Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары

Мазмұны

Кіріспе

Білім берудің қазіргі талабы- оқушының жан-жақты іс-әрекеттік қабілетінің дамуы. Оқушыны дамытуда ежелгі замандардан бері математиканың алар орны ерекше. Математиканың ғылым мен техниканың қарқынды дамуына қосар үлесі аз болған жоқ. .

Математика - барлық ғылымдардың логикалық негізі, демек, математика- оқушының дұрыс ойлау мәдениетін қалыптастырады, дамытады, оны шыңдай түседі және әлемде болып жатқан жаңалықтарды дұрыс қабылдауға көмек береді.

Оқушылардың пәнге деген көзқарасы әр түрлі факторлармен: жеке басының және пәннің ерекшеліктерімен қатар оқыту әдісімен анықталады. Олардың осындай ерекшеліктерін ескере отырып, пәнге деген ынтасын арттыру мақсатында үйірме жұмысын ұйымдастырудың маңызы зор. Көпшілік оқушылардың, үйірме мүшелерінің математика пәніне қызығушылығының артуы оны оқыту әдісінде үйірме жұмысының қаншалықты дұрыс ұйымдастырылғанына байланысты.

Үйірме жұмысында оқушылардың математика тарихынан алынған мағлұматтармен және көрнекті математиктердің өмірбаянымен, ғылыми еңбектерімен таныстыру мұғалімнің сыныптан тыс жұмыстарында жандандырады. Сондай-ақ оқушылардың ой-өрісін дамытатын логикалық есептер шығаруға, қалжың есептерді талдауға, викториналық сұрақтарға, оқушылардың шығармашылық қабілетін дамытатын математикалық сандық ребустарға, қиынырақ есептерге уақыттың бөлінгені дұрыс.

Мектептегі математика пәнінен сыныптан тыс жұмыстардың негізгі түріне - үйірме жұмыстары жатады. Математикалық үйірме оқушылардың пәнге деген қызығушылығын арттырумен қатар, математикалық oй-өрісін, шығармашылық қабілеттерін дамытуға, өзіндік жұмыс жасау дағдыларын қалыптастыруға. математикалық білімінің сапасын жоғары деңгейге көтеруге септігін тигізеді. .

Негізінен барлық сыныптардағы математикалық үйірмелер екі денгейде болуы мүмкін: біреуі - үлгерімі жоғары деңгейдегі оқушылар үшін, екіншісі-үлгерімі орта деңгейдегі оқушылар үшін.

Матeмaтикaлық үйірмедегі сабақтар төмендегі жоспар негізінде жүргізіледі:

1) Математика тарихына байланысты үйірме мүшесінін 5-10 минутқа шақталған баяндамасы, үйірме жетекшісінің немесе үйірме мүшелерінің тақырыпқа сәйкес хабарламалары;

2) Ecenmер шығару, оның ішінде жоғарғы қиындықтағы есептер;

3) Жаттықтыру есептерін және жаңылтпаш есептерін шығару;

4) Жоғары оқу орындарына mүсy емтихандарының конкурстық, есептерімен, ҰБТ- дe ұсынылған тапсырмалармен үйірме мүшелерін таныс-тыру;

5) Оқушыларының әр түрлі сұрақтарына жауап беру.

Үйірме мүшелерін конкурстық есептермен таныстыру, жоғары оқу орындарына түсу емтихандарының есептерінің ҰБТ тапсырмаларының деңгейі жайлы мағлұмат алуға мүмкіндік береді. Мұндай есептердің шартымен үйірме мүшелерін әр сабақтың сонында таныстырған тиімді тапсырмаларды оқушылар, қалауы бойынша өз бетінше үйде орындалуына болады, үй тапсырымасын орындау оқушыларға міндеттелмейді.

Оқу материалдары қиындығының өсу тәртібіне сәйкес орналастырылады.

Есептердің қысқа және тиімді жолмен шығарылуына назар ауарылады, шығарылған есептердің рәсімделуіне шек қойылмайды, бірақ математикалық тұрғыдан дұрыс болуы талап етіледі.

Шығармашылық бастаманың басымдылығы геометриялық салу есептерін шығаруда ерекше байқалады. Есептің шартын өзгерткен жағ дайда қанша шешімі болатынын анықтап, нақты шешімдерін көрсету қажет.

Оқу материалының мазмұнын мектепте оқытылатын математика пәнінің оқу материалдарының логикалық жалғасы ретінде қарастыруға болады. Дегенмен, қолданбалы есептің: аясында көп есептер талданады, өйткені "Қолданбалы есептер - кәсіби бағыттылық құралы" деп санаймыз.

Қазақстан Республикасының орта оқу орындары білім берудің мемлекеттік жалпыға міндетті стандартын сатылап енгізудің жауапты кезеңіне жетті.

2006-2007 оқу жылынын 1 қыркүйегінен бастап республиканың 8 мыңнан астам орта оқу орындары 10-11 сыныптарда бағдарлы білім беруді бастады. Мектеп-лицейде бағдарлы оқыту соңғы 4 жыл көлемінде іске асырылуда.

Үйірме жұмысының мақсатын және міндетін сол бағытта анықтап, төменгідей етіп белгіледік:

Окушыларлын білімділік дағдысын арттыру мен математикалық білімін тереңдету оқушының логикалық ойлау қабілетін дамытуда оқу материалын, әсіресе, ондағы есептерді таңдап алудың маңызы зор.

Үйірмеде қарастырылатын теориялық материалдар, анықтамалар және қолданбалы есептер жүйесі, оқушылардың зерттеушілік жұмыстары олардың шығармашылық белсенділігін арттырып, ақыл-ой әрекетінің дамуына игі ықпал жасап, мамандық таңдауға әсері болады.

Оқу материалдары түрлі есептер жинақтарынан, журналдар мен белгілі математиктердің кітаптарынан, үйірме, олимпиадаға арналған ееептер жинақтарынан алынады.

Мақсаты оқушылардың интеллектілік, шығармашылық ойлауын, өздігінен білім алу және еңбек ету дағдыларын дамыту, қазіргі заман талабына сай экономикалық көзкарасы мен белсенділігін қалыптастыру, кәсіпкерлікке баулу.

Міндеті оқушылардың тұлғалық және кәсіби өзін-өзі табуы барысына көмек көрсету.

Зерттеу нысаны ү йірме жұмыстарының өткізу сатыларын қарастыру

Зерттеу деректері математика ғалымдарының еңбектері пайдаланылды.

Құрылымы мазмұны, кіріспе, үш тарау, қорытынды мен пайдаланылған әдебиеттер.

1 Арифметика және алгебраға тиісті үйірме жұмыстары

1. 1 Математика және өмір

Адамдар түрлі машиналарды ойлап тауып жатыр, электростанцияларды құрып жатыр, жер асты байлығын іздеп тауып жатыр, континент және океандарды өте жоғары жылдамдықпен басып өтіп жатыр, атомның сырларын тағы да тереңдеу біліп жатыр, космосты көбірек үйреніп жатыр, көз көрмеген құлақ естімеген жаңалықтарды жаратып жатыр.

Математикадағы сандар ілгері заманнан бері белгілі, бірақ оларды бірінші болып кім тапқандығы белгісіз. Қазіргі заман математикасы өте жоғары дәрежеде дамыған. Бұл даму барлық бағыттар бойынша жалғасын тауып жатыр, кейбір ұғымдар жүз жылдар, қала берсе, мың жылдардан бері өмір сүріп келе жатыр. Ескі теориялар негізінде жаңа теориялар проблемалар пайда болып жатыр. Адамзаттың өмірінің барлық саласына терең кіріп бара жатыр, сонымен бірге математиканың құрылымы, оның әдістері және жалпы принциптері өсіп және күрделеніп барады.

Бірақ, математиканың ең күрделі теңдеуінен оның сандармен өрнектелінетін ракета жылдамдығын өрнектейтін санды, өте күшті трубина оғының сантиметрлерде есептелінетін диаметр ұзындығын көрсетуші санды, кемелерге соғылатын довулдың балдарын өрнектейтін сандар және басқа көп анық сандарды есептеп табу ұзақ және қиын жол. Бұл жолдар ондаған және жүздеген кезеңдерден тұрады. Мысалы, ауа райын алдын ала айтып беретін метериолог көп цифрлы сандар үстінде бірнеше он миллион амалдарды орындауы керек. Ірі кәсіпорын жұмысшыларына төленетін жалақысының ведомосты түзу үшін бірнеше миллиондаған есептеу амалдарын орындау керек [1] .

Математика - әлдебір әлемнің сандық қатынастары мен кеңістіктік формалары, оның ішінде - структуралар, өзгерістер, белгісіздік жөніндегі ғылым. Ол абстрактілендіру және логикалық қорыту, есептеу, санау, өлшеу және физикалық нәрселерді жүйелі түрде орнықтыру, бейнелеу мен өзгерістерді оқыту арқылы көрініс табады.

Математиктер жаңа тұжырымдамаларды сипаттайтын осы түсніктерді ретімен таңдалып алынған аксиомалар мен анықтамаларды пайдалана қорыта отырып зерттейді [12] .

Математика ғалымдар есептеу әдістерін ықшамдау және жылдамдату үстінде басқатырмағанда және инженерлермен бірге есептеу машиналарын таппағанда жер бетіндегі адамдардың төрттен бір бөлігі айлықтарын есептеу жұмысымен үздіксіз шұғылданған болар еді.

Математика (грек. mathematike- білім, ғылым) - ақиқат дүниенің сандық қатынастары мен кеңістік формалары жайлы ғылым. Көрнекті совет математиктері А. Н. Колмогоров пен А. Д. Александров ұсынған жіктеу бойынша математиканың даму тарихы шартты түрде төрт кезеңге бөлінеді.

Бірінші кезең- математиканың білім- дағдыларының қорлану, жинақталу дәуірі. Ол ерте кезден басталып б. з. б. 7-6 ғасырларына дейін созылды. Бұл дәуірде математика адамзат практикасы мен тәжірибесіне тікелей тәуелді болды, солардан қорытылған ережелер жинағынан тұрды. Екінші кезең- математиканың өз алдына дербес теориялық ғылым болып туу, қалыптасу кезеңі. Мұнда арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия айрықша теориялық пән болып қалыптасты. Бұл кезең тұрақты шамалар математикасының, кейде элементар математика кезеңі деп аталады. Ол екі мың жылға жуық мерзімге созылып, шамамен 17 ғасырда аяқталады. Үшінші кезең- айнымалы шамалар математикасы немесе жоғары математиканың туу, қалыптасу кезеңі. Бұл 17 ғасырда басталып, 19 ғасырдың 2-жартысына дейін созылды. Жиындар теориясына байланысты анализдің, геометрияның және алгебраның жаңа сападағы салалары шыққаннан кейін, математиканың негізгі мәселелерін жалпы қарастыру кезеңін төртінші кезеңге жатқызуға болады. Ол- 19-20 ғасырларды қамтитын қазіргі математика кезеңі.

Математиканың тууы. Математиканың бастапқы мағлұматтары барлық халықтарда болған. Ғылымның дамуына әсіресе Египетте(Мысыр), Вавилонда жинақталған мәдени дәстүрлердің ықпалы үлкен болды. Бұл елдерде б. з. б. 4-5 мың жылдай өзіндік мәдениет өркендеп, ғылыми білім қорланған. Календарь жасау, құрылыс, жер суару, жер және әр түрлі ыдыс көлемін өлшеу, теңізде жүзу, жан- жақты байланыс жасау ісі математикалық білім- дағдылардың дамуын талап етті, оның бастапқы қарапайым ережелері дәлелдеусіз қалыптаса бастады. Египетте санды иероглиф арқылы кескіндеу пайда болды, бүтін, бөлшек сандарға арифметикалық төрт амал қолдану ережелері мәлім болды. Бір белгісізі бар теңдеулер, сондай-ақ қарапайым арифметикалық және геометриялық прогрессияларға келтірілетін есептер шығару тәжірибесі кездеседі. Египеттіктер төртбұрыштың, трапецияның, үшбұрыштың ауданын, параллепипед пен табаны квадрат пирамиданың көлемін дәл есептей білген, дөңгелек ауданын жуықтап тапқан [5] .

Орта ғасырлар математикасы

Математика ғылымының кіндігі де, тұсауыда кесілген жері ертедегі шығыс (Қытай, Үнді, Вавилон, Мысыр) . Онан кейін, ол Вавилон мен Египет, Грецияға ауысады. Греция математиктері математиканы өзінің нәтижелері мен түпкі қағидаларын логикалық қортынды арқылы келтіріп шығаратын дедукциялық ғылымға айналдырды. Гректер әсіресе бастапқы геометрияға жататын мәселелерді түгел зерттеді деуге болады.

Жаңа заманнан ілгері 47 ж. Рим әскерлері Грекияны басып алып Александрия портындағы Мысыр кемелерін өртегенде, өрт кітапхананы да шарпып, натижеде екі жарым ғасыр бойы жинап сақтаған кітаптар мен 500 мың парша қолжазба күйіп түгейді. 4 ғ. Христандар Грекия пұтханаларын өртеген кезде Серапис пұтханасындағы 300 қолжазба күйіп кеткен.

Міне, осындай тарихи себептерден, әрі Грек математикасының өзіндегі олқылықтар себебінен, ежелгі Грекия математикасы тоқырайды. Осыған байланысты бүкіл Еуропада ғылым дамымақ түгіл, уақытысында болған ғылымдардың өздері жоғалып, Еуропаны қара түнек басады. Ақыл берген ғасырлардың орынына мың жарым жыл бойы үздіксіз созылған оянбайтын ұйқыға батқан «Ақыл-ой» ғасырлары келді. Адамзат тарихында мұнан үлкен, бұдан ғаламат ауыртпалық болған жоқ.

Шығыс математикасы 5 ғ-дан 15 ғ-ға дейінгі мың жылдан астам уақыт аралығында есептеудің әсіресе астрономияның қажетінен шұғыл дамыды, бұрынғы Грекия математиктерінің көпшілігі философ болса, кейінгі шығыс мәдениетінің көбінің астроном болуы міне осы себептен болса керек. [2]

Адамзат тарихында ең ерте қалыптасқан ғылымдардың бірі - математика еді. Математиканың алғашқы бесіктерінің бірі Мысыр елі болды. Адамзат даналығының ойлап тапқан жаңалығы ол- жазу. Қазіргі әлем халықтары жазуды жоғарыдан төмен, солдан оңға қарай жазып жүр. Неге? Өйткені олар бұл әдісті соқаның қозғалысынан алған екен. Осы жазудың негізінде пайда болған таңбалардың бірі цифр. Цифр дегеніміз- сөздерді қағаз бетіне қондыру үшін қолданылатын әріптер қандай қажет болса, сандарды да жазу үшін керекті таңбалар. Цифр деген сөздің төркіні арабтың «Әс-сифр» деген сөзінен алынған, ал оның мағынасы - үнді халқының бос орын - «Сунья» деген сөзінің аудармасы екен [17] .

1. 2 Сандардың бөлінгіштік белгілері

Бөлінгіштік белгілері деп берілген х санының а санына қалдықсыз бөлінетінін бөлу амалын орындамай - ақ білуге болатын ережелерді атаймыз. Мысалға есептеу үшін қолайлы, ондық санау жүйесіндегі бөлінгіштік белгілерін қарастырайық.

2-ге бөлінгіштік белгісі. Сан жұп 0, 2, 4, 6, 8 цифрларымен аяқталса ғана 2-ге бөлінеді.

3-ке ( 9- ға ) бөлінгіштік белгісі.

Егер санның цифрларының қосындысы 3-ке ( 9-ға) бөлінсе, тек сонда ғана ол сан 3 - ке ( 9-ға ) бөлінеді.

4 - ке бөлінгіштік белгісі.

Егер санның соңғы екі орынды саны 4-ке бөлінсе, тек сонда ғана сан 4-ке бөлінеді.

5 - ке бөлінгіштік белгісі.

Егер сан 5 - пен немесе 0 - мен аяқталса, ол сан 5 - ке бөлінеді.

7 - ге бөлінгіштік белгісі.

7 сиқырлы сан деп есептелген . Оған бөлінгіштік белгісі осы күнге дейін нақтылы анықталмаған. Себебі 7 - ге бөлінгіштіктің біраз ұсынылған белгілері көптеген есептеу жұмысын жүргізуді қажет етеді, одан гөрі 7 - нің өзіне бөлу жеңілірек. Мысалға, өткен ғасырдың орта кезінен 7 - ге бөлінгіштіктің мынадай белгісін білеміз. Ол былай есептеледі : берілген санның соңғы цифрын сызып тастап, сол сызылған санды екі еселеп берілген саннан азайтамыз. Осы әдісті ең соңында бір орынды сан қалғанға дейін жалғастырамыз. Егер осы бір орынды сан 7 - ге бөлінсе, онда берілген сан 7 - ге бөлінеді.

8-ге бөлінгіштік белгісі.

Егер берілген санның соңғы үш орынды саны 8 - ге бөлінсе, ол сан 8 - ге бөлінеді. Мысалы, 724648, 648 : 8 = 81, демек, 724648 8 - ге бөлінеді. 4751337, 337 : 8 - бөлінбейді, ендеше 4751337 8 - ге бөлінбейді. т. с. с

11-ге бөлінгіштік белгісі.

Берілген сан 11 - ге бөліну үшін ол санның жұп орындағы цифрларының қосындысы мен тақ орындағы цифрларының қосындысының айырмасы не нөл немесе 11 - ге бөлінетін сан болуы керек.

Мысалы, 3 457 96 тексеріп көрейік . 4 + 7 + 6 = 17,

3 + 5 + 9 = 17,

17 - 17 = 0

Ендеше, бұл сан 11 - ге қалдықсыз бөлінеді. Сол сияқты 9 2 6 1 7 2 9 4 санын тексерсек 2 + 1 + 2 + 4 = 9

9 + 6 + 7 + 9 = 31

31 - 9 = 22

22 : 11 = 2

Ендеше, 92637294 саны 11 - ге бөлінеді. 11 - ге бөлінгіштік белгісін дәлелдейік.

Кез келген көп таңбалы N санында a бірлік, b ондық, с жүздік, d мыңдық т. с. с бар болсын, сонда N = a + 10 b + 100с + 1000 d + . . . = a + 10( b + 10с + 100d+ . . . ) .

Енді N - нен 11 ( b + 10с + 100 d + . . . ) (бұл сан 11 - ге бөлінеді) санын азайтамыз. Сонда шыққан айырма а - b - 10(с + 10d + . . . ) болады, бұл санды 11 - ге бөлгенде шығатын қалдық бастапқы N саннын 11 - ге бөлгендегі қалдықпен бірдей. Осы қалдыққа 11 - ге бөлінетін 11( с + 10d + . . . ) санын қоссақ, а - b+с +10 ( d + . . . ) саны шығады, бұл санды да 11 - ге бөлсек, қалдығы сол N - ді 11 - ге бөлгендегі қалдыққа тең болады. Осы саннан 11( d + . . . ) ( 11 - ге бөлінетін) санын азайтамыз т. с. с Нәтижесінде а - b + с - d + . . . ) - (b+d+ . . . ) саны шығады, бұл санды 11 - ге бөлгенде шығатын қалдықпен тең.

11 - ге бөлгіштің басқа да белгісі бар ол тек аса үлкен емес сандар үшін. Ол әдіс бойынша берілген санды оңнан солға қарай екі орынды сандарға бөлеміз, одан соң әр бөліктегі сандарды мүшелеп қосамыз, осы қосынды 11-ге бөлінсе, онда сан да 11-ге бөлінеді, басқаша болса, бөлінбейді.

Мысалы, 528 санын тексерейік: 528, қосамыз 5 + 28=33 бұл 11-ге бөлінеді, ендеше 528 де 11-ге бөлінеді. Осы бөлінгіштік белгісін дәлелдеу керек. Көп орынды N санын 2-орындыдан бөліп шығамыз, сонда екі орынды, бір орынды сандар аламыз. Оны солдан оңға қарай a, b, c т. б. деп белгілейміз. Сонда, N= a + 100b + 1c +… = a + 100(b + 100c +…) Енді N санынан 11-ге бөлінетін 99(b + 100c+…) санын азайтамыз. Шыққан а + (b + 100c + …) = a + b +100(c + …) санын 11-ге бөлгендегі қалатын қалдық бастапқы N-ді 11-ге бөлгенде шығатын қалдықпен бірдей болады. Бұл санын 99(c + …), (11-ге бөлінетін сан) санын азайтамыз т. с. с. нәтижесінде 11-ге бөлгендегі қалдығындай болатын а + b + с + . . . саны шығады.

13-ке бөлінгіштік белгісі.

Берілген санды солдан оңға қарай сызықшамен үш орынды сандарға бөлеміз. Бірінші, үшінші, бесінші орындағы бөліктердің қосындысын, содан соң екінші, төртінші, т. с. с. орындағылардың қосындысын тауып, сол қосындылардың айырмасы 13-ке бөлінсе, онда берілген сан да 13-ке бөлінеді.

Мысалы, 91182091 санын тексерейік, 911 82091, бұдан 911 + 91=1002, 1002 - 820 = 182, 182 13-ке бөлінеді, ендеше, 91182091 саны да 13-ке бөлінеді.

19-ға бөлінгіштік белгісі.

Сан 19-ға бөлінуі үшін ол санның ондықтары мен екі еселенген бірліктерінің қосындысы 19-ға бөлінуі керек.

Мысалы, N= 10х + у, мұндағы х - ондықтар саны, у- бірліктер саны.

Егер х+2у =N΄ 19-ға бөлінсе, N де 19-ға бөлінетінін дәлелдеуіміз керек. Ол үшін N΄-ты 10-ға көбейтіп, одан N-ді азайтамыз, сонда 10 N΄ − N = 10(х+2у) -(10х+у) =19у. Бұдан байқайтынымыз: егер N΄ 19-ға бөлінетін болса, онда N = 10N΄-19у те 19-ға бөлінеді, керісінше, егер N саны 19-ға қалдықсыз бөлінсе, онда N΄ та 19-ға қалдықсыз бөлінеді.

25-ке бөлінгіштік белгісі.

Сан 25 - ке бөлу үшін, ол 00, 25, 50, 75 сандарының бірімен аяқталуы керек. Санның соңғы цифры х = х _п ·10 ^п + . . . + х ² · 10 ² + х ₁ 10+х ₀ болсын. 100 25 -ке бөлінеді, ендеше 1000, 1 т. с. с. да 25 - ке бөлінуі үшін х ₁ ·10+х ₀ саны 25 - ке бөлінуі керек екен. Ол тек х ₁ ·10+х ₀ сандары 00, 25, 50, 75 - пен аяқталғанда ғана орындалады.

99-ға, 33-ке, 11-ге бөлінгіштік белгісі. Сан 99 - ға, 33 - ке, 11 - ге бөлінуі үшін, оның цифрларын оңнан солға қарай екі орыннан бөлгенде шыққан сандардың қосындысы 99ға, 33 -ке, 11 - ге бөлінеді. Мысалы, 2΄ 03΄ 73΄ 54 саннан 54 + 73 + 03 + 2 = 132. Ал 132 33 - ке, 11- ге бөлінеді, ендеше 2037354 саны да 33 - ке, 11 - ге қалдықсыз бөлінеді. Сол сияқты 6΄ 91΄ 80΄ 21 үшін 21+80+91+6 = 198, ал бұл 99 - ға бөлінеді. Олай болса, 33 - ке де, 11 - ге де бөлінеді, бұдан 6918021 саны да 99 -ға, 33 - ке, 11 - ге бөлінеді.

101-ге бөлінгіштік белгісі.

Егер берілген санның, оңнан солға қарай есептегенде, екі - екіден бөлінген цифрларының тақ орындағыларының қосындысы мен жұп орындағыларының қосындысы бірінен бірін азайтқанда айырма не 0 - ге, не 101 - ге тең болса, онда бұл сан 101 - ге бөлінеді. Мысалы. 2΄ 68΄ 45΄63΄83 санында 83+45+2 =130. 63+68 = 130, 130 -130 = 0, демек 268456383 саны 101 - ге бөлінеді.

999-ға, 333-ке, 111-ге, 37-ге, 27-ге бөлінгіштік белгісі.

Берілген сан 999 - ға, 333 - ке, 111 - ге, 37 - ге, 27 - ге бөлінуі үшін оңнан солға қарай үш - үштен санағанда алғашқы үш бөліктің қосындысы, одан кейінгі үш бөліктің қосындысына тең болса және олар 999, 333, 111, 37, 27 - ге бөлінетін болса, ол осы сандарға бөлінеді. Мысалы, 776223 - ті тексеріп көрейік: 223+776 = 999; 999 = 3 · 333 = 9·111 = 27 · 37, демек, берілген сан 999 - ға да, 333 - ке де, 11 - ге де, 37 - ге де, 27 - ге де бөлінеді.

Арифметикалық амалдардың белгілері. Арифметикалық амалдардың математикаға бірден кіріп келмеген. Біз қолданып келе жатқан белгілерімізді математикаға енгізу үшін мыңдаған жылдар керек болды.

Қазіргі замандағы белгілерден:

А) «+», «-» белгілері XV ғасыр ақырында италия және неміс кітаптарында пайда болды. ( италян Леонардо да Винчи, неміс Видман) және басқалар.

Б) «Х» (көбейту) белгісі 1961 жылы ағылшын математигі У. Оутред жұмыстарында пайда болды.

В) « » (көбейту) белгісі 1968 жыл, «: » (бөлу) белгісі 1984 жыл неміс математигі Лейбниц шығармаларында пайда болды.

Г) «=» (теңдік) белгісі 1557 жылы ағылшын ғалымы Р. Рикардо шығармаларында пайда болды.

Д) және (үлкен және кіші) белгісі 1631 жыл неміс математигі Т. Гаррнот шығармаларында кездеседі [8] .

1. 3 Қажетті және жеткілікті шарттар

VII сыныптан бастап математика сабақтарында қажетті және жеткілікті шарттар ұғымы кірістірілген. Сондықтан бұл ұғымдарды оқушыларға түсіндіруде тек оқулықтың өзімен шектеліп қалу жеткіліксіз.

---

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.

• Іс жүргізу
• Автоматтандыру, Техника
• Алғашқы әскери дайындық
• Астрономия
• Ауыл шаруашылығы
• Банк ісі
• Бизнесті бағалау
• Биология
• Бухгалтерлік іс
• Валеология
• Ветеринария
• География
• Геология, Геофизика, Геодезия
• Дін
• Ет, сүт, шарап өнімдері
• Жалпы тарих
• Жер кадастрі, Жылжымайтын мүлік
• Журналистика
• Информатика
• Кеден ісі
• Маркетинг
• Математика, Геометрия
• Медицина
• Мемлекеттік басқару
• Менеджмент
• Мұнай, Газ
• Мұрағат ісі
• Мәдениеттану
• ОБЖ (Основы безопасности жизнедеятельности)
• Педагогика
• Полиграфия
• Психология
• Салық
• Саясаттану
• Сақтандыру
• Сертификаттау, стандарттау
• Социология, Демография
• Спорт
• Статистика
• Тілтану, Филология
• Тарихи тұлғалар
• Тау-кен ісі
• Транспорт
• Туризм
• Физика
• Философия
• Халықаралық қатынастар
• Химия
• Экология, Қоршаған ортаны қорғау
• Экономика
• Экономикалық география
• Электротехника
• Қазақстан тарихы
• Қаржы
• Құрылыс
• Құқық, Криминалистика
• Әдебиет
• Өнер, музыка
• Өнеркәсіп, Өндіріс