Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
І.Тарау. Нақты санды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері.
§1.1. Дирихле принципі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
§1.2. Фарей қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
II.ТАРАУ. Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау
§2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
§2.2. Ең жақсы жуықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Кіріспе
Курстық жұмыста нақты сандарды рационал сандармен жуықтау теориясы мен олардың практикада қолданылуы қарастырылады. Кез келген нақты санды алдын ала берілген дәлдікпен рационал бөлшектер арқылы өрнектеуге және де әрбір нақты санды бір ғана үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге мүмкіндік тудырады. Бұл жағынан алғанда үздіксіз бөлшектердің маңызы ондық бөлшектерден кем түспейді. Сонымен қатар үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және негізгі қасиеттері қамтылады. Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық қолданылуымен қатар теориялық маңызы да зор. Олардың әдістері негізінен алғанда сандар теориясында, алгебрада, ықтималдықтар теориясында, тіпті анализ бен механикада да қолданылады. Нақты сандарды рационал сандармен жуықтау сандар теориясы курсын оқу үшін аса қажетті болып табылады.
Курстық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытындыдан тұрады. Бірінші тарауда нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістерінің қолданулары көрсетілген. Екінші тарауда нақты сандардың үздіксіз бөлшектермен жуықталуы, ақырлы және ақырсыз үздіксіз бөлшектер анықтамасы, жазылуы, мәндері және ең жақсы жуықтау әдістері сипатталған.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі

1. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и транцендентые числа: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1982г.
2. Оразбаев Б. М. Сандар теориясы. Педагогикалық институт арналған оқулық-Алматы : «Мектеп» баспасы, 1970ж.
3. Асенова А. Е. , Асен. Е. Қ. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
4. Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: Изд-во «Просвещение», 1966г.
5. Қ. Жетпісов, Қ. Сексенбаев, А. О. Башеева. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
6. Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. – М.: Физматкиз, 1962г.
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
8. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
9. Избранные труды. – М.: Наука, 1973г.
10. Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952.
11. Сушкевич А. К. Теория чисел. – Харьков: Изд-во Харьковского Гос. Ун-та, 1954г.
        
        Мазмұны
Кіріспе.....................................................................
...............................................
І-Тарау. Нақты санды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері.
§1.1. ... ... ... ... ... ... жуықтау
§2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және ... Ең ... ... ... ... ... ... сандармен жуықтау теориясы мен
олардың практикада қолданылуы қарастырылады. Кез келген нақты санды алдын
ала берілген дәлдікпен рационал бөлшектер ... ... және де ... ... бір ғана ... бөлшек түрінде көрсетуге мүмкіндік тудырады.
Бұл жағынан алғанда үздіксіз ... ... ... ... ... ... қатар үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері ... ... ... Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық
қолданылуымен қатар теориялық маңызы да зор. ... ... ... ... ... ... ... теориясында, тіпті
анализ бен механикада да қолданылады. ... ... ... ... ... ... курсын оқу үшін аса қажетті болып табылады.
Курстық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытындыдан тұрады.
Бірінші ... ... ... ... ... қарапайым әдістерінің
қолданулары көрсетілген. Екінші тарауда нақты ... ... ... ... және ақырсыз үздіксіз бөлшектер анықтамасы,
жазылуы, мәндері және ең жақсы жуықтау әдістері сипатталған.
І-ТАРАУ.
НАҚТЫ САНДАРДЫ ... ... ... ... ... саны ... ... жиынынан алынған сан болсын.
Белгілеп ... α ... саны үшін ... ... ... р мына
(1)
айырымының абсолют шамасын ... өте ... ... ... ... ... жиыны тығыз орналасқаны белгілі. Сондықтан (1)-нің ... ... ... ала ... аз оң ... ... кіші етіп ... болады,
мұндағы p, q сандарын қалауымызша таңдап ... (1)-ні ... үшін ... ... ... тәуелді
функцияны алады, яғни
< φ(q) ... ... оң ... функция α нақты санының ... ... ... ... α ... және φ(q) ... ... с>0 саны табылып, мына
с´φ(q) теңсіздігі кез
келген үшін орындалатындай α санымен φ(q) функциясынан ... ... ... ... φ(q) ... ... = ... ... онда α ... ... µ ... ... ... деп
аталады. Мұндағы µ және с сандарының әртүрлі мәндерінде (3)-нң ақырлы
немесе ... ... саны ... ... , онда (1) ... ... оңай шешіледі. болсын.
Егер тек болса, онда
(5)
Бұдан
(6)
теідеуінің кез ... , ... ... ... ... ... ... келесі екі айнымалылы анықталған теңдеуінің
х немесе у бүтін сандарында шексіз шешімдері бар болады. ... ... ... ... ... ... көп ... үшін
орындалады.. Осылайша (6) теңсіздігінің кез келген кезінде
және сандарында шексіз көп ... ... ... ... ... үшін рационалды сандармен жуықтау реті әр түрлі
болады. Әрі қарай дегі барлық иррационалдық сандар µ = 2 ... ... ... ... ... ... ... жуықтау ретін беретін
сандар бар болатынын ... ... ... ... ... ... жәшік бойынша таратсақ, онда болғанда
жәшіктердің ең ... ... екі зат ... Тұжырымның
қарапайымдылығына қарамастан, бұл әдіс ... ... әр ... ... қажетті теоремаларды дәлелдеуге мүмкіндік береді.
Дирихле теоремасы.
болсын. Онда ... ... ... бар ... Ең алдымен болсын дейік. және түрінде ... ... ... және ... бөліктері белгіленсін.
(8)
сандарының сандарын қарастырайық. Бөлшек үлесінің қасиеті бойынша
(9)
жарты интервалында ұзындығымен бірдей кіші ... ... ... (8) теңсіздіктің сандарының әрбіреуі (10) ... ... ... ... (8) ... тура , ал (10) ... тура болады. Сондықтан (10) жарты интервалдар арасынан
(8) сандарынан екеуін ... ... ... табылады. Ол келесі сандар
болсын
, ... ... ... ... ... (11) теңсіздігінен
қарастырылып отырған ... ... ... шығатын
, ... ... ... ... кез келген нақты сан болғанда
дәлелдеу едәуір қиындай түседі. Онда ... ... және ... ... ... Содан кейін кесіндісін
бөлікке бөлеміз. Бірінші жағдайдағыдай ... ... ... Осыдан, егер қарастырылып отырған нүктелердің екеуі ... ... ... онда (13) ... ... ... (12) ... дәлелдеуде болғандағы жағдай бар болатынын ескере кетейік.
Егер , ... , онда кез ... және ... келесі теңсіздік
орындалады:
Сондықтан кезінде (7) теңсіздігінің тек тривалды шешімі
болады. Сондықтан (7) ... ... ... емес ... ... Бұл ... Дирихле теоремасы өз бөлімдерімен
рационал сандарды рационал сандар жуықтау жөнінде мәлімет беретін ... ... ... ... онда ... (7) теңсіздігінің
бөлімдер шешімі де өседі.
мұнда . Онда кез ... және ... ... ... ... ... ... соңғы теңсіздік (7) теңсіздігіне
қарама-қарсы. Бұдан , иррационал сан болғанда ... ... (7) ... ... ... ... шектеусіз.
ескере отырып (7) теңсіздігінен келесі теңсіздікті аламыз.
(14)
Жоғарыда дәлелденгеннен, иррационалдық саны үшін (14) ... ... ... ... бөліммен шешімі бар болады.
Теорема 1. Кез келген иррационал саны үшін (14) теңсіздігінің
және ... ... ... ... ... ... ... сандар рационал сандармен жуықтаудың
дәрежелік реті 2 ге тең екенін көрсетеді. дан кез ... ... ... ... ... ... сандар бар болады. Мұндай
сандардың мысалын тез ... ... ... ... ... ... алғашқы -қосындысын алып,
белгілейік Онда,
Бірақ
Сондықтан
Соңғы теңсіздіктен кез келген кезінде
(16)
теңсіздігінің және ... ... бар. ... ... ... (16) ... әрбір шешімі кез келген дан кіші
мәнімен тағы ... сол ... ... ... табылады. Бұдан кез
келген кезінде (16) теңсіздігінің және ... көп ... бар ... ... - ... сандарын келесі түрде жазуға болады.
(17)
мұнда бөлімі дегі кез ... емес сан, ... ... ... ... алуға болады. (17) түріндегі ... ... ... кең ... ... сандарының
келесідей ондық жіктелуі болсын делік.
Әдетте ны ға жуық ... ... ... оны ... ... ауыстырады.
,
белгілейік , онда
Бірақ
,
және сондықтан
Бұдан ауыстыру кезіндегі қателік нен аспайтыны шығады.
ауыстыруы , ... (14) ... ... болып табылады, дегенмен
қателігі тан аспайды.
1.2. Фарей ... ... ... ... ... ... олардың ішінен
оң бөлшектерін аламыз.
екі бөлшектің медиантасы деп бөлшегі ... ... 1. ... екі ... ... ... әр ... өзгеше және олардың
арасында жатады.
Дәлелдеуі: болсын. Анықтылық үшін дейік. ... ... ... ... ... ... ... Сондықтан
Егер екі бөлшектеі үшін орындалса, онда ... ... жұбы деп ... 2. Егер және ... ... ... ... онда
олардың әрқайсысы қысқарылмайтын болып табылады.
Дәлелдеуі: ... ... ... ... орындалады, бұдан
және шығатыны анық.
Лемма 3. Егер және ... ... ... ... онда
, және жұптардың әр ... ... ... жұптары
болып табылады.
Дәлелдеуі: деп ... Онда ... ... теңдігі
орындалады. Әрі қарай және бөлшектердің ... ... ... дәлелденді.
Лемма 4: және бөлшектердің нормалды ... ал ... ... ... ... ... Онда және ... Лемма шарты бойынша болады. Сондықтан
(19)
бұдан (19) теңсіздігінің екі жағын да ға ... ... ... ... ... (18) ... ... орындалатыны шығады. Онда
(21)
болады. (20) және (21) ... және ... ... қарастыра отырып болатынын дәлелдейміз.
Анықтама: үшін -ретті Фарей ... деп және ... ... ... нен ... қысқарылмайтын дұрыс
бөлшектердің өсу ретімен жасалған жиынды айтамыз.
-ретті ... ... ... ... ... ал Фарей
қатарын құру қиын емес. Мысалы,
Егер келесі мәндер үшін осы ... құра ... ... онда ... ... есеп қиындай түседі.
Фарей қатарын рекурентті құруға мүмкіндік беретін әдісті көрсетейік
және ... ... ... ... ... өсу ретімен
орналасқан бөлшектер жиынының
рекурентті шексіз жиынын анықтайық.
бөлшегі және екі бөлшектен тұрсын. Әрі қарай, егер ... анық ... онда ... түрде анықталады. нен
болатын барлық және ... ... ... ... және ... ге ... ... бойынша бұл медианталар
және сәйкес бөлшектер арасында орналасады.
Берілген анықтамадан дегі ... ... ... ... ал кез ... 2 ... бөлшектер бөлгіштердің қосындысы -
ден аз емес екені шығатыны айқын.
Егер жиынын тізбектей құрып ... онда олар ... ... ... көруге болады. Енді осы фактының кез келген
кезінде орны болатынын дәлелдейік. Онда ... ... ... ... аламыз.
Лемма 5: жиынында кез келген үшін әрбір көрші бөлшектер ... ... жұбы ... ... ... бойынша индукциямен дәлелдейік. ... ... Бұл үшін ... деп ... және ол үшін
де орындалатынын дәлелдейік. ді ... ... 3 ... ... және дегі көрші бөлшектер болып ... Онда ... ... ... ... бойынша орындалады.
2). теңсіздігі орындалады, мұнда және дегі ... ... ал ... және ... ... ... теңсіздігі орындалады, мұнда және дегі ... ... ал ... және ... ... табылады.
Осылайша лемманың тұжырымы мәні үшін орындалады, ал ... ... ... үшін орындалады.
Лемма 6: Кез келген үшін
Дәлелдеуі: ді ... ... ... ... ... . ... ... дегі екі көрші бөлшектердің нормалды
бөлшектер жұбы бар болады. Сондықтан ... ... олар ... ... бұл жиын ... ге тең ... -ге тізбектей қосу жолы арқылы ... және ... ... бөлімдері бар бөлшектерден тұрады, яғни ... ... ... және ... бойынша нен аспайтын
бөлгішімен оң қысқармайтын дұрыс бөлшектерден тұрады. Барлық
осындай ... ... ... ... Онда
анықтау бойынша .
кез келген ... ... Егер ... онда де ... және ... және екі ... ... 5-лемма бойынша және бөлшектердің нормалды жұптары
бар болса, онда 3 және 2 –леммалар ... ... ... яғни , ... бойынша , және әрбір жұп ... ... бар ... онда ... ... қарама-қарсы болады.
Алынған қарама-қайшылық дәлелденді.
Салдар: ... ... ... кез ... екі ... ... ... жұбы болады.
Дирихле теоремасын дәлелдеу: ... ... ... кері жағдайда
онда
, ал болсын. - ретті Фарей қатарын ... ... және екі ... ... ... ... қатарының қасиеті бойынша
немесе
Бірақ . Онда
немесе
болады.
Бірінші жағдайда қоямыз, ал екінші жағдайда ... ... ... орындалады.
Теорема дәлелденді.
Фарей қатарының көмегімен рационалды бөлшектермен нақты сандарды
жуықтау жөніндегі есептермен байланысты ... ... ... да ... ... дәлелденеді. Олардың дәлелдеулерінде берілген
иррационал санына жеткілікті тез жиналатын Фарей қатарынан тізбекті
бөліп алуға болатын факт ... ... ... сан ... дегі ... кезінде
болатындай және ... ... жұбы ... сандары өсуімен ... ... ... және ... ға ... және ... ... жуықтау болып табылады.
ІІ-ТАРАУ.
НАҚТЫ САНДАРДЫ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРМЕН ЖУЫҚТАУ.
2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және олардың негізгі
қасиеттері
Анықтама. Ақырлы үздіксіз бөлшектер деп келесі ... ... ... ... ... ал (1) ... ұзындығы деп аталады.
болғанда 0- мүшелі үздіксіз бөлшегі а0 түрінде ... ... ... тағы да ... ... ... үздіксіз бөлшегін төменнен жоғары қарай бөлшегін алдымен
ортақ бөлімге ... одан ... ... ... ... онда ... ... Ақырсыз үздіксіз бөлшек деп келесі өрнекті айтамыз:
(2)
сандарын ... ... ... ... ... ... бөлшек (2) келесі түрмен бейнелейді:
натурал элементтерімен. ... және ... ... ... ... ... бұлардың элементтері бір немесе
бірнеше ... ... және ... ... ... сандар
болып табылады. (2) ақырсыз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері деп
ақырлы үздіксіз бөлшектерді ... Кез ... ... ... ... ал иррационал санды
ақырсыз үздіксіз бөлшек ... ... ... да, айталық а рационал сан болсын, ға бөліп,
(3)
екенін табамыз. Мұндағы саны дан аспайтын ең ... ... ... ... түсінікті.
(3) теңдікті
(4)
түрінде қайта жазып, ні ге бөлеміз:
(5)
Мұндағы саны ден ... ең ... ... сан болады, яғни
(5)-ден мәнін тауып, (4)-ге ... ді ге ... ... -нің ... (6)-ге қойсақ, мынау шығады:
(7)
Тағыда ді ге бөлеміз:
-нің ... (7)-ға ... әрі ... ... ... (8) –ге ... және осы процесті соза береміз. Бұл
процесс ақырлы және ол Евклид алгоритмін береді:
Теңдіктер мен ... саны ... ... ... ... ... ... бөлінетін қалдықтары
шығатынын көрсетеді:
Олай болса, рационал санын көрсететін үздіксіз бөлшек саны
ақырлы ... ... ғана ... ... енді, иррационал сан болсын. а0 арқылы дан
аспайтын ең ... ... ... ... яғни ... саны нің ... бөлігі және ол иррационал сан
болады, әйтпесе рационал сан болған болар еді. ... ... ... ... сонда
мұнда ... осы ... ... нің ... ... ... ... төмендегі теңдіктерді табамыз:
(12)
. . . . . . . . . . . . ... ... ... сан болғандықтан, сандардың бүтін бөлігін бөлу
процесі шектеулі бола алмайды.
(9), (10), (11) және (12) ... ... а үшін ... ... бөлшек аламыз. Теорема дәлелденді.
Тағы да ақырлы (1) үздіксіз ... ... ... Үздіксіз
бөлшектегі
(13)
Ақырлы үздіксіз бөлшекті (1) үздіксіз бөлшектің -шы ... ... деп ... ... ... ... лайықты бөлшегі осы бөлшекке сәйкес
келеді.
(14)
Әр қарай рекурентті түрде ... ... анық ... мынау шығады немесе
Индукциямен индексі бойынша дәлелдейміз
(16)
болғанда (14) және (15) теңсіздіктерінен мынау шығады:
Айталық, (15) теңсіздігі ... бір мәні үшін және ... үшін де ... егер ... ... оң жағындағы ны ... онда үшін ... ... ... ... құрылымда олар тек арқылы
анықталады), онда
(14) теңсіздігін қолдана отырып мынаны аламыз
Бұл (16) ... ... үшін ... ал ... бойынша
барлық мағыналары үшін дұрыс. Сонымен, мына теңдіктер орындалады.
(18)
Осындағы немесе (14) және (15) теңсіздіктерімен анықталады.
болғанда
Осымен (1) әрбір ... ... ... дан ... сан ... бөлшектің элементтері бойынша оның ... ... ... ... үш лайықты бөлшектің алымдары мен
бөлімдері өз ... ... ... мұндағы
Шынында да, айталық, ақырлы ақырсыз үздіксіз бөлшек берілсін:
.
Егер болса,
болғандықтан, ... ... (19) ... ... ... айталық (19) қатыс
болғанда дұрыс болсын
(20)
Енді (19) қатыстың үшін орынды ... ... Ол ... ... ... ... деп белгілейік. Сонда ... ... ... -ның орнына оның мәні
қосындыны қойып,
табамыз, немесе (3) теңдікті алсақ,
шығады. Онда (20) теңдіктер кез келген үшін ... ... ... ... формулалар нің өсуіне байланысты лайықты бөлшектің ... ... де ... ... ... ... ... қолданылуын мысал арқылы көрсетейік:
Алғашқы екі лайықты мәні олардың анықтамаларынан тікелей шығады:
мен мәндері бойынша (19) ... ... ... ... ... содан соң мәндерін оп – оңай ... ... ... ... Егерде мен кез келген тетелес ... ... ... ... ... орынды.
Шынында да, мен лайықты бөлшектері үшін (21) ... ... ... ... ... ... өрнегіне (19) қатыстан мен нің мәнін алып
қойсақ:
немесе (22) –ге сүйенсек:
Екенін ... ... ... де осы еді. (21) ... ... ге бөлуден шығады.
4-теорема. Лайықты бөлшектер – қысқармайтын бөлшектер.
Шынында, айталық мен (18) ... ... ... ... бөлшектері болсын. онда 3-теоремадағы (21) қатыстың екіншісі
бойынша:
Бұл қатыстан лайықты ... ... мен ... ... ... ... ... жоқ екендігі көрініп тұр.
5-теорема. Барлық сандары үшін
немесе
(23)
қатысы орынды.
Дәлелдеу үшін өрнегіндегі мен бөлімі -нің ... ... ... (22) –ге сүйенсек:
.
Мұны ге мүшелеп бөлсек, (23) қатыстың екіншісін аламыз.
Дәлелденген (23) қатыстан жұп және тақ ... ... ... ... ... ... бір салдар шығады. Айталық, -жұп
сан болсын, онда (23) қатыстан:
немесе
шығады. Мұнда дей ... ... жұп ... ... ... өспелі тізбек құрастыратынын байқаймыз:
(24)
Егерде тақ сан ... онда ... ге ... бере ... индекстері тақ сан болып
келген лайықты бөлшектер кемімелі тізбек құрастырады деген ... (21) ... ... ... ... ... да, тақ ретті лайықты бөлшек өзінің ... жұп ... ... ... ... болады. мәселен,
(26)
(24), (25) және (26) теңсіздіктерден, әрбір тақ ретті лайықты бөлшек
(яғни индексі тақ ... ... ... ... жұп ... ... кез келгенінен үлкен болатындығын шығарып алу оңай.
Сөйтіп ,
Жасалған қорытындыны мынандай теорема ... ... ... Жұп ретті лайықты бөлшектер өспелі, ал тақ ретті лайықты
бөлшектер кемімелі тізбек құрастырады. ... тақ ... ... ... ... жұп ... ... бөлшектен үлкен болады.
шынында, айталық
Үздіксіз бөлшегі берілсін. Толық бөліндіні арқылы белгілейік:
Сонда ні ... ... ... ... ... ... 2-теорема бойынша
(27)
Мұндағы
(27)-дан лайықты бөлшегін шегеріп,
екенін табамыз, немесе (21)-ге сүйенсек
(28)
шығады.
Егер жұп сан болса, онда ... кез ... ... ал тақ болса, онда
(30)
(29) мен (30) теңсіздіктері
береді, яғни үздіксіз ... мәні ... жұп ... ... артық, бірақ тақ ретті лайықты бөлшектен кем болады.
айырмасын табайық. Ол үшін нің ... ... ... ... ескерсек, (28) мен (31) теңдіктерінен
(32)
теңсіздігіне келеміз. Бұл теңсіздік бізді қажетті келесі теоремаға әкеледі.
7-теорема.
Үздіксіз бөлшектің мәні әрқашанда кез ... ... екі ... ... ... ... қарағанда келесісіне жақын жатады.
Теорема бойынша үздіксіз ... , ... ... ... ... ... соңғы теңсіздік
түріне келеді. Сөйтіп, мына теорема дәлелденді.
8-теорема.
Әрбір нақты санды бір ғана ... ... ... түрінде көрсетуге
болады.
Айталық, ны
(33)
түрінен басқа, екінші
(34)
түрінде көрсетуге болсын делік. Анықтама ... ... ... ... ең ... ... ... өрнектейді. Демек,
.
Айталық, екендігі белгілі болсын.
Онда
(35)
теңдігі орындалады.
(33) және (34) үздіксіз ... ... ... ... ... (35) ... ескерсек,
шығады, яғни
Алайда болғандықтан,
Сонымен теорема дәлелденді.
9-теорема. қысқармайтын бөлшегінің нақты ... ... ... лайықты бөлшектердің біреуі болуы үшін,
(36)
теңсіздігінің орындалуы қажетті және жеткілікті.
Шынында, айталық бөлшегі
үздіксіз бөлшегінің
лайықты бөлшегі болсын,
өрнегі -нің толық бөліндісі. ... ... ... (36) теңсіздіктің қажеттілігі дәлелденді. (36) теңсіздіктің
жеткіліктілігін дәлелдеу ... ... ны жұп деп ... ал
болғанда тақ деп, әрқашан
(37)
Орындалатынын алдын ала ескерте кетейік. Өйткені, ... ... ... ... ... жұп болса, онда
дей аламыз. Мұнда болғанда, жұп сан ... ... ... ... ... дәлеледеуге көше отырып, саны
тендігінен анықталады деп жорылық. Бұдан
немесе екі жақ бөлігін де не ... (40) мен ... ... ... немесе
Бұл соңғы теңсіздік орындалуы үшін, болғанда, шарты
орындалуы керек. ... ... ... шарт ... ... Бұл ... тек қана шарты орындалғанда ғана жүзеге асады.
Ал бұл дің ның ... ... ... ... бөліндісі
және нің ға лайықты бөлшек екендігін көрсетеді.
Лайықты бөлшектердің алымы мен бөлімі өзара жай сандар.
Дәлелдеуі: болғандықтан үшін ... ... Егер , онда ны және -ға ... ... ... бөледі. Ал бірінші қасиет бойынша 1 ді бөледі.
Сондықтан .
Біріншісінен бастап ... ... ... ... ... . Келесі қатыныстан
Барлық шығады, сондықтан
Тұжырым дәлелденді.
Кез келген ... үшін ... ... ... ... ... ... бөлшектер
теңсіздіктерін қанағаттандырады, ал қарастырылып отырған ақырлы бөлшектің
мәні соңғы лайықты бөлшекпен өрнектеледі.
2.2. Ең жақсы жуықтау.
Осы ... саны егер мен (1) ... ... ... ... ... немесе (2) ақырсыз үздіксіз ... ... осы ... ... лайықты бөлшектерні болсын.
Лемма 1: Егер санының үздіксіз бөлшегінің -ші лайықты бөлшегі
болса, онда келесі ... ... егер ... онда ... ... ... егер иррационал болса, онда (40) теңсіздік орындалады.
Дәлелдеу: Ең алдымен (39) және (40) ... ... ... ... ... ... ... санының құрамында санының
тақ немесе жұптығынан тәуелді болатын оң және сол ... ... ... және ... және ... ... Сондықтан (39) теңсіздігі орындалады. Егер де болса,
онда берілген кесіндінің ішкі ... ... ... Бұл ... ... ... (39) және (40) теңсіздігінің төменгі бағасын орнатайық. Үш ... ... . Онда ... ... ... қасиеті бойынша
2). және бар болсын. Онда қасиетінің ... ... және (15) ... ... және бар ... Бұл ... ... бөлшектердің
қасиеті бойынша ның бір ... ... ... ... ... ... 2: Келесі теңсіздік орындалады
(41)
Дәлелдеуі: болғанда , ал болатындай лемма тұжырымы айқын.
үшін егер ... ... егер ... онда бар болады және 1-лемма бойынша үшін
лайықты бөлшектер бойынша
болады.
Үздіксіз бөлшектер ... ... ... ... ... үздіксіз бөлшегінің лайықты бөлшектер тізбегін құрастырайық.
Қасиет бойынша келесі теңсіздік орындалады.
сондықтан қарастырылып отырған үздіксіз ... ... ... ... ... және қойып және осы сандар ... ... ... ... ... онда
Егер болса, онда Егер бар ... және ... ... болатындай етіп таңдалынып алынады. Сондықтан
Қарастырылып ... екі ... қоса ... ... ... ... нақты санына рационалды бөлшектермен жақсы жуықтау
түсінігін енгіземіз.
Егер кез келген бөлшегі ден гөрі дан алыс ... ... ... онда ... ең ... жуықтау деп аталады,
Теорема 1. санының кез келген лайықты ... ға ең ... ... Егер ... онда - ға ең ... ... ... болсын. және ... ... ... ... ... ... және ... ... ... жатады. Егер екі ... ... ... ... онда ... ... қасиеті бойынша нормалды
бөлшектер жұбын тудырады. Онда 4-лемма (І-тарау §1.2) бойынша . ... ... ... ға ... жататын кез келген
бөлшегі және нүктелерінің аралығында жататын болғандықтан
бөлшегі ға ең ... ... ... ... және ... ... ... лайықты
бөлшегі болса, онда (14) және (15) теңдеулеріне сәйкес алатынымыз:
бұдан келесі теңдік шығады.
(42)
мұнда ... үшін оң жағы ... ... ... табылады.
Тез жинақталатын қатарлар көмегімен рационалды бөлшектермен жақсы
дәрежелік жуықтау ретін ... (15) ... саны ... ... келген болғанда
теңсіздігінің сандарында шексіз көп шешімі болса.
кез ... деп ала ... ... ... ... ... бөлшегін анықтайық. Онда (43) теңсіздігінен
болатынын аламыз. Бұдан (28)теңсіздігінен (43) құрылған саны ... ... көп ... ... 2: ... ... функциясы қандай болғанымен
теңсіздігінің шексіз көп ... бар ... ... ... саны бар болады.
Дәлелдеуі:
теңсіздікті қанағаттандаратын кез келген деп, ал қалған элементтерін
рекурентті дей ... (43) ... ... ... ... Онда (42)
теңсіздігін қолдана отырып алатынымыз:
Бұл теорема тұжырымын дәлелдейді.
Теорема 3: Жеткілікті аз ... ... ... шектелген элементі бар ... ... ... сан үшін ... ... болмайды. Кез
келген үшін (44) ... ... ... ... бар ... ... кез келген иррационалды сан үшін
сандарында шексіз көп шешімі ... (43) - ... ... ... ... Онда ... отырған бөлшектің (42) теңсіздігінен алатынымыз:
(45)
және кез ... ... ... ні ... ... ... ең жақсы жуықтау ... онда (45) ... және (14) және (15) ... ... ... шама (46) теңсіздігін кез келген үшін қанағаттандыратын (44)
теңсіздігінің және сандарында шешімі болмайтынын ... ... ... ... Бұл жағдайда кез келген
болғанда ... ... көп мәні ... Онда ... ... көп мәні үшін келксі теңсіздік орындалады.
Бұдан екі жағдайда теореманың тұжырымы шығады. Теорема-1 (§1.1) ... (§2.2) ... ... ... ... толық емесдербес
иррационалды сандардың 2 ге тең рационалды ... ең ... ... реті бар ... ... ... ... диофанттық жуықтау теориясында және сандар теориясының
басқа ... ... ... бар үш аппаратты қарастырған едік.:
Дирихле принципі, ... ... және ... ... ... ... ... үшін ең алдымен үздіксіз бөлшектер немесе Фарей
қатарының аппаратын құру ... егер осы ... ... ... ... теоремасы оңай шешіледі. Дирихле принципі бұл ... ... өте оңай ... ... береді. Бір жағынан ... ... гөрі ... ... қажетті мәндері бар басқа да
қасиеттері болады. Дирихле принципі ... ... ... шешуге мүмкіндік береді. Әрине, осы жағдайда конструкцияның қиын
есептері кезінде Дирихле принципі ... ... ... ... осыған ұқсас екі теорема қарастыратын боламыз.
Кронекер теоремасы
гі , кез ... сан ... ал . ... қанағаттандыратын және де сандары бар
болады.
Дәлелдеуі. гі ... ... ... гі ... ... яғни ... жиынын
(50)
қарастырамыз.
Әрбір координаталық осьтерде жарты ... тең ... Онда ... ... ... аз кубтарына
бөлінеді, яғни координаталары
(51)
шартын қанағаттандыратын нүктелер ... (49) ... ... әрбір нүктесі (50) бірлік кубына жатады. Бірақ (51) кіші кубының жұп
жалпы нүктелері болмайды. Сондықтан (48) ... ... (51) ... ... ... ... (48) барлық нүктелер саны ге
тең, ал (51) ... кіші ... саны -ге тең. Бұл ... ... (51) кіші кубтарына (48) нүктелерінің ең болмағанда біреуі
түседі. Олар келесі нүктелер ... ... (51) кіші ... ... жатса, онда абсалюттік
өлшем бойынша олардың сәйкес айырымдық координаталары ға ... ... ... (49) теңдігіне сәйкес
(53)
-ді
қоямыз. болатыны анық. Онда (53) теңсіздігі келесі түрге келеді.
Соңғы теңсіздіктен (47) ... ... ... теоремасы Дирихле теоремасына келеді. Осылайша
Кронекер теоремасынан оңай түрде ... ... ... ... ... Кронекер теоремасы шарттарында сандарының ... ... онда ... ... ... ... ... жиынды қанағаттандырады.
Теорема 4: , , кез келген сан болсын, ал . ... ... ... бар ... ... барлық (54) сандары нақты болса ... ... ... онда , ал
болады.
Дәлелдеуі: болғанда теорема тұжырымы ... ... Енді ... ... мүмкін мәндерінен бір бірінен тәуелсіз
саны өткендегі (55) түрінің барлық ... ... ... қарастырайық.
Осы шарттармен формальды ерекше формалар
(57)
түрінде болады, ал оның мәндері
(58)
теңсіздігін қанағаттандырады.
тривалды жағдайды алып тастап, екі ... ... ... ... -де ... Онда қарастырылып отырған барлық
формалар мәні ұзындығымен және ... ... ... болады. Осы кесіндіні
(59)
тең бөлшектік кесінділерге ... (57) ... ... ... ... (59) барлық бөлшектік кесінділерден көп. Сондықтан
қарастырылып отырған екі формасынан бөлшектік ... ... ... ... ... ... Егер жұп сан ... онда және
болады. Ал егер тақ сан ... онда ... ... әрқашан
болады.
қояйық. Онда келесі форма үшін
бізде
және
болады.
2). Ең болмағанда сандарының бірі С да ... Онда ... ... ... формалардың мәндері жағы тең
координаталар басында центрімен квадратта жататыны шығады.
(61)
болатындай осы квадраттың жақтарын тең ... ... ... ... ... орындалады.
(62)
Нүкте арқылы параллель квадраттың бөліну жақтарының координаталар осьтеріне
бөлшектік квадраттың алғашқы квадраттарын ... ... (61) ... Бұл ... жартылай квадраттардың саны ... ... ... санынан кіші екенін көрсетеді. Сондықтан (60) екі
әртүрлі ... ... мәні бір ... ... ... ... ... квадраттың диогналынан үлкен болмайды. Осы түрге және ... ... кез ... және ... ... жұп сан болса, онда , ал ... онда ... ... тақ сан болса, онда және (68) ... ... ... ... ... (56) ... аламыз.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі
1. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и транцендентые числа: Учеб.
Пособие. – М.: Изд-во МГУ, ... ... Б. М. ... ... ... институт арналған оқулық-
Алматы : «Мектеп» баспасы, 1970ж.
3. Асенова А. Е. , ... Е. Қ. ... ... ... ... ... ... А. А. Теория чисел. – М.: Изд-во «Просвещение», 1966г.
5. Қ. Жетпісов, Қ. Сексенбаев, А. О. ... ... ... ... ... ... А. О., ... Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории
чисел. – М.: Физматкиз, 1962г.
7. Виноградов И. М. Основы ... ... – М.: ... ... Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Основы ... ... – М.: ... ... ... труды. – М.: Наука, 1973г.
10. Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952.
11. Сушкевич А. К. Теория чисел. – ... ... ... Гос. ... 1954г.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 42 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 100 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
100 көлеміндегі сандарды көбейту мен бөлу20 бет
60-80 жылдардағы ортасындағы Қазақстандағы нақты социализм12 бет
IP желілерде нақты уақыт режимінде ICQ хабарлар алмасу жүйесінде ақпараттық сервистерін іске асыру38 бет
Айғақтарды оқиға болған жерде тексеру мен нақтылау тактикасы5 бет
Бірінші сыныпта он көлеміндегі сандарды оқыту19 бет
Банктердегі арнайы шоттар мен есеп айрысу шотындағы нақты ақша қозғалысы23 бет
Бейсызық физиканың әдістерін нақты радиофизика есептерін шығаруда пайдалану13 бет
Бекітілген үтірлі сандарды тура кодада көбейту11 бет
Бекітілген үтірлі сандарды қосымша кодада қосу9 бет
Екілік кодында берілген екі жылжымалы үтірлі сандарды екі разряд бойынша талдап көбейту17 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь