ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІҢ ӘДІС ТӘСІЛДЕРІ

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Ф. 7. 04-01

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

«Жаратылыстану ғылымдары педагогикасы» жоғары мектебі

«Математика» кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы:

Пәні: «Комплексті талдау»

Мамандығы: 5B010900-Математика

Орындаған: Әбу Гүлнұр Жолымбекқызы

Топ ЕП-17-1кт

Жетекші: ф. -м. ғ. к., доцент Абжапбаров

Жұмыс бағасына қорғалды«» 2020жНорма бақылау:Комиссия:

Жұмыс бағасына қорғалды

«» 2020ж

Норма бақылау:

Комиссия

Шымкент 2020 ж.

Ф. 7. 04-03

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

«Математика» кафедрасы

Бекітемін: Бекітемін

Бекітемін: Каф. меңгерушісі

Бекітемін: Аширбаев Н. К.

Бекітемін: «»2020ж.

№Тапсырма

«Комплексті талдау»пәні бойынша курстық жұмыс

Студент: Әбу Гүлнұр Жолымбекқызы Топ: ЕП-17-1кт

Жұмыс тақырыбы: Теңдеулер жүйесін шешудің әдіс тәсілдерін оқыту әдістемесі

Берілген мәліметтер:

№: №

Түсіндірме жазбасының мазмұны(курстық жұмыс):

Түсіндірме жазбасының мазмұны

(курстық жұмыс)

Беттер саны: Беттер саны

Орындалу мерзімі: Орындалу мерзімі

№: 1

Түсіндірме жазбасының мазмұны(курстық жұмыс): Кіріспе

Беттер саны: 2

Орындалу мерзімі:

№: 2

Түсіндірме жазбасының мазмұны(курстық жұмыс): Негізгі бөлім

Беттер саны: 23

Орындалу мерзімі:

№: 3

Түсіндірме жазбасының мазмұны(курстық жұмыс): Қорытынды

Беттер саны: 2

Орындалу мерзімі:

№: 4

Түсіндірме жазбасының мазмұны(курстық жұмыс): Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

Беттер саны: 2

Орындалу мерзімі:

№: 5

Түсіндірме жазбасының мазмұны(курстық жұмыс): Жалпы

Беттер саны: 29

Орындалу мерзімі:

Ұсынылған әдебиеттер:

В. Н. Литвиненко, А. Г. Мордкович. /Практикум по математике/, М-1991.
В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин. /Лекция и задачи по элементарной математике/, M-1990
В. В Зайцев, В. В Рыжков, М. И Сканави. /Элементерная математика/, М-1971.

Тапсырма берілген күні

Жұмысты қорғау күні

Жұмыс жетекшісі

Тапсырманы орындауға қабылдаған

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ . . . 4

1. ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІҢ ӘДІС ТӘСІЛДЕРІ . . . 6

1. 1 Негізгі анықтамалар . . . 6

1. 2 Теңдеулер жүйесін шешудің негізгі әдістері . . . 10

1. 3 Біртекті жүйелер . . . 15

2. ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН КООРДИНАТТЫ-ПАРАМЕТРЛІК ӘДІСПЕН ШЕШУ . . . 19

2. 1 Аралас теңдеулер жүйесі . . . 22

2. 2 Теңдеулер жүйесін құру көмегімен шешілетін есептер . . . 24

2. 3 Прогрессияға байланысты есептер . . . 24

2. 3. 1 Біріккен жұмыс туралы есептердің шығару жолдары . . . 25

Қорытынды . . . 28

Пайдаланылған әдебиеттер . . . 29

КІРІСПЕ

Жұмыстың өзектілігі. «Математика - ғылымдар патшасы!» деген ұран бекер айтылмаған. Математика ғылымы есептерінің шексіздігімен ерекшеленеді. Курстық жұмыста («Теңдеулер жүйесін шешудің әдіс тәсілдерін оқыту әдістемесі») теңдеулер жүйесі мен оның шешу жолдарының алуан түрін зерттеу көзделген.

Теңдеулер жүйесі құрамындағы теңдеулердің қасиетіне байланысты көбіне: біртекті теңдеулер жүйесі, біртекті емес теңдеулер жүйесі, т. б. түрінде кездеседі. Теңдеулердің жүйесін координатты-параметрмен берілген теңдеулер жүйесі, аралас теңдеулер жүйесі т. с. с деп атала береді. Осы жұмыста жоғарыда аталған теңдеулер жүйесін толық қамтуға тырысамыз.

Қазіргі таңда кез-келген мектептін деңгейі ҰБТ (Ұлттық бірыңғай тестілеу) нәтижесі арқылы бағаланады ҰБТ-да математика пәнін барлық мектеп түлектері тапсыруы тиіс, өйткені қазақ тілі, қазақстан тарих және математика пәні міндетті пәндер болып есептеледі:Әрбір теңдеудің шешімін табу үшін әртүрлі сәйкес әдістерді (логикалық ойлау арқылы) қолданатындықтан, жүйелерді шешу кейбір оқушылар үшін қиыншылықтар туғызады. Соның ішінде параметрге байланысты теңдеулер жүйесін атап өткен жөн. Қазақстан Республикасының талапкерлері сияқты, М. В. Ломоносов атындағы Москва Мемлекеттік университетінің жоғары оқу орнына түсуші талапкерлер де есептердің шешімі параметрдің мәнін зерттеуге байланысты болғандықтан, параметрге байланысты берілген жүйелерді шешуде қиналатын көрінеді. Он жылдан астам уақыт ішінде математикалық-ғылыми журналдарда жарияланған теңдеулер жүйелерін сараптап келсек, оның ішінде параметрге байланысты берілген жүйелер өте көп. Әсіресе, параметрмен берілген теңдеулер жүйелерінің шешу жолдарын зерттеу - мектеп математикасындағы өзекті мәселе болып тұр.

Курстық жұмыстың мақсаты - ғылыми басылымдарда жарияланып жүрген, олимпиада сұрақтарында кездесіп жүрген қиындығы жоғары теңдеулер жүйелерінің шешу жолдарын талдау. «Математика және физика», «Математика в школе», «Квант» математикалық-ғылыми журналдарында жарияланған теңдеулер жүйесінің шешу тәсілдерін пайдаланып, есептер жинақтарындағы, ғылыми басылымдардағы қиындығы жоғары теңдеулер жүйелерін шешу.

Мақсатқа жету үшін қойылатын міндеттер:

-педагогикалық мамандықтарға арналған математикалық оқулықтардағы қиындығы жоғары теңдеулер жүйелері тақырыбын талдау;

-орыс тілінде басылған оқулықтарды талдап, қажетті ақпараттарды қазақ тіліне аудару;

-«Математика в школе», «Квант», «Математика және физика», т. б. ғылыми журналдарда жарияналып жүрген қиындығы жоғары теңдеулерге байланысты олимпиада есептерін шығару және тек шығарып қана қоймай, сол есептің барлық мүмкін шығару жолдарын анықтау, яғни әрбір есепті терең талдау.

Зерттеу объектісі: Қиындығы жоғары теңдеулер жүйелерін шешу.

Курстық жұмыстың әдіснамалық негізі:

- зерттеліп отырған тақырып бойынша математикалық ғылыми-әдістемелік, педагогикалық әдебиеттерге талдау жүргізу;

-математика мұғалімдерінің алдыңғы қатарлы тәжірибесін оқу және

жалпылау.

Зерттеудің ғылыми жаңалығы:

- теңдеулер жүйесі құрамындағы теңдеулердің қасиетіне және түріне байланысты терең талдау жүргізіліп, сол есептің барлық мүмкін шығару жолдары анықталды;

- параметрмен берілген теңдеулер жүйелерінің шешу жолдары зерттеліп, оларға талдау жүргізілді.

Жұмыстың практикалық маңыздылығы: мектеп математика мұғалімдері үшін көмекші құрал ретінде пайдалануға болады

1 Теңдеулер жүйесін шешудің әдіс тәсілдері

1. 1 Негізгі анықтамалар

$(x; y)$ айнымалыларын табуға бағытталған және осы айнымалылардың мәндері әрбір теңдеуді де қанағаттандыратын бірнеше теңдеулер жиыны теңдеулер жүйесін құрайды. Әр $(x; y)$ жұбы жүйенің шешімі деп аталады. Жүйені шешу деп - оның барлық шешімін табуды айтамыз. Кейде шешімдер жүйесінің бос болуы мүмкін. Бұл жағдайда теңдеулер жүйелерінің шешімі жоқ дейміз[1] .

Ең болмаса бір теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын $(x; y)$ -тің барлық мүмкін шешімін табуға арналған $x,$ $y$ айнымалыларынан тұратын бірнеше теңдеулер жүйесін жүйелер жиыны деп атаймыз. Әрбір осындай жауап жүйелер жиынының шешімі деп аталады.

Теңдеулер жүйесін шешу процесі кейбір түрлендіру негізінде берілген теңдеуді қарапайым түрге келтіру негізінде жүзеге асырылады. Егер жүйелерді қандай да бір түрлендіру арқылы

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y) ; \\ \text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. } \\ f_{n}(x; y) = g_{n}(x; y) \end{array}$ (1)

мынадай жүйеге келтірсек

$\begin{array}{r} f_{1'}(x; y) = g_{1'}(x; y), \\ f_{2'}(x; y) = g_{2'}(x; y) ; \\ \text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. } \\ f_{n^{1}}(x; y) = g_{n'}(x; y) \end{array}$ (2)

және сонымен қатар (1) жүйенің әрбір шешімі (2) жүйенің шешімі болса, онда (2) жүйе (1) жүйенің салдары деп аталады. Теңдеулер жүйесінің салдары бір ғана теңдеу болуы да мүмкін. Мысалы: 3x - 2y = 3 теңдеуі төмендегі жүйенің салдары болып табылады.

$\begin{array}{r} 2x + y = 5 \\ x - 3y = - 2 \end{array}$

Негізінде теңдеулер жүйесінің салдары бір немесе көп ретті теңдеулерден тұратын жүйе бола алады. Төмендегі жүйе

$\begin{array}{r} 2x + y = 5, \\ x - 3y = - 2, \\ 3x - 2y = 3 \end{array}$

$\begin{array}{r} 2x + y = 5 \\ x - 3y = - 2 \end{array}$

жүйесінің салдары.

Егер екі теңдеулер жүйесінің көптеген шешімдері сәйкес болса, онда олар өзара пара - пар. Тек бірінші теңдеу екінші теңдеудің салдары болғанда және керісінше жағдайда ғана бұл екі жүйелердің өзара тең екені анық. Осыдан, жекелеп алғанда, егер теңдеулер жүйесіне сол жүйенің салдары болатын тағы бір теңдеу қоссақ, онда жаңа жүйе берілген теңдеуге пара - пар. Егер қандай да бір теңдеулер жүйесін босатсақ, онда түзілген теңдеулер жүйесі (немесе дара қалған теңдеу) берілген теңдеудің салдары болады[3] .

Теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын екі теорема бар.

1-теорема. Егер $f_{1'}(x; y) = g_{1'}(x; y)$ теңдеуі $f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y)$ теңдеуіне пара - пар (немесе оның салдары болса), ал $f_{2'}(x; y) = g_{2'}(x; y)$ теңдеуі $f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y)$ теңдеуіне тең болса (немесе оның салдары болса), онда

$\begin{array}{r} f_{1'}(x; y) = g_{1'}(x; y), \\ f_{2'}(x; y) = g_{2'}(x; y) \end{array}$

жүйесі төмендегі жүйеге тең. (немесе оның салдары) болады

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y) \end{array}$

2 - теорема. Егер $f(x; y) = g(x; y)$ теңдеуі $f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y)$ және $f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y)$ теңдеуінің салдары болса, онда төмендегі әрбір жүйе

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f(x; y) = g(x; y) \end{array}$ және $\begin{array}{r} f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y), \\ f(x; y) = g(x; y) \end{array}$

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{2}(x, y) = g_{2}(x; y), \end{array}$ (3)

жүйесінің салдары болып табылады, ал

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y), \\ f(x; y) = g(x; y) \end{array}$

жүйесі (3) жүйеге пара-пар. Жекелеп алғанда, (3) жүйенің салдары мына жүйелер болады:

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g(x; y), \\ f_{1}(x; y) \pm f_{2}(x; y) = g_{1}(x; y) \pm g_{2}(x; y) ; \end{array}$ (4)

$\begin{array}{r} f(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{1}(x; y) \cdot f_{2}(x; y) = g_{1}(x; y) \cdot g_{2}(x; y) ; \end{array}$ (5)

$\begin{array}{r} f(x; y) = g_{1}(x; y), \\ (f_{2}(x; y) ) ^{2} = (g_{2}(x; y) ) ^{2}\text{. } \end{array}$ (6)

Егер $f_{2}(x; y)$ және $g_{2}(x; y)$ амалдарын бір уақытта нольге айналдыратын (х; у) жұптары болмаса, онда $\frac{1}{f_{2}(x; y) } = \frac{1}{g_{2}(x; y) }$ теңдеуі $f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y)$ теңдеуіне пара - пар. Онда (3) жүйеге келесідей жүйелер пара - пар:

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ \frac{1}{f_{2}(x; y) } = \frac{1}{g_{2}(x; y) } \end{array}$

Оның салдары төмендегі жүйе болып табылады.

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{1}(x; y) \cdot \frac{1}{f_{2}(x; y) } = g_{1}(x; y) \cdot \frac{1}{g_{2}(x; y) }\text{. } \end{array}$

Бұдан шығатын қорытынды: Егер $f_{2}(x; y)$ және $g_{2}(x; y)$ амалдарын бір уақытта нольге айналдыратын (х; у) жұптары болмаса, онда жүйе

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y) \\ \frac{f_{1}(x; y) }{f_{2}(x; y) } = \frac{g_{1}(x; y) }{g_{2}(x; y) } \end{array}$ (7)

(3) жүйенің салдары болып табылады.

Егер жүйені шешу барысында ол берілген теңдеудің салдары болатын жүйеге түрлендірсек, онда жаңа жүйенің табылған шешімдері міндетті түрде тексеруге жіберіледі (мысалы, табылған шешімді бастапқы жүйеге тексерсек) . Келесіде мынадай тұжырымдар маңызды болады:

(3) жүйесі (4) жүйеге пара -пар.
Егерf2(x; y) f_{2}(x; y) =g2(x; y) g_{2}(x; y) жүйесінің екі жағын да бір уақытта нөлге айналдыратын (х; у) жұптары болмаса, онда (5) жүйе (3) жүйеге пара -пар.
(3) жүйенің анықталу облысынан кез келген х, у үшінf2(x; y) ⋅g2(x; y) ≥0f_{2}(x; y) \cdot g_{2}(x; y) \geq 0теңсіздігі орындалса, онда (3) жүйе (6) жүйеге тең.
Егер (3) жүйенің екінші теңдеуінің екі жағын да бір мезгілде нөлге айналдыратын (х; у) жұптары болмаса, онда (3) жүйе (7) жүйеге тең.

1 және 2 теоремалардан мынадай бір қорытынды шығады.

3 - теорема. Егер

$\begin{array}{r} f(x; y) = g_{\text{21}}(x; y), \\ f_{\text{22}}(x; y) = g_{\text{22}}(x; y) ; \\ \text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. } \\ f_{2k}(x; y) = g_{2k}(x; y) \end{array}$

теңдеулер жиыны $f_{2}(x; y) = g_{2}(x; y)$ теңдеуіне пара - пар болса (немесе оның салдары болса), онда

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{\text{21}}(x; y) = g_{\text{21}}(x; y) ; \\ f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y) \\ f_{\text{22}}(x; y) = g_{\text{22}}(x; y) ; \\ \text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. }\text{. } \\ f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{2k}(x; y) = g_{2k}(x; y) \end{array}$

теңдеулер жиыны (3) жүйесіне пара - пар (немесе оның салдары) [2] .

Жекелей алғанда, жүйенің салдары

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{\text{21}}(x; y) \cdot f_{\text{22}}(x; y) \cdot \text{. }\text{. }\text{. } \cdot f_{2k}(x; y) = 0 \end{array}$

мына жүйелердің жиыны болып табылады:

$\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{\text{21}}(x; y) = 0; \end{array}$ $\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{\text{22}}(x; y) = 0; \end{array}$ . . . ; $\begin{array}{r} f_{1}(x; y) = g_{1}(x; y), \\ f_{2k}(x; y) = 0\text{. } \end{array}$

1 - мысал.

$\begin{array}{r} \text{xy} - 6 = \frac{y^{3}}{x}, \\ \text{xy} + \text{24} = \frac{x^{3}}{y} \end{array}$ жүйесін шешейік. (8)

Шешуі: (8) жүйесінің теңдеулерін көбейтіп, берілген теңдеудің салдары болып табылатын жүйені алдық.

$\begin{array}{r} \text{xy} - 6 = \frac{y^{3}}{x} \\ (\text{xy} + \text{24}) (\text{xy} - 6) = \frac{y^{3}x^{3}}{\text{xy}} \end{array}$ (9)

(9) жүйенің екінші теңдеуі қарапайым түрлендіру арқасында (9) жүйенің екінші теңдеуінің салдары болып табылатын ху=8 теңдеуіне келеді.

Сонда 1-теорема бойынша

$\begin{array}{r} \text{xy} - 6 = \frac{y^{3}}{x}, \\ \text{xy} = 8 \end{array}$ (10)

(9) жүйенің салдары болып табылады. (10) жүйенің бірінші теңдеуін екіншісінен алып тастаймыз. Төмендегідей жүйені аламыз:

$\begin{array}{r} \text{xy} = 8 \\ 6 = 8 - \frac{y^{3}}{x}, \end{array}$

содан соң

$\begin{array}{r} \text{xy} = 8, \\ \frac{y^{3}}{x} = 2\text{. } \end{array}$ (11)

(11) жүйе 2 - теорема бойынша (10) жүйенің салдары болып табылады. (11) жүйенің теңдеулерін көбейтіп, (11) жүйенің салдары болып табылатын жүйені аламыз:

$\begin{array}{r} \text{xy} = 8, \\ y^{4} = \text{16}\text{. } \end{array}$ (12)

(12) жүйенің екінші теңдеуінен $y_{1} = 2, y_{2} = - 2$ , ал бірінші теңдеуден сәйкесінше $x_{1} = 4, x_{2} = - 4$ мәндерін аламыз. Демек, (12) жүйесінің шешімі мынадай: (4, 2) және (-4, -2) .

Тексеру. (12) жүйе (8) жүйенің салдары болғандықтан, онда жүйе шешімдерін тексеріп шығу керек. Мұны (12) жүйенің шешімдерін (8) теңдеулер жүйесіне қою арқылы тексеруге болады. Тексеру нәтижесінде (12) жүйенің екі шешімі де (8) жүйеге қанағаттандыратынын көрсетеді.

Сонымен, (8) жүйенің шешімі: (4, 2), (-4, -2) .

2 - мысал.

$\begin{array}{r} \text{xy} + \text{xz} = - 4, \\ \text{yz} + \text{yx} = - 1, \\ \text{zx} + \text{zy} = - 9\text{. } \end{array}$ жүйесін шешейік.