі Мещерский теңдеуін пайдалана отырып, Ох өсін v0
бастапқы жылдамдығы жағына бағыттап, ракетаның қозғалысының дифференциалдық
теңдеуін осы өске түсірілген проекциясы түрінде аламыз:

(23)
Мұндағы ––– секундтық масса, жанармай массасының бір секундта
жұмсалатын шығыны; жанармайдың жану үдерісі тұрақты =const, М –
ракетаның өзгермелі массасы.
(23) теңдеудегі айнымалыларды ажыратып,

аламыз, одан

С тұрақтысын t = 0 болғандағы v = v0, М = М0 бастапқы шартынан табамыз;
сонда С = u0 ln M0 + v0,h сондықтан

(24)
Бұл формуланы алғаш рет К. Э. Циолковский тапқан, сондықтан оның атымен
аталған (Циолковский формуласы).
Ракета қозғалысының теңдеуін табу үшін Циолковский формуласындағы v-ны
-мен ауыстырып, келесі дифференциалдық теңдеуді аламыз:

Оны t = 0 болғанда х= 0 болады деп есептей отырып интегралдаймыз. Сонда

(25)
Егер қозғалыс басталған соң қандай да бір уақыт өткеннен кейін t = tK
моментінде жылдамдық, масса және жүргілген жол сәйкесінше v = vK, М =Мк, х
= хк болса, онда (24) пен (25) формулалар келесі түрде жазылады:

(26)

(27)

Бұдан соңғы жылдамдықтың массаның өзгеру заңынан емес, тек ракетаның v0
бастапқы жылдамдығынан, газ ағынының u0 салыстырмалы жылдамдығынан және
массалардың соңғы және бастапқы массаларының Mk M0 қатынасынан тәуелді
болатыны, ал хк жолы жанармай жануының жылдамдығымен анықталатын массаның
өзгеру заңына тәуелді болатыны туралы қорытынды жасаймыз.
Айталық, ракета массасы

сызықтық заңы бойынша өзгеретін болсы. Онда

немесе

Ал

болғандықтан,

Егер ракета массасы көрсеткіштік (экспоненциалды) заңымен өзгереді деп
алсақ,
, мұндағы
онда
немесе
сондықтан,

(28)
Механика заңдары космостық жылдамдықтардың шамаларын анықтау үшін
пайдаланыла алады. Бірінші космостық жылдамдықты, яғни ракетаның Жерді
айнала орбита бойымен ұшуы үшін қажетті жылдамдықты анықтайық. Ол үшін оның
орталық жылдамдығы Жердің тартылыс күшіне тең болуы қажет; демек,
.
мұндағы r — орбита радиусы — Жер центрінен орбитада қозғалып бара жатқын
серікке дейінгі қашықтық, ал g — ауырлық күшінің үдеуі. Егер r шамасын
жуықтап алғанда R3 Жер радиусына тең деп алса, онда
.
Дәлірек алсақ, v1 = 7,93 кмс.
Орбита бойымен қозғалысып отырған жер серігінің Жер бетінен айтарлықтай
алшақтауы кезінде, яғни rR3t болғанда ауырлық күшінің үдеуінің биіктік
өзгеруіне байланысты өзгерісін ескеру қажет. Тартылыс заңынан Жер центрінен
r қашықтықта тұрған, массасы М-ге тең дене Жерге күшпен тартылатыны
шығады. Мұндағы М3 — Жер массасы. Бірақ осымен қатар F = Mgr,
болғандықтан, yMM3r2 = Mgr екендігі, одан шығады, мұндағы gr — Жер
центрінен r қашықтықта орналасқан ауырлық күшінің үдеуі. r = R3 болғанда
gr=g; демек, одан, шығады, сондықтан . Бұл жағдайда
орталық күш пен ауырлық күшінің теңдігі

теңдігін береді, одан

Бұл формуладан R қаншалықты үлкен болса, яғни жер серігі Жерден
қаншалықты алыс орналасса, серіктің сәйкес орбитамен қозғалуы үшін қажетті
v1 бірінші космостық жылдамдығы соғұрлым кіші болатыны шығады. Мәселен, 10
000 км биіктікте ( 16 400 км) жылдамдық 5 кмс, ал 380 000 км
биіктікте (Жерден Айға дейінгі жуық ара қашықтық) жылдамдық v1=1 кмс тең
болады. Осылайша, Ай Жерге құламас үшін Айдың жылдамдығы 1 кмс болса
жеткілікті.
Ракета жердің тартылыс облысынан шығып кетуі үшін оның жылдамдығы v1-ден
үлкен болуы керек. Бұл жылдамдық екінші космостық жылдамдық деп аталады
(немесе Жерден үзілу жылдамдығы) да, v2 арқылы белгіленеді. Оны есептеп
көрейік. Ол үшін Жер центрінен r қашықтықта орналасқан ракетаның
потенциалдық энергиясын жылдамдығы v2 тең ракетаның кинетикалық энергиясына
теңестірейік; сонда

аламыз, одан

Осылайша, екінші космостық жылдамдық біріншісінен шамамен 1,4 есе артық.
Сондықтан Жер бетіндегі кмс жылдамдық 1000 км биіктікте
кмс тең болады, ал Ай Жердің тартылысы шегінен шығуы үшін жылдамдығы 1,4
кмс болуы керек.
Егер серіктің Айды, Шолпанды, Марсты айналу үшін қажетті v1 жылдамдықты,
осы аспан денелерінен ажырау v2 жылдамдығын табу үшін дәл осындай
есептеулер жүргізсек, келесі жылдамдықтарды табамыз:
Ай үшін кмс, кмс;
Марс үшін кмс, кмс;
Шолпан үшін кмс, кмс.
Мысал 2 Бастапқы массасы М0 ракета жоғары қарай тік газдардың жануы
күшімен қозғалып барады. Ракетаның М массасы t уақытына байланысты M = f(t)
заңы бойынша (жанармайдық жану заңы) өзгереді. Газдың ағу жылдамдығы
(ракетаға қатысты) тұрақты, төмен қарай бағытталған және u0 тең. Жер
бетіндегі бастапқы жылдамдығы у0 болса, ракетаның көтерілу биіктігін t
уақыт функциясы ретінде табу. Ауаның кедергісі мен ракетаның көтерілу
биіктігіне байланысты ауырлық күшінің үдеуінің өзгерісін ескермеу керек
(ракетаның ауырлық күшін ескерілген Циолковский есебі).
Шешуі. Оу өсін жоғары қарай бағыттаймыз. Сонда қозғалыстың
дифференциалдық теңдеуі келесі түрде жазылады
,
(29)
мұндағы ––секундтық масса.
Айнымалыларды ажыратып,

аламыз, одан

шығады. t = 0 болғанда ракетаның массасы M = f (0) = М0, ал жылдамдық
v=v0; сондықтан демек,

болғандықтан, соңғы теңдікті айнымалылары ажыратылған
дифференциалдық теңдеу түрінде жазып алуға болады

оны интегралдау арқыды

аламыз.
t=0 болғанда биіктік у=0; сондықтан C1=0 және сәйкесінше

Атап айтқанда ракетаның M=f(t)=M0(1—at) (мұндағы где а = const,
a0) сызықтық заңы бойынша массасының өзгеруі кезінде

демек,

шығады. Егер сан мәндерін беретін болсақ, мысалы, және онда

Бұл жағдайда 10 с кейін ракета 0,54 км биіктікке көтеріледі, 30 с кейін
5,65 км, ал 50 с кейін 18,4 км биіктікке көтеріледі.
Ракета массасының көрсеткіштік заңы (мұндағы ) бойынша
өзгеруі кезінде дәл осылай:

теңдеуін аламыз.
Ракетаның t = tK зарядының толығымен жануы моментіне дейінгі v
жылдамдығы у-тің t бойынша алынған туындысы болып табылады:
.
, яғни жанармай қоры толығымен жанып кеткен кезде,

болады.
w үдеуін есептейік.

бұдан, ракета тұрақты үдеумен қозғалып келе жатыр деген қорытындыға
келеміз. болғанда қозғалыс бірқалыпты жылдамдығы төмен,
болғанда қозғалыс бірқалыпты үдемелі, болғанда қозғалыс v0
жылдамдықпен бірқалыпты болғаны.
болғанда нүктенің жылдамдығы нольге айналады, болған
моментте ракета өзінің максимал биіктігіне жетеді, ол

тең болады.
Жанармай толығымен жанып болған соң ракета қозғалысы

заңымен жалғасады. Ракетаның у=ук биіктігінен ең үлкен алыстауы smax осы
функцияның стационар нүктесіндегі максимумы ретінде табамыз:

Ракетаның Жер бетінен ymax ең үлкен биіктігін

формуласымен табамыз. ук мен vк өрнектерін u0, а және tк арқылы өрнектеп,
соңында:

аламыз.
Мысал 3 Реактивті ағынның жылдамдығы тұрақты және u0 болса, жылдамдық
бағытының горизонтқа көлбеуінің бұрышы v(t) және аэродинамикалық кедергі
X(t) болса, онда серікті орбитаға шығаратын соңғы аймақтағы көпсатылы
ракетаның vk жылдамдығын анықтау қажет.
Шешуі. Егер ракетаның уақытқа тәуелді жалпы салмағын G(t) арқылы
белгілесек, онда ракетаның салмағының жылдамдығы (жанармайдың салмақтық
жұмсалуы) және реактивті тартылыс

болады, мұндағы g0 – Жер бетінің тартылыс күшінің үдеуі (һ биіктіктегі
үдеуді gh арқылы белгілейміз).
Ауырлық күші мен жылдамдықтың бағыттарының сәйкес келмеуінен ракетаның
жылдамдығының өте аз өзгеруге ұшырайтындығы себепті осы шығындарды
ескермеуге болады, сонда ракетаның оның траекториясына түсірілген
проекциядағы қозғалысының дифференциалдық теңдеуін келесі түрде аламыз:

немесе Р-ны оның t арқылы берілген өрнегімен ауыстыра отырып және теңдеудің
екі жақ бөлігін де Gg0 өрнегіне бөліп, мына түрін аламыз:
(30)
t=0 бастапқы моментінде ракетаның жылдамдығы v=0 (бастапқы шарт),
ракетаның спутникті орбитаға шығару кезіндегі соңғы бөліктен өту t=tK
моментіндегі ракетаның жылдамдығы у=ук. Сондықтан t бойынша
интегралдаудан және осы мәндерді орындарына қойған соң ізделінді
жылдамдықты аламыз
(31)
мұндағы n – ракета сатыларының саны, aл - сәйесінше ағынның ағу
жылдамдығы, әр саты үшін жеке-жеке бастапқы және соңғы салмақтар.
Соңғы формуланың оң жақ бөлігіндегі бірінші мүше Циолковскийдің
формуласына сәйкес келеді және ракетаның сипаттамалық жылдамдығын, яғни
ракетаға сыртқы күштердің әсері жоқ болғандағы жылдамдығын анықтайды.
Формуланың екінші және үшінші мүшелері аэродинамикалық кедергі күштері мен
ауырлық күшінің әсеріне байланысты жылдамдығын жоғалтуын анықтайды.
Радиоактивті ыдырау. Радиоактивті ыдырау деп кейбір элемент атомдарының
ядроларының өздігінен альфа-, бета- және гамма сәулеленумен қатар жүретін
басқа элемент атом ядроларына өзгеруін айтамыз. Радиоактивті ыдырау
статистикалық сипатқа ие: атом ядролары барлығы бір мезетте ыдырамайды, осы
изотоптың бар болуының бүкіл мерзімінде ыдырайды. Сонымен қатар уақыт
бірлігінде ыдырайтын атомдар саны әр изотоп үшін оның ыдырамаған
атомдарының белгілі бір тұрақты санын құрайды. Бұл бөлік ыдырау тұрақтысы
деп аталады.
Осылайша, dt уақытында ыдыраған атомдар саны dN, мұндағы - t уақыт
бірлігінде ыдырамаған атомдар саны, сонда біз келесі дифференциалдық
теңдеуді аламыз:

(32)
Минус таңбасы ыдырмаған атомдардың N саны уақыт өткен сайын азаятынын
көрсетеді.
Айнымалыларды ажыратқан соң

аламыз. Оны интегралдау арқылы
немесе
шығады.
Егер атомдардың N0 саны белгілі болса (t= 0 болғанда N=N0), онда С
тұрақтысын анықтауға болады, демек, ол жағдайда:

(33)
Изотоптың атомдар санының жартысы ыдырайтын Т уақыты осы изотоптың
жартылай ыдырау периоды деп аталады. Әртүрлі изотоптың жартылай ыдырау
периодтары әртүрлі болады. Мысалы, радий үшін Т = 1590 жыл, уран үшін Т=
4,6 млрд. жыл, рабиоактивті кобальт үшін (Со60) Т= 5,3 жыл, радон үшін Т =
3,82 тәулік.
Т мен арасында t - T уақыт моментінде оңай орнатылатын байланыс бар
N = N02 , демек,

осыдан =12 және T = (1п2) 0,693, ал =
(1п2)T0,6937. Бұл N-ді емес, N арқылы өрнектеуге мүмкіндік
береді

Мысалы, жартылай ыдырау периоды Т=1590 жыл радий үшін,

Соңғы формуладан атомдардың қандай бөлігі мысалы, 200 жылдан кейін
ыдырайтынын анықтауға болады. Егер t = 200 деген мәнін қойсақ, онда біз 200
жылдан кейін атом қалатынын, демек осы уақытта атом санының 8,5%
пайызы ыдырайтынын көреміз.
Изотоптың радиоактивті ыдырау жылдамдығы осы изотоптың (немесе
препараттың) белсенділігі деп аталады. а белсенділігі , немесе, (32)
дифференциалдық теңдеуі мен оның шешімінен,

Жартылай ыдырау периоды арқылы белсенділік келесі формула арқылы
өрнектеледі:

Егер болса ––бастапқы моменттегі препарат белсенділігі, онда

Радиоактивті заттың бір атомының бар болуының орташа ұзақтығын есептеп
көрейік. t уақыты аралығында сақталған және келесі dt уаұыт аралығында
ыдыраған атомдардың dN саны тең. Бұл атомдардың бар болуының орташа
уақыты t тең. Бір атомның бар болуының уақытының орташасын табу үшін dN-ді
t-ға көбейтіп, t бойынша 0 мен аралығында интегралдап, бастапқы
атом санын NQ-ға бөлу керек:

Мысалы радон үшін (Т=3,82 тәулік) атомның бар болуының орташа ұзақтығы v
= 5,552 тәулік.
Мысал 4 (Электр тізбегіндегі өтпелі үдеріс). Тізбек бойымен индуктивті
өтпелі үдеріс орын алуда. L индуктивтілік пен R белсенді кедергі тұрақты. u
кернеу t уақытқа тәуелді функция түрінде берілген: u=f(t). Бастапқы ток i0
тең.
І токтың tуақыттан тәуелділігін табу керек. Соның ішінде u=u0=const
болатын жағдайын қарастыру керек.
Шешуі. І ток тізбек бойында уақыт бойынша өзгеретіндіктен,
Lиндуктивтілігі бар болуына байланысты . Кирхгоф заңы бойынша
тізбектегі кернеудің азаюы Ri қосындысына тең болады, осылайша,

немесе

Бұл бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу. u-ды f (t)-мен
алмастырып,, теңдеудің екі жақ бөлігін де L-ге бөліп,

аламыз.
Бұл сызықтық теңдеудің t=0 болғанда i = i0 бастапқы шартын
қанағаттандыратын дербес шешімі келесі функция болады:

(15)

f(t)=u0=const болғанда

(16)
аламыз. Немесе болғандықтан,

(17)
t өскен сайын көбейткіші кемиді де, белгілі бір уақыт өткен соң
үдеріс тұрақтанады деп есептеуге болады, мұндағы ток Ом заңы бойынша
анықталады:

i0 = 0 деп алсақ, онда тізбек тұйықталғандағы ток формуласын аламыз:

(18)
(18) теңдігінен і тогы батареяны қосқан соң Ом заңымен анықталатын u0R
мәніне дейін өсетіні байқалады, себебі экстраток деп аталатын тогы
өте тез кемиді де, сезілмей қалады.
Егер iо= 0 деп алсақ, онда тізбектің тұйықталған кезіндегі өшуге
айналған ток формуласын аламыз:
,
(19)
Бұл тізбекте кернеу жоқ кезіндегі өзіндік индукцияның ғана әсерінен
өтетін ток ажыраудың экстратогы деп аталады. t өскен сайын ол нөлге
ұмтылады.
LR тұрақты шамасын тізбек уақытының тұрақтысы деп атайды.
Бұл қарастырылған мәселелер тұйықталу мен ажырау бірінен соң бірі,
мысалы, телеграф жұмысы кезіндегідей кезектесіп келетін жағдайларда өте
маңызды. Ток көзінің кернеуі u=Еsinwt синусоидты заңы бойынша өзгеретін
жағдай ерекше қызығушылықты тудырады (мысалы, RL тізбекті айнымалы ток
тізбегіне қосу жағдайы). Бұл жағдайда формулаға сәйкес
(20)
аламыз.

болатынын оңай тексеруге болады.
Сондықтан

және біз токтың уақыттан тәуелділігін келесі түрде алатын боламыз
(21)
t өскен сайын көбейткіші тез кемиді, сондықтан, бұл формуладағы
бірінші қосылғыш аз уақыт аралығында і шамасын анықтауға ықпал ете алмайды.
Қалған екі қосылғыштың қосындысы жиілігі u кернеуі сияқты і—ге тең, ал
амплитудасы мен фазасы басқа синусоидты шаманы береді; сонымен қатар ол i0
бастапқы токтан тәуелді болмайды. Бұл ток тұрақталған ток деп аталады.
Мысал 5 (Жіптің сырғуы) іп үстелдің үстінде жатыр, жіптің бір ұшы үстел
бетінен а биіктікте тегіс блокқа тасталған. Бастапқы уақыт моментінде
ұзындығы 2а тең жіп бөлігі блоктың екінші жағында асып тұр. Егер қозғалыс
кезіндегі үйкеліс күшін жылдамдықтың квадратына, ал бастапқы жылдамдық
нольге тең деп алса, осы ұшының s жолға тәуелді қозғалысының v жылдамдығын
табу керек.
Шешуі. Егер блокты жолды есептеудің бас нүктесі деп таңдап алып,
OS өсін төмен қарай бағыттасақ, онда Ньютонның екінші заңы біздің
жағдайда келесі дифференциалдық теңдеуге алып келеді:

мұндағы g –ауырлық күшінің үдеуі.
болғандықтан, теңдеуді келесі түрде жазып алуға болады:
(22)
Бұл Бернулли теңдеуі . v2=z ауыстыруын және ауыстыруын
жасап, оны сызықтық түрге келтіреміз:

Бұл теңдеудің жалпы шешімін (7) формула бойынша табамыз:

бірақ

болғандықтан,

s=2a болғандағы v=0 шартынан С тұрақтысын табамыз:, және дербес
интегралдың түрі

болады. Жақша ішіндегі өрнекті көбейткіштерге жіктеуге болады:

сонда, v-ның s-тен ізделінді тәуелділігін табамыз:

(23)
Қозғалыстың бірқалыпты үдемелі екенін көрсетейік. Ол үшін алынған
теңдіктің екі жағын да квадраттаймыз да, t бойынша дифференциалдаймыз.
Сонда но , а аламыз. Ұйғарым осымен дәлелденеді.
Мысал 6 Массасы т-ға тең материалдық нүкте вертикал өсті айнала тұрақты
а бұрыштық жылдамдығымен айналатын АВ қисығының бойында орналасқан (2
сурет). Материалдық нүкте қисықтың бойында кез келген күйде орналасқан
болса, АВ қисығының теңдеуін табу керек.

2 сурет Материалдық нүктенің айналу жылдамдығы

Шешуі. Тепе-теңдік жағдайында ауырлық күші мен орталық күшінің орташасы
АВ қисығының нормалі бойымен бағытталады, себебі байланыс реакциясы нормаль
бойымен бағытталған. М нүктесіне келесі күштер әсер етеді: ауырлық күші
P=mg, орталық күші F= mw2x.
Мұндағы m -масса, g – ауырлық күшінің үдеуі. АВ қисығының ізделінді
теңдеуіның түрі у=у(х) болсын. АВ қисығының нормалінің бұрыштық
коэффициенті – , орташа күштің бұрыштық коэффициенті болады.
Демек,

немесе

Осы теңдеуді интегралдай отырып, параболалар үйірін аламыз:

мұндағы С – үйірдің қисықтарының ара қашықтығы.
Мысал 7. Нүкте түзу бойымен тұрақты а үдеумен қозғалып келеді. Нүктенің
қозғалыс заңын табу керек.
Шешуі. Егер

болса, онда

(1)
(1) теңдеуді тікелей интегралдау арқылы:

(2)
табамыз. С тұрақтысын анықтау үшін бастапқы жылдамдық v0 деп аламыз, яғни
t=0 болғанда v = v0. (2) теңдікке қою арқылы:
немесе
аламыз. Осылайша, (2) теңдеудің түрі:

(3)
болады. болғандықтан, (3) өрнекті келесі түрге түрлендіруге болады:

немесе

(4)
(4) теңдікті интегралдай отырып қарастырылып отырған есептің жалпы
шешімін табамыз:

(5)
С2 тұрақтысын анықтау үшін t=0 болғандағы арақашықтыққа тең бастапқы
орын s0 болады деп алайық, яғни t=0 болғандағы жол s=s0. Бұл мәндерді (5)
өрнекке қою:
so=O+O+C2, немесе
C2=s0.
мәндерін береді. Демек, (5) теңдеудің түрі:

(6)
болады. (3) және (6) теңдеулерде a=g, vo=0, s0 = 0, s=h деп алсақ,
дененің бос кеңістікке еркін құлап бара жатқан заңын табамыз:
және

Мысал 7 Көлемі V0=0,1 m3 цилиндр ыдыста амосфералық ауа бар, ол
адиабаталық түрде (қоршаған ортамен жылу алмаспай) V1=0,01 мг дейін
сығылады. Сығылу жұмысын табу керек.
Шешуі. Газ күйінің адиабаталық өзгерістері кезінде оның қысымы мен
көлемі Пуассон теңдеуімен байланысады:

мұндағы k – берілген газ үшін тұрақты шама. Ауа үшін
Атмосфералық қысым р0 = 10 330 кГм2.
Айталық: S – поршеньнің ауданы;
V – поршеннің х биіктікте орналасқандағы газ қысымы;
dx – поршеннің ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.