Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
І тарау. Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер
1.1. Гармониялық тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1.2. Маятниктердің тербелістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...9
1.3. Бір түзудің бойымен бағытталған тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
1.4. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
1.5. Өшетін және мәжбүр тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21
1.6. Механикалық тербелістер тарауы бойынша қайталау сұрақтары мен есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
ІІ тарау. Механикалық тербелістер тақырыбының тәжірибелерін сандық модельдеу
2.1. Сандық модельдеу пәні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
2.2. Модель ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
2.3. Компьютерлік модельдеуде қолданылған бағдарлама ... ... ... ..39
2.4. Бір түзудің бойымен бағытталған тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...42
2.5. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6. Өшетін тербелістерді сандық модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .5
І тарау. Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер
1.1. Гармониялық тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...6
1.2. Маятниктердің тербелістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...9
1.3. Бір түзудің бойымен бағытталған тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
1.4. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
1.5. Өшетін және мәжбүр тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21
1.6. Механикалық тербелістер тарауы бойынша қайталау сұрақтары мен есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
ІІ тарау. Механикалық тербелістер тақырыбының тәжірибелерін сандық модельдеу
2.1. Сандық модельдеу пәні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 32
2.2. Модель ұғымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
2.3. Компьютерлік модельдеуде қолданылған бағдарлама ... ... ... ..39
2.4. Бір түзудің бойымен бағытталған тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...42
2.5. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6. Өшетін тербелістерді сандық модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
Кіріспе
Зерттеу жұмысының өзектілігі:
«Тербелістер физикасы» өз алдына физика ғылымының арнаулы бір саласы. Ол табиғатты әр түрлі тербелістер процестерін біріктіріп, бірдей (сандық) заңдылықтар негізінде қарастырады. Компьютерлік технологиялардың дамуы ғылымның барлық саласына септігін тигізуде. Тербелмелі үдерістер күрделі заңдылықтарға бағынатындықтан есептеулерде сандық әдістер көмегіну жүгінуге тура келеді.
Тербелістерді зерттеуге көп үлес қосқан ғалымдар: ағылшындардан-У. Томсон(лорд Кельвин) және Дж. Релей, орыстардан А.С. Попов және П.Н. Лебедев,А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, және т. б.
Бағыттары бірдей екі тербелістердің қосылуының, өзара перпендикуляр тербелістерді қосу графигін, техникаларда болатын сызықтық емес тербелістерді сипаттауда компьютерлік модельдеуге жүгінуге тура келеді. Оның көмегімен түрлі маятниктердің, өшетін және мәжбүр тербелістердің қозғалысын сандық модельдеу олардың қозғалыс ерекшеліктерін көрнекілендіруге мүмкіндік аламыз. Бұл мәселені шешуде компьютерлік моделдеу мен есептеуді қолданудың маңызы өте зор. Себебі бұл тақырыптардың механикалық моделін жасау қиын, ал шығатын графигінің күрделілігі компьютерлік есептеуді талап етеді.
Осы бағытта қазіргі таңда жоғары оқу орындарында оқытудың иновациялық әдістері қолданылып келеді. Солардың бірі, оқу үрдісінде жаңа технологияларды, интерактивті әдістер мен компьютерлік технологияларды қолдану болып табылады. Механикалық тербелістер тақырыбының көрнекіленуін ұйымдастыру проблемасы осы дипломдық жұмыстың өзектілігін білдіреді.
Физикадағы тәжірибелерді оңай түсіндіруге мүмкіндік беретін компьютерлік моделдер физиканы оқыту үдерісіндегі жаңа әдістердің бірі болып саналады. Дипломдық жұмыста сол модельдер құрастырылды. Бұл жұмыстар сондай – ақ кейбір қарапайым жағдайларды есептеуге мүмкіндік туғызады.
Бірінші тарауда тербелістердің тәжірибелік негізін, олардың физикалық тұрғыдан түсіндірілуін, қолданылуын, есептелу жолдарын қарастырдық. Сонымен қатар тақырып бойынша ұсынылатын сұрақтар мен жаттығулар қарастырылады.
Екінші тарауда сол жасалған тәжірибелердің компьютердегі жазылуы, суреттері мен алгоритмдік блок сұлбалары мен бағдарламасы енгізілген.
Дипломдық жұмысымыз физиканың компьютерлік әдістері, физика-механикалық үдерістерді сандық модельдеу, информатикдан оимпиадалық есептерді шығаруда қолданыс табады деп есептейміз.
Зерттеу жұмысының нысанасы:
Оқу барысында алған білімдерді пайдалана отырып, бағдарламалау тілдерінде есеп шығару жолдарының кейбір мәселелерін қарастыру. Объектілі бағдарланған бағдарламалау тілдерінде динамикалық модельдер құру мәселесі негізгі нысан болып отыр.
Зерттеу жұмысының мақсаты:
Зерттеу жұмысымның барысында физиканың күрделі тақырыптарының бірі– Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелердің физикалық заңдылықтары мен бағдарламалау тілдері арасындағы алгоритмдік байланысты қалыптастыру жолдарын ұйымдастыру дипломдық жұмысымның мақсатын анықтайды.
Зерттеудің ғылыми болжамы:
Егер оқыту үдерісінде физикалық құбылыстардың сандық заңдылықтарға бағынатындығы компьютерлік модельдер арқылы көрсетілсе бағдарламалау тілінің басқа пәндерде алатын маңызы мен міндеті айқындалады. Объектілі бағдарланған бағдарламалау тілдерінде жасалған динамикалық модельдер құбылысты толығымен түсіндіреді деп есептелінеді егер оның нәтижесі жалқыдан жалпыға көшкен, яғни барлық жеке жағдайларды қамтитын болса.
Зерттеу жұмысының өзектілігі:
«Тербелістер физикасы» өз алдына физика ғылымының арнаулы бір саласы. Ол табиғатты әр түрлі тербелістер процестерін біріктіріп, бірдей (сандық) заңдылықтар негізінде қарастырады. Компьютерлік технологиялардың дамуы ғылымның барлық саласына септігін тигізуде. Тербелмелі үдерістер күрделі заңдылықтарға бағынатындықтан есептеулерде сандық әдістер көмегіну жүгінуге тура келеді.
Тербелістерді зерттеуге көп үлес қосқан ғалымдар: ағылшындардан-У. Томсон(лорд Кельвин) және Дж. Релей, орыстардан А.С. Попов және П.Н. Лебедев,А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, және т. б.
Бағыттары бірдей екі тербелістердің қосылуының, өзара перпендикуляр тербелістерді қосу графигін, техникаларда болатын сызықтық емес тербелістерді сипаттауда компьютерлік модельдеуге жүгінуге тура келеді. Оның көмегімен түрлі маятниктердің, өшетін және мәжбүр тербелістердің қозғалысын сандық модельдеу олардың қозғалыс ерекшеліктерін көрнекілендіруге мүмкіндік аламыз. Бұл мәселені шешуде компьютерлік моделдеу мен есептеуді қолданудың маңызы өте зор. Себебі бұл тақырыптардың механикалық моделін жасау қиын, ал шығатын графигінің күрделілігі компьютерлік есептеуді талап етеді.
Осы бағытта қазіргі таңда жоғары оқу орындарында оқытудың иновациялық әдістері қолданылып келеді. Солардың бірі, оқу үрдісінде жаңа технологияларды, интерактивті әдістер мен компьютерлік технологияларды қолдану болып табылады. Механикалық тербелістер тақырыбының көрнекіленуін ұйымдастыру проблемасы осы дипломдық жұмыстың өзектілігін білдіреді.
Физикадағы тәжірибелерді оңай түсіндіруге мүмкіндік беретін компьютерлік моделдер физиканы оқыту үдерісіндегі жаңа әдістердің бірі болып саналады. Дипломдық жұмыста сол модельдер құрастырылды. Бұл жұмыстар сондай – ақ кейбір қарапайым жағдайларды есептеуге мүмкіндік туғызады.
Бірінші тарауда тербелістердің тәжірибелік негізін, олардың физикалық тұрғыдан түсіндірілуін, қолданылуын, есептелу жолдарын қарастырдық. Сонымен қатар тақырып бойынша ұсынылатын сұрақтар мен жаттығулар қарастырылады.
Екінші тарауда сол жасалған тәжірибелердің компьютердегі жазылуы, суреттері мен алгоритмдік блок сұлбалары мен бағдарламасы енгізілген.
Дипломдық жұмысымыз физиканың компьютерлік әдістері, физика-механикалық үдерістерді сандық модельдеу, информатикдан оимпиадалық есептерді шығаруда қолданыс табады деп есептейміз.
Зерттеу жұмысының нысанасы:
Оқу барысында алған білімдерді пайдалана отырып, бағдарламалау тілдерінде есеп шығару жолдарының кейбір мәселелерін қарастыру. Объектілі бағдарланған бағдарламалау тілдерінде динамикалық модельдер құру мәселесі негізгі нысан болып отыр.
Зерттеу жұмысының мақсаты:
Зерттеу жұмысымның барысында физиканың күрделі тақырыптарының бірі– Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелердің физикалық заңдылықтары мен бағдарламалау тілдері арасындағы алгоритмдік байланысты қалыптастыру жолдарын ұйымдастыру дипломдық жұмысымның мақсатын анықтайды.
Зерттеудің ғылыми болжамы:
Егер оқыту үдерісінде физикалық құбылыстардың сандық заңдылықтарға бағынатындығы компьютерлік модельдер арқылы көрсетілсе бағдарламалау тілінің басқа пәндерде алатын маңызы мен міндеті айқындалады. Объектілі бағдарланған бағдарламалау тілдерінде жасалған динамикалық модельдер құбылысты толығымен түсіндіреді деп есептелінеді егер оның нәтижесі жалқыдан жалпыға көшкен, яғни барлық жеке жағдайларды қамтитын болса.
Пайдаланылған әдебиеттер
1. Абдуллаев Ж. Механикаға кіріспе – Алматы: 1998 ж., 96 б.
2. Ақылбеков. Ә. Физика. Техникалық жоғары оқу орындары студенттеріне арналған оқу құралы. Алматы: Білім, 1997 ж. 160 б.
3. Арызханов. Б.С. Физика жоғарғы оқу орындары даярлық бөлімінің тыңдаушыларына және төменгі курс студенттеріне арналған көмекші құрал. 2-ші басылым. Алматы: Рауан, 1994 – 236 б.
4. Ахметова. Б.Ғ. Әбділбаев Ә.Х. Физика: жоғары оқу орындары даярлық бөлімінің тыңдаушыларына және төменгі курс студенттеріне арналған көмекші құрал. Алматы: мектеп, 1987 – 219 б.
5. Архангельский М.М. Курс физики. Учеб. Пособие для студентов физ-мат пед.институтов. Изд 3-е, перераб-м Просвщение 1975 – 424 с.
6. Байпақбаев Т. Жолдабаев. М. Физика механика 9 кл физика оқулығына қосымша құрал. Алматы: Рауан, 1994 – 136 б.
7. Детлаф А.А. Яворский. Б.М. Курс физики: Учеб пособие для втузов-м: Высщ м.п. 1984 – 60 с.
8. Зисман Г.А. Тодес О.М. Курс общей физики Т1. Механика, молекулярная физика, Колебания и волны: М: Наука, 1969 – 340 с.
9. Иродов И.В. Основные законы механики: Учеб пособие для вузов- М.: Высш. шк. 1978 – 240 с.
10. Исмагулов Б. Исаев. К. «Каким быть вузкому учебникуң Ж. высшая школа Казахстана 1999, № 2 – 29 с.
11. Киттель, Наит В., Рудерман. М. Механика – изд. 3-е испр. Перс. Англ. Пед ред. А.И. Шальниковой, А.С. Ахметова – М: наука, 1983 – 448 с.
12. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Механика – М: физмат изд. 1958 г
13. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. Учеб пособие для вузов – М: Высшая школа 1976 – 417 с.
14. Савельев И.В. Жалпы физика курсы І том механика тербелістері мен толқындар, молекулалық физика. Алматы: мектеп 1977. 503 б.
15. Сивухин Д.В. Общий курс физики механика. Учеб. Пособие для вузов 2-е изд., испр –м: 1979 г.
16. Стрелков С.П. Механика – М: Наука, 1965 г.
17. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановский лекция по физике выпуски 1-2, - М: Мир 1965 г.
18. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Жалпы физика курсы І том механиканың физика негіздері: молекулалық физика. Тербелістер және толқындар. Алматы: Қазақтың мемлекеттік оқу баспасы, педагогика 1962 – 510 б.
19. Хайкин С.Э. Физический основы механики.М: физмат – из 1962 г.
20. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики: Т1 и Т2 2-е изд перераб – М: Наука, 1974– 496 с и 464с.
21. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физики: – М: Наука, 1990, 624с.
22. Е. М. Гаршензон. Н.Н. Малов «Курс общей физики. Механика». М.:Наука, 1987 г.стр 408.
23. Н. В. Александров. А. Я. Яшин. «Курс общей физики. Механика». М.:Просвещение, 1978 г.стр 475.
24. Қойшыбаев Н., Шарықбаев А. «Физика» I том. –Алматы: 2001 ж.-265 бет.
25. Киттель Р., Наит В., Рудерман М. Механика – изд. 3-е испр.Перс. Англ. Пед
ред. А.И. Шальшиковы, А.С. Ахметова – М: наука, 1983 – 448 с.
26. Косов В.Н., Красиков С.А. Численное моделирование на уроках физики
Алматы. ТОС « Алматы кітап» 2005. - 240с
27. Бурсиан Э.В. Физика: 100 задач для решения на компьютере.
Спб: ИД « МИМ» 1997.
28. Наркевич И.И., Лобко С.И., Волмянский Э.И., Физика. –
Минск: Новое знание, 2004.- 680с
29. Караев Ж.А. Дидактические проблемы изменения компьютерных
технологий для модернизации школьного образования. – Алматы: 1994г.
30. Караев Ж.А., Нурахметов Н.Н и др. Дидактические требования к
разработке и экспертизе программ учебников, УМК. – Алматы: РИК, 2000.
31. Захарова И.Г. Информационные технологии в образовании. –М.:
Академия, 2003. – 192с.
32. Медешова А.Б. «Бастауыш сынып оқушыларының танымдық әрекетін ақпараттық технология арқылы қалыптастыру.- Орал: Ағартушы, 2007. –120бет
33. Машбиц Е.И. Психолого-педагогические проблемы компьютеризации
обучения.- М.: 1988.
Internet
1.Мельников А.В, Цытович П.Л. Принципы построения обучающих систем и их классификация.//Электронный журнал « Педагогические и информационные технологии» - 2001- №4 http: // scholar. urc.ac.ru / ped- yournal / numero 4 / pedag / tsit 3. html. ru.
2.Зимина О.В., Кириллов А.И. Рекомендаций по созданию электронного учебника. Академия XXI века. http: // www academia xxi. Ru./ meth – paper / AO – recom – thtm.
3.Митко К.А., Щеглов О.Н, Федров А.Г. Учебники нового покаления и новые задачи образования вXXI в http: // w.w. artinfo. ru / eva/ eva 2000 m / evapaper/200003/Mitko-R.htme.
4.Осин А.В. Технология и критерии оценки образовательных электронных изданий http: //WWW.ito edu.ru /2001/ito/p.htmt.
1. Абдуллаев Ж. Механикаға кіріспе – Алматы: 1998 ж., 96 б.
2. Ақылбеков. Ә. Физика. Техникалық жоғары оқу орындары студенттеріне арналған оқу құралы. Алматы: Білім, 1997 ж. 160 б.
3. Арызханов. Б.С. Физика жоғарғы оқу орындары даярлық бөлімінің тыңдаушыларына және төменгі курс студенттеріне арналған көмекші құрал. 2-ші басылым. Алматы: Рауан, 1994 – 236 б.
4. Ахметова. Б.Ғ. Әбділбаев Ә.Х. Физика: жоғары оқу орындары даярлық бөлімінің тыңдаушыларына және төменгі курс студенттеріне арналған көмекші құрал. Алматы: мектеп, 1987 – 219 б.
5. Архангельский М.М. Курс физики. Учеб. Пособие для студентов физ-мат пед.институтов. Изд 3-е, перераб-м Просвщение 1975 – 424 с.
6. Байпақбаев Т. Жолдабаев. М. Физика механика 9 кл физика оқулығына қосымша құрал. Алматы: Рауан, 1994 – 136 б.
7. Детлаф А.А. Яворский. Б.М. Курс физики: Учеб пособие для втузов-м: Высщ м.п. 1984 – 60 с.
8. Зисман Г.А. Тодес О.М. Курс общей физики Т1. Механика, молекулярная физика, Колебания и волны: М: Наука, 1969 – 340 с.
9. Иродов И.В. Основные законы механики: Учеб пособие для вузов- М.: Высш. шк. 1978 – 240 с.
10. Исмагулов Б. Исаев. К. «Каким быть вузкому учебникуң Ж. высшая школа Казахстана 1999, № 2 – 29 с.
11. Киттель, Наит В., Рудерман. М. Механика – изд. 3-е испр. Перс. Англ. Пед ред. А.И. Шальниковой, А.С. Ахметова – М: наука, 1983 – 448 с.
12. Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Механика – М: физмат изд. 1958 г
13. Матвеев А.Н. Механика и теория относительности. Учеб пособие для вузов – М: Высшая школа 1976 – 417 с.
14. Савельев И.В. Жалпы физика курсы І том механика тербелістері мен толқындар, молекулалық физика. Алматы: мектеп 1977. 503 б.
15. Сивухин Д.В. Общий курс физики механика. Учеб. Пособие для вузов 2-е изд., испр –м: 1979 г.
16. Стрелков С.П. Механика – М: Наука, 1965 г.
17. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановский лекция по физике выпуски 1-2, - М: Мир 1965 г.
18. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Жалпы физика курсы І том механиканың физика негіздері: молекулалық физика. Тербелістер және толқындар. Алматы: Қазақтың мемлекеттік оқу баспасы, педагогика 1962 – 510 б.
19. Хайкин С.Э. Физический основы механики.М: физмат – из 1962 г.
20. Яворский Б.М., Пинский А.А. Основы физики: Т1 и Т2 2-е изд перераб – М: Наука, 1974– 496 с и 464с.
21. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физики: – М: Наука, 1990, 624с.
22. Е. М. Гаршензон. Н.Н. Малов «Курс общей физики. Механика». М.:Наука, 1987 г.стр 408.
23. Н. В. Александров. А. Я. Яшин. «Курс общей физики. Механика». М.:Просвещение, 1978 г.стр 475.
24. Қойшыбаев Н., Шарықбаев А. «Физика» I том. –Алматы: 2001 ж.-265 бет.
25. Киттель Р., Наит В., Рудерман М. Механика – изд. 3-е испр.Перс. Англ. Пед
ред. А.И. Шальшиковы, А.С. Ахметова – М: наука, 1983 – 448 с.
26. Косов В.Н., Красиков С.А. Численное моделирование на уроках физики
Алматы. ТОС « Алматы кітап» 2005. - 240с
27. Бурсиан Э.В. Физика: 100 задач для решения на компьютере.
Спб: ИД « МИМ» 1997.
28. Наркевич И.И., Лобко С.И., Волмянский Э.И., Физика. –
Минск: Новое знание, 2004.- 680с
29. Караев Ж.А. Дидактические проблемы изменения компьютерных
технологий для модернизации школьного образования. – Алматы: 1994г.
30. Караев Ж.А., Нурахметов Н.Н и др. Дидактические требования к
разработке и экспертизе программ учебников, УМК. – Алматы: РИК, 2000.
31. Захарова И.Г. Информационные технологии в образовании. –М.:
Академия, 2003. – 192с.
32. Медешова А.Б. «Бастауыш сынып оқушыларының танымдық әрекетін ақпараттық технология арқылы қалыптастыру.- Орал: Ағартушы, 2007. –120бет
33. Машбиц Е.И. Психолого-педагогические проблемы компьютеризации
обучения.- М.: 1988.
Internet
1.Мельников А.В, Цытович П.Л. Принципы построения обучающих систем и их классификация.//Электронный журнал « Педагогические и информационные технологии» - 2001- №4 http: // scholar. urc.ac.ru / ped- yournal / numero 4 / pedag / tsit 3. html. ru.
2.Зимина О.В., Кириллов А.И. Рекомендаций по созданию электронного учебника. Академия XXI века. http: // www academia xxi. Ru./ meth – paper / AO – recom – thtm.
3.Митко К.А., Щеглов О.Н, Федров А.Г. Учебники нового покаления и новые задачи образования вXXI в http: // w.w. artinfo. ru / eva/ eva 2000 m / evapaper/200003/Mitko-R.htme.
4.Осин А.В. Технология и критерии оценки образовательных электронных изданий http: //WWW.ito edu.ru /2001/ito/p.htmt.
Мазмұны
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
І тарау. Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер
1.1. Гармониялық
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..6
1.2. Маятниктердің
тербелістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...9
1.3. Бір түзудің бойымен бағытталған
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
1.4. Өзара перпендикуляр тербелістерді
қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
1.5. Өшетін және мәжбүр
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21
Механикалық тербелістер тарауы
бойынша қайталау сұрақтары мен
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
ІІ тарау. Механикалық тербелістер тақырыбының
тәжірибелерін сандық модельдеу
2.1. Сандық модельдеу
пәні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... 32
2.2. Модель ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
2.3. Компьютерлік модельдеуде қолданылған бағдарлама ... ... ... ..39
2.4. Бір түзудің бойымен бағытталған
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...42
2.5. Өзара перпендикуляр тербелістерді
қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6. Өшетін тербелістерді сандық
модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
Кіріспе
Зерттеу жұмысының өзектілігі:
Тербелістер физикасы өз алдына физика ғылымының арнаулы бір саласы.
Ол табиғатты әр түрлі тербелістер процестерін біріктіріп, бірдей (сандық)
заңдылықтар негізінде қарастырады. Компьютерлік технологиялардың дамуы
ғылымның барлық саласына септігін тигізуде. Тербелмелі үдерістер күрделі
заңдылықтарға бағынатындықтан есептеулерде сандық әдістер көмегіну жүгінуге
тура келеді.
Тербелістерді зерттеуге көп үлес қосқан ғалымдар: ағылшындардан-У.
Томсон(лорд Кельвин) және Дж. Релей, орыстардан А.С. Попов және П.Н.
Лебедев,А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, және
т. б.
Бағыттары бірдей екі тербелістердің қосылуының, өзара перпендикуляр
тербелістерді қосу графигін, техникаларда болатын сызықтық емес
тербелістерді сипаттауда компьютерлік модельдеуге жүгінуге тура келеді.
Оның көмегімен түрлі маятниктердің, өшетін және мәжбүр тербелістердің
қозғалысын сандық модельдеу олардың қозғалыс ерекшеліктерін
көрнекілендіруге мүмкіндік аламыз. Бұл мәселені шешуде компьютерлік
моделдеу мен есептеуді қолданудың маңызы өте зор. Себебі бұл тақырыптардың
механикалық моделін жасау қиын, ал шығатын графигінің күрделілігі
компьютерлік есептеуді талап етеді.
Осы бағытта қазіргі таңда жоғары оқу орындарында оқытудың
иновациялық әдістері қолданылып келеді. Солардың бірі, оқу үрдісінде жаңа
технологияларды, интерактивті әдістер мен компьютерлік технологияларды
қолдану болып табылады. Механикалық тербелістер тақырыбының көрнекіленуін
ұйымдастыру проблемасы осы дипломдық жұмыстың өзектілігін білдіреді.
Физикадағы тәжірибелерді оңай түсіндіруге мүмкіндік беретін
компьютерлік моделдер физиканы оқыту үдерісіндегі жаңа әдістердің бірі
болып саналады. Дипломдық жұмыста сол модельдер құрастырылды. Бұл жұмыстар
сондай – ақ кейбір қарапайым жағдайларды есептеуге мүмкіндік туғызады.
Бірінші тарауда тербелістердің тәжірибелік негізін, олардың физикалық
тұрғыдан түсіндірілуін, қолданылуын, есептелу жолдарын қарастырдық. Сонымен
қатар тақырып бойынша ұсынылатын сұрақтар мен жаттығулар қарастырылады.
Екінші тарауда сол жасалған тәжірибелердің компьютердегі жазылуы,
суреттері мен алгоритмдік блок сұлбалары мен бағдарламасы енгізілген.
Дипломдық жұмысымыз физиканың компьютерлік әдістері, физика-механикалық
үдерістерді сандық модельдеу, информатикдан оимпиадалық есептерді шығаруда
қолданыс табады деп есептейміз.
Зерттеу жұмысының нысанасы:
Оқу барысында алған білімдерді пайдалана отырып, бағдарламалау тілдерінде
есеп шығару жолдарының кейбір мәселелерін қарастыру. Объектілі бағдарланған
бағдарламалау тілдерінде динамикалық модельдер құру мәселесі негізгі нысан
болып отыр.
Зерттеу жұмысының мақсаты:
Зерттеу жұмысымның барысында физиканың күрделі тақырыптарының бірі–
Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелердің физикалық заңдылықтары
мен бағдарламалау тілдері арасындағы алгоритмдік байланысты қалыптастыру
жолдарын ұйымдастыру дипломдық жұмысымның мақсатын анықтайды.
Зерттеудің ғылыми болжамы:
Егер оқыту үдерісінде физикалық құбылыстардың сандық заңдылықтарға
бағынатындығы компьютерлік модельдер арқылы көрсетілсе бағдарламалау
тілінің басқа пәндерде алатын маңызы мен міндеті айқындалады. Объектілі
бағдарланған бағдарламалау тілдерінде жасалған динамикалық модельдер
құбылысты толығымен түсіндіреді деп есептелінеді егер оның нәтижесі
жалқыдан жалпыға көшкен, яғни барлық жеке жағдайларды қамтитын болса.
І тарау. Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер
1.1. Гармониялық тербелістер
Физикада және техникада қозғалыстардың белгілі бір заңға
бағынып, қайталанып тұратын түрлері жиі кездеседі. Мұндай қозғалыстарды
тербелмелі қозғалыстар немесе тербелістер деп атайды. Бір секундтағы
тебеліс бір тербеліс жиілігі – 1 Герцқа тең, ол адам жүрегінің соғу
жиілігіне жуық. Ал Херц деген сөз неміс тілінен аударғанда жүрек деген
сөз екен.
Егер тербеліс кезінде тек қана механикалық шамалар (орын ауыстыру,
жылдамдық, үдеу, механикалық энергия және т. б.) қайталанып тұратын болса,
тербелістер механикалық тербелістер деп аталады.
Тербеліс кезінде өзгеретін механикалық шамалардың мәндері бірдей
уақыт аралығында қайталанып отырса, тербелісті периодты тербеліс деп
аталады. Тербеліс периоды Т деп тербелісті сипаттайтын барлық физикалық
шамалардың мәндері қайталану үшін қажетті ең кішкентай уақыт аралығын
атайды. Бір периодқа тең уақыт ішінде бір толық тербеліс болады. Тербеліс
жиілігі деп бір өлшем уақыт ішіндегі толық тербеліс санымен өлшенетін
физиклық шаманы айтады, яғни
Периодтық тербелістердің ең қарапайым түрі гармониялық тербелістер.
Гармониялық тербелістер деп синус немесе косинус заңына бағынып өзгеретін
тербелістерді айтады.
Мысалы, тербеліп тұрған нүктенің тепе – теңдік жағдайдан шығып,
орын ауыстыруы х = Аsin(ωt+φ) заңына бағынып немесе x = Acos(ωt+φ) заңына
бағынсын. Бұл жағдайда тербелістің орын ауыстыруы гармониялық орын ауыстыру
деп аталады. Сонда ең үлкен орын ауыстыру (ығысу деп аталады) хmax = A,
себебі │sin(ωt+φ)│ max = 1. Ең үлкен ығысу тербеліс амплитудасы деп
аталады. Ал, ωt+φ =α шамасы тербеліс фазасы болады. Уақыт санаудың басына
сәйкес, яғни t = 0 фаза бастапқы фаза деп аталады.
α = φ Ал, - циклдік жиілік, дөңгелектік жиілік делінеді. Тербеліп
тұрған материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуінің өзгеріс заңдарын табу
үшін орын ауыстырудың (ығысудың) бірінші және екінші туындыларын табу
қажет, яғни
Егер ығысу косинус заңына бағынатын болса, онда ығысу жылдамдығы да косинус
заңына бағынады, бірақ фазасы алға озып отырады, ығысу үдеуі
ығысуға пропорционал болады, бірақ үдеу векторының бағыты ығысу векторының
бағытына қарама – қарсы болады.
Соңғы теңдеуді түрлендіріп жазайық, яғни
Сөйтіп дифференциалдық теңдеуді шығарып аламыз. Бұл теңдеу
гармониялық тербелістер теңдеуі деп аталады. Гармониялық тербеліс мынадай
графикалық модель арқылы бейнеленеді.
1 – сурет. Гармониялық тербелістің
графикалық моделі.
Сан мәні тербеліс амплитудасына тең векторы бастапқы мезетте
горизонтал өстен бастапқы фазаға тең бұрыш жасап, векторы 0
нүктесінен бірқалыпты циклдік жиілікпен айнала бастасын. Сонда
уақыт t болатын мезетте ωt бұрышына бұрылып, горизонталь өспен α = ωt = φ
бұрыш жасайды. Осы мезеттегі векторының горизонталь өске проекциясы
x = Acosα = Acos(ωt+φ) болып, гармониялық тербелісті сипаттайды. Егер
горизонталь емес болса, онда у = Аsin(ωt+φ) заңына бағынатын гармониялық
тербеліс алар едік.
Гармониялық тербеліс кезінде тең екені белгілі. Ньютонның
екінші заңы бойынша F = ma, олай болса гармониялық тербеліс болу үшін
массасы m материялық нүктеге әсер ететін күш F= mω2 x заңына бағынып
өзгереді. Яғни тербеліс күші ығысуға пропорционал болу қажет, бірақ күш
векторының бағыты ығысу векторының бағытына қарама – қарсы бағытта болуы
тиіс. Тек осындай күштер ғана гармониялық тербелістер туғыза алады. Мұндай
күштерді серпімділік немесе квазисерпімділік күштері деп атайды.
Серпімділік күштері дейтін себебі, серпімділік деформациясы кезінде пайда
болатын, Гук заңына бағынатын күштер гармониялық тербелістер тудыра алады.
Ал, квазисерпімділік күштері дейтін себебі, кей жағдайларда гармониялық
тербеліс тудыратын күштер серпімділік күштері болмағанымен, олардың сыртқы
қасиеттері серпімділік күштерге ұқсас болады.
Гармониялық тербелістерге математикалық маятниктің, серіппелі
маятниктің, бұрылғыш маятниктің, аударылмалы маятниктің және тағы сол
сияқты маятниктердің тербелістері жатады.
1.2. Маятниктердің тербелістері
Деформацияланбайтын, массасын елемеуге болатын жіпке ілінген
материялық нүктенің тепе – теңдік қалпынан шығарған кездегі тербелісі
гармониялық тербелісі болады және бұл жүйе математикалық маятник деп
аталады. Математикалық маятник гармониялық тербеліске келу үшін квази
серпінді күш қалай пайда болады?
2 – сурет. Математикалық маятникті гармониялық тербеліске
келтіретін квазисерпімділік күштің пайда болуы.
Тепе – теңдік қалыпта вертикал сызық бойымен орналассын. Бұл жағдайда
маятниктің ауырлық күші және жіптің керілу күші бір сызықтың
бойымен орналасын және += 0 маятникті тепе-теңдік қалпынан
шығарып, солға қарай α бұрышқа ауытқытайық. Енді жоғарыдағы екі күштің
бағыттары басқаша болады: ауырлық күші бұрынғыдай вертикал төмен
бағытталған, ол керілу күші жіптің бойымен вертикалға α бұрыш жасап іліну
нүктесіне қарай бағытталған.
Бұл екі күштің геометриялық қосындысы, қорытқы күш тепе –
теңдік қалпынан ығысу векторы мен күш векторының бағыттары қарама – қарсы
екенін көреміз. Ығысу бұрышы кішкентай болса, доға мен хорданың сан
мәндерінің айырмасы жоқ деп қарауға болады, яғни ығысу доғасының орнына
ығысу хордасы алынады. Ығысу хордасын Х деп белгілейік. Ығысу хордасы
маятник үшін тепе – теңдік қалпынан ығысу болып табылады. Қорытқы күш
() пен ығысу (Х) арасындағы тәуелділікті табайық. Қорытқы күш ()
жанаманың бойымен бағытталғандықтан F = P sin α = mg sin α тең. Ауытқу
бұрышы кішкентай болса, sin α = α , онда F = mg α. Екінші жағынан
. Сонда . Ығысу векторы күш векторына қарама – қарсы екенін
ескерсек, онда . Бұдан қорытқы күштің ығысуға пропорционал екенін
көруге болады, себебі m, g және - тұрақты шамалар. Сондықтан
математикалық маятниктің тербелісі квазисерпімділік күштің әсерінен
гармониялық тербеліс болады. Енді тербеліс периодын табалық.
Квазисеріпінділік күштің цикілдік жиіліктің тең екенін ескерсек,
сонда тербеліс периоды
Математикалық маятниктің периоды маятник ұзындығының квадрат түбіріне
тура пропорционал да, маятник тұрған жердегі еркін түсу үдеуінің квадрат
түбіріне кері пропорционал болады.
Серіппелі маятник деп вертикал орналасқан серіппеге іліеген жүктің тұратын
жүйені айтамыз.
2- сурет. Серіппелі маятникте пайда болатын
серпімділік күші.
Тепе-теңдік қалыпта ілінген жүктің ауырлық күші созылған серіппеде
пайда болатын серпінділік күшімен теңеседі. Егер жүк тепе-теңдік қалпынан
төмен қарай ауытқыса, серіппе ішінде Гук заңына сәйкес күші пайда
болады, мұндағы К- серіппенің серпінділік коэффициенті, серпінділігі
қаттылығы деп аталады. Енді серіппелі маятниктің тербеліс периодын табалық.
Квазисеіпінділік күштің цикілдік жиіліктің - тең екені белгілі,
сонда тербеліс периоды .
Серіппелі маятниктің тербеліс периоды тербелетін дененің массасының
квадрат түбіріне тура пропорционал да, серіппенің қаттылығының квадрат
түбіріне кері пропорционал.
Математикалық маятник үшін қорытқы күш ал серіппелі маятник үшін
серпімділік күші екенін білеміз. Сонда шамасы серпімділік
коэффициентінің рөлін атқарып тұр. Бұл шаманы квазисерпінділік коэффициенті
деп қарауға болады. Сөйтіп серпінділік немесе квазисерпінділік күштерін бір
ғана формула арқылы беруге болады. мұндағы F-серпінділік немесе
квазисерпінділік коэффициенті, Х – жүйенің тепе-теңдік қалпынан ығысуы. Кез-
келген серпінділік немес еквазисерпінділік күштердің әсерінен тербелетін
жүйенің тербеліс периодының формуласы. арқылы табылады, мұндағы m –
жүйенің массасы, k – серпінділік немесе квазисерпінділік коэффициенті.
Тербеліп тұрған дененің кинетикалық энергиясы потенциалдық энергиясы
ал толық энергиясы, механикалық энергиясы ,
Тербеліс гармониялық болса, онда ығысу жылдамдығы тең болады.
Олай болса жүйенің механикалық энергиясы және тең екенін
ескерсек онда
тең болады.
Гармониялық тербеліс жасайтын жүйенің механикалық энергиясы уақыттан
тәуелді емес және ол тұрақты шама.
Бұл тұжырымдама механикалық энергияның тербелмелі қозғалыс үшін
сақталуының дербес жағдайы болып табылады.
Маятниктердің жалпы түрі – физикалық маятник. Физикалық маятник деп
қозғалмайтын горизантал өстен айнала тербеле алатын етіп ілінген, тірелген
кез келген қатты денені айтады.
3-сурет. Физикалық маятник
Горизантал О өсінен еркін айналатын қылып істелінген қатты денені
вертикал тепе-теңдік қалпынан φ бұрышқа бұрайық. Физикалық маятниктің
ауырлық центірі С нүктесі болсын, іліну өсінен ауырлық центіріне дейінгі
қашықтықты а әрпімен белгілейік. Дененің тепе-теңдік қалпынан ауытқыған
кездегі пайда болатын потенциалдық энергия.
Ауытқу бұрышы кішкентай болса, онда сондықтан тең болады.
Жалпы формула бойынша мұндағы К – серпінділік коэффициенті, Х –
дененің тепе-теңдік қалпынан ығысу. Біздің жағдайда ығысу бұрышы алынып
тұр. Олай болса
Енді тербелетін физикалық маятниктің кинетикалық энергиясының
формуласын қарастыралық. Кинетикалық энергия мұнда массаның рөлін
инерция моменті атқарады. Сондықтан, физикалық маятниктің тербеліс периоды
тең болады.
Физикалық маятниктің тербеліс периоды оның инерция моментінің квадрат
түбіріне тура пропорционалда, массасымен ауырлық центіріне дейінгі қашықтық
пен еркін түсу үдеуінің көбейтіндісінің квадрат түбіріне кері пропорционал
болады.
Егер маятник математикалық болса, онда олай болса
Физикалық маятникпен қатар ілінген математикалық маятниктің тербеліс
периодтары бірдей болу үшін шарты орындалуы қажет.
Тербеліс периоды берілген физикалық маятниктің тербеліс периодына тең
болатынын математикалық маятниктің ұзындығы физикалық маятниктің
келтірілген ұзындығы деп аталады. Келтірілген ұзындыққа сәйкес
нүктелер – О және яғни ОО1=lкел. Егер физикалық маятникті О
нүктесінен босатып, О1 нүктесінен іліп, қойсақ онда оның тербеліс периоды
өзгермейді. Кез-келген маятник үшін lкелa шарты орындалуы қажет. Себебі
Штейнер теориясы бойынша , сонда
Іліну нүктесімен келтірілу нүктесі (тербелу центірі деп те аталады) өзара
алмасуға мүмкіндік жасалған физикалық маятник аударылмалы маятник деп
аталады.
4–сурет. Аудармалы маятник. 5-сурет.
Бұралғыш маятник.
Болат шыбықтың екі ұшында маятниктің тербелісін туғызатын тіреуіш
үшбұрышты призмалар (А және В) орналасқан. Жүйенің ауырлық центірі С
нүктесінен төменірек В тетігі бекітілген. Сол сияқты Д тетігі суретте А
тіреуіш призмасының жоғарғы жағында орналасқан және оны шыбықтың бойымен
жылжытып отыруға мүмкіндік болуы қажет.
Әуелі іліну нүктесі ретінде А нүктесі алынады да, жүйенің тербеліс
периоды анықталады.
мұндағы n – тербеліс саны, t – тербеліс уақыты. Сонан кейін маятник
аударылып, іліну нүктесі ретінде А нүктесі алынады. Сонда тербеліс
периодының шамасы өзгереді. В тетігін жылжыту арқылы тербеліс периоды
бірінші жағдайдағы мәнге тең болатындай етуге болады. Сонда тең
болады. Аудармалы маятникті еркін түсу үдеуін анықтау үшін қолданылады.
Маятниктің келесі түрі – бұралғыш маятник (5-сурет). Бұралғыш маятник
деп жоғарғы ұшы бекітілген ұзын шыбықтың екінші ұшына бұралатын етіп
қондырылған денені айтады.
Бұралғыш маятниктің кинетикалық энергиясы тең болады. Мұнда
массаның рөлін энерция моменті атқарады. Ал, потенциалдық энергиясы
тең болады. Мұндағы φ – бұрылу бұрышы, С2 – бұрылудың серпінділік
коэффициенті. Шыбыққа байланысты бұрылу бұрышы формуласы бойынша
болады. Бұралғыш маятниктің тербеліс периоды формуласы арқылы
табылады.
1.3 Бір түзудің бойымен бағытталған тербелістер
Бір дене екі тербеліске қатынасатын жағдайлар жие кездеседі. Біз әуелі
бір түзудің бойымен бағытталған, тербеліс периодтары бірдей ал,
амплитудалары мен бастапқы фазаларының айырмашылығы бар екі тербелісті
қосудан бастайық. Бірінші тербеліс ал екінші тербеліс
заңдылығына бағынатын болсын. Мұндағы тербеліс периодтары бірдей екі
гармониялық тербелістің цикілдік жиілігі бір мезетте екі тербеліске
қатынасатын дененің тепе-теңдік қалпынан орын ауыстыруы, яғни ығысуы
тең болады. Қорытқы тербелістің амплитудасын тербелістің бейнеленуін
пайдаланып, А және бастапқы фазасын анықтайық (5-сурет).
5-сурет. Бір түзудің бойымен бағытталған
екі гармониялық тербелісті қосу.
Уақыт t=0 мезеттен есептегенде Х1=A1cosφ, ал Х2=A2cosφ2 болады. Модулі
бірінші гармониялық тербелістің амплитудасына тең болатын векторы О
нүктесінен сағат тілінің айналу бағытына қарама-қарсы бағытта бір қалыпты
айналысын оның горизантал өспен жасайтын бастапқы бұрышы – φ1 болсын.
Модулі екінші гармониялық тербелістің амплитудасына тең болатын
векторы да О нүктесінен сол бағытта бірқалыпты айналысын делік. Оның
горизантал өспен жасайтын бастапқы бұрышы φ2 болсын. Қорытқы тербеліс
амплитудасын табу үшін және векторларын қосып,
векторын анықтауымыз керек. Косинустар теориясын пайдалансақ, онда тербеліс
осыдан қорытқы тербелістің амплитудасын анықтаймыз, яғни тең
болады.
Қорытқы тербелістің бастапқы фазасын табу үшін мына қатынасты пайдаланамыз.
Егер бастапқы фазалар айырмасы φ2 – φ1= 0 тең болса, яғни онда
Сондықтан яғни қорытқы тербеліс амплитудасы жеке тербелістердің
амплидудаларының қосындысына тең болады. Сол сияқты фазалар айырмасы
тең болса, яғни онда онда қорытқы тербеліс амплитудасы
жеке тербелістердің амплитудаларының айырмасына тең болады. Сол сияқты
бастапқы фазалар айырмасы тең болса, онда болады.
Бастапқы фазалар айырмасы болса, сонда Сондықтан тең
болады.
Сөйтіп қорытқы тербеліс амплитудасының ең үлкен мәні тең болады
да, ең кіші мәні яғни
Егер жеке тербелістердің периодтары тең болмаса онда және
векторлары О нүктесінен әр түрлі цикілдік жылдамдықтармен айналады. Ыңғайлы
болу үшін бастапқы фазалар тең болатын жағдайларды қарастыралық. (6-
сурет)
6 – сурет. Тармақтары әр түрлі гармониялық тербелістер.
Сөйтіп тең болады. Анық болу үшін деп алайық. Косинустар
теоремасы бойынша
тең.
Енді тербеліс амплитудалары А1=А2 жағдайды зерттелік. Сонда
Косинустың абсолют мәнінің периоды π-ге тең екені белгілі, сондықтан
амплитуданың өзгеру периодын өрнегінен табуға болады, яғни
Қорытқы тербелістің өзгеру жиілігі тең болады.
Қорытқы тербелістің өзгеру жиілігі жеке тербелістердің жиіліктерінің
айырмасына тең. Сөйтіп тербеліс амплитудалары тең, бірдей бағытталған екі
гармониялық тербелістің қорытқы тербелісі амплитудасы біресе өсіп, біресі
кеміп, отыратын тербеліс болады. Мұндай тербелістерді соғу деп атайды. (7-
сурет)
Соғу айқын байқалу үшін тербеліс жиіліктері онша алшақ болмауы керек,
яғни соғу кезінде цикілдік жиілік деп алынады.
7-сурет. Соққы тербелісі.
1.4. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу
Материялық нүкте бір мезетте тербеліс периодтары бірдей бағыттары өзара
перпендикуляр екі тербеліске қатысатын болсын. Тербеліс бағыттары ретінде
ОХ және ОУ өстерін алайық. Сонда тербеліс теңдеулері былай өрнектеледі.
Мұндағы А1 және А2 тербеліс амплитудалары, ал φ1 және φ2 бастапқы
фазалар. Қорытқы тербеліс теңдеуін табу үшін, осы екі теңдеуден уақытты жою
қажет әуелі теңдеулерді мынадай қарапайым түрлерге келтірейік:
қосындысының косинусы туралы теореманы пайдалансақ, мынадай екі өрнекті
шығарып аламыз.
Бірінші өрнектің екі жағын -ге, ал екінші өрнектің екі жағын
көбейтіп, олардың айырмасын тапсақ, мынадай өрнек шығады:
Енді бірінші өрнектің екі жағын - ге, ал екінші өрнектің екі
жағын көбейтіп, олардың айырмасын тапсақ, мынадай өрнек шығады.
Осы өрнектің екі жағын квадраттап, мүшелеп, қоссақ, қорытқы тербелістің
траекториясының теңдеуі шығады.
Енді дербес жағдайларды қарастыралық.
1-фазалар айырмасы нөлге тең болсын, яғни сонда
болады да, өрнегі шығады. Бұны былай жазуға болады. Яғни
немесе бұл теңдеу координаттар басынан өтетін I және III ширектерде
жатқан түзудің теңдеуі.
8– сурет. Бастапқы фазалары тең өзара перпендикуляр тербелістерді қосу.
2-фазалар айырмасы π-ге тең болсын, яғни сонда болады да,
өрнегі шығады. Бұны былай жазуға болады, яғни немесе
Бұл теңдеу координаттар басынан өтетін, II және IV ширектерде жататын
түзудің теңдеуі. (9 - сурет)
9– сурет. Бастапқы фазаларының айырмасы π-ге тең тербелістерді қосу.
Егер - ге тең болса, онда қорытқы тербеліс (8- сурет) суреттегідей
болады да, ал - ге тең болса, онда қорытқы тербеліс 9 – суреттегідей
болады.
Бастапқы фазалар айырмасы π2, тақ санына тең болса, яғни 2,
онда
Бұл жағдайда тербеліс траекториясы эллипс болады. (10 - сурет)
10– сурет. Бастапқы фазалар айырмасы π2 тақ санына тең тербелістерді
қосу.
Мысалы , тең болсын делік, онда =π2. Олай болса
Бастапқы уақыт мезетінде (t=0) Х=A1 ,Y=0 тең болады; яғни
материялдық нүкте абцисса өсінде жатыр. Келесі мезетте X0, ал Y0 болады,
яғни материялық нүкте эллипс бойымен сағат тілінің қозғалу бағытына сәйкес
бағытта қозғалады. Егер болса, материялық нүктенің эйлипс бойымен
сағат тілінің қозғалу бағытына қарама-қарсы бағытта болар еді.
Тербеліс амплитудалары өзара тең болса, яғни онда эилипс шеңберге
айналады.
Тербеліс периодтары тең болмаған жағдайда Лиссажу фигуралары деп
аталатын күрделі траекториялары түзіледі. (11- сурет)
11 – сурет. Лиссажу фигуралары.
Лиссажу фигураларын байқау үшін осциллограф және дыбыс генераторынан
тұратын қондырғыны пайдалануға болады. Дыбыс генераторы өндіретін
реттелінетін тербелістер, мысалы, абцисса өсінің бойымен бағытталатын
болса, осциллограф жүйесінде пайда болатын тербелістер (олардың жиілігі
υ=50Гц) координат өсінің бойымен бағытталуы қажет. Реттелінетін
тербелістердің жиіліктерін өзгерту арқылы (υ=25, 50, 75, 100, 125, 150,
200Гц) осциллографтың экранында Лиссажу фигураларын көре аламыз.
1.5. Өшетін тербелістер
Іс жүзінде материялық нүктенің тербелісінің амплитудасы уақыт өтуімен
бірге азаяды, тербеліс өше бастайды. Тербелісті бәсеңдететін күштердің
табиғаты әр түрлі болуы мүмкін: Іліну нүктесінде пайда болатын құрғақ
үйкеліс күші, материялық нүкте түзейтін ортада пайда болатын тұтқырлық
күштер, ортаның кедергі күші және т.с.с.
Тұтқыр ортадағы түзу сызық бойымен жүзеге асатын тербелісті
қарастыралық. Тұтқырлық кедергі күші материялық нүктенің қозғалу
жылдамдығына пропорционал және жылдамдықтың бағытына қарама-қарсы
бағытталған деп қарастырайық, яғни мұндағы r-кедергі коэффициенті,
нүктесінің қозғалу жылдамдығы.
Тербеліс болу үшін серпінділік (квазисерпінділік) қажет екенін
ескерсек, материялық нүктеге әсер ететін қорытқы күш тең болады.
Ньютонның екінші заңы бойынша осы теңдеудің екі жағында материялық
нүктенің массасына бөлсек, мынадай өрнек
шығады.
Мынадай белгілеулер енгізелік. яғни
Мұндағы ω0-гармониялық тербелістің меншікті цикілдік жиілігі, β-өту
коэффициенті. Сонда мынадай дифференциалдық теңдеуін шығарып аламыз.
Теңдеулер теориясында мынадай теңдеу екінші ретті коэффициенттері тұрақты
біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады да, оның шешуі түрінде
анықталады. Мұндағы А0-бастапқы амплитуда, φ-бастапқы фаза, - өшетін
тербелістің цикілдік жиілігі. Бастапқы амплитуда мен фазаны табу үшін
бастапқы шарттар, t=0 мезетке сәйкес материялық нүктенің тепе-теңдік
қалпынан орын ауыстыруы (Х0) және жылдамдығы (Х0), берілуі тиіс. Өшетін
тербелістің амплитудасын мына шама анықтайды.
Оның уақыттан тәуелділігінің графигі 1.8. 5(1) - суретте кескінделген.
12– сурет. Өшетін тербелістер.
Өшетін тербелістің периоды
өшпейтін гармониялық тербелістің периодымен салыстырғанда артығырақ
болады, яғни TT0
Өшу коэффиценті β қалай табылады? Уақыт мезеті t1 болғандағы тербеліс
амплитудасы А1 болсын, ал t2 =t1 +T уақыттан кейінгі амплитуда А2 болсын.
Бұл амплитудалары тікелей өлшеуге болады. Олардың қатынасының натурал
логорифмін табалық, сонда
Бұл натурал логарифм логорифмдік декрамент деп аталады және λ әрпімен
белгілейді, сонда λ=βТ
Олай болса, өшу коэфиценті тең болады. Өшу коэффиценті табылса,
онда кедергі коэффиценті де оңай есептеледі, яғни Г=2βm
Өшетін тербелістерді зерттеу әртүрлі тұтқыр орталар үшін кедергі
коэффиценттерін анықтауға мүмкіндік береді.
Жоғарыда табылған A= A0l-βt формуласы бойынша тербеліс шексіз көп
уақыт өткенде ғана тоқтайды. (t= 0, A= 0 ) Нақты жағдайларда шкетеулі уақыт
өткен соң тербеліс амплитудасы нөлге айналады. Оның себебі мынадай: Біздер
тербеліс кезінде пайда болатын кедергі күші тербеліс жылдамдығына
пропорционал болады деп алдық, ал шындығында кедергі күші жылдамдықтың
екінші, үшінші, дәрежелеріне пропорционал болуы мүмкін, сондықтан тербеліс
амплитудасының уақыттан тәуелділігінің заңдылығы жай ғана экспонента алдық.
Заңына бағынып өзгермейді.
Біздер тек қарапайым жағдайда ғана алдық. Өшетін тербеліс кезінде
материялық нүктенің толық энергисы неге тең болады?
Сонда тең болады.
Толық энергия өткен сайын күрделі заңға бағынып азаятыны көрініп тұр.
Өшетін тербелістің қуатын табалық, сонда неғұрлым тербелістің
ығысуы үлкен болған сайын, соғұрлым өсетін тербеліс кезінде жоғалатын қуат
көбірек болады. Жоғалатын энергия ортада жылу, дыбыс т.б. түрінде байқалуы
мүмкін. Тербеліс өшпеу үшін үздіксіз жоғалатын энергияны сырттан үздіксіз
беріп отыру қажет. Мысалы: қазақтың ұлттық ойыны алтыбақанда тербеліс
өшпейтін болу үшін тербелуші тепе-теңдік қалыпқа келген кезде ауық-ауық
сыртқы күш түсіріп отыруы қажет; сағаттың маятнигі тербеліс өшпеу үшін
сырттан берілетін энергияны жоғары көтеріп, қойған жүктің потенциалдық
энергиясының қорынан алады. Қол сағаттарының маятниктерінің тербелісі өшпеу
үшін қажетті энергия бірітіндеп босап, жазылып отыратын серіппенің
потенциалдық энергиясының қорынан алынады және т.с.с.
Осындай өзінің тербеліс амплитудасын өзгертпей өшпейтін гармониялық
тербелістер жасай алатын жүйелерді автотербелмелі жүйелер деп атайды.
Мұндай жүйелерде пайда болатын тербелістерді автотербелістер деп атайды.
Мәжбүр тербелістер
Материялық нүктеге серпінділік күш пен кедергі күшінен басқа қосымша
периодты күш әсер еткен кездегі оның қандай тербеліс жасайтынын зерттейік.
Қосымша периодты күш мәжбүрлеуші күш деп аталады және оның әсерінен пйда
болатын тербеліс мәжбүр тербеліс болады. Қарапайым жағдайда мәжбүрленуші
күш синус немесе косинус заңына бағынып өзгеретін күш болып табылады, яғни
мұндағы F0 – мәжбүрлеуші күштің амплитудасы, ал ω-мәжбүрлеуші күштің
цикілдік жиілігі.
Ньютонның екіші заңы түрінде жазылады. Бұл теңдеудің екі жағын
тербелетін материялық нүктенің массасына бөлсек, мына өрнек шығады: .
Бұрынғы және жаңа белгілеулерді енгізейік: мұндағы өшпейтін
гармониялық тербелістің меншікті цикілдік жиілігі, өшу коэффициенті,
бір өлшем массаға сәйкес мәжбүрлеуші күш амплитудасы. Сонымен
дифференциалдық теңдеуін шығарып аламыз. Дифференциалдық теориясында мұндай
теңдеу екінші ретті коэффициенттері тұрақты біртекті емес дифференциалдық
теңдеу деп аталады. Мұның шешуі: ретінде қарастырылады. Мәжбүр
тербелістің цикілдік жиілігі мәжбүрлеуші күштің цикілдік жиілігіне тең
болады деп есептеледі. Белгісіз тербеліс амплитудасын (А) және бастапқы
фазаны (φ) табу үшін, бірінші және екінші туындыларды тауып, алдыңғы
дифференциалдық теңдеуге апарып қоялық:
-
Егер шешу дұрыс болса, кез келген мезетте теңдеу теңдікке айналуы қажет.
Әуелі мезетте қарастырайық. Бұл жағдайда тең болады. Сонда
өрнегі шығады. Енді мезетте қарастырайық. Бұл жағдайда
тең болады. Сонда өрнегі шығады.
Екінші өрнекті бірінші өрнекке бөлсек, сонда формуласы шығады.
Бұл формула мәжбүр тербелістің бастапқы фазасын анықтауға мүмкіндік береді.
Бастапқы фазаның тангенсі меншікті цикілдік жиіліктен, мәжбүрлеуші күштің
цикілдік жиілігінен және өшу коэффициентінен тәуелді. Мәжбүрленуші күштің
цикілдік жиілігі меншікті цикілдік жиіліктен кем болса, онда яғни
мәжбүр тербеліс фазасы меншікті тербеліс фазасынан қалып қояды.
Мәжбүрленуші күштің цикілдік жиілігі меншікті цикілдік жиіліктен артық
болса, онда яғни мәжбүр тербеліс фазасы меншікті тербеліс
фазасынан озып отырады.
Мәжбүрленуші күштің цикілдік жиілікке тең болса онда яғни
мәжбүр тербеліс фазасы мен меншікті тербеліс фазасының арасындағы айырмасы
тең болады.
Осы зерттеулерді сызба түрінде көрсетуге болады.
13–сурет. Мәжбір тербелістің бастапқы фазасының мәжбірлеуші күштің циклдік
жиілігінен тәуелділігі.
Екі өрнектің сол және оң жақтарын квадраттап, мүшелеп қоссақ, мынадай
жаңа өрнек шығады.
Бұл өрнек мәжбүр тербеліс амплитудасын табуға мүмкіндік береді, яғни
Мәжбүр тербеліс амплитудасын меншікті цикілдік жиіліктен, мәжбүрлеуші
күштің цикілдік жиілігінен, өшу коэффициентінен, мәжбүрлеуші күш
амплитудасымен материялық нүктенің массасына тәуелді. Бөлшектің бөліміндегі
шама максимум болуы үшін квадрат түбірдің астындағы шаманың бірінші ретті
туындысы (егер айнымалы шама ретінде мәжбүрлеуші күштің цикілдік жиілігін
алатын болсақ) нөлге тең болуы қажет, яғни сонда тең болады.
Мәжбүр тербеліс амплитудасы максимум болатын болса, онда резонанс деп
аталады, және оған сәйкесті резонанстық жиілік мына формула арқылы
анықталады.
Резонанс жағдайына сәйкес амплитуда резонанстық амплитуда өшу
коэффициентімен өте күшті байланыста болады.
Өшу коэффициенті тең болса, сөйтіп мәжбүр тербелістік жүйе
құрайды. Өшу коэффициенті артқан сайын резонанстық амплитуда азая береді.
Бұл жағдайларды да сызба арқылы бейнелеуге болады.
14–сурет. Резонанстық амплитуданың өшу коэффицентінен тәуелділігі.
Мәжбүр тербелістерді зерттеудің практикалық маңызын түсіну үшін мынадай
мысалдар келтірейік.
Өткен ғасырда Петербург қаласындағы көптеген көпірлердің біреуінің
үстінен бір топ әскерлі адамдар жүргенде алдын – ала, Аяқтарыңды еркін
басыңдар деген команда беруді топ бастығы ұмытып кеткен. Әскерлер көшеде
келе жатқандай бір-екі-үш командасына сәйкес аяқтарымен көпірді ұрып өте
бастайды. Кездейсоқ көпірдің сабалау жиілігіне өте жақын болғандықтан,
көпірдің мәжбүр тербеліс амплитудасы өте үлкен болып, көпір қирап, әскерлер
өзен суына еріксіз шомылған.
Біздің ғасырымыздың отызыншы жылдары Мәскеудің бір үйі ауық-ауық жер
сілкінгендей тербеле бастайды. Ол үйден бірнеше жүздеген метр қашықтықтағы
жертөбеде ескірген, айналу жиілігі техникалық нормадан шығып кеткен моторы
бар шеберхана орналасқан екен. Үйдің меншікті тербеліс жиілігі мотордың
айнымалы қозғалысының жиілігіне тең болып, кеткен жағдайда резонанс
құбылысы зәулім үйді жер сілкінгендей дірілдеткен.
Ұшақтардың құрамына мыңдаған тетіктер кіреді, олардың меншікті тербеліс
жиіліктері ұшақтардың ішіндегі ешқандай тербеліс алатын аспаптардың
тербеліс жиіліктерінің маңайына дәл жоламайтындай алдын-ала есептеліп
қойылуы қажет. Ешбір аспап ешбір тетікті резонансқа келтіре алмайтындай
жағдай ескерілуі тиіс.
Механикалық тербелістер тарауы бойынша қайталау сұрақтары
1. Механикалық тербелістер деп қозғалыстың қандай түрлерін айтамыз?
2. Гармониялық тербелістер деп қандай тербелістерді айтамыз?
3. Гармониялық тербелістің моделі қандай?
4. Қандай тербелмелі жүйе математикалық маятник деп аталады?
5. Қандай тербелмелі жүйе серіппелі маятник деп аталады?
6. Қандай тербелмелі жүйе физикалық маятник деп аталады?
7. Қандай тербелмелі жүйе аударылмалы маятник деп аталады?
8. Қандай тербелмелі жүйе бұралғыш маятник деп аталады?
9. Соңғы бес сұрақтар үшін жүйелердің тербеліс периоды қандай өрнектер
арқылы табылады?
10. Бір түзудің бойымен бағытталған периодтары тең екі гармониялық
тербелістің қорытқы амплитудасы қандай өрнек арқылы табылады?
11. Бір түзудің бойымен бағытталған периодтары тең екі гармониялық
тербелістің қорытқы фазасы қандай өрнек арқылы табылады.
12. Қорытқы тербеліс амплитудасы периодтары тең жеке тербелістердің
амплитудасының қосындысына тең болу үшін тербелістердің бастапқы
фазаларының айырмасы неге тең болуы қажет?
13. Қорытқы тербеліс амплитудасы периодтары тең жеке тербелістердің
амплитудаларының айырмасына тең болуы үшін тербелістердің бастапқы
фазаларының айырмасы неге тең болуы керек?
14. Бір түзудің бойымен бағытталған периодтары тең емес екі гармониялық
тербелістер соғу беретіні белгілі. Соғу жиілігі неге тең болады?
Соғудың цикілдік жиілігі неге тең?
15. Өзара перпендикуляр гармониялық тербелістер (тербеліс периодтары
бірдей болғандағы) қосылғанда пайда болатын қорытқы тербеліс
траекторияның өрнегі қандай?
16. Тербеліс траекториясы І және ІІІ ширектерде жататын түзу сызық болу
үшін, бастапқы фазалар айырмасы неге тең болуы керек?
17. Тербеліс траекториясы ІІ және ІV ширектерде жататын түзу сызық болу
үшін, бастапқы фазалар айырмасы неге тең?
18. Тербеліс траекториясы эилипс болуы үшін, бастапқы фазалар айырмасы
неге тең болуы керек?
19. Қандай жағдайларда тербеліс траекториясы шебер болады?
20. Өшетін тербеліс периоды мен өшпейтін гармониялық тербеліс периодының
арасында қандай байланыс бар?
21. Логорифмдік декремент деп қандай шаманы айтады?
22. Логорифмдік декремент арқылы кедергі коэффицентін қалай табуға болады?
23. Кез келген мезеттегі өшетін тербеліс амплитудасы қандай өрнек арқылы
табылады?
24. Мәжбір тербеліс қандай дифференциялдық теңдеуге бағынады?
25. Мәжбір тербелістің бастапқы фазасы үшін қандай өрнек алынады?
26. Бастапқы фазаның мәжбірлеуші күштің циклдік жиілігінен тәуелділігінің
сызбасы қандай? Бұл сызбадан қандай тұжырымдар жасауға болады?
27. Резонанстық амплитуда қандай өрнек арқылы анықталады?
28. Резонансық амплитуданың мәжбірлеуші күштің циклдік жиілігінен
тәуелділігінің сызбасы қандай? Бұл сызбадан қандай тұжырымдар жасауға
болады?
29. Сызбадағы статикалық амплитуда (Астат) деп белгіленген амплитуда
қандай амплитуда?
Механикалық тербелістер тарауын меңгерту үшін ұсынылатын есептер
1. Ұзын жіпке ілінген кішкентай шар тыныштық қалыпта тұр. Бірінші
жағдайда шарды іліну нүктесіне дейін көтеріп, түсіріп жібереді. Екінші
жағдайда оны маятник сияқты кішкентай бұрышқа ауытқытады. Қай жағдайда
шар өзінің тепе – теңдік қалпына жылдамырақ келеді.
2. Физикалық маятник массалары бірдей екі жүк ілінген өте жеңіл біліктен
тұрады. Бірінші жүктің айналу өсінен қашықтығы 15 см, екінші жүктің
қашықтығы 30 см. Маятниктің тербеліс периоды неге тең болады?
3. Гармониялық тербеліс жасап тұрған материялық нүктенің массасы 0,1 кг.
Белгілі бір мезеттегі материялық нүктенің ығысуы 5 см, жылдамдығы 20
смс. Осы мезеттегі оның үдеуі 80 смс 2 және жылдамдық векторына
қарама – қарсы бағытталған. Тербеліс амплитудасы және тербеліс фазасы
неге тең? Циклдік жиілігі және тербеліс периоды қандай? Серпімділік
күшінің максимал мәні неге тең?
4. Бір түзудің бойымен бағытталған екі гармониялық тербелістердің
периодтары бірдей (Т1=Т2=8с ) амплитудалары да бірдей (A1=A2=0,02 м)
Бірінші тербелістің бастапқы фазасы φ1=0. Екі тербелістің фазаларының
айырмасы π4. Қорытқы тербелістің қозғалыс теңдеуін табыңдар.
5. Бір түзудің бойымен бағытталған екі гармониялақ тербелістердің
теңдеулері және Тербеліс амплитудасының өлшем бірлігі
–метр, уақыттың өлшем бірлігі-секунд. Қорытқы тербелістің амплитудасы
мен фазасын анықтау.
6. Өзара перпендикуляр екі тербелістердің жиіліктері бастапқы
фазалары Бірінші тербелістің амплитудасы екінші тербелістің
амплитудасы Қорытқы тербелістің теңдеуі қандай болады?
7. Материялық нүкте өзара перпендикуляр және теңдеулерімен
анықталатын тербелістерге қатысады. Нүктенің траекториясының түрі
қандай сызық? Ығысулардың өлшем бірліктері-метр.
8. Өшетін тербеліс периоды 4с, өшудің логарифмдік декременті 1,6 бастапқы
фаза нөлге тең. Ширек периодқа тең уақыттағы ығысу 4,5см. Тербелістің
қозғалыс теңдеуі қандай болады?
9. Математикалық маятниктің өшетін логарифмдік, декременті 0,2. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
І тарау. Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер
1.1. Гармониялық
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ..6
1.2. Маятниктердің
тербелістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ...9
1.3. Бір түзудің бойымен бағытталған
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 15
1.4. Өзара перпендикуляр тербелістерді
қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
1.5. Өшетін және мәжбүр
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21
Механикалық тербелістер тарауы
бойынша қайталау сұрақтары мен
есептер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .28
ІІ тарау. Механикалық тербелістер тақырыбының
тәжірибелерін сандық модельдеу
2.1. Сандық модельдеу
пәні ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... 32
2.2. Модель ұғымы ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 34
2.3. Компьютерлік модельдеуде қолданылған бағдарлама ... ... ... ..39
2.4. Бір түзудің бойымен бағытталған
тербелістер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...42
2.5. Өзара перпендикуляр тербелістерді
қосу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
2.6. Өшетін тербелістерді сандық
модельдеу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланылған
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ...
Кіріспе
Зерттеу жұмысының өзектілігі:
Тербелістер физикасы өз алдына физика ғылымының арнаулы бір саласы.
Ол табиғатты әр түрлі тербелістер процестерін біріктіріп, бірдей (сандық)
заңдылықтар негізінде қарастырады. Компьютерлік технологиялардың дамуы
ғылымның барлық саласына септігін тигізуде. Тербелмелі үдерістер күрделі
заңдылықтарға бағынатындықтан есептеулерде сандық әдістер көмегіну жүгінуге
тура келеді.
Тербелістерді зерттеуге көп үлес қосқан ғалымдар: ағылшындардан-У.
Томсон(лорд Кельвин) және Дж. Релей, орыстардан А.С. Попов және П.Н.
Лебедев,А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, және
т. б.
Бағыттары бірдей екі тербелістердің қосылуының, өзара перпендикуляр
тербелістерді қосу графигін, техникаларда болатын сызықтық емес
тербелістерді сипаттауда компьютерлік модельдеуге жүгінуге тура келеді.
Оның көмегімен түрлі маятниктердің, өшетін және мәжбүр тербелістердің
қозғалысын сандық модельдеу олардың қозғалыс ерекшеліктерін
көрнекілендіруге мүмкіндік аламыз. Бұл мәселені шешуде компьютерлік
моделдеу мен есептеуді қолданудың маңызы өте зор. Себебі бұл тақырыптардың
механикалық моделін жасау қиын, ал шығатын графигінің күрделілігі
компьютерлік есептеуді талап етеді.
Осы бағытта қазіргі таңда жоғары оқу орындарында оқытудың
иновациялық әдістері қолданылып келеді. Солардың бірі, оқу үрдісінде жаңа
технологияларды, интерактивті әдістер мен компьютерлік технологияларды
қолдану болып табылады. Механикалық тербелістер тақырыбының көрнекіленуін
ұйымдастыру проблемасы осы дипломдық жұмыстың өзектілігін білдіреді.
Физикадағы тәжірибелерді оңай түсіндіруге мүмкіндік беретін
компьютерлік моделдер физиканы оқыту үдерісіндегі жаңа әдістердің бірі
болып саналады. Дипломдық жұмыста сол модельдер құрастырылды. Бұл жұмыстар
сондай – ақ кейбір қарапайым жағдайларды есептеуге мүмкіндік туғызады.
Бірінші тарауда тербелістердің тәжірибелік негізін, олардың физикалық
тұрғыдан түсіндірілуін, қолданылуын, есептелу жолдарын қарастырдық. Сонымен
қатар тақырып бойынша ұсынылатын сұрақтар мен жаттығулар қарастырылады.
Екінші тарауда сол жасалған тәжірибелердің компьютердегі жазылуы,
суреттері мен алгоритмдік блок сұлбалары мен бағдарламасы енгізілген.
Дипломдық жұмысымыз физиканың компьютерлік әдістері, физика-механикалық
үдерістерді сандық модельдеу, информатикдан оимпиадалық есептерді шығаруда
қолданыс табады деп есептейміз.
Зерттеу жұмысының нысанасы:
Оқу барысында алған білімдерді пайдалана отырып, бағдарламалау тілдерінде
есеп шығару жолдарының кейбір мәселелерін қарастыру. Объектілі бағдарланған
бағдарламалау тілдерінде динамикалық модельдер құру мәселесі негізгі нысан
болып отыр.
Зерттеу жұмысының мақсаты:
Зерттеу жұмысымның барысында физиканың күрделі тақырыптарының бірі–
Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелердің физикалық заңдылықтары
мен бағдарламалау тілдері арасындағы алгоритмдік байланысты қалыптастыру
жолдарын ұйымдастыру дипломдық жұмысымның мақсатын анықтайды.
Зерттеудің ғылыми болжамы:
Егер оқыту үдерісінде физикалық құбылыстардың сандық заңдылықтарға
бағынатындығы компьютерлік модельдер арқылы көрсетілсе бағдарламалау
тілінің басқа пәндерде алатын маңызы мен міндеті айқындалады. Объектілі
бағдарланған бағдарламалау тілдерінде жасалған динамикалық модельдер
құбылысты толығымен түсіндіреді деп есептелінеді егер оның нәтижесі
жалқыдан жалпыға көшкен, яғни барлық жеке жағдайларды қамтитын болса.
І тарау. Механикалық тербелістер мен тербелмелі жүйелер
1.1. Гармониялық тербелістер
Физикада және техникада қозғалыстардың белгілі бір заңға
бағынып, қайталанып тұратын түрлері жиі кездеседі. Мұндай қозғалыстарды
тербелмелі қозғалыстар немесе тербелістер деп атайды. Бір секундтағы
тебеліс бір тербеліс жиілігі – 1 Герцқа тең, ол адам жүрегінің соғу
жиілігіне жуық. Ал Херц деген сөз неміс тілінен аударғанда жүрек деген
сөз екен.
Егер тербеліс кезінде тек қана механикалық шамалар (орын ауыстыру,
жылдамдық, үдеу, механикалық энергия және т. б.) қайталанып тұратын болса,
тербелістер механикалық тербелістер деп аталады.
Тербеліс кезінде өзгеретін механикалық шамалардың мәндері бірдей
уақыт аралығында қайталанып отырса, тербелісті периодты тербеліс деп
аталады. Тербеліс периоды Т деп тербелісті сипаттайтын барлық физикалық
шамалардың мәндері қайталану үшін қажетті ең кішкентай уақыт аралығын
атайды. Бір периодқа тең уақыт ішінде бір толық тербеліс болады. Тербеліс
жиілігі деп бір өлшем уақыт ішіндегі толық тербеліс санымен өлшенетін
физиклық шаманы айтады, яғни
Периодтық тербелістердің ең қарапайым түрі гармониялық тербелістер.
Гармониялық тербелістер деп синус немесе косинус заңына бағынып өзгеретін
тербелістерді айтады.
Мысалы, тербеліп тұрған нүктенің тепе – теңдік жағдайдан шығып,
орын ауыстыруы х = Аsin(ωt+φ) заңына бағынып немесе x = Acos(ωt+φ) заңына
бағынсын. Бұл жағдайда тербелістің орын ауыстыруы гармониялық орын ауыстыру
деп аталады. Сонда ең үлкен орын ауыстыру (ығысу деп аталады) хmax = A,
себебі │sin(ωt+φ)│ max = 1. Ең үлкен ығысу тербеліс амплитудасы деп
аталады. Ал, ωt+φ =α шамасы тербеліс фазасы болады. Уақыт санаудың басына
сәйкес, яғни t = 0 фаза бастапқы фаза деп аталады.
α = φ Ал, - циклдік жиілік, дөңгелектік жиілік делінеді. Тербеліп
тұрған материялық нүктенің жылдамдығы мен үдеуінің өзгеріс заңдарын табу
үшін орын ауыстырудың (ығысудың) бірінші және екінші туындыларын табу
қажет, яғни
Егер ығысу косинус заңына бағынатын болса, онда ығысу жылдамдығы да косинус
заңына бағынады, бірақ фазасы алға озып отырады, ығысу үдеуі
ығысуға пропорционал болады, бірақ үдеу векторының бағыты ығысу векторының
бағытына қарама – қарсы болады.
Соңғы теңдеуді түрлендіріп жазайық, яғни
Сөйтіп дифференциалдық теңдеуді шығарып аламыз. Бұл теңдеу
гармониялық тербелістер теңдеуі деп аталады. Гармониялық тербеліс мынадай
графикалық модель арқылы бейнеленеді.
1 – сурет. Гармониялық тербелістің
графикалық моделі.
Сан мәні тербеліс амплитудасына тең векторы бастапқы мезетте
горизонтал өстен бастапқы фазаға тең бұрыш жасап, векторы 0
нүктесінен бірқалыпты циклдік жиілікпен айнала бастасын. Сонда
уақыт t болатын мезетте ωt бұрышына бұрылып, горизонталь өспен α = ωt = φ
бұрыш жасайды. Осы мезеттегі векторының горизонталь өске проекциясы
x = Acosα = Acos(ωt+φ) болып, гармониялық тербелісті сипаттайды. Егер
горизонталь емес болса, онда у = Аsin(ωt+φ) заңына бағынатын гармониялық
тербеліс алар едік.
Гармониялық тербеліс кезінде тең екені белгілі. Ньютонның
екінші заңы бойынша F = ma, олай болса гармониялық тербеліс болу үшін
массасы m материялық нүктеге әсер ететін күш F= mω2 x заңына бағынып
өзгереді. Яғни тербеліс күші ығысуға пропорционал болу қажет, бірақ күш
векторының бағыты ығысу векторының бағытына қарама – қарсы бағытта болуы
тиіс. Тек осындай күштер ғана гармониялық тербелістер туғыза алады. Мұндай
күштерді серпімділік немесе квазисерпімділік күштері деп атайды.
Серпімділік күштері дейтін себебі, серпімділік деформациясы кезінде пайда
болатын, Гук заңына бағынатын күштер гармониялық тербелістер тудыра алады.
Ал, квазисерпімділік күштері дейтін себебі, кей жағдайларда гармониялық
тербеліс тудыратын күштер серпімділік күштері болмағанымен, олардың сыртқы
қасиеттері серпімділік күштерге ұқсас болады.
Гармониялық тербелістерге математикалық маятниктің, серіппелі
маятниктің, бұрылғыш маятниктің, аударылмалы маятниктің және тағы сол
сияқты маятниктердің тербелістері жатады.
1.2. Маятниктердің тербелістері
Деформацияланбайтын, массасын елемеуге болатын жіпке ілінген
материялық нүктенің тепе – теңдік қалпынан шығарған кездегі тербелісі
гармониялық тербелісі болады және бұл жүйе математикалық маятник деп
аталады. Математикалық маятник гармониялық тербеліске келу үшін квази
серпінді күш қалай пайда болады?
2 – сурет. Математикалық маятникті гармониялық тербеліске
келтіретін квазисерпімділік күштің пайда болуы.
Тепе – теңдік қалыпта вертикал сызық бойымен орналассын. Бұл жағдайда
маятниктің ауырлық күші және жіптің керілу күші бір сызықтың
бойымен орналасын және += 0 маятникті тепе-теңдік қалпынан
шығарып, солға қарай α бұрышқа ауытқытайық. Енді жоғарыдағы екі күштің
бағыттары басқаша болады: ауырлық күші бұрынғыдай вертикал төмен
бағытталған, ол керілу күші жіптің бойымен вертикалға α бұрыш жасап іліну
нүктесіне қарай бағытталған.
Бұл екі күштің геометриялық қосындысы, қорытқы күш тепе –
теңдік қалпынан ығысу векторы мен күш векторының бағыттары қарама – қарсы
екенін көреміз. Ығысу бұрышы кішкентай болса, доға мен хорданың сан
мәндерінің айырмасы жоқ деп қарауға болады, яғни ығысу доғасының орнына
ығысу хордасы алынады. Ығысу хордасын Х деп белгілейік. Ығысу хордасы
маятник үшін тепе – теңдік қалпынан ығысу болып табылады. Қорытқы күш
() пен ығысу (Х) арасындағы тәуелділікті табайық. Қорытқы күш ()
жанаманың бойымен бағытталғандықтан F = P sin α = mg sin α тең. Ауытқу
бұрышы кішкентай болса, sin α = α , онда F = mg α. Екінші жағынан
. Сонда . Ығысу векторы күш векторына қарама – қарсы екенін
ескерсек, онда . Бұдан қорытқы күштің ығысуға пропорционал екенін
көруге болады, себебі m, g және - тұрақты шамалар. Сондықтан
математикалық маятниктің тербелісі квазисерпімділік күштің әсерінен
гармониялық тербеліс болады. Енді тербеліс периодын табалық.
Квазисеріпінділік күштің цикілдік жиіліктің тең екенін ескерсек,
сонда тербеліс периоды
Математикалық маятниктің периоды маятник ұзындығының квадрат түбіріне
тура пропорционал да, маятник тұрған жердегі еркін түсу үдеуінің квадрат
түбіріне кері пропорционал болады.
Серіппелі маятник деп вертикал орналасқан серіппеге іліеген жүктің тұратын
жүйені айтамыз.
2- сурет. Серіппелі маятникте пайда болатын
серпімділік күші.
Тепе-теңдік қалыпта ілінген жүктің ауырлық күші созылған серіппеде
пайда болатын серпінділік күшімен теңеседі. Егер жүк тепе-теңдік қалпынан
төмен қарай ауытқыса, серіппе ішінде Гук заңына сәйкес күші пайда
болады, мұндағы К- серіппенің серпінділік коэффициенті, серпінділігі
қаттылығы деп аталады. Енді серіппелі маятниктің тербеліс периодын табалық.
Квазисеіпінділік күштің цикілдік жиіліктің - тең екені белгілі,
сонда тербеліс периоды .
Серіппелі маятниктің тербеліс периоды тербелетін дененің массасының
квадрат түбіріне тура пропорционал да, серіппенің қаттылығының квадрат
түбіріне кері пропорционал.
Математикалық маятник үшін қорытқы күш ал серіппелі маятник үшін
серпімділік күші екенін білеміз. Сонда шамасы серпімділік
коэффициентінің рөлін атқарып тұр. Бұл шаманы квазисерпінділік коэффициенті
деп қарауға болады. Сөйтіп серпінділік немесе квазисерпінділік күштерін бір
ғана формула арқылы беруге болады. мұндағы F-серпінділік немесе
квазисерпінділік коэффициенті, Х – жүйенің тепе-теңдік қалпынан ығысуы. Кез-
келген серпінділік немес еквазисерпінділік күштердің әсерінен тербелетін
жүйенің тербеліс периодының формуласы. арқылы табылады, мұндағы m –
жүйенің массасы, k – серпінділік немесе квазисерпінділік коэффициенті.
Тербеліп тұрған дененің кинетикалық энергиясы потенциалдық энергиясы
ал толық энергиясы, механикалық энергиясы ,
Тербеліс гармониялық болса, онда ығысу жылдамдығы тең болады.
Олай болса жүйенің механикалық энергиясы және тең екенін
ескерсек онда
тең болады.
Гармониялық тербеліс жасайтын жүйенің механикалық энергиясы уақыттан
тәуелді емес және ол тұрақты шама.
Бұл тұжырымдама механикалық энергияның тербелмелі қозғалыс үшін
сақталуының дербес жағдайы болып табылады.
Маятниктердің жалпы түрі – физикалық маятник. Физикалық маятник деп
қозғалмайтын горизантал өстен айнала тербеле алатын етіп ілінген, тірелген
кез келген қатты денені айтады.
3-сурет. Физикалық маятник
Горизантал О өсінен еркін айналатын қылып істелінген қатты денені
вертикал тепе-теңдік қалпынан φ бұрышқа бұрайық. Физикалық маятниктің
ауырлық центірі С нүктесі болсын, іліну өсінен ауырлық центіріне дейінгі
қашықтықты а әрпімен белгілейік. Дененің тепе-теңдік қалпынан ауытқыған
кездегі пайда болатын потенциалдық энергия.
Ауытқу бұрышы кішкентай болса, онда сондықтан тең болады.
Жалпы формула бойынша мұндағы К – серпінділік коэффициенті, Х –
дененің тепе-теңдік қалпынан ығысу. Біздің жағдайда ығысу бұрышы алынып
тұр. Олай болса
Енді тербелетін физикалық маятниктің кинетикалық энергиясының
формуласын қарастыралық. Кинетикалық энергия мұнда массаның рөлін
инерция моменті атқарады. Сондықтан, физикалық маятниктің тербеліс периоды
тең болады.
Физикалық маятниктің тербеліс периоды оның инерция моментінің квадрат
түбіріне тура пропорционалда, массасымен ауырлық центіріне дейінгі қашықтық
пен еркін түсу үдеуінің көбейтіндісінің квадрат түбіріне кері пропорционал
болады.
Егер маятник математикалық болса, онда олай болса
Физикалық маятникпен қатар ілінген математикалық маятниктің тербеліс
периодтары бірдей болу үшін шарты орындалуы қажет.
Тербеліс периоды берілген физикалық маятниктің тербеліс периодына тең
болатынын математикалық маятниктің ұзындығы физикалық маятниктің
келтірілген ұзындығы деп аталады. Келтірілген ұзындыққа сәйкес
нүктелер – О және яғни ОО1=lкел. Егер физикалық маятникті О
нүктесінен босатып, О1 нүктесінен іліп, қойсақ онда оның тербеліс периоды
өзгермейді. Кез-келген маятник үшін lкелa шарты орындалуы қажет. Себебі
Штейнер теориясы бойынша , сонда
Іліну нүктесімен келтірілу нүктесі (тербелу центірі деп те аталады) өзара
алмасуға мүмкіндік жасалған физикалық маятник аударылмалы маятник деп
аталады.
4–сурет. Аудармалы маятник. 5-сурет.
Бұралғыш маятник.
Болат шыбықтың екі ұшында маятниктің тербелісін туғызатын тіреуіш
үшбұрышты призмалар (А және В) орналасқан. Жүйенің ауырлық центірі С
нүктесінен төменірек В тетігі бекітілген. Сол сияқты Д тетігі суретте А
тіреуіш призмасының жоғарғы жағында орналасқан және оны шыбықтың бойымен
жылжытып отыруға мүмкіндік болуы қажет.
Әуелі іліну нүктесі ретінде А нүктесі алынады да, жүйенің тербеліс
периоды анықталады.
мұндағы n – тербеліс саны, t – тербеліс уақыты. Сонан кейін маятник
аударылып, іліну нүктесі ретінде А нүктесі алынады. Сонда тербеліс
периодының шамасы өзгереді. В тетігін жылжыту арқылы тербеліс периоды
бірінші жағдайдағы мәнге тең болатындай етуге болады. Сонда тең
болады. Аудармалы маятникті еркін түсу үдеуін анықтау үшін қолданылады.
Маятниктің келесі түрі – бұралғыш маятник (5-сурет). Бұралғыш маятник
деп жоғарғы ұшы бекітілген ұзын шыбықтың екінші ұшына бұралатын етіп
қондырылған денені айтады.
Бұралғыш маятниктің кинетикалық энергиясы тең болады. Мұнда
массаның рөлін энерция моменті атқарады. Ал, потенциалдық энергиясы
тең болады. Мұндағы φ – бұрылу бұрышы, С2 – бұрылудың серпінділік
коэффициенті. Шыбыққа байланысты бұрылу бұрышы формуласы бойынша
болады. Бұралғыш маятниктің тербеліс периоды формуласы арқылы
табылады.
1.3 Бір түзудің бойымен бағытталған тербелістер
Бір дене екі тербеліске қатынасатын жағдайлар жие кездеседі. Біз әуелі
бір түзудің бойымен бағытталған, тербеліс периодтары бірдей ал,
амплитудалары мен бастапқы фазаларының айырмашылығы бар екі тербелісті
қосудан бастайық. Бірінші тербеліс ал екінші тербеліс
заңдылығына бағынатын болсын. Мұндағы тербеліс периодтары бірдей екі
гармониялық тербелістің цикілдік жиілігі бір мезетте екі тербеліске
қатынасатын дененің тепе-теңдік қалпынан орын ауыстыруы, яғни ығысуы
тең болады. Қорытқы тербелістің амплитудасын тербелістің бейнеленуін
пайдаланып, А және бастапқы фазасын анықтайық (5-сурет).
5-сурет. Бір түзудің бойымен бағытталған
екі гармониялық тербелісті қосу.
Уақыт t=0 мезеттен есептегенде Х1=A1cosφ, ал Х2=A2cosφ2 болады. Модулі
бірінші гармониялық тербелістің амплитудасына тең болатын векторы О
нүктесінен сағат тілінің айналу бағытына қарама-қарсы бағытта бір қалыпты
айналысын оның горизантал өспен жасайтын бастапқы бұрышы – φ1 болсын.
Модулі екінші гармониялық тербелістің амплитудасына тең болатын
векторы да О нүктесінен сол бағытта бірқалыпты айналысын делік. Оның
горизантал өспен жасайтын бастапқы бұрышы φ2 болсын. Қорытқы тербеліс
амплитудасын табу үшін және векторларын қосып,
векторын анықтауымыз керек. Косинустар теориясын пайдалансақ, онда тербеліс
осыдан қорытқы тербелістің амплитудасын анықтаймыз, яғни тең
болады.
Қорытқы тербелістің бастапқы фазасын табу үшін мына қатынасты пайдаланамыз.
Егер бастапқы фазалар айырмасы φ2 – φ1= 0 тең болса, яғни онда
Сондықтан яғни қорытқы тербеліс амплитудасы жеке тербелістердің
амплидудаларының қосындысына тең болады. Сол сияқты фазалар айырмасы
тең болса, яғни онда онда қорытқы тербеліс амплитудасы
жеке тербелістердің амплитудаларының айырмасына тең болады. Сол сияқты
бастапқы фазалар айырмасы тең болса, онда болады.
Бастапқы фазалар айырмасы болса, сонда Сондықтан тең
болады.
Сөйтіп қорытқы тербеліс амплитудасының ең үлкен мәні тең болады
да, ең кіші мәні яғни
Егер жеке тербелістердің периодтары тең болмаса онда және
векторлары О нүктесінен әр түрлі цикілдік жылдамдықтармен айналады. Ыңғайлы
болу үшін бастапқы фазалар тең болатын жағдайларды қарастыралық. (6-
сурет)
6 – сурет. Тармақтары әр түрлі гармониялық тербелістер.
Сөйтіп тең болады. Анық болу үшін деп алайық. Косинустар
теоремасы бойынша
тең.
Енді тербеліс амплитудалары А1=А2 жағдайды зерттелік. Сонда
Косинустың абсолют мәнінің периоды π-ге тең екені белгілі, сондықтан
амплитуданың өзгеру периодын өрнегінен табуға болады, яғни
Қорытқы тербелістің өзгеру жиілігі тең болады.
Қорытқы тербелістің өзгеру жиілігі жеке тербелістердің жиіліктерінің
айырмасына тең. Сөйтіп тербеліс амплитудалары тең, бірдей бағытталған екі
гармониялық тербелістің қорытқы тербелісі амплитудасы біресе өсіп, біресі
кеміп, отыратын тербеліс болады. Мұндай тербелістерді соғу деп атайды. (7-
сурет)
Соғу айқын байқалу үшін тербеліс жиіліктері онша алшақ болмауы керек,
яғни соғу кезінде цикілдік жиілік деп алынады.
7-сурет. Соққы тербелісі.
1.4. Өзара перпендикуляр тербелістерді қосу
Материялық нүкте бір мезетте тербеліс периодтары бірдей бағыттары өзара
перпендикуляр екі тербеліске қатысатын болсын. Тербеліс бағыттары ретінде
ОХ және ОУ өстерін алайық. Сонда тербеліс теңдеулері былай өрнектеледі.
Мұндағы А1 және А2 тербеліс амплитудалары, ал φ1 және φ2 бастапқы
фазалар. Қорытқы тербеліс теңдеуін табу үшін, осы екі теңдеуден уақытты жою
қажет әуелі теңдеулерді мынадай қарапайым түрлерге келтірейік:
қосындысының косинусы туралы теореманы пайдалансақ, мынадай екі өрнекті
шығарып аламыз.
Бірінші өрнектің екі жағын -ге, ал екінші өрнектің екі жағын
көбейтіп, олардың айырмасын тапсақ, мынадай өрнек шығады:
Енді бірінші өрнектің екі жағын - ге, ал екінші өрнектің екі
жағын көбейтіп, олардың айырмасын тапсақ, мынадай өрнек шығады.
Осы өрнектің екі жағын квадраттап, мүшелеп, қоссақ, қорытқы тербелістің
траекториясының теңдеуі шығады.
Енді дербес жағдайларды қарастыралық.
1-фазалар айырмасы нөлге тең болсын, яғни сонда
болады да, өрнегі шығады. Бұны былай жазуға болады. Яғни
немесе бұл теңдеу координаттар басынан өтетін I және III ширектерде
жатқан түзудің теңдеуі.
8– сурет. Бастапқы фазалары тең өзара перпендикуляр тербелістерді қосу.
2-фазалар айырмасы π-ге тең болсын, яғни сонда болады да,
өрнегі шығады. Бұны былай жазуға болады, яғни немесе
Бұл теңдеу координаттар басынан өтетін, II және IV ширектерде жататын
түзудің теңдеуі. (9 - сурет)
9– сурет. Бастапқы фазаларының айырмасы π-ге тең тербелістерді қосу.
Егер - ге тең болса, онда қорытқы тербеліс (8- сурет) суреттегідей
болады да, ал - ге тең болса, онда қорытқы тербеліс 9 – суреттегідей
болады.
Бастапқы фазалар айырмасы π2, тақ санына тең болса, яғни 2,
онда
Бұл жағдайда тербеліс траекториясы эллипс болады. (10 - сурет)
10– сурет. Бастапқы фазалар айырмасы π2 тақ санына тең тербелістерді
қосу.
Мысалы , тең болсын делік, онда =π2. Олай болса
Бастапқы уақыт мезетінде (t=0) Х=A1 ,Y=0 тең болады; яғни
материялдық нүкте абцисса өсінде жатыр. Келесі мезетте X0, ал Y0 болады,
яғни материялық нүкте эллипс бойымен сағат тілінің қозғалу бағытына сәйкес
бағытта қозғалады. Егер болса, материялық нүктенің эйлипс бойымен
сағат тілінің қозғалу бағытына қарама-қарсы бағытта болар еді.
Тербеліс амплитудалары өзара тең болса, яғни онда эилипс шеңберге
айналады.
Тербеліс периодтары тең болмаған жағдайда Лиссажу фигуралары деп
аталатын күрделі траекториялары түзіледі. (11- сурет)
11 – сурет. Лиссажу фигуралары.
Лиссажу фигураларын байқау үшін осциллограф және дыбыс генераторынан
тұратын қондырғыны пайдалануға болады. Дыбыс генераторы өндіретін
реттелінетін тербелістер, мысалы, абцисса өсінің бойымен бағытталатын
болса, осциллограф жүйесінде пайда болатын тербелістер (олардың жиілігі
υ=50Гц) координат өсінің бойымен бағытталуы қажет. Реттелінетін
тербелістердің жиіліктерін өзгерту арқылы (υ=25, 50, 75, 100, 125, 150,
200Гц) осциллографтың экранында Лиссажу фигураларын көре аламыз.
1.5. Өшетін тербелістер
Іс жүзінде материялық нүктенің тербелісінің амплитудасы уақыт өтуімен
бірге азаяды, тербеліс өше бастайды. Тербелісті бәсеңдететін күштердің
табиғаты әр түрлі болуы мүмкін: Іліну нүктесінде пайда болатын құрғақ
үйкеліс күші, материялық нүкте түзейтін ортада пайда болатын тұтқырлық
күштер, ортаның кедергі күші және т.с.с.
Тұтқыр ортадағы түзу сызық бойымен жүзеге асатын тербелісті
қарастыралық. Тұтқырлық кедергі күші материялық нүктенің қозғалу
жылдамдығына пропорционал және жылдамдықтың бағытына қарама-қарсы
бағытталған деп қарастырайық, яғни мұндағы r-кедергі коэффициенті,
нүктесінің қозғалу жылдамдығы.
Тербеліс болу үшін серпінділік (квазисерпінділік) қажет екенін
ескерсек, материялық нүктеге әсер ететін қорытқы күш тең болады.
Ньютонның екінші заңы бойынша осы теңдеудің екі жағында материялық
нүктенің массасына бөлсек, мынадай өрнек
шығады.
Мынадай белгілеулер енгізелік. яғни
Мұндағы ω0-гармониялық тербелістің меншікті цикілдік жиілігі, β-өту
коэффициенті. Сонда мынадай дифференциалдық теңдеуін шығарып аламыз.
Теңдеулер теориясында мынадай теңдеу екінші ретті коэффициенттері тұрақты
біртекті дифференциалдық теңдеу деп аталады да, оның шешуі түрінде
анықталады. Мұндағы А0-бастапқы амплитуда, φ-бастапқы фаза, - өшетін
тербелістің цикілдік жиілігі. Бастапқы амплитуда мен фазаны табу үшін
бастапқы шарттар, t=0 мезетке сәйкес материялық нүктенің тепе-теңдік
қалпынан орын ауыстыруы (Х0) және жылдамдығы (Х0), берілуі тиіс. Өшетін
тербелістің амплитудасын мына шама анықтайды.
Оның уақыттан тәуелділігінің графигі 1.8. 5(1) - суретте кескінделген.
12– сурет. Өшетін тербелістер.
Өшетін тербелістің периоды
өшпейтін гармониялық тербелістің периодымен салыстырғанда артығырақ
болады, яғни TT0
Өшу коэффиценті β қалай табылады? Уақыт мезеті t1 болғандағы тербеліс
амплитудасы А1 болсын, ал t2 =t1 +T уақыттан кейінгі амплитуда А2 болсын.
Бұл амплитудалары тікелей өлшеуге болады. Олардың қатынасының натурал
логорифмін табалық, сонда
Бұл натурал логарифм логорифмдік декрамент деп аталады және λ әрпімен
белгілейді, сонда λ=βТ
Олай болса, өшу коэфиценті тең болады. Өшу коэффиценті табылса,
онда кедергі коэффиценті де оңай есептеледі, яғни Г=2βm
Өшетін тербелістерді зерттеу әртүрлі тұтқыр орталар үшін кедергі
коэффиценттерін анықтауға мүмкіндік береді.
Жоғарыда табылған A= A0l-βt формуласы бойынша тербеліс шексіз көп
уақыт өткенде ғана тоқтайды. (t= 0, A= 0 ) Нақты жағдайларда шкетеулі уақыт
өткен соң тербеліс амплитудасы нөлге айналады. Оның себебі мынадай: Біздер
тербеліс кезінде пайда болатын кедергі күші тербеліс жылдамдығына
пропорционал болады деп алдық, ал шындығында кедергі күші жылдамдықтың
екінші, үшінші, дәрежелеріне пропорционал болуы мүмкін, сондықтан тербеліс
амплитудасының уақыттан тәуелділігінің заңдылығы жай ғана экспонента алдық.
Заңына бағынып өзгермейді.
Біздер тек қарапайым жағдайда ғана алдық. Өшетін тербеліс кезінде
материялық нүктенің толық энергисы неге тең болады?
Сонда тең болады.
Толық энергия өткен сайын күрделі заңға бағынып азаятыны көрініп тұр.
Өшетін тербелістің қуатын табалық, сонда неғұрлым тербелістің
ығысуы үлкен болған сайын, соғұрлым өсетін тербеліс кезінде жоғалатын қуат
көбірек болады. Жоғалатын энергия ортада жылу, дыбыс т.б. түрінде байқалуы
мүмкін. Тербеліс өшпеу үшін үздіксіз жоғалатын энергияны сырттан үздіксіз
беріп отыру қажет. Мысалы: қазақтың ұлттық ойыны алтыбақанда тербеліс
өшпейтін болу үшін тербелуші тепе-теңдік қалыпқа келген кезде ауық-ауық
сыртқы күш түсіріп отыруы қажет; сағаттың маятнигі тербеліс өшпеу үшін
сырттан берілетін энергияны жоғары көтеріп, қойған жүктің потенциалдық
энергиясының қорынан алады. Қол сағаттарының маятниктерінің тербелісі өшпеу
үшін қажетті энергия бірітіндеп босап, жазылып отыратын серіппенің
потенциалдық энергиясының қорынан алынады және т.с.с.
Осындай өзінің тербеліс амплитудасын өзгертпей өшпейтін гармониялық
тербелістер жасай алатын жүйелерді автотербелмелі жүйелер деп атайды.
Мұндай жүйелерде пайда болатын тербелістерді автотербелістер деп атайды.
Мәжбүр тербелістер
Материялық нүктеге серпінділік күш пен кедергі күшінен басқа қосымша
периодты күш әсер еткен кездегі оның қандай тербеліс жасайтынын зерттейік.
Қосымша периодты күш мәжбүрлеуші күш деп аталады және оның әсерінен пйда
болатын тербеліс мәжбүр тербеліс болады. Қарапайым жағдайда мәжбүрленуші
күш синус немесе косинус заңына бағынып өзгеретін күш болып табылады, яғни
мұндағы F0 – мәжбүрлеуші күштің амплитудасы, ал ω-мәжбүрлеуші күштің
цикілдік жиілігі.
Ньютонның екіші заңы түрінде жазылады. Бұл теңдеудің екі жағын
тербелетін материялық нүктенің массасына бөлсек, мына өрнек шығады: .
Бұрынғы және жаңа белгілеулерді енгізейік: мұндағы өшпейтін
гармониялық тербелістің меншікті цикілдік жиілігі, өшу коэффициенті,
бір өлшем массаға сәйкес мәжбүрлеуші күш амплитудасы. Сонымен
дифференциалдық теңдеуін шығарып аламыз. Дифференциалдық теориясында мұндай
теңдеу екінші ретті коэффициенттері тұрақты біртекті емес дифференциалдық
теңдеу деп аталады. Мұның шешуі: ретінде қарастырылады. Мәжбүр
тербелістің цикілдік жиілігі мәжбүрлеуші күштің цикілдік жиілігіне тең
болады деп есептеледі. Белгісіз тербеліс амплитудасын (А) және бастапқы
фазаны (φ) табу үшін, бірінші және екінші туындыларды тауып, алдыңғы
дифференциалдық теңдеуге апарып қоялық:
-
Егер шешу дұрыс болса, кез келген мезетте теңдеу теңдікке айналуы қажет.
Әуелі мезетте қарастырайық. Бұл жағдайда тең болады. Сонда
өрнегі шығады. Енді мезетте қарастырайық. Бұл жағдайда
тең болады. Сонда өрнегі шығады.
Екінші өрнекті бірінші өрнекке бөлсек, сонда формуласы шығады.
Бұл формула мәжбүр тербелістің бастапқы фазасын анықтауға мүмкіндік береді.
Бастапқы фазаның тангенсі меншікті цикілдік жиіліктен, мәжбүрлеуші күштің
цикілдік жиілігінен және өшу коэффициентінен тәуелді. Мәжбүрленуші күштің
цикілдік жиілігі меншікті цикілдік жиіліктен кем болса, онда яғни
мәжбүр тербеліс фазасы меншікті тербеліс фазасынан қалып қояды.
Мәжбүрленуші күштің цикілдік жиілігі меншікті цикілдік жиіліктен артық
болса, онда яғни мәжбүр тербеліс фазасы меншікті тербеліс
фазасынан озып отырады.
Мәжбүрленуші күштің цикілдік жиілікке тең болса онда яғни
мәжбүр тербеліс фазасы мен меншікті тербеліс фазасының арасындағы айырмасы
тең болады.
Осы зерттеулерді сызба түрінде көрсетуге болады.
13–сурет. Мәжбір тербелістің бастапқы фазасының мәжбірлеуші күштің циклдік
жиілігінен тәуелділігі.
Екі өрнектің сол және оң жақтарын квадраттап, мүшелеп қоссақ, мынадай
жаңа өрнек шығады.
Бұл өрнек мәжбүр тербеліс амплитудасын табуға мүмкіндік береді, яғни
Мәжбүр тербеліс амплитудасын меншікті цикілдік жиіліктен, мәжбүрлеуші
күштің цикілдік жиілігінен, өшу коэффициентінен, мәжбүрлеуші күш
амплитудасымен материялық нүктенің массасына тәуелді. Бөлшектің бөліміндегі
шама максимум болуы үшін квадрат түбірдің астындағы шаманың бірінші ретті
туындысы (егер айнымалы шама ретінде мәжбүрлеуші күштің цикілдік жиілігін
алатын болсақ) нөлге тең болуы қажет, яғни сонда тең болады.
Мәжбүр тербеліс амплитудасы максимум болатын болса, онда резонанс деп
аталады, және оған сәйкесті резонанстық жиілік мына формула арқылы
анықталады.
Резонанс жағдайына сәйкес амплитуда резонанстық амплитуда өшу
коэффициентімен өте күшті байланыста болады.
Өшу коэффициенті тең болса, сөйтіп мәжбүр тербелістік жүйе
құрайды. Өшу коэффициенті артқан сайын резонанстық амплитуда азая береді.
Бұл жағдайларды да сызба арқылы бейнелеуге болады.
14–сурет. Резонанстық амплитуданың өшу коэффицентінен тәуелділігі.
Мәжбүр тербелістерді зерттеудің практикалық маңызын түсіну үшін мынадай
мысалдар келтірейік.
Өткен ғасырда Петербург қаласындағы көптеген көпірлердің біреуінің
үстінен бір топ әскерлі адамдар жүргенде алдын – ала, Аяқтарыңды еркін
басыңдар деген команда беруді топ бастығы ұмытып кеткен. Әскерлер көшеде
келе жатқандай бір-екі-үш командасына сәйкес аяқтарымен көпірді ұрып өте
бастайды. Кездейсоқ көпірдің сабалау жиілігіне өте жақын болғандықтан,
көпірдің мәжбүр тербеліс амплитудасы өте үлкен болып, көпір қирап, әскерлер
өзен суына еріксіз шомылған.
Біздің ғасырымыздың отызыншы жылдары Мәскеудің бір үйі ауық-ауық жер
сілкінгендей тербеле бастайды. Ол үйден бірнеше жүздеген метр қашықтықтағы
жертөбеде ескірген, айналу жиілігі техникалық нормадан шығып кеткен моторы
бар шеберхана орналасқан екен. Үйдің меншікті тербеліс жиілігі мотордың
айнымалы қозғалысының жиілігіне тең болып, кеткен жағдайда резонанс
құбылысы зәулім үйді жер сілкінгендей дірілдеткен.
Ұшақтардың құрамына мыңдаған тетіктер кіреді, олардың меншікті тербеліс
жиіліктері ұшақтардың ішіндегі ешқандай тербеліс алатын аспаптардың
тербеліс жиіліктерінің маңайына дәл жоламайтындай алдын-ала есептеліп
қойылуы қажет. Ешбір аспап ешбір тетікті резонансқа келтіре алмайтындай
жағдай ескерілуі тиіс.
Механикалық тербелістер тарауы бойынша қайталау сұрақтары
1. Механикалық тербелістер деп қозғалыстың қандай түрлерін айтамыз?
2. Гармониялық тербелістер деп қандай тербелістерді айтамыз?
3. Гармониялық тербелістің моделі қандай?
4. Қандай тербелмелі жүйе математикалық маятник деп аталады?
5. Қандай тербелмелі жүйе серіппелі маятник деп аталады?
6. Қандай тербелмелі жүйе физикалық маятник деп аталады?
7. Қандай тербелмелі жүйе аударылмалы маятник деп аталады?
8. Қандай тербелмелі жүйе бұралғыш маятник деп аталады?
9. Соңғы бес сұрақтар үшін жүйелердің тербеліс периоды қандай өрнектер
арқылы табылады?
10. Бір түзудің бойымен бағытталған периодтары тең екі гармониялық
тербелістің қорытқы амплитудасы қандай өрнек арқылы табылады?
11. Бір түзудің бойымен бағытталған периодтары тең екі гармониялық
тербелістің қорытқы фазасы қандай өрнек арқылы табылады.
12. Қорытқы тербеліс амплитудасы периодтары тең жеке тербелістердің
амплитудасының қосындысына тең болу үшін тербелістердің бастапқы
фазаларының айырмасы неге тең болуы қажет?
13. Қорытқы тербеліс амплитудасы периодтары тең жеке тербелістердің
амплитудаларының айырмасына тең болуы үшін тербелістердің бастапқы
фазаларының айырмасы неге тең болуы керек?
14. Бір түзудің бойымен бағытталған периодтары тең емес екі гармониялық
тербелістер соғу беретіні белгілі. Соғу жиілігі неге тең болады?
Соғудың цикілдік жиілігі неге тең?
15. Өзара перпендикуляр гармониялық тербелістер (тербеліс периодтары
бірдей болғандағы) қосылғанда пайда болатын қорытқы тербеліс
траекторияның өрнегі қандай?
16. Тербеліс траекториясы І және ІІІ ширектерде жататын түзу сызық болу
үшін, бастапқы фазалар айырмасы неге тең болуы керек?
17. Тербеліс траекториясы ІІ және ІV ширектерде жататын түзу сызық болу
үшін, бастапқы фазалар айырмасы неге тең?
18. Тербеліс траекториясы эилипс болуы үшін, бастапқы фазалар айырмасы
неге тең болуы керек?
19. Қандай жағдайларда тербеліс траекториясы шебер болады?
20. Өшетін тербеліс периоды мен өшпейтін гармониялық тербеліс периодының
арасында қандай байланыс бар?
21. Логорифмдік декремент деп қандай шаманы айтады?
22. Логорифмдік декремент арқылы кедергі коэффицентін қалай табуға болады?
23. Кез келген мезеттегі өшетін тербеліс амплитудасы қандай өрнек арқылы
табылады?
24. Мәжбір тербеліс қандай дифференциялдық теңдеуге бағынады?
25. Мәжбір тербелістің бастапқы фазасы үшін қандай өрнек алынады?
26. Бастапқы фазаның мәжбірлеуші күштің циклдік жиілігінен тәуелділігінің
сызбасы қандай? Бұл сызбадан қандай тұжырымдар жасауға болады?
27. Резонанстық амплитуда қандай өрнек арқылы анықталады?
28. Резонансық амплитуданың мәжбірлеуші күштің циклдік жиілігінен
тәуелділігінің сызбасы қандай? Бұл сызбадан қандай тұжырымдар жасауға
болады?
29. Сызбадағы статикалық амплитуда (Астат) деп белгіленген амплитуда
қандай амплитуда?
Механикалық тербелістер тарауын меңгерту үшін ұсынылатын есептер
1. Ұзын жіпке ілінген кішкентай шар тыныштық қалыпта тұр. Бірінші
жағдайда шарды іліну нүктесіне дейін көтеріп, түсіріп жібереді. Екінші
жағдайда оны маятник сияқты кішкентай бұрышқа ауытқытады. Қай жағдайда
шар өзінің тепе – теңдік қалпына жылдамырақ келеді.
2. Физикалық маятник массалары бірдей екі жүк ілінген өте жеңіл біліктен
тұрады. Бірінші жүктің айналу өсінен қашықтығы 15 см, екінші жүктің
қашықтығы 30 см. Маятниктің тербеліс периоды неге тең болады?
3. Гармониялық тербеліс жасап тұрған материялық нүктенің массасы 0,1 кг.
Белгілі бір мезеттегі материялық нүктенің ығысуы 5 см, жылдамдығы 20
смс. Осы мезеттегі оның үдеуі 80 смс 2 және жылдамдық векторына
қарама – қарсы бағытталған. Тербеліс амплитудасы және тербеліс фазасы
неге тең? Циклдік жиілігі және тербеліс периоды қандай? Серпімділік
күшінің максимал мәні неге тең?
4. Бір түзудің бойымен бағытталған екі гармониялық тербелістердің
периодтары бірдей (Т1=Т2=8с ) амплитудалары да бірдей (A1=A2=0,02 м)
Бірінші тербелістің бастапқы фазасы φ1=0. Екі тербелістің фазаларының
айырмасы π4. Қорытқы тербелістің қозғалыс теңдеуін табыңдар.
5. Бір түзудің бойымен бағытталған екі гармониялақ тербелістердің
теңдеулері және Тербеліс амплитудасының өлшем бірлігі
–метр, уақыттың өлшем бірлігі-секунд. Қорытқы тербелістің амплитудасы
мен фазасын анықтау.
6. Өзара перпендикуляр екі тербелістердің жиіліктері бастапқы
фазалары Бірінші тербелістің амплитудасы екінші тербелістің
амплитудасы Қорытқы тербелістің теңдеуі қандай болады?
7. Материялық нүкте өзара перпендикуляр және теңдеулерімен
анықталатын тербелістерге қатысады. Нүктенің траекториясының түрі
қандай сызық? Ығысулардың өлшем бірліктері-метр.
8. Өшетін тербеліс периоды 4с, өшудің логарифмдік декременті 1,6 бастапқы
фаза нөлге тең. Ширек периодқа тең уақыттағы ығысу 4,5см. Тербелістің
қозғалыс теңдеуі қандай болады?
9. Математикалық маятниктің өшетін логарифмдік, декременті 0,2. ... жалғасы
Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.
Ұқсас жұмыстар
Пәндер
- Іс жүргізу
- Автоматтандыру, Техника
- Алғашқы әскери дайындық
- Астрономия
- Ауыл шаруашылығы
- Банк ісі
- Бизнесті бағалау
- Биология
- Бухгалтерлік іс
- Валеология
- Ветеринария
- География
- Геология, Геофизика, Геодезия
- Дін
- Ет, сүт, шарап өнімдері
- Жалпы тарих
- Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
- Журналистика
- Информатика
- Кеден ісі
- Маркетинг
- Математика, Геометрия
- Медицина
- Мемлекеттік басқару
- Менеджмент
- Мұнай, Газ
- Мұрағат ісі
- Мәдениеттану
- ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
- Педагогика
- Полиграфия
- Психология
- Салық
- Саясаттану
- Сақтандыру
- Сертификаттау, стандарттау
- Социология, Демография
- Спорт
- Статистика
- Тілтану, Филология
- Тарихи тұлғалар
- Тау-кен ісі
- Транспорт
- Туризм
- Физика
- Философия
- Халықаралық қатынастар
- Химия
- Экология, Қоршаған ортаны қорғау
- Экономика
- Экономикалық география
- Электротехника
- Қазақстан тарихы
- Қаржы
- Құрылыс
- Құқық, Криминалистика
- Әдебиет
- Өнер, музыка
- Өнеркәсіп, Өндіріс
Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор #1 болып табылады.
Ақпарат
Қосымша
Email: info@stud.kz