Дифференциалдық және интегралдық есептеудің элементтерін оқыту әдістемесі

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 21 бет
Таңдаулыға:

Ф.7.04-01

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Жаратылыстану ғылымдары және педагогикасы жоғары мектебі

Математика кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы: Дифференциалдық және интегралдық есептеудің элементтерін оқыту әдістемесі
Пәні_______________________________ ______________________________
Мамандығы: 5В010900- Математика
Орындаған: Әуез Самал Дарханқызы Группа: ЕП-17-1тк
Жетекші: ф-м.ғ.к.доцент Абжапбаров А.

Жұмыс _______________ бағасына қорғалды
_____ ________ 2020ж
Норма бақылау:
_________________

Комиссия
_________________

_________________

Шымкент 2020 ж.

Ф.7.04-03

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Математика кафедрасы

Бекітемін

Каф. меңгерушісі

___________ Аширбаев Н.К.

________________2020ж.

№____Тапсырма

Комплекс талдау пәні бойынша курстық жұмыс
Студент Әуез Самал Дарханқызы Топ ЕП-17-1тк
Жұмыс тақырыбы ___________________________________ _______________
___________________________________ _______________________________
Берілген мәліметтер:________________________ ________________________
___________________________________ _______________________________

№
Түсіндірме жазбасының мазмұны
(курстық жұмыс)
Беттер саны
Орындалу мерзімі
1
Кіріспе
~ 2

2
Негізгі бөлім
~10-15

3
Қорытынды
~ 1

4
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
~ 2

5
Жалпы
15-20

Ұсынылған әдебиеттер:
1___________________________________ _____________________________
2___________________________________ _____________________________
3___________________________________ _____________________________
Тапсырма берілген күні ___________________________________ __________
Жұмысты қорғау күні ___________________________________ ____
Жұмыс жетекшісі ___________________________________ ____
Тапсырманы орындауға қабылдаған ___________________________________ ___________________

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
1. Дифференциалдық есептеулерді оқытудың теориялық негіздері ... ... ...
1.1. Дифференциалдық есептеудің математика ғылымындағы орны ... ...
1.2. Дифференциалдық есептеулерді арнайы оқытудың педагогикалық және психологиялық мазмұны ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
2. Дифференциалдық(туынды) есептеулер. Туынды табу ережелері ... ... ...
2.1.Дифференциалдық есептеулердің геометриялық және механикалық мағынасы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.2. Функцияның дифференциалы.Лопиталь-Бернулли ережесі ... ... ... ... .
3. Мектепте интеграл тақырыбын тереңдетіп оқытудың әдістемесі ... ... ...
3.1 Интегралдың шығу тарихы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
3.2 Алғашқы функция мен интегралды оқыту әдiстемесi ... ... ... ... ... ... ... .
4. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл.Қисықсызықты трапецияның ауданы ... ... ..
4.1. Анықталған интеграл. Ньютон-Лейбниц формуласы ... ... ... ... ... ... ... .
4.2.Рационал, иррационал және тригонометриялық функцияларды интегралдау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
4.3.Алынбайтын интегралдар жөнінде түсінік ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
4.4. Геометриялық және физикалық есептерде интегралды қолдану ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Кіріспе
Қазақстан Респубикасының білім беру реформаларының негізгі мақсаты жалпы білім-беру жүйесін әлеуметтік-экономикалық ортаға барынша бейімдеу. Ал, білім беру жүйесін барынша жетілдіру осы мақсатқа жасалар алғашқы қадам.
Қазіргі қоғамда барлық мамандық иелерінен белгілі бір дәрежедегі математикалық сауаттылық талап етіледі. Бұл - математика ғылымының қоғамдағы айқын орнының, математика пәнінің дәрежесінің, математика білімінің қаншалықты құнды екендігінің дәлелі. Яғни, мектеп бағдарламасы мен ЖОО - ында берілген барлық математика тақырыптарының түрлі ғылымдарды игеруі мен дамуына үлесі зор.
Қазіргі таңда мектеп бағдарламаларында дифференциал (туынды) және интеграл есептеулер жайлы көптеген мәліметтер қарастырылған. Яғни, туынды дегеніміз не, алғашқы функцияны қалай есептейміз, теңдеудің шешу жолдары және оны түрлі бағыттағы есептерді шығаруда қалай қолданамыз және тағы басқа сұрақтарды қарастырады.
Дифференциалдық және интегралдық есептеулер оқушылар мен студенттердің негізгі дайындығында, жалпы алғанда, оқушы мен студенттің ғылыми дүниетанымы мен ой-өрісін дамытуда, математикалық мәдениеттің негізін қалауда өте маңызды қызмет атқарады.
Курстық жұмыстың тақырыбының өзектілігі :
- дифференциалдық және интегралдық есептеулер оқушылар мен студенттердің математикалық біліміне зор үлесін тигізеді.
- дифференциалдық және интегралдық есептеулер мектептің математика пәнін оқыту әдістемесіне арналған зерттеулердің кейбір кемшіліктерін толықтырады.
Курстық жұмыстың жаңалығы:
Дифференциалдық және интегралдық есептеулер теориясының мазмұны абстрактілі, жалпы айтқанда теориялық және терең ойлауды, шығамашылық қабілеттің жоғары деңгейде болуын талап етеді. Есептеулердің қабілетті жетілдіруге үлкен ықпалы бар екені де даусыз. Жетілдіру арқылы оқушылардың ой-өрісі мен қарым-қабілеттерін, шығармашылық тұстарын дамытуға жол ашылады.
Жұмыстың мақсаты: Дифференциалдық және интегралдық есептерді шығарудың теоремалары мен анықтамаларын зерттеу, негізгі ережелері мен әдістемесін жинақтау, тақырып аясында зерделеу жұмыстарын жүргізу.
Зерттеудің міндеттері:
-дифференциалдық (туынды) және интегралдық есептеулер теориясыны мазмұны теориялық ойлауды міндеттейді;
-шығармашылық қабілетті шыңдауды және ой өрісін жетілдіруді міндеттейді.
Зерттеу нысаны: Дифференциалдық және интегралдық есептеулерді оқыту жүйесі
Зерттеу әдістері: Тақырыпқа байланысты барлық мәліметтер мен тақырыптарды жинақтау, анықтамалар мен ережелердің мәнін ашып түсіндіру.
Курстық жұмыстың практикалық құндылығы: Дифференциалдық және интегралдық теңдеулер мен олардың әдістемесін жетік меңгеру, бізге өзіміз өмір сүретін ғаламды толық тану үшін жол ашады, нақтырақ айтқанда физика және математика ғылымын кеңінен тануға және ғылыми таным мен түсініктің қалануына жол көрсетеді.

1.Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың теориялық негіздері
1.1.Дифференциалдық теңдеудің математика ғылымындағы орны
Дифференциалдық теңдеу математика ғылымында айрықша ұғым болып есептелінеді. Дифференциалдық теңдеу дегеніміз теңдеудің туындылары берілген алғы шарттарды қанағаттандыратын теңдеу болып табылады. Егер нақты құбылысты немесе белгілі бір үдерісті зерттеу кезеңінде алынған дифференциалдық есептеулер дифференциалдық модель деп атайды.
Дифференциалдық модель - өзімізді қоршаған тіршілік әлемін түсінуге және үйренуге құрылатын математикалық модельдердің дербес(жеке) жағдайы.Дифференциалдық есептеулермен сипатталатын дифференциалдық модельдердің ерекшелігінің бір түрі - теңдеулерде кездесетін белгісіз функциялар тек қана бір айнымалыға тәуелді болып табылады.
Жалпы дифференциалдық модельдерді құру үдерісінде зерттеліп және қолданылып жатқан есептеулердің табиғатқа қатысты ғылыми тұжырымдары мен заңдарын білу аса зор маңызға ие. Мысалға алар болсақ, физика ғылымында(механикада) - Ньютон заңдары, химиялық реакция жылдамдығы теориясында - Салмақтың әсер ету заңы, электрлік тізбектікте - Кирхгоф заңдары және тағы басқалары.
Алайда іс жүзіне келгенде дифференциалдық есептеулерді құруға мүмкіндік тудыратын, бірақ белгісіз заңдар да кездеседі, сол себепті өлшемдердің аз ғана өзгеруінде үдерістің жүруіне байланысты түрлі гипотезаларға(жорамалдар) сүйенуге тура келеді.
Кейбір есептеулерде дифференциалдық теңдеулерді тұйық қалпында(формада) шығаруға болады. Бұл дегеніміз элементар функциялар мен қарапайым теңдеулердің шешімін аналитикалық формула түрінде шешу.
Дифференциалдық есептеулерді шешу үшін қандайда бір шексіз қатарларды пайдалануға болады, бірақ бұл есептеу түрі тұйық формамен салыстырғанда көбірек теңдеулерді шешуге тура келтіреді.
Көрсетілген мысалдарда айтылғандай, дифференциалдық есептеулердің өзін шығармай ақ, теңдеу шешімдерінің қасиеттері туралы мәліметтер алуға мүмкіндік тудыратын әдіс-тәсілдердің бар екендігі және оның керек екендігі айқын.
Дифференциалдық есептеулер математика ғылымында айырықша орынға ие. Дифференциалдық есептеулердің сапалық теориясы 19-ғасырдың соңынан бастап қарқынды дамып келеді. Бұл салаға зор еңбегі сіңген француз математигі - Жюль Анри Пуанкаре және орыс математигі - Александр Михайлович Ляпуновтың зерттеулері дифференциалдық теңдеулердің дамуына үлкен пайдасын тигізген.

1.2. Дифференциалдық теңдеулерді арнайы оқытудың
педагогикалық және психологиялық мазмұны
Математика пәнін оқытудың басты мақсатының бірі - ол оқушыларды және студенттерді ғылыми дүниетануға тәрбиелеу болып саналады. Ал бұл мақсатты орындау барысында дифференциалдық теңдеулер тақырыбы пайдалы және тиімді болмақ.
Қазіргі таңда, барлығына белгілі жағдай математика ғылымын игерудің кез-келген деңгейінде, мектептерде, колледждерде,жоғары оқу орындарында және тағы басқа оқу орындарында әрқашан түрлі бағыттағы оқытудың әдістемелерімен байланыстырады. Бұл акпект, яғни құбылыс метематика ғылымының тарихи қалыптасу үдерісінде оқушы немесе студентің санасында әрдайым нақты және кеңінен түсінік қалыптастырады. Математика пәнін қоршаған ортамен, өмірмен, қоғамдағы болып жатқан іс-әрекеттермен байланыстырып, практикадағы математика ғылымының орны мен қазіргі кездегі ғылыми білімнің математизациялануын талқылап отырады.
Жаратылыстану - математика ғылымыдарының әдістемесінің дифференциалдық есептеулермен байланысын және дифференциалдық теңдеулердің әдістемелік бағытын көруге мүмкіндік ашатын дифференциалдық теңдеулер теориясы бағытының тарихи даму жағдайын зерттейтін боламыз. Бұл бағыт бойынша Қазақстан, Ресей және тағы басқа ТМД мемлекеттерінің ғалымдары өз зерттеулерімен зор пайдасын тигізген.
Математика ғылымын меңгертудің түрлі мәселерін математик-ғалымдары мен әдіскерлер қарастырған. Бұл теориялық негіздемелер орыс және кеңес математигі- Болтянский Владимир Григорьевичтің, кеңес математигі -Елена Сергеевна Вентцельтің, кеңес және орыс математигі, педагог- Башмаков Марк Ивановичтің, Баврин Иван Ивановичтің және тағы басқа көптеген ғалымдардың ғылыми еңбектерінде жазылған.
Оқыту үдерісінде қолданбалы бағыттарды пайдалану математика ғылымының негізін білуге ғана емес, ғылыми таным тәсілін үйренуге де әсер береді. Дифференциалдық есептеулердің қолданбалы бағыты оқушының нақты үдерісті матемтикалық модельмен байланыстыру практикасын меңгереді.
Математикалық модельдеу дегеніміз - нақты берілген есептерді математикалық тілге аудару.
Математикалық модельдеу тәсілдерінің қарапайым үдерістерінің арқасында оңай түсінуге және үдерістің сандық және сапалық қасиеттерін белгілеуге мүмкіндік туғызады.
Математикалық модельдеу таным іс-әрекетінің ажырамас бір бөлігі. Математикалық модельдеудің психологиялық құбылысы - тұлға ойында сыртқы және ішкі әлемнің байланысымен ғана есептелмейді. Соңғы кезеңдерде психикалық іс-тәжірибе модельдеу арқылы жүзеге асырылу үстінде. Модельдеу адам миының бір құбылысы ретінде түрліше ұғымдар қарастырып отырады. Көптеген ғалымдар модельдеуді адамдардың қоршаған ортамен байланысын, қарым-қатынасын психикалық іс-тәжірибенің арқасы деп қарастырды.
Сонымен,дифференциалдық есептеулер білім алушыға қоршаған орта туралы түсінік қалыптастыруға көмек көрсететін дүниетанымық және әдістемелік құбылыс. Белгілі бір мөлшерде бұл тақырыпқа тарихи және математикалық бағыт та ықпал жасайды.

2. Дифференциалдық (туынды) теңдеулер. Туынды табу ережелері

Туынды анықтамасы. функциясы І аралығында анықталсын. Егер x0І үшін ақырлы шегі бар болса, онда ол шекті функциясының x0 нүктесіндегі туындысы деп, бейнесімен белгіленеді.
Туындыны табу амалын функцияны дифференциалдау деп атаймыз. Анықтама бойынша
.
Өзгеше түсіндірер болсақ, қарапайым тілде анықтама осылай оқылады: Егер функцияның өсімшесінің өзінің пайда болуына себепші болған тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының соңғы өсімше нольге ұмтылғанда ақырлы шегі бар болса, онда функцияны дифференциалданатын деп, сол шекті функцияның туындысы деп атайды.
Дәл осы сияқты, функциясының х0 нүктесіндегі сәйкес сол және оң жақты туындыларының анықтамасына келеміз:

Сондықтан, функциясында х0 нүктесінің туындысы бар болуы үшін, функцияның сол нүктеде оң және сол жақты туындылары бар болады және ол функциялар бір-біріне тең болу шарттары қажетті және жеткілікті.
Дифференциалдау ережелері. және функциялары дифференциалданатын(туындалатын), ал с түрақты сан болса, төменде көрсетілген дифференциалдау ережелері орындалады:

1. 2.,
3. , 4. ,
5. .

2.1.Дифференциалдық теңдеулердің геометриялық және механикалық мағынасы
2.2. Лопиталь-Бернулли ережесі
функциясының х0 нүктесiндегi туындысының бар болуы, оның графигiнiң нүктесiнде жанаманың бар болуымен бара бар. Бұл жағдайда, жанаманың бұрыштық коэффициентi-қа тең. Туындының геометриялық мағынасы осы болады. функциясы графигiне нүктесiнде жүргiзiлген жанаманың теңдеуi

болады. Ал, нүктесiнен жанамаға перпендикуляр болып өтетiн түзудi функциясы графигiне, осы нүктеде жүргiзiлген нормаль теңдеуі деп атайды, оның теңдеуi болады.
Егер материалдық нүктенiң қозғалыс заңы функциясы арқылы берiлсе, онда оның уақыт бойынша алынған туындысы жылдамдықты, ал екiншi реттi туындысы үдеудi анықтайды. Бұл бiрiншi реттi және екiншi реттi туындының механикалық мағынасы болып табылады.
Мысал. қисығына абсциссасы болатын нүктеде жүргiзiлген жанама және нормаль теңдеулерiн жазайық.
Шешуi: Нүктенiң ординатасын табамыз
.
Келесі кезекте руындысын анықаймыз:
; Сонда жанаманың бұрыштық коэффициентi -ге тең болады.
Сондықтан, жанама теңдеуi , нормаль теңдеуi тең болады.
Дифференциал. функциясының х0 нүктесiндегi өсiмшесiн түрде өрнектеу мүмкiн болса, онда функцияны сол нүктеде дифференциалданады дейдi. Бұл өсiмшенiң ке салыстырғандағы сызықтық бөлiгiн, яғни шамасын функциясының дифференциалы деп атайды да, оны dy символымен белгiлейдi: . функциясының х0 нүктесiнде туындысы бар болып және теңдiгiнiң орындалуы, функцияның берiлген нүктеде дифференциалданатындығының қажеттi және жеткiлiктi шарты болады.
Сонымен, осы функция дифференциалы осы түрде өрнетеледі. Функциядағы dy дифференциалы бірінші ретті дифференциал, болмаса бірінші дифференциал деп аталады. Бірінші ретті дифференциалдан алынған дифференциалды функциясының х0 нүктесіндегі екінші ретті дифференциалы(туындысы) деп, айтады, оны символымен белгiлейдi. Жалпы жағдайда, функцияның n-шi реттi дифференциалы деп, оның (n1) реттi дифференциалынан алынған дифференциалды айтады, оны cимволымен белгiлейдi, бұл
болады.
Мысал. берілген функцияның бірінші және екінші ретті дифференциалдарын табу қажет.
Шешуi:

Осындай нәтиже алуға болады.

Лопиталь-Бернулли ережесi. Лопиталь-Бернулли ережесi деп, туынды(дифференциал) көмегiмен және түрiндегi анықталмағандықты шешу әдісін айтамыз.
Теорема. Егер және функциялары мынадай шарттарды қанағаттандырса: 1) да шексiз аз немесе шексiз үлкен; 2) нүктесiнiң U төңiрегiнде дифференциалданатын; 3) , ; 4) егер бар болса, онда шегi бар болады және

теңдiгi орындалады.
болған кезде де, осы ережені пайдаланып есептерді орындауға болады. Тіпті, кейде Лопиталь ережесін бірнеше қайтара пайдалауға тура келеді.

Лопиталь ережесiн қайталап қолдану кезiнде, алдынғы қолдануда пайда болған туындылардың қатынасын әр түрлi жолдармен ықшамдап, ортақ көбейткiштерге қысқартып, бұрыннан белгiлi шектердi пайдаланған жөн (бiрақ, нәтижесiнде пайда болған өрнектi немесе түрiндегi анықталмағандықты беретiндей түрде жазуды ұмытпау керек.
түрiндегi анықталмағандықты ашу үшiн, оларды түрлендiрiп немесе түрiндегi анықталмағандыққа келтiрiп, жоғарыдағы айтылған ереженi қолданады.
түрiндегi анықталмағандықтарды , түрлендiруi арқылы () түрiндегi ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.