Мектеп математика курсындағы ұғымдарды қалыптастыру

Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 40 бет
Таңдаулыға:

Аннотация

Курстық жұмыстың тақырыбы Мектеп математика курсында ұғымдарды қалыптастырудың әдістемелік негіздері. Курстық жұмысты орындаған ЕП-16-1К1 тобының студенті Ізтілеу А., ғылыми жетекшісі аға оқытушы Нұрмағанбетова Ж.
Бірінші тарауда Математикалық ұғымдарды оқып үйрену. Яғни бұл тарауда математикалық ұғым-логикалық категория, математикалық ұғымдардың анықтамаларының өрнектеу тәсілдері және т.б. тақырыптар қысқаша баяндалады.
Екінші тарауда Мектеп математика курсындағы ұғымдарды қалыптастыру, анықтамасы және олармен жүргізілетін жұмыстар, ұғымдардың қалыптастырудың негіздері мен жолдары, математикалық ұғымдарды қалыптастырудың әдістемелік негіздері үлгілері келтірілді.
Курстық жұмыс - 44 бет, кіріспеден, екі тараудан, қорытынды бөлім және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

l-тарау. Математикалық ұғымдарды оқып үйрену ... .. ... ... ...

1.1
Математикалық ұғым-логикалық категория ... ... ... ... ... ... .. .

1.2
Математикалық ұғымдардың анықтамасы және оның құрылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

1.3
Математикалық ұғымдардың анықтамаларының өрнектеу тәсілдері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

2-тарау. Мектеп математика курсындағы ұғымдарды қалыптастыру ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

2.1
Анықтамасы және олармен жүргізілетін жұмыстар ... ... ... ...

2.2
Ұғымдардың қалыптастырудың негіздері мен жолдары ... ...

2.3
Математикалық ұғымдарды қалыптастырудың әдістемелік негіздері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

Қорытынды ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ...

Кіріспе

Жұмыстың өзектілігі: Мектеп математика курсында ұғымдарды қалыптастырудың әдістемелік негіздерін курстық жұмысына лайықты тақырып ретінде таңдау мақсатымен төмендегі дәйектілікке сүйеніп, соларды негізге алынды.
Математика - қазіргі уақытта көптеген салаларына дендеп еніп, абстракциялык сипатқа ие болған, бір кездері адамның әр түрлі қызмет саласындағы практикалық қажеттіліктерінен туындаған, көне ғылымдардың бірі.
Математика нені зерттейді және оның бізді қоршаған әлеммен қатынасы қандай? Математика, басқа ғылымдар сияқты бізді қоршаған әлемді зерттейді және де ол зерттейтін нақты әлемнің құбылыстары өздерінің материалдық табиғатымен емес, тек қана формальды құрылымдық қасиеттерімен, әсіресе олармен байланысты сандық қатынастар және кеңістік формаларымсн анықталады.
Сондықтан математикалық объектілер заттар мен құбылыстардың сандық және кеңістік қасиеттері мен қатынастарын ерекшелендіре отырып, барлық басқа қасиеттерінен абстракциялаудың нәтижесі болып табылғанымен, шын мағынасында сол күйінде кездеспейтін бірақта нақты заттар мен құбылыстарды бейнелейтін идеал қабылданатын объектілер болып табылады. Шынында да , бізді қоршаған әлемде сан да, геометриялық фигура да жоқ. Оның бәрі тарихи даму процесінде адам ақылымен жасалған, бірақ олар бей берекет қалай болса солай емес, нақты әлемнен байланысты жасалған. Осылайша арифметика мен сандар теориясы алғашқы практикалық есеп заттарды санағаннан пайда болған, ал қарапайым геометрияның қайнар көзі ара қашықтықтарды салыстыруға, жазық фигуралардың ауданын немесе кеңістік денелерінің көлемін табуға байланысты мәселе болып табылады.
Әрбір пән, сол сияқты математика пәніде,ғылыми ұғымдардан құралған.Ғылымды меңгеру алдымен ғылыми ұғымдарды,сол ұғымдар жүйесін меңгеруден тұрады. Түсіну ұғымдар көмегімен өрнектеу дегені.
Ұғым ғылым формасы, оны өрнектейтін сөз-термин болғандықтан оқушыларда математикалаық ұғымдарды қалыптастыру мәселесі оны гносеологиялық, психологиялық және лингводидатикалық білімдермен ұштастыруды талап етеді [1].
Математикаға мыналар тән болып табылады:
-егер оның алғашқы ұғымдарынан шындықтың бейнеленуін байқау өте оңай болса, ал алысырқау абстракцияланған жағдайларда мүны байқау мүлдем мүмкін бола бермейді;
-ұғымдардың логикалық дамуы жүріп жатқанымен де, абстракцияның өзін абстракциялауға болады, бірақ олар шындықтан қаншалықты алыс болып көрінгенімен, ақырында нақты әлемді өте жанама түрде болсын бейнелейді;
-онда практикалық жағдайлардан туындайтын және одан кейін абстракцияланатын ұғымдар құрылады және ол шындықты жуықтап зерттеуге мүмкіндік береді;
-ол нақты әлемнің заттарын емес, абстракциялықұғымдарды және олардың қорытындыларының мүлде қатаң және дәлме - дәл екендігін зерттейді, сондықтан оның жуықтығын ішкі сипатта емес, құбылыстың математикалық моделін құрастырумен байланысты болады;
Психологиялық тұрғысынан ғылыми ұғымдарды меңгеру сол ұғымдарды мағынасын-анықтамасын білу және оларды конкрет жағдайларда қолдану. Ал, гносеология тұрғысынан алып қарағанда ұғымсезіну (түйсіну), қабылдауға тең немесе ұғым, пайым, қорытындымен тең өлшенетін абстракт образ ретінде бейнеленеді. Педагогикалық мағынада ұғым ғылымның негізгі факторлары және олардан туындайтын қағида, қорытынды және заңдылықтарды білу, оларды есте сақтау дегені.
Оқыту процесінде ұғымдарды ғылымилылық тұрғысынан дұрыс қалыптастыруға жету керек. Оқушылардың жас ерекшеліктеріне қарай кейбір ұғымдарды баяндауда оларды қарапайым түрге келтіру мүмкін. Біріншіден, мектепте әрбір ұғымды қалыптастыруды қазіргі заманда даму деңгейіне көтеруді оқушының жас ерекшелігі сай келмеуі мүмкін. Бірақ қандай жағдайда да оның мазмұнына өзгеріс ендірмеу керек. Екіншіден, анық және нақты сөйлем (анықтама, өрнек)дерді анық емес сөйлемдермен ауыстырғанда оларды түсінуді жеңілдетпейді, керісінше қиындатады. Осымен бірге, оқыту кезінде математика және басқа ғылымдарда қайталанатын ұғымдарды бірдей түсінуге жету керек. Себебі, Әрбір ұғым басқа ұғымдармен тығыз байланыста өмір сүреді. Сол сияқты математиканы оқытуды ұғымдармен ұштастыру математикалық ұғымдардың сабақтарға бөлінуі, қайталануы, қолдануы, концентризм дәрежесін анықтауға және пәндер арасындағы байланысты орнатуға мүмкіндік береді.
Жұмыстың мақсаты: Ой өрісі дамыған, сана сезімі оянған, рухани ойлау дәрежесі биік, математикадан білім деңгейі жоғары, пәнге деген қызығушылығы мол, теориялық білімді терең түсіне алатын оқушыларды тәрбиелеу.
Жұмыстың міндеттері:
-ғылыми-педагогикалық әдебиеттермен танысу, талдау барысында математикалық ұғымдардың мәнін ашу;
- мектеп оқушыларының математика есептерін шығаруда математикалық ұғымды қалыптастыру және оның тиімділігін тексеру;
-математика пәні бойынша ұғымдарды қалыптастыру жұмыстарына нақты материалдар іріктеу, олардың түрлерімен танысу;
Жұмыстың практикалық құндылығы: Мектеп математика курсында математикалық ұғымдарды қалыптастыруда жетістікке жету.
Дипломдық жұмыстың болжамы: егер мектеп оқушыларға математикалық ұғымды қалыптастыруға әрекет жасасақ онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды және т. б. пәндерді оқушылардың жетелей түсінуіне, қазіргі заман талабына сай терең білім алуына ықпал жасайды.
Зерттеу жұмысының әдістемелік негіздері: педагогикалық және әдістемелік әдебиеттерден тақырыпқа сай материалдар жинақтап, математика пәнін оқытудағы озық педагогикалық тәжірибелерді оқып - үйрену, талдау.
Курстық жұмысының зерттеу әдісі: Оқушылардың ғылыми - дуниетанымдық қабілетін қалыптастыру, логикалық ойлау қабілетін дамыту, практикалық дағдылары мен ебдейліктерін дамыту және т.б. өзекті мәселелердің ішінде мектепте математикадан ұғымдарды қалыптастыру.
Ғылыми жаңалығы: мектеп оқушыларға математикалық ұғымды қалыптастыруға байланысты материалдар анықталды.
Ғылыми мәселенің қазіргі кездегі шешу жағдайын бағалау
Оқытудың заңдылықтарын ашумен қатар, оқытудың мазмұнын, мақсатын, әдісін, оқыту формалары мен құралдарын, оқытушы мен оқушының іс-әрекетін бірінен бірін ажыратпай біртұтас қарастыру.

l Математикалық ұғымдарды оқып үйрену
1.1 Математикалық ұғым-логикалық категория

Педагогика ғылыми ұғымдарды олардың таным үрдісіндегі гнесеологиялық және психологиялық маңызына сүйене отырып, білім мазмұнының басты құрылымдық бірлігі ретінде анықтайды. Ұғым шындық дүниесін біржақты ғана бейнелемейді, объектілердің жалпы маңызын жалпы маңызын ашып көрсетеді, заттың елеулі қасиеттерін анықтаумен қатар,жалпы мен жалқының, нақты мен абстрактінің бірлігін,белгілі бір ғылым саласының даму нәтижесін, оның көп уақыт тырнақталып жиналған қорытындысын түйіндейді.
Ұғым қарастыратын объектінің, құбылыстыңсоған ғана тән ерекше қасиетін сипаттайды.
Мысалы:1) Адам сөйлей алатын омыртқалылыр тобының мүшесі;
2) радиус-шеңбер центрін оның бойындағы кез келген нүктемен қосатын кесінді.
Ұғым зерттелінетін объектінің жалпы, сонымен бірге маңызды белгілері, негізгі ой түйіні болатын барлық айырықша сипаттары туралы түсінік, мәліметтердің тұтастай жиынтығы туралы пайымдар.
Ұғым-өте күрделі логикалық және гнесеологикалық категория. Ол біріншіден, жоғарғы материяның жемісі; екіншіден, ол шындық дүниесін бейнелейді; үшіншіден, жалпылау құралы; төртіншіден, ұғымның қалыптасуы сөзбен, жазумен және белгілеулермен тығыз байланысты болады. Сонымен ұғым-ойлаудың жоғарғы түрі, шындық дүниесін сипаттайтын қару болып табылады.
Оқыту үрдісінде математикалық ұғымдарды пайда болуы мен құрылымы, олардың материалдық дүниенің заттарымен, құбылыстарымен байланысын ашу-мұғалімнің бірден-бір міндеті. Мұғалім бұл күрделі метадологиялық мәселені шешу нәтижесінде оқушылардың ғылыми дүниетанымын қалыптастырады. Математика ақиқат (шындық) дүниенің белгілі бір жағы болып табылатын мөлшерлік қатынастар және кеңістік формалар, абстрактілі объектілер мен олар туралы ұғымдарды зерттейтін ғылым екендігін түсінуге мүмкіндік береді. Ұғымдарға логикалық амалдар мен ұғымды жүйелендіру кезеңдері. Ұғымды жүйелеу кезеңі ұғымдар аралық байланыстар орнатуға, ұғымды әртүрлі нақты жағдайларда қолдануға, ұғымның шығуына құрылған жаттығулар арқылы жүзеге асады. Оқу материалын жүйелеуге келесі жолдар арқылы қол жеткізеді:
1) разноплановой систематизацией материала по различным основаниям;
2) ұғымды жалпылау;
3) ұғымды нақтылау.
Көрсетілген жаттығуларды орындау барысында ұғымдардың өзара байланысы, дәреже сатысы, олардың әртүрлі жиынтықтарында ұғымды қолдана алу қалыптастырылып, оқушылар ұғымның әртүрлі анықтамаларымен танысып, оның құрылымы және көлемі бойынша жалпылауы және т.б. анықталады. Бұлардың бәрі эстетикалыққа ие болады.
Оқушылар мұндай жаттығуларды орындап, математиканың шынайы сұлулығын аңғара бастайды.
Соңғы кезең қарастырылып жатқан ұғыммен жүзеге асырылатын логикалық амалдарды орындаумен қорытындыланады. Біріктіру, қиылысу, жалпылау, болықтыру амалдары нәтижесінде оқушылар бұрын оқылған ұғымдарға байланысы бар жаңа ұғымдармен танысады. Мұның бәрі оқушылардың эстетикалық сарындары мен эстетикалық талғамдарының дамуына әсер етеді.
Кез келген ұғым, оның ішінде математикалық ұғым да, табиғатта бір заттардің елеулі белгілерін абстракциялау арқылы пайда болады. Бірақ математикалық ұғымдар заттар мен құбылыстарды нақтылы мазмұнын елемей, олардың барлығына ортақ мөлшерлік қатынастар мен формаларды ғана бейнелейді.
Табиғи ғылымдардан математиканың айырмашылығы, оның ұғымдардың бірнеше сатылы (кем дегенде екі сатылы) абстрактілігінде.
Адам өзінің санасында бірдей сипатқа ие болатын бірнеше объектілерді біріктірсе және осы заттар класын бір атпен атайтын болса (мысалы,кітап,қой,жылқы), онда ол абстрактілі ұғым алғаны.Сонда бұл ұғым абстракциялаудың қарапайым түрі-бірдейге сайып абстракциялау(немесе бірдейге саю) нәтижесінде пайда болады. Абстракциялаудың осы түрінің жәрдемімен алғашқы математикалық ұғымдар пайда болады. Оладың ішінде ең бастысы сан ұғымы.
Математикалық ұғымдар пайда болатын абстракцияның тағы бір түрі-идеализация абстаркциясы. Өлшемі жоқ нүкте, қалындығы жоқ сызық т.б. алғашқы геометриялық ұғымдар абстракцияның осы түрі негізінде келіп шыққан. Жер бетінде әр жаққа тартылған жып немесе сым темір,дәптер бетіндегі сызық тағы басқаларды біз бір класқа біріктіріп қана қоймаймыз, санамызда идеалды сызық ұғымының бейнесін жасаймыз. Сонымен, сызық сөзі заттарды белгілі бір класқа жатқызумен ғана шектелмей, идеалды бейнені жасаумен де байланысты болады.
Идеализациялау абстракциясы бойынша көптеген математикалық ұғымдар куб, тікбұрышты параллелепипед, шар т.б. пайда болады.
Математикалық ұғымдар осылайша пайда болғанымен математика үшін нақтылы да болып табылады. Енді математикалық ұғымдарды олардың жалп сипаттағы белгілері бойынша біріктіріп тағы да бір, екінші рет абстракциялаймыз(абстракциядан абстракция).
Математикалық ұғымдардың басты ерекшелігі олардың шындық дүние заттарын тікілей емес жанама түрде бейнелеуінде.
Математика абстракциялаудың екінші сатысымен де шектеліп қалмайды. Көптеген математикалық ұғымдар келесі абстракциялау нәтижесінде пайда болған. Олардың ішінде жазықтықтағы және кеңістіктегі фигуралардың тең шамалылық ұғымы, одан кейінгі абстракциялау көлемұғымы болады. Қазіргі математиканың маңызды ұғымдары болатын топ және өріс, векторлық кеңістік т.б.-көп сатылы абстракциялау нәтижесі.
Көп сатылы абстракциялау нәтижесінде пайда болған математикалық ұғымдарды өмірде қолдануға болмайды деген жаңсақ пікір тумауы керек. Кемінде екі рет абстракциялау кезінде пайда болатын көлем ұғымы біздің күнделікті тіршілігімізде кең түрде қолданылады. Ал топ, өріс, көп өлшемді векторлық кеңістік т.б. ұғымдар ғылым мен техникада қолданыс табуда.[2]
В.В.Давыдовтың абстракция мен жалпылау жайында жасалған зерттеулерінде оқыту бірден теориялық ойлауды қалыптастырудан басталуы керек деген қорытындысы математикалық ұғымдарды оқып-үйренуде ылғи өз үйлесімін табады деп айта алмаймыз. Математикалық ұғымдарды оқыту әруақытта бірден теориялық ойлаудан бастама алуы мүмкін емес, кейбір ұғымдарды осындай бағытпен оқытуға болар, ал жаппай сол тәсілді қолдану дегеніміз- әдістемелік тұрғыдан қисынсыздау. Тәжірибе көрсеткендей, математикалық ұғымдарды оқыту әуелі қалыптастыру кезеңінен өтіп, сонан соң оқыту үрдісі кезінде бірте-бірте ол теориялық ұғым деңгейіне дейін жеткізіледі [3].
Жалпы адамзат баласының табиғатты түсініп білуінің өзі үш кезеңнен жинақталады емес пе: негізгі әдіс бақылау болып табылатын алғашқы кезең; басты әдісі тәжірибе болып бой көтеретін эмпирикалық кезең; негізгі әдісі ойлау болып табылатын теориялық кезең. Алғашқы кезеңде сыртқы дүниемен психика байланысы түйсіну, сезінуден басталады. Бұл кезеңде заттар мен құбылыстар бүтін немесе жеке жағдайда сырттай қарау арқылы танылады.
Екінші кезеңде заттың әр қырлы жақтары бөлшектерге бөле отырып оқытылады. Бұл жерде субъект бүтін объектіні бөліктерге бөліп, әрбір бөлікті жеке-жеке зерттейді, бір объектінің сан түрлі қырларының арасындағы және басқа объектілермен арасындағы сыртқы байланыстарын анықтайды.
Үшінші кезеңде объект тұтастай қарастырылып, оның ішкі байланыстары оқытылады.

1.2 Математикалық ұғымдардың анықтамасы және оның құрылымы

Ұғымдармен жұмыс жүргізгенде қолданылатын логикалық амалдардың бірі-ұғымдарды анықтау. Ұғымның анықтамасы деп ұғымның қажетті және жеткілікті белгі-шарттарын көрсететін сөздік немесе символдық сөйлемді айтады.
Басқаша айтқанда Ұғымды анықтау-бұл сол ұғым қамтитын объекттер класын нақты ажыратып көрсету дегені. Ұғымдардың мазмұндарының әр алуандылығына қарамастан, олардың көлемдерінің арасындағы қатынастар көп емес. Егер ұғымдардың мазмұнындарында ортақ белгілер бар болса, ондай ұғымдар салыстырмалы ұғымдар деп аталады. Салыстырмалы ұғымдар үйлесімді және үйлесімсіз болып екі салаға жіктеледі. Үйлесімді ұғымдар деп көлемдері толық немесе ішінара беттесетін ұғымдарды айтады. Үйлесімді ұғымдардың арасында мынадай қатынастар болады: а)тепе-теңдік; ә) ішінара беттесу; б) бірін-бірі қамту . Ғылымда әдетте анықтама дегенде қаралып отырған ұғымдарды басқасынан айрықшалауға, ғылымға еңгізілген жаңа термин мазмұнын айқындауға мүмкіндік беретін логикалық тәсіл түсініледі.[4]
Ұғымның анықтамасы, яғни дефиниция (ағылшынша Definitio, қысқаша Def) анықталатын ұғым немесе дефиниендум (ағылшынша Definiendum,қысқаша Dfd) және анықтайтын ұғым немесе дефиниепс (ағылшынша Definienca,қысқаша Dfn) тан құралады. (Гректерде homos сөзі шекара деген мағынаны білдіреді. Ежелде Грецияда адамдар бір жер телімін екіншісінен бөлектеп тұру үшін ағашпен жер телімін қоршап қойған. Олар бұл сөзді латынның дефинициясы тәрізде қолданған. Definitia латынша finish сөзінен шыққан және шекара, қандайда бір нәрсенің соңы деген мағынаны білдіреді. Орыс тіліндегі определение және делить сөздерінен шыққан).
Ұғымдардың арасындағы қатынастар схема түрінде былай кескінделеді.

Ұғым
Салыстырылмайтын

Қайшылықты

Қарама-қарсы
Бағыныңқы

Үйлесімсіз
Салыстырмалы
Үйлесімді
Тепе-тең
Қамту қатынасындағы
Айқасатын

1-сурет

Ғылым тарихында терминді анықтаймызба немесе сол терминге сай ұғымды анықтаймызба, деген сұрақты шешуде екі бағыт, екі тенденция пайда болған. Бірінші бағыт номинал (латынның nominal сөзінен шыққан, қазақша атау деген мағынаны білдіреді) анықтаманы, екіншісі реал (латынның real сөзінен алынған,қазақша мағынасы нақты дегені) анықтаманы жақтаушылар.[5]
Номинал анықтама арқылы пәнге немесе табиғы тілге еңгізілген жаңа терминнің (осы мен бір қатарда жасанды тілдегі символдарды да) мазмұны нақты өрнектеледі.
Ал реал анықтама арқылы қарастырылып отырған ұғымның сол топтағы ұғымдардан айырмашылығы көрсетіледі. Бұнда анықталатын және анықтайтын ұғымдар көлемдерінің теңдігі негізгі рөл атқарады.
Анықтамаларды басқаша классификациялық және генетикалық анықтама деп, екі топқа бөледі.
Тектік және түр жағынан айырмашылығы көрсетілген анықтама классификациялық анықтама дейіледі.
Ал генетикалық анықтамада (кейде оны индуктив анықтама деп те атайды) ұғымның пайда болу процесі көрсетіледі.
Басқаша айтқанда, ұғымның пайда болу процесін көрсететін анықтама генетикалық анықтама дейіледі(генетика сөзі герктің genesis сөзінен шыққан,қазақша келіп шығу деген мағынаны білдіреді). Мысалы:
1) Конус деп, тік бұрышты үшбұрышты катетінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
2) Қиық конус деп, тік бұрышты трапецияның биіктігінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
3) Цилиндр деп, тік төртбұрышты оның қабырғаларының бірінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
4) Шар деп, жарты дөңгелекті диаметрінен айналдырғанда шығатын денені айтады.
Ұғымды анықтаудың ең қарапайым тәсілі анықталатын ұғымның белгілерін санап көрсетуден тұрады [6]. Бірақ бұл тәсілмен ұғымның анықтамасын келтіру қиын, себебі әрбір ұғым шексіз көп белгілерге ие.
Сол себепті де анықтама екі тәсілмен құрылуы мүмкін:
1. Берілген ұғымның көлеміне енетін барлық объекттер жиынына негізделеді. Мысалы, жазықтықты өз-өзіне төмендегідей проекциялау көшіру дейіледі: центрлік симметрия параллел көшіру, айналдыру және олардың көбейтіндісі;
2. Берілген ұғымды анықтайтын белгілер жиынына негізделеді. Ғылымда, негізінен математикада, ұғымдар екінші тәсілмен анықталады. Мұндай анықтаманы құруда ұғымның барлық негізгі белгілері санап өтілмейді, бірақ олар ұғымның мазмұнын ашып беруі үшін жеткілікті болуы керек. Мысалы, параллелограмның маңызды белгілері төмендегідей:
a) төртбұрыш;
b) қарама-қарсы қабырғалары параллель;
c) қарама-қарсы қабырғалары тең;
d) диогональдары қилысу нүктесінде қақ бөлінеді;
e) қарама-қарсы бұрыштары тең;
Параллелограмның басқа төртбұрыштардан ажырату үшін оның 2-3 белгілерін айтсақ жетеді.
Ұғымдарды анықтау кезінде оқушылар жіберетін қателіктерді қарсы мысалдар келтіру арқылы түзету-олардың ойлау қабілеттерін арттыруға себін тигізетін әдістердің бірі. Мысалы, трапецияның орта сызығы ұғымына оқушылар жауаптарында мынадай анықтамалар беру жиі кездеседі:
1) трапеция қабырғаларының ортасын қосатын сызық ;
2) трапеция қабырғаларының ортасын қосатын түзу;
3) трапеция қабырғаларының ортасын қосатын кесінді;
Осы анықтамаларға қарсы мысалдар чертеждер арқылы көрсетілсе, оқушылар жауаптарының толық емес екендіктеріне көз жеткізеді де , анықтамадағы әрбір сөзге мұқият болу керектігі жөнінде ой түйеді [7].

1.
2.

3.

2-сурет

Оқушылар кейде биссектриса ұғымына мынадай анықтамалар береді: а) бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта болатын жазықтықтың барлық нүктелерін биссектриса дейміз;
ә) бұрышты тең екіге бөлетін сәуле биссектриса деп аталады.
Е
А
В
Д
N
C
K
ЕДКN
O
B
A
D
C

а) ә)

ОД- сәуле

3-сурет
Қарсы мысалдар: а) бұрыш қабырғаларынан бірдей қашықтықта болатын, бірақ биссектрисасына тиісті емес көптеген нүктелерді көрсетуге болады; ә)
бұрыш төбесінен жығатын деген сөз тіркестері жетпей тұрғандығына оқушылар назарын аудару керек [8].
Оқушылар жауаптарында жиі кездесетін толымсыз анықтамаларды және оларды түзетуге көмектесетін қарсы мысалдар келтірейік:

Шала анықтамалар

Қарсы мысалдар
1. Қабырғалары қос-қостан алғанда параллель болып келетін көпбұрышты параллелограмм дейміз.

Қарама-қарсы қабырғалары параллель бірақ параллелограмм емес.
2. Диагоналдары өзара тең төртбұрыш тік төртбұрыш болады.
Диагоналдары тең, тік төртбұрыш емес төртбұрыштар бар.Мысалы: тең бүйірлі трапеция.
3. Егер төртбұрыш диагоналдары өзара перпендикуляр және қилысу нүктесінде қақ бөлінсе, ол-квадрат.
Ромб диагоналдары да өзара перпендикуляр және қилысу нүктесінде тең екіге бөлінеді.
4. Егер бір сызықтың кез-келген нүктесі екінші сызықтың нүктелерінен бірдей қашықтықта жатса, онда ол сызықтар параллель түзулер деп аталады.

Концентрлі шеңберлер
5. Қисықпен ортақ бір ғана түзуді жанама дейміз.
О
У

Х

ОУ-жанама бола ма?
6. Белгісіз екінші дәрежеде болатын теңдеуді квадрат теңдеу деп атайды.
?

4-сурет
Ұғымды оның негізгі белгілері арқылы анықтау формал-логикалық анықтама деп, ол төмендегі кескінделеді:

1.3 Математикалық ұғымдардың анықтамаларының өрнектеу тәсілдері

Мектеп математика курсында кездесетін барлық ұғымдарғада анықтама беріле бермейді. Мектеп курсында анықтама берілмейтін ұғымдарды үш категорияға бөліп үйрену мүмкін.
а) негізгі ұғымдарға анықтама берілмейді(мысалы: нүкте, түзу сызық, жазықтық, қашықтық, жиын, сан және т. б.).
б) орта мектеп оқушыларының түсінуі қиын болған математикалық ұғымдарға анықтама берілмейді.
в) төменгі сыныптардың оқулықтарында кездесетін математикалық ұғымдарға анықтама берілмейді, бірақ жоғарғы сыныптарда, яғни оқушылар жүйелі түрдегі білімді игергендерінен соң, оларға анықтама беріледі.
Барлық жағдайда да үйреніліп жатқан ұғымдардың мағынасын ашу керек болады. Мысалы: қаламның ұшын дәптерге қойғанда қалдырған із бізде нүкте туралы ойларды қалыптастырады. Қаламды дәптер парағынан жүргізетін болсақ, пайда болған із бізде түзу сызық туралы ой тудырады [10].
Біз білеміз, анықтама бір немесе бір неше сөздерден, сөз тіркестерімен өрнектеледі. Сол себепті ұғымды белгілейтін сөз немесе сөз тіркестерін түсіндірмей тұрып, ол ұғымға анықтама беру мүмкін емес. Әйтпесе, көптеген қателіктерді туындатуы мүмкін. Бұл өз кезегінде меңгеруге кері әсер етеді.
Әрбір ғылыми анықтамда реал нәрселер туралы пікір айтылғандығы үшін оның маңызы өте зор. Әрбір ғылыми анықтама тек ауызекі және жазбаша формаларда келтіргендігі және ұғымдыбелгілейтін сөздің мағынасын ашып тұрғаны үшін әрбір ғылыми анықтамада, әдетте "термин" деп аталатын сөзді қолдану керектігін көрсететін номинал момент бар [11].
Тілімізде омоним құбылысы болғандықтан, кейде бір сөздің өзі түптей басқа мағыналарда келуі мүмкін. Мысалы, "гипербола" конус кесінділерінен бірі болатын қисық сызықты, сол сияқты "әсірелеу" мағынасын беруі мүмкін. Сол сияқты "түбір" , "квадрат", "куб" терминдерінде түрлі түсініктерді білдіреді.
Ұғымдың анықтамасымен сөздің мағынасын айқындау арасындағы айырмашылықты нақтырақ көру үшін шет ел тілдері сөздігіне жүгінейік.
Инверсия: 1) "орнын өзгерту"; 2) сөйлемде әдеттегі грамматикалық түзілу тәртібінен тыс, мағынасындағы нәзік айырмашылықтарды ғана өзгертетін және стилдің талап етуіне қарай қолданлатын сөздердің орнын өзгерту. Сондай-ақ, инверсия поэзияда сөздердің грамматикалық қағыдаларына, кері тәртіпте орналастыруы. Бірінші жағдай "инверсия" сөзінің айтылуы, екінші жағдай "инверсия" ұғымының анықтамасы [12].
Сөздердің мағынасын айқындау ұғымға анықтама берудің қосымша әдісі. Математиканы оқыту процесінде меңгерілетін яғни орысша интернационал сөздер көптеп кездеседі. Оқушылар осындай сөздерді жайғана жаттап алмауы үшін, оларды осы сөздердің қай тілден алынғандығы және қазақ тілінде оған қандай мағына сәйкес келуімен таныстырып өту керек. Мұндай этимологик анализ меңгерілетін сөздердің сипаттамасы, басқаша айтқанда, меңгерілетін сөздерге сәйкес ұғымдарға "анықтама" берудің қосымша әдісі болуы мүмкін, Мысалы: "трапеция"-стул, "пирамида"-от, жалын, "коллинеар"-бір түзуде жататын, "компланар"-бір жазықтықта жататын, "ноль"-еш нәрсе, "плюс"-көбрек, "минус"-аздау, "трaнспортир"-көшіру дегенмен ұғымдардың мазмұнын ашып көрсеткен болмаймыз,керісінше сөздердің мағынасын айқындаған боламыз. Бұл іс сөз және сол сөз арқылы белгіленген ұғым, оның белгілері арасындағы логикалық байланыстарды орнатуға мүмкіндік береді [13].
Кейде термин сөз тіркесінен құралған болса, сол сөздер тобы ұғымдың қысқаша анықтамасы рөлін орындауы мүмкін. Мысалы: "тең бүйірлі дұрыс бұрышты үшбұрыш" терминін алайық. Мұнда ұғымдың екі белгісі көрсетілген: а) үшбұрышта дұрыс бұрыштың бар екендігі; б)үшбұрыштың екі қабырғасынің теңдігі.Осы белгілер сол ұғымдың анықтамасында көрсетілген болуы керек. Шынында да, "катеттері тең болатын дұрыс бұрышты үшбұрыш тең бүйірлі дұрыс бұрышты үшбұрыш дейіледі". Бұл жерде мынаны еске түсіруіміз қажет, оқушылардың математикалық сөйлеуінде пайда болатын қателердің көптеген бөлігі ұғымдардың атауларын сөз тіркесі-бір неше сөздерден құралған болғанда сол сөздер немесе сөз тіркесіндегі кейбір сөздердің тәртібін бұзып айтуының нәтижесі. Мұндай қателер әсіресе математикалық әдебиеттеріміз беттерінде де кездеседі [14]. Мысалы: Жоғары оқу орындарына түсушілерге арналған "Математикалық анықтама" да (авторлар: Орифханова М және басқалар "Оқытушы" ,Т.,1973) бір ұғымдың атауы "дұрыс төртбұрышты призма" (73 бет) және "төртбұрышты дұрыс призма" (82 бет) деп екі түрде қолданған. Кейінгі термин бұрыс,себебі ол терминге кубты айту мүмкін. Мұнда "дұрыс" сөзі призмаға емес,керісінше төртбұрышқа тиісті. Шынындада, екінші терминде дұрыс призманың төртбұрыш екендігі туралы пікір айтуға болады. Біз "дұрыс төртбұрышты пирамида" десек табаны дұрыс төртбұрыш - квадраттан тұратын пирамиданы елестетеміз. Сол сияқты, "дұрыс төртбұрышты призма" дегенде бүйір жақтары емес, керісінше табаны дұрыс төртбұрыш-квадраттан құралған призманы көз алдымызға келтіреміз. Соған ұқсас мысалдардың біразын кездестіруге болады: "дұрыс үшбұрышты призма", "дұрыс үшбұрышты пирамида", "дұрыс бес бұрышты пирамида" және т. б.
Сол сияқты, "дұрыс үшбұрышты призма" және "дұрыс призма" терминдерін көреміз. Екінші терминге сай келетін ұғым бар, ал бірінші терминге қандай ұғым сәйкес келеді?
Мұндай ауытқушылықтар тез-тез ұшырап тұрады, мысалы:Сканави және басқа авторлардың ("Математикадан есептер жинағы", "Оқытушы" Т.,1975) кітабында "үшбұрышты дұрыс пирамида"(219), "төртбұрышты дұрыс қиық пирамида" (219), "төртбұрышты дұрыс призма" (220), "үшбұрышты дұрыс призма"(221) және т. б. Орыс тілінде "првильная n-угольная пирамида" немесе "првильная" сөзі көпжаққа емес,керісінше оның табанының қандай екендігіне қаратылған.
Сол себепті келтірілген бұл терминдердың барлығында "дұрыс" сөзі сөз тіркесінің бірінші компоненті болуы керек.

2 Мектеп математика курсындағы ұғымдарды қалыптастыру
2.1 Анықтамасы және олармен жүргізілетін жұмыстар

Ұғымдарды қалыптастырудың негізгі бөлігі бізді қоршаған орта және оқиғалар мен танысуды өз ішіне алады. Бұл бөліктің түп негізі бөлек-бөлек алынған заттар және оқиғаларды көріп, үйрену олардың негізгі белгілерін меңгеруден тұрады. Бірақ, олармен танысуды әртүрлі кезеңдерде жүзеге асыруға болады. Егер ол мәлім уақытта жүзеге асырылатын болса, онда оның негізінде сезім және түйсік жатады. Егер ол бұрын жүзеге асқан болса, ол кезде оны мен танысу негізінде қайта жаңғыртылатын ойлар жатады.
Бұл бөлімде оқушылардың білім дәрежелерін көтеретін көрнекілік құралдарын ауқымды пайдалану керек. Одан бөлек ұғымдарды қалыптастыру процесінің бұл бөлімінде оқушыларды мектепке дейінгі және мектептен тыс алатын эмпирик ойларына қарамастан өту мүмкін емес.Олардан тирек білім ретінде пайдалану керек.
1) Оқушылардың тәжірибелері және меңгерген білімінен пайдалана отырып, ұғым туралы дұрыс ой қалыптастыру.
2) Анализ жасау, айырмашылықтарын анықтау жолымен ұғымдың мазмұнына кіру, сол сияқты оның ең негізгі белгілерін қолға алу.
3) Ұғымдың негізгі белгілерін синтетик жолмен қарау және оған анықтама беру.
4) Осы ұғымды нақты ұғымдар жүйесіне кіргізу және оны қолдану.
Ұғымдардың меңгерудің көрсетілген белгілеріне сәйкес олардың сандық көрсеткіштерін былай анықтауға болады:
Ұғымды меңгеру жоғарыда аталған белгілерді қанағаттандыруына байланысты оларды меңгерудің деңгейлері анықталады. Бірінші деңгейде оқушы ұғымның белгілерін көрсете алады. Бірақ елеулі белгілерін елеусіз белгілерінен ажырата алмайды. Екінші деңгейде оқушы ұғымның барлық елеулі белгілерін игереді, бірақ ұғым жекелеген бейнелерге тұсалып қалған, жалпыланбаған.
Үшінші деңгейде ұғым жалпыланған, бұрын негіз болған бейнелерге тұсалып қалмаған; ұғымның басқа ұғымдармен байланыстары меңгерілген және соның жәрдемімен оқушы ұғымды әртүрлі есептер шығарғанда еркін қолданады [15].

Оқушылардың математикалық ұғымдарды меңгеру үрдісі
Ұғымның қалыптасуы
Ұғымның дамуы
Деректі талдаужәне салыстыру арқылы жалпы белгілерін анықтау
анықтау
Елеулі белгілерін тиянақтау және бекіту
Ұғымға анықтама беру
Елеулі белгілерін елеусіз белгілерін ажырату
Өз жүйесіндегі ұғымдармен байланыстарын анықтау
Басқа жүйе ұғымдарымен байланыстарын анықтау
Ұғымды есептер шығаруда қолдану
Ұғымды басқа пән ұғымдарымен байланыстарын анықтау
Ұғымды классификациялау
Ұғымды жалпылау
Ұғымның басқа анықтамасы
Ұғымды әртүрлі мазмұнды шығармашылық есептер шығаруда қолдану

6-сурет
Мектеп оқушыларының математикалық ұғымдарының меңгеруінің басты шарттарының бірі- мұғалімнің әрбір ұғым мазмұнын және оның сол пәндегі алатын орнын терең білуі қажет. Бұл шарт орындалмаса ұғымның қалыптасуы және оны оқушылардың меңгеруі туралы сөз қозғау да дұрыс болмаған болар еді. Пән мұғалімі ұғымды алғаш енгізгеннен бастап, оның оқушы мектеп бітіргенге дейінгі аралықтағы жүру жолының әрбір бөліктеріне, келіп тірелетін ең жоғарғы нүктесіне қойылатын талаптарды жетік білуі тиіс. Бұл талаптар орындалғанда ғана, оқытушы ұғым дамуының болашағына көз жеткізе алады және мәреге жету саналы да, мақсатты түрде жүзеге асады. Көп жағдайда мұғалімдер ұғымдарды оқытуды оқулық желісімен өткізеді, тек сонымен ғана шектеледі. Оның ғылымда алатын орнына және бағдарлама талабына сай жүргізілмейді, кей уақытта ұғымның даму заңдылықтары бағдарламаның өзінде де ескеріле бермейді. Мысалы, "биссектриса" ұғымын оқытуда оқулықта қарастырылған бұрыштың және үшбұрыштың биссектрисасының анықтамасы, тең бүйірлі үшбұрыштың төбесінен жүргізілген биссектрисасының қасиеті, бұрыштың биссектрисасын салу, үшбұрыш биссектрисасының қарсы жатқан қабырғаны былайғы екі қабырғаға пропорционал кесінділерге бөлетіндігі, үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі оның биссектрисаларының қиылысу нүктесі болатындығы жөніндегі деректер ғана үйретіледі. Ал биссектриса туралы оқушыларға беруге болатын басқа да толып жатқан қатыстар мен байланыстар қарастырылмайды. Ең болмағанда кейбір төмендегідей : 1) "тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан жүргізілген биссектриса сол төбеден түсірілген биіктік пен медиана арасындағы бұрышты тең екіге бөледі" ;
2) "кез келген үшбұрыштың биссектрисасы сол төбеден жүргізілген медиана және биіктікпен беттеседі немесе олардың арасында орналасады" ;
3)
а

A
B
C
а
в
с

4 )

7-сурет

тұжырымдары дәлелденсе оқушылардың " үшбұрышбиссектрисасы" ұғымы жөнінде ой-өрісі кеңейген болар еді, биссектриса ұғымының үнемі даму үстінде болатындығына көз жеткізер еді.
Ұғымды оқушылардың тиянақты меңгеруі үшін әр мұғалім үшін сол ұғым туралы деректер жинап, оның даму кезеңдерін саралап және қай уақытта, қандай әдіспен оқыту керектігіне мұқият дайындалуы қажет, дәлірек айтсақ, әрбір ұғымға логикалық-әдістемелік талдау жасауы керек. Математикалық ұғымдарға жасалатын логикалық-әдістемелік талдаудың негізгі мақсаттары төмендегідей болуы керек:
1) ұғымның математика ғылымында пайда болуы және дамуы жолдарын саралау;
2) мектеп оқулықтарында және әдістемелік әдебиеттерде ұғымды баяндау тәсілдерін талдау;
3) ұғымның мектеп математикасындағы даму жолдарын болын;
4) ұғымдардың өзара байланыстарын айқындау;
5) негізгі ұғымдар, амал ұғымдар, қатынас- ұғымдар, заң ұғымдар және шама ұғымдар арасындағы байланыстарды терең ашуға болатын мүмкіншіліктерді жан- жақты білу;
6) қандай математикалық есептер ұғымдардың дамуына зор ықпал жасайды және оларды оқушылардың жас ерекшеліктерін, білім деңгейлерін еске ала отырып, қай мезгілде, қандай мөлшерде және қалай ұсыну жолдарын көрсету [16].
Қандай да бір ұғымдың көлемі және мазмұны болады. Ұғымға кіретін объекттер жиыны осы ұғымдың көлемін құрайды. Мысалы: дұрыс төртбұрыш ұғымының көлемін қабырғаларының ұзындықтарының шамалары әр түрлі болатын (үлкен-кіші) дұрыс төртбұрыштар құрайды.
Ұғымдардың көлемдері арасындағы қатынастарды көрме сияқты көрсету үшін Леонард Эйлер дөңгелектерден қолдануды ұсынды. Сол себепті ұғымдардың көлемдері арасындағы қатынастарды сызбада Эйлер дөңгелектері деп атайды. Мұнда қандай да бір ұғымдың көлемі шартты түрде бір дөңгелек ретінде қабылданады. Егер дұрыс төртбұрыш ұғымын бір дөңгелек арқылы сызатын болсақ, қабырғалары әр түрлі болатын әрбір дұрыс төртбұрыш үшін осы дөңгелекте бір нүкте сай келеді(1-а сурет). Кейбір предметтер класына тиісті болған предметтер группасы үлкен дөңгелек ішінде орналасатын кіші дөңгелекпен белгіленеді.Мысалы:рационал сандарды 1-б суреттегі үлкен дөңгелек десек,бүтін сандарды кіші дөңгелек арқылы сызамыз.
Егер бір неше негізгі ұғымдар ортақ бір ұғымға біріксе, онда 1-в сурет шығады. Мұнда үлкен шеңбер сан ұғымына сай келсе, І дөңгелек натурал санға, ІІ дөңгелек бөлшек санға, ІІІ дөңгелек бүтін теріс санға сай және т.б.
Егер екі ұғымдың көлемдерісай келсе, онда бұл екі қиылысатын дөңгелектер арқылы бейнеленеді.Мысалы: 1-2 суретте осы екі ұғым сызба түрінде бейнеленген.

С

ІІІ
ІІ
І
а
б
в
г
д

8-сурет

Егер жиындар тұрғысынан қарайтын болсақ, сан ұғымына 1-д суреттегі шеңберлер сай келеді. Мұнда N-натурал сандар жиынын,С-бүтін сандар жиынын, R-рационал сандар жиынын, Д-нақты сандар жиынын, К-комплекс сандар жиынын білдіреді.
Мектеп математика курсынан көлемдерді салыстыру мүмкін болатын қалағанша мысалкелтіруге болады. Мысалы: көпбұрыш, төртбұрыш, квадрат, ромб, трапеция. Бұл ұғымдарды Эйлер шеңберімен бейнелесе, трапеция параллелограмдар класына кірмейтіні нақты көрінеді. Көлем жағынан кең ұғымды жинс ұғымы, ал көлемі тар болатын ұғымды тур жағынан айырмашылығы деп айтылады. Басқаша айтқанда, егер бір ұғымдың көлемі екінші ұғым көлемінің бір бөлігін құраса, онда бірінші ұғым тур, екіншісі ұғымның тегі есептелінеді. Мысалы: көпбұрыш тектікұғым; үшбұрыш - түр ұғымы.
Ұғымның тегі тағы ортақ ұғымға қарағанда түр ұғымы рөлін береді. Мысалы: көпбұрыш геометриялық фигураның бір түрі. Түр ұғымы туралыда дәл осындай пікір айтуға болады. Мысалы, үшбұрыш ұғымы, тең бүйірлі үшбұрышұғымына қарағанда тектік ұғым қызметін атқарады.
Тектік белгілері деп мынадай белгілерге айтылады, нәрсе берілген тектік нәрселерге тиісті болады. Тур белгілері мынадай, олардың көмегімен бір нәрсені сол тектегі басқа нәрселерден айырмашылықтарын табу мүмкіндігін береді. Мысалы, үшбұрыш ұғымы үшін үш қабырғаға ие болған көпбұрыш ұғымы тектік ұғым;үшбұрышта дұрыс бұрыштың болуы тур белгісі, себебі ол үшбұрыштың жеке түрі- дұрыс бұрышты үшбұрышты көрсетеді.
Ұғымға кіретін объекттердің негізгі қасиеттерінің жиыны осы ұғымдың мазмұнын құрайды. Мысалы, дұрыс төртбұрыш ұғымының мазмұнын оның төмендегі қасиеттерінің жиыны құрайды; дөңес және ойыс қарама-қарсы қабырғалары тең және параллель, бұрыштары және диагоналдары тең және т. б.
Ұғымдың мазмұны оның көлемін және керісінше,ұғымдың көлемі оның мазмұнын анықтайды. Осыдан көрініп тұрғаныдай ұғым мазмұнының өзгеруі оның көлемінің өзгеруіне себеп болады. Демек ұғымдың мазмұны қаншалықты кең болса,оның көлемі соншалықты тар болады және керісінше, ұғымдың мазмұны қаншалықты тар болса оның көлемі соншалықты кең болады. Мысалы, параллелограм ұғымының көлемі параллелограмдың барлық түрлерінен тұрады, мазмұны параллелограмдың төртбұрыштығы және параллелограмдың қарама-қарсы қабырғаларының жұп-жұбымен параллель болуы құрайды. Енді параллелограм ұғымының мазмұнын құрайтын, айтып өтілген белгілерге жаңа белгі - бұрыштың теңдігін қосатын болсақ онда параллелограм ұғымының көлемі қысқарады, бұл ұғымға шамалары әр түрлі болатын дұрыс төртбұрыштар, яғни барлық параллелограмдардың тек бір бөлігі кіреді. Ұғымдың көлемі қаншалықты қысқа болса, оның мазмұны соншалықты кең болады. Мысалы, теңдеу және квадрат теңдеу ұғымдарының біріншісін түбірі бар немесе түбірі жоқ деп айтуымыз мүмкін. Екіншісіне квадрат теңдеудің екі түбірі болады, квадрат теңдеудің түбірлерінің қосындысы теңдеудің қарама-қарсы таңбамен алынатын екінші мүше коэффициентіне тең және тағы басқада белгілерді айтуымыз мүмкін.
Ұғымдың мазмұнына кейбір объекттерге тиісті болатын белгілер қосымша ретінде қосылса, онда бұл жағдай ұғымды шектеуге алып келеді. Бұл пікірді дәлелдеу мақсатында төмендегі мысаларды қарастырайық:
1) көпбұрыш-төртбұрыш-параллелограм-дұ рыс төртбұрыш-квадрат;
2) комплекс сан-иррационал сан-рационал сан-бүтін сан-натурал сан;
3) көпбұрыш - үшбұрыш-дұрыс бұрышты үшбұрыш-тең бүйірлі дұрыс бұрышты үшбұрыш.
Егер ұғымдың мазмұны қысқартырылса, яғни оның көлемі кеңейтілсе онда ұғымды жалпылау жұмысы орындалады. Мысалы, квадрат-дұрыс төртбұрыш-параллелограм-төртбұрыш-к өпбұрыш-геометриялық фигура. Әр түрлі атауы бар пішін геометриялық фигура ұғымымен жалпыланады.
Ұғымды шектеу және жалпылау кезінде кейбір ұғымдардың көлемі басқа ұғымдарға қарағанда қысқарады, кейбірлері кеңейе түседі.
Жоғарыда айтылған пікірлерге назар аударатын болсақ, мынаны айтуымыз мүмкін, тур белгілерін түсіріп қалдыру нәтижесінде ұғымды жалпылауға ұмтылса, тектік белгілеріне қосымша қосу арқылы ұғымды шектеу жұмысын жүргізеді. Ұғымдарды бөлуде,бөлінетін ұғымға бағынатан тур ұғымдары көрсетіліп беріледі. Ұғымдар анық негізге көре болады.Мысалы, үшбұрыш ұғымын бөлгенде, оның қабырғаларының ұзындықтарына негізделсе, онда тең қабырғалы үшбұрыш, тең бүйірлі үшбұрыш , түрлі қабырғалы үшбұрыш деп түрге бөлеміз. Ал, сол үшбұрыш ұғымын бөлектеуде оның бұрыштары айтылатын болса,онда оны дұрыс бұрышты үшбұрыш, сүйір бұрышты үшбұрыш, доғал бұрышты үшбұрыш сияқты бөліктерге бөлеміз. Мынаны айтып өтуіміз керек, оқушылыр ұғымдарды бөлуде көбінесе қателік жібереді. Оларға үшбұрыштардың түрлерін айт деген тапсырма берілсе, оқушылар үшбұрыштың тең бүйірлі, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.