Толық дифференциалды теңдеу


Тағы да квадратураға келтірілетін теңдеулердің бір класын қарастырайық.
Айталық, бірінші ретті дифференциалдық теңдеу х, у бойынша симметриялық дифференциалдық түрінде берілсін:
М(х, y)dx + N.(x, y)dy = 0 (1)
Кейбір жағдайларда, сол жағындағы өрнек бір функцияның толық дифференциалы болуы мүмкін, яғни,
dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. Егер ондай шарт орындалса, онда (1) теңдеуі толық дифференциалды теңдеу деп аталады жане былай жазылады:
dU (x,y) =0 (2)
Онда теңдеудің шешімін мына түрде табуға болады:
U(x; у) - С, С - тұрақты сан.
Осыдан, толық дифференциалды (2) теңдеудің шешімін табу үшін, оның сол жағындығы өрнегін толық дифференциал жасайтын U(x, у) функциясын табу керек екен.
Мысалы cos(x - y)dx - cos(y - x)dx = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің сол жағы и = sin(x — у) функциясының толық дифференциалы болады, сондықтан, sin(х — у) — С - берілген теңдеудің жалпы интегралы болады. Бұл мысалда U(х,у) функциясы оңай табылды (теңдеу қарапайым болғандықтан). Көп жағдайда оны табу қиынға соғады, тіпті ол болмауы да мүмкін. Сондықтан, жалпы жағдайда, сондай функцияларды табу әдістерін қарастырайық.
Айталық жабық, шенеуді бір байланысты D облысында
M(x,y),N(x,y) және үзіліссіз функциялар болсын.
Сонда Mdx \ Ndy өрнегі D облысында U(x,y) функциясының толық диффереяциалы болу шарты теңдігіне әкелетінін білеміз.
Егер осы теңдік орындалса, онда U(x,y) функциясына

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі:  Материал
Тегін:  Антиплагиат
Көлемі: 4 бет
Таңдаулыға:   
Бұл жұмыстың бағасы: 300 теңге
Кепілдік барма?

бот арқылы тегін алу, ауыстыру

Қандай қате таптыңыз?

Рақмет!






Толық дифференциалды теңдеу
Тағы да квадратураға келтірілетін теңдеулердің бір класын қарастырайық.
Айталық, бірінші ретті дифференциалдық теңдеу х, у бойынша симметриялық
дифференциалдық түрінде берілсін:
М(х, y)dx + N.(x, y)dy = 0 (1)
Кейбір жағдайларда, сол жағындағы өрнек бір функцияның толық
дифференциалы болуы мүмкін, яғни,
dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. Егер ондай шарт орындалса, онда (1)
теңдеуі толық дифференциалды теңдеу деп аталады жане былай жазылады:
dU (x,y) =0 (2)
Онда теңдеудің шешімін мына түрде табуға болады:
U(x; у) - С, С - тұрақты сан.
Осыдан, толық дифференциалды (2) теңдеудің шешімін табу үшін, оның сол
жағындығы өрнегін толық дифференциал жасайтын U(x, у) функциясын табу керек
екен.
Мысалы cos(x - y)dx - cos(y - x)dx = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің
сол жағы и = sin(x — у) функциясының толық дифференциалы болады, сондықтан,
sin(х — у) — С - берілген теңдеудің жалпы интегралы болады. Бұл мысалда
U(х,у) функциясы оңай табылды (теңдеу қарапайым болғандықтан). Көп жағдайда
оны табу қиынға соғады, тіпті ол болмауы да мүмкін. Сондықтан, жалпы
жағдайда, сондай функцияларды табу әдістерін қарастырайық.
Айталық жабық, шенеуді бір байланысты D облысында
M(x,y),N(x,y) және үзіліссіз функциялар болсын.
Сонда Mdx \ Ndy өрнегі D облысында U(x,y) функциясының толық
диффереяциалы болу шарты теңдігіне әкелетінін білеміз.
Егер осы теңдік орындалса, онда U(x,y) функциясына

теңдігі орындалады.
Осыдан

(4)

Бірінші тендікті ингегралдасақ

(5)

болады. Бұл жерде φ(у) - у -тен тәуелді белгісіз функция. Осы функцияны (4)-
тің екінші теңдеуі орындалатындай етіп, таңдау керек. Ол үшін (125.5)-тің
оң жағын у бойынша туыңдысын тауып
N(x,у) -ке теңестіреміз:

Осы теңдеуде φ(у) -ті тауып (5) формуласына қоямыз, сонда (5) теңдеудің
U(x, у) = С - жалпы шешімін табамыз.
Толық дифференциалды теңдеудің шешімін табатын тағы да бір формулаларын
дәлелдеусіз келтірейік:

және

Енді С1 = 0 деп алып, (5-формуланы пайдаланатын болсақ, онда (5) жалпы
интегралдарын мына ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Айнымалыны алмастыру әдісі
Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары
Бос процестер мінездемесі
Дифференциалдық теңдеулер туралы жалпы түсінік
ТЕХНИКАЛЫҚ ЖҮЙЕЛЕРДІ АВТОМАТТАНДЫРУ
ШЕКТЕЛГЕН СТЕРЖЕНЬДЕГІ ЖЫЛУ ӨТКІЗГІШТІК ТЕҢДЕУІНІҢ ҚОРЫТЫНДЫЛАУ ЖӘНЕ ОНЫ ФУРЬЕ ӘДІСІМЕН ИНТЕГРАЛДАУ
Интегро-дифференциалдық теңдеулерді шешудің кейбір әдістері
Матрицаларға қолданылатын амалдар
Бисызықты жүйені басқаруға зерттеу
Автоматты реттеуіштер
Пәндер