Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
І.Тарау. Нақты санды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері.
§1.1. Дирихле принципі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
§1.2. Фарей қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
II.ТАРАУ. Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау
§2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және олардың қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
§2.2. Ең жақсы жуықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Кіріспе
Курстық жұмыста нақты сандарды рационал сандармен жуықтау теориясы мен олардың практикада қолданылуы қарастырылады. Кез келген нақты санды алдын ала берілген дәлдікпен рационал бөлшектер арқылы өрнектеуге және де әрбір нақты санды бір ғана үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге мүмкіндік тудырады. Бұл жағынан алғанда үздіксіз бөлшектердің маңызы ондық бөлшектерден кем түспейді. Сонымен қатар үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және негізгі қасиеттері қамтылады. Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық қолданылуымен қатар теориялық маңызы да зор. Олардың әдістері негізінен алғанда сандар теориясында, алгебрада, ықтималдықтар теориясында, тіпті анализ бен механикада да қолданылады. Нақты сандарды рационал сандармен жуықтау сандар теориясы курсын оқу үшін аса қажетті болып табылады.
Курстық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытындыдан тұрады. Бірінші тарауда нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістерінің қолданулары көрсетілген. Екінші тарауда нақты сандардың үздіксіз бөлшектермен жуықталуы, ақырлы және ақырсыз үздіксіз бөлшектер анықтамасы, жазылуы, мәндері және ең жақсы жуықтау әдістері сипатталған.

Пайдаланған әдебиеттер тізімі

1. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и транцендентые числа: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1982г.
2. Оразбаев Б. М. Сандар теориясы. Педагогикалық институт арналған оқулық-Алматы : «Мектеп» баспасы, 1970ж.
3. Асенова А. Е. , Асен. Е. Қ. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
4. Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: Изд-во «Просвещение», 1966г.
5. Қ. Жетпісов, Қ. Сексенбаев, А. О. Башеева. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
6. Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. – М.: Физматкиз, 1962г.
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
8. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
9. Избранные труды. – М.: Наука, 1973г.
10. Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952.
11. Сушкевич А. К. Теория чисел. – Харьков: Изд-во Харьковского Гос. Ун-та, 1954г.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 44 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
І-Тарау. Нақты санды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістері.
§1.1. Дирихле
принципі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
... ... ... ... ..
§1.2. Фарей
қатары ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ..
II-ТАРАУ. Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау
§2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және олардың
қасиеттері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .
§2.2. Ең жақсы
жуықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
... ... ... ... ... .
Қорытынды ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..
Пайдаланған әдебиеттер
тізімі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ..

Кіріспе
Курстық жұмыста нақты сандарды рационал сандармен жуықтау теориясы мен
олардың практикада қолданылуы қарастырылады. Кез келген нақты санды алдын
ала берілген дәлдікпен рационал бөлшектер арқылы өрнектеуге және де әрбір
нақты санды бір ғана үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге мүмкіндік тудырады.
Бұл жағынан алғанда үздіксіз бөлшектердің маңызы ондық бөлшектерден кем
түспейді. Сонымен қатар үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және
негізгі қасиеттері қамтылады. Үздіксіз бөлшектердің таза практикалық
қолданылуымен қатар теориялық маңызы да зор. Олардың әдістері негізінен
алғанда сандар теориясында, алгебрада, ықтималдықтар теориясында, тіпті
анализ бен механикада да қолданылады. Нақты сандарды рационал сандармен
жуықтау сандар теориясы курсын оқу үшін аса қажетті болып табылады.
Курстық жұмыс кіріспеден, екі тараудан және қорытындыдан тұрады.
Бірінші тарауда нақты сандарды жуықтаудың кейбір қарапайым әдістерінің
қолданулары көрсетілген. Екінші тарауда нақты сандардың үздіксіз
бөлшектермен жуықталуы, ақырлы және ақырсыз үздіксіз бөлшектер анықтамасы,
жазылуы, мәндері және ең жақсы жуықтау әдістері сипатталған.

І-ТАРАУ.
НАҚТЫ САНДАРДЫ ЖУЫҚТАУДЫҢ КЕЙБІР
ҚАРАПАЙЫМ ӘДІСТЕРІ.
1.1. Дирихле принципі
Айталық, саны нақты сандар жиынынан алынған сан болсын.
Белгілеп алынған α нақты саны үшін рационал санын қарастырайық,
мұндағы р мына
(1)
айырымының абсолют шамасын анықтау өте маңызды. Нақты сандар ішінде
рационал сандар жиыны тығыз орналасқаны белгілі. Сондықтан (1)-нің шамасын
кез келген алдын ала берілген аз оң нақты саннан кіші етіп алуға болады,
мұндағы p, q сандарын қалауымызша таңдап алынған.
Көбіне (1)-ні бағалау үшін рационал санның бөлімінен тәуелді
функцияны алады, яғни
φ(q) (2)
Бұл теңсіздіктің оң жағындағы функция α нақты санының рационал
санымен жуықталудың ретін көрсетеді.
Егер α санынан және φ(q) функциясынан тәуелді с0 саны табылып, мына
сφ(q) (3)
теңсіздігі үшін р сандары шексіз көп орын алса, онда α нақты саны
рационал санмен жуықталады деп айтады. Ал (3)-ші теңсіздіктің
шешулері ақырлы болса (α), онда α санының ең жақсы рационал
жуықтауы бар деп айтамыз. Бұл жерде с´φ(q) теңсіздігі кез
келген үшін орындалатындай α санымен φ(q) функциясынан тәуелді с´
тұрақтысы табылады.
Көп жағдайларда φ(q) функциясы ретінде
φ(q) = (4)
өрнегін алсақ, онда α санының жуықтауы µ ретті дәрежелік жуықтау деп
аталады. Мұндағы µ және с сандарының әртүрлі мәндерінде (3)-нң ақырлы
немесе ақырсыз шешулер саны болуы мүмкін.
Егер , онда (1) айырымын анықтау оңай шешіледі. болсын.
Егер тек болса, онда
(5)
Бұдан
(6)
теідеуінің кез келген , кезінде шешімі болмайды.
Бір жағынан сандар теориясынан келесі екі айнымалылы анықталған теңдеуінің

х немесе у бүтін сандарында шексіз шешімдері бар болады. Сондықтан (5)
теңсіздігіндегі теңдік белгісі болғанда шексіз көп сандар үшін
орындалады.. Осылайша (6) теңсіздігінің кез келген кезінде
және сандарында шексіз көп шешімі болады.
Әр түрлі нақты сандар үшін рационалды сандармен жуықтау реті әр түрлі
болады. Әрі қарай дегі барлық иррационалдық сандар µ = 2 жуықтау
ретін береді, сонымен қатар олардың арасында жақсы жуықтау ретін беретін
сандар бар болатынын көрсетеді.
Дирихле принципі қарапайым тұжырымға негізделген:
Егер заттарды жәшік бойынша таратсақ, онда болғанда
жәшіктердің ең болмағанда біреуіне екі зат түседі. Тұжырымның
қарапайымдылығына қарамастан, бұл әдіс сандар теориясының әр түрлі
бөлімдеріндегі көптеген қажетті теоремаларды дәлелдеуге мүмкіндік береді.
Дирихле теоремасы.
болсын. Онда келесі теңсіздік орындалатындай
(7)
және бар болады.
Дәлелдеуі: Ең алдымен болсын дейік. және түрінде
санының сәйкес бөлшек және бүтін бөліктері белгіленсін.
(8)
сандарының сандарын қарастырайық. Бөлшек үлесінің қасиеті бойынша
(9)
жарты интервалында ұзындығымен бірдей кіші интервалдарға
бөлейік.
(10)
(9) теңсіздігіне сәйкес (8) теңсіздіктің сандарының әрбіреуі (10) кіші
интервалының біріне жатады. Бірақ (8) сандары тура , ал (10) кіші
интервалы тура болады. Сондықтан (10) жарты интервалдар арасынан
(8) сандарынан екеуін құрайтын жарты интервал табылады. Ол келесі сандар
болсын
,
онда
(11)

деп белгілейік. болатыны анық. Сондықтан (11) теңсіздігінен
қарастырылып отырған жағдайдағы теорема тұжырымы шығатын
, (12)
теңсіздігі шығады. Жалпы жағдайда кез келген нақты сан болғанда
дәлелдеу едәуір қиындай түседі. Онда бүтін санын және үшін
сандарын қарастыру керек. Содан кейін кесіндісін
бөлікке бөлеміз. Бірінші жағдайдағыдай тұжырымдай отырып алатын
теңсіздігіміз
(13)
болады. Осыдан, егер қарастырылып отырған нүктелердің екеуі бөліктік
кесіндіде жатады, .

болғандықтан, онда (13) теңсіздігінен теореманы анықтайтын (12) теңсіздігі
шығады.
Екінші дәлелдеуде болғандағы жағдай бар болатынын ескере кетейік.
Егер ,
болса , онда кез келген және кезінде келесі теңсіздік
орындалады:

Сондықтан кезінде (7) теңсіздігінің тек тривалды шешімі
болады. Сондықтан (7) теңсіздігінің барлық тривалды емес шешімінің
бөлімдері шектеулі. Бұл кезінде Дирихле теоремасы өз бөлімдерімен
рационал сандарды рационал сандар жуықтау жөнінде мәлімет беретін тұжырым
болып табылады.
Егер иррационалды болса, онда өсуімен (7) теңсіздігінің
бөлімдер шешімі де өседі.

мұнда . Онда кез келген және кезінде келесі теңсіздік
орындалады.

Бірақ жеткілікті үлкен кезіндегі соңғы теңсіздік (7) теңсіздігіне
қарама-қарсы. Бұдан , иррационал сан болғанда мүмкін мәні
үшін (7) теңсіздігінің барлық бөлімдер шешімдері шектеусіз.
ескере отырып (7) теңсіздігінен келесі теңсіздікті аламыз.
(14)
Жоғарыда дәлелденгеннен, иррационалдық саны үшін (14) теңсіздігінің
алдын-ала берілген саннан үлкен бөліммен шешімі бар болады.
Теорема 1. Кез келген иррационал саны үшін (14) теңсіздігінің
және сандарында шексіз шешімдері бар.
Бұл теорема барлық иррациолнал сандар рационал сандармен жуықтаудың
дәрежелік реті 2 ге тең екенін көрсетеді. дан кез келген сандармен
жуықтау дәрежелік ретін жіберетін иррационалды сандар бар болады. Мұндай
сандардың мысалын тез жинақталатын қатарлар арқылы құруға болады.
, (15)
Қатардың алғашқы -қосындысын алып,

белгілейік Онда,

Бірақ

Сондықтан

Соңғы теңсіздіктен кез келген кезінде
(16)
теңсіздігінің және сандарында шешімі бар. Бірақ
мәнімен берілген (16) теңсіздігінің әрбір шешімі кез келген дан кіші
мәнімен тағы басқа сол теңсіздіктің шешімі болып табылады. Бұдан кез
келген кезінде (16) теңсіздігінің және сандарында
шексіз көп шешімі бар екені шығады.
1-теоремадан - иррационалды сандарын келесі түрде жазуға болады.
(17)
мұнда бөлімі дегі кез келген емес сан, бірақ қалауымыз
бойынша үлкен қылдырып алуға болады. (17) түріндегі иррационал сандары
сандар теориясында кең қолданылады. иррационалды сандарының
келесідей ондық жіктелуі болсын делік.

Әдетте ны ға жуық санмен ауыстыра отырып, оны ондық
жіктелудің кесіндісіне ауыстырады.
,
белгілейік , онда

Бірақ
,
және сондықтан

Бұдан ауыстыру кезіндегі қателік нен аспайтыны шығады.
ауыстыруы , мұнда (14) теңсіздігінің шешімі болып табылады, дегенмен
қателігі тан аспайды.

1.2. Фарей қатары.
Бұл параграфта рационал бөлшектерді қарастыра отырып, олардың ішінен
оң бөлшектерін аламыз.
екі бөлшектің медиантасы деп бөлшегі аталады Лемма 1. Әр
түрлі екі бөлшектің медиантасы екеуінің әр біреуінен өзгеше және олардың
арасында жатады.
Дәлелдеуі: болсын. Анықтылық үшін дейік. Онда
және шарты бойынша

ал, тұжырымы бойынша теңсіздігі орындалады. Сондықтан

Егер екі бөлшектеі үшін орындалса, онда оларды
бөлшектердің нормалдық жұбы деп атаймыз.
Лемма 2. Егер және бөлшектердің нормалды жұптары болса, онда
олардың әрқайсысы қысқарылмайтын болып табылады.
Дәлелдеуі: Лемма шарты бойынша теңсіздігі орындалады, бұдан
және шығатыны анық.
Лемма 3. Егер және бөлшектердің нормалды жұптары болса, онда
, және жұптардың әр біреуі бөлшектердің нормалды жұптары
болып табылады.
Дәлелдеуі: деп белгілейік. Онда 1-лемма бойынша теңдігі
орындалады. Әрі қарай және бөлшектердің нормалды жұптарына
қарай

ұқсас түрде

Лемма дәлелденді.
Лемма 4: және бөлшектердің нормалды жұптары, ал
келесі теңсіздікті
(18)
қанағаттандыратын қысқармайтын бөлшек болсын. Онда және
болады.
Дәлелдеуі: Лемма шарты бойынша болады. Сондықтан
(19)
бұдан (19) теңсіздігінің екі жағын да ға көбейте отырып
болатынын, немесе
(20)
болатынын табамыз.
Бірақ (18) шартынан теңдігі орындалатыны шығады. Онда
(21)
болады. (20) және (21) теңдігінен және болатынын аламыз.
айырымын қарастыра отырып болатынын дәлелдейміз.
Анықтама: үшін -ретті Фарей қатары деп және
бөлшектерінің арасындағы бөлімдері нен аспайтын қысқарылмайтын дұрыс
бөлшектердің өсу ретімен жасалған жиынды айтамыз.
-ретті Фарей қатарын арқылы белгілейтін боламыз, ал Фарей
қатарын құру қиын емес. Мысалы,

Егер келесі мәндер үшін осы қатарды құра беретін болсақ, онда әр
қадам бойынша есеп қиындай түседі.
Фарей қатарын рекурентті құруға мүмкіндік беретін әдісті көрсетейік
және олардың кейбір қасиеттерін қарастырайық. Өлшемдері өсу ретімен
орналасқан бөлшектер жиынының

рекурентті шексіз жиынын анықтайық.
бөлшегі және екі бөлшектен тұрсын. Әрі қарай, егер
жиыны анық болса, онда келесі түрде анықталады. нен
болатын барлық және көрші бөлшектер жұптарын алайық және олардың
медиантасын ге қосайық. 1-лемма бойынша бұл медианталар
және сәйкес бөлшектер арасында орналасады.
Берілген анықтамадан дегі барлық бөлшектер бөлгіші нен
аспайтыны, ал кез келген 2 көрші бөлшектер бөлгіштердің қосындысы -
ден аз емес екені шығатыны айқын.
Егер жиынын тізбектей құрып отырсақ, онда олар Фарей
қатарымен сәйкес келетінін көруге болады. Енді осы фактының кез келген
кезінде орны болатынын дәлелдейік. Онда Фарей қатарын рекуренттік
құру әдісімен аламыз.
Лемма 5: жиынында кез келген үшін әрбір көрші бөлшектер жұбы
бөлшектердің нормалды жұбы болып табылады.
Дәлелдеуі: Лемманы бойынша индукциямен дәлелдейік. кезінде
тұжырым айқын. Бұл үшін дұрыс деп қабылдаймыз, және ол үшін
де орындалатынын дәлелдейік. ді анықтау бойынша 3 жағдай болуы
мүмкін.
1). және дегі көрші бөлшектер болып табылады. Онда олар
үшін лемма тұжырымы индукция бойынша орындалады.
2). теңсіздігі орындалады, мұнда және дегі екі
көрші бөлшектер, ал бөлшегі және бөлшектерінің
медиантасы болып табылады.
3). теңсіздігі орындалады, мұнда және дегі екі
көрші бөлшектер, ал бөлшегі және бөлшектерінің
медиантасы болып табылады.
Осылайша лемманың тұжырымы мәні үшін орындалады, ал индукция
бойынша барлық мәндер үшін орындалады.
Лемма 6: Кез келген үшін
Дәлелдеуі: ді қарастырайық. кезінде лемма тұжырымы айқын.
болсын . 5-лемма бойынша дегі екі көрші бөлшектердің нормалды
бөлшектер жұбы бар болады. Сондықтан 2-лемма бойынша олар қасқармайды.
анықтау бойынша бұл жиын болғанда ге тең бөлгіштер
қосындысымен -ге тізбектей қосу жолы арқылы алынады, және сондықтан
нен аспайтын бөлімдері бар бөлшектерден тұрады, яғни
және бөлшектерден тұрады және 1-лемма бойынша нен аспайтын
бөлгішімен оң қысқармайтын дұрыс бөлшектерден тұрады. Барлық
осындай бөлшектер құрамына кіретінін дәлелдейік. Онда
анықтау бойынша .
кез келген бөлшек болсын. Егер десек, онда де ,
мұнда және болатындай және екі көрші бөлшектер
табылады. 5-лемма бойынша және бөлшектердің нормалды жұптары
бар болса, онда 3 және 2 –леммалар бойынша болатындай болады,
ал яғни , немесе

немесе

болады.
3-лемма бойынша , және әрбір жұп бөлшектердің нормалды
жұбы бар болса, онда 4-лемма бойынша қарама-қарсы болады.
Алынған қарама-қайшылық дәлелденді.
Салдар: ретті Фарей қатарындағы кез келген екі көрші
бөлшектер нормалды бөлшектер жұбы болады.
Дирихле теоремасын дәлелдеу: кезіндегі жағдайды қарастырған
жеткілікті, кері жағдайда

онда

, ал болсын. - ретті Фарей қатарын қарастырамыз.
-де болатындай және екі көрші бөлшектер табылады.
Онда

немесе

болады.
Сондықтан Фарей қатарының қасиеті бойынша

немесе

Бірақ . Онда

немесе

болады.
Бірінші жағдайда қоямыз, ал екінші жағдайда қоямыз. Сонда
келесі теңсіздік орындалады.

Теорема дәлелденді.
Фарей қатарының көмегімен рационалды бөлшектермен нақты сандарды
жуықтау жөніндегі есептермен байланысты диофанттық жуықтау теориясынан
басқа да теоремалар тізімі дәлелденеді. Олардың дәлелдеулерінде берілген
иррационал санына жеткілікті тез жиналатын Фарей қатарынан тізбекті
бөліп алуға болатын факт қолданылады.
саны болатындай иррационал сан болсын. дегі кез
келген кезінде

болатындай және көрші бөлшектер жұбы табылады.
және сандары өсуімен кемімейтіні анық,
және және тізбектері

болатындай ға оңынан және солынан жақсы жуықтау болып табылады.

ІІ-ТАРАУ.
НАҚТЫ САНДАРДЫ ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРМЕН ЖУЫҚТАУ.
2.1. Үздіксіз бөлшектердің лайықты бөлшектері және олардың негізгі
қасиеттері
Анықтама. Ақырлы үздіксіз бөлшектер деп келесі өрнекті айтамыз:
(1)

сандары үздіксіз бөлшектің элементтері, ал (1) үздіксіз
бөлшегінің ұзындығы деп аталады.
болғанда 0- мүшелі үздіксіз бөлшегі а0 түрінде болады. (1)
үздіксіз бөлшегін тағы да келесі түрде бейнелейді:

Ақырлы үздіксіз бөлшегін төменнен жоғары қарай бөлшегін алдымен
ортақ бөлімге келтіріп одан кейін аударып отырып жиырсақ, онда рационал
сан болады.
Анықтама. Ақырсыз үздіксіз бөлшек деп келесі өрнекті айтамыз:
(2)
сандарын ақырсыз үздіксіз бөлшектің элементтері деп
атайды.
Ақырсыз үздіксіз бөлшек (2) келесі түрмен бейнелейді:

натурал элементтерімен. Ақырлы және ақырсыз үздіксіз
бөлшектердің кластары кеңінен қарасақ, бұлардың элементтері бір немесе
бірнеше айнымалылардың функциялары және комплекс немесе нақты сандар
болып табылады. (2) ақырсыз үздіксіз бөлшектің лайықты бөлшектері деп
ақырлы үздіксіз бөлшектерді айтады.

1-теорема. Кез келген рационал санды ақырлы, ал иррационал санды
ақырсыз үздіксіз бөлшек түрінде көрсетуге болады.
Шынында да, айталық а рационал сан болсын, ға бөліп,
(3)
екенін табамыз. Мұндағы саны дан аспайтын ең үлкен бүтін сан,
яғни екені түсінікті.
(3) теңдікті
(4)
түрінде қайта жазып, ні ге бөлеміз:
(5)
Мұндағы саны ден аспайтын ең үлкен бүтін сан болады, яғни
(5)-ден мәнін тауып, (4)-ге қоямыз.
Сонда
(6)
Енді ді ге бөлеміз:

Мұндағы Бұндан -нің мәнін

Тауып, (6)-ге қойсақ, мынау шығады:
(7)
Тағыда ді ге бөлеміз:

-нің мәнін (7)-ға қойып,
(8)
аламыз.
Бұдан әрі қатынасын тауып,

Жоғарыдағы сияқты, (8) –ге қоямыз және осы процесті соза береміз. Бұл
процесс ақырлы және ол Евклид алгоритмін береді:

Теңдіктер мен теңсіздіктердің саны ақырлы болғандықтан,
міндетті түрде алдыңғысы соңғысына қалдықсыз бөлінетін қалдықтары
шығатынын көрсетеді:

Олай болса, рационал санын көрсететін үздіксіз бөлшек саны
ақырлы толымсыз бөлінділерін ғана қамтиды, яғни

Айталық енді, иррационал сан болсын. а0 арқылы дан
аспайтын ең үлкен бүтін санды белгілейік, яғни сонда
(9)
Мұнда саны нің бөлшек бөлігі және ол иррационал сан
болады, әйтпесе рационал сан болған болар еді. Айтадық нің
бүтін бөлігі болсын, сонда
мұнда (10)
Дәл осы сияқты, егерде нің бүтін бөлігі болса, онда
(11)
Жоғарыдағыдай, төмендегі теңдіктерді табамыз:

(12)
. . . . . . . . . . . . .
Мұндағы иррационал сандар

иррационал сан болғандықтан, сандардың бүтін бөлігін бөлу
процесі шектеулі бола алмайды.
(9), (10), (11) және (12) теңдіктерінен біртіндеп;

табамыз.
Сөйтіп, а үшін ақырсыз үздіксіз бөлшек аламыз. Теорема дәлелденді.
Тағы да ақырлы (1) үздіксіз бөлшегін қайта қарастырамыз. Үздіксіз
бөлшектегі
(13)
Ақырлы үздіксіз бөлшекті (1) үздіксіз бөлшектің -шы ретті лайықты
бөлшегі деп атайды.
(1) үздіксіз бөлшектің n-ретті лайықты бөлшегі осы бөлшекке сәйкес
келеді.
(14)
Әр қарай рекурентті түрде анықтаймыз.
(15)
(15) теңсіздігінен анық түрде мынау шығады немесе
Индукциямен индексі бойынша дәлелдейміз
(16)
болғанда (14) және (15) теңсіздіктерінен мынау шығады:

Айталық, (15) теңсіздігі қандайда бір мәні үшін және ол
мәні үшін де дұрыс.
Теңсіздіктерден
(17)
Осыдан, егер соңғы теңсіздіктің оң жағындағы ны ге
өзгертсек, онда үшін -өрнек шығады.
-дан тәуелсіз (рекурентті құрылымда олар тек арқылы
анықталады), онда

(14) теңсіздігін қолдана отырып мынаны аламыз

Бұл (16) теңсіздігі мағынасы үшін дұрыс, ал индукция бойынша
барлық мағыналары үшін дұрыс. Сонымен, мына теңдіктер орындалады.
(18)
Осындағы немесе (14) және (15) теңсіздіктерімен анықталады.
болғанда
Осымен (1) әрбір ақырлы үздіксіз бөлшек дан алынған сан және
үздіксіз бөлшектің элементтері бойынша оның мәндерін табуға мүмкіндік
береді.
2-теорема. Тетелес үш лайықты бөлшектің алымдары мен
бөлімдері өз ара
(19)
қатысы арқылы байланысады, мұндағы
Шынында да, айталық, ақырлы ақырсыз үздіксіз бөлшек берілсін:
.
Егер болса,

болғандықтан,
Сөйтіп, ... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.