Математикалық индукция әдістері

Жұмыс түрі: Материал
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 18 бет
Таңдаулыға:

ҚР ОҚУ-АҒАРТУ МИНИСТРЛІГІ
ОБЛЫС
МЕКТЕП

ҒЫЛЫМИ ЖОБА
Математикалық индукция және оның заңдылықтары

Орындаған:

Ғылыми жетекші:

Астана, 2023 жыл
ЖОСПАР:
I.КІРІСПЕ
II.НЕГІЗГІ БӨЛІМ
2.1 Математикалық индукция ұғымы.
2.2 Математикалық индукция әдісінің пайда болуы мен даму тарихы
2.3 Математикалық индукция түрлері
2.4 Математикалық индукция әдістері
III.ПРАКТИКАЛЫҚ БӨЛІМ
IV.ҚОРЫТЫНДЫ
V.ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР

Аңдатпа
Тақырыптың өзектілігі
Математиканың бір ерекшелігі-теорияның дедуктивті құрылысы. Бірақ шегерім ғылыми ойлаудың жалғыз әдісі емес. Эксперименттік ғылымдарда индуктивті тұжырымдардың рөлі зор. Математикада индукция көбінесе Теоремалардың тұжырымдамасын болжауға және кейбір жағдайларда дәлелдеу жолдарын анықтауға мүмкіндік береді.
Зерттеу үшін мен "Математикалық индукция және оның заңдылықтары" тақырыбын таңдадым, өйткені мектеп бағдарламасында математикалық индукция әдісі тек үстірт танысады. Бұл әдіспен егжей-тегжейлі танысу студенттерге олардың көкжиегінің кеңеюі үшін ғана емес, сонымен қатар оның принципі көптеген мәселелерді (соның ішінде олимпиадалық) шешуге негізделгендіктен пайдалы. Мен математикалық индукция принципін, сондай-ақ оның есептерді қосуда, сәйкестікті дәлелдеуде, теңсіздіктерді дәлелдеуде және шешуде (атап айтқанда Бернулли теңсіздігінде), бөліну мәселесін шешуде, сандық тізбектердің қасиеттерін зерттеуде, геометриялық есептерді шешуде кеңінен қолданылуын зерттедім.
Жұмыстың мақсаты: математикалық индукция әдісімен танысу, осы тақырып бойынша білімді жүйелеу және оны математикалық есептерді шешуде және теоремаларды дәлелдеуде қолдану, есептерді шешудің қажетті факторы ретінде математикалық индукция әдісінің практикалық маңыздылығын негіздеу және нақты көрсету.
Жұмыстың міндеттері:
1. Осы тақырып бойынша әдебиеттерді талдау.
2. Жұмыстың әртүрлі әдістері мен әдістерін меңгеру.
3.Осы тақырып бойынша білімді жалпылау және жүйелеу.
4. Осы тақырып бойынша білімді, дағдыларды, дағдыларды жетілдіру.
5. Мәселелерді шешуге шығармашылық көзқарасты дамыту.
6.Осы әдісті қолдана отырып, әртүрлі тапсырмаларды шешу.
7.Осы тақырып бойынша қорытынды жасау.
8.Математика туралы идеяларды жалпыадамзаттық мәдениеттің бөлігі ретінде қалыптастыру, математиканың маңыздылығын түсіну.
9.Осы тақырып бойынша білімді жалпылау және жүйелеу.
Гипотеза:математикалық индукция әдісі тек дұрыс тұжырымдарға әкеледі.
Жұмыста қолданылатын зерттеу әдістері:
1.Осы тақырып бойынша математикалық әдебиеттер мен интернет ресурстарын талдау.
2.Зерттелген материалдың репродуктивті көбеюі.
3.Танымдық-іздеу қызметі.
4.Есептердің шешімін табуда деректерді талдау және салыстыру.
5.Гипотеза жасау және оларды тексеру.
6.Математикалық фактілерді салыстыру және жалпылау.
7.Әр түрлі мәселелерді шешу.
8.Алынған нәтижелерді талдау.

Аннотация
Актуальность темы
Одной из особенностей математики является дедуктивное построение теории. Но дедукция-не единственный способ научного мышления. В экспериментальных науках большую роль играют индуктивные выводы. В математике индукция часто позволяет предсказать концепцию теорем и, в некоторых случаях, определить способы доказательства.
Для исследования я выбрала тему "математическая индукция и ее закономерности", так как в школьной программе метод математической индукции встречается лишь поверхностно. Подробное знакомство с этим методом полезно студентам не только для расширения их кругозора, но и потому, что его принцип основан на решении многих задач (в том числе и Олимпийских). Я исследовал принцип математической индукции, а также его широкое применение в сложении задач, доказательстве соответствия, доказательстве и решении неравенств (в частности, неравенстве Бернулли), решении проблемы деления, изучении свойств числовых последовательностей, решении геометрических задач.
Цель работы: ознакомление с методом математической индукции, систематизация знаний по данной теме и применение ее при решении математических задач и доказательствах теорем, обоснование и четкое указание практической значимости метода математической индукции как необходимого фактора решения задач.
Задачи работы:
1. анализ литературы по данной теме.
2. овладение различными приемами и приемами работы.
3.обобщение и систематизация знаний по данной теме.
4.совершенствование знаний, умений, навыков по данной теме.
5.развивать творческий подход к решению проблем.
6.решение различных задач с помощью данного метода.
7.сделать выводы по данной теме.
8.формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, понимание важности математики.
9.обобщение и систематизация знаний по данной теме.
Гипотеза: метод математической индукции приводит только к правильным выводам.
Методы исследования, используемые в работе:
1.Анализ математической литературы и ресурсов интернета по данной теме.
2.репродуктивное размножение изучаемого материала.
3.познавательно-поисковая деятельность.
4.анализ и сравнение данных при поиске решений задач.
5.выдвигать гипотезы и проверять их.
6.сравнение и обобщение математических фактов.
7.решение различных задач.
8. анализ полученных результатов.

Abstract
Relevance of the topic
One of the features of mathematics is the deductive construction of theory. But deduction is not the only method of scientific thinking. The role of inductive statements in the experimental sciences is great. In mathematics, induction often allows you to predict the formulation of theorems and, in some cases, determine the ways of proof.
For the study, I chose the topic "mathematical induction and its laws", since in the school curriculum the method of mathematical induction is introduced only superficially. A detailed acquaintance with this method is useful for students not only for the expansion of their horizons, but also because its principle is based on solving many problems (including Olympic). I studied the principle of mathematical induction, as well as its widespread application in the addition of problems, proof of identity, proof and solution of inequalities (in particular, in Bernoulli's inequality), in solving the problem of division, in the study of the properties of numerical circuits, in solving geometric problems.
The purpose of the work: to get acquainted with the method of mathematical induction, to systematize knowledge on this topic and apply it in solving mathematical problems and proving theorems, to justify and clearly demonstrate the practical significance of the method of mathematical induction as a necessary factor in solving problems.
Tasks of the work:
1.Analysis of the literature on this topic.
2.Master different methods and techniques of work.
3.Generalization and systematization of knowledge on this topic.
4.Improving knowledge, skills, and abilities on this topic.
5.Development of a creative approach to problem solving.
6.Solving various tasks using this method.
7.Draw conclusions on this topic.
8.Formation of ideas about mathematics as part of universal culture, understanding the importance of mathematics.
9.Generalization and systematization of knowledge on this topic.
Hypothesis: the method of mathematical induction leads only to correct conclusions.
Research methods used in the work:
1.Analysis of mathematical literature and internet resources on this topic.
2.Reproductive reproduction of the studied material.
3.Cognitive-Search Service.
4.Analysis and comparison of data in solving problems.
5.Making hypotheses and testing them.
6.Comparison and generalization of mathematical facts.
7.Solving various problems.
8.Analysis of the results obtained.

I.КІРІСПЕ
Математикада индукция көбінесе Теоремалардың тұжырымдамасын болжауға және кейбір жағдайларда дәлелдеу жолдарын анықтауға мүмкіндік береді. Зерттеу үшін мен "математикалық индукция әдісі" тақырыбын таңдадым, өйткені мектеп бағдарламасында математикалық индукция әдісі тек үстірт танысады. Бұл әдіспен танысу студенттерге олардың көкжиектерін кеңейту үшін ғана емес, сонымен қатар оның принципі көптеген мәселелерді шешуге негізделгендіктен де пайдалы. Мен математикалық индукция принципін, сондай-ақ оның есептерді қосуда, сәйкестікті дәлелдеуде, теңсіздіктерді дәлелдеуде және шешуде (атап айтқанда Бернулли теңсіздігінде), бөліну мәселесін шешуде, сандық тізбектердің қасиеттерін зерттеуде, геометриялық есептерді шешуде кеңінен қолданылуын зерттедім.
Тарихпен танысу үшін алдымен математикалық индукцияның не екенін білу керек. Математикалық индукция-дәлелдеу әдістерінің бірі. Барлық натурал сандар үшін белгілі бір тұжырымның ақиқатын дәлелдеу үшін қолданылады. Ол үшін алдымен 1 саны бар мәлімдеменің ақиқаты тексеріледі, содан кейін n нөмірі бар мәлімдеме дұрыс болса, n + 1 нөмірі бар келесі мәлімдеме де дұрыс екендігі дәлелденеді. Индукция бойынша дәлел домино принципі деп аталатын түрде ұсынылуы мүмкін. Домино сүйектерінің кез-келген саны қатарға қойылсын, осылайша әрбір сүйек құлап, келесі сүйекті міндетті түрде аударып тастайды (бұл индукциялық ауысу) . Содан кейін, егер біз бірінші сүйекті итерсек (бұл индукция негізі) , онда қатардағы барлық сүйектер құлап кетеді.
Индукция (лат. inductio -- бағыттау) -- жеке позициядан жалпыға ауысу негізінде логикалық шығару процесі. Индуктивті қорытынды жеке алғышарттарды қорытындымен логика заңдары арқылы емес, кейбір нақты, психологиялық немесе математикалық түсініктер арқылы байланыстырады. Дедукция (лат. deductio-шығару) - логикалық қорытынды, жалпы ережелерден нақты, нақты қорытындыға көшу. Енді сіз математикалық индукция ұғымымен таныссыз.

II.НЕГІЗГІ БӨЛІМ
2.1 Математикалық индукция ұғымы
Математика, өздеріңіз білетіндей, ғылым дәлелді немесе дедуктивті (лат. Deductio-шығару). Алайда, бұл оның бір жағы ғана. Аяқталған түрде баяндалған математика тек дәлелдерден тұратын таза дедуктивті болып көрінеді. Бірақ дәлелдеуді барлық егжей-тегжейлі жүргізбес бұрын, оның артындағы идеяны болжау керек, бақылауларды салыстыру және ұқсастықтарды ұстану керек. Математиктің шығармашылық жұмысының нәтижесі - дәлелді және сенімді-бірін-бірі толықтырады. Кез-келген мәселені шешуде ашылу түйіні болғандықтан, онда болжауға, сенімді қорытынды жасауға орын болуы керек.
Көрнекті кеңес математигі А.Н. Колмогоров айтқандай: "кейбіреулер үшін математика жасанды рецепттердің, ережелердің үйіндісі болып көрінеді, олар бойынша сіз неге қажетті нәтиже ала аласыз. Математика кейде ойлағаннан оңайырақ... есте сақтауды түсінікпен ауыстыруға тырысыңыз! Сонда ережелерді есте сақтау қиын болмайды".
Тарихпен танысу үшін алдымен математикалық индукцияның не екенін білу керек. Математикалық индукция-дәлелдеу әдістерінің бірі. Барлық натурал сандар үшін белгілі бір тұжырымның ақиқатын дәлелдеу үшін қолданылады. Ол үшін алдымен 1 саны бар мәлімдеменің ақиқаты тексеріледі, содан кейін n нөмірі бар мәлімдеме дұрыс болса, n + 1 нөмірі бар келесі мәлімдеме де дұрыс екендігі дәлелденеді. Индукция бойынша дәлел домино принципі деп аталатын түрде ұсынылуы мүмкін. Домино сүйектерінің кез-келген саны қатарға қойылсын, осылайша әрбір сүйек құлап, келесі сүйекті міндетті түрде аударып тастайды (бұл индукциялық ауысу) . Содан кейін, егер біз бірінші сүйекті итерсек (бұл индукция негізі) , онда қатардағы барлық сүйектер құлап кетеді. Индукция (лат. inductio -- бағыттау) -- жеке позициядан жалпыға ауысу негізінде логикалық шығару процесі. Индуктивті қорытынды жеке алғышарттарды қорытындымен логика заңдары арқылы емес, кейбір нақты, психологиялық немесе математикалық түсініктер арқылы байланыстырады. Дедукция (лат. deductio-шығару) - логикалық қорытынды, жалпы ережелерден нақты, нақты қорытындыға көшу. Енді сіз математикалық индукция ұғымымен таныссыз.
Қорытынды-бұл бір немесе бірнеше пайымдаудан жаңа пайымдау шығарылатын пайымдау процесі. Бастапқы пайымдаулар қорытынды алғышарттар деп аталады, ал алғышарттардан алынған жаңа пайымдаулар қорытынды деп аталады. Сонымен қатар, егер шарттан тергеу туындаса, шарт жеткілікті, егер Шарттың өзі тергеуден туындаса - шарт қажет. Қорытындылар дедуктивті, индуктивті және ұқсастық бойынша қорытындыларға бөлінеді. Индуктивті тұжырымдарды қарастырыңыз.
Жеке құбылыстардың қайталанатын белгісі негізінде жалпыланған қорытынды жасалатын әдіс индуктивті қорытынды немесе индукция деп аталады.
Егер сіз құстардың өмірін қызықты нәтижелерге қол жеткізу үшін байқағыңыз келсе, онда сіз құстармен белгілі бір дәрежеде таныс болуыңыз керек, оларды қызықтыруыңыз керек. Сол сияқты, Егер сіз сандарды байқағыңыз келсе, оларды қызықтыруыңыз керек және олармен белгілі бір дәрежеде таныс болуыңыз керек.
Кейде оқушылар теорияны біледі, бәрін үйренді деп мәлімдейді, бірақ олар есептерді шеше алмайды, бір немесе басқа фактіні, теореманы, анықтаманы қайда және қашан қолдану керектігін білмейді және қандай ойлар арқылы осы немесе басқа теореманы ашуға болатындығын мүлдем елестетпейді. Бұл оқушыны белгілі бір мәселені шешу кезінде қате жауапты анықтауға, қиын мәселені шешудің әртүрлі кезеңдерінде туындаған өзінің қате гипотезаларын тастауға мүмкіндік беретін қарапайым жалпы әдістермен таныстыру туралы. Ақырында, оқушыға ұсынылған тапсырмада қате мәлімдеме болуы мүмкін (өкінішке орай, бұл да болады), мұндай жағдайда оқушының ұсынылған мәлімдеменің қате екенін тез анықтай алуы да маңызды.

2.2 Математикалық индукция әдісінің пайда болуы мен даму тарихы
Математика пәнінің төтенше кеңеюі XIX ғасырда оның "негіздемесі" мәселелеріне, яғни оның бастапқы ережелерін (аксиомаларын) сыни тұрғыдан қайта қарауға, анықтамалар мен дәлелдемелердің қатаң жүйесін құруға, сондай-ақ осы дәлелдемелерде қолданылатын логикалық мысалдарды сыни тұрғыдан қарауға көбірек назар аударды.
Тек XIX ғасырдың аяғында жеке математикалық теорияларды дамыту бойынша математиктердің практикалық жұмысында әлі күнге дейін басым болып келе жатқан логикалық қатаңдыққа қойылатын талаптар стандарты қалыптасты.
Қазіргі математикалық логика бұл сұраққа нақты жауап берді: бірде-бір дедуктивті теория сандар теориясының әр түрлі мәселелерін шеше алмайды.
Индукция сөзі орысша нұсқау дегенді білдіреді, ал индуктивтілер бақылаулар, тәжірибелер негізінде жасалған қорытындылар деп аталады, яғни.жекеден жалпыға қорытынды жасау арқылы алынған.
Барлық математикалық зерттеулердің негізінде дедуктивті және индуктивті әдістер жатыр. Дедуктивті пайымдау әдісі-жалпыдан жекеге дейінгі пайымдау, яғни бастапқы нүктесі жалпы нәтиже, ал соңғы нүктесі жеке нәтиже болып табылатын пайымдау. Индукция белгілі бір нәтижелерден жалпыға ауысу кезінде қолданылады, яғни дедуктивтіге қарама-қарсы әдіс.
Математикалық индукция әдісін прогреспен салыстыруға болады. Біз төменнен бастаймыз, логикалық ойлаудың нәтижесінде жоғары деңгейге жетеміз. Адам әрқашан прогреске ұмтылды, өз ойын логикалық түрде дамыта білді, демек, табиғаттың өзі оған индуктивті түрде ойлауды бұйырды.
Эксперименттік ғылымдардағы индуктивті тұжырымдардың рөлі өте зор. Олар ережелерді береді, содан кейін одан әрі қорытынды шегеру арқылы жасалады. Теориялық механика Ньютонның үш қозғалыс Заңына негізделгенімен, бұл заңдардың өзі тәжірибелі деректерді, атап айтқанда, даниялық астроном Тихо Брахенің көпжылдық бақылауларын өңдеу кезінде өзі шығарған планеталар қозғалысының Кеплер заңдарын терең ойластырудың нәтижесі болды. Бақылау, индукция болашақта жасалған болжамдарды нақтылау үшін пайдалы болып шығады. Мишельсонның қозғалатын ортадағы жарық жылдамдығын өлшеу тәжірибесінен кейін физика заңдарын нақтылау, салыстырмалылық теориясын құру қажет болды.
Математикада индукцияның рөлі негізінен таңдалған аксиоматиканың негізінде жатыр. Ұзақ тәжірибе көрсеткендей, түзу жол әрқашан қисықтан немесе сынғаннан қысқа болады, аксиоманы тұжырымдау табиғи болды: кез-келген үш нүкте үшін А, В және С теңсіздіктер орындалады.
Арифметиканың негізінде жатқан "ұстану" ұғымы сарбаздардың, кемелердің және басқа да реттелген жиындардың құрылысын бақылау кезінде де пайда болды.
Алайда, бұл индукцияның математикадағы рөлін шектейді деп ойламау керек. Әрине, біз аксиомалардан логикалық түрде алынған теоремаларды эксперименталды түрде тексермеуіміз керек: егер қорытындыда логикалық қателер жасалмаса, онда олар соншалықты дұрыс, өйткені біз қабылдаған аксиомалар ақиқат. Бірақ бұл аксиома жүйесінен көптеген тұжырымдарды шығаруға болады. Дәлелденуі керек талаптарды таңдау индукция арқылы қайтадан ұсынылады. Бұл пайдалы теоремаларды пайдасыздан ажыратуға мүмкіндік береді, қай Теоремалардың дұрыс болуы мүмкін екенін көрсетеді және тіпті дәлелдеу жолын анықтауға көмектеседі.
Математикада индуктивті әдіс бұрыннан бері қолданылып келеді, бұл белгілі бір жалпы тұжырым тек бірнеше ерекше жағдайларды қарастыру негізінде жасалады. Мысалы, тарих е л е р а-ның келесі мәлімдемесін сақтап қалды: "менде ұзақ индукцияны қоспағанда, дәлелдеу үшін басқа дәлелдер жоқ, сондықтан мен ЕО мүшелерінің білімін басқаратын заңға ешқандай күмән келтіре алмаймын және бұл мүмкін емес сияқты. болған заң табылды, мысалы, 20 мүше үшін орындалды, келесі мүшелер үшін де байқалмас еді".
Индукцияның қателігіне сеніп, ғалымдар кейде өрескел қателіктер жіберді.
XVII ғасырдың ортасына қарай математикада көптеген қате тұжырымдар жиналды. Бірнеше нақты жағдайларды қарастыру негізінде жалпы қорытынды жасауға мүмкіндік беретін ғылыми негізделген әдіске деген қажеттілік қатты сезіле бастады. Және бұл әдіс әзірленді.

2.3 Математикалық индукция түрлері
Индуктивті қорытынды-бұл абстрактілі ойлаудың бір түрі, онда Ой қоғамдастықтың аз дәрежесін білуден қоғамдастықтың үлкен дәрежесін білуге дейін дамиды, ал алғышарттардан туындайтын қорытынды негізінен ықтималдық болып табылады.
Зерттеудің сипатына ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.