Толық дифференциалды теңдеу

Тағы да квадратураға келтірілетін теңдеулердің бір класын қарастырайық.
Айталық, бірінші ретті дифференциалдық теңдеу х, у бойынша симметриялық дифференциалдық түрінде берілсін:
М(х, y)dx + N.(x, y)dy = 0 (1)
Кейбір жағдайларда, сол жағындағы өрнек бір функцияның толық дифференциалы болуы мүмкін, яғни,
dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. Егер ондай шарт орындалса, онда (1) теңдеуі толық дифференциалды теңдеу деп аталады жане былай жазылады:
dU (x,y) =0 (2)
Онда теңдеудің шешімін мына түрде табуға болады:
U(x; у) - С, С - тұрақты сан.
Осыдан, толық дифференциалды (2) теңдеудің шешімін табу үшін, оның сол жағындығы өрнегін толық дифференциал жасайтын U(x, у) функциясын табу керек екен.
Мысалы cos(x - y)dx - cos(y - x)dx = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің сол жағы и = sin(x — у) функциясының толық дифференциалы болады, сондықтан, sin(х — у) — С - берілген теңдеудің жалпы интегралы болады. Бұл мысалда U(х,у) функциясы оңай табылды (теңдеу қарапайым болғандықтан). Көп жағдайда оны табу қиынға соғады, тіпті ол болмауы да мүмкін. Сондықтан, жалпы жағдайда, сондай функцияларды табу әдістерін қарастырайық.
Айталық жабық, шенеуді бір байланысты D облысында
M(x,y),N(x,y) және үзіліссіз функциялар болсын.
Сонда Mdx \ Ndy өрнегі D облысында U(x,y) функциясының толық диффереяциалы болу шарты теңдігіне әкелетінін білеміз.
Егер осы теңдік орындалса, онда U(x,y) функциясына
        
        Толық дифференциалды теңдеу
Тағы да квадратураға келтірілетін теңдеулердің бір класын қарастырайық.
Айталық, бірінші ... ... ... х, у ... симметриялық
дифференциалдық түрінде берілсін:
М(х, y)dx + N.(x, y)dy = 0 ... ... сол ... ... бір ... ... ... мүмкін, яғни,
dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. Егер ... шарт ... онда ... ... дифференциалды теңдеу деп аталады жане былай жазылады:
dU (x,y) =0 ... ... ... мына ... табуға болады:
U(x; у) - С, С - тұрақты сан.
Осыдан, толық дифференциалды (2) теңдеудің шешімін табу үшін, оның ... ... ... ... ... U(x, у) ... табу керек
екен.
Мысалы cos(x - y)dx - cos(y - x)dx = 0 теңдеуі берілсін. Бұл теңдеудің
сол жағы и = sin(x — у) ... ... ... ... ... — у) — С - ... ... жалпы интегралы болады. Бұл мысалда
U(х,у) функциясы оңай табылды (теңдеу ... ... Көп ... табу ... ... тіпті ол болмауы да ... ... ... ... ... табу әдістерін қарастырайық.
Айталық жабық, шенеуді бір байланысты D облысында
M(x,y),N(x,y) және үзіліссіз функциялар ... Mdx \ Ndy ... D ... U(x,y) функциясының толық
диффереяциалы болу шарты теңдігіне әкелетінін білеміз.
Егер осы теңдік ... онда U(x,y) ... ... ... ... Бұл жерде φ(у) - у -тен тәуелді белгісіз функция. Осы функцияны (4)-
тің екінші ... ... ... ... ... Ол үшін ... ... у бойынша туыңдысын тауып
N(x,у) -ке теңестіреміз:
Осы теңдеуде φ(у) -ті тауып (5) формуласына қоямыз, сонда (5) ... у) = С - ... ... ... ... ... шешімін табатын тағы да бір формулаларын
дәлелдеусіз келтірейік:
және
Енді С1 = 0 деп алып, (5-формуланы пайдаланатын ... онда (5) ... мына ... ... ... ... х0 және у0 кез келген сандар, бірақ (х0 , у0) және (х, ... ... ... D ... жату ... (3х2 + ... + (6х2у + 4у3 )dy - 0 ... шешімін табу
керек.
Шешуі. Бұл теңдеуде М(х,у)-3х2 +6ху2,
N(x,y) = 6x2y + 4y3.
Туындыларын табамыз:
яғни берілген теңдеу - толық дифференциалды. Онда (5) ... Бұл ... U(x,y) - ... ... Оны табу үшін ... = (3х2 + 6xy2)dx + φ(у) = х3 + 3х2у2 + ... Енді φ(у) -ті табу үшін (5) -дін ... теңдеуін пайдаланамыз:
Сонда осы тапқан φ(y) -ті (5)-ға қоятын ... = x3 +3х2у2 + у2 +С1 ... dU(x,y) = 0 ... сондықтан U(х,у) = С2 немесе х3 + 3х2у2 + у4
+ C1=C2 болады.
Сонымен, осы мысалда берілген ... ... ... мына ... х ... (C = ... ... dх + (х2-2ху-3у2) dу = 0 теңдеуді шешу керек.
Шешуі. Бұл теңдеуде М(х,у) = 3х2 +2ху - у2; N(x,y) = ... ... яғни ... ... ... (5) ... (х0 =0, у0=О): ... х3 + х2у — ху2 - у3 = С - берілген теңдеудің жалпы интегралы болады.
3-мысал. теңдеуі ... ... мына ... келтірейік:
Мұнда
барлығы (0(0,0) нүктеден басқа) жазықтық нүктелерінде үзіліссіз функциялар.
Берілген теңдеу толық дифференциалды. Егер х0 = 0; у0 = 1 деп ... ... ... ... ... ... болады.
Ескерту. Егер (12.7.1) теңдеудін сол жағы толық дифференциалдық шартын
қанағаттандырмаса, яғни ... ... онда ... деп ... ... ... (12.7.1) ... екі жағына
көбейтіп, толық дифференциалды болу шарты мына түрде қарастырылады:
Осы шарт арқылы ... ... (12.7.1) ... ... ... келтіреді.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Материал
Көлемі: 4 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 200 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Бисызықты жүйені басқаруға зерттеу5 бет
n-ші ретті, коэффициенттері айнымалы біртекті сызықтық дифференциалдық теңдеулерді жалпыланған Абель формуласын пайдаланып шешу36 бет
«Фредгольм интеграл-дифференциалдық теңдеу үшін екі нүктелі шектік есепті шешудің жуық әдісі»47 бет
Автотербелмелі жүйелер кластерінің сигнал өндіру режимдері және оларға шуыл мен флуктуациялардың әсерін тәжірибе жүзінде зерттеу40 бет
Дифференциалдық теңдеулер37 бет
Дифференциалдық теңдеулер курсында тірек конспектілерін қолдану, және де дифференциалдық теңдеулерді шешу жолдары36 бет
Дифференциалдық теңдеулерді мектепте оқыту28 бет
Дифференциалдық теңдеулерді оқытудың әдістемесі21 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмін құру және сол теңдеулерді Matlab жүйесінде көрсету15 бет
Дифференциалдық теңдеулерді шешудің Ранге-Кутта әдісі7 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь