Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 19 бет
Таңдаулыға:

Ф.7.04-01

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Жаратылыстану ғылымдары және педагогикасы жоғары мектебі

Математика кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС
Тақырыбы: Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері
Пәні Математика
Мамандығы: Математика
Орындаған : Сенгирбай Данияр Группа ЕП-17-1кт

Жетекші : Мадияров Нұрлыбай Көкешұлы

Жұмыс _______________ бағасына қорғалды
_____ ________ 2020ж
Норма бақылау:
_________________

Комиссия
_________________

_________________

Шымкент 2020 ж.

Ф.7.04-03

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М.ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

Математика кафедрасы

Бекітемін

Каф. меңгерушісі

___________ Аширбаев Н.К.

________________2020ж.

№____Тапсырма

___________________________________ _______________________________
пәні бойынша курстық жұмыс
Студент____________________________ _____Топ______________________
Жұмыс тақырыбы ___________________________________ _______________
___________________________________ _______________________________
Берілген мәліметтер:________________________ ________________________
___________________________________ _______________________________

№
Түсіндірме жазбасының мазмұны
(курстық жұмыс)
Беттер саны
Орындалу мерзімі
1
Кіріспе
~ 2

2
Негізгі бөлім
~10-15

3
Қорытыды
~ 1

4
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі
~ 2

5
Жалпы
15-20

Ұсынылған әдебиеттер:
1___________________________________ _____________________________
2___________________________________ _____________________________
3___________________________________ _____________________________
Тапсырма берілген күні ___________________________________ __________
Жұмысты қорғау күні ___________________________________ ____
Жұмыс жетекшісі ___________________________________ ____
Тапсырманы орындауға қабылдаған ___________________________________ ___________________

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .4
1. Теңсіздіктерді дәлелдеу тақырып бойыша оқытудағы жаңа технологиялар ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1.2 Теңсіздіктерді дәлелдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
2. Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 13
2.1 Штурм әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...14
2.2 Квадраттық, гармониялық, арифметикалық және геометриялық, орталардың ара қатынасын қолдану әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... 15
2.3 Коши-Буняковский әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...16
2.4 Жаңа айнымалы енгізу әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .17
2.5 Математикалық индукция тәсілін қолдану ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
2.6 Интегралды мен туынды қолданып дәлелдеу тәсілі ... ... ... ... ... ... ... . ..19
3.Олимпиадада теңсіздіктерді шешу және дәлелдеу әдістері ... ... ... ... ... ..20
Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 21
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..22

Кіріспе
Қазіргі уақытта ғылым мен техниканың даму сатысы әрбір адамнан сапалы және терең білім мен іскерлікті, жоғары ойлауды, шығармашылық жұмысты талап етеді. Мұғалімнің міндеті-оқушылардың математикалық білімін жоғары деңгейде тереңдету және тереңдету.
Педагогикалық шеберліктің негізгі көрсеткіштерінің бірі әдістеме саласындағы ғылыми жаңалықтар мен озық тәжірибені табысты игеру болып табылады.
Оқушылардың білім беру және тәрбиелеу деңгейі шешуші деңгейде мұғалімге байланысты, яғни мұғалімді іздеу қажет. Дарынды балалардың қабілеттерін ашу жолдары көп. Олардың ішінде олимпиадаларда ерекше рөл атқарады. Оқушылардың пәнге деген қызығушылығын арттыруға, математикалық ой-өрісінің дамуына, олардың шығармашылық қабілеттеріне ықпал ететін қосымша тақырыптар үлкен әсер етеді. Атап айтқанда,"математикалық индукция әдісі", "Диофант теңдеулері", "параметрлік теңдеулер мен теңсіздіктер", "Комбинаторика", "тригонометриялық өрнектерді түрлендіру", "теңсіздікті дәлелдеу" және т.б. тақырыптарды атауға болады. Мұндай тақырыптар математикалық олимпиадаларға өз үлесін қосады.
Дарындылық оқушының өз бейімділігі, шығармашылықпен жұмыс істеу арқылы қалыптасатын қасиет. Алдыңғы елдер қатарынан көрінуіміз үшін дарынды балалардың қабілетін ашуымыз керек. Мектеп қабырғасынан бастап дарын иелерінің қабілеттерін ашу - мұгалімнің бірден бір міндеті, сондықтан да ұстаз талантты тауып, танып, таныта білуі керек.
Теңсіздіктер қазіргі математиканың көптеген бөлімдерінде іргелі рөл атқарады, онсыз физика да, математикалық статика да, экономика да бола алмайды. Алайда әлі күнге дейін әзірленген жалпы "теңсіздіктер теориясы"жоқ.
Мектеп математика курсы бізді екі бағыт бойынша теңсіздіктермен таныстырады:
1) "не көп?"бірнеше нақты нақты нақты сандарға (жиі екіге) қатысты
2) "теңсіздікті шешу" (сызықтық, квадрат, бөлшек ұтымды, көрсеткіштік, логарифмдік)...)
Математика пәнінен мектеп және қалалық олимпиадаларда мен айнымалылармен теңсіздіктің шынайылығын анықтау міндеттерімен кездестім. Мен осы тапсырманы орындай алмадым. Дәл сол кезде мен: "мұндай тапсырмаларды қандай әдістермен шешуге болады?деген ой туындады . Қарастырғалы отырған тақырып: Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері. Теңсіздіктерді дәлелдеу әдістеріне толықтай тоқталып осы тақырып бойынша шығарылған олимпиядалық қиын есептерді талқыламақпым.

1. Алгебрада теңсіздіктерді дәлелдеу әдістері
1. Теңсіздіктерді дәлелдеу тақырып бойыша оқытудағы жаңа технологиялар
Бүгінгі таңда Қазақстан Республикасының орта мектептерінің алдына қойылған міндеттердің бірі өскелең ұрпақты өркениетті елдің тәрбиесіне тәрбиелеу болып табылады. Бұл мақсат әрбір мектептен қазіргі заманғы талаптарға сәйкес Математиканы оқыту әдістемесін жетілдіруді талап етеді. Талаптарды орындау университет қабырғасында кәсіби біліктілікке қаншалықты дайын және болашақ мамандыққа дайын болуына байланысты. Осылайша, талап деңгейінен шығу тәсілдерінің бірі-студенттердің сабаққа деген қызығушылығын ояту,оларды университет қабырғасында зерттеу жұмыстарына үйрету. Ол үшін жоғары оқу орындарында оқытудың жаңа технологияларының бірі - интерактивті оқытуды ұйымдастыру қажет. Интерактивті оқытудың ерекшелігі-сабақтың оқу мақсаты студенттердің қажеттіліктері мен қызығушылықтарына сәйкес келеді және олардың қызығушылығын тудыруы үшін ұйымдастырылады.
Жоғары оқу орындарында "математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі" курсын оқу кезінде білім берудің негізгі тұлғасы оқытушы және оқулық емес, студент және оның пәнге деген қатынасы, оқытушы үшін - бұл әрбір студент проблеманы түсінуде өз құндылығына ие.
Осыған байланысты Абай атындағы Қазақ ұлттық педагогикалық университетінде "математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі" курсын оқу барысында "теңсіздікті аргументациялау"тақырыбын зерделеу маңызды мәселелердің бірі болып табылады. Сондықтан оқытудың жаңа технологияларын пайдалана отырып, біз осы тақырыпты студенттерді зерттеуге тапсырма ретінде тапсырдық. Осы тақырыпты оқыту әдістерін талдау үшін тапсырма ретінде тапсыру кезінде студенттер зерттеу жұмысын жүргізу барысында оқушылар үшін тақырыпты зерделеудегі теңдікті дәлелдеудің негізгі әдістері мынадай төрт сұраққа жататынын анықтады:

+ анықтамаға сүйене теңсіздікті дәлелдеу,
+ синтетикалық тәсіл арқылы теңсіздікті дәлелдеу,
+ қарсы жору арқылы теңсіздікті дәлелдеу,
+ математикалық индукция әдісі арқылы дәлелдеу.
Анықтау бойынша теңсіздікті дәлелдеудің синтетикалық, қарсы, математикалық индукция әдісін қолдану сияқты түрлері бар. Егер теңсіздіктің дәлелдемесінде айнымалылардың мәндерінің жиынтығы көрсетілмесе, онда айнымалы кез келген нақты мәнді қабылдайтынын түсіну керек. Студенттерге тақырыпты оқытудың бірінші әдіс анықтамасына сүйене теңсіздікті дәлелдеу үшін анықтама бойынша қарасақ, ab болу үшін онда, a-b0 болуы керектігін біле, және осы тәсілмен дәлелдеу үшін x,y,...,t айнымалыларының берілген мәндер жиыны fx,y,...,tgx,y,...,t болуы қажеттігін екенің анықтап,fx,y,...,t-gx,y,...,t айырмасының x,y,...,t айнымалыларының берілген мәндер жиынында оң екендігін дәлелдеулері керектігіне тоқталып. Бұған аналогиялық түрде fg, f=g, f=g теңсіздіктері де дәлелденетініне көз жеткіземіз. Аталған әдіске төмендегідей мысалдар келтіреміз:
1 Мысалы. a=0, b=0 болса a+b2=ab болатындығының дәлелдеу.
Дәлелдеуі. a+b2-ab айырмасын құрамыз да, таңбасынларын анықтаймыз. a+b-2ab2=a-2ab+b2=a-b22 болса, a мен b теріс емес мәндерінде бұл өрнек әрқашанда оң болады. a+b2-ab оң, яғни a+b2=ab (Коши теңсіздігі).
2 Мысалы . ab0 болғанда, ab+ba=2 дәлелденуі.
Дәлелдеуі. ab+ba-2=a2+b2-2abab=a-b2ab, a⋅b0 болса , a-b22b=0 болады да, ал a=b ab+ba=2 орындалады .
3 Мысал. a2+4b2+3c2+142a+12b+6c теңсіздігінің дәлелденуі.
Дәлелдеуі. a2+4b2+3c2+14-2a+12b+6c0
a2+4b2+3c2+14-2a-12b-6c=a2-2a+1+4b2 -12b+9++3c2-6c+3+1=a-12+2b-32+3c-12 +10
a-12+2b-32+3c-12+10 бұл өрнекте a, b, c кез келген мәні үшін орындалады .
Осы сияқты студенттер екінші синтетикалық тәсіл арқылы теңсіздікті дәлелдеудің мәнін теңсіздіктерді түрлендіру үшін нәтижесінде оларды тірек теңсіздіктеріне келтіру керек деп түсіндіріп, тірек теңсіздіктері:
1) a2=0; 2) a+b2=ab, a=0, b=0; 3) ab+ba=0, ab0;
4) ax2+bx+c0, a0 және b2-4ac0 бола алатындығына тоқталады. Оған төмендегі мысалдарды келтіреміз:
1 Мысал. a=0, b=0, c=0, d=0 болса, a+b+c+d4=4abcd дәлелденуі.

Дәлелдеуі. Тірек теңсіздігі ретінде Коши теңсіздігін аламыз: a+b2+c+d24=a+b2⋅c+d2. a+b2=ab және c+d2=cd болғандықтан a+b2⋅c+d2=ab⋅cd=4abcd.
a+b2+c+d22=a+b+c+d4;a+b+c+d4=4abcd , ал a=b, c=d болғанда теңдік орындалады .
2 Мысал. a0, b0, c0 болса, a+b+c1a+1b+1c=9 дәлелденуі.
Дәлелдеуі. Тірек теңсіздігіне ab+ba=2, ac+ca=2, bc+cb=2 бола алады.
a=b, a=c, b=c теңдік орындалады. Тірек теңсіздіктерін қосатын болсақ: ab+ba+ac+ca+bc+cb=6 немесе b+ca+a+cb+a+bc=6 теңсіздіктің екі жағына бірдей 3-ті қосатын болсақ: 1+b+ca+1+a+cb+1+a+bc=9
Ортақ бөлімге келтірсек:
a+b+cb+a+b+ca+a+b+cc=9
Олай болса a+b+c1b+1a+1c=9 екендігі дәлелденеді.
Қарсы жору арқылы теңсіздікті дәлелдеу тәсілін зерттеу үшін ізденіп, келтірген мысалдарына тоқталайық:
1 Мысал. a=b, b=0, c=0, d=0 болса, a+cb+d=ab+cd дәлелденуі.
Дәлелдеуі. Қарсы жорімыз, яғни a+cb+dab+cd деп аламыз. Теңсіздіктің екі жағы да оң болса, квадраттаймыз да: a+cb+dab+2abcd+cd
Онда , ab+cb+ad+cd-ab-cd2abcd. Осыдан алынатыны белгілі:
bc+ad2abcd
bc+ad2abcd теңсіздігі Коши теңсіздігіне қарсы болғандықтан да, дұрыс емес екен, олай болса да, a+cb+d=ab+cd.
Теңсіздіктерді осы сияқты дәлелдеу үшін де a1, a2,...,an, n - теріс сан емес сандар берілсе ла, онда төмендегідей шамаларды енгіземіз де. Оларға:
Hn=n1a1+1a2+...+1an - гармониялық орта деп ,Gn=a1⋅a2⋅...⋅an - геометриялық орта деп, An=а1+а2+...+аnn - арифметикалық орта деп,Qn=a12+a22+...+an2n - квадраттық орта деп аламыз.
Осы орталар арасында келесі байланыстар болады: Hn=Gn=An=Qn да қолданылады .
Математикалық индукция әдісін қолданып, теңсіздікті дәлелдеуге төмендегідей мысалдар келтірдім.
1 Мысалы. n∈N, n=3 болса, 2n2n+1 дәлелденуі астыңда.
Дәлелдеуі. төменде
1) n=3. 232⋅3+1⇒87 дұрыс екен;
2) n=k2k2k+1 дұрыс деп санаймыз да ;
3)n=k+12k+12k+1+1 дұрыстығын дәлелдейік, яғни 2k⋅22k+2+1⇒2k+12k+32k+1=2⋅2k22k+1 =4k+2=2k+3+2k-1
Олай болса , k-ның кез келген мәнінде 2k+12k+3+2k-1, 2k-10. Осылай 2k+12k+3 теңсіздігі дәлелденді деп есептейміз .

1.2 Теңсіздіктерді дәлелдеу
Тепе-теңдікті зерттеу, есептеулерді жақындату,иррационалдық сандардың теориясы, сандардың қатары және т.б. теңсіздіктер қасиеттеріне сүйенеді. Математикалық талдау курсында жоғары мектепте функциялардың ең жоғарғы және минимумдары, яғни экстрималдық есептерді шешудегі теңсіздіктер кеңінен қолданылады.
Тек математикада ғана емес, әртүрлі жаратылыстану ғылымдарында зерттелетін табиғаттың үздіксіз процестері халық шаруашылығында теңсіздіктің көмегімен шешіледі. Теңсіздіктер оқушыларды нақты және дұрыс ойлауға, шамаларды салыстыруға үйретеді.
Әр түрлі теңсіздіктер ерте жаста белгілі болды.Эвклит пен Архимед шығармаларында көптеген теңсіздіктер келтірілген.Қазіргі уақытта теңсіздіктің белгісі XVIII ғасырда ағылшын ғалымы Томас Гариатпен латын тілінде жазылған "аналитикалық өнер жұмысында" бірінші рет келтіріледі.Теңдеу теңсіздіктің дербес түрі деп атауға болатын теңсіздіктен жасалады.Теңсіздікті теңдікке айналдыру үшін екі шаманың арасындағы айырмашылықты дәл бағалау қажет.Теңсіздіктер қарапайым сандық теңсіздіктер,алгебралық теңсіздіктер,классикалық теңсіздіктер болып бөлінеді.Теңсіздікті дәлелдеу және шешу кезінде ғана әріптер мен белгісіз шамалардың ықтимал мәндерін үнемі ескеру қажет.Мысалы: таңбаның тек кейбір ықтимал мәндерінде сақталатын теңсіздік шартты немесе белгісіз теңсіздік деп аталады.барлық теңсіздіктердің қасиеттерін тек сандық теңсіздіктер арқылы көрсетуге болады
1.аb теңсіздігінен ba теңсіздігі туады
2. аb және bc теңсіздіктерінен аc теңсіздігі шығады
Бұл сипат теңсіздікті шешкен кезде теңсіздікті" күшейту " үшін қолданылады,теоремалар дәлелдейді.
3. аb болса а+сb+c болады
Теңсіздікті шешу кезінде кейде азайту мақсатында екі бөлікте немесе екі ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.