Графтар теориясы


МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...3
I. ГРАФТАР ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ МӘЛІМЕТТЕР ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7
1.1. Тарихи анықтама ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...7
1.2. Графтар теориясының негізгі терминдері және теоремалары ... ... ... ... 14
1.3. Графтағы әртүрлі есептердің сипаты ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...20
II. ТОРЛЫҚ ЕСЕПТІҢ ЭКОНОМИКАЛЫҚ ҚОЙЫЛУЫ ... ... ... ... ... ... ... 21
2.1. Есептің торлық ұсынылуы және торлық модельдерді құру ережелері ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21
2.2. Ең кіші жолды табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .24
2.3. Бір торлық есепті шешу үшін динамимкалық программалау әдісі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.4. Рационалды тасымалдап . жинақтау маршруттарын анықтау алгоритмі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 36
III. Графтағы ең кіші ара қашықтықты анықтау программасы ... ... ... ... ...48
3.1. Торлық транспорттық есептің қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..48
3.2. Әдістің және есептеу алгоритмінің сипаты ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..49
3.2.1. Бірінші кезең: Ара қашықтықтың алғашқы кестесін құру ... ... ... ... ... .50
3.2.2. Екінші кезең: и анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50
3.2.3. Үшінші кезең: Ең кіші жолдың ұзындығын табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..50
3.2.4. Төртінші кезең: Ең кіші жолды табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..52
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .54
ҚОСЫМША 1 Жаттығулар
ҚОСЫМША 2 Ең кіші ара қашықтықты табу туралы есептің программасы
КІРІСПЕ
Дискреттік программалау – ол ақырлы жиындар мен бүтін сандық торларда экстремальдық есептерді зерттейтін математикалық программалаудың бір бөлімі. Математиканың өз ішінді дискреттік программалау мәселесі, оны «дискреттік және бүтін сандық» математикамен (сандар теориясы, дискреттік талдау, математикалық логика, графтар теориясы, комбинаторлық талдау) жақындастыра түседі [1 - 3].
Экономиканың, басқарудың, жоспарлаудың және әскери істердің көптеген есептері дискреттік программалау терминдері арқылы тұжырымдалады. Мысалы: өнеркәсіпті орналастыру мен мамандандыру есебі, ауылшаруашылық есептері және тағы басқалар.
Дискреттілік және бүтін сандық сонымен қатар логикалық шарттары бар есептерде де пайда болады.
Дискреттілік пен бүтін сандықтың тиімдестіру есептерінде пайда болуының бірнеше мысалын қарастырайық[3, 4 - 6]:
а) факторлардың физикалық тұрғыдан бөлінбеушілігі: мысалы, 1,5 домна пешін тұрғызуға немесе 3,8 ұшақ сатып алуға болмайды. Әдетте бүтін сандық программалау есептері келесі түрде қойылады:
(1)
функциясының максималды мәнін келесі шарттарды қанағаттандыратындай етіп табу керек.
(2)
(3)
бүтін сандар (4)
б) комбинаторлық есептер (яғни, ақырлы жиындардағы есептер). Мысалы кезбе саудагер туралы есеп (коммивояжер есебі). Комбинаторлық есептің тағы бір мысалы, ол көпке белгілі кесте теориясының есебі (күнтізбелік жоспарлау есебі). Тағы да бір өте қажетті мысал: әртүрлі өнім өндіретін
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ
1. Белов Теория Графов, Москва, «Наука»,1968.
2. Новые педагогические и информационные технологии Е.С.Полат, Москва, «Akademia» 1999 г.
3. Кузнецов О.П., Адельсон-Вельский Г.М. Дискретная математика для инженера. – М.: Энергоатомиздат, 1988.
4. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. – М.: Наука, 1990.
5. Нефедов В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математики. – М.: Издательство МАИ, 1992.
6. Оре О. Теория графов. – М.: Наука, 1980.
7. Исмагилов Р.С., Калинкин А.В. Матеpиалы к пpактическим занятиям по куpсу: Дискpетная математика по теме: Алгоpитмы на гpафах. - М.: МГТУ, 1995
8. Смольяков Э.Р. Введение в теоpию гpафов. М.: МГТУ, 1992
9. Hечепуpенко М.И. Алгоpитмы и пpогpаммы pешения задач на гpафах и сетях. - Hовосибиpск: Hаука, 1990
10. Романовский И.В. Алгоpитмы pешения экстpемальных задач. - М.: Hаука, 1977
11. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. - М.: Мир, 1988
12. Севастьянов Б.А. Вероятностные модели. - М.: Наука, 1992
13. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. - М.: Изд-во РУДН, 1994
14.Вентцель Е.С. «Исследование операций» М.: Сов.Радио 1972 г.
15.Захаров В.Н. «Алгоритмические методы решения задач оптимального планирования и управления» ВАД. 1986 г.
16.Зубов В.С. «Программирование на языке Turbo Pascal» М.: Филин 1997 г.

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 50 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1100 теңге




МАЗМҰНЫ
КІРІСПЕ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3
I. ГРАФТАР ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ
МӘЛІМЕТТЕР ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ..7
1.1. Тарихи
анықтама ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... .7
1.2. Графтар теориясының негізгі терминдері және
теоремалары ... ... ... ... 14
1.3. Графтағы әртүрлі есептердің
сипаты ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ..20
II. ТОРЛЫҚ ЕСЕПТІҢ ЭКОНОМИКАЛЫҚ ҚОЙЫЛУЫ ... ... ... ... ... ... ... 21
2.1. Есептің торлық ұсынылуы және торлық модельдерді құру
ережелері ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21
2.2. Ең кіші жолды табу
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ...24
2.3. Бір торлық есепті шешу үшін динамимкалық программалау
әдісі ... ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..27
2.4. Рационалды тасымалдап – жинақтау маршруттарын анықтау
алгоритмі ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 36
III. Графтағы ең кіші ара қашықтықты анықтау
программасы ... ... ... ... ...48
3.1. Торлық транспорттық есептің
қойылымы ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...48
3.2. Әдістің және есептеу алгоритмінің
сипаты ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... .49
3.2.1. Бірінші кезең: Ара қашықтықтың алғашқы кестесін
құру ... ... ... ... ... .50
3.2.2. Екінші кезең: и
анықтау ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... 50
3.2.3. Үшінші кезең: Ең кіші жолдың ұзындығын
табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50
3.2.4. Төртінші кезең: Ең кіші жолды
табу ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...50
ҚОРЫТЫНДЫ ... ... ... ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..52
ПАЙДАЛАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР
ТІЗІМІ ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... 54
ҚОСЫМША 1 Жаттығулар
ҚОСЫМША 2 Ең кіші ара қашықтықты табу туралы есептің программасы

КІРІСПЕ
Дискреттік программалау – ол ақырлы жиындар мен бүтін сандық торларда
экстремальдық есептерді зерттейтін математикалық программалаудың бір
бөлімі. Математиканың өз ішінді дискреттік программалау мәселесі, оны
дискреттік және бүтін сандық математикамен (сандар теориясы, дискреттік
талдау, математикалық логика, графтар теориясы, комбинаторлық талдау)
жақындастыра түседі [1 - 3].
Экономиканың, басқарудың, жоспарлаудың және әскери істердің көптеген
есептері дискреттік программалау терминдері арқылы тұжырымдалады. Мысалы:
өнеркәсіпті орналастыру мен мамандандыру есебі, ауылшаруашылық есептері
және тағы басқалар.
Дискреттілік және бүтін сандық сонымен қатар логикалық шарттары бар
есептерде де пайда болады.
Дискреттілік пен бүтін сандықтың тиімдестіру есептерінде пайда
болуының бірнеше мысалын қарастырайық[3, 4 - 6]:
а) факторлардың физикалық тұрғыдан бөлінбеушілігі: мысалы, 1,5 домна
пешін тұрғызуға немесе 3,8 ұшақ сатып алуға болмайды. Әдетте бүтін сандық
программалау есептері келесі түрде қойылады:

(1)
функциясының максималды мәнін келесі шарттарды қанағаттандыратындай етіп
табу керек.

(2)

(3)
бүтін
сандар (4)
б) комбинаторлық есептер (яғни, ақырлы жиындардағы есептер). Мысалы
кезбе саудагер туралы есеп (коммивояжер есебі). Комбинаторлық есептің
тағы бір мысалы, ол көпке белгілі кесте теориясының есебі (күнтізбелік
жоспарлау есебі). Тағы да бір өте қажетті мысал: әртүрлі өнім
өндіретін кәсіпорынның мамандануының қарапайым есебін
қарастырайық. Әрбір өнімнен сәйкесінше - нен кем емес өнім өндіру
керек. Әрбір кәсіпорын өнім өндіруге арналған және -
өнімнің нұсқасы кәсіпорын үшін өндірудің келесі
көрсеткіштерімен сипатталады: барлық өнім түрлерінен сәйкесінше
мөлшерде; келтірілген шығындар .
Шығын көлемі ең аз болатындай етіп, барлық өнім түрлерінің
қажеттіліктерін қанағаттандыру керек.

айнымалысын енгізе отырып, математикалық моделін жазамыз.

(5)
функциясын

(6)

(7)

(8)
- бүтін
сандар, (9)
шарттарын қанағаттандыра отырып минимизациялау керек.
Дискреттік программалау есептерін шешу барысында бірқатар
қысқартылған тәсілдер қолданылуы мүмкін:
1) (1) – (4) бүтін сызықтық программалау есебінің орнына, оған сәйкес
келетін (1) – (3) сызықтық программалау есебін шешу керек;
2) толық алмастыру;
3) (1) – (4) бүтін сызықтық прогаммалау есебінің орнына, оған сәйкес
келетін (1) – (3) сызықтық программалау есебінің шешімін өзіне жақын
болатын бүтін санға жуықтау арқылы шешу керек.
Бірінші тәсіл шешімнің бүтіндігіне кепілдік бермейді. Екінші тәсіл
өлшемі үлкен есептер үшін өте қиын. Үшінші тәсіл дәл шешімнен ауытқып
қана қоймай, сонымен бірге мүмкін болатын шешімдер жиынынан шығып кетуі
мүмкін.
Сонда да осы қысқартылған тәсілдер дискреттік программалау есептерін
шешудің қима, комбинаторлық, жуық әдістерінің негізін қалайды.
Дискреттік программалаудың пайда болуын, қима әдісінің негізін
ұсынған Данцигтің, Фалкерсонның және Джонсонның еңбектерімен
байланыстырады. Бірақ, дискреттік программалаудың нағыз дамуы, қима
әдісінің алгоритмін алғаш рет ұсынған Гоморидің еңбегінен кейін басталды.
Дискреттік программалауға Ю. Финкельштейннің бүтін бір монографиясы
арналды.
Торлық әдістің пайда болуына дейін программаның күнтізбелік
жоспарлануы іске асырылды. Осындай жоспарлаудың көпке белгілі құралы,
уақыттың көлденең шкаласында әрбір амалдың басы және соңының уақытын
беретін сызықтық график Ганта. Қазіргі заманғы программалардың
күрделілігінің жоғарылауына байланысты программаны іске асырудың барлық
процесін тиімділеуді қамтамасыз ететін, жоспарлаудың ең айқын және тиімді
әдістерін өңдеу қажет етілді. Сонымен қатар тиімділік қорларды қолданудың
экономикалық факторларының есебі мен программаның ұзақтығының
минимизациясы түрінде түсіндіріледі.
Программалармен ұйымдық басқару екі аналитикалық әдіс, құрылымдық
және күнтізбелік жоспарлауды өңдеу арқасында теориялық және қолданбалы
зерттеудің жаңа аймағы болды. Бұл әдістер 1956 – 1958 жылдары ең кіші ара
қашықтық есебімен зерттелген.
Графтар теориясы математика пәні ретінде Эйлермен оның Кенигсберг көпірі
туралы әйгілі талқылауында салынды. Бірақ Эйлердің бұл мақаласы 1736 жылы
жүз жылдың ішінде жалғыз болды. Графтар теориясының мәселесіне қызығушылық
өткен жүз жылдың ортасында жандандырылды және Англияда топталды. Графтар
теориясының бұлай жандандырылыуы үшін көптеген себептер болды. Электр
тізбегін, кристалдар моделін, молекулалар құрылымын зерттеудің арқасында
жаратылыс ғылымдары өз әсерлерін тигізді. Формальды ойлаудың дамуы графтар
теориясында бинарлық қатынасты үйренуге әкелді. Осы есептердің ішіндегі ең
атақтысы – 1850 жылы математиктердің алдында Де Морганмен қойылған төрт
бояу мәселесі. Графтар теориясы облысында ешқандай мәселе көп және күрделі
жұмыстар тудырған жоқ.
Осы жүз жылдың соңғы оныншы – жиырмасыншы жылдарында қарқынды
жоспардағы жаңа дәуіріне енген графтар теориясының ауытқымай дамуының
куәгері болды. Бұл программалау, хабарламаларды жіберу теориясы, электр
желісі және түйіскен тізбектер, сонымен қатар психология және биология
мәселелерін қамтиды.
Бұл дипломдық жұмыс үш тараудан тұрады: 1) Графтар туралы негізгі
мәліметтер; 2) Торлық есептің экономикалық қойылым; 3) Графтағы ең кіші
ара қашықтықты анықтау программасы. Бірінші тарауда: тарихи анықтамалар,
графтар теориясының негізгі терминдері және теоремалары; Екінші тарауда:
Есептің торлық ұсынылуы және торлық модельдерді құру ережелері, ең кіші
жолды табу, бір торлық есепті шешу үшін динамимкалық программалау әдісі,
рационалды тасымалдап – жинақтау маршруттарын анықтау алгоритмі, торлық
бөлшек – сызықтық транспорттық есептерді шешу алгоритмдері, транспорттық
есеп; Үшінші тарауда: торлық транспорттық есептің қойылымы, әдістің және
есептеу алгоритмінің сипаты, бірінші кезең: ара қашықтықтың алғашқы
кестесін құру, екінші кезең: и анықтау, үшінші кезең: ең кіші
жолдың ұзындығын табу, төртінші кезең: ең кіші жолды табу қарастырылады.

I. ГРАФТАР ТУРАЛЫ НЕГІЗГІ МӘЛІМЕТТЕР
1.1. Тарихи анықтама
Графтар теориясы – бұл ерекшелігі объектілерді зерттеуге геометриялық
жақындау болатын дискреттік математика облысы. Графтар теориясы қазір
өркендеуде. Әдетте оны топологияға жатқызады, бірақ ол жиындар теориясының,
комбинаторлық математиканың, алгебраның, геометрияның, матрицалар
теориясының, ойындар теориясының, математикалық логика және математика
пәнінен басқа да көптеген бөлімдерімен қиылысады[1].
Төбелері мен оларды қосып тұрған доғалар жиынын граф деп атайды.
Бағытталған доғалары бар графтарды тор деп атайды.
Графтар теориясының алғашқы есептері математикалық ойын – сауық
есептердің шешуімен байланысты. Графтар теориясының алғашқы нәтижелерінің
бірі Кенигсберг көпірі туралы есепті шешу кезінде Л. Эйлермен алынған
қайталаусыз графтың барлық қабырғаларын тексеріп шығудың болу критерилері
болды. 1736 жылы 13 наурыздағы Эйлердің хатынан үзінді: “Маған Кенигсберг
қаласында орналасқан арал туралы есеп ұсынылды, одан жеті көпір өтеді. Бір
адамның әрбір көпірден бір рет өтіп, үздіксіз олардың барлығынан өту
мүмкіндігі сұралады. Дәл осы жерде маған оны әлі ешкім жасай алмағандығы
хабарланды, бірақ ешкім дәлелдеген жоқ, бұл мүмкін емес. Бұл сұрақ
түсініксіз болса да, маған оны шешу үшін геометрия, алгебра, комбинаторлық
өнер қажет емес болғанымен назар аударуды қажет ететін болып көрінді. Көп
ойланғаннан кейін мен дәлелденген дәлелдемеге негізделген жеңіл ережені
таптым, оның көмегімен осындай барлық есептерде кез келген сан арқылы және
қалай болса солай орналасқан көпірлер арқылы айналып шығу мүмкін бе немесе
жоқ па екендігін анықтайды”. Кенигсберг көпірлерін схема түрінде былай
бейнелеуге болады:
Эйлер ережесі
1. Тақ дәрежелі төбесі жоқ графта графтың кез келген төбесінен
басталатын барлық қырларды аралап шығу болады.
2. Тек қана екі тақ дәрежелі төбесі бар графта басы тақ дәрежелі төбенің
біреуінде және соңы басқада болатын айналып шығу бар.

3. Екіден көп тақ дәрежелі төбесі бар графта айналып шығу болмайды.
Графтарда бойлай саяхатпен байланысты тағы бір есеп бар. Әрбір төбеден
бір рет өтетін жолды іздеу қажет етілетін есептер туралы айтылады. Әрбір
төбеден тек қана бір рет өтетін цикл гомильтонды сызық деп аталады.
Өкінішке орай, берілген граф гомильтонды екендігін анықтауға болатын және
егер болса, онда осындағы барлық гомильтонды сызықтарды табуға болатын
жалпы критерий табылмаған.
XIX ғасырдың ортасында тұжырымдалған төрт бояу мәселесі ойын – сауық
есебі сияқты, бірақ оны шешу үшін әрекет теориялық және қолданбалы мәндері
бар кейбір графтарды зерттеуге әкелді. Төрт бояу мәселесі былай
тұжырымдалады: “Кез келген картаның облысын кез келген екі көршілес
облыстары әртүрлі түстерге боялатындай төрт түспен бояуға бола ма?”Жауап
мақұлданғаны туралы болжам XIX ғасырдың ортасында тұжырымдалды. 1890 жылы
әлсіз тұжырым дәлелденді, кез келген жазық карта бес түске боялады. Кез
келген жазық картаға оған екі еселенген жазық графты салыстырып, графтар
терминінде эквивалентті тұжырымды алады: кез келген жазық графтың
хроматикалық кіші екендігі дұрыс па әлде төртке тең бе? Есепті шешудің
көптеген әркеттері графтар теориясына бағытталған қатардың дамуына әсерін
тигізді. 1976 жылы дербес компьютердің қолданылуымен есептің оң шешімі
табылды.
1917 жылы Генри Э. Дьюдени оған мынандай тұжырым берді. Суретте
бейнеленген әрбір үш үйден газ, жарық және суды өткізу қажет.

жарық су газ

Қатынастарды бір – бірімен қиылыспай, әрбір үйді электр, газ және суды
қайнар көздерімен қосылуы үшін осылай қоюға бола ма? Басқаша айтқанда
көрсетілген алты нүктеде төбелері бар жазық граф құруға бола ма? Мұндай
графты құруға болмайды екен. Бұл туралы Куратов теоремасы деп аталатын –
маңызды теоремалардың бірінде айтылады. Теорема жазық емес әрбір граф екі
қарапайым кеңістіктік графтардың біреуінің ішкі графы ретінде
мазмұндалатындығын тұжырымдайды:

XIX ғасырда практикалық есептерді шешу кезінде графтар теориясына
қатысты нәтижелер алынатын жұмыстар пайда болды. Мысалы, Г. Кинхгоф токтар
және электрлік схемада қуат үшін теңдеудің толық жүйесін құру кезінде
графтардың осындай схемасын ұсынуды және осы графта қалған ағаштарды табу
ұсынылды. А. Кэли шекті көмірсутектердің изомерлерінің санын санау есебінен
шығып, берілген қасиеттермен басқаратын ағаштарды сипаттау және санау
есептеріне келді және олардың кейбіреулерін шешті.
XX ғасырда графтарға байланысты есептер физикаға, химияға, биологияның
электротехникасына, экономикаға, социологияға ғана емес және математиканың
ішінде топология, алгебра, ықтималдықтар теориясы, сандар теориясы сияқты
бөлімдерінде пайда бола бастады. XX ғасырдың басында графтар кейбір
математикалық объектілерді ұсыну және әртүрлі дискретті есептердің
формальды қойылуы үшін қолданыла бастады; сонымен қатар “граф” терминдер
қатарында басқа терминдер қолданылады, мысалы, карта, комплекс, диаграмма,
тор, лабиринт. Д. Кениг монографиясы 1936 жылы жарыққа шыққаннан кейін
“граф” термині басқаларға қарағанда ең көп қолданылатын болды. Бұл жұмыста
сол уақытта әйгілі фактілер жүйелендірілді. 1936 жылы Ойстен Ордың графтар
теориясына элементар кіріспесі мазмұндалатын кішкене кітапшасы шықты. 1962
жылы Англияда француз математигі Клод Бердждың “Графтар теориясы және оның
қосымшасы” кітабы шықты. Екі кітап та математикамен шұғылданатын
жанкүйерлер үшін назар аудартады.
XX ғасырдың жиырмасыншы – отызыншы жылдарында графтар теориясына жаңа
бағыттың қатарының қалыптасуына әкелген, графтардың симметриясына,
жоспарлануға, байланыс қасиеттерін үйренуге қатысты алғашқы нәтижелер пайда
болды.
Қырықыншы жылдардың аяғы елуінші жылдардың басында графтар теориясы
бойынша зерттеулер едәуір кең таралды, алдымен есептеу техникасы және
кибернетика дамыды. Есептеу техникасының дамуының, күрделі кибернетикалық
жүйелерді үйренудің арқасында графтар теориясына назар аударылды, графтар
теориясының мәселесі маңызды образбен толықтырылды. Сонымен қатар дербес
компьютерді қолданумен шешімге берілмеген есептеудің көп мөлшерімен
байланысты практикада болатын нақты есептерді шешуге мүмкіндік берді.
Графтар теориясының экстермальды есептерінің қатары үшін оларды шешу
әдістері өңделді, мысалы, осындай әдістердің біреуі тор арқылы максимал
ағынды құру туралы есепті шешуге мүмкіндік береді. Бұрын зерттелген
графтардың жеке кластары үшін кейбір есептердің графтар үшін шешімі
жуықталған графтарға қарағанда осы кластардан оңай табылады.
Графтар теориясының мәселесін сипаттап, кейбір бағыттар комбинаторлық
сипат, басқалары – геометриялық сипат таситындығын ерекшелеуге болады.
Біріншіге мыналар жатады, мысалы, тағайындалған қасиеттерімен графтарда
атап өту және санау есептері, қасиеттері берілген графтарды салу туралы
есептер. Геометриялық сипат графтар теориясы есептерінің көптеген циклдарын
тасиды, мысалы, айналып шығу графтары, қалау графтары. Графтардың әртүрлі
классификациясымен байланысты бағыттар бар, мысалы, оларды жіктеу қасиеті
бойынша.
Қасиеті тағайындалған графтардың болуы туралы нәтиженің мысалы, кейбір
графтардың төбелерінің деңгейлермен жүзеге асу критериінің саны: қосындысы
жұп болатын бүтін сандар жиыны, графтың төбелерін деңгейлермен қысқа
қыр және тұзақсыз жүзеге асыруға болады, егер кез келген үшін
шарты орындалса.
Қасиеттері берілген графтарды санау туралы есептің мысалы қырлар және
төбелерінің саны бірдей изоморфты емес графтардың санын табу туралы есеп
болады.
төбелері бар изоморфты емес ағаштардың саны үшін асимтотты
формула алынды

Тұзақсыз изоморфты емес графтардың саны және төбесі бар
еселі

қырлар үшін көрсетілді.
Жалпы сипатты таситын мәселелердің қатарында графтар теориясында есептің
арнайы циклдары бар. Олардың біреуінде графтардың байланыстылығының әртүрлі
қасиеттері зерттеледі, байланыстың қасиеттері бойынша графтарды салу
зерттеледі. Байланыс желісінің, электрлі схеманың, коммуникациялық тордың
сенімділігін талдау кезінде графтың әртүрлі төбелерін біріктіретін,
қиылыспайтын тізбектер санын табу туралы есептер пайда болды. Мұнда
нәтижелер қатары алынған. Мысалы, графтың екі аралас емес төбелерін бөліп
тұратын төбелердің ең аз саны осы жұбын біріктіретін қиылысатын қарапайым
тізбектердің ең үлкен санына тең. Графты байланыстыратын шамаларды
орнатудың тиімді алгоритмдері құрылды және критериі табылды.
Басқа бағыттағы графтар теориясын зерттеуде графтың қырлары немесе
барлық төбелері бар маршруттар оқытылады: барлық қырлары бар және әрбір
қырдан бір рет өтетін байланысқан графта цикл болады, графтың барлық
төбелерінің жұп деңгейлері болғанда. Графтың төбелер жиынын аралап шығу
жағдайында графтың барлық төбелерінен бір рет өтетін циклдың болуының тек
қана жеткілікті шартының қатары болады. Графты бояумен байланысты
анықталған қасиеті бар, (қыр) төбелер жиынының бөлшектенуі оқытылатын,
мысалы, аралас төбелер (қыр) әртүрлі жиындарға жатуы керек есептердің циклы
графтар теориясының арнайы сипаттамалық бағыты болады. Түстердің ең аз саны
максимал деңгейлі кез келген тұзақсыз графтың қырларын бояу үшін
жеткілікті тең, ал кез келген тұзақсыз графтың төбесін және еселі
қырларын бояу үшін түс жеткілікті.
Есептің басқа да циклдары бар, олардың кейбіреулері математиканың
әртүрлі бөлімдерінің әсерімен қосылды. Топологияның әсерімен әртүрлі
кеңістікте графтарды енгізу өңделеді. Мысалы, жазықтықта графты енгізудің
қажетті және жеткілікті шарты алынды: граф жазық болады, егер ол бес төбелі
графтан қырларды бөлу көмегімен алынатын графтардан тұрса. Алгебраның
әсерімен графтардың автоморфизмдерінің топтары оқытылды. Әрбір соңғы топ
кейбір графтың автоморфты тобына изоморфты екендігі дәлелденді.
Ықтималдықтар теориясының әсері кездейсоқ графтарды зерттеуде айтылды.
Көптеген қасиеттер “барлық” графтар үшін оқытылды; мысалы, барлық графтар
төбелермен байланысқан, диаметрі екі, гамильтонды циклға ие
болатындығы көрсетілді.
Графтар теориясында экстремальды есептерді шешудің арнайы әдістері бар.
Олардың біреуі төбесінен төбесіне тор арқылы өткізуге болатын
максимал ағын және төбелерін бөлетін қималардың минимал өту
қабілеттілігіне тең екендігін тұжырымдайтын, минимал қима және максималды
ағын туралы теоремаға негізделген. Максимал ағынды табудың әртүрлі тиімді
алгоритмдері құрылған.
Графтар теориясында алгоритмдік сұрақтар үлкен мәнге ие. Ақырлы графтар
үшін, қырлар және төбелердің ақырлы жиын болатын графтар үшін, ереже
бойынша, есепті шешудің алгоритмінің бар болу мәселесі, соның ішінде
экстремальды, оң шешіледі. Ақырлы графтармен байланысты көптеген есептерді
шешудің әртүрлі нұсқаларының толық жиналуының көмегімен орындалуы мүмкін.
Бірақ, осындай әдіспен тек қана төбелер және қырларының саны көп емес
графтар үшін есепті шешуге болады. Сонымен графтар теориясы үшін маңызды
мән нақты және жуық шешімді табатын тиімді алгоритмдерді құрады. Кейбір
есептер үшін мұндай алгоритмдер құрылған, мысалы, максимал ағынды табу,
изоморфты ағашты анықтау, графтың жоспарлануын орнату үшін.
Графтар теориясының әдістері және нәтижелері тасымалдау туралы
транспорттық есепті шешу кезінде, тағайындау туралы есептің тиімді шешімін
табу үшін қолданылады. Жоспарлау және жобаны өңдеу кезінде, жүктерді
тасудың тиімді маршрутын құру кезінде, сонымен қатар программалауда,
әртүрлі дискреттік құралдарды құруда күрделі технологиялық процестерді
модельдеу кезінде “тар орындарды” белгілеу үшін қолданылады.

1.2. Графтар теориясының негізгі терминдері және теоремалары
1. Граф - объектілерінің жұбы, - ақырлы жиын, ал -
тура туындының ақырлы жиыны. Сонымен қатар төбелер жиыны деп
аталады, ал - графының доғалар жиыны.
2. Нүктелердің кез келген ақырлы жиыны (төбе), олардың бағытталған жұп –
жұбымен біріктірілгендерін, граф ретінде қарастыруға болады.
3. Егер жиынында барлық жұптар реттелген болса, онда мұндай граф
бағытталған граф деп аталады.
4. Доға – бағытталған графтың қыры.
5. Граф азғындалған деп аталады, егер оның қыры болмаса.
6. төбесі қырына инцидентті деп аталады, егер қыр осы
төбені төбенің қандай да бір доғасымен біріктірсе.
7. графы графының ішкі графы деп төбелер жиыны және
қырлар (доға) жиыны бар графтар аталады, - дің әрбір қыры(доға)
- дің төбелеріне инцидентті. Басқаша айтқанда ішкі графтар алғашқы
графтың кейбір төбелерінен және қырларынан тұрады.
8. Екі соңғы - ға жататын, тек қана сол қырлары бар, төбелер жиыны
болатын ішкі граф төбелер жиынымен туындаған, ішкі граф деп
аталады.
9. Ішкі граф қалдық ішкі граф деп аталады, егер оның төбелер жиыны
графтың төбелер жиынына сәйкес келсе.
10. Төбелер аралас деп аталады, егер оларды біріктіретін қырлар бар
болса.
11. және екі қыр аралас деп аталады, егер бір мезгілде
және инцидентті төбе бар болса.
12. Әрбір графты қырларға сәйкес келетін сызықтармен біріктірілген,
төбелерге сәйкес келетін нүктелер жиынының кеңістігінде ұсынуға болады –
мұндай ұсыну графтың тегістелуі деп аталады.
13. Үш өлшемді кеңістікте кез келген графты тегістеу ретінде ұсынуға
болатындығы дәлелденді, сонымен, қырларға сәйкес келетін сызықтар ішкі
нүктелерде қиылыспайды. Екі өлшемді кеңістік үшін бұл мүлдем дұрыс емес.
Екі өлшемді кеңістікте тегістеу ретінде ұсынуға болатын графтар жазық деп
аталады. Басқаша айтқанда, қырлары қиылыспайтын болып жазықтықта бейнеленуі
мүмкін граф жоспарланған деп аталады.
14. Графтың қырларымен шектелген жазықтық кейбір жазықтықта бейнеленген
графтың жағы деп аталады.
Берілген жақ ұғымы, маңызы бойынша, көпжақты жақ ұғымына сәйкес келеді.
Бұл жағдайда жазықтық ретінде көпжақтың жазықтығы шығады. Егер көпжақ дөңес
болса, барлық жақтарды сақтап, оны жазықтықта бейнелеуге болады. Бұны
келесі әдіспен ұсынуға болады: көпжақтың бір жағын созамыз, ал көпжақтың
өзін осы жақтың ішінде толық орналасатындай жіңішкелейміз. Нәтижесінде
жазық граф аламыз. Біз созған жақ “жоғалады”, бірақ оған графты шектейтін,
жазықтықтың бөліктерінен тұратын жақ сәйкес келеді.
Сонымен, төбелер қырлар және көпжақтың жақтары туралы айтуға болады.
15. Қыры жоқ граф бос деп аталады. Әрбір екі төбесі аралас граф толық
деп аталады.
16. Міндетті емес әртүрлі қырлардың ақырлы тізбегі
ұзындықтың маршруты деп аталады, егер төбелері әртүрлі болуы міндетті емес
тізбегі бар болса.
17. Сәйкестілік болса, онда маршрут тұйықталған.
18. Барлық қырлары әртүрлі жұпты маршрут тізбек деп аталады.
19. Барлық қырлары тұйық маршрут цикл деп аталады. Егер тізбектің немесе
циклдың барлық төбелері әртүрлі болса, онда мұндай тізбек немесе цикл
қарапайым деп аталады.
20. Барлық төбелері әртүрлі жақты маршрут қарапайым тізбек деп аталады.
21. Бірінші немесе соңғысынан басқа барлық төбелері әртүрлі жұпты цикл
қарапайым цикл деп аталады.
22. Граф байланысқан деп аталады, егер кез келген екі төбе үшін осы
төбелерді біріктіретін жол болса.
23. графының кез келген максимал байланысқан ішкі графы
компонентті байланыс деп аталады.
24. Граф - байланысқан деп аталады, егер - дан аз емес
төбелерді өшіру байланыстылықтың қасиетін жоғалтуға әкелсе.
25. Графтың барлық төбелерінен және қырларынан тұратын және белгілі
қасиеттері бар маршрут графтың айналма жолы деп аталады.
26. Маршруттың ұзындығы қырының жүру санына тең. графында
және төбелерін біріктіретін қарапайым ең кіші тізбектің
ұзындығы және арасындағы ара қашықтығы деп аталады.
27. Төбе деңгейі - төбесі инцидентті қырлар саны
белгіленеді.
Әртүрлі амалдардың көмегімен қарапайымдардан граф құруға, графтан
қарапайымға өтуге, графтарды қарапайым графтарға бөлуге болады.
Бір орынды амалдардың ішінде ең көп қолданылатыны төбе немесе қырларды
қосу және өшіру, қырлардың бөлінуі.
Екі орынды амалдар белгілі: біріктіру, қосу, графтардың көбеюінің
әртүрлі түрлері.
28. екі граф изоморфты деп аталады, егер және төбелер
жиынының арасында және және қырлар жиынының арасында өзара бір
мәнді сәйкестілік болса.
Графтар үшін изоморфизм ұғымының көрнекі түсіндірмесі бар. Графтың
қырларын төбелердің түйіндерін біріктіретін оралымды жіп деп ойлайық. Онда
изоморфизмді түйіндер орын ауысуы және жіптердің созылуы ретінде ұсынуға
болады.
Теорема 1. графы берілсін, - төбелер жиыны, - қырлар
жиыны, онда қырлардың екі еселенген саны төбелердің дәрежесінің
қосындысына тең.
Теорема 2. Ақырлы графта дәрежесі тақ төбелер саны жұп.
Теорема 3. Әрбір қырдың екі шекаралық нүктелері бір ғана жиында
болатындай оның төбелер жиынын екі бос емес ішкі жиындарға бөлуге болмайтын
жағдайда граф байланысады.
Байланысқан графтың екі төбесінің арасындағы ара қашықтық деп осы
төбелерді байланыстыратын ең кіші тізбектің ұзындығы аталады.
Байланысқан графтың қасиеттері:
1. Байланысқан граф циклда бар қыр өшірілгеннен кейін байланысқан болып
қалады.
2. төбесі бар байланысқан графтың қыры бар.
3. Байланысқан графта ұзындығы максимал кез келген екі қарапайым
тізбектің бір жалпы төбесі бар.
4. төбесі және компоненті бар графта байланысқан қырлардың
саны - ден аспайды.
5. графының төбесі бар болсын. бұл графтың төбелерінің
дәрежелерінің минимумы болсын. Онда .
29. Циклсыз байланысқан граф ағаш деп аталады.
Ағаштар әртүрлі иерархияларды бейнелеу практикасында пайда болады.
Мысалы, атақты генеалогиялық ағаштар.
Мысал (генеалогиялық ағаш): суретте библиялық генеалогиялық ағаш
көрсетілген.

Ағаштың эквивалентті анықтамалары.
1. Байланысқан граф ағаш деп аталады, егер оның циклдары бар болса.
2. қыры және циклдары бар.
3. Байланысқан және қыры бар.
4. Байланысқан және кез келген бір қырдың өшірілуі оны байланыспаған
етеді.
5. Төбелердің кез келген жұбы жалғыз тізбекпен біріктіріледі.
6. Циклы жоқ және кез келген екі төбелердің арасына бір қырды қосу бір
циклдың пайда болуына алып келеді.
Графтардың бояуы
графының бояуы деп кескіні аталады. Бояу дұрыс деп аталады,
егер кез келген екі аралас төбелердің бейнесі әртүрлі болса: , егер
. Графтың хроматикалық саны деп графтың дұрыс боялуы үшін бояудың
минимал мөлшері аталады.

Теорема 4. Келесілердің біреуіне изоморфты ішкі графтары болса граф
жоспарлы болады.(Понтрягин – Куратов графтары)
Қасиеті: Кез келген жоспарлы графта дәрежесі төбесі болады.
Графтың берілу тәсілі:
1. Геометриялық

2. Араластыру матрицасы

a В c d
A 0 1 1 0
B 1 0 1 0
C 1 1 0 1
D 0 0 1 0

Араластыру матрицасы – төбелер мөлшеріне тең шаршы матрица,
өлшемділіктер. Сонымен қатар - ші, - ші төбені
байланыстыратын қырлар мөлшеріне тең бүтін сан. Егер графта тұзақ болмаса,
онда диагонал элементтері 0 – ге тең.
Егер қырлары қайталанбаса, онда барлық элементтер 0 немесе 1.
3. Инциденттілік матрицасы:

a В с d
A 1 1 0 0
B 0 1 1 0
C 1 0 1 0
D 0 0 1 1

4. Графтың алгебралық жүйе ретіндегі есебі:
.
Тек қана қарапайым графтарды қарастырғандықтан, бізге графтың
тасымалдаушысы төбелер жиыны, ал қатынасы – төбелердің араласуының бинарлы
қатынасы болатын модель ретінде анықтау оңай. Онда берілген граф .
Қырлардың бұлай ұсынылуына берілген қырға инцидентті және
төбесінің екі жұбы сәйкес келеді. Мұндай ұсынылуды беру үшін, әрбір қырға
төбелердің екі элементті жиынын көрсету жеткілікті – оны біз қырмен
теңестіреміз. Берілген граф үшін қыр жиынымен беріледі және біз
графты , - төбелер жиыны, ал - қырлар жиыны жұбы ретінде
жазамыз.
5. Соңында, графты тізімдер тәсілімен беруге болады.

1.3. Графтағы әртүрлі есептердің сипаты
Графтар теориясының дамуы негізінен барлық әртүрлі қосымшалардың үлкен
санына міндетті. Барлық математикалық объектілерде көрсетілгендей графтар
шынайы жүйелердің формальды модельдер ретіндегі алғашқы орындардың
біреуінің орнын алады.
Графтар ғылыми білімнің барлық салаларында қолданылады: физикада,
биологияда, химияда, математикада, әлеуметтік ғылымдарда, техникада және
тағы басқа. Ең көп атақты теоретика – графтық модельдер қатынастық
торларды, информатика жүйесін, химиялық және генетикалық құрылыстарды,
электрлік тізбектерді және торлық құрылыстың басқа да жүйелерін зерттеу
кезінде қолданылады.
Әрі қарай графтар теориясының кейбір типтік есептерін және олардың
қосымшаларын атап кетеміз:
- Ең кіші тізбек туралы есеп.
• жабдықты айырбастау
• транспорттық құралдың жүру кестесін құру
• жедел жәрдем пункттерін орналастыру
• телефон станцияларын орналастыру
- Максимал ағын туралы есеп
• коммуникациялық тордың өту қабілеттілігін талдау
• динамикалық торды жүруді ұйымдастыру
• жұмыстың орындалу интенсивтілігін тиімді таңдау
• құрылымдық сенімділігімен берілген екі полюсті тордың синтезі
• жұмысты үлестіру туралы есеп
- Орауыш және бүркеу туралы есеп
• тұрақты есте сақтау құрылғысының құрылымының тиімділігі
• қалалық транспорттық тордың диспетчерлік пункттерін орналастыру
- Графтардағы бояу
• дербес компьютерде жадыны орналастыру
• теледидарлық торды жобалау
- Графтардың және торлардың байланыстылығы
• ең кіші коммуникациялық торды жобалау
• циркуляциялық байланыстың құрылымды – сенімді торының синтезі
• байланыстың стохастикалық торының сенімділігін талдау
- Графтардың және торлардың изоморфизмі
• сызықтық талданған тізбектің құрылымдық синтезі
• жобалау кезіндегі қадағалаудың автоматизациясы
- Изоморфтік енгізу және графтардың қиылысуы
• іздеу алгоритмдерінің көмегімен түзелмеуді ықшамдау
• типтік ішкі схемалардың жиынымен берілген схемаларды жабу
- Графтардың изоморфизмі
• туынды органикалық бірігуі үшін құрылымдық изомерлерді
конструкциялық атап өту
• цифрлық құралдардың тесттерінің синтезі.
II. ТОРЛЫҚ ЕСЕПТІҢ ЭКОНОМИКАЛЫҚ ҚОЙЫЛУЫ
2.1. Есептің торлық ұсынылуы және торлық модельді құру ережелері
Торлық модель амалдар арасындағы өзара байланысты және олардың
орындалу ретін бейнелейді. Ереже бойынша, амалды түсіндіру үшін бағыты
уақыт аралығында программаны жүзеге асыру процесіне сәйкес келетін
бағытталған доға пайдаланылады. Амалдар арасында реттеу қатынасы оқиғалар
көмегімен беріледі. Оқиға бір амал аяқталып және басқалары басталғандағы
уақыт моменті түрінде анықталады. Кез келген амалдың бастапқы және ақырғы
нүктелері болады, әдетте бастапқы оқиға және ақырлы оқиға деп аталатын
оқиғаларман сипатталады. Бірнеше оқиғалардан шығатын амалдар осы оқиғаға
кіретін барлық амалдар аяқталмайынша басталмайды. Доға ұзындығы амалдың
ұзақтығына пропорционал болуы қажет етілмейді, ал доғаның графикалық
кескіні түзу сызықты бөлікті көрсетуі міндетті емес.

(а)
(б)
1 – сурет.
(1а) – суретте бастапқы оқиғасы i және ақырғы оқиғасы (ji), j
амалының графикалық кескінінің мысалы көрсетілген. (1б) – суретте басқа
мысал көрсетілген, онда (3,4) амалының басталу мүмкіндігі үшін (1,3) және
(2,3) амалдарының аяқталуы қажет етілетіндігі көрсетілген. Уақыт бойынша
амалдың орындалуы оқиғалардың нөмірлену жолымен беріледі, бастапқы
оқиғаның нөмірі әрқашанда ақырлы оқиғаның нөмірінен кіші. Нөмірлеудің
мұндай тәсілі ЭЕМ – де есептеулерді орындау кезінде қолайлы.
Тордағы әрбір амал тек қана бір доғамен көрсетіледі. Модельдегі
амалдардың бір де біреуі екі рет қайталанбауы керек. Сонымен қатар,
қандай да бір амалдың бөліктерге бөліну жағдайын ажырату; онда әрбір
бөлік жеке доғамен бейнеленеді.
Амалдардың бір де біреуі бастапқы және ақырлы оқиғалармен анықталмауы
керек. Екі немесе одан да көп амалдарды бір уақытта орындау мүмкін
болғанда, оқиғалар арқылы амалдың бір мәнді емес анықталу мүмкіндігі
пайда болады. Бұл жағдайдың мысалы (2а) – суретте көрсетілген, А және
ақырлы (бастапқы) оқиғалар арасында немесе В және ақырлы (бастапқы)
оқиғалар арасында қателікті болдырмау үшін жалған амал енгізіледі.
(2б) – сурет D жалған амалын енгізудің әр түрлі нұсқаларын
суреттейді. Енді A және B амалдарының нәтижесінде оқиғаның бастапқы
нөмірінен немесе ақырлы нөмірмен ерекшеленетін оқиғалар бір мәнді
анықталады. Жалған амалдар қорлардың, уақыттың шығынын қажет
етпейтіндігіне назар аудару керек.

2 - сурет
Сонымен қатар жалған амалдар логикалық байланыстарды дұрыс бейнелеуге
мүмкіндік береді. Кейбір программаларда A және B амалдарының алдында C
болу керек, ал E амалының алдында тек қана B болу керек.
(3а) – суретте бұл шарттар қате бейнеленген, бірақ A, B және C
аралығындағы реттеу дұрыс көрсетілген, осы үзіндіден E A және B екі
амалының алдында болу керек екені шығады. Көрсетілген шарттың дұрыс
тұжырымы (3б) – суреттегі фрагментте бейнеленген, онда D жалған амалы
қолданылады. D амалына қордың да, уақыттың да шығыны қажет етілмейтіндіктен
, берілген реттеу қатынасы орындалады.

(а)
(б)
3 – сурет

2.2. Графтағы ең кіші жолды табу
Доғаларына салмақтар жазылған бағытталған графтарды қарастырамыз.
Бұл әрбір доғаға берілген доғаның салмағы деп аталатын кейбір
нақты саны сәйкес қойылған.
Бізді белгіленген төбелердің арасындағы ең кіші жолды табу
қызықтырады. Мұндай ең кіші жолдың ұзындығын біз деп белгілейміз және
- тан - ға дейінгі ара қашықтық деп аталады. Егер - тан
- ға дейін ешқандай жол болмаса, онда деп аламыз. Егер біздің
графтың әрбір контурының оң ұзындығы болса, онда ең кіші жол әрқашанда
элементар жол болады, нәтижесінде қайталанбайды.
Басқа жағынан, егер графта ұзындығы жалған контур бар болса, онда
төбелердің кейбір жұптарының арасындағы ара қашықтық анықталмаған болады,
өйткені біз туынды нақты саннан ұзындығы кіші төбелердің арасындағы жолды
көрсете аламыз, осы контурды аралағандағы жеткілікті сан бір. Мұндай
жағдайда ең кіші элементар жолдың ұзындығы туралы айтуға болады, бірақ есеп
мынадай әдіспен қойылған, онда гамильтонды жол болғандықтан ол едәуір
күрделі болады.
Ең кіші жол туралы есептің көптеген интерпретацияларын беруге болады.
Мысалы, төбелер қалаларға сәйкес келуі ... жалғасы
Ұқсас жұмыстар
Графтар теориясы және оның элементтері
Графтар саны. Ағаштар
Графтар мен ағаштар
Эйлерлік графтың кейбір есептерінің теориясы
Желілік жоспарлау мен кестелер теориясы
АЛГОРИТМНІҢ ПРАКТИКАЛЫҚ АСПЕКТІЛЕРІ. АВТОМАТТАР ТЕОРИЯСЫ
Менеджмент теориясы
Тұлға теориясы
Ақпараттар теориясы
Клетка теориясы
Пәндер

Қазақ тілінде жазылған рефераттар, курстық жұмыстар, дипломдық жұмыстар бойынша біздің қор №1 болып табылады.

Байланыс

Qazaqstan
Phone: 777 614 50 20
WhatsApp: 777 614 50 20
Email: info@stud.kz
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь