Толық дифференциалды теңдеу


Тағы да квадратураға келтірілетін теңдеулердің бір класын қарастырайық.
Айталық, бірінші ретті дифференциалдық теңдеу х, у бойынша симметриялық дифференциалдық түрінде берілсін:
М(х, y)dx + N.(x, y)dy = 0 (1)
Кейбір жағдайларда, сол жағындағы өрнек бір функцияның толық дифференциалы болуы мүмкін, яғни,
dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. Егер ондай шарт орындалса, онда (1) теңдеуі толық дифференциалды теңдеу деп аталады жане былай жазылады:
dU (x,y) =0 (2)
Онда теңдеудің шешімін мына түрде табуға болады:
U(x; у) - С, С - тұрақты сан.
Осыдан, толық дифференциалды (2) теңдеудің шешімін табу үшін, оның сол жағындығы өрнегін толық дифференциал жасайтын U(x, у) функциясын табу керек екен.
Мысалы cos(x - y)dx - cos(y - x)dx = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің сол жағы и = sin(x — у) функциясының толық дифференциалы болады, сондықтан, sin(х — у) — С - берілген теңдеудің жалпы интегралы болады. Бұл мысалда U(х,у) функциясы оңай табылды (теңдеу қарапайым болғандықтан). Көп жағдайда оны табу қиынға соғады, тіпті ол болмауы да мүмкін. Сондықтан, жалпы жағдайда, сондай функцияларды табу әдістерін қарастырайық.
Айталық жабық, шенеуді бір байланысты D облысында
M(x,y),N(x,y) және үзіліссіз функциялар болсын.
Сонда Mdx \ Ndy өрнегі D облысында U(x,y) функциясының толық диффереяциалы болу шарты теңдігіне әкелетінін білеміз.
Егер осы теңдік орындалса, онда U(x,y) функциясына

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 4 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 200 теңге




Толық дифференциалды теңдеу
Тағы да квадратураға келтірілетін теңдеулердің бір класын қарастырайық.
Айталық, бірінші ретті дифференциалдық теңдеу х, у бойынша симметриялық
дифференциалдық түрінде берілсін:
М(х, y)dx + N.(x, y)dy = 0 (1)
Кейбір жағдайларда, сол жағындағы өрнек бір функцияның толық
дифференциалы болуы мүмкін, яғни,
dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. Егер ондай шарт орындалса, онда (1)
теңдеуі толық дифференциалды теңдеу деп аталады жане былай жазылады:
dU (x,y) =0 (2)
Онда теңдеудің шешімін мына түрде табуға болады:
U(x; у) - С, С - тұрақты сан.
Осыдан, толық дифференциалды (2) теңдеудің шешімін табу үшін, оның сол
жағындығы өрнегін толық дифференциал жасайтын U(x, у) функциясын табу керек
екен.
Мысалы cos(x - y)dx - cos(y - x)dx = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің
сол жағы и = sin(x — у) функциясының толық дифференциалы болады, сондықтан,
sin(х — у) — С - берілген теңдеудің жалпы интегралы болады. Бұл мысалда
U(х,у) функциясы оңай табылды (теңдеу қарапайым болғандықтан). Көп жағдайда
оны табу қиынға соғады, тіпті ол болмауы да мүмкін. Сондықтан, жалпы
жағдайда, сондай функцияларды табу әдістерін қарастырайық.
Айталық жабық, шенеуді бір байланысты D облысында
M(x,y),N(x,y) және үзіліссіз функциялар болсын.
Сонда Mdx \ Ndy өрнегі D облысында U(x,y) функциясының толық
диффереяциалы болу шарты теңдігіне әкелетінін білеміз.
Егер осы теңдік орындалса, онда U(x,y) функциясына

теңдігі орындалады.
Осыдан

(4)

Бірінші тендікті ингегралдасақ

(5)

болады. Бұл жерде φ(у) - у -тен тәуелді белгісіз функция. Осы функцияны (4)-
тің екінші теңдеуі орындалатындай етіп, таңдау керек. Ол үшін (125.5)-тің
оң жағын у бойынша туыңдысын тауып
N(x,у) -ке теңестіреміз:

Осы теңдеуде φ(у) -ті тауып (5) формуласына қоямыз, сонда (5) теңдеудің
U(x, у) = С - жалпы шешімін табамыз.
Толық дифференциалды теңдеудің шешімін табатын тағы да бір формулаларын
дәлелдеусіз келтірейік:

және

Енді С1 = 0 деп алып, (5-формуланы пайдаланатын болсақ, онда (5) жалпы
интегралдарын мына ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Теңдеу
Дифференциалдық теңдеу
Сызықтық теңдеу
Дифференциалды психология
Теңдік. Теңдеу
Қарапайым көрсеткіштік теңдеу
Бір айнымалы сызықтық емес теңдеу
Теңдеу. Теңдеуді шешу тәсілдері
Үшінші ретті дифференциалды операторлардың бір класының ядролығы
Толық ықтималдықтар формуласы
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь