ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІҢ ӘДІС ТӘСІЛДЕРІ

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Ф.7.04-01

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Жаратылыстану ғылымдары педагогикасы жоғары мектебі

Математика кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы:
Пәні: Комплексті талдау
Мамандығы: 5B010900-Математика
Орындаған: Әбу Гүлнұр Жолымбекқызы
Топ ЕП-17-1кт

Жетекші: ф.-м.ғ.к.,доцент Абжапбаров

Жұмыс _______________ бағасына
қорғалды
_____ ________ 2020ж
Норма бақылау:
_________________

Комиссия
_________________

_________________

Шымкент 2020 ж.

Ф.7.04-03

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Математика кафедрасы

Бекітемін
Каф. меңгерушісі
_______ Аширбаев Н.К.
______________2020ж.

№____Тапсырма

Комплексті талдаупәні бойынша курстық жұмыс
Студент: Әбу Гүлнұр Жолымбекқызы Топ: ЕП-17-1кт
Жұмыс тақырыбы: Теңдеулер жүйесін шешудің әдіс тәсілдерін оқыту әдістемесі
Берілген мәліметтер:________________________ ________________________
___________________________________ _______________________________

№ Түсіндірме жазбасының мазмұны Беттер саны Орындалу
(курстық жұмыс) мерзімі
1 Кіріспе 2
2 Негізгі бөлім 23
3 Қорытынды 2
4 Пайдаланылған әдебиеттер тізімі 2
5 Жалпы 29

Ұсынылған әдебиеттер:
1) В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. Практикум по математике,М-1991.
2) В.Г. Болтянский, Ю.В. Сидоров, М.И. Шабунин. Лекция и задачи по
элементарной математике,M-1990
3) В.В Зайцев, В.В Рыжков, М.И Сканави. Элементерная математика, М-
1971.

Тапсырма берілген күні ___________________________________ __________
Жұмысты қорғау күні ___________________________________ ____
Жұмыс жетекшісі ___________________________________ ____
Тапсырманы орындауға қабылдаған
___________________________________ ___________________

МАЗМҰНЫ

КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
1. ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН ШЕШУДІҢ ӘДІС ТӘСІЛДЕРІ ... ... ... ... ... ... .. ... .6
1.1 Негізгі
анықтамалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ...6
1.2 Теңдеулер жүйесін шешудің негізгі
әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .10
1.3 Біртекті
жүйелер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... .15
2. ТЕҢДЕУЛЕР ЖҮЙЕСІН КООРДИНАТТЫ-ПАРАМЕТРЛІК ӘДІСПЕН
ШЕШУ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..19
2.1 Аралас теңдеулер
жүйесі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..22
2.2 Теңдеулер жүйесін құру көмегімен шешілетін
есептер ... ... ... ... ... ... ... ..24
2.3 Прогрессияға байланысты
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...24
2.3.1 Біріккен жұмыс туралы есептердің шығару
жолдары ... ... ... ... ... ... ... ... 25
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ...29

КІРІСПЕ

Жұмыстың өзектілігі. Математика – ғылымдар патшасы! деген ұран
бекер айтылмаған. Математика ғылымы есептерінің шексіздігімен ерекшеленеді.
Курстық жұмыста (Теңдеулер жүйесін шешудің әдіс тәсілдерін оқыту
әдістемесі) теңдеулер жүйесі мен оның шешу жолдарының алуан түрін зерттеу
көзделген.
Теңдеулер жүйесі құрамындағы теңдеулердің қасиетіне байланысты көбіне:
біртекті теңдеулер жүйесі, біртекті емес теңдеулер жүйесі, т.б. түрінде
кездеседі. Теңдеулердің жүйесін координатты-параметрмен берілген теңдеулер
жүйесі, аралас теңдеулер жүйесі т.с.с деп атала береді. Осы жұмыста
жоғарыда аталған теңдеулер жүйесін толық қамтуға тырысамыз.
Қазіргі таңда кез-келген мектептін деңгейі ҰБТ (Ұлттық бірыңғай
тестілеу) нәтижесі арқылы бағаланады ҰБТ-да математика пәнін барлық мектеп
түлектері тапсыруы тиіс, өйткені қазақ тілі,қазақстан тарих және математика
пәні міндетті пәндер болып есептеледі:Әрбір теңдеудің шешімін табу үшін
әртүрлі сәйкес әдістерді (логикалық ойлау арқылы)
қолданатындықтан,жүйелерді шешу кейбір оқушылар үшін қиыншылықтар
туғызады.Соның ішінде параметрге байланысты теңдеулер жүйесін атап өткен
жөн.Қазақстан Республикасының талапкерлері сияқты, М.В. Ломоносов атындағы
Москва Мемлекеттік университетінің жоғары оқу орнына түсуші талапкерлер де
есептердің шешімі параметрдің мәнін зерттеуге байланысты болғандықтан,
параметрге байланысты берілген жүйелерді шешуде қиналатын көрінеді. Он
жылдан астам уақыт ішінде математикалық-ғылыми журналдарда жарияланған
теңдеулер жүйелерін сараптап келсек, оның ішінде параметрге байланысты
берілген жүйелер өте көп. Әсіресе, параметрмен берілген теңдеулер
жүйелерінің шешу жолдарын зерттеу – мектеп математикасындағы өзекті мәселе
болып тұр.
Курстық жұмыстың мақсаты – ғылыми басылымдарда жарияланып жүрген,
олимпиада сұрақтарында кездесіп жүрген қиындығы жоғары теңдеулер
жүйелерінің шешу жолдарын талдау. Математика және физика, Математика в
школе, Квант математикалық-ғылыми журналдарында жарияланған теңдеулер
жүйесінің шешу тәсілдерін пайдаланып, есептер жинақтарындағы, ғылыми
басылымдардағы қиындығы жоғары теңдеулер жүйелерін шешу.
Мақсатқа жету үшін қойылатын міндеттер:
-педагогикалық мамандықтарға арналған математикалық оқулықтардағы қиындығы
жоғары теңдеулер жүйелері тақырыбын талдау;
-орыс тілінде басылған оқулықтарды талдап,қажетті ақпараттарды қазақ тіліне
аудару;
-Математика в школе, Квант, Математика және физика,т.б. ғылыми
журналдарда жарияналып жүрген қиындығы жоғары теңдеулерге байланысты
олимпиада есептерін шығару және тек шығарып қана қоймай,сол есептің барлық
мүмкін шығару жолдарын анықтау,яғни әрбір есепті терең талдау.
Зерттеу объектісі: Қиындығы жоғары теңдеулер жүйелерін шешу.
Курстық жұмыстың әдіснамалық негізі:
– зерттеліп отырған тақырып бойынша математикалық ғылыми-әдістемелік,
педагогикалық әдебиеттерге талдау жүргізу;
–математика мұғалімдерінің алдыңғы қатарлы тәжірибесін оқу және
жалпылау.
Зерттеудің ғылыми жаңалығы:
– теңдеулер жүйесі құрамындағы теңдеулердің қасиетіне және түріне
байланысты терең талдау жүргізіліп, сол есептің барлық мүмкін шығару
жолдары анықталды;
– параметрмен берілген теңдеулер жүйелерінің шешу жолдары зерттеліп, оларға
талдау жүргізілді.
Жұмыстың практикалық маңыздылығы: мектеп математика мұғалімдері
үшін көмекші құрал ретінде пайдалануға болады

1 Теңдеулер жүйесін шешудің әдіс тәсілдері
1.1 Негізгі анықтамалар

айнымалыларын табуға бағытталған және осы айнымалылардың мәндері
әрбір теңдеуді де қанағаттандыратын бірнеше теңдеулер жиыны теңдеулер
жүйесін құрайды. Әр жұбы жүйенің шешімі деп аталады. Жүйені шешу деп
– оның барлық шешімін табуды айтамыз. Кейде шешімдер жүйесінің бос болуы
мүмкін. Бұл жағдайда теңдеулер жүйелерінің шешімі жоқ дейміз[1].
Ең болмаса бір теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын -тің барлық
мүмкін шешімін табуға арналған айнымалыларынан тұратын бірнеше
теңдеулер жүйесін жүйелер жиыны деп атаймыз. Әрбір осындай жауап жүйелер
жиынының шешімі деп аталады.
Теңдеулер жүйесін шешу процесі кейбір түрлендіру негізінде берілген
теңдеуді қарапайым түрге келтіру негізінде жүзеге асырылады. Егер жүйелерді
қандай да бір түрлендіру арқылы
(1)
мынадай жүйеге келтірсек

(2)
және сонымен қатар (1) жүйенің әрбір шешімі (2) жүйенің шешімі болса, онда
(2) жүйе (1) жүйенің салдары деп аталады. Теңдеулер жүйесінің салдары бір
ғана теңдеу болуы да мүмкін. Мысалы: 3x – 2y = 3 теңдеуі төмендегі жүйенің
салдары болып табылады.

Негізінде теңдеулер жүйесінің салдары бір немесе көп ретті теңдеулерден
тұратын жүйе бола алады. Төмендегі жүйе

жүйесінің салдары.
Егер екі теңдеулер жүйесінің көптеген шешімдері сәйкес болса, онда олар
өзара пара – пар. Тек бірінші теңдеу екінші теңдеудің салдары болғанда және
керісінше жағдайда ғана бұл екі жүйелердің өзара тең екені анық. Осыдан,
жекелеп алғанда, егер теңдеулер жүйесіне сол жүйенің салдары болатын тағы
бір теңдеу қоссақ, онда жаңа жүйе берілген теңдеуге пара – пар. Егер қандай
да бір теңдеулер жүйесін босатсақ, онда түзілген теңдеулер жүйесі (немесе
дара қалған теңдеу) берілген теңдеудің салдары болады[3].
Теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылатын екі теорема бар.
1-теорема. Егер теңдеуі теңдеуіне пара – пар (немесе оның
салдары болса), ал теңдеуі теңдеуіне тең болса (немесе оның
салдары болса), онда

жүйесі төмендегі жүйеге тең. (немесе оның салдары) болады

2 – теорема. Егер теңдеуі және теңдеуінің салдары
болса, онда төмендегі әрбір жүйе
және

(3)

жүйесінің салдары болып табылады, ал

жүйесі (3) жүйеге пара-пар.Жекелеп алғанда, (3) жүйенің салдары мына
жүйелер болады:

(4)

(5)

(6)
Егер және амалдарын бір уақытта нольге айналдыратын (х;у)
жұптары болмаса, онда теңдеуі теңдеуіне пара – пар. Онда (3)
жүйеге келесідей жүйелер пара – пар:

Оның салдары төмендегі жүйе болып табылады.

Бұдан шығатын қорытынды: Егер және амалдарын бір уақытта
нольге айналдыратын (х;у) жұптары болмаса, онда жүйе

(7)
(3) жүйенің салдары болып табылады.
Егер жүйені шешу барысында ол берілген теңдеудің салдары болатын жүйеге
түрлендірсек, онда жаңа жүйенің табылған шешімдері міндетті түрде тексеруге
жіберіледі (мысалы, табылған шешімді бастапқы жүйеге тексерсек). Келесіде
мынадай тұжырымдар маңызды болады:
1. (3) жүйесі (4) жүйеге пара –пар.
2. Егер = жүйесінің екі жағын да бір уақытта нөлге
айналдыратын (х;у) жұптары болмаса, онда (5) жүйе (3) жүйеге пара
–пар.
3. (3) жүйенің анықталу облысынан кез келген х,у үшін теңсіздігі
орындалса, онда (3) жүйе (6) жүйеге тең.
4. Егер (3) жүйенің екінші теңдеуінің екі жағын да бір мезгілде нөлге
айналдыратын (х;у) жұптары болмаса, онда (3) жүйе (7) жүйеге тең.
1 және 2 теоремалардан мынадай бір қорытынды шығады.
3 – теорема. Егер

теңдеулер жиыны теңдеуіне пара – пар болса (немесе оның салдары
болса), онда

теңдеулер жиыны (3) жүйесіне пара – пар (немесе оның салдары)[2].
Жекелей алғанда, жүйенің салдары

мына жүйелердің жиыны болып табылады:
...;

1 – мысал.
жүйесін шешейік.
(8)
Шешуі: (8) жүйесінің теңдеулерін көбейтіп, берілген теңдеудің салдары
болып табылатын жүйені алдық.

(9)
(9) жүйенің екінші теңдеуі қарапайым түрлендіру арқасында (9) жүйенің
екінші теңдеуінің салдары болып табылатын ху=8 теңдеуіне келеді.
Сонда 1-теорема бойынша

(10)
(9) жүйенің салдары болып табылады. (10) жүйенің бірінші теңдеуін
екіншісінен алып тастаймыз. Төмендегідей жүйені аламыз:

содан соң

(11)
(11) жүйе 2 – теорема бойынша (10) жүйенің салдары болып табылады. (11)
жүйенің теңдеулерін көбейтіп, (11) жүйенің салдары болып табылатын жүйені
аламыз:

(12)
(12) жүйенің екінші теңдеуінен , ал бірінші теңдеуден сәйкесінше
мәндерін аламыз. Демек, (12) жүйесінің шешімі мынадай: (4,2) және (-4, -2).
Тексеру. (12) жүйе (8) жүйенің салдары болғандықтан, онда жүйе
шешімдерін тексеріп шығу керек. Мұны (12) жүйенің шешімдерін (8) теңдеулер
жүйесіне қою арқылы тексеруге болады. Тексеру нәтижесінде (12) жүйенің екі
шешімі де (8) жүйеге қанағаттандыратынын көрсетеді.
Сонымен, (8) жүйенің шешімі: (4,2), (-4, -2).

2 – мысал.
жүйесін шешейік.
Шешуі: Бұл теңдеулерді қосу арқылы, жаңа теңдеу аламыз:
xy + xz – yz = -7
Бұл теңдеуді берілген жүйеге қосу арқылы, 2 – теоремаға негізделген
жаңа жүйені аламыз.

Бұл жүйенің екінші теңдеуін алғашқы екі теңдеу айырымымен, үшінші
теңдеуді – бірінші және үшінші теңдеу айырмашылығымен, ал төртіншісін –
бірінші және төртінші айырмашылығымен алмастырып, сонымен қатар бірінші
теңдеуді босатамыз. Нәтижесінде 1 тұжырымға негізделген және 2-теоремаға
пара – пар болатын жүйені аламыз.

Бұл үш теңдеуді қөбейту арқылы теңдеуін алып, оны алғашқы жүйеге
жазу арқылы өзара тең жүйелерді аламыз.

Ал бұл өз кезегінде 3-теорема бойынша төмендегі жүйелер жиынына пара-
пар:

Бұл жиынның алғашқы жүйесін шешейік. Жүйенің бірінші теңдеуін
екіншіге, үшіншіге және төртінші теңдеуге өз кезегімен бөліп шықсақ, x=-2,
y=-1,z=3 шешімін аламыз.
Екінші жүйеден x=2, y=1, z=-3 аламыз. Сонымен, берілген жүйеге пара-пар
болатын жүйе жиынының шешімі: (-2;-1;3), (2;1;-3).

1.2 Теңдеулер жүйесін шешудің негізгі әдістері

Негізгі 3 әдіске тоқталайық: 1) жүйені сызықтық түрлендіру (немесе
алгебралық қосу әдісі); 2) орын алмастыру әдісі; 3) айнымалыларды алмастыру
әдісі [2,3].
Жүйені сызықтық түрлендіру әдісі келесідей теоремаларға негізделген:
4 – теорема. Егер , онда
жүйесі
жүйесіне пара-пар.
Жекелей алғанда, егер онда

1-тұжырымдамаға негізделген, берілген жүйеге пара-пар болатын жүйені
аламыз.
Бұл теорема жүйедегі теңдеулер саны 2 –ден көп болғанда қолданылады.
Мысалы, 3 айнымалысы бар үш теңдеуге келесідей теорема қолданылады:
4` - теорема. Егер , онда
жүйесі
жүйесіне мәндес болады.
Орын алмастыру әдісі келесі теоремаға негізделген.
5 – теорема.

теңдеулер жүйесі

жүйесіне пара – пар.Сонымен, келесі жүйелер өзара тең болады:
және
Салдар. Егер x=F(y) теңдеуі (немесе y=Ф(х)) теңдеуіне пара-пар
болса, онда
немесе
жүйелері жүйесіне пара-пар.
Мысалы: Төмендегі теңдеулер жүйесіне

келесідей теңдеулер жүйесі пара-пар:

Үш айнымалысы бар үшінші ретті теңдеулер жүйесі үшін арнайы есептеу
төмендегіше жүргізіледі:
5` - теорема.

теңдеулер жүйесі келесідей жүйемен пара – пар:

Айнымалыларды алмастыру әдісі мынадай: Егер

онда

жүйесін жаңа айнымалыларының көмегімен мына түрде жазуға болады:

- соңғы жүйенің шешімі болсын.
Онда есептің шешуі келесідей жүйенің жиынына алып келеді:
...;
Бұл жиынның шешімі сонымен қатар жүйенің де шешімі болады.

Осы әдістерді пайдалана отырып, бірнеше мысалдар қарастырайық.
3 – мысал.
жүйесін шешейік.
Шешуі: Бірінші теңдеуден екіншісін азайтайық. Сонда 4-теорема бойынша
жүйе берілген жүйемен пара-пар.

Алынған жүйенің 1-теңдеуін қарастырайық.
, ары қарай .
Нәтижесінде 1- теорема бойынша берілген жүйеге пара – пар келетін
келесідей жүйеге өтеміз.

3 – теорема бойынша бұл келесі жүйелер жиынымен пара-пар.

Әрбір жүйені орын ауыстыру әдісімен шешейік. Алғашқы жүйе мынадай түрге
түрленеді:

Бұдан

Екінші жүйе жиыны келесідей түрге түрленеді:

теңдеуінен , және теңдеуінен , екенін
табамыз.Нәтижесінде біз мынадай жауап аламыз: (0;0), (17;17), (-3;12), (12;-
3) [5].
4 – мысал. Мынадай теңдеулер жүйелерін шешейік:

Шешуі: Орын алмастыру әдісін пайдалансақ

және ары қарай

Пайда болған жүйе екі айнымалысы бар екі теңдеуден тұратын жүйені
құрайды. Осы пайда болған жүйені орын алмастыру әдісімен шешейік:

яғни

Соңғы теңдеуден теңдеуінен шығады, ал
теңдеуінен жауабын аламыз.
Сонымен мынадай шешім алдық: (3;-2;1), (-1;0;3).
5 – мысал. Мынадай теңдеулер жүйелерін шешейік:

Шешуі: Бірінші теңдеуді бірінші екі теңдеудің айырымы түрінде, ал
екіншісінің орнына екінші теңдеу мен үшінші теңдеулердің айырмасын,
үшіншісін сол қалпында өрнектейік [5].

яғни жүйені

4-теорема бойынша бұл берілген жүйеге тең. Ары қарай

3-теорема бойынша жоғарыдағы жүйеге келесі теңдеулер жүйелері тең:

Орын ауыстыру әдісімен жүйелер жиынын шешсек:
бірінші жүйеден: (1;1;1), (-1;-1;-1);
екінші жүйеден: (;0; ), (-;0;- );
үшіншісінен: (;;0), (-;- ;0);
төртіншісінен: (0;;), (0;-;- ).
Тексеру. Жүйені шешу барысында барлық түрлендірулер дұрыс болғандықтан
табылған сегіз шешім жүйеге қанағаттандырады.

1.3 Біртекті теңдеулер жүйесі

түріндегі екі теңдеуден тұратын, екі айнымалысы бар теңдеулер жүйесі
біртекті деп аталады (екі теңдеудің де сол жағы екі айнымалыға байланысты
біртекті n дәрежелі көпмүше). Біртекті жүйелер сызықты түрлендіру мен жаңа
айнымалы енгізу әдістерінің комбинациясы арқылы шешіледі [4].
6-мысал. Жүйенің шешімін табыңыз:

Шешуі: Жүйенің бірінші теңдеуі – біртекті ( теңдеуі – біртекті деп
аталады, мұндағы - біртекті көпмүше). Егер y=0 деп алсақ,
теңдеуінен x=0 аламыз. Бірақ, (0;0) жұбы екінші теңдеуді
қанағаттандырмайды. Сондықтан, болады, ондай болса біртекті
теңдеудің екі жағын да - ге бөлуге болады.
және шығады. Бұдан екені белгілі, яғни .
Бұдан және жүйелеріне келеміз.
Бірінші жүйенің шешімі жоқ, ал екіншісінің 2 шешімі бар: (2;3), (-2;-3).
Осылар берілген жүйенің шешімі болады.
7-мысал: Жүйені шешеміз:

Шешуі. Ең алдымен (0;0) жұбының жүйені ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.