Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары

Жоспар

Мазмұны
Кіріспе

1 Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары
1.1 Математика және өмір ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
1.2 Сандардың бөлінгіштік белгілері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 7
1.3 Қажетті және жеткілікті шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10
1.4 Теңдеулер және сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
1.5 Мысал және мәселелерді шешудің әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 18
1.6 Мерсенн сандары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 21

2 Есептерді шешудің әдістері және сырлары
2.1 Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 25
2.2 Теңдеулер және теңсіздіктерді шешу әдістері ... ... ... ... ... ... ... ... ... . 28
2.3 Ғажайып сандар, ең үлкен көбейтінді және ең кіші қосынды туралы теоремалар ... ... 31
2.4 Алтыншы математикалық амал және квадрат теңдеу ... ... ... ... ... ... 33
2.5 Квадрат теңдеулерді шешу жолдарының әр түрлі әдістері ... ... ... ... 36

3 Жоғарғы сыныптарда өткізілетін үйірме жұмыстары
3.1 Комплекс сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 42
3.2 Логикалық есептерді граф арқылы шешу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 45
3.3 Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әр түрлі әдістері ... ... ... . 49
3.4 Ұлы математиктер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 55

Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 59
Пайдаланылған әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 61

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 59 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе
1 Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары
1.1 Математика және 5
өмір ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
1.2 Сандардың бөлінгіштік белгілері 7
... ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ...
1.3 Қажетті және жеткілікті 10
шарттар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
.
1.4 Теңдеулер және 14
сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...
1.5 Мысал және мәселелерді шешудің 18
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
1.6 Мерсенн 21
сандары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
2 Есептерді шешудің әдістері және сырлары
2.1 Сандардың квадраттарын табудың оңай әдісі 25
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
2.2 Теңдеулер және теңсіздіктерді шешу 28
әдістері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ...
2.3 Ғажайып сандар, ең үлкен көбейтінді және ең кіші қосынды 31
туралы
теоремалар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
2.4 Алтыншы математикалық амал және квадрат 33
теңдеу ... ... ... ... ... ...
2.5 Квадрат теңдеулерді шешу жолдарының әр түрлі әдістері 36
... ... ... ...
3 Жоғарғы сыныптарда өткізілетін үйірме жұмыстары
3.1 Комплекс 42
сандар ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ...
3.2 Логикалық есептерді граф арқылы 45
шешу ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ...
3.3 Тригонометриялық теңдеулерді шешудің әр түрлі 49
әдістері ... ... ... .
3.4 Ұлы 55
математиктер ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
Қорытынды ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...59
... ... ... ... ... ... ... ... .. ...
Пайдаланылған 61
әдебиеттер ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...

Кіріспе

Білім берудің қазіргі талабы- оқушының жан-жақты іс-әрекеттік
қабілетінің дамуы.Оқушыны дамытуда ежелгі замандардан бері математиканың
алар орны ерекше.Математиканың ғылым мен техниканың қарқынды дамуына қосар
үлесі аз болған жоқ..
Математика – барлық ғылымдардың логикалық негізі, демек, математика-
оқушының дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай түседі
және әлемде болып жатқан жаңалықтарды дұрыс қабылдауға көмек береді.
Оқушылардың пәнге деген көзқарасы әр түрлі факторлармен: жеке басының
және пәннің ерекшеліктерімен қатар оқыту әдісімен анықталады.Олардың
осындай ерекшеліктерін ескере отырып, пәнге деген ынтасын арттыру
мақсатында үйірме жұмысын ұйымдастырудың маңызы зор.Көпшілік оқушылардың,
үйірме мүшелерінің математика пәніне қызығушылығының артуы оны оқыту
әдісінде үйірме жұмысының қаншалықты дұрыс ұйымдастырылғанына байланысты.
Үйірме жұмысында оқушылардың математика тарихынан алынған мағлұматтармен
және көрнекті математиктердің өмірбаянымен, ғылыми еңбектерімен таныстыру
мұғалімнің сыныптан тыс жұмыстарында жандандырады.Сондай-ақ оқушылардың ой-
өрісін дамытатын логикалық есептер шығаруға, қалжың есептерді талдауға,
викториналық сұрақтарға, оқушылардың шығармашылық қабілетін дамытатын
математикалық сандық ребустарға, қиынырақ есептерге уақыттың бөлінгені
дұрыс.
Мектептегі математика пәнінен сыныптан тыс жұмыстардың негізгі түріне -
үйірме жұмыстары жатады. Математикалық үйірме оқушылардың пәнге деген
қызығушылығын арттырумен қатар, математикалық oй-өрісін, шығармашылық
қабілеттерін дамытуға, өзіндік жұмыс жасау дағдыларын қалыптастыруға.
математикалық білімінің сапасын жоғары деңгейге көтеруге септігін
тигізеді..
Негізінен барлық сыныптардағы математикалық үйірмелер екі денгейде болуы
мүмкін: біреуі - үлгерімі жоғары деңгейдегі оқушылар үшін, екіншісі-
үлгерімі орта деңгейдегі оқушылар үшін.
Матeмaтикaлық үйірмедегі сабақтар төмендегі жоспар негізінде
жүргізіледі:
1)Математика тарихына байланысты үйірме мүшесінін 5-10 минутқа шақталған
баяндамасы, үйірме жетекшісінің немесе үйірме мүшелерінің тақырыпқа сәйкес
хабарламалары;
2) Ecenmер шығару, оның ішінде жоғарғы қиындықтағы есептер;
3) Жаттықтыру есептерін және жаңылтпаш есептерін шығару;
4) Жоғары оқу орындарына mүсy емтихандарының конкурстық, есептерімен,
ҰБТ-дe ұсынылған тапсырмалармен үйірме мүшелерін таныс-тыру;
5) Оқушыларының әр түрлі сұрақтарына жауап беру.
Үйірме мүшелерін конкурстық есептермен таныстыру, жоғары оқу орындарына
түсу емтихандарының есептерінің ҰБТ тапсырмаларының деңгейі жайлы мағлұмат
алуға мүмкіндік береді. Мұндай есептердің шартымен үйірме мүшелерін әр
сабақтың сонында таныстырған тиімді тапсырмаларды оқушылар, қалауы бойынша
өз бетінше үйде орындалуына болады, үй тапсырымасын орындау оқушыларға
міндеттелмейді.
Оқу материалдары қиындығының өсу тәртібіне сәйкес орналастырылады.
Есептердің қысқа және тиімді жолмен шығарылуына назар ауарылады,
шығарылған есептердің рәсімделуіне шек қойылмайды, бірақ математикалық
тұрғыдан дұрыс болуы талап етіледі.
Шығармашылық бастаманың басымдылығы геометриялық салу есептерін шығаруда
ерекше байқалады. Есептің шартын өзгерткен жағдайда қанша шешімі болатынын
анықтап, нақты шешімдерін көрсету қажет.
Оқу материалының мазмұнын мектепте оқытылатын математика пәнінің оқу
материалдарының логикалық жалғасы ретінде қарастыруға болады. Дегенмен,
қолданбалы есептің: аясында көп есептер талданады, өйткені "Қолданбалы
есептер – кәсіби бағыттылық құралы" деп санаймыз.
Қазақстан Республикасының орта оқу орындары білім берудің мемлекеттік
жалпыға міндетті стандартын сатылап енгізудің жауапты кезеңіне жетті.
2006-2007 оқу жылынын 1 қыркүйегінен бастап республиканың 8 мыңнан астам
орта оқу орындары 10-11 сыныптарда бағдарлы білім беруді бастады. Мектеп-
лицейде бағдарлы оқыту соңғы 4 жыл көлемінде іске асырылуда.
Үйірме жұмысының мақсатын және міндетін сол бағытта анықтап, төменгідей
етіп белгіледік:
Окушыларлын білімділік дағдысын арттыру мен математикалық білімін
тереңдету оқушының логикалық ойлау қабілетін дамытуда оқу материалын,
әсіресе, ондағы есептерді таңдап алудың маңызы зор.
Үйірмеде қарастырылатын теориялық материалдар, анықтамалар және
қолданбалы есептер жүйесі, оқушылардың зерттеушілік жұмыстары олардың
шығармашылық белсенділігін арттырып, ақыл-ой әрекетінің дамуына игі
ықпал жасап, мамандық таңдауға әсері болады.
Оқу материалдары түрлі есептер жинақтарынан, журналдар мен белгілі
математиктердің кітаптарынан, үйірме, олимпиадаға арналған ееептер
жинақтарынан алынады.
Мақсаты оқушылардың интеллектілік, шығармашылық ойлауын, өздігінен
білім алу және еңбек ету дағдыларын дамыту, қазіргі заман талабына сай
экономикалық көзкарасы мен белсенділігін қалыптастыру, кәсіпкерлікке баулу.
Міндеті оқушылардың тұлғалық және кәсіби өзін-өзі табуы барысына көмек
көрсету.
Зерттеу нысаны үйірме жұмыстарының өткізу сатыларын қарастыру
Зерттеу деректері математика ғалымдарының еңбектері пайдаланылды.
Құрылымы мазмұны, кіріспе, үш тарау, қорытынды мен пайдаланылған
әдебиеттер.

1 Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары

1.1 Математика және өмір

Адамдар түрлі машиналарды ойлап тауып жатыр, электростанцияларды құрып
жатыр, жер асты байлығын іздеп тауып жатыр, континент және океандарды өте
жоғары жылдамдықпен басып өтіп жатыр, атомның сырларын тағы да тереңдеу
біліп жатыр, космосты көбірек үйреніп жатыр, көз көрмеген құлақ естімеген
жаңалықтарды жаратып жатыр.
Математикадағы сандар ілгері заманнан бері белгілі, бірақ оларды
бірінші болып кім тапқандығы белгісіз. Қазіргі заман математикасы өте
жоғары дәрежеде дамыған. Бұл даму барлық бағыттар бойынша жалғасын
тауып жатыр, кейбір ұғымдар жүз жылдар, қала берсе, мың жылдардан бері
өмір сүріп келе жатыр. Ескі теориялар негізінде жаңа теориялар
проблемалар пайда болып жатыр. Адамзаттың өмірінің барлық саласына терең
кіріп бара жатыр, сонымен бірге математиканың құрылымы, оның әдістері
және жалпы принциптері өсіп және күрделеніп барады.
Бірақ, математиканың ең күрделі теңдеуінен оның сандармен
өрнектелінетін ракета жылдамдығын өрнектейтін санды, өте күшті трубина
оғының сантиметрлерде есептелінетін диаметр ұзындығын көрсетуші санды,
кемелерге соғылатын довулдың балдарын өрнектейтін сандар және басқа көп
анық сандарды есептеп табу ұзақ және қиын жол. Бұл жолдар ондаған және
жүздеген кезеңдерден тұрады. Мысалы, ауа райын алдын ала айтып беретін
метериолог көп цифрлы сандар үстінде бірнеше он миллион амалдарды
орындауы керек. Ірі кәсіпорын жұмысшыларына төленетін жалақысының
ведомосты түзу үшін бірнеше миллиондаған есептеу амалдарын орындау керек
[1].
Математика — әлдебір әлемнің сандық қатынастары мен кеңістіктік
формалары, оның ішінде — структуралар, өзгерістер, белгісіздік жөніндегі
ғылым. Ол абстрактілендіру және логикалық қорыту, есептеу, санау, өлшеу
және физикалық нәрселерді жүйелі түрде орнықтыру, бейнелеу мен өзгерістерді
оқыту арқылы көрініс табады.
Математиктер жаңа тұжырымдамаларды сипаттайтын осы түсніктерді ретімен
таңдалып алынған аксиомалар мен анықтамаларды пайдалана қорыта отырып
зерттейді [12].
Математика ғалымдар есептеу әдістерін ықшамдау және жылдамдату
үстінде басқатырмағанда және инженерлермен бірге есептеу машиналарын
таппағанда жер бетіндегі адамдардың төрттен бір бөлігі айлықтарын
есептеу жұмысымен үздіксіз шұғылданған болар еді.
Математика (грек.mathematike- білім, ғылым)- ақиқат дүниенің сандық
қатынастары мен кеңістік формалары жайлы ғылым. Көрнекті совет
математиктері А. Н. Колмогоров пен А. Д. Александров ұсынған жіктеу
бойынша математиканың даму тарихы шартты түрде төрт кезеңге
бөлінеді.
Бірінші кезең- математиканың білім- дағдыларының қорлану, жинақталу
дәуірі. Ол ерте кезден басталып б.з.б. 7-6 ғасырларына дейін
созылды. Бұл дәуірде математика адамзат практикасы мен тәжірибесіне
тікелей тәуелді болды, солардан қорытылған ережелер жинағынан тұрды.
Екінші кезең- математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым болып
туу, қалыптасу кезеңі. Мұнда арифметика, геометрия, алгебра,
тригонометрия айрықша теориялық пән болып қалыптасты. Бұл кезең
тұрақты шамалар математикасының, кейде элементар математика кезеңі
деп аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен 17
ғасырда аяқталады. Үшінші кезең- айнымалы шамалар математикасы немесе
жоғары математиканың туу, қалыптасу кезеңі. Бұл 17 ғасырда басталып,
19 ғасырдың 2-жартысына дейін созылды. Жиындар теориясына байланысты
анализдің, геометрияның және алгебраның жаңа сападағы салалары
шыққаннан кейін, математиканың негізгі мәселелерін жалпы қарастыру
кезеңін төртінші кезеңге жатқызуға болады. Ол- 19-20 ғасырларды
қамтитын қазіргі математика кезеңі.
Математиканың тууы. Математиканың бастапқы мағлұматтары барлық
халықтарда болған. Ғылымның дамуына әсіресе Египетте(Мысыр), Вавилонда
жинақталған мәдени дәстүрлердің ықпалы үлкен болды. Бұл елдерде
б.з.б. 4-5 мың жылдай өзіндік мәдениет өркендеп, ғылыми білім
қорланған. Календарь жасау, құрылыс, жер суару, жер және әр түрлі
ыдыс көлемін өлшеу, теңізде жүзу, жан- жақты байланыс жасау ісі
математикалық білім- дағдылардың дамуын талап етті, оның бастапқы
қарапайым ережелері дәлелдеусіз қалыптаса бастады. Египетте санды
иероглиф арқылы кескіндеу пайда болды, бүтін, бөлшек сандарға
арифметикалық төрт амал қолдану ережелері мәлім болды. Бір белгісізі
бар теңдеулер, сондай-ақ қарапайым арифметикалық және геометриялық
прогрессияларға келтірілетін есептер шығару тәжірибесі кездеседі.
Египеттіктер төртбұрыштың, трапецияның, үшбұрыштың ауданын, параллепипед
пен табаны квадрат пирамиданың көлемін дәл есептей білген, дөңгелек
ауданын жуықтап тапқан [5].

Орта ғасырлар математикасы

Математика ғылымының кіндігі де, тұсауыда кесілген жері ертедегі шығыс
(Қытай, Үнді, Вавилон, Мысыр). Онан кейін, ол Вавилон мен Египет, Грецияға
ауысады. Греция математиктері математиканы өзінің нәтижелері мен түпкі
қағидаларын логикалық қортынды арқылы келтіріп шығаратын дедукциялық
ғылымға айналдырды. Гректер әсіресе бастапқы геометрияға жататын
мәселелерді түгел зерттеді деуге болады.
Жаңа заманнан ілгері 47 ж. Рим әскерлері Грекияны басып алып Александрия
портындағы Мысыр кемелерін өртегенде, өрт кітапхананы да шарпып, натижеде
екі жарым ғасыр бойы жинап сақтаған кітаптар мен 500 мың парша қолжазба
күйіп түгейді. 4 ғ. Христандар Грекия пұтханаларын өртеген кезде Серапис
пұтханасындағы 300 қолжазба күйіп кеткен.
Міне, осындай тарихи себептерден, әрі Грек математикасының өзіндегі
олқылықтар себебінен, ежелгі Грекия математикасы тоқырайды. Осыған
байланысты бүкіл Еуропада ғылым дамымақ түгіл, уақытысында болған
ғылымдардың өздері жоғалып, Еуропаны қара түнек басады. Ақыл берген
ғасырлардың орынына мың жарым жыл бойы үздіксіз созылған оянбайтын ұйқыға
батқан Ақыл-ой ғасырлары келді. Адамзат тарихында мұнан үлкен, бұдан
ғаламат ауыртпалық болған жоқ.
Шығыс математикасы 5 ғ-дан 15 ғ-ға дейінгі мың жылдан астам уақыт
аралығында есептеудің әсіресе астрономияның қажетінен шұғыл дамыды, бұрынғы
Грекия математиктерінің көпшілігі философ болса, кейінгі шығыс мәдениетінің
көбінің астроном болуы міне осы себептен болса керек. [2]
Адамзат тарихында ең ерте қалыптасқан ғылымдардың бірі – математика
еді. Математиканың алғашқы бесіктерінің бірі Мысыр елі болды. Адамзат
даналығының ойлап тапқан жаңалығы ол- жазу. Қазіргі әлем халықтары жазуды
жоғарыдан төмен, солдан оңға қарай жазып жүр. Неге? Өйткені олар бұл
әдісті соқаның қозғалысынан алған екен. Осы жазудың негізінде пайда болған
таңбалардың бірі цифр. Цифр дегеніміз- сөздерді қағаз бетіне қондыру үшін
қолданылатын әріптер қандай қажет болса, сандарды да жазу үшін керекті
таңбалар. Цифр деген сөздің төркіні арабтың Әс-сифр деген сөзінен
алынған, ал оның мағынасы - үнді халқының бос орын - Сунья деген сөзінің
аудармасы екен [17].

1.2 Сандардың бөлінгіштік белгілері

Бөлінгіштік белгілері деп берілген х санының а санына қалдықсыз
бөлінетінін бөлу амалын орындамай – ақ білуге болатын ережелерді атаймыз.
Мысалға есептеу үшін қолайлы, ондық санау жүйесіндегі бөлінгіштік
белгілерін қарастырайық.
2–ге бөлінгіштік белгісі. Сан жұп 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен аяқталса
ғана 2-ге бөлінеді.
3–ке ( 9- ға ) бөлінгіштік белгісі.
Егер санның цифрларының қосындысы 3–ке ( 9–ға) бөлінсе, тек сонда ғана
ол сан 3 – ке ( 9-ға ) бөлінеді.
4 – ке бөлінгіштік белгісі.
Егер санның соңғы екі орынды саны 4–ке бөлінсе, тек сонда ғана сан
4–ке бөлінеді.
5 – ке бөлінгіштік белгісі.
Егер сан 5 – пен немесе 0 – мен аяқталса, ол сан 5 – ке бөлінеді.
7 – ге бөлінгіштік белгісі.
7 сиқырлы сан деп есептелген . Оған бөлінгіштік белгісі осы күнге дейін
нақтылы анықталмаған. Себебі 7 – ге бөлінгіштіктің біраз ұсынылған
белгілері көптеген есептеу жұмысын жүргізуді қажет етеді, одан гөрі 7 – нің
өзіне бөлу жеңілірек. Мысалға, өткен ғасырдың орта кезінен 7 – ге
бөлінгіштіктің мынадай белгісін білеміз. Ол былай есептеледі : берілген
санның соңғы цифрын сызып тастап, сол сызылған санды екі еселеп берілген
саннан азайтамыз. Осы әдісті ең соңында бір орынды сан қалғанға дейін
жалғастырамыз. Егер осы бір орынды сан 7 – ге бөлінсе, онда берілген
сан 7 – ге бөлінеді.
8-ге бөлінгіштік белгісі.
Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 – ге бөлінсе, ол сан
8 – ге бөлінеді. Мысалы, 724648, 648 : 8 = 81, демек, 724648 8 –
ге бөлінеді. 4751337, 337 : 8 – бөлінбейді, ендеше 4751337 8 – ге
бөлінбейді. т.с.с
11-ге бөлінгіштік белгісі.
Берілген сан 11 – ге бөліну үшін ол санның жұп орындағы цифрларының
қосындысы мен тақ орындағы цифрларының қосындысының айырмасы не нөл немесе
11 – ге бөлінетін сан болуы керек.
Мысалы, 345796 тексеріп көрейік . 4 + 7 + 6 = 17,
3 + 5
+ 9 = 17,
17 –
17 = 0
Ендеше, бұл сан 11 – ге қалдықсыз бөлінеді. Сол сияқты 92617294 санын
тексерсек 2 + 1 + 2 + 4 = 9
9 + 6 + 7 + 9 = 31
31 – 9 = 22
22 : 11 = 2
Ендеше, 92637294 саны 11 – ге бөлінеді. 11 – ге бөлінгіштік
белгісін дәлелдейік.
Кез келген көп таңбалы N санында a бірлік , b ондық, с жүздік, d
мыңдық т.с.с бар болсын, сонда N = a + 10b + 100с + 1000 d + ... = a + 10(
b + 10с + 100d+ ... ).
Енді N – нен 11 ( b + 10с + 100 d + ... ) (бұл сан 11 – ге бөлінеді)
санын азайтамыз. Сонда шыққан айырма а – b – 10(с + 10d + ...) болады,
бұл санды 11 – ге бөлгенде шығатын қалдық бастапқы N саннын 11 – ге
бөлгендегі қалдықпен бірдей. Осы қалдыққа 11 – ге бөлінетін 11( с + 10d +
...) санын қоссақ, а – b+с +10 ( d + ...) саны шығады, бұл
санды да 11 – ге бөлсек, қалдығы сол N – ді 11 – ге бөлгендегі қалдыққа тең
болады. Осы саннан 11( d + ...) ( 11 – ге бөлінетін) санын
азайтамыз т.с.с Нәтижесінде а – b +
с – d + ... ) – (b+d+ ... ) саны шығады, бұл санды 11 – ге бөлгенде шығатын
қалдықпен тең.
11 – ге бөлгіштің басқа да белгісі бар ол тек аса үлкен емес сандар
үшін. Ол әдіс бойынша берілген санды оңнан солға қарай екі орынды сандарға
бөлеміз, одан соң әр бөліктегі сандарды мүшелеп қосамыз, осы қосынды 11-ге
бөлінсе, онда сан да 11-ге бөлінеді, басқаша болса, бөлінбейді.
Мысалы, 528 санын тексерейік: 528, қосамыз 5 + 28=33 бұл 11-ге
бөлінеді, ендеше 528 де 11-ге бөлінеді. Осы бөлінгіштік белгісін дәлелдеу
керек. Көп орынды N санын 2-орындыдан бөліп шығамыз, сонда екі орынды, бір
орынды сандар аламыз. Оны солдан оңға қарай a, b, c т.б. деп белгілейміз.
Сонда, N= a + 100b + 10000c +... = a + 100(b + 100c +...) Енді N санынан 11-ге
бөлінетін 99(b + 100c+...) санын азайтамыз. Шыққан а + (b + 100c + ...)= a + b
+100(c + ...) санын 11-ге бөлгендегі қалатын қалдық бастапқы N-ді 11-ге
бөлгенде шығатын қалдықпен бірдей болады.Бұл санын 99(c + ...), (11-ге
бөлінетін сан) санын азайтамыз т. с. с. нәтижесінде 11-ге бөлгендегі
қалдығындай болатын а + b + с + ...саны шығады.
13-ке бөлінгіштік белгісі.
Берілген санды солдан оңға қарай сызықшамен үш орынды сандарға бөлеміз.
Бірінші, үшінші, бесінші орындағы бөліктердің қосындысын, содан соң екінші,
төртінші, т. с. с. орындағылардың қосындысын тауып, сол қосындылардың
айырмасы 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.
Мысалы, 91182091 санын тексерейік,911 82091, бұдан 911 + 91=1002, 1002
- 820 = 182, 182 13-ке бөлінеді, ендеше, 91182091 саны да 13-ке бөлінеді.
19-ға бөлінгіштік белгісі.
Сан 19-ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген
бірліктерінің қосындысы 19-ға бөлінуі керек.
Мысалы, N= 10х + у, мұндағы х – ондықтар саны, у- бірліктер саны.
Егер х+2у =N΄ 19-ға бөлінсе, N де 19-ға бөлінетінін дәлелдеуіміз керек.
Ол үшін N΄-ты 10-ға көбейтіп, одан N-ді азайтамыз, сонда 10 N΄ − N =
10(х+2у) –(10х+у)=19у. Бұдан байқайтынымыз: егер N΄ 19-ға бөлінетін болса,
онда N = 10N΄-19у те 19-ға бөлінеді, керісінше, егер N саны 19-ға қалдықсыз
бөлінсе, онда N΄ та 19-ға қалдықсыз бөлінеді.
25-ке бөлінгіштік белгісі.
Сан 25 – ке бөлу үшін , ол 00, 25, 50, 75 сандарының бірімен аяқталуы
керек. Санның соңғы цифры х = хп ·10п + ... + х2 · 102 + х1
10+х0 болсын. 100 25 –ке бөлінеді,ендеше 1000, 10000 т.с.с. да 25 – ке
бөлінуі үшін х1·10+х0 саны 25 – ке бөлінуі керек екен. Ол тек х1·10+х0
сандары 00, 25, 50, 75 – пен аяқталғанда ғана орындалады.
99-ға, 33-ке, 11-ге бөлінгіштік белгісі. Сан 99 – ға , 33 – ке, 11 – ге
бөлінуі үшін, оның цифрларын оңнан солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан
сандардың қосындысы 99ға , 33 –ке, 11 – ге бөлінеді. Мысалы, 2΄ 03΄ 73΄
54 саннан 54 + 73 + 03 + 2 = 132. Ал 132 33 – ке , 11- ге бөлінеді, ендеше
2037354 саны да 33 – ке, 11 – ге қалдықсыз бөлінеді. Сол сияқты 6΄ 91΄ 80΄
21 үшін 21+80+91+6 = 198, ал бұл 99 – ға бөлінеді. Олай болса, 33 – ке де,
11 – ге де бөлінеді, бұдан 6918021 саны да 99 –ға, 33 – ке, 11 –
ге бөлінеді.
101-ге бөлінгіштік белгісі.
Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде, екі – екіден
бөлінген цифрларының тақ орындағыларының қосындысы мен жұп орындағыларының
қосындысы бірінен бірін азайтқанда айырма не 0 – ге, не 101 – ге тең болса,
онда бұл сан 101 – ге бөлінеді. Мысалы. 2΄ 68΄ 45΄63΄83 санында 83+45+2
=130. 63+68 = 130, 130 -130 = 0 , демек 268456383 саны 101 – ге бөлінеді.
999-ға, 333-ке, 111–ге, 37-ге, 27-ге бөлінгіштік белгісі.
Берілген сан 999 – ға , 333 – ке, 111 – ге, 37 – ге, 27 – ге бөлінуі
үшін оңнан солға қарай үш – үштен санағанда алғашқы үш бөліктің қосындысы,
одан кейінгі үш бөліктің қосындысына тең болса және олар 999, 333, 111, 37,
27 – ге бөлінетін болса, ол осы сандарға бөлінеді. Мысалы, 776223 – ті
тексеріп көрейік: 223+776 = 999;
999 = 3 · 333 = 9·111 = 27 · 37, демек, берілген сан 999 – ға да, 333 – ке
де, 11 - ге де, 37 – ге де , 27 – ге де бөлінеді.
Арифметикалық амалдардың белгілері. Арифметикалық амалдардың
математикаға бірден кіріп келмеген. Біз қолданып келе жатқан
белгілерімізді математикаға енгізу үшін мыңдаған жылдар керек болды.
Қазіргі замандағы белгілерден:
А) +, - белгілері XV ғасыр ақырында италия және неміс
кітаптарында пайда болды.( италян Леонардо да Винчи, неміс Видман) және
басқалар.
Б) Х (көбейту) белгісі 1961 жылы ағылшын математигі У. Оутред
жұмыстарында пайда болды.
В) (көбейту) белгісі 1968 жыл, : (бөлу) белгісі 1984 жыл
неміс математигі Лейбниц шығармаларында пайда болды.
Г) = (теңдік) белгісі 1557 жылы ағылшын ғалымы Р.Рикардо
шығармаларында пайда болды.
Д) және (үлкен және кіші) белгісі 1631 жыл неміс математигі
Т.Гаррнот шығармаларында кездеседі [8].

1.3 Қажетті және жеткілікті шарттар

VII сыныптан бастап математика сабақтарында қажетті және жеткілікті
шарттар ұғымы кірістірілген. Сондықтан бұл ұғымдарды оқушыларға
түсіндіруде тек оқулықтың өзімен шектеліп қалу жеткіліксіз.
Егер бірер Р шарттың дұрыстығынан Р салдар дұрыс болса, онда
қажеттілік шарт орындалған болады, яғни Q салдардың орындалуы Р шарт
үшін қажетті. Егер бір уақыттың өзінде Q салдардың дұрыстығынан Р
шартыныңда дұрыстығы келіп шықса, онда жеткілікті шарт орындалған
болады, яғни Р шарт Q үшін жеткілікті болады. Бұл жағдайда қажетті
және жеткілікті сөйлемді қолдап символдармен Р Q және QР
немесе РQ көрінісінде жазылады. Жалпы:
А) РQ және QР болса, қажетті бірақ жеткілікті емес болады.
Б) РQ және QР болса, қажетті емес бірақ жеткілікті
В) РQ және QР болса, қажетті де емес жеткілікті де емес.
Мысалдар 1. және екі мүшелер айырмаларының болуы үшін -
тың бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттердің тең болуы , яғни
және болуын дәлелдейміз. Екі математикалық өрнектердің әріптердің
қабылдауы мүмкін болатын барлық мәндерінде теңдіктің екі жағында да
бірдей сан мәндер келіп шықса, онда бұл өрнектер тең деп айтылады.
Сондықтан және мәндері берілген теңдікке қойсақ ,
екендігі дәлелденеді.
2 Жеткілікті шарт. және болғандықтан және
өрнектер тің бірдей мәндерінде (қосынды және көбейтту амалы бір
мәнді болғандықтан) тең мәндерді қабылдауы белгілі болады. Бұдан
екені келіп шығады.
Дұрыс пікір пайда болуы үшін келесі сөйлемдердегі көп нүктелер
орнына жеткілікті, қажет, жеткілікті және қажет деген сөздердің
қайсыларын қоюға болады:
Бұрыштар көрші бұрыштар болуы үшін олардың екі қабырғалары қарама-
қарсы сәулелер болуы қажетті
Жауап: Бұл сұрақтарда екі пікір бар.
1. Екі бұрыш көрші (Р)
2. Екі қабырғалары қарама-қарсы сәулелер (Q)
Р пікірдің дұрыстығынан Q пікірдің дұрыс екендігі келіп шығады, яғни
қажеттілік шарт орындалуы, бірақ екінші пікірдің дұрыстығынан бірінші
пікірдің дұрыстығы келіп шықпайды, яғни жеткіліктілік шарт орындалмайды,
себебі екі- қабырғасы қарама-қарсы болған бұрыштар вертикаль немесе
сәйкес қабырғалары параллель бұрыштар болуы мүмкін. Демек көп
нүктелер орнына қажетті деген сөзді қою керек.
3. Төмендегі пікірлер тең күштісіне?
А болуы В үшін жеткілікті және В болуы үшін А үшін қажет
Жауап: Бұл сөйлемдер тең күшті
4. В ның қажеттілік шарты С, В, сөйлем А ның жеткілікті шарты .С шарт
А ның қажетті немесе жеткілікті шарты болуы мүмкін ба?
Жауап: А және С шарттар В - дан шығатын қорытындылар болып, олар
өзара байланыста болмауы мүмкін.
Орта Азия және Таяу Шығыс халықтарының математика тарихынан.
Элементар математика тарихы 1000 жылға жақын деп есептелінеді.
Математика пәнінің дамуында Абу Абдулла Мухаммед ибн Мусо ал- Хорезмидің
қызметтері үлкен. Оның арифметика, алгебра, астрономия , география және
календарь туралы бес ғылыми шығармасы сақталып қалған.
Ал-Хорезми арифметикаға тиісті шығармасында араб тілінде ондық
позиоцион санақ жүйесін және оған қолданылатын негізгі амалдарды өрнектеп
берген. Осы шығарма көмегімен ондық санақ жүйесі Европаға таралды.
Ондық санақ жүйесімен бірге өзбек астрономия Улуғбек
обсерваториясында алпыстық санақ жүйесінде XV ғасырда қолданылған. Осы
обсерваторияда ғылыми жүмыс алып барған.Ғисииддин Жамшид ибн Масзуд ал
Коши (1370-1430) Арифметика кілті (Мифтах ал-хисаб) атты шағармасын
1427 жылы жазып шығарды. Бұдан тыс ал-Коши астрономияға тиісті бірнеше
шығармалар, математикаға тиісті екі шығармасын жазды.
Ал-Коши бірінші рет XV ғасырда ондық бөлшектермен амалдар орындаған;
шеңберге сырттай және іштей сызылған көпбұрыш көмегімен санының 17
мәнді цифрларын анықталған;
1 градус бұрыштың мәнінде 17 цифрға дейін анық тапқан.
Омар Хайям 1074 жылда Алгебра және алмуқабола мәселелерінің дәлелі
туралы деген шығармасында, 1077 жылда Евклид кітабына кірітілген
қиыншылықтардың баяндамасы деген шығармаларын жазды. Ол өз
шығармаларында теңдеулердің геометриялық әдісінен шешу әдістерінің
жолдарын көрсетті. Одан тыс Омар Хайям календарь түзді. Оның түзген
календары бойынша 3770 немесе 5000 жылда 1 күн қателік шығады.
Орта Азия және Таяу Шығыста пән дамуының өздерінің үлкен үлесін қосқан
Абу Райхан ал Бируни, абу Али ибн Сина тағы басқа көп ғалымдардың және
данышпандардың өмірін үйренуге болады [5].
3. Мәселе Бір сан ойладым. Ол саннан 3-ті азайттым, айырманы 2-ге
бөлдім, кейін 3-ті қостым, оны 2 рет арттырсам, ойлаған саннан 3-ке артық
сан шықты. Мен қандай сан ойладым?
Шешімі: Ізделген санды -пен белгілейік. Онда есептің шартына
қарағанда келесі теңдеуді жазуға болады.

Бұл теңдеуді көріністегі сандар қанағаттандырады. Демек, теңдеу
шексіз көп шешімге ие, себебі , N- шексіз [4].
Теорема ұғымы қажетті шарт және жеткілікті шарт ұғымдарымен, ал тура
және кері теоремалар ұғымдары, қажетті және жеткілікті шарттар
ұғымдарымен тығыз байланысты.
Мектеп математикасында қажет шарттарды, жеткілікті шарттарды және
қажетті және жеткілікті шарттарды қамтитын теоремалар жиі кездеседі.
1. Егер натурал сан жұп болса, онда ол 4-ке бөлінеді.
2. Егер натурал сан 4-ке бөлінсе, онда ол жұп сан болады.
3. Егер натурал сан 9-ға бөлнсе, онда ол санның цифрларының қосындысы 9-
ға бөлінеді.
4. Егер натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол сан 9-
ға бөлінеді.
Бұл сөйлемдерді былай да тұжырымдауға болады:
1. Натурал сан жұп сан болуы үшін, оның 4-ке бөлінуі жеткілікті.
2. Натурал сан 4-ке бөліну үшін, оның жұп сан болуы қажетті.
3. Натурал сан 9-ға бөлінуі үшін, оның цифрларының қосындысы 9-ға
бөлінуі қажетті және жеткілікті.
4. Натурал сан цифрларының қосындысы 9-ға бөлінуі үшін, сол санның 9-ға
бөлінуі қажетті және жеткілікті.
Осы сөйлемдерде Р пікірінің ақиқат болуы үшін, Q пікірі қажетті шарт, ал
Q пікірінің ақиқат болуы үшін, Р пікірі жеткілікті шарт. Q пікірінің ақиқат
болуы үшін, Р пікірі қажетті және жеткілікті шарт, осы сияқты, Р пікірінің
ақиқат болуы үшін, Q пікірі қажетті және жеткілікті шарт болып табылады.
Жалпы жағдайда егер Q P ақиқат болса, онда Q үшін P пікірі қажетті шарт деп
аталады. Ал егер P Q ақиқат болса, онда Q үшін P пікірі жеткілікті шарт деп
аталады.
Алайда шарт жеткілікті болып, қажетті болмауы және керісінше, шарт
қажетті болып, жеткілікті болмауы да мүмкін. Мәселен, 1) мысалда Р -дің
ақиқаттығынан Q -дің ақиқаттығы шығады, бірақ Q -дің ақиқаттығы басқа бір Р
шарттан да шығуы мүмкін. Мысалы, натурал сан жұп болу үшін 4-ке немесе 2-
ге, болмаса 6-ға бөлінуі жеткілікті; 2) мысалда Р -дің ақиқаттығынан Q -дің
ақиқаттығы шығады және де Q ақиқат болғанмен, Р жалған болуы да мүмкін.
Мәселен, натурал сан 4-ке бөліну үшін, оның жұп сан болуы қажетті, бірақ
жеткіліксіз, өйткені 10-жұп сан болғанымен, 4-ке бөлінбейді.
Оқушылардың материалды жете түсінуіне қиындық туғызатын ұғымдардың бірі-
қажетті және жеткілікті шарттар. Егер P Q эквиваленттік шарты(P Q, Q P)
орындалса, онда P шарты Q үшін қажетті және жеткілікті деп атайды. Егер
натурал санның цифрларының қосындысы 9-ға бөлінсе, онда ол сан 9-ға
бөлінеді деген сөйлем қажетті және жеткілікті шартты білдіреді.
Қажетті және жеткілікті шарттың өзі, тура теорема мен оған кері теореманың
дұрыстығын көрсетеді. Сондай-ақ керісінше, тура және кері теоремалардың
дұрыстығы қажетті және жеткілікті шарттарды тағайындауға мүмкіндік береді.
Мысалы, Тік бұрышты үшбұрыштың екі сүйір бұрышының қосындысы тік бұрышқа
тең теоремасы тік бұрышты үшбұрыштың қайсыбір қасиетін ғана көрсетеді. Ал:
Егер үшбұрыштың екі ішкі бұрышының қосындысы үшінші бұрышына тең болса,
онда ол үшбұрыш тік бұрышты үшбұрыш болады теоремасы-тік бұрышты үшбұрышты
толық анықтайтын қасиет, яғни ондай үшбұрыштың бар болуын көрсететін белгі.
Қажетті және жеткілікті шарттар есеп шығару барысында да жиі кездеседі.
Сондықтан бұл ұғымдарды оқушылардың жете меңгеруіне мұғалімнің баса назар
аударғаны жөн.
Қосымша материалдар
1 ABCD төртбұрыш берілген. Ол квадрат болуы үшін төмендегі
шарттардың қайсылары тек қажетті, тек жеткілікті немесе қажетті және
жеткілікті болады:
1) ABCD төрбұрыштың диогоналдары конгруэнт;
2) ABCD төрбұрыш төрт симметрия өсіне ие;
3) ABCD төртбұрыштың барлық бұрыштары және барлық қабырғалары
конгруэнт;
4) ABCD төртбұрыш диогоналдарын 900-қа бұрғанда қабырғалары
конгруэнт.
2 Санның 9-ға бөлінуі үшін қажетті, жеткілікті, қажетті және
жеткілікті [7].
Қысқаша көбейту формулалары.
Біз стандарт көріністегі үш мүше және төрт мүшелердің кейбіреулерін
екі мүшенің квадрат немесе кубі ретінде жазуды білеміз. Бұл көпмүшелер
белгілі бір заңдылықпен жазылуға тиіс.Осы формулаларды ескере алып
көрейік.
Төмендегі өрнектердегі сұрау белгісі орнына сондай бір мүше жазып,
нәтижеде тепе-теңдік пайда болсын:
А) 4а4-?+?=(?-4)2
Б) ?+8а2с+?=(?+?)2
В) 125а3-?+?=(?-?)3
Г) (?+8с3у3)3=?+120х4у3+?+?
Д) 216а6-540а4с3+?-?=(?-?)3
Қосымша материалдар.
1. 360 С температуралы 3 литр суға температурасы 150С болған 4 литр
суды араластырылды. Араластырылғаннан кейінгі судың температурасы қанша
болуын диаграммадан пайдаланып тап?
2. Араласпаның температурасы 500С болуы үшін 800С-ті 3 литр суға 200С-
лі судан неше литр құю керек.
3. функциясының анықталу облысын тап және графигін сал? [1].

1.4 Теңдеулер және сандар

Диофант және диофант теңдеулері.
Ежелгі юнон (грек) ғалымы Диофант туралы бізге аз мағлүматтар жетіп
келген. Оның эрамыздан бұрын үшінші ғасырда өмір сүргені белгілі. Оның
неше жасқа келгендігі туралы сөзді юнон ғалымы Метродор оның
кесенесінде тасқа былай деп жазған екен:
Диофант өз өмірінің алтыдан бір бөлігін, он екіден бір бөлігін
жасөспірімдікке, жетіден бір бөлігін перзентсіздікте жүргеннен кейінгі 5
жылдан кейін бір ұл көргендігін, ұлы атасының жарты жасына жеткеннен
кейін қаза табады. Ұлы өлімнен 4 жылдан кейін Диофантта қаза табады.
Сонда Диофант неше жаста кірген?
Мәселенің шартына қарағанда диофант жасқа келген десек, онда

Теңдеуін аламыз. Бұл теңдеуді шешіп екендігін, яғни Диофанттың
84 жасқа кіргенін табамыз.
Диофант Арифметика атымен 13 кітап жазған, осы кітаптардың алтауы
толық болмаған көріністе бізге жетіп келген. Бір қызығы атақты грек
ғалымы, геометрияның атасы Евклидте 13 кітап жазған. Бұл кітаптар
арифметика және алгебраға арналған. Диофанттың кітаптары оқулық болмастан,
түрлі мәселелер көрінісінде болып, олардың шешімдері теориялық түсіндіру
арқылы берілген. Диофант мәселелерінің бір екеуін қарастырайық.
1-мәселе Сондай үш сан тауып, олардың үшеуі және екеуінің қосындысы
толық квадратты құрасын.
Шешуі: Айталық ізделінген үш санның қосындысы көріністегі толық
квадрат болсын. Бірінші санмен екінші санның қосындысы болсын, онда
үшінші сан болады. Екінші санмен үшінші санның қосындысы және
үшінші болғандықтан екінші сан екендігін келіп шығады.
Бұдан бірінші сан екен. Сонымен бірінші санмен үшінші санның
қосындысы болып, толық квадрат болуы керек. Айталық, бұл сан 121
болсын, онда болып ізделінген сандар 80, 320, және 41 болады. Бұл
сандар мәселенің шартын қанағаттандырады.
2-мәселе 100 санын екі рет сондай екі қосылушыға ажыраттың, бірінші
ажыратудағы үлкен қосылушы екінші қосылушыдағы кіші қосылушыдан екі есе
үлкен, екінші ажыратудағы үлкен қосылушы бірінші ажыратудағы кіші
қосылушыдан үш есе үлкен болсын.
Шешуі: Екінші ажыратудағы кіші қосылушыны десек, бірінші
ажыратудағы үлкен қосылушы 2х болады. Онда бірінші ажыратудағы кіші
қосылушы 100-2х болып, екінші ажыратудағы үлкен қосылушы, шартқа
қарағанда 300-6х болады. Екінші ажыратудағы бөліктернің қосындысы 100
болуы керек.
Демек, 300-6х+х=100 немесе х=40
Жауабы: (80;20),(60;40)
2-мәселенің шешімі төмендегі кестеден анықтау көрінеді.

Ажырату Үлкен бөлік Кіші бөлік
Бірінші рет 2х 100-2х
Екінші рет 300-6х х

Екі немесе екіден артық белгісізді теңдеу немесе теңдеулер санынан
белгісіздіктердің саны артық болған бүтін коэффициентті теңдеулер
жүйесі немесе Диофант теңдеулері деп аталады.
Мысалы, теңдеу ең қарапайым Диофант теңдеуі болады. Диофант
осындай теңдеулерді шешумен көп шұғылданған болып, шешудің ғажайып
әдістерін айтып берумен атақты болған [1].
Сан ұғымы. Сан ұғымы өте ерте заманда туып, ғасырлар бойы дамыған. Теріс
сандар ұзақ уақыт бойы жалған сандар деп есептеліп, қарыз (боыр),
жеткіліксіздік ретінде түсінідіріліп келген. Оң және теріс сандарға амалдар
қолданылу ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін
ғана қарастырылып отырған. Мысалы: бұл ережені үнді математиктері VІІ
ғасырда былай тұжырымдаған: Екі мүліктің қосындысы мүлік болады, екі
қарыздың қосындысы қарыз болады, мүлік пен қарыздың қосындысы бұлардың
айырмасына тең болады.
ХVІІІ ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі
пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандармен тең құқықты сандар
ретінде қабылданды. Теріс сан практикада теңдеуді шешу кезінде пайда болды.

Бүтін және бөлшек сандар рационал сандар жиынын құрайды. Бұл сандар
есептеу тек қолайлы екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі
және бөліндісі (бөлгіш 0 – ден өзге сан болғанда) рационал сандар болып
табылады. Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез –
келген кесіндіні, бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімен кез – келген
дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және өлшеу нәтижесін рационал (бүтін және
бөлшек) санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы
азаматтың іс жүзіндегі қажеттіліктерін қамтамасыз етіп келді және де
қазірге дейін қамтамасыз етуде. Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі
жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифогор
(б.д.дейінгі VІғ.) оқушылардың мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде
квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал
санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген.
Иррационал сандар тек қана шектеусіз периодсыз ондық бөлшек түрінде
жазылады.
Мысалы кез келген шеңбердің ұзындығының оның диаметріне қатынасы
иррационал санмен жазылады: СD= 3,1415926 ...
1706 жылы ағылшын ғалымы У.Джонс шеңбердің ұзындығының оның диаметріне
қатынасын π әрпімен белгілеуді ұсынған. Сонда π= 3,1415926... – иррационал
сан.
Шаршының диагоналы және қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін
кесінділер деп атаған.Бұған кейінгі уақытта (б.д.дейінгі V - VІғ.) ежелгі
грек математиктері толы √n санының иррационалдығын дәлелдеді.
Үндістанның, Таяу және Орта Шығыстың, ал кейініректе Европаның
иррационал шамаларды пайдаланды. Бірақ ұзақ уақыт бұларды тең құқықты сан
ретінде қаблыдамай келген. Оларды қабылдауға Декарт (1596 – 1600)
Геометриясының шығуы ықпал жасады. Әрбір рационал немесе иррационал сан
координаттық түзудің бойындағы барлық бос орындар толтырылды. Осы
қасиетке сүйеніп, нақты сандар жиыны (рационал сандар жиынын айырмашылығы)
үздіксіз болып табылады.
Грек математиктері геометриялық алгебраның негізін салды. Кесіндінің
ұзындығын иррационал сандармен белгіледі. Орта Азия ғалымдары Омар Хайям
(ХІІ ғ.) және Насыреддин Туси (ХІІ) сан ұғымын кеңейтіп, иррационал
сандарды рационал сандармен қатар қолданды. Европада С.Стевин (1548 – 1620)
кез – келген нақты санды жазу үшін ондық бөлшектерді қолданды.
Кез–келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық
бөлшек түрінде көрсетуге болады. ХVІІІ ғасырда Л.Эйлер (1707 – 1789) кез –
келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан болатынын көрсетті.
Иррационал сандардың теориясы ХІХ ғасырдың екінші жартысында ғана
қалыптасты. Иррационал сандарды зертеуде неміс ғалымдары – математиктер:
Дедекинд (1831 – 1916), Кантор (1845 – 1918) және Вейерштрасс (1815 -1897)
көп еңбек сіңірген.
Кез келген бір рационал санға координаталық түзудің бойында бір ғана
нүкте сәйкес келеді.
Ауданы 2,3,5,6,7,8,10,11,12 ауданның өлшем бірліктеріне тең болатын
шаршылардың әрқайсысының қабырғаларының ұзындықтары иррационал сандармен
жазылады [5].
Сандар сыр шертеді
0. саны: бұл сан абсалюттік символы. Шексіздік белгісі және
жаратылмаған әлемнің саны болып табылады. Бұл барлық заттардың
бастамасы.Графикалық жоба бойынша сақина немесе дөңгелек ретінде
белгіленеді.
1 саны: Пифогор және оның ойшылдары барлық басқа сандардан жоғары қойды.
Олар оны барлық санның бастамасы, бар әлемнің басы деп есептеді. Бірліксіз
қарапайым санаудың өзі де болмас еді. Графикалық бейнелеуі вертикаль сызық.

2 саны: Пифогорлықтарда 2 саны бірліктің жоғалуын білдіреді. Бұл сан
махаббат, тұрақсыздық және теңсіздік символы болып табылады. Екі саны бұл
жұмсақтық және дәлдік. Ол жылылық пен суықтық,мейірімділік пен қатыгездік,
жарық пен қараңғылықтың, байлық пен жұтшылдықтың арасында жүреді.
3 саны: Пифогорлықтарда 3 санының негізінде жан-жақтылық пен
бірліктің үйлесімділігі қалыптасқан. Көптеген халықтарда 3 саны есептеудің
соңы деп саналды. Оны толықтың, толудың, аяқталудың символы деп есептейді.
Ежелгі Грекияда бұл сан бақытты деп саналса, Ежелгі Вавилонда үш құдайға:
Күн, Ай, Шолпанға табынатын болған. Діни сенім нанымдарда, ертегілерде 3
саны қасиетті сан болып есептелген. Оның сиқырлығы сол ол алдыңғы екі
санның қосындысынан тұрады (1+2=3) үш өткеннің, осы шақтың, келешектің
символы.
4 саны: Ертеде бұл сан тұрақтылық пен беріктілік, әділдіктің символы
болып саналды. Ол шаршы түрінде болғандықтан, әлемнің 4 бұрышын,
жылдың 4 мезгілін, табиғаттағы төрт құбылыс – от, жер, су, ауаны білдірді.
Геометриялық бейнелеуі шаршы немесе ромб. Славьян символикасында – Жер.
Жапондар мен Қытайлар 4 санын қауіп, сәтсіз сан деп түсінеді.
5 саны: Пифогордың аса көп көңіл бөлген, бақыт саны деп есептеген,
ертеде оны тәуекелге бару символы деп болжаусыздықты, қуаттылықты және
тәуелсіздікті жатқызды. Санның дұрыстығы 5-жай сан, 5- саусақ – санау
жүйесінің бестігі, 5 – тармақты жұлдыз, 5 – сезім (көру, есту, тітіркену,
сезіну, тепе - теңдік). Проваслав шіркеуінде 5 басты діни мереке бар.
Буддизм ілімінде 5 басты өсиет, ал Ислам дінінде әр мұсылман баласы
күніне 5 мезгіл намазға жығылуға тиіс.
6 саны: Бұл сан туралы бір нәрсе айтуға бола ма? 6 саны дүниенің
жаралуын білдіреді. Әрине Пифогор оны ерекше сан деп есептеген, басқа
сандардан ерекшелігі оның өзіне тән ерекше қасиеті бар. Ол өзі бөлінетін
сандардың қосындысы мен көбейтіндісінен тұрады. 6 саны 1,2,3 – ке бөлінеді.
Оларды қосып немесе қоссақ қайтадан 6 саны шығады. (1+2+3=1*2*3=6) Мұндай
қасиет басқа еш бір санда қайталанбайды. 6- шығармашылық сан. Геометриялық
дәлдігі дұрыс тыбұрыш – жетістік, еркіндік, махаббат, адам бейнесі(екі
қол, екі аяқ, бас, дене) тегіс, шығыңқы фигуралар алтыбұрыш. 6 саны шай
және ас ішу сервиздарының саны. 6 саны бұл әсемдік пен үйлесімдік саны.
7 саны: Бұл санды Пифогоршылар Афинамен байланыстырған. Ежелгі Египет
философиясы мен астрономиясында ол өмірлік екі санның 3 пен ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.