Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары

Мазмұны
Кіріспе

1 Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары
1.1 Математика және өмір ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2 Сандардың бөлінгіштік белгілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7
1.3 Қажетті және жеткілікті шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.4 Теңдеулер және сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
1.5 Мысал және мәселелерді шешудің әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 18
1.6 Мерсенн сандары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 21

2 Есептерді шешудің әдістері және сырлары
2.1 Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 25
2.2 Теңдеулер және теңсіздіктерді шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 28
2.3 Ғажайып сандар, ең үлкен көбейтінді және ең кіші қосынды туралы теоремалар ... ... 31
2.4 Алтыншы математикалық амал және квадрат теңдеу ... ... ... ... ... ... 33
2.5 Квадрат теңдеулерді шешу жолдарының әр түрлі әдістері ... ... ... ... 36

3 Жоғарғы сыныптарда өткізілетін үйірме жұмыстары
3.1 Комплекс сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
3.2 Логикалық есептерді граф арқылы шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 45
3.3 Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әр түрлі әдістері ... ... ... . 49
3.4 Ұлы математиктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 55

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 59
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 61
        
        Мазмұны
| |Кіріспе | |
|1 ... және ... ... ... жұмыстары | ... ... және |5 |
| ... |
| ... | ... ... ... ... |7 |
| ... | ... |Қажетті және жеткілікті |10 |
| ... |
| |. | ... ... және |14 |
| ... |
| |................ | ... ... және ... ... |18 |
| ... | ... |Мерсенн |21 |
| ... |
| ... | |
|2 ... шешудің әдістері және сырлары | ... ... ... табудың оңай әдісі |25 |
| ... | ... ... және ... шешу |28 |
| ... | ... ... сандар, ең үлкен көбейтінді және ең кіші қосынды |31 |
| ... | |
| ... |
| ... | ... ... ... амал және квадрат |33 |
| ... | ... ... теңдеулерді шешу жолдарының әр түрлі әдістері |36 |
| ... | |
|3 ... ... ... ... ... | ... |Комплекс |42 |
| ... |
| ... | ... ... ... граф ... |45 |
| ... | ... ... ... ... әр ... |49 |
| ... | ... |Ұлы |55 |
| ... |
| ... | |
| ... |
| ... | |
| ... |61 |
| ... |
| ... | ... берудің қазіргі ... ... ... ... ... ... ... замандардан бері математиканың
алар орны ерекше.Математиканың ғылым мен техниканың қарқынды ... ... аз ... ...... ... логикалық негізі, демек, математика-
оқушының дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай ... ... ... ... ... дұрыс қабылдауға көмек береді.
Оқушылардың пәнге деген көзқарасы әр түрлі факторлармен: жеке ... ... ... қатар оқыту әдісімен анықталады.Олардың
осындай ерекшеліктерін ескере отырып, пәнге ... ... ... ... жұмысын ұйымдастырудың маңызы зор.Көпшілік оқушылардың,
үйірме мүшелерінің математика пәніне ... ... оны ... ... ... ... ... ұйымдастырылғанына байланысты.
Үйірме жұмысында оқушылардың математика тарихынан алынған мағлұматтармен
және көрнекті математиктердің өмірбаянымен, ғылыми ... ... ... тыс ... ... ... ой-
өрісін дамытатын логикалық есептер шығаруға, қалжың есептерді талдауға,
викториналық ... ... ... ... дамытатын
математикалық сандық ребустарға, қиынырақ есептерге уақыттың бөлінгені
дұрыс.
Мектептегі математика пәнінен сыныптан тыс жұмыстардың ... ... ... ... жатады. Математикалық үйірме оқушылардың ... ... ... ... ... ... шығармашылық
қабілеттерін дамытуға, өзіндік жұмыс ... ... ... ... ... ... деңгейге көтеруге септігін
тигізеді..
Негізінен барлық сыныптардағы ... ... екі ... ... ... - ... жоғары деңгейдегі оқушылар үшін, екіншісі-
үлгерімі орта деңгейдегі оқушылар үшін.
Матeмaтикaлық ... ... ... ... ... ... байланысты үйірме мүшесінін 5-10 минутқа шақталған
баяндамасы, үйірме жетекшісінің немесе үйірме мүшелерінің тақырыпқа сәйкес
хабарламалары;
2) Ecenmер шығару, оның ... ... ... ... Жаттықтыру есептерін және жаңылтпаш есептерін шығару;
4) Жоғары оқу орындарына mүсy емтихандарының ... ... ... ... ... ... таныс-тыру;
5) Оқушыларының әр түрлі сұрақтарына жауап беру.
Үйірме мүшелерін конкурстық есептермен таныстыру, жоғары оқу орындарына
түсу емтихандарының есептерінің ҰБТ ... ... ... ... ... ... Мұндай есептердің шартымен үйірме мүшелерін әр
сабақтың сонында таныстырған ... ... ... ... ... ... үйде ... болады, үй тапсырымасын орындау ... ... ... өсу тәртібіне сәйкес орналастырылады.
Есептердің қысқа және тиімді жолмен шығарылуына назар ауарылады,
шығарылған ... ... шек ... ... ... ... болуы талап етіледі.
Шығармашылық бастаманың басымдылығы геометриялық салу есептерін шығаруда
ерекше байқалады. Есептің шартын өзгерткен жағдайда қанша ... ... ... ... ... қажет.
Оқу материалының мазмұнын мектепте оқытылатын математика пәнінің оқу
материалдарының логикалық ... ... ... ... ... ... аясында көп есептер ... ... ...... ... ... деп ... Республикасының орта оқу орындары білім берудің мемлекеттік
жалпыға міндетті стандартын ... ... ... ... ... оқу жылынын 1 қыркүйегінен бастап республиканың 8 мыңнан астам
орта оқу орындары 10-11 ... ... ... ... ... ... бағдарлы оқыту соңғы 4 жыл көлемінде іске асырылуда.
Үйірме жұмысының мақсатын және міндетін сол бағытта анықтап, төменгідей
етіп ... ... ... ... мен ... ... оқушының логикалық ойлау қабілетін ... оқу ... ... ... ... алудың маңызы зор.
Үйірмеде қарастырылатын теориялық материалдар, анықтамалар және
қолданбалы ... ... ... ... ... олардың
шығармашылық белсенділігін арттырып, ... ... ... игі
ықпал жасап, мамандық таңдауға әсері болады.
Оқу материалдары түрлі есептер жинақтарынан, журналдар мен ... ... ... ... ... ... алынады.
Мақсаты оқушылардың интеллектілік, ... ... ... алу және еңбек ету дағдыларын дамыту, қазіргі заман талабына ... ... мен ... қалыптастыру, кәсіпкерлікке баулу.
Міндеті оқушылардың тұлғалық және кәсіби өзін-өзі ... ... ... ... ... ... өткізу сатыларын қарастыру
Зерттеу деректері математика ғалымдарының еңбектері пайдаланылды.
Құрылымы ... ... үш ... ... мен ... ... және ... тиісті үйірме жұмыстары
1.1 Математика және өмір
Адамдар түрлі машиналарды ойлап тауып жатыр, электростанцияларды құрып
жатыр, жер асты ... ... ... ... ... және океандарды өте
жоғары жылдамдықпен басып өтіп ... ... ... тағы да ... ... ... ... үйреніп жатыр, көз көрмеген құлақ естімеген
жаңалықтарды жаратып жатыр.
Математикадағы сандар ... ... бері ... ... ... болып кім тапқандығы белгісіз. Қазіргі заман математикасы ... ... ... Бұл даму ... бағыттар бойынша жалғасын
тауып жатыр, кейбір ұғымдар жүз жылдар, қала берсе, мың ... ... ... келе ... Ескі теориялар ... жаңа ... ... ... жатыр. Адамзаттың өмірінің барлық саласына ... бара ... ... ... ... ... оның әдістері
және жалпы принциптері өсіп және күрделеніп барады.
Бірақ, математиканың ең ... ... оның ... ... ... ... санды, өте күшті трубина
оғының сантиметрлерде есептелінетін диаметр ... ... ... ... ... балдарын өрнектейтін сандар және басқа көп
анық сандарды есептеп табу ұзақ және қиын жол. Бұл ... ... ... ... ... ... ауа райын алдын ала айтып беретін
метериолог көп ... ... ... ... он ... ... ... Ірі кәсіпорын жұмысшыларына төленетін жалақысының
ведомосты түзу үшін ... ... ... ... ... ...... әлемнің сандық қатынастары мен ... оның ...... ... ... жөніндегі
ғылым. Ол абстрактілендіру және логикалық қорыту, есептеу, ... ... ... ... ... түрде орнықтыру, бейнелеу мен өзгерістерді
оқыту арқылы көрініс табады.
Математиктер жаңа тұжырымдамаларды ... осы ... ... ... аксиомалар мен анықтамаларды пайдалана қорыта отырып
зерттейді [12].
Математика ... ... ... ... және ... ... және инженерлермен бірге есептеу машиналарын
таппағанда жер ... ... ... бір ... айлықтарын
есептеу жұмысымен үздіксіз шұғылданған болар еді.
Математика (грек.mathematike- білім, ғылым)- ақиқат ... ... мен ... ... жайлы ғылым. Көрнекті совет
математиктері А. Н. ... пен А. Д. ... ... ... ... даму ... шартты түрде төрт кезеңге
бөлінеді.
Бірінші кезең- математиканың ... ... ... жинақталу
дәуірі. Ол ерте ... ... ... 7-6 ... ... Бұл ... математика адамзат практикасы мен тәжірибесіне
тікелей тәуелді болды, солардан ... ... ... тұрды.
Екінші кезең- математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым ... ... ... ... ... геометрия, алгебра,
тригонометрия айрықша теориялық пән болып ... Бұл ... ... математикасының, кейде элементар математика кезеңі
деп аталады. Ол екі мың ... жуық ... ... ... ... аяқталады. Үшінші кезең- айнымалы ... ... ... ... туу, ... ... Бұл 17 ... басталып,
19 ғасырдың 2-жартысына дейін созылды. Жиындар теориясына ... ... және ... жаңа ... ... ... ... негізгі мәселелерін жалпы ... ... ... ... ... Ол- 19-20 ... ... математика кезеңі.
Математиканың тууы. Математиканың бастапқы мағлұматтары барлық
халықтарда ... ... ... ... Египетте(Мысыр), Вавилонда
жинақталған мәдени дәстүрлердің ... ... ... Бұл ... 4-5 мың ... өзіндік мәдениет өркендеп, ғылыми білім
қорланған. Календарь ... ... жер ... жер және әр ... көлемін өлшеу, теңізде жүзу, жан- жақты ... ... ... ... ... дамуын талап етті, оның ... ... ... ... ... ... санды
иероглиф арқылы кескіндеу пайда ... ... ... ... төрт амал ... ережелері мәлім болды. Бір белгісізі
бар теңдеулер, сондай-ақ қарапайым ... және ... ... ... ... ... ... төртбұрыштың, трапецияның, үшбұрыштың ауданын, параллепипед
пен табаны ... ... ... дәл ... білген, дөңгелек
ауданын жуықтап тапқан [5].
Орта ғасырлар математикасы
Математика ғылымының кіндігі де, тұсауыда кесілген жері ... ... ... ... ... Онан ... ол ... мен Египет, Грецияға
ауысады. Греция математиктері математиканы өзінің ... мен ... ... ... ... ... шығаратын дедукциялық
ғылымға айналдырды. ... ... ... ... жататын
мәселелерді түгел зерттеді деуге болады.
Жаңа заманнан ілгері 47 ж. Рим әскерлері Грекияны басып алып Александрия
портындағы Мысыр кемелерін өртегенде, өрт ... да ... ... ... ... бойы ... сақтаған кітаптар мен 500 мың парша қолжазба
күйіп түгейді. 4 ғ. Христандар ... ... ... ... ... 300 ... ... кеткен.
Міне, осындай тарихи себептерден, әрі Грек математикасының өзіндегі
олқылықтар себебінен, ежелгі Грекия ... ... ... ... ... ... ... түгіл, уақытысында болған
ғылымдардың өздері ... ... қара ... ... Ақыл ... ... мың жарым жыл бойы үздіксіз созылған оянбайтын ... ... ... ... ... тарихында мұнан үлкен, бұдан
ғаламат ауыртпалық болған ... ... 5 ... 15 ғ-ға ... мың ... ... ... есептеудің әсіресе астрономияның қажетінен шұғыл дамыды, бұрынғы
Грекия математиктерінің көпшілігі философ болса, кейінгі шығыс ... ... ... міне осы ... ... ... [2]
Адамзат тарихында ең ерте қалыптасқан ғылымдардың бірі – математика
еді. Математиканың алғашқы бесіктерінің бірі ... елі ... ... ... тапқан жаңалығы ол- жазу. Қазіргі әлем халықтары жазуды
жоғарыдан төмен, солдан оңға қарай жазып жүр. ... ... олар ... соқаның қозғалысынан алған екен. Осы жазудың негізінде пайда болған
таңбалардың бірі цифр. Цифр дегеніміз- сөздерді қағаз бетіне ... ... ... ... қажет болса, сандарды да жазу үшін керекті
таңбалар. Цифр ... ... ... ... ... деген сөзінен
алынған, ал оның мағынасы - үнді халқының бос орын - ... ... ... екен ... ... ... ... белгілері деп берілген х санының а ... ... бөлу ... ... – ақ ... болатын ережелерді атаймыз.
Мысалға ... үшін ... ... ... ... ... ... бөлінгіштік белгісі. Сан жұп 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен аяқталса
ғана 2-ге бөлінеді.
3–ке ( 9- ға ) ... ... ... ... ... 3–ке ( ... ... тек сонда ғана
ол сан 3 – ке ( 9-ға ) бөлінеді.
4 – ке бөлінгіштік белгісі.
Егер ... ... екі ... саны 4–ке ... тек ... ғана сан
4–ке бөлінеді.
5 – ке бөлінгіштік белгісі.
Егер сан 5 – пен ... 0 – мен ... ол сан 5 – ке ... – ге ... ... ... сан деп есептелген . Оған бөлінгіштік белгісі осы күнге ... ... ... 7 – ге ... біраз ұсынылған
белгілері көптеген ... ... ... ... ... одан гөрі 7 – нің
өзіне бөлу жеңілірек. Мысалға, өткен ғасырдың орта ... 7 – ... ... ... ... Ол былай есептеледі : ... ... ... сызып тастап, сол сызылған санды екі еселеп берілген
саннан азайтамыз. Осы әдісті ең соңында бір ... сан ... ... Егер осы бір ... сан 7 – ге бөлінсе, онда берілген
сан 7 – ге ... ... ... берілген санның соңғы үш орынды саны 8 – ге ... ол ... – ге ... ... 724648, 648 : 8 = 81, ... 724648 8 ... ... 4751337, 337 : 8 – ... ... 4751337 8 – ... ... ... белгісі.
Берілген сан 11 – ге бөліну үшін ол санның жұп орындағы цифрларының
қосындысы мен тақ орындағы ... ... ... не нөл ... – ге ... сан ... керек.
Мысалы, 345796 тексеріп көрейік . 4 + 7 + 6 = ... + 5
+ 9 = ... ... = ... бұл сан 11 – ге ... ... Сол сияқты 92617294 санын
тексерсек 2 + 1 + 2 + 4 = 9
9 + 6 + 7 + 9 = ... – 9 = ... : 11 = ... 92637294 саны 11 – ге бөлінеді. 11 – ге ... ... ... көп ... N ... a бірлік , b ондық, с жүздік, d
мыңдық т.с.с бар ... ... N = a + 10b + 100с + 1000 d + .... = a + ... + 10с + 100d+ ... N – нен 11 ( b + 10с + 100 d + ....) (бұл сан 11 – ге ... ... ... шыққан айырма а – b – 10(с + 10d + ...) болады,
бұл санды 11 – ге ... ... ... бастапқы N саннын 11 – ге
бөлгендегі қалдықпен бірдей. Осы қалдыққа 11 – ге ... 11( с + 10d ... ... ... а – b+с +10 ( d + ...) саны ... ... да 11 – ге ... ... сол N – ді 11 – ге ... ... ... Осы саннан 11( d + ...) ( 11 – ге ... ... т.с.с ... а – b +
с – d + ....) – (b+d+ ....) саны ... бұл ... 11 – ге ... шығатын
қалдықпен тең.
11 – ге бөлгіштің басқа да белгісі бар ол тек аса үлкен емес ... Ол әдіс ... ... ... оңнан солға қарай екі орынды сандарға
бөлеміз, одан соң әр бөліктегі сандарды ... ... осы ... ... онда сан да 11-ге бөлінеді, басқаша болса, бөлінбейді.
Мысалы, 528 ... ... |5|28|, ... 5 + 28=33 бұл ... ендеше 528 де 11-ге бөлінеді. Осы бөлінгіштік ... ... Көп ... N санын 2-орындыдан бөліп шығамыз, сонда екі орынды, бір
орынды сандар ... Оны ... оңға ... a, b, c т.б. деп ... N= a + 100b + 10000c +… = a + 100(b + 100c +…) Енді N ... ... 99(b + 100c+…) санын азайтамыз. Шыққан а + (b + 100c + …)= a + ... + …) ... 11-ге ... ... ... ... N-ді 11-ге
бөлгенде шығатын қалдықпен бірдей болады.Бұл санын 99(c + …), ... сан) ... ... т. с. с. ... 11-ге ... ... а + b + с + ... шығады.
13-ке бөлінгіштік белгісі.
Берілген санды солдан оңға қарай сызықшамен үш орынды сандарға бөлеміз.
Бірінші, үшінші, бесінші ... ... ... ... соң ... т. с. с. ... қосындысын тауып, сол қосындылардың
айырмасы 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.
Мысалы, 91182091 санын ... |820|91, ... 911 + 91=1002, ... 820 = 182, 182 13-ке ... ... 91182091 саны да 13-ке бөлінеді.
19-ға бөлінгіштік белгісі.
Сан 19-ға бөлінуі үшін ол ... ... мен екі ... ... 19-ға ... керек.
Мысалы, N= 10х + у, мұндағы х – ... ... у- ... ... х+2у =N΄ 19-ға бөлінсе, N де 19-ға бөлінетінін дәлелдеуіміз керек.
Ол үшін N΄-ты 10-ға көбейтіп, одан N-ді азайтамыз, ... 10 N΄ − N ... ... ... ... егер N΄ 19-ға ... болса,
онда N = 10N΄-19у те 19-ға бөлінеді, керісінше, егер N саны 19-ға ... онда N΄ та 19-ға ... ... ... ... 25 – ке бөлу үшін , ол 00, 25, 50, 75 ... ... аяқталуы
керек. Санның соңғы цифры х = хп ·10п + .... + х2 · 102 + ... ... 100 25 –ке ... 1000, 10000 ... да 25 – ке
бөлінуі үшін х1·10+х0 саны 25 – ке бөлінуі керек екен. Ол тек ... 00, 25, 50, 75 – пен ... ғана ... 33-ке, 11-ге бөлінгіштік белгісі. Сан 99 – ға , 33 – ке, 11 – ... ... оның ... ... солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан
сандардың қосындысы 99ға , 33 –ке, 11 – ге ... ... 2΄ 03΄ ... саннан 54 + 73 + 03 + 2 = 132. Ал 132 33 – ке , 11- ге ... ... саны да 33 – ке, 11 – ге ... ... Сол ... 6΄ 91΄ 80΄
21 үшін 21+80+91+6 = 198, ал бұл 99 – ға ... Олай ... 33 – ке ... – ге де бөлінеді, бұдан 6918021 саны да 99 –ға, 33 – ке, 11 ... ... ... ... ... санның, оңнан солға қарай есептегенде, екі – ... ... тақ ... ... мен жұп ... ... ... азайтқанда айырма не 0 – ге, не 101 – ге тең ... бұл сан 101 – ге ... ... 2΄ 68΄ ... санында 83+45+2
=130. 63+68 = 130, 130 -130 = 0 , демек 268456383 саны 101 – ге ... ... ... 37-ге, 27-ге бөлінгіштік белгісі.
Берілген сан 999 – ға , 333 – ке, 111 – ге, 37 – ге, 27 – ге ... ... ... ... үш – ... ... ... үш бөліктің қосындысы,
одан кейінгі үш бөліктің қосындысына тең болса және олар 999, 333, 111, ... – ге ... ... ол осы ... ... ... 776223 – ті
тексеріп ... 223+776 = ... = 3 · 333 = 9·111 = 27 · 37, ... ... сан 999 – ға да, 333 – ... 11 - ге де, 37 – ге де , 27 – ге де ... амалдардың белгілері. Арифметикалық ... ... ... ... Біз ... келе жатқан
белгілерімізді математикаға енгізу үшін мыңдаған жылдар керек болды.
Қазіргі замандағы ... «+», «-» ... XV ... ... ... және ... ... болды.( италян Леонардо да Винчи, неміс Видман) және
басқалар.
Б) «Х» ... ... 1961 жылы ... ... У. ... ... ... «» (көбейту) белгісі 1968 жыл, «: » (бөлу) белгісі 1984 жыл
неміс математигі Лейбниц ... ... ... «=» ... ... 1557 жылы ағылшын ғалымы Р.Рикардо
шығармаларында пайда болды.
Д) және ... және ... ... 1631 жыл ... ... ... кездеседі [8].
1.3 Қажетті және жеткілікті шарттар
VII сыныптан бастап ... ... ... және ... ... кірістірілген. Сондықтан бұл ұғымдарды оқушыларға
түсіндіруде тек ... ... ... қалу ... ... Р шарттың дұрыстығынан Р ... ... ... ... шарт ... ... яғни Q ... орындалуы Р шарт
үшін қажетті. Егер бір уақыттың ... Q ... ... Р
шартыныңда дұрыстығы келіп шықса, онда жеткілікті шарт ... яғни Р шарт Q үшін ... ... Бұл ... ... жеткілікті » сөйлемді қолдап символдармен Р Q және ... РQ ... ... ... РQ және QР ... ... бірақ жеткілікті емес болады.
Б) РQ және QР болса, қажетті емес ... ... РQ және QР ... ... де емес ... де ... 1. және екі ... айырмаларының болуы үшін -
тың бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттердің тең болуы , яғни ... ... ... Екі математикалық өрнектердің әріптердің
қабылдауы мүмкін болатын ... ... ... екі ... ... сан мәндер келіп шықса, онда бұл ... тең деп ... және ... ... ... қойсақ ,
екендігі дәлелденеді.
2 Жеткілікті шарт. және ... және ... тің ... ... ... және ... амалы бір
мәнді болғандықтан) тең мәндерді қабылдауы белгілі ... ... ... ... пікір пайда болуы үшін келесі сөйлемдердегі көп ... ... ... ... және ... ... сөздердің
қайсыларын қоюға болады:
Бұрыштар көрші бұрыштар болуы үшін ... екі ... ... ... ... ... Бұл сұрақтарда екі пікір бар.
1. Екі бұрыш көрші (Р)
2. Екі қабырғалары қарама-қарсы ... ... ... ... Q пікірдің дұрыс екендігі келіп шығады, яғни
қажеттілік шарт орындалуы, ... ... ... ... ... дұрыстығы келіп шықпайды, яғни жеткіліктілік шарт орындалмайды,
себебі екі- қабырғасы ... ... ... ... ... ... ... бұрыштар болуы ... ... ... ... ... ... сөзді қою керек.
3. Төмендегі пікірлер тең күштісіне?
«А болуы В үшін жеткілікті» және «В ... үшін А үшін ... Бұл ... тең ... В ның ... шарты С, В, сөйлем А ның жеткілікті шарты .С шарт
А ның қажетті ... ... ... болуы мүмкін ба?
Жауап: А және С ... В - дан ... ... ... ... ... ... мүмкін.
Орта Азия және Таяу Шығыс халықтарының математика тарихынан.
Элементар ... ... 1000 ... ... деп ... пәнінің дамуында Абу Абдулла Мухаммед ибн Мусо ал- Хорезмидің
қызметтері үлкен. Оның арифметика, алгебра, астрономия , ... ... ... бес ғылыми шығармасы сақталып қалған.
Ал-Хорезми арифметикаға тиісті шығармасында араб ... ... ... ... және оған ... ... ... өрнектеп
берген. Осы шығарма көмегімен ... ... ... ... ... ... ... бірге өзбек ... ... ... ... ... XV ... ... Осы
обсерваторияда ғылыми жүмыс алып барған.Ғисииддин Жамшид ибн Масзуд ал
Коши (1370-1430) «Арифметика кілті» ... ... атты ... жылы ... ... Бұдан тыс ал-Коши астрономияға ... ... ... ... екі ... жазды.
Ал-Коши бірінші рет XV ғасырда ондық бөлшектермен ... ... ... және ... ... ... көмегімен санының 17
мәнді цифрларын анықталған;
1 градус бұрыштың ... 17 ... ... анық ... ... 1074 ... ... және алмуқабола мәселелерінің дәлелі
туралы» деген шығармасында, 1077 жылда « Евклид ... ... ... ... ... ... Ол ... теңдеулердің геометриялық әдісінен шешу ... ... Одан тыс Омар ... ... ... Оның ... ... 3770 немесе 5000 жылда 1 күн қателік шығады.
Орта Азия және Таяу ... пән ... ... ... ... ... Райхан ал Бируни, абу Али ибн Сина тағы басқа көп ғалымдардың және
данышпандардың ... ... ... ... ... Бір сан ... Ол саннан 3-ті ... ... ... ... 3-ті ... оны 2 рет ... ... саннан 3-ке артық
сан шықты. Мен қандай сан ойладым?
Шешімі: Ізделген санды -пен белгілейік. Онда ... ... ... теңдеуді жазуға болады.
Бұл теңдеуді көріністегі сандар қанағаттандырады. Демек, теңдеу
шексіз көп шешімге ие, ... , N- ... ... ұғымы «қажетті шарт» және «жеткілікті шарт» ұғымдарымен, ал тура
және кері ... ... ... және ... шарттар»
ұғымдарымен тығыз байланысты.
Мектеп математикасында «қажет шарттарды», «жеткілікті шарттарды» және
«қажетті және жеткілікті шарттарды» ... ... жиі ... Егер ... сан жұп ... онда ол 4-ке ... Егер натурал сан 4-ке бөлінсе, онда ол жұп сан ... Егер ... сан 9-ға ... онда ол ... ... қосындысы 9-
ға бөлінеді.
4. Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол сан ... ... ... ... да тұжырымдауға болады:
1. Натурал сан жұп сан болуы үшін, оның 4-ке бөлінуі жеткілікті.
2. Натурал сан 4-ке бөліну үшін, оның жұп сан ... ... ... сан 9-ға ... ... оның цифрларының қосындысы 9-ға
бөлінуі қажетті және ... ... сан ... ... 9-ға ... ... сол ... 9-ға
бөлінуі қажетті және жеткілікті.
Осы сөйлемдерде Р ... ... ... ... Q ... ... ... ал
Q пікірінің ақиқат болуы үшін, Р пікірі жеткілікті шарт. Q пікірінің ақиқат
болуы үшін, Р пікірі қажетті және жеткілікті ... осы ... Р ... ... үшін, Q пікірі қажетті және жеткілікті шарт болып ... ... егер Q P ... ... онда Q үшін P пікірі қажетті шарт ... Ал егер P Q ... ... онда Q үшін P ... ... шарт деп
аталады.
Алайда шарт жеткілікті болып, қажетті ... және ... ... ... ... ... да мүмкін. Мәселен, 1) мысалда Р ... Q -дің ... ... ... Q -дің ақиқаттығы басқа бір Р
шарттан да шығуы мүмкін. Мысалы, натурал сан жұп болу үшін 4-ке ... ... ... 6-ға ... ... 2) ... Р -дің ақиқаттығынан Q -дің
ақиқаттығы шығады және де Q ақиқат ... Р ... ... да ... ... сан 4-ке бөліну үшін, оның жұп сан болуы қажетті, бірақ
жеткіліксіз, ... ... сан ... 4-ке бөлінбейді.
Оқушылардың материалды жете түсінуіне қиындық туғызатын ... ... және ... ... Егер P Q эквиваленттік шарты(P Q, Q ... онда P ... Q үшін ... және ... деп ... «Егер
натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол сан ... ... ... қажетті және жеткілікті шартты білдіреді.
Қажетті және жеткілікті шарттың өзі, тура теорема мен оған кері ... ... ... ... тура және кері ... ... және ... шарттарды тағайындауға мүмкіндік береді.
Мысалы, «Тік бұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қосындысы тік ... ... тік ... ... ... ... ғана ... Ал:
«Егер үшбұрыштың екі ішкі бұрышының қосындысы үшінші бұрышына тең болса,
онда ол үшбұрыш тік бұрышты ... ... ... ... ... анықтайтын қасиет, яғни ондай үшбұрыштың бар болуын ... ... және ... ... есеп ... ... да жиі кездеседі.
Сондықтан бұл ұғымдарды оқушылардың жете меңгеруіне мұғалімнің баса ... ... ... ABCD ... ... Ол ... ... үшін төмендегі
шарттардың ... тек ... тек ... ... ... және
жеткілікті болады:
1) ABCD төрбұрыштың диогоналдары конгруэнт;
2) ABCD төрбұрыш төрт ... ... ... ABCD ... барлық бұрыштары және барлық қабырғалары
конгруэнт;
4) ABCD ... ... 900-қа ... қабырғалары
конгруэнт.
2 Санның 9-ға ... үшін ... ... «қажетті және
жеткілікті [7].
Қысқаша көбейту формулалары.
Біз стандарт көріністегі үш мүше және төрт ... ... ... ... немесе кубі ретінде жазуды білеміз. Бұл көпмүшелер
белгілі бір ... ... ... ... ... ... ... сұрау белгісі орнына сондай бір мүше жазып,
нәтижеде тепе-теңдік пайда ... ... ... ... (?+8с3у3)3=?+120х4у3+?+?
Д) 216а6-540а4с3+?-?=(?-?)3
Қосымша материалдар.
1. 360 С температуралы 3 литр суға температурасы 150С болған 4 ... ... ... ... ... температурасы қанша
болуын диаграммадан пайдаланып тап?
2. Араласпаның температурасы 500С болуы үшін 800С-ті 3 литр суға ... ... неше литр құю ... ... ... ... тап және ... сал? [1].
1.4 Теңдеулер және сандар
Диофант және диофант теңдеулері.
Ежелгі юнон (грек) ғалымы ... ... ... аз ... ... Оның ... ... үшінші ғасырда өмір сүргені белгілі. Оның
неше ... ... ... ... юнон ғалымы Метродор ... ... ... деп жазған екен:
Диофант өз өмірінің алтыдан бір бөлігін, он ... бір ... ... бір ... перзентсіздікте жүргеннен кейінгі 5
жылдан кейін бір ұл ... ұлы ... ... ... ... қаза ... Ұлы өлімнен 4 жылдан кейін Диофантта қаза ... ... неше ... кірген?
Мәселенің шартына қарағанда диофант жасқа келген десек, онда
Теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді ... ... яғни ... ... ... ... ... атымен 13 кітап жазған, осы кітаптардың ... ... ... ... ... ... Бір қызығы атақты грек
ғалымы, геометрияның «атасы» Евклидте 13 ... ... Бұл ... және ... ... Диофанттың кітаптары оқулық болмастан,
түрлі мәселелер көрінісінде болып, олардың ... ... ... ... ... мәселелерінің бір екеуін қарастырайық.
1-мәселе ... үш сан ... ... ... және екеуінің қосындысы
толық квадратты құрасын.
Шешуі: ... ... үш ... қосындысы көріністегі толық
квадрат болсын. Бірінші санмен екінші санның қосындысы болсын, онда
үшінші сан болады. ... ... ... санның қосындысы және
үшінші болғандықтан ... сан ... ... ... ... сан екен. Сонымен бірінші ... ... ... болып, толық квадрат болуы керек. Айталық, бұл сан 121
болсын, онда ... ... ... 80, 320, және 41 болады. Бұл
сандар мәселенің шартын қанағаттандырады.
2-мәселе 100 ... екі рет ... екі ... ажыраттың, бірінші
ажыратудағы үлкен қосылушы ... ... кіші ... екі ... ... ... ... қосылушы бірінші ажыратудағы кіші
қосылушыдан үш есе үлкен болсын.
Шешуі: Екінші ... кіші ... ... ... ... қосылушы 2х болады. Онда бірінші ажыратудағы кіші
қосылушы 100-2х ... ... ... ... ... ... 300-6х болады. Екінші ажыратудағы бөліктернің қосындысы 100
болуы керек.
Демек, 300-6х+х=100 немесе ... ... ... ... кестеден анықтау көрінеді.
|Ажырату ... ... ... бөлік |
|Бірінші рет |2х |100-2х ... рет |300-6х |х ... ... ... ... ... теңдеу немесе теңдеулер санынан
белгісіздіктердің саны ... ... ... ... ... ... Диофант теңдеулері деп аталады.
Мысалы, теңдеу ең ... ... ... ... ... теңдеулерді шешумен көп шұғылданған ... ... ... айтып берумен атақты болған [1].
Сан ұғымы. Сан ұғымы өте ерте заманда туып, ғасырлар бойы дамыған. Теріс
сандар ұзақ ... бойы ... ... деп ... ... (боыр),
жеткіліксіздік ретінде түсінідіріліп келген. Оң және теріс сандарға амалдар
қолданылу ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және ... ... ... ... ... ... бұл ережені үнді математиктері VІІ
ғасырда былай ... «Екі ... ... ... ... ... ... қарыз болады, мүлік пен қарыздың ... ... тең ... ... ғана ... пен ... енгізген координаттар әдісі
пайдаланыла бастағаннан бері ... ... оң ... тең ... ... ... Теріс сан практикада теңдеуді шешу кезінде пайда болды.
Бүтін және бөлшек сандар рационал ... ... ... Бұл ... тек ... екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі (бөлгіш 0 – ден өзге сан болғанда) ... ... ... ... ... тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез ... ... ... өлшем ретінде қабылданған кесіндімен кез – келген
дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және ... ... ... ... ... ... өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт ... іс ... ... ... етіп ... және ... дейін қамтамасыз етуде. Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі
жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі ... ... VІғ.) ... ... егер ... бірлігі ретінде
квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал
санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген.
Иррационал ... тек қана ... ... ондық бөлшек түрінде
жазылады.
Мысалы кез келген шеңбердің ұзындығының оның ... ... ... жазылады: С/D= 3,1415926....
1706 жылы ағылшын ғалымы У.Джонс шеңбердің ұзындығының оның диаметріне
қатынасын π әрпімен белгілеуді ұсынған. Сонда π= 3,1415926... – ... ... және ... ... кесінділерді өлшенбейтін
кесінділер деп атаған.Бұған кейінгі уақытта ... V - VІғ.) ... ... толы √n ... ... ... Таяу және Орта Шығыстың, ал кейініректе ... ... ... ... ұзақ ... ... тең құқықты сан
ретінде қаблыдамай ... ... ... ... (1596 – 1600)
«Геометриясының» шығуы ықпал жасады. Әрбір рационал немесе ... ... ... ... барлық «бос орындар» толтырылды. Осы
қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны ... ... ... ... ... табылады.
Грек математиктері геометриялық алгебраның негізін салды. Кесіндінің
ұзындығын иррационал сандармен белгіледі. Орта Азия ... Омар ... ғ.) және ... Туси (ХІІ) сан ... ... ... ... сандармен қатар қолданды. Европада С.Стевин (1548 – 1620)
кез – келген нақты санды жазу үшін ондық бөлшектерді қолданды.
Кез–келген нақты ... ... ... ... ... ... ... көрсетуге болады. ХVІІІ ғасырда Л.Эйлер (1707 – 1789) кез –
келген ... ... ... ... сан ... көрсетті.
Иррационал сандардың теориясы ХІХ ғасырдың екінші жартысында ғана
қалыптасты. Иррационал сандарды зертеуде неміс ...... (1831 – 1916), ... (1845 – 1918) және Вейерштрасс (1815 -1897)
көп еңбек сіңірген.
Кез келген бір рационал санға координаталық ... ... бір ... ... ... ... ауданның өлшем бірліктеріне тең болатын
шаршылардың әрқайсысының қабырғаларының ... ... ... ... сыр ... саны: бұл сан абсалюттік символы. Шексіздік белгісі және
жаратылмаған әлемнің саны болып табылады. Бұл ... ... жоба ... ... ... ... ... саны: Пифогор және оның ойшылдары барлық басқа сандардан жоғары қойды.
Олар оны барлық санның бастамасы, бар әлемнің басы деп ... ... ... өзі де ... еді. ... ... ... сызық.
2 саны: Пифогорлықтарда 2 саны бірліктің жоғалуын білдіреді. Бұл сан
махаббат, тұрақсыздық және теңсіздік ... ... ... Екі саны ... және ... Ол ... пен ... пен қатыгездік,
жарық пен қараңғылықтың, байлық пен жұтшылдықтың ... ... ... ... 3 санының негізінде жан-жақтылық пен
бірліктің үйлесімділігі қалыптасқан. ... ... 3 саны ... деп ... Оны толықтың, толудың, аяқталудың символы деп есептейді.
Ежелгі Грекияда бұл сан ... деп ... ... ... үш құдайға:
Күн, Ай, Шолпанға табынатын болған. Діни сенім нанымдарда, ертегілерде ... ... сан ... есептелген. Оның сиқырлығы сол ол алдыңғы екі
санның қосындысынан тұрады (1+2=3) үш ... осы ... ... ... Ертеде бұл сан тұрақтылық пен беріктілік, әділдіктің символы
болып саналды. Ол ... ... ... ... 4 ... 4 ... ... төрт құбылыс – от, жер, су, ауаны ... ... ... ... ... ... ... – Жер.
Жапондар мен Қытайлар 4 санын қауіп, сәтсіз сан деп түсінеді.
5 саны: Пифогордың аса көп ... ... ... саны деп ... оны ... бару ... деп болжаусыздықты, қуаттылықты және
тәуелсіздікті ... ... ... 5-жай сан, 5- ... – санау
жүйесінің бестігі, 5 – тармақты жұлдыз, 5 – сезім (көру, есту, ... тепе - ... ... ... 5 ... діни ... ... ілімінде 5 басты өсиет, ал Ислам дінінде әр ... ... 5 ... ... ... тиіс.
6 саны: Бұл сан туралы бір нәрсе айтуға бола ма? 6 саны ... ... ... ... оны ... сан деп ... басқа
сандардан ерекшелігі оның өзіне тән ерекше ... бар. Ол өзі ... ... мен ... ... 6 саны 1,2,3 – ке ... ... немесе қоссақ қайтадан 6 саны шығады. ... ... ... еш бір ... қайталанбайды. 6- шығармашылық сан. Геометриялық
дәлдігі дұрыс тыбұрыш – жетістік, еркіндік, махаббат, адам ... екі аяқ, бас, ... ... шығыңқы фигуралар алтыбұрыш. 6 саны шай
және ас ішу сервиздарының саны. 6 саны бұл ... пен ... ... ... Бұл ... ... Афинамен байланыстырған. Ежелгі Египет
философиясы мен ... ол ... екі ... 3 пен 4-тің ... ... 3 адам - әке, ... бала өмір-дің негізін қалайды. Ал 4 -
бұл ... жел, ... ... ... ... беруге дайындайды.
Пифогордың ой қорытуы бойынша, 3 пен 4-тің ... ... ... ... ... тәмамдалғанның, қорытындының белгісі
деп саналған. Сондықтан 7 саны ... сан, ... адам ... ... ... дыбысты, иісті, дәмді) басындағы 7 «тесік » арқылы
түйсінген. (2 көз, 2 ... ... екі ... аузы ... ... орны жеті қат ... деп ... Жапондарда 7 қайырымды
құдай , адам өмірінде 7 рет сәттілік болады. Жеті саны - ... ... ... сан. Жеті ата, жеті ... жеті ... жеті ... әлемнің жеті кереметі, апта ... саны ... ... ... саны: Көне заман адамдары 8 санын ... ... ... ... 8 саны 8 төбесі бар ... ... 8 ... ... ... үздіксіз қозғалысты білдіреді. 8 саны - мәңгілік ... ... қос ... егер оны ... онда ол тең екі ... Тағы да ... ол тең төрт ... бөлінеді (2, 2, 2, 2)
9 саны: қателіктер мен ... ... 9 ... ... ана ... нәресте тоғыз ай, тоғыз күн өсіп жетіледі. Бұл
сан адамның ғұмырында ... ... ... ... келетінге дейінгі уақыт
өлшемі. 9 өмірге адамды әкеледі. Ол үш үштіктен құралған. Көшпенділер ... ... шыңы деп ... олардың салт-дәстүрлері мен наным
-сенімдерінде тоғыз саны қасиетті болып ... ... ... ... малға үш тоғыз, т.б.).
10 саны: Он саны ... пен ... ... ... ... Ол орта ғасырлық Европада 1+2+3+4 сандарының осындысы ретінде
философиялық тастың символы ... ... 10 саны ... ... ... болып қалыптасып, барлық әлем халықтарында қолданылады.
12 саны: Он екі санының қасиеті өз алдында. Бір жыл он екі ... ... бұл сан ... тіркес ретінде қолданады. «Он екіде бір ... ... ... ... пәк, ... ... ... білдіреді. Әр
жылға он екі жануар, хайуанаттар аты ... ... ... саны. 13 санына сенбеушілік пен қорқақтаушылық көп
елдерде кеңінен жайылған.
40 ... ... ... ... оның ... ашатын мағыналы
тіркестер көп көлемде таралған. ... ... ... тыйым» дегенде
ұғатынымыз қыз әдебіне деген көзқарас.Той жасап, қуаныш қызық болар болса,
қазақ елінің бұрыннан қалыптасқан ... ... күн ... ... күн ... ... сөз қолданысы бар. Ер азаматтарға байланысты «Отызында орда
бұзбаған, қырқында қыр аспайды» дейді. ... бірі - ... деп ... ... ... ... Вавилон аңыздарында бұл сан үлкен мағынаға ие. Оны олар
«құдай ... деп ... ... мен ... ... білдіретін ең негізгі математикалық
ұғым. Сан ұғымы көптеген математикалық теориялардың негізі ... ... ... ... ... ... және көптеген ғылым салаларында
кеңінен қолданылады [7].
5. Мысал және мәселерді шешудің әдістері
Оқулықтағы ... ... ... ... ... тәсілмен шешуге
мүмкін. Бұған бірнеше ... ... ... ... ... 1-әдіс Теңдік мағынаға ие болуы үшін -тің мәндері 1 ... ... ... керек, яғни және . Теңдіктің сол ... ... ... ... екі бөлшек тең болып, олардың алымы мен ... ... өзге ... онда ... ... ... теңдігі және алымдарының
теңдігінен бөлімдерінде теңдігі келіп шығады. Сондықтан:
немесе
2-әдіс Бұл теңдеуді шешу үшін ... сол ... оң ... немесе
оң жағынан сол жағын айырамыз, яғни олардың айырмасы нолге тең:
немесе
, ... ... ... ... ... ... пропорцияның
негізгі қасиетінен пайдалануға болады.
2.
Шешуі ... ... ... ... болса, онда теңдеу шешімге ие емес.
3.
Пропорцияның негізгі қасиетінен және ... ... ... емес.
Теңдеу түзумен байланысты мәселерді шешуде белгісіз сан мен түрлі
шамаларды белгілеп, түрлі ... ... ... ... [6].
3 Басқатыру есептері
Теорема Кез келген сан өзінің екі есесіне ... ... ... ... ... ... екі сан ... айырмасы сол сандардың қосындысы мен
олардың айырмасының ... ... ... тең болу ... және ... ... кез келген a саны өзінің екі еселенгеніне тең. Қате қай ... ... ... ... Бір адам бір ... ... неше шәкіртің бар, ұлымды саған
оқытуға бергім келіп еді ... ... ... тұрып: егер маған өзімде қанша
шәкірт бар болса, соншасы және оның жартысы, сондай- ақ ширегі, оның үстіне
сенің ұлың ... ... ... саны 100 ... еді деп ... ... неше шәкірті болған?
Шешуі: х+х+
22x=792
х=36
Жауабы: х=36 шәкірті болған.
2-есеп
осы есепті ауызша ... Ол үшін ең ... ... ... үшін тиімді тәсілді қолданамыз.
Жауабы: 2.
3-есеп
Бір кісінің зайыбына, қызына және үш ұлына ... ... 48000 сом ... осы ... ... зайбына деп, қызына қарағанда әрбір ұлына екі
есе артық тиетін болсын деп өсиет ... еді. ... ... тиген?
Шешуі:
зайыбына
Қызына- х
3 ұлына – 6х
Әрқайсысына-?
7х+6000= 48000
7х=42000
х = 6000
Әр ұлына =12000
Жауабы: 6000- қызына, 6000-зайыбына, әр ұлдарына - 12000.
4-есеп
Жүз санын ... жазу ... ... есеп ... ... саны ... екі ... екі рет ажыраттың: бірінші рет
ажыратылғанда үлкен қосылушы, ... рет ... ... 4 есе ... екінші рет ажыратылғандағы үлкен қосылушы
бірінші рет ажыратылғандағы кіші ... 750-ге ... ... ... ... және бірден бірден басқа бөлушіге ие болмайтын санды жай сан ... ... ... жай немесе күрделі сан екендігін білу үшін оны
өзінің жартысынан үлкен ... ... ... ... яғни ... ... Осы ... дейін барлық жай сандарды анықтайтын
формула табылған емес. Атақты математиктер тапқан формулалармен реті жоқ
бірнеше жай ... ... ... ... ... математигі Мерсенн (1588-1648) өте ... ... ... ... өмір ... математиктерден . Ол
Көріністегі сандарды тексерген, мұнда n – натурал сан. M жай сан ... ... жай саны деп ... ... ... ... 24 ... жай саны
белгілі. Олар n-нің жай сан болған төменгі мәндеріне сәйкес келетін сандар:
n=2;3;5;7;13;17;19;31;61;89;107;127;521;607;1279;2203;2281;3217;4253;4423
;9689;9941;11213; 19937.
Бұдан көрінеді, 75 жыл бойы ең ... жай сан деп ... 39 ... ... ... ... осы күнге дейінгі ең ұлы Мерсенн жай саны
12003 цифрлы
М19937=219937-1
Екендігі анықталды.
1644 жылы Л.Эйлер ... жай сан ... 1903 жылы ... Коул
М67=267-1 күрделі сан екендігін көрсетті.
1956 жылы В.А. ... М571 ... ... 27409 және М761 дің
бөлушісі 6089 екенін көрсетті, яғни күрделі сандар екендігін дәлелдеді.
Енді бірнеше ... және ... шешу ... ... ... ... ... әр түрлі әдістермен шешіледі. Кейбір
есептер логикалық есептер ... ... ... ... ... ... график немесе диаграммалар сызумен, үшінші түрдегі есептерді
теңдеу түзу әдісін қолдап және ... ... ... ... Алты ... сан 1 цифрасымен басталады. Егер осы ... ... ... ... ... сан ... саннан үш есе үлкен болады.
Бастапқы ... ... ... сан abcde болсын. Егер бұл санды 3-ке ... ... ... ... Бұл ... орындайық.3-ті l-ге көбейіттірсек көбейтінді
1 цифрасымен тең ... ... ... l=7 ... d3 ... соңғы цифрасы 5 болуы керек, себебі 7-ның
3-ке көбейтіндісі 21 болып, ойда 2 қалады. ... ... ... ізделінген санның 142857 екенін табамыз.
2. Толстой Л.А. мәселесі.
Орақшылар ... бірі ... екі есе ... болған екі
жайлаудағы шөпті оруы керек еді. Орақшылар үлкен жайлаудағы шөпті ... орып ... ... ... ... бөлінді, және олар екі ... ... ... ... ... ... орақшылар шөпті орып болды,
кіші жайлаудағы қалған шөпті бір орақшы ... ... ... орып ... неше орақша болған ?
Шешу Бұл мәселені диаграмма сызумен, ойлаумен және ... ... ... Біз ... түзу ... шешеміз.
Теңдеуді мәселе шартына қарап әр түрлі түзуге болады.
1-әдіс Орақшылар санын ... Онда екі ... бір ... орып ... еді. Кіші ... екі жайлаудың бөлігіне тең
болғаны үшін оны бір ... ... ... орып ... Осы кіші
жайлауды орақшы күн және бір ... бұл ... ... Айтылған пікірлерден төмендегі теңдеу келіп шығады:
Бұл ... ... ... ... ... 8 кісі ... Бір ... жайлауды оруы үшін кететін жұмыс күнін ... ... Бір ... екі ... күнде орады делік. Үлкен
жайлау екі жайлаудың бөлігіне тең болғаны үшін бұл ... ... ... үшін күн керек. Екінші жағынан, үлкен жайлауда барлық
орақшылар ... ... күні және ... орақшылардың жартысы шарты жұмыс
күні істеді. Артелдегі барлық ... саны ... ... ору үшін бір ... үшін ... күні кетер еді. Бұлардан
келесі теңдеуді түзу мүмкін.
Бұл теңдеуді шешіп екі жайлаудағы шөпті ору үшін бір ... 9 ... ... ... ... 8 ... бар ... табамыз.
3- әдіс Кіші жайлауды ору үшін жұмыс күні , үлкен жайлауды ору
үшін ... күні ... еді. Бұл ... ... ... ... болғандықтан төмендегі теңдікті жазуға болады:
:
Бұл ... ... ... ... 8 кісі екендігі шығады.
4-әдіс Бұл әдісте жаңа белгісіз ... ... саны ... Бір ... бір ... жұмыс
өнімін y пен белгілейік. Үлкен жайлауда ... ... ... ... ... жартысы жарым жұмыс күні істеген. Онда үлкен жайлаудың
үлкендігі
немес болады.
Кіші ... ... ... күн және бір ... бір күн ... Кіші жайлаудың
үлкендігі немесе болады. Үлкен жайлау кіші ... екі ... ... ... ... ... теңдеуді түземіз:
:
екендігін табамыз.
Қосымша тапсырмалар.
1. Бірер санның соңғы цифры 2. Егер бұл ... ... ... ... ... ... екі рет үлкен сан пайда болады. Сол санды табыңыз.
2. ... ... ... түзу ... ... ... ... Бір түрлі қалыңдықтағы және бірдей ... үш ... бар ... ... ... ... және 24
акрға тең: (бір акр 0,405 гектарға тең). ... ... 12 өгіз ... , екіншісінде 21 өгіз 9 апта ... ... ... 18 ... неше өгіз ... ... А және В пункттерден бір-біріне қарап екі поштален бір уақытта
бірақ әр түрлі ... ... ... Олар ұшырасқаннан кейін
бірінші поштален В пунктке жетіп бару үшін 16 ... ... ... ... бару үшін 9 ... ... кетті. А және В пункттер
арасындағы ... ... өту үшін ... ... неше ... уақыт
кетер еді.
Индийцтарда өте үлкен сандардың аттары болды.
Олар миллионды “коти”, жүз ... ал ... ... ... ол үлкен сандарға аттар берген туралы айтылған.
Марко Полоның әңгімесінде “миллионе” сөзі қайта айтыла беретән. Оның
айтуы ... ... ... ... венецияндықтар оны Марко
Миллионе деп атаған. Жүз жылдан кейін европалықтар Қытаймен ... ... ... ... ... ... ... Шюке миллионның миллионы “биллион” деді. Биллионды
жазу үшін, бірден кейін 12 нөл қою керек ... сөзі ... ... ... ... ... ... білдіреді.
Басқа да санау жүйелері Англия мен Германияда болды. Оларда ... ... ... ... ... биллионы-триллион, ал мыңнын
триллионың-квадриллион деп атады. Бұл санау жүйесін қазірде ... ... ... сандардың атаулары:
Шехеризада саны 1001-даңқы шыққан.
Шехеризада саны. Бұл санның ерекшелігі неде? Мұның ерекшелігі мынада:
бұл 1001 саны 7, 11, және 13 ... ... ... ... ... бұл ... ... бұл емес.
873*1001=873 873
236*1001=236 236 т.б.
Кез келген үш таңбалы санды 1001-ге көбейткенде шығатын көбейтіндіні үш
таңбалы санды екі рет қайталап ... ... ... ... ... ... және ... Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі
Бүгінгі ғылыми- технологияның дамуына ... ... ... ой ... еңбегін жеңілдететін техникалық құрылғылардың түр-түрін ойлап табуда.
Мысалы, қазіргі кезде электронды есептеу машинасын ... ... ... есептің шешімін аз ғана уақыт аралығында табуға болады.
Тіпті, ... ... ... ... өзі ... нарық
заманында қарапайым халық үшін аса тиімді. Әрине, мұның бәрі ... ... ең ірі ... ... ... қалыптасқан жағдайдың пайдасымен қатар зияны да жоқ емес. Атап
айтқанда, бүгінде кез- келген оқушының ... ... ... ... ... Сол ... де, баланың логикалық ойлау қабілетін дамыту
бүгінгі күннің өзекті мәселелерінің бірі деуге болады.
Ғылымның ... ... ... ... ... Шығармашылық өнер
дегеніміз- күтпеген сенсациялық жаңалық ойлап табу ғана емес, сонымен
қатар, бұрыннан белгілі ... ... ... ... ... ... ... квадратын еш ойланбастан табу ешкімге де қиындық
тудырмасы мәлім. Ал, 99 санының квадратын ешқандай ... ... ... үшін ... өзі ... ойланған болар еді.
Алайда, осы 99 санының квадратын да еш қиындықсыз тез ... ... ... ... жағдайда 100 санының квадраты 10000 ... сол 10000 ... 99 және 100 ... айырамыз.
992=1002-100-99=9801 (1)
Сонымен, бізге қажетті 99 санының квадраты 9801 екенін аса қиналмай-ақ
тауып алдық. Енді, осы қолданған тәсіліміз ... да бір ... ... жоқ па, соны ... ... бізге қажетті 99 санын (х-1)2
десек, 99 ... х-1, ал 100 ... х деп ... ... ... ... ... болады:
(х-1)2 =x2-(x-1)-x (2) ... ... ... (3)
Демек, берілген өрнек (а-b)2=a2-2ab+b2, яғни,айырымның квадраты
заңдылығының в=1 ... ... ... жоғарыда келтірілген өрнекке қарап отырып ... ... ... ... екі ... ... квадраты белгілі болған жағдайда
алдыңғы санның квадраты белгілі болған жағдайда алдыңғы санның квадраты
кейінгі ... өзін ... тең ... анықтаманы керісінше де айтуға болады, яғни ,берілген ... ... ... табу үшін 1-өрнекті былай жазуға болады:
1012 =1002+101+100=10000+201=10201 (4)
яғни, (х+1)2=х2+(х+1)+х ... ... ( а+b)2 = ... қосындының квадраты заңдылығының b=1
болғандағы салдары болып табылады.
Анықтама-2. Қатар екі санның ... ... ... ... ... ... квадраты алдыңғы санның квадратына алдыңғы сан ... ... өзін ... тең ... ... атап көрсетілгендей, кез-келген санның квадраты белгілі
болған жағдайда, сол санның алдындағы және ... ... ... оңай ... есептеуге болады екен.Дегенмен, біз ... тек ... ... ... үшін ... Енді ... ... да сандар үшін қолдану мүмкіншілігін іздестіріп
көрелік. Айталық,бізге 91-109 ... ... 100 ... ... табу ... ... ... сандарының квадраттарын 100 саны арқылы
табу үшін,1-өрнекті былай жазылады:
982=1002-(100+98)* 2 (7)
972=1002(100+98)*3
912=1002-(100+91)*9
Сонымен, 2, 3-өрнектер мынадай жалпы түрге ие болады:
(x-a)2=x2-(x+(x-a))*a ... ... ... х- ... белгілі сан; а- квадраты белгілі сан менквадраты
анықталатын сан айырымы; ... 98 саны үшін ... ... ... 102-109 сандары үшін былай жазылады:
1022=1002+(100+102) ×2=10404 (10)
1032=1002+(100+103) ×3=10609
1092=1002+(100+109) ×9=11881
Демек, 4-өрнекті былай ... ... 2=x2+ ((x+a) +x) *a ... 2 = x2+2ax+a2 ... ... ... сан үшін ... болады. Мысалы,17
санының квадратын табу үшін 8-өрнекті былай жазуға болады:
172=202-(20+17) ×3=400-111=289
Яғни, 17 санының алдындағы квадраты оңай есептелетін сандардың ең ... ал ... ... 20-ны алу тиімдірек.
Сонымен,11- өрнек бойынша:
172=152+(15+17) ×2=225+64=289 (13)
Қорыта келе , ... ... ... ... ... белгілі санның алдындағы кез-келген санның квадраты сол санның
квадратынан сол екі ... ... ... айырмасын көбейтіп,
айырғанға тең болады.
Және ... ... ... ... ... ... ... сол санның квадратына сол екі санның қосындысына олардың айырмасын
көбейтіп, қосқанға тең.
Сонымен, кез-келген санның квадратын ... ... сол ... ... ... оңай және ұтымды түрде табуға болады
екен.
Іс жүзінде осы тәсілді игерген оқушы ... ... мен ... ... саның квадратын еш қиналмай табылатыны сөзсіз.
11 санына шапшаң көбейту әдісі. 11-ге көбейтілетін ... ... ... ... ... ... ... қосындысын табамыз,
содан соң көбейтілетін санның бірінші цифрын жазамыз.
Мысалы:54×11=594
а)4-ті ... ... 5-ті ... ... ... ... 9-дан артық болса,бірлігі жазылып,
ондығы ойға алынады, келесі қосындыға бір саны ... ... 3-ті ... 1- ді ойға ... 6- ны ... жазамыз.
б)5+6=11,1-ді ойға аламыз.
в)(6+7)+1=14, 4-ті жазып,1-ді ойға аламыз
г) (7+3)+1=11, 1-ді ... ойға ... 4-ті ... ... ... 111 ... шапшаң көбейту. Оңнан солға қарай тізбектей
бірінші көбейткіштің ... ... жазу ... ... цифрларының
қосындысы, соңында көбейгіштің бірінші цифрын жазу керек.
Мысалы: 42×111=4(4+2)(4+2) =4662
68×111=7548
а)8-ді жазамыз
б)6+8=14, 4 –ті ... 1-ді ойға ... ... ойға ... ... ... екі ... санды 37 санына көбейту әдісі
Бұл әдіс 2×37=74
3×37=111 теңдіктеріне негізделген
Мысалы:6×37=37×3×2=222
8×37=(6+2) ×37=222+74=296
45×37=(48-3) ×37=12×4×37-3×37=16×3×37-3×37=3×37(16-1)=111×15=1665
5,25,125 сандарына шапшаң бөлу ... үшін ... ... ... 2-ге,4-ке,8-ге көбейтіп 10-ға,100-
ге,1000-ға бөлу ... ... ... ... болады,әуелі 10,100,1000 сандарына
бөліп,сосын 2,4,8 сандарына көбейтуді орындауға болады.
9,99,999 сандарына шапшаң көбейту әдісі
Бірінші көбейткішке екінші ... 9-дар саны ... ... , ... тіркеп жазады.Содан соң бірінші көбейткішті шегереді.
Мысалы: 286×9=2860-286=2574
23×99=23000-23=2277
18×999=18000-18=17982 [16].
2.2 Теңдеулер және ... шешу ... юнон және араб ... ... ... және ... өрнектеу үшін еш қандай белгі қолданбаған. Дәл осындай ... ... және бөлу ... ... ... ... ғасырға келіп ағылшан ғалымы ... ... ... жазған шығармасында теңдеудің біз ... келе ... ... «=» ... ... ... ... курсында (1629ж) төмендегі белгіні
қолдаған.
А++В-А ның В дан үлкен екендігін ... ... ... ... ... 10 жыл ... жылы оның кітабы баспадан шықты. Бұл кітапта ... біз ... ... ... ... ... [5].
Кез келген а және в сандары арасында келесі үш ... ... ... ... ... ... білу үшін ... әдістерден
пайдаланамыз.
1. а санынан в санын айырғанда
а) айырма оң ...
б) ... ... тең ...
в) ... ... сан ...
2 Сандар түзуінде
а) а саны в- ның оң жағында ... а саны в ... ... а саны в- ның сол жағында болса, а саны в -дан ... а және в ... бір ... ... олар ... ... а және b сандары 1- ден кіші оң сан 1- ден бұл ... ... ... ... айырма кіші болса, оған сәйкес келген сан үлкен болады.
Мысалы , сандарының қайсысы үлкен
Шешу:
Бұл айырмалардың біріншісі ... кіші ... ... ... бұл ... ... және ... келтірілетін
теңсіздіктерді шешуде пайдаланамыз.
Бірнеше мысал қарастырайық
1) Егер болса, теңсіздігі ... ... ... сол және оң ... айырмасын табамыз.
Шартқа қарағанда бұл айырма оң сан, яғни ... ... ... екен.
а,b, және с айнымалылардың барлық мәндерінде
теңсіздік дұрыс екендігі дәлелдеңіз.
Дәлелдеу. Теңсіздіктің сол және оң ... ... ... ... ... квадраттарының қосындысынан көрінеді, егер
болса, қосынды нөлге тең болады; a,b, және с сандары 1- ден ... ... ... оң сан ... ... теңсіздіктің дұрыс екендігі
дәлелденеді.
2) x және y - тің кез келген оң ... ... ... ... ... Бұл ... ... екендігін дәлелдеу үшін тағы да
теңсіздіктің сол жағынан оң жағын айырамыз:
Бұл соңғы ... ... ... ... ... ... х, у ... екінші көбейтінді оң сан, ал бірінші көбейттінді ... ... оң сан. ... ... ... ... Егер болса, екендігін дәлелдеңіз.
2. а және b кез ... ... ... ... ... БАМ (Байкл—Амур Магистралы) да жұмыс істеу үшін Наби, ... және ... ... ... Лола және Анор кетді. Олардын
қайсы жігіт қайсысының ағасы екеніндігін сұрағанда Наби ... ... ... ... 151 жас, ... ... ... жігіт
өзінің қарындасынан 5 жас үлкен. Мен Лоладан 1 жас үлкен. Әминамен менің
жасымның ... 48 ... ... ... ... қосқанда 52 жаста.
Сіз дейсіз?
Шешу Бұл есепті шешу үшін теңдеу түзу әдісін қолдаймыз. Наби х ... ... Соли –z ... деп ... Онда ... ... ... у-5, z-5 жаста болады. Набидің айтуынша Лола оның қарындасы емес.
Оның қарындасы не ... , не Анор ... ... Егер ... ... бүтін сандарымен берілген деп ұйғарсақ, Әминада Набидің қарындасы
емес. Себебі, олардың ... ... 48-ге тең ... ... 5-ке тең ... бүтін сандар қосындысы болмайды. Демек, Набидің
қарындасы Анор болып, оның жасы х-5 те екен. Дәл ... ... ... қарындасы Лола(z-5) жаста, Рустамның қарындасы Әмина (у-5) жаста
болуы керек екендігі келіп шығады.
Есептің ... ... ... теңдеулерді түземіз:
немесе
немесе
Бұл теңдеулерді шешіп, Соли 30 жаста, Лола 25 жаста, Рустам 27 ... 22 ... Наби 26 ... Анор 21 ... ... ... Табылған
жастар Наби айтқан шарттарды қанағаттандырады.
2-есеп Өшірілген цифрды табу.
Кез келген бір сан ойлаңыз. Оны 10-ға көбейттің және ... ... ... ... ... 45-ке ... ... пайда болған санда
нөлден басқа кез- келген санды ... ... ... ... Мен ... ... ... өшіргеніңізді айтып беремін.
Түсіндіру 324 саны ойлаған болсын. Барлық амалдар ... соң ... ... болсын делік. 6 цифрасы өшірілген соң 291 саны ... сан ... саны ... 12 ... 9 -ға ... және 18
-ден 12- ні айырып өшірілген сан 6 екендігі ... ... ... ... ... ... ... соң 357 саны
шыққан болса, қайсы цифр ... ... ... ... ретінде келесі 2 мәселені қарастырамыз.
2- мәселе
А және В нүктелері бойынша ... ... ... С ... ... көмегімен параллель түзу жүргізіңіз [1].
2.3 Ғажайып сандар. Ең үлкен көбейтінді және ең кіші ... ... ... ... бағынбай көрсетілген амалдарды
орындау бұрыс қорытындыға алып келуін білеміз. Бірақ ... ... ... ... ... амалдардан орындалғанан соң дұрыс
нәтижеге келумізде мүмкін екен. Мысалдар келтірейік
1. ... ... ... ... нәтижеде көбейтінді
өзгереді. Бірақ кейде ... ... ... ... ... ... таба аласыз. Ол үшін келесі теңдеу
қандай ... ... ... ... ... болады:
Бұл теңдік теңдігі орындалғандығына дұрыс болады. ... ... ... немес 603х102=201х306
2. Бөлшектің алымы мен бөлімінде ( алымында оңнан ... ... ... ... ... ... ... бөлшекті қысқартуға
бола ма? Жалпы алғанда мүмкін емес.
Мысалы
Кейбір жағдайда (олар шексіз көп) ... ... ... ... ... ... дұрыс болды? Жалпы ереже шығары.
Сіз сандардың тағы қандай қасиеттерін білесіз?
Адамзаттың күнделік ... көп ... ... ... ... ең ... және ең кіші ... табуға арналған болады.
Мұндай мәселелермен ... ... ... ... ... Аплоний және басқалар шұғылданған.
XVII ғасырға дейін мұндай мәселелер негізінде ... ... ... француз математигі П.Формадан (1601-1665) бастап И.
Ньютон, Г.Лейбниц жұмыстары негізінде бұл ... ... ... бастады.
Орыс математигі П.Л. Чебышев (1821-1894) амалда мәні бар ... мән ... ... және ... ... ... зор
қызығумен тексерген [8].
ХХ ғасырда максимум мен минимум немесе экстремумға тиісті мәселерді
шешу тағыда дамыды. Бұл ... ... жаңа ... ... ... ... теориясы сияқты жаңа бөлімдері пайда болды.
Сондықтан төменде экстремумға тиісті мәселелерді шешу мен ... ... ... береміз.
1-теорема Егер х және у оң айнымалыларының көбейтіндісі ху, ... ең ... ... х+у=а ... Белгілі:
Бұл теңдіктерді мүшелеп айырсақ, онда
немесе
болғандықтан
Теңдіктің оң ... ... ең ... ... ... ... тең болғанда ху үлкен көбейтінді ең үлкен мәнді ... ... ... ... ең ... ... ... келіп шығады.
Бұл теоремадан периметрлері тең тік ... ... ... ... ауданға ие болуы дәлелденеді.
2-теорема егер х және у оң ... ... ... ... ... онда х=у болғанда олардың қосындысы ең кіші ... ... ... ... ... х,у оң сан болғандықтан с саны оң сан. Онда
х+у ... ең кіші ... ... үшін екінші қосылушының
квадраты болғандықтан х+у ... х=у ... ең кіші ... болады.
1-мысал Бір қабырғасы заводтың қабырғасы болатын ... ... ... ... тік бұрышты төрт бұрышпен орау керек. ... ... 200 м . Бұл тік ... өлшемдерін анықта?
Шешу Төртбұрыштың бір қабырғасын х десек, онда екінші қабырғасы ... ... ... ... ең ... болу үшін ... ... тең болуы керк, яғни х=50
болуы керек. Демек, тік төртбұрыштың ... 50 м 100м ... ... ... ... ... 100 м болған квадраттың жартысы
алынады ... есеп ... ... ... ... саны екеуден
артық болғанда да орындалуын тексеріп көріңіз.
Енді натурал ... ... ... болған есептерді
қарастырайық.
Ұйғарайық 1+2+3+....+n=x
Бұл қосынды х ті табу үшін екі сан ... ... ... n ді ... ... ... мүшелеп қосамыз:
немесе
немесе
Дәл осы әдісті қолданып
екендігін дәлелдеңіз [16].
Миллиард санын санап шығу үшін күніне 8 сағат отырғанда 500 жыл ... Бұл - ең ... ... Бүгінгі таңда адамдарға ғарыш дәуірінің
ақылды есептегіш мәшинелері – ... мен ... ... ЭВМ ... ... 180000 ... ... алады.
Ал миллиардтан кейінгі өте ірі сандардың қалай аталып, ... ... ... еске ... ... ... ... көбімізге
қиын – ақ.. Сонымен миллиард (биллион) былайша ... – 10 ... ... ... 1000 000 000)
Биллион - 10, триллион - 10 , квадриллион - ... - ... -10, ... -10, ... - 10,
нониллион -10
дециллмон -10, андециллион -10, ... ... -10, ... -10, ... ,
сексдециллион -10 ,
септендециллион -10, октадециллион -10, новемдециллион
-10, вигинтиллион - 10 [11].
.
. 2.4 ... ... амал және ... ... туралы ұғымның кеңейіп баруында , яғни сан ... ... ... ... ролі өте үлкен болған.
Қосу және айыру, көбейту және бөлу өзара кері ... ... ... көтеру амалы екі кері амалға ... ... табу ... ... ... ... негізін табу алтыншы математикалық
болып, түбір шығару деп ... ... ... табу ... ... оны ... деп ... Қосу және көбейту тек бір ... ие. Не үшін ... ... амалы екі кері амалға ие? Бұны
түсіну қиын ... ... қосу және ... орын ... ... ие.
Дәрежеге көтеру ондай ... ие ... ... көрсеткіштердің орындарын
ауыстыру бұрыс нәтижеге алып келеді:
«Түбір» латынша «радикал» деген сөз ... XVI ... осы ... ... ... « ... , «куб» сөздерінің бас әріптерін жазған.
Мысалы, XVI ғасырда түбірді Rg4352 түрінде жазды, ол қазіргі -ні
білдіреді. XV-XVI ... ... ... және ... ... тән ... ... белгісі кіші латын (эр) әріпінің бұзылған формасы
немесе қазіргі белгісі қолдана бастады. Мұндай ... Ч ... ... (1629) ... ... XVI ... ... математигі
С.Стевин «1528-1620) кез келген түбір бөлшек көрсеткішті ... жазу ... ... 1. ... ... және
Б) және ... Бұл ... шешу үшін жуық түбір ... ... ... ... ... 5 және 6 аралығында орналасқан болып, қосынды 6
мен 7 саны аралығында болғаны үшін 29 ... ... ... түбір
10 және 9 сандардан шығатын квадрат ... 10 және 9 ... ... ... кіші екен.
Б) мұнда жоғарыдағы әдіспен пайдаланып болмайды, ... ... ... 5 пен 7 ... ... шешу үшін оң ... ... квадраттардың салыстырамыз.
әрбір өрнектен 17-ні айырамыз.
және ... ... ... көтеріп
280 және 253+20
Сандарын аламыз. Әрбірінен 253-ті айырып айырмаларды салыстырамыз:
Бұдан
екендігі шығады [8].
2. ... ... ... ... ... ... Тұрмыста
ұшырайтын көп мәселелер теңдеу ... ... ... ... ... ... ... адамдарға белгілі болған, бірақ
жазу мен белгілер болмағандықтан олар сақталмаған.
820 ... ... ... ибн Мусо ал «Хорезмидің ... ... ... ... басылылып шықты.Бұл шығарманың аты теңдеуді
шешудің екі ... ... яғни ... ... бір ... ... көшіру («ал-жабр») және ұқсас мүшелерді ықшамдау немесе теңдеудің
екі жағындағы тең мүшелерді ... ... ... ... ... шығарманың мағынасы өзгеріп аты қысқартылып «ал-жабр» болып қалған.
Біз оны қазір «алгебра» деп атаймыз. Бұл ... екі ... ... ... ... белгісіздердің квадраты немесе квадрат ... ... ... ... айыру және көбейту ережелері
берліген. Екінші бөлімде келесі алты ... ... ... ... ... ... ... әріптермен белгілеу және
бұл әріптерден оң сандарды да, теріс ... ... ... мүмкін
болғанда, жоғарыдағы алты ... ... бір ... бір теңдеу
Көріністе жазған болар еді.
Мухаммед ибн Мусо ... ... алты ... әр ... ... ... ... сөздермен айтып шешімін берген.
Мысалы
Көріністегі теңдеуді шешудің ережесін төменде ... ... ... мен ... қосындысы сол санның 10 түбіріне тең;
квадратқа 21-ді ... осы ... он ... тең. ... ... неге тең ... ... мәселенің шешімі төмендегі теңдеудің шешімін табуға келтіріледі.
Шешу (Мухаммед ибн Мусо ... ... ... ... тең екіге бөл
(5 шығады) Шыққан санды өз-өзіне көбейіт. Көбейтіндіден 21 айыр ... ... ... ... шығар.Ол 2 болады. Бұл санды түбірлер санның жартысы
(яғни 5 тен) айыр; 3 қалдық қалады. Бұл ... ... ... ... әлгі ... ... санының жартысына қосуыңда мүмкін,
онда 7 щығады. Бұл да ... ... ... ... ... 49 ... ... шешудің қазіргі әдісі:
Егер теңдеудің түбірі теріс болып шықса, Мухаммед ибн Мусо ... ... ... түсінігі гректердікіне қарағанда біраз кең
болған, себебі ол иррационал ... да ... тыс, ... ... ... ... әдістерінде
берген.
Мысал
Квадрат теңдеуінің шешімін тап.
Шешу. Қабырғасы х болатын квадрат ... Оның ... ... 10х болатын 4 тең дұрыс төртбұрыштар саламыз. (І,ІІ,ІІІ,IV). Әрбір
дұрыс ... ... ... Онда дұрыс төртбұрыштардың
екінші болады. Енді бұл ... ... ... төрт ... толтырамыз. Әрбір квадраттың ауданы ға тең. Сондай қылып,
салынған ... ... ... ... Бір ... квадарттың
қабырғасы 8, екінші ... х+5=8 ... х=3 ... аламыз.
Бұл есепті Омар Хайям төмендегідей шешкен:
Квадарт және 10 түбір 39-ға тең. Түбірдің ... ... ... 39-ды ... ... ... ... түбірлер санының жартысын
айырған. Нәтиже ... ... тең ... ... да ... ... шешіу:
А) б) в) [1].
2.5 Квадрат теңдеулерді шешу ... әр ... ... барысында мектеп оқушыларына «квадрат теңдеулерді» ... тағы ... ... таныстыруға мүмкіндік бар екендігін
анықтады. Атап айтқанда, олар төмендегідей ... ... ... сол жақ ... ... ... х2+4х+3 =0 теңдеуін шешейік.
Теңдеудің сол жақ бөлігін көбейткіштерге жіктейміз:
х2+х+3х+3 ... (х+1) ... ... ... ... ... ... =0
Көбейтінді нөлге тең болғандықтан, ең болмағанда көбейткіштердің ... тең ... ... ... ... сол жақ бөлігіндегі х=-
1 және ... ... ... ... ... табылады.
2-әдіс Толық квадратқа келтіру әдісі
Мысал х2+8х-9=0 ... ... жақ ... ... ... келтіреміз. Ол үшін х2+8х ... ... ... х2 + ... ... ... ... х-тың квадраты, ал екінші қосындысы
х пен 4-тің екі ... ... ... алу үшін 42-ын қосу ... ... ... сол ... түрлендіреміз. Берілген теңдеуге 42-ын қосып,
алып тастаймыз. Сонда шығатыны:
х2+8х-9=х2+2х4+42-9-4=(х+4)2-25
Сонымен, берілген теңдеуді былайша жазуға болады:
(х+4)2-25=0 , яғни ... х+4=5, х=1 ... х+4=-5, ... ... ... ... теңдеулерді формула арқылы шешу
ах2+вх+с=0, а≠0 теңдеудің екі жағын да 4а-ға ... ... ... ... , ... , 2ах = ... ... келесідегідей мысалдар келтіруге болады:
1)3х2-7х+4=0 теңдеуін шешейік.
а=3, в=-7, с=4. Д=в2-4ас=(-7)2-4·4·3=49-48=1.
Д>0 болғандықтан, екі әр түрлі түбір болады: х1=1, ... ... оң ... яғни ... ... ... ... түбірі болады.
2)9х2+6х+1=0 теңдеуін шешейік.
а=9, в=6, с=1. Д=в2-4ас=62-4·9·1=0.
Д=0 болғандықтан, бір ғана ... бар ... ... егер ... ... тең ... яғни ... ах2+вх+с=0
теңдеуінің жалғыз
түбірі бар болады: х=
3)х2+2х+3=0 теңдеуін шешейік.
а=1, в=2, с=3. Д=в2-4ас=4-4·3·1= ... Егер q (1) ... бос ... ... ... (q ... Б.д.д. 325 – 265 ж. Евклид ежелгі дәуірдегі грек ... ... ... ... ... ... ... Александрия
қарамағындағы мектептің тұңғыш математигі. Оның өмірі жайлы деректер жоқтың
қасы. ... ... ...... Онда ... кейбір мәселелері талданған. Сөйтіп, ол өзінен бқрынғы грек
математикасының одан әрі ... ірге ... ... Евклидтің
«Негіздерден» басқа «Фигураны бөлу туралы», «Канустың қималары» деп
аталатын ... бар. Ол ... ... т.б. салалардан да
еңбектер жазған. Евклидтің бізге жеткен шығармалары мына ... ... Opera Menge». Онда ... түр ... ... және кейінгі авторлардың түсініктемелері берілген. Евклид
«Негіздерінің» математиканы дамытуда әсері орасан зор ... Бұл ... ... ... математик жоқ деуге болады. «Негіздер» орыс
тілінде тұңғыш рет 1739 жылы ... ... ... ал ең ... аудармасы 1948-1950 жылдары жарық көрді. Математиканы сүйетін
әрбір талапкердің ғылымының классикалық бұл еңбегімен танысып аса ... ... ... 287 – 212 жж. ... ... ашқан Архимед
шомылып жатқан жерінен тыр жалаңаш атып шығып, сол күйінде: «Эврика»-деп
айқайлап, көне ... ... ... Аса ... грек ... ол П санының 3 ондық бегісін, сфера бетінің көлемі мен ауданын
есептеп шығарып, қару ... ... ... мен ... ... Ол: ... ұзын ... мен тіреу нүктесін беріңдерші, сонда мен
Жерді орнынан жылжытамын»,-деген.
Эратосфен. Б.д.д. 276 – 194 жж. Грек ... ... ... ... география, тарихты да жақсы білген. Ол жай сандарды
табудың тәсілін ойлап ... сол ... ... әлем ... мен аспан
денелерінің картасын жасаған, сондай-ақ (високосный) жылды ... ... Оның ... жетістігі – Жердің көлемін адамдар
оның шар ... ... ... ... ... шығаруы. Өз есептеулерінің
негізінде ол картада ... ... әлі де ... үлкен
кеңістіктері бар екенін болысады және оның айтқаны дұрыс келеді.
Әл – Хорезми. 780 – 850жж. Араб ... әл – ... ... тұрды.
Математика бойынша ол жазған екі кітап бүкіл әлемге араб ... ... ... септігін тигізді. «Арифметика» және «Алгоритм» терминдері
сол жасаған сөздіктерден бізге келді, ал ... сөзі оның ... әл – ... ... ... ... бір бөлігі болып табылады. Ал геогрф
ретінде сол кездегі белгілі ... ... ... ... ... 1170 – 1250 жж. ... Пизанский өзінің Фибоначчи есімімен
көбірек танымал. Иналияндық саяхатшы – саудагердің ұлы ... ол ... көп ... ... ... ... оны араб ... үйретті. Осы сандарды оңай ... ... ... көп ... осы ... ... ... жазады, соның нәтижесінде
бұларды Италияда да пайдалана бастайды. Ол сондай-ақ Фибоначчидің сандық
тізбегін ... ... ... ... және ... ... ... Галелео (15.2.1564, Италия, Пиза - 8.1.1642,
Флоренция ... ... қ) – ... ... ... астраном,
табиған тану ғылымдарының негізін салушы. ... ... ... Әкесі Винисицо белгілі музыкант болған. Галилейдің үлкен оқымысты
болуына ... ... ... 11 ... ... Пиза қаласында тұрып, кейін
отбасы Флоренцияға көшеді. 1581 жылы Пиза ... ... ... үйренеді. Мұнда ол Аристотель, Евклид, Архимед еңбектерімен танысады.
Сөйтіп, ... мен ... ... ... медицинаны тастайды.
Кейін Флоренцияға қайта оралып, төрт жыл бойы математиканы ... ... ... ... ... ... ... ғылыми жұмысы одан әрі
жалғастырылады. Аристотельге қарсы «Қозғалыс туралы сұхбат» ... ... 1592 жылы ... ... ... ... Бұл кезең (1592
– 1610 жж). Галилейдің шығармаларының кемеліне келген шағы болатын.
Птолемей. ... ... өмір жолы ... мағұлмат жоқтың қасы, тек
қана біздің заманымыздың 120 ... ... ... өмір ... Ол ... жетістіктері негізінде арабтар «Алмагест» деп ... ... ... ... ... арабша «алмаджести», яғни ... ... ... ... Птолемейдің бірінші кітабында гректердің
триогеометриясы жүйелі түрде баяндалған. Мұнда 0º ... 180º ... ... ... ... ... бойынша хордалар
таблицасын алғаш жасаушы ретінде ... 2 ... өмір ... ... ... екен. Бірақ ол ... ... ... жоқ. Грек
математиктерінде бұл кезде синус, косинус және тангенс сызықтары болмаған.
Бұлардың ... ... ... ... ... ... келетін
хордалардың ұзындығын есептейді. Птолемей дөңгелек шеңбердің 360º, ал оның
диаметрін 120 бөлікке ... ... ... ұзындығын дөңгелектің
радиусы (орнықты) арқылы өрнектейді. Басқа ... ... ... келетінін анықтауға Птолемей шеңберді іштей сызылған төртбұрыш
дөңгелекке іштей сызылса, онда оның ... ... ... ... ... ... қосындысына тең болады. Бұл теорема
қазір ... ... ... жүр.
Қортындылай келгенде ұлы математиктер математиканы дамытуда адамзатты
ғажайып жаңалықтармен әлі ... ... ... көз салғанда адамзаттың асыл перезенттері ... ... ... өте алмаймыз, өйткені басқалар мен салыстырғанда
бұлардың ойлары орасан зор. Таланттары ерекше биік тұрады. Бұлардың ... ... ... ... ... ... ... математикалық үйірмені ұйымдастыру және жүргізу
үстінде ... ... ... ... ... ... үйірме
жұмысын сараптаудың дәл алғы шарттары берілмеген . Соған ... ... ... ... ... ... типтері қалыптасқан. Үйірме
жұмысы алдымен кең тынысты шараларды жүзеге асыруға бағытталуы тиіс, сонда
ғана ол ... ... ... ... ... ... негізінен теориялық (ғылыми-бұқаралық) және ... ... ойын ... ... ... болады. Мұнда
бір ескеретін жай мұғалім үйірмеде қарастырылатын ... ... ... ... ... ... онсыз оқушылардың
ынтасын дамытып , одан әрі ... ... ... бағыттағы үйірме жұмысын мұғалім немесе оқушының ... ... ... , ... не ... ... , ... бір
рет жүргізіледі. Әрбір жұмыстың ұзақтығы 1-1,5 сағаттан аспағаны дұрыс.
Сонымен бірге, практикалық бағыттағы үйірме ... ... ... ... ... ... , ... және ауданаралық олимпиадаларға
даярланады. Баяндамаларда немесе лекцияларда ... ... ... түсу үшін әр ... қиын есептерді және практикалық
мазмұндағы конкурстық есептерді шешеді. Оқушылардың ... ... ойын ... , логикалық есептерді және практикалық мазмұндағы
есептерді ... ... ... ... ... баяндамалардың, әңгімелердің,
лекциялардың тақырыптары, ... ... ... ... ... ... жұмысын ұйымдастыруда оқушылардың ынта-ықыласын ескеру маңызды
мәселе. Себебі, әр оқушының өз ... мен ... бар. ... ... ... мен сұраныстарын қанағаттандыра отырып, үйірме мүшелерін
ортақ іске жұмылдыруы тиіс. Бұл істе де жалпы тақырыптарды оқып ... ... ... ... ... үшін оның мүшелерінің жеке
ерекшеліктеріне қарай дербес ... беру ... ... ... ... және тәрбиелік маңызына ерекше
мән берген жөн. Жұмысты жүргізу әдістері көпшілік жағдайда әр алуан болады.
Дегенмен, үйірме сабақтарында ... ... ... жиі
пайдаланған дұрыс, бұл оқушылардың ойлау қабілетінің ... , ... ... ... ... ... Әр түрлі
қосымша әдебиетті кеңінен пайдаланудың үйірме мүшелеріне берері мол. Бұл
үшін орта ... ... ... ... тыс ... ... ... ұсынып отыру керек. Осыған орай, әр ... ... , ... сөзде жарияланған ... ... ... ғылыми-бұқаралық әдебиетте немесе мақалалардан сабақ кезінде
үзінділер оқып беру ... ... ... өз бетінше оқып шығуына
мүмкіндік бері, кейбір жағдайларда оқушыларға ұсынылған жаңа әдебиеттерге
үйірме сабағында шолу жасаудың ... мәні ... ... беру ... ... ... орны ... зор.
Сондықтан оқушылардың математикаға даярлығын жан- жақты ...... аса ... ... ... ... шешуде мектептегі
математика куосының күнделікті практкалық өмір талабына сай жаңа мазмұнды
оқытылуы жеткіліксіз. Ол үшін оқыту ... ... ... барынша тиімді
әдістерін жинақтап оқушылардың өз ... және ... ... бірге сыныптан тыс жүргізілген жұмыстарды пәрменді де ... ... ... ... сыныптан тыс жұмыстардың негізгі
мақсаты:
1. Оқушылардың пәнге деген ... ... ... ... ... терең білу;
3. Оқушыларды өзіндік және ғылыми ... ... ең ... ... ... ... ... сыныптан тыс жұмыстардың
маңызы ерекше . сыныптан тыс жұмыстардың әр түрлі ... ... оның ... ... ... ... ... отырады.
Үйірме сабақтарында оқушыларды қызықтыратын логикалық есептерді ... те, ... те ... өте зор. ... ... шығару
барысында оқушылардың математикалық ұғымдарды ... және ... ... Өз ... ... ... дәлелдей білуге, алған
білімдері бойынша тиісті қорытынды жасауға , өздері игерген есеп ... іс ... ... ... ... Үйірме жұмысында
оқушылардың сынып көлеміне қарай тақырыптар ұсынылады, мысалы: бесінші-
сегізінші сыныптар үшін: ... ... ... «Сіз ... ... «Мен қалай математик болдым?», тағы басқа...10-11 сыныптар үшін:
«Анықталмаған теңдеулер», «Жер ... ... ... тағы ... ... ... ... оқушының пәнге деген қызығушылығы мен бейімділіген
арттыра ... ... ... ... әр түрлі
математикалық жарыстар мен кештерде ... ... ... ... ... С.И. «Математика во гузаллик».Т., 1973
2 ... А.Е., ... А.К., ... Д., ... Ә.С.
Математиканы оқытудың теориясы мен әдістемесі- Алматы : Білім, 1998
3 Бидосов Ә. Математиканы оқыту әдістемесі. Оқу ... ... ... ... И.Я. ... о решение задач. Л., 1957
5 ... А. ... ... Оқу ... ... ... 1997
6 Қаңлыбаев Қ. және т.б. ... ... тыс ... ... ... Құрманалина Ш.Х., Өміртаева Р.Қ Математикадан дидактикалық ойындар
мен қызықты тапсырмалар. Алматы «Атамұра», 1997
8 ... Г.И. , ... ... по математике,"Просвещение",
1965
9 Малигин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней
школе. М., 1958
10 «Математика және Физика» ... №2, ... ... Қазақстан мектебінде» журналы №6 2008, №5 ... ... Ә., ... Б. ... ... не?». ... 1991
13 Никольская И.Л. Факультативный курс по математике 7-9кл.
Просвещение,1991
14 Оре О. Графы и их ... ... ... ... И.С ... кружки 8 -10кл» М,.1987
16 Фридман Л.М., ... Е.Н. ... ... ... ... - ... Рауан,1991.
17 Ысқақов М.О., Назаров С.Н. «Математика мен ... ... ІІ том.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 58 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 900 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Бастауыш сыныпта математиканы оқытудың жалпы мәселелері19 бет
Азаматтық процесстегі бірігіп қатысушылық және процесстегі тиісті және тиісті емес тараптар түсінігі82 бет
Азаматтық процестегі тиісті және тиісті емес тараптар30 бет
Алынуға тиісті вексельдер , бағалау және мойындау есебі36 бет
Алынуға тиісті шоттар және өзге де дебиторлық борыштардың есебі24 бет
Арифметикалық амалдар26 бет
Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары.6 бет
Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау тәсілдері18 бет
Арифметикалық амалдарды орындаудың таблицалық жағдайлары20 бет
Арифметикалық амалдардың заңдары, оларды есептеуде қолдану20 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь