Теңдеулерді шешу тәсілдері

Ф. 7. 04-01

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

«Жаратылыстану ғылымдары педагогикасы» жоғары мектебі

«Математика» кафедрасы

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

Тақырыбы:

Пәні: «Комплексті талдау»

Мамандығы: 5B010900-Математика

Орындаған: Рсымбет Аружан Шарханқызы

Топ ЕП-17-1кт

Жетекші: ф. -м. ғ. к., доцент Абжапбаров

Шымкент 2020 ж.

Ф. 7. 04-03

ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

М. ӘУЕЗОВ атындағы ОҢТҮСТІК ҚАЗАҚСТАН МЕМЛЕКЕТТІК УНИВЕРСИТЕТІ

«Математика» кафедрасы

№Тапсырма

«Комплексті талдау»пәні бойынша курстық жұмыс

Студент: Рсымбет Аружан Шарханқызы Топ: ЕП-17-1кт

Жұмыс тақырыбы: Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің тиімді әдістерін оқыту

Берілген мәліметтер:

Ұсынылған әдебиеттер:

1 Елубаев С. Математиканы оқыту әдістемесі: жоғары оқу орнының студенттеріне арналған оқулық-Алматы:ТехноЭрудит, 2019. -308б

2 Рахымбек Д., Маденова А. А., Аширбаев Н. К. Математиканы оқытудың жалпы әдістемесі:Оқу құралы. -Шымкент: « Нұрлы бейне», 2014. -250 бет

3 Елубаев С. Орта мектепте математиканы оқыту процесінде терминдер мен символдарды пайдалану. Мектеп мұғалімдеріне арналған көмекші құрал. -Алматы «Мектеп», 1984, -96б

Тапсырма берілген күні

Жұмысты қорғау күні

Жұмыс жетекшісі

Тапсырманы орындауға қабылдаған

КІРІСПЕ

Ғылыми-техникалық прогрестің, инновациялық процестердің, нанотехнологиялардың қарқынды даму заманында, ғарыш кеңістігін игеру заманында, табиғи кен өнімдерін тиімді пайдалану сияқты өзекті мәселелерді шешудің бір жолы - жан-жақты дамыған, ғылыми көзқарасы жетілген, жоғары санатты мамандарды даярлау. Осыдан байқалатыны - мұндай мамандарды даярлауға жылдар емес онжылдықтар кетеді, сондықтан, дайындықты мектеп табалдырығынан бастау керек. Жоғары санатты мамандарды даярлау мектеп қабырғасы мен жоғары оқу орнында ғылыми-жаратылыстану бағытында білім беруді жаңа сапалы деңгейге көтеру мәселесімен тығыз байланысты.

Осыған байланысты орта мектептерде математиканы оқыту әдістері оқу процесінің санасын жоғарылату, оқушылардың танымдық мүмкіндіктерін белсенді түрде дамыту, білімнің мазмұнын толықтырып жетілдіру бағытында жаңартылуда. Еліміздегі білім жүйесі дүние жүзілік білім кеңістігіне біріге бастауына орай, білім мазмұнының мақсатты компоненттері өзгеруде.

Оқушылардың математикалық даму дәрежесі олардың есеп шығара білуінен анық байқалады. Есеп - әрбір мектеп оқушыларының ақыл - ойын ұстаудың негізгі құралы.

Рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешудің әдістері оқушылардың математикалық шығармашылығында маңызды орын алады. Ең әуелі есеп шығаруды үйрену - оның шешімін табу екенін есте ұстаған дұрыс. Теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу мектеп математика курсы бағдарламасының едәуір бөлігін алады. Оның себебі, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу математиканың әр түрлі салаларында да сыбайлас пәндерде және практикалық есептер шығаруда да кең түрде қолданыс табады. Сондықтан да, оқушылардың теңдеулер мен теңсіздіктерді шеше білу дағдылары мен іскерліктерін қалыптастыру мектеп математика курсының бірден-бір міндеті болып табылады.

Мектеп математика курсының оқу құралдарына талдау жасау, мұндағы шығарылатын теңдеулер мен теңсіздіктер оқушының тақырыпты меңгеру дағдыларын қалыптастыруға толық дәрежеге мүмкіндік жасай алмайтынын көрсетіп отыр. Мектептің оқу құралдарындығы есептерді жоғары оқу орындарына ұсынылатын теңдеулер мен теңсіздіктермен салыстырсаң қиындық дәрежесі жағынан да, түрлік ерекшеліктері жағынан алғанда да сәйкес келмейді. Мектептің оқу құралдарында теңдеулер мен теңсіздіктер өте қарапайым, қиындық дәрежесі негізінен ортадан төмен болады. Осы айтылған мәселелер таңдалған тақырыптың маңыздылығын көрсетеді.

1 ТЕҢДЕУЛЕР МЕН ТЕҢСІЗДІКТЕР ШЕШУДІҢ ТЕОРИЯЛЫҚ НЕГІЗДЕРІ

1. 1Теңдеулердің жалпы теориясы. Негізгі ұғымдар. Қасиеттері.

Бізге М жиынында анықталған y=f(x) және N жиынында анықталған $y = \phi(x)$ функциялары берілсін.

Анықтама Бір белгісізді теңдеу деп

$f(x) = \phi(x)$ (1)

түріндегі теңдікті айтады. Мұндағы $f(x), \ \phi(x)$ функциялары олардың анықталу облыстарының қиылысында анықталған х аргументінен тәуелді қандай-да бір функциялар.

(1) теңдігіндегі $f(x), \ \phi(x)$ функцияларының бірі санға тең болуы мүмкін.

Егер (1) теңдеуіне енетін функциялардың анықталу облыстарының қиылысуы бос жиын болатын болса, онда бұл теңдеудің шешімі болмайды. (1) теңдеуін шешу деген сөз, ол теңдеуді, х-тің орнына қойғанда, тепе-теңдікке айналдыратын, х айнымалысының мәндерін табу деген сөз, яғни, х-тің орнына қойғанда, теңдеудің екі жағы да бірдей мән қабылдайтындай, х-тің мәндерін тап деген сөз.

Анықтама (1) теңдеуінің екі жағыда бірдей мән қабылдайтын х-тың мәндерін осы теңдеудің шешімі (түбірі) деп атайды.

Мысал $x^{3} - x = 0$ теңдеуін шешу.

Шешуі: Бұл теңдеудің анықталу облысы бүкіл сандар осі.

$x\left( x^{2} - 1 \right) = 0, x_{1} = 0;$ $x^{2} - 1 = 0,$ $x_{2} = - 1$ $x_{3} = 1$

Жауабы: $\left\{ - 1; 0; 1 \right\}$

Мысал $x^{2} + 9 = 0$ теңдеуін шешу.

Шешуі: Бұл теңдеудің нақты сандар облысында шешімі жоқ. Ал комплекстік облыста екі шешімі бар:

$x_{1} = - 3i,$ $x_{2} = 3i$

Жауабы: $\left\{ - 3i; 3i \right\}$

Мысал $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} - x - 2 = 0$

Шешуі: $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} - x - 2 = 0,$ $\frac{(x - 2) (x + 2) }{x - 2} - x - 2 = 0$

$x + 2 - x - 2 = 0,$ $0 = 0$

Жауабы: теңдеудің шешімі х-тің 2-ден басқа кез-келген мәні болады.

Мысал $x - 3 = x - 5$ теңдеуін шешу.

Шешуі: $x - 3 = x - 5,$ $x - x = - 5 + 3,$ $0 \neq - 2$

Жауабы: теңдеу х-тің ешқандай мәнінде шешілмейді, яғни Ø.

Мысал $(x - \frac{1}{3}) ^{2}(x^{2} - 3) (x^{2} + x + 1) = 0$ теңдеуін қарастырайық.

Шешуі:а) бұл теңдеудің нақты сандар жиынында төрт түбірі бар:

$$x_{1, 2} = \frac{1}{3}, \ x_{3, 4} = \pm \sqrt{3}$$

б) бұл теңдеудің рационал сандар жиынында екі түбірі бар:

$$x_{1, 2} = \frac{1}{3}$$

в) бұл теңдеудің бүтін сандар немесе натурал сандар жиынында түбірі жоқ.

г) бұл теңдеудің комплекс сандар жиынында алты түбірі бар:

$x_{1, 2} = \frac{1}{3}, \ x_{3, 4} = \pm \sqrt{3}; \ x_{5, 6} = \frac{- 1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ .

Мектеп математика курсында негізінен элементар теңдеулер қарастырылады, яғни сол және оң жақтары сандар мен белгісіз функцияларға саны шектеулі элементар амалдар қолдану арқылы (қосу, алу, көбейту, бөлу, кез келген дәрежеге дәрежелеу, модуль табу, логарифмдеу) пайда болатын теңдеулер қарастырылады. Әдетте мектеп математика курсындағы элементар теңдеулер рационал, иррационал және трасценденттік деп бірнеше бөлікке бөлінді.

Рационал теңдеулерге бүтін рационал және бөлшекті-рационал теңдеулер жатады.

Анықтама (1) теңдеуі алгебралық теңдеу деп аталады, егер оның құрамындағы $f(x), \ \phi(x)$ функциялары көпмүшелік болып табылса.

Анықтама (1) теңдеуі бөлшекті-рационал теңдеу деп аталады, егер оның құрамындағы $f(x), \ \phi(x)$ функциялары болса. Бұл жерде $f(x), \ \phi(x)$ функцияларының ең болмағанда біреуі х бойынша бөлшекті-рационал болуы тиіс.

Анықтама (1) теңдеуі иррационал теңдеу деп аталады, егер $f(x), \ \phi(x)$ функциялары элементар алгебралық функциялар болса және ол функциялардың ең болмағанда біреуі х бойынша иррационал болса.

Анықтама (1) теңдеуі элементар трансцендент теңдеу деп аталады, егер $f(x), \ \phi(x)$ функциялары элементар функциялар болса және олардың ең болмағанда біреуі х бойынша трансцендент.

Енді осы анықтамаларға мысалдар келтірейік.

а) $6x - 3 = 0$ , $x^{2} - 2x + 1 = 0$ , $(x^{2} + 2x) ^{2} - (x + 1) ^{2} = \text{55}$ ,

$(x + 1) ^{2}(x + 2) + (x - 1) ^{2}(x - 2) = \text{12}$ - алгебралық теңдеу.

б) $\text{20}\left( \frac{x - 2}{x + 1} \right) ^{2} - 5\left( \frac{x + 2}{x - 1} \right) ^{2} + \text{48}\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 1} = 0$ , $\frac{z + 4}{z - 1} + \frac{z - 4}{z + 1} = \frac{z + 8}{z - 2} + \frac{z - 8}{z + 2} + 6$ ,

$\frac{5x^{3} - 4}{x + 1} = 2x + 3$ - бөлшекті - рационал теңдеу.

в) $\frac{\sqrt{x + 4} + \sqrt{x - 4}}{2} = x + \sqrt{x^{2} - \text{16}} - 6$ , $\sqrt{\frac{\text{18} - 7x - x^{2}}{8 - 6x + x^{2}}} + \sqrt{\frac{8 - 6x + x^{2}}{\text{18} - 7x - x^{2}}} = \frac{\text{13}}{6}$ $\sqrt{x + 2} - \sqrt[3] {3x + 2} = 0$ - иррационал теңдеу.

г) $\text{log}_{\text{12}}(4^{3x} + 3x - 9) = 3x - x\text{log}_{\text{12}}\text{27}$ , $\left( \sqrt{7 + \sqrt{\text{48}}} \right) ^{z} + \left( \sqrt{7 - \sqrt{\text{48}}} \right) ^{z} = \text{14}$

$(x^{2} - x - 1) ^{x^{2} - 1} = 1$ - трансцендент теңдеу.

Анықтама Теңдеудің анықталу облысы деп немесе берілген теңдеудің мүмкін мәндерінің облысы деп, осы теңдеудің екі жағының да мағынасы болатын, теңдеуге еніп тұрған аргументтердің барлық мәндерінің жиынын айтады. Белгіленуі: $D(f)$ .

Осы анықтамадан көрініп тұрғанындай, теңдеудің әрбір түбірі оның анықталу облысына тиісті, бірақ теңдеудің анықталу облысына жататын кез келген сан оның түбірі бола бермейді. Ал теңдеудің мүмкін мәндерінің облысына жатпайтын сан, оның түбірі бола алмайды. Яғни, санның теңдеудің анықталу облысына тиісті болуы қажетті шарт, бірақ ол жеткілікті шарт емес. Мысалдар келтірейік.

1. $\frac{1}{x + 1} - x^{2} + \frac{x - 4}{x} = \frac{x}{x^{2} - 1}$

теңдеуінің анықталу облысы $x = 0, \ x = \pm 1$ -ден басқа барлық сандар жиыны.

Сонымен: $D(f) :x \neq 0, \ x \neq \pm 1$ .

2. $\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 3}} + \sqrt{x - 3} = 1$

теңдеуінің анықталу облысын мына теңсіздіктер жүйесін шешу арқылы табуға болады:

$$\left\{ \begin{matrix} x^{2} - 3 > 0 \\ x - 3 \geq 0 \end{matrix} \right. \$$

Теңсіздіктер жүйесін шешу арқылы берілген иррационал теңдеудің анықталу облысын табамыз: $\lbrack 3; \ + \infty)$ [1], [2], [3] .

1. 2 Теңдеулерді шешу тәсілдері

Анықтама $n$ -дәрежелі бүтін рационал функция немесе $n$ -дәрежелі көпмүшелік деп

$P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \text{ . . . } + a_{n - 1}x + a_{n}$

түріндегі функцияны айтады. Мұндағы $n$ - натурал сан, көпмүше дәрежесі, $a_{0}, a_{1}, \text{ . . . }, a_{n - 1}$ сандары көпмүшенің коэффициенттері, $a_{0} \neq 0$ бас коэффициент, $a_{n}$ -бос мүше деп аталады.

Анықтама $P_{n}(x) = 0$

түріндегі теңдеуді, мұндағы $P_{n}(x) - n$ -дәрежелі бүтін рационал функция, $n$ -дәрежелі алгебралық рационал теңдеу деп атайды.

Жалпы жағдайда $n$ -дәрежелі теңдеудің $n$ түбірі болады, олардың арасында нақтылары да, комплекс сандары да болуы мүмкін.

Анықтама $P_{n}(x)$ бүтін рационал функциясын бүтін рационал $Q_{m}$ функциясына бөлу деп мына төмендегі өрнекті айтады.

$P_{n}(x) = Q_{m}(x) \cdot S_{e}(x) + R_{k}(x)$

яғни соңғы теңдігі орындалатындай $S_{e}(x), \ R_{k}(x)$ көпмүшеліктері табылса. Мұндағы $P_{n}(x)$ - бөлінгіш, $Q_{m}(x)$ - бөлгіш, $S_{e}(x)$ - бөлінді, $R_{k}(x)$ - қалдық. $S_{e}(x), \ R_{k}(x)$ -бүтін рационал функциялар, $m < n$ . Оқылуы: $P_{n}(x)$ көпмүшелігі $Q_{m}(x)$ көпмүшелігіне $R_{k}(x)$ қалдығымен бөлінеді. Егер $R_{k}(x) = 0$ болса, онда $P_{n}(x)$ көпмүшелігі $Q_{m}(x)$ көпмүшелігіне қалдықсыз бөлінеді деп айтады.

Бүтін рационалды функциялардың түбірлері туралы кейбір теоремаларды қарастырып өтейік, себебі бұл теоремалар рационал теңдеулерді шешкенде керек болады.

Теорема-1 (алгебраның негізгі теоремасы) . Әрбір бүтін рационал функция ең болмағанда бір түбірге ие болады (нақты немесе комплекс) .

Теорема-2 (Безу) . Бүтін рационал $P_{n}(x)$ функциясының $x - a$ екімүшесіне бөлгендегі қалатын қалдық осы $P_{n}(x)$ функциясының $x = a$ болғандағы мәніне тең, яғни $P_{n}(a)$ санына тең.

Дәлелдеу Бізде

$P_{n}(x) = (x - a) S_{e}(x) + R_{k}(x)$

теңдігі орындалсын. Бұл теңдеудегі $P_{n}(x)$ , $S_{e}(x)$ , $R_{k}(x)$ функциялары көпмүшелік ретінде $x$ -тың кез келген мәнінде анықталған болғандықтан, теңдеу $x$ -тың кез келген мәнінде орындалады. Сондықтан теңдеудегі $x$ -қа $a$ мәнін қоямыз. Сонда

$P_{n}(a) = R_{k}(a)$ .

Теорема-3 Бүтін рационалды $P_{n}(x)$ функциясының $x - a$ екі мүшесіне қалдықсыз бөлінуі үшін $x = a$ санының $P_{n}(x)$ функциясының түбірі болуы қажетті және жеткілікті.

Дәлелдеу Қажеттілік: $P_{n}(x)$ функциясы $x - a$ екі мүшесіне қалдықсыз бөлінсін. Сонда $R_{k}(x) = 0$ . Безу теоремасы бойынша $R_{k}(a) = P_{n}(a) = 0 \Rightarrow x = a$ саны $P_{n}(x)$ функциясының түбірі болады.

Жеткіліктілік: $x = a$ саны $P_{n}(x)$ функциясының түбірі болсын. Сонда $P_{n}(a) = 0$ . Безу теоремасы бойынша $P_{n}(x)$ функциясын $x - a$ екімүшесіне бөлгендегі қалдық $R_{k}(x) = P_{n}(a) = 0 \Rightarrow$ яғни $P_{n}(x)$ $x - a$ -ға қалдықсыз бөлінеді екен.

Теорема-4 Кез келген $n$ -дәрежелі нақты $n$ түбірі бар бүтін рационал функцияны $n$ сызықты көбейткіштің көбейтіндісі ретінде өрнектеуге болады:

$a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \text{ . . . } + a_{n - 1}x + a_{n} = a_{0}(x - x_{1}) (x - x_{2}) \text{ . . . }(x - x_{n})$

мұндағы $x_{1}, x_{2}, \text{ . . . }, x_{n} - P_{n}(x) = 0$ теңдеуінің нақты немесе комплекс түбірлері. Бұл жіктеу жалғыз.

Дәлелдеу Бүтін рационал

$P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \text{ . . . } + a_{n - 1}x + a_{n}$

функциясын қарастырайық.

$x = x_{1}$ саны $P_{n}(x)$ көпмүшелігінің түбірі болсын. Сонда

$P_{n}(x) = (x - x_{1}) \cdot P_{n - 1}(x)$ ,

мұндағы $P_{n - 1}(x) - n - 1$ -дәрежелі көпмүшелік. $x = x_{2}$ саны $P_{n - 1}(x)$ көпмүшелігінің түбірі болсын. Сонда

$P_{n - 1}(x) = (x - x_{2}) \cdot P_{n - 2}(x)$

болады. Мұндағы $P_{n - 2}(x) - n - 2$ дәрежелі көпмүшелік.

Сонымен

$P_{n}(x) = (x - x) (x - x_{2}) \cdot P_{n - 2}(x)$

Осы процесті $n - 1$ рет қайталай отырып, мынаны аламыз

$P_{n}(x) = (x - x) (x - x_{2}) \text{ . . . }(x - x_{n - 1}) \cdot P_{1}(x)$

мұндағы $P_{1}(x) = a_{0}x + b = a_{0}\left( x + \frac{b}{a_{0}} \right) = a_{0}(x - x_{n})$

яғни

$P_{n}(x) = a_{0}(x - x) (x - x_{2}) \text{ . . . }(x - x_{n})$

Бір ескерте кететін жағдай, кейбір сызықты көбейткіштер бірдей болып қалуы мүмкін. Егер қандай-да бір көбейткіш $k$ рет қайталанған болса, онда сәйкес түбірді $k$ еселі түбір деп атайды.

Мысал $P_{n}(x) = (x - 1) (x + 2) ^{2}(x - 3) ^{3}$ көпмүшелігінің $x = 1$ түбірі - жай, $x = - 2$ түбірі - 2 еселі түбір, $x = 3$ түбірі - 3 еселі түбір болып табылады.

Теорема-5 Егер коэффициенттері нақты бүтін рационал функциясының $\alpha + \beta i$ түріндегі комплекс түбірі бар болса, онда ол функцияның оған түйіндес $\alpha - \beta i$ түбірі де бар болады.

Салдар Коэффициенттері нақты бүтін рационал функцияның комплекс түбірлерінің саны жұп сан.

Сонымен, жалпы жағдайда бүтін рационал функция төмендегіше жіктелінеді:

... жалғасы

Квадрат теңдеулерді шешудің дәстүрлі емес тәсілдері

ИРРАЦИОНАЛ ТЕҢДЕУЛЕРДІ ШЕШУДЕ ТРИГОНОМЕТРИЯЛЫҚ АЛМАСТЫРУЛАРДЫ ҚОЛДАНУ

Теңдеу. Теңдеуді шешу тәсілдері

Теңдеулерді шешудің кейбір ұтымды тәсілдері

Квадрат теңдеулерді шешудің тәсілдері

Үшінші дәрежелі теңдеулерді шешудің түрлі тәсілдері

Бастауыш сыныптарда теңдеулермен жұмыс істеу әдістемесі.

Теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шешу әдістері

Бөлшек-рационал теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуді оқып үйрету әдістемесі

Тригонометриялық теңдеулерді, теңсіздіктерді және оның жүйелерін шешудің тиімді жолдары

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс