Жай сандардың арифметикалық прогрессияда таралуы

Мазмұны

Кіріспе ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..

I.тарау.ның негізгі қасиеттері ... ...
§ 1.1. Сипаттар және олардың қасиеттері ... ..
§ 1.2. Дирехле функциясы, оның қасиеттері ... .
§ 1.3. функциясының нөлге айналмауы ...
§ 1.4. функциясының нөлдері туралы ... ... ..


II.тарау. Арифметикалық прогрессиядағы жай сандар
§ 2.1. Прогрессиядағы жай саны туралы ... .
§ 2.2. Жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы ...
§ 2.3. Асимптотикалық формулалар ... ..

Қорытынды ... ..

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі ... .
Кіріспе
Дипломдық жұмыстың тақырыбы - .
Жай сандар деп тек бірге және өзіңе бөлінетін оң бүтін сандарды атаймыз.
Арифметикалық прогрессия - дегеніміз натурал қатардың шектеусіз ең бір қарапайым бөлімше тізбегі.
Берілген жұмыстың негізгі мақсаты жай сандардың арифметикалық ппогрессияда таралуын оқып – зерттеу болып табылады. Математика ғылымына жай сандар туралы ұғым қашан енгені тарихта белгісіз.
Менің дипломдық жұмысым екі тараудан тұрады: Дирехле функциясының негізгі қасиеттері және арифметикалық прогрессиядағы жай сандар.
Бірінші тарау төрт бөлімнен тұрады. Онда сипаттар және олардың қасиеттері, Дирехле функциясы және оның қасиеттері, Дирехле функциясының нөлдері туралы қарастырылды.
Дипломдық жұмыстың екінші тарауы үш бөлімнен тұрады. Екінші тарауда прогрессиядағы жай сандар саны туралы, жай сандар санын есептеудегі Дирехле функциясымен байланысы және асимптотикалық формулалар қарастырылатын болатын.
1837 жылы Дирехле арифметикалық прогрессияда шексіз көп жай сандар бар болатындығын дәлелдеген.
Қорытынды бөлімде дипломдық жұмысқа қысқаша шолу жасалған. Соңында әдебиеттер тізімі келтірілген.
Пайдаланған әдебиеттер тізімі

1. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и транцендентые числа: Учеб. Пособие. – М.: Изд-во МГУ, 1982г.
2. Оразбаев Б. М. Сандар теориясы. Педагогикалық институт арналған оқулық-Алматы : «Мектеп» баспасы, 1970ж.
3. Асенова А. Е. , Асен. Е. Қ. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
4. Бухштаб А. А. Теория чисел. – М.: Изд-во «Просвещение», 1966г.
5. Қ. Жетпісов, Қ. Сексенбаев, А. О. Башеева. Сандар теориясына кіріспе. Қарағанды, 2007ж.
6. Гельфонд А. О., Линник Ю. В. Элементарные методы в аналитической теории чисел. – М.: Физматкиз, 1962г.
7. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
8. Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972г.
9. Избранные труды. – М.: Наука, 1973г.
10. Транценденные и алгебрические числа. – М.: Гостехиздат, 1952.
11. Сушкевич А. К. Теория чисел. – Харьков: Изд-во Харьковского Гос. Ун-та, 1954г.
        
        Мазмұны
Кіріспе..........................................
I-тарау. Дирехле функциясының негізгі қасиеттері........
§ 1.1. Сипаттар және олардың қасиеттері......
§ 1.2. ... ... оның ... 1.3. ... ... ... 1.4. функциясының нөлдері туралы..........
II-тарау. Арифметикалық прогрессиядағы жай сандар
§ 2.1. Прогрессиядағы жай саны туралы.....
§ 2.2. Жай сандар ... ... ... ... байланысы....
§ 2.3. Асимптотикалық формулалар......
Қорытынды......
Пайдаланылған әдебиеттер тізімі.....
Кіріспе
Дипломдық жұмыстың тақырыбы - жай ... ... ... ... деп тек ... және ... бөлінетін оң бүтін сандарды
атаймыз.
Арифметикалық прогрессия - дегеніміз натурал қатардың ... ... ... ... тізбегі.
Берілген жұмыстың негізгі мақсаты жай ... ... ... оқып – ... ... ... ... ғылымына
жай сандар туралы ұғым қашан енгені тарихта ... ... ... екі тараудан тұрады: Дирехле ... ... және ... ... жай ... ... төрт бөлімнен тұрады. Онда ... және ... ... ... және оның ... ... функциясының
нөлдері туралы қарастырылды.
Дипломдық жұмыстың екінші тарауы үш ... ... ... ... жай ... саны ... жай сандар санын есептеудегі Дирехле
функциясымен байланысы және асимптотикалық ... ... жылы ... ... ... ... көп жай ... болатындығын дәлелдеген.
Қорытынды бөлімде дипломдық жұмысқа қысқаша шолу жасалған. Соңында
әдебиеттер тізімі ... ... ... ... ... 1.1. Сипаттар және олардың түрлері.
Айталық, бүтін саны болсын. Сонымен қатар
(1.1.1)
қарапайым көбейіткіштерге жіктелсін. ... ... ... түбірлерін арқылы белгілейміз. Онда әрбір натурал саны
үшін
, ... ... ... және ... үшін ... бір ғана жүйе ... ... реттінің кез келген бірлік
түбірлері болсын. функциясын мына ... ... ... үшін (1.1.2) формуласымен анықталады. Егер ... ... ... болса, онда біз жиынтығында
функцияларды анықтаймыз. Барлық ... ... ... ... ... модулі бойынша сипат деп аталады. Дербес жағдайда ,
болса, онда сипатты бас сипат деп атап, былай ... . ... ... үшін ... ... ... ие болатын төрт сипат табылады.
Кез келген және ... ... үшін ... ... ... ... қасиеті мына формулалар арқылы өрнектеледі
(1.1.7)
(1.1.8)
Сонымен бірге (1.1.7) формулада бойынша ... ... ... ... ал (1.1.8) формуласында бойынша барлық
сипатымен жүріп өтеді. (1.1.7) ... ... ... ... ... . Егер ... біреуі бірге тең
болмаса, яғни егер бас сипат болмаса, онда әр ... ... ... үшін ... қосынды нөлге тең болады
.
(1.1.9) қосындысы үшін ... ... ... ... ... ... (2.8) формуласын дәлелдейік. Ол үшін
(1.1.10)
қосындысын алайық. Мұндағы қосынды ... ... ... бойынша ... ... ... Егер сандарының біреуі нөлге тең болмаса, яғни ... егер ... ... ... ... түбіріне жүріп
өтетін болса, онда сәйкес қосынды нөлге ... (1.1.10) ... мәні ... ... (1.1.8) ... (1.1.8) формуласынан шығады
(1.1.11)
Әрбір сипаты үшін функциясы
(1.1.12)
формуласымен анықталады. Мұнда үшін ... ... ... ... бар. Айталық, салыстыру есептеуі болсын.
Онда және болғанда (1.1.5), (1.1.6) ... ... ... ... ... ... және , және тең мәнді
болғандықтан ақырғы арақатынасынан және (1.1.8) ... ... 1.1.1. ... ... саны үшін анықталған және келесі
үш шартты қанағаттандыратын әрбір функциясы
1.
2.
3. ( толық мультипликативті ... ... ... ... ... керек.
Расында да, 3-ші шарттан және 1-ші шарттан болса, онда
болатыны ... (1.1.2) ... ... сандары бар
болатындығы элементарлық сандар теориясында дәлелденген және кез ... ) ... мына ... ... ... ... (1.1.2) ... мәнге ие. Және де мына
арақатынас орындалады . Бұл ... 2-ші және 3-ші ... ... ... аламыз, сондықтан . Осыған ұқсас
ретінің бірлік түбірлері болуы керектігін аламыз. Егер ... ... ... анық.
Сондықтан бойынша сипатты 1-ші және 2-ші, 3-ші ... ... ... ... ... сипаттың көбейтіндісі тағы және -сипат болатыны
анық.
Теорема 1.1.2. жиынтығында кез келген екі ... өз ара ... яғни ... мәнінде сәйкес келмейді.
Айталық, мысалы, (2.3) арақатынасында
,
.
Онда немесе ең болмағанда бір үшін . Егер ... ... ... онда ... ... анық.
Егер болғанда барлық натурал саны үшін жалғыз сипат
анықталса, онда бұл сипат жоғарыда айтылған барлық сипаттардың ... ... ... және примитивті сипаттарға тоқталайық.
Айталық, және -сәйкес және ... ... ... ... саны үшін ... ... ... модульдерінің ең кіші бөлгіші. Сонда теңдіктеріне ие
боламыз.
және сипаттары эквивалентті деп ... егер ... ... , егер және ... ... ... ... Онда төмендегі теңдіктермен анықталған функция бойынша
сипаты болады
(1.1.13)
Мұнда 1-ші және 2-ші, 3-ші ... ... ... ... ... ... ... Егер бойынша сипатына
бойынша сипаты эквивалентті болса, онда сипатын ... ... ... ... ... 1.1.1. Егер ... ... онда кез келген
бойынша сипаты кез келген модулімен анықталуы мүмкін.
Дәлелдеу. Айталық, ... ... ... сипаты 1-ші және 2-ші, 3-ші шарттарын қанағаттандырады.
Сондықтан сипаты ... ... 1.1.2. Егер және ... ... табылады.
Дәлелдеу. Айталық, және ді бөлетін, бірақ ні
бөлмейтін ... жай ... ... ... ... шешіледі. Егер шешім болып табылса, онда
және жорамалдауымыз бойынша болады.
Лемма 1.1.3. Айталық, ... ... ... ... ... үшін ... ... орындалуы қажетті және жеткілікті
барлық үшін, , . ... Егер ... ... сипатына эквивалентті
болса, онда (1.1.15) шартын қанағаттандыратын барлық үшін ... ... ... ... ... осы ... ... (1.1.15) шарты орынды деп жорамалдайық. Әрбір мен
мәнін салыстырамыз. Лемма 1.1.2. ... ... ... ... ... Бұл ... ті ... қатысы жоқ. Мысалы,
алайық. ді салыстыру көмегімен ... ... және ... 1.1.2 ... ... z бар ... анық. Онда теңдігіне ие боламыз және
мен бірге екі ... өз ара жай ... Осы ... егер ... деп ... онда
арақатынасына ие боламыз. Сонымен қатар
болады.
болғандықтан, осы жерден
теңдігін аламыз.
Егер үшін деп ... онда (1.1.16) ... ... сипат толық анықталады. Бұған көз жеткізу үшін 1-ші
және 2-ші, 3-ші ... ... ... ... 1-ші шарт ... ... көруге болады. Мысалға, ... 2-ші ... ... ... ... ті
анықтаймыз. Содан кейін
сандары мен өз ара жай ... ... ... ... ... де
шығады. Сонымен біз , яғни үшін теңдігін алдық. 3-ші шарт
болғанда
теңдігінен шығады.
Лемма 1.1.4. Егер ... ... және ... ... ... және болса, онда
үшін
және
үшін ... ... және ... , анықталуы мүмкін.
Дәлелдеу. Айталық, болсын. Мысалы, . Егер ... ... ... онда . Енді деп ... онда ... өз ара жай ... және эквиваленттіліктің анықтамасы
бойынша
болады. Осылай (1.1.17) ... 2-ші шарт ... және ... осы ... лемма шығады.
Теорема 1.1.3. сипатының барлық анықтайтын ... ... үшін ... деп ... модуліне бөлінеді.
Дәлелдеу. Айталық, сипатының ең кіші анықтайтын модулі
бірден артық болсын. Әрбір басқа ... ... ға ... ... жағдайда саны тағы да анықтайтын модулі болушы еді
(1.1.4 леммасы бойынша) және ... ие ... ( біз ... эквивалентіліктің транзитивті арақатынасын қолдандық). Егер ең кіші
анықтайтын модуль бірге тең ... онда ... ... ... ... әрі ең кіші ... модульді арқылы, ал бойынша
эквивалентті сипатын арқылы белгілейміз. бойынша сипаты
үшін ... бар. ... ... үшін да екі
сипаты бірдей мәнге ие болмайды.
Мысалы, - бойынша сипат, ... ... үшін ... ... - ... ... ... ал үшін .
Егер бойынша сипаты ны ... ... ... онда ... примитивті сипат деп аталады. Онда
теңдіктеріне ие боламыз. Дербес ... ... ... ... (демек, ). Осы тәсілмен әрбір сипатқа ... ... ... ... Екі ... ... бір ... сипатқа
ие болады. Әрбір модулі бойынша берілген сипат үшін ең ... ... ... бар ... ... мен ... жалпы айтқанда ,
жиын ұзындығы мен бірге. Осы жиындардан функциясы сипат
қасиеттерінен арылмайтындай ең ... ... бар ... ... примитивті ме, әлде примитивті емес пе ... ... ... 1.1.3 ... ... үшін
болатындай ең болмағанда бір бар болуын тексеру қажет.
Екі примитивті сипаттар ... үшін ... ... ... емес ... ... бас сипаты әрбір үшін ... және ... ... саны үшін теңдігіне ие боламыз.
Егер нақты сипат болса, онда да нақты сипат ... ... ... ... ... яғни нақты сипат ... ... ... ... 1.2. ... функциясының анықтамасы және қасиеттері.
Дирехле қатары деп аталатын ... ... ... ... сан және ... де ... ... табылады. Егер десек, онда
, ... ... ... ... ... ... деп ... қатары жарты жазықтықта жатқан әрбір шектеулі облыста
абсолют және бірқалыпты жинақты болады және де регуляр ... ... ... Мұнымен бірге, функциясы тұтас комплекс
жазықтыққа аналитикалық жолмен созылуы мүмкін. Біз ... ... әр ... ... аламыз. Мұнда, егер ... ... ... ... шектеулі бөлігінде ерекше нүктелері
болмайды, ол-бүтін функция. Егер болса, онда функциясының
нүктесінде жалғыз ғана жай полюсі болады.
Риманның ... ... ... ... жағдайы ретінде
қарастыруға болады. Егер -бас сипат, яғни -мен өз ара ... ... ... үшін ... онда ... ... функциясының Риманның дзета-функциясынан айырмашылығы
тек тұрақты көбейіткіште ғана ... ... ... ... ... жай ... ... қасиеттерін қарастыру барысында мына екі жағдайды
байқау қиын емес:
1. сипаты қашан бас сипат
2. қашан
болады.
Теорема 1.2.1. Егер ... онда кез ... k ... ... ... ... ... мына теоремадан шығады:
Айталық, -барлық натурал үшін анықталған ... ... ... ... ... яғни және болғанда
. Егер болса, онда
.
Егер ... және ... деп ... және ... ... ретінде мына формула орынды
. ... =2 ... тек ... ... бар болады, сондықтан
.
=3 болғанда және екі ... бар ... ... . Онда мына ... ие ... болғанда және екі сипат бар болады. үшін ... . ... 1.2.2. ... кез келген үшін болады.
Расында да , (1.2.2) формуладан мына ... ... ... (1.2.2) ... ... ... ... .
Мұндағы қос қатар мына мәнді көрсетеді , мұнда егер , онда ... ... ... ... болғандықтан, бұл ... ... ... және ... ... ... қос қатар
жинақты, сондықтан қатардың ретін ауыстыруға болады. және ... ... ... онда ... ... ... ... теңдікті дифференциалдау арқылы төмендегі теңдікке ие боламыз
, ... ... ... ... ... ... ... 1.2.3. Егер облысында болса, онда ... ... ... ... ... және ... ... аналитикалық жолмен созылады және регулярлы болады.
нүктесінде және
(1.2.6)
түріндегі ... ие ... ... ... ... және ... кез ... үшін
(1.2.7)
аламыз. Соңғы қатар арқылы тізбегінің мүшесі нөлге айналады.
Теорема. Айталық, - нақты сандардың тізбегі, және ... ... ... ... немесе комплексті)
функция болсын. Онда
. ... және -кез ... ... сан. Егер (***) да ... не қатар, не ... ... ... онда
Теоремасынан
(1.2.8)
аламыз. ... ... ... (1.2.7) ... ... ... ... тұжырымымыз 1.1.1. теоремасынан шығады.
болғанда ол (1.2.3) формуладан және 1.2.1 теоремасынан ... ... көп ... бар ... ... үшін мына қатынасты дәлелдеу
жеткілікті
(1.2.10)
болса, онда (1.2.10) теңдіктен қатарының жинақсыздығы шығады.
Осыдан
, ... оң жақ ... ... ... р үшін ... ... (1.2.4) бойынша теңдік орнына
аламыз және сондықтан
(1.2.11) теңдігінен
(1.2.12)
шығады, мұнда өрнегі s нақты мәндерді қабылдай ... оң ... ... ... ... Мөлшер мүшесі түрінде болса,
де тұрақты сан k дан тәуелсіз, қатарда ... әр ... ... ... және (1.2.13) ... (1.2.10) ... шығады. Оған көз
жеткізу үшін, бізге
(1.2.14)
болатынын дәлелдеу жеткілікті ... ... ... ... ... () ... 1.3. ... нөлге айналмауы.
шексіз көп жай сандар бар екенін анықтау үшін
(1.3.1)
арақатынасын дәлелдейміз. Ол кезде екі жағдайды ажыратуымыз керек:
1. ең ... бір n ... мәні үшін ... ... n – ... ... үшін.
Бірінші жағдайда комплекстік сипат, ал екінші ... ... ... ... ... 0 ... нақты сипаты мәндеріне
тең болуы керек. Сондықтан үшін және үшін . ... ... ... ... ... ... Енді немесе
жағдайын қарастырайық.
Теорема 1.3.1. Егер болса, онда барлық t үшін
(1.3.2)
орындалады және , ... ... ... ... ... ... ... функциясы деп аталады,
деп ұйғарсақ, онда .
теңдігінен
, ... Егер де саны ... нөлі ... мысалы, m ретті,
, онда біз
, ... ие ... ... ... 1.2.3. ... -, болмаған
жағдайда функциясының регулярлы нүктесі болады. Осы жағдайдан кейін
болғанда
, ... ... (1.3.5), (1.3.6), (1.3.7) ... ... ... ... бұл (1.3.3) формуласына қайшылыққа
келеді. Осыдан деген жорамалдауымыз дұрыс емес және (1.3.1), ... тура ... ... ... ... ... 1.3.1 Егер , ... онда
, ,
(1.3.9)
теңдігі орынды болады, ... ... сан ... ... ... тек ... ғана ... үшін
орындалады. Осы барлық үш түрдегі көбейтінділерді көбейтетін болсақ, ... ... ... ... аламыз. Үш жағдайда да
коэффициенттер болғанда бірден кем емес болады.
Теорема 1.3.2. Егер , және ... ... ... ... жағдайын зерттейміз. (1.3.9)
формуласындағы қатарды қарастырамыз. , болғанда жартылай
қатары жинақсыз ... ... ... ... ... Осы қатардың абциссасы жинақты болуы үшін теңсіздігі
орындалуы қажет. Басқаша айтқанда, Ландау теоремасы ... ... ... нүктесі.
Теорема. Егер саны- қатарының абцисса жинақтығы, барлық
үшін брлса, онда ... ... ... бар болады.
Бірақ, болғанда функциялары регулярлы, онда ... ... онда ... нөлі бола алмайды. Расында да,
қарама қарсы жағдайда болғанда функциясы ... ... ... бірінші ретті полюс болғандықтан реті ... ... ... Сондықтан, . оң болса және
теңдігінен болатыны шығады.
Теорема 1.3.3. Егер және ... онда ... жай ... бар болады:
(1.3.12)
Дәлелдеу. 1.3.2 және 1.3.3 теоремалары бойынша ... ... ... (1.2.13) ... ... және ... (1.2.12)
формулаларынан (1.2.9) шығады. Осымен теорема дәлелденеді.
(1.2.10) және (1.2.11) формулаларымен бірге теорема 1.3.3 ... ... ... мына ... ... ... (1.2.10) формуласынан болғанда
(1.3.14)
арақатынасын аламыз.
§ 1.4. функциясының нөлдері туралы.
шарты орындалатын ... ... ... ... ... ... нөлдері ені шектеулі, жорымал
оське параллель болатын шектеусіз ... ... ... ... ... ... ... гипотеза бар: бұл функциялардың
жолағында (кризистік жолақта) жататын барлық ... ... ... өз ара жай ... ... үшін
жай санын арқылы белгілейміз
().
Біздің ... ... ... ... алу үшін бірнеше мәніндегі
облысында теңдік орынды болу керектігін көрсетуіміз ... Ол үшін ... ... ... ... яғни ... санымыз дан
тәуелсіз болуын дәлелдеуіміз керек.
Теорема 1.4.1. Егер ... ... ... ... ... ... функиясы,
.
Дәлелдеу. Айталық, -мультипликатты функция болсын. Онда ... 1.2.1 және мына ... ... Айталық, -барлық натурал үшін анықталған нақты
немесе комплексті мультипликатты функция болсын. Егер ... ... ... ... үшін ... ... ... жағдайда, . Онда
болатыны анық. Сондықтан,
. ... ) ... осы ... орынды болады, себебі функциясы
облысында аналитикалық жалғасады.
Теорема 1.4.2. Егер және -оң ... сан және ... ... ... ... ... мүмкін болса, онда
;
(1.4.5)
(1.4.6)
арақатынастарына ие боламыз. Мұнда нүктесінде және сәйкес
тәуелді, бірақ дан ... ... ... үшін ... болғандықтан
аламыз. Демек, деп жорамалдауымызға ... үшін ... ... Бұл ... ... ... ұластыруын береді. болғанда соңғы интегралдағы функция
регулярлы болады. ... ... (1.4.7) ... ... ... кез ... ... орынды болады. Мұндағы тұрақты санымыз -де ... Егер , ... және -ден ... ... ... ... ... онда қалған мүшелеріміз мына түрге ие болады:
.
Басқаша айтқанда, егер біз , деп ... онда ... ... ... мына ... ие ... ... , мұнда болады.
Теорема 1.4.3. Егер болса, онда
(1.4.9)
арақатынасы орындалады. Мұндағы дегі тұрақты ... ... ... ... үшін ... Сондықтан, (1.4.9) теңдік орынды.
Енді (1.4.7) формуласында деп жорамалдасақ, онда
теңдігін аламыз. Мұндағы . Осы ... ... ... 1.4.4. ... және - ... кез ... ... Егер , -оң тұрақты сан және
(1.4.10)
болса, онда
(1.4.11)
, (1.4.12)
. ... ... ... ... тұрақты сандар дан тәуелсіз,
бірақ және сәйкес ға ... ... ... , болғанда (1.4.4) және (1.4.5) формулаларынан
аламыз. Мұндағы тұрақты сан де дан ... ... ... ... ... ... және болғанда (1.4.4), ... (1.4.12) ... ... (1.4.5) және (1.4.10) ... Енді (1.3.7) ... ескере отыра болғанда
(1.4.15)
(1.4.16)
аламыз. Одан кейін ... ие ... ... , ... ... ... және ... (1.4.16) формулаларын (1.4.14) формуласына қойсақ,
(1.4.13) формуласын аламыз.
болғанда қалыңдысы теңдігіне тең ... ... (1.2.5) ... ... 1.4.5. Егер ... онда
(1.4.18)
бағалауы орынды болады.
Дәлелдеу. (1.4.2) формуласынан және теңсіздігінен
шығады. Демек, (1.4.18) орынды болғаны.
Тоерема 1.4.6. Егер ... онда ... ... mod k ... ... ие ... үшін бұл тұжырымды дәлелдеу жеткілікті. Сонымен бірге
, және ... ... ... ... - функциясының нөлі болсын, сонымен қатар .
Егер біз деп жорамалдасақ, онда ... ... ... ... ... Ол және ден ... ... Мұнда, айталық, және жағдайға байланысты тағы
кішіреуі қажет. , үшін ... ... ... (*). ... ... функциясы регулярлы
болсын және онда шартын қанағаттандырсын. Егер ... ... ... - ... кез келген еселік
нөлі, ал
,
мұндағы және ... тің кез ... ... ... ... ... ... ие болмайды.
Ең аз ... ... , кез ... үшін ... ал ... облыстарында жатады. (1.411) және
(1.4.18) формулаларынан және ... ... ... ... ... ... (*) ... қолданғанда
(1.4.21)
теңсіздігі орынды екені шығады. Мұндағы және ден тәуелсіз.
Осы теоремадан кейін
(1.4.22)
аламыз. Енді , деп ... (*) ... ... ... Демек, үшін осы түрдегі, яғни (1.3.22) түріндегі ... ... ... ... саны үшін. Енді теңсіздігінен
(1.4.24)
шығады. және ең аз және барлық ... ... ... ... ... функциясы жарты жазықтығында ... ... және ... жай ... ... болады.
нүкте маңайында келесі жіктеулер ... ... ... (мысалы, үшін). Егер осыны (1.3.4) формуласына қойсақ ... онда ... ... ... ең аз шамасын орындалатындай етіп таңдап аламыз, ... Онда аз ... ... ... ... ... да ға қарағанда жылдам өседі. ... ... ... ... мына теңсіздікті аламыз:
және болса, онда бұл теңсіздік (1.4.26) ... ... ... ... дәлелденді. Сонымен бірге ... ... ... ... ні ... кез ... үшін ... болады.
Теорема 1.4.7. Айталық, болсын. Онда дан ... ... ... үшін ... жеткілікті. - облыстарында
функциясының нөлдері болсын. және деп ... ... анық ... ... және . ... ... ... қабылдаймыз. (1.4.20) арақатынасымен бірге енді ... () ... ... мына ... ... болғанда болады. Сондықтан (*) теоремасын қабылдау
барысында
(1.4.29)
деп ... ... ... жеткіліктілігі үшін теорема шартының
қолданылуы орындалды. (1.4.22) бірге енді (*) ... ... ... (*) ... ... ... ...
болғандықтан аламыз. Сондықтан бағалауы үшін (1.4.3) бағалауы
қабылданады. Егер ... онда ... ... және ... мына ... ... үшін тағы да (1.4.29) формуласы түріндегі шек алынады.
теңсіздігінен
(1.4.32)
шығады. (1.4.25) формуласынан
(1.4.33)
аламыз. Енді ... ... (1.4.33) ... (1.3.4) ... ... ... Егер, мысалы, және ны ... ... ... ... етіп ... (1.4.34) ... үшін ... қайшылыққа келеміз. Осымен
теорема дәлелденді.
Теорема 1.4.8. Егер болса, онда облысында үшін
(1.4.35)
арақатынасы орынды, сонымен ... ... деп ... ... (1.2.2) ... пен ... ... дәлдәкпен сәйкес
келеді, облысында нөлге ұмтылмайды.
Теорема. Егер болса, онда ... , ... ... ... ... осы жағдай да ғана жорамалдауымыз дұрыс
болады.
Алдыңғы теорема дәлелдеу кезіңде қолданылған белгілеулерді ... деп ... Онда үшін (1.4.30) және ... ... ... ... (1.4.31) ... болмауы да мүмкін. Енді
дөңгелегінде нүктесінде ... ... емес ... Енді (*) ... ... деп ... (1.4.13) бойынша
(1.4.36)
дөңгелегінде аламыз. (1.4.18) бойынша
. (1.4.37)
Демек, ... ... (*) ... ... ... ... болады және теңсіздігінен
(1.4.38)
аламыз. Мұны және (1.4.30), (1.4.33) ... (1.3.4) ... ... ... ... қажет. аз жеткіліктілігі үшін
(1.4.39)
теңсіздігін аламыз. Осыдан тым ... ... ... ... үшін қайшылыққа келеміз. Сондықтан,
(1.4.40)
деп қарастыруға болады. Мұнда басында кез ... ... оң сан, ... мәнін кейін анықтаймыз. Онда
болады.
Мұны және ... (1.4.39) ... ... ие ... ... дан ... және ... . Бұл аз жеткіліктілігі кезіңде қайшылықты береді.
Мысалы, ... 1.4.6 және 1.4.7 ... ... кезіңдегі
тәрізді.
Егер (1.4.40) теңсіздігі орындалмаса, онда (1.3.4) теңсіздігі қажет
емес. Онда (1.3.4) ... ... ... ... ... ... ... нақты сипаты
(1.4.41)
болады.
Енді функциясының нөлі, сонымен қатар және
(1.4.42)
болсын. Нақты үшін мен ... ... ... табылады. Енді , , бірге (*) теоремасын алайық.
Дербес жағдайда деп ... Егер және аз ... онда және ... үшін ... ... үшін болғандықтан (1.4.13) формуласын ... ... Онда және аз ... үшін ... Мұны және (1.4.33) ... (1.4.41) ... ... онда
теңдігін аламыз. Сондықтан
.
(1.4.18) көмегімен үшін
(1.4.44)
теңсіздігін аламыз. Енді ні, ... ... ... орындалатындай етіп таңдап аламыз. шамасын
теңсіздігі орындалатындай етіп азайтамыз. болғанымен бұл ... ... (1.4.44) ... қарама қарсы болады.
Осымен 1.4.8. толық дәлелденді.
Теорема 1.4.9 Егер , сәйкестігінде функциясы
(1.4.45)
облысында жатса, онда ең ... бір ... ... ие ... Тағы да деп ... ... тәрізді нөлге ие болады. ... - ... екі ... ... сонымен қатар болсын.
деп жорамалдаймыз. Біз немесе екенін дәлелдеу ... ... Егер ... онда аз ... (*) ... және деп ... болады. үшін
(1.4.13) және (1.4.18) қолдана, бойынша
(1.4.46)
аламыз. Мұны және (1.4.33) (1.4.41) формуласына ... Егер деп ... ... ие боламыз және осыдан аз жеткіліктілігі үшін
(1.4.48)
болады. тұрақты санын
теңсіздігі орындалатындай етіп тым аз мәнде таңдап аламыз. Онда ... ... ... мұндағы тұрақты саны дан
тәуелсіз, (1.4.48) қайшылықты ... ... егер тек ... ... онда екі әр түрлі нөлдері (1.4.45) ... ... ... ... Ең ... екі ... нөлі сәйкесінше
зерттеледі. (1.4.46) және
теңсіздігін қолдану қажет. Одан әрі болғанда бойынша.
Теорема 1.4.10. Егер - ... ... - ... және -сәйкесінше примитивті сипаты болса, онда
және арасында
(1.4.49)
арақатынасы ... ... ... ... ... және сол нөлдерге ие.
Дәлелдеу. (1.4.49) формуласы ... ... ... ... үшін ... көбейіткіштерімен дәл
келуінен жіктеуінде шығады. болғанда ... ... ... ... ... ... үшін ... функциялары нөлге ұмтылады немесе нөлге тең емес болады.
Сондықтан болғанда барлық уақытта ... ... ... ... және сол ... үшін теңдігіне ие болғандықтан
(1.4.49) формуласындағы көбейтіндіні ... ға ... ... ... ... ... болады
.
(1.4.50)
Теорема 1.4.11. Егер және - және ... ... ... ... ... ... онда
(1.4.51)
облысында ең болмағанда функцияларының біреуі де нөлге ... ... бар ... деп ... жеткілікті. Мұндағы -барлық
бас сипаттарына тиісті және ... ... ... ... ... ... болғанда болады.
модульдері бойынша және сипаттарын анықтаймыз және
осы әдіспен алынған сипаттарды және ... ... ... , , екені анық. үшін , болушы
еді. және ... ... және . ... ... ... ... ие ... едік. 1.4.10 ... , және , ... үшін ... ... ... ... Мұндағы
, .
Егер сәйкес - , ... ... ... , және ... онда аз жеткіліктілігі үшін
,
(1.4.53)
теңдігін аламыз. Сонымен бірге тұрақты саны біреу және де сол болмауы
мүмкін.
Біз ... ... және ... үшін ... (1.4.13) ... ... аламыз. Мұны
бағалауы кезіңде қолдана аламыз. Мұнда . теңсіздігінен
(1.4.54)
теңдігін аз ... үшін ... Егер (1.4.53) ... мұны және (1.4.33) ... (1.4.52) ... ... ... онда
немесе ( деп алсақ) аз жеткіліктілігі үшін
.
Қажет болған ... ... ... етіп ... ... Енді 1.4.9 теоремасын
дәлелдегендей аламыз.
Теорема 1.4.12. Егер және - және ... ... ... емес ... ... ... ең болмағанда және функцияларының ... ... Бұл ... екі жолмен көрсетуге болады.
Бірінші жол. 1.4.11 теоремасында ... және ... және ... ... ие болғандықтан.
Екінші жол. теңсіздігінен шығады. Мұндағы және ... ... онда ... орынды болады.
Теорема 1.4.13. Егер -кез келген нақты сан, , ... ... ... ... саны бар болады және ол келесі қасиеттерді
қанағаттандырады: модулі тен асып кетпейтін барлық ... ... ... ... жалғыз анықталмағандық модулі бойынша ... ... ... ... ден ... ... (1.4.56) ... модулі тен аспайтын барлық нақты
примитивті сипат үшін орын ... ... ... ... басқасы болуы мүмкін. Егер , , - осындай екі
примитивті сипат болса, онда ... 1.4.11. ... ... , ... біреуінен артық емес нөлге ие болады.
Егер болса, онда болғанда сол орын алады. үшін ... ... ... ... бар ... үшін ... ... болады.
Егер 1.4.13 теоремасы кейбір мәндерімен орындалса және
кіші тұрақты саны болса, онда ол орындалады.
Теорема 1.4.14. ... ... ... ... сан.
Егер үшін , ... , , ... ... ... онда ... тен ... тек ... нөлге ие болады. Осындай барлық
бойынша сипаттамасына тиісті.
Дәлелдеу. 1.4.7. ... ... ... ... ... ... ... тұжырымды деп
ауыстырым енгізуге болады. Нақты сипаттамалар үшін ... 1.4.13 ... ... ... Барлық уақытта ден кем етіп,
облысында модульдері бойынша бірде бір ... ... және ... асып ... нөлге айналмайтындай аз етіп алуға ... ... ... осы орын ... 1.4.11 және 1.4.12 ... ... артық емес» өрнегін
«бірде-бір» өрнегімен ауыстыруға болатындығын дәлелденбеген. ... және 1.4.14 ... ке ... бар ... ... 1.4.15. Егер ... сан ... онда сәйкестігінде
барлық модулінің сипатымен пайда болған - функциясынан бірден
артық емес ... ... ие ... және тек ден ... ... болғанда шығуы мүмкін.
Бұл 1.4.14. теоремасынан болғанда шығады.
Теорема 1.4.16. Айталық, келесі қасиеттерге ие тұрақты саны ... ... саны ... ... ... бойынша үшін . - функциясы
бірінші ретті ... ... ие ... ... нақты
сипаттамасына сәйкес келеді.
B. үшін
(-кез келген)
(1.4.60)
облысында тұрақты ... асып ... ... ... үшін . ... тек , ... сипатына эквиваленттілігі үшін функциясынан ... ... ... ... онда ... ... ... отыра,
A. болғанда ешқандай шығарылулар болмайды
B. барлық болғанда ... ... ... ие ... ... ... жай ... 2.1. Прогрессиядағы жай сандар саны туралы.
Меншікті бөлгіштері болмайтын бүтін санын жай сан деп ... ... ... да екі ... ... бір және сол ... өзі. Жай саннан
өзгеше, яғни меншікті бөлгіштері болатын сандардың ... да ... деп ... ... ... ... ... екі немесе бірнеше бүтін сандардың көбейтіндісі жай ... онда бұл ... ... кемінде біреуі бөлінеді.
Жай сандар қанша деген мәселеге келсек, бұл сұраққа Евклидтің мынадай
бір ... ... ... теоремасы. Натурал сандар қатарында шектеусіз көп жай сандар
болады.
Евклид теоремасын тағы былай тұжырымдауға ... ... ... ... ... ... құрамында сансыз көп жай сандар болады.
Мысалы, айырмасы 4 ке тең прогрессияны ... ... ... жай ... отыр. Осы алынған прогрессияда қанша жай санның бар екенін және
тің көрсетілген шекаралығында олардың қанша ... ... ... 1837 жылы Дирехле (Л. Дирехле – неміс математигі, 1805-1859) бірінші
мүшесі мен айырмасы өз ара жай ... ... кез ... арифметикалық
прогрессия үшін мынадай фактіні дәлелдеп берді.
Дирихле теоремасы. Егер прогрессияның айырмасы k және ... ... жай ... ... ... , ... прогрессиясында шектеусіз көп жай сандар бар болады.
шарты - маңызды шарт, өйткені ... ... ... ... d ге ... және ... көп ... жай сан болады.
Ал берілген шамасынан аспайтын жай сандарының
прогрессиядағы ... ... ... қиынға соқты. Бұл жөніндегі
айтарлықтай ... ... адам ... болды. Академик
И.М.Виноградовтың қуатты аналитикалық ... ... ... ... ... ... құрды:
(2.1.2)
мұнда - тұрақты сан, кез келген сан, - ... ... (2.1.2) ... ... ... ... мәселесі Дирихле
-функцияларының нольдерінің кризистік ... ... ... ... ... ... сол Риманың жалпыланған гипотезасына
келіп тіреледі. (2.1.2) ... ... ... ... Виноградов
едәуір дәлдей түсті, ол үшін мына мәнді тапты:
.
Натурал қатардағы барлық жай сандардың санының ... ... , ... саны ... және осындай әрбір
прогрессияда 1 ден х ке дейінгі аралықтағы жай сандардың ... ... ... ... ... және (2.1.3) ... арифметикалық прогрессияда шектеусіз көп
жай сандардың болатынын көрсетеді. 1944 жылы ... ... ... ... кез келген берілген арифметикалық прогрессияның ең кіші
жай саны үшін шекараны көрсетіп ... ... Кез ... ... жай мен натурал
сандары үшін арифметикалық прогрессияға тиісті ең кіші жай сан ... ... с саны ... үлкен үшін Линник теоремасы нұсқайтын тұрақты с ... ... ... ... ... ... есептеледі. Сызықты функция орнына кез ... ... т.б. ... функцияны алып, ... жай ... саны ... ... ... ... ... жай сандардың таралуы жөніндегі мәселені қарастыруға болады.
айталық ге мына 1, 2, 3, ... ... ... , ... ... ... ... 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65, 82, ... тізбектің алдыңғы 3000 мүшесінің арасында 300 жай сан бар, ал ... жай ... саны ... ме, ... жиын ба, әзір ... ... ... көпмүшеліктерді қарастыратын болсақ, қиыншылық арта
түседі. Осы күнге дейін ешбір ... ... және ... ... үшін сол көпмүшеліктің мәндері тізбегіндегі жай сандардың саны
шектеусіз болатыны анықталған жоқ.
§ 2.2. Жай ... ... ... ... ... ... ... прогрессияда таралуы жөніндегі мәселе
мен функциясы нөльдердің кризистік жолақта орналасуының ... ... ... бағалау шамасын функцияларының нөлдері ... ... ... ... ал арқылы (1.4.59)
облысында бірыңғай нөлін белгілейміз. еш уақытта ... ... ... ... ... ... ... кіші.
Мұнда екені анық.
және бар ... ... ... азайта барлық
уақытта тұрақты үшін ешқандай бірыңғай сипаттары бар болмайтындығын
көрсетуге болады.
Егер бірыңғай ... және ... онда ... ... кездескен теңдіктерде мүшелерді алу керек.
Теорема 2.2.1. Егер ... кез ... ... сан ... онда
,
(2.2.3)
,
(2.2.4)
(2.2.5)
бағалауларына ие боламыз.
Дәлелдеу. Айталық, нақты сан, , сонымен қатар ... ... ... ... Онда мына ... ... Айталық, болсын. Егер облыстарында, сонымен ... ... онда , ... (1.4.11) және (1.4.13) ... ... ... ... тұжырымға бағынамыз:
A. үшін
B. үшін
C. үшін
А. Жағдай кезіңде (1.4.20), (1.4.13), (1.4.18) бағалауларынан келесі
(2.2.6)
бағалауы ... ... ... В. ... ... ... саны ден тәуелсіз және кейбір
уақытта бір мәнге ие болуы мүмкін.
С. жағдайында біз ... ... ... ... ... ... ... болатындай аз етіп аламыз. Онда деп аламыз.
Мысалы, деп алуға болады. кезіңде (1.4.11), ... ... және ... шығады. (2.2.8) теңдігінің сол жақ ... ... ... ... ... (2.2.8) осы ... ... және
сондықтан барлық жарты жазықтығында және ... Енді ... ... ге қолданамыз. Онда болғанда
және А.,В.,С. ... ... ... 1.4.16 ... бойынша -бірінші ретті нөлі) болатыны
анық. Бізге осы қажет еді. ны осы шартты ... ... (2.2.6), (2.2.7) және (2.2.8) ... үш ... ... ... арқылы
алуға болатыны шығады. болғанда (2.2.8) бағалауына ... ... А. ... (1.4.25) ... В. ... (1.4.25) және
теңсіздігінен
шығады. С. жағдайында (1.4.25) және
теңсіздігінен
аламыз. Мұнда үш жағдайда да төмендегі теорема қолданылған.
Теорема. ... ... Егер ... сонымен қатар
, болса, онда , болады.
(2.2.3), (2.2.4) және (2.2.5) ... үшін ... бұл ... кез ... сипаттама үшін орындалатындай (1.4.25)
формуласынан шығады.
§ 2.3. Асимптотикалық формулалар.
Енді ... ... ... ... және болғанда
(2.2.2)
функциясын қарастырамыз. Мұнда болғанда функциясына көшеміз.
(1.3.11) орынды десек
(2.2.3)
теңдігі орындалады.
Теорема 2.3.1. Егер ... онда ... ... орынды
.
Теорема 2.3.2. Егер
(2.3.4)
деп жорамалдасақ, онда
(2.3.5)
арақатынасы болғанда ... ... ... қатары абсолютті жинақталсын
және болсын. Мұндағы ... ... ... бұл ... оң ... ... ... болғанда
болады. Айталық, кез келген , , ... Онда ... ... ... ... орынды
, сонымен қатар - ке жуық натурал саны. ... ... ... Қалған үшін жоғарғы формулалардың қалдық мүшелерін
мына түрде жазуға болады:
.
дегі ... ... тен, дан және дан, ... теоремасын
жағдайында қолданамыз. (1.2.5) дұрыс десек, және
(2.3.6)
болғандықтан деп алуға болады. Онда болса,
(2.3.7)
формуласына ие ... ... - ... және ... арқылы бөлігін, арқылы ден ... ... ... ... арқылы бөлігін және
арқылы тұйық жолын белгілейміз.
деп жорамалдайық. Онда да ... ... ... ... ... жоқ. (3.3.7) ... ... Егер болғанда болса, онда
(2.3.9)
бағалауы орындалады. Барлық үшін (2.2.2) ... ... ... және аламыз. Сондықтан (2.2.5) және ... Бұл ... ... ... ие. Егер ... ... үшін деп ... болса, онда және жеткілікті аз ... ... ... шама реті ке тең. ... ... тұжырымы
болғанда дәлелденді.
жағдайын қарастырайық. Егер ерекше нөлі үшін
теңсіздігі орындалса, онда үшін
болады. Бұл жағдайда (2.2.5) ... ... ... жолы ... болады, тек (2.3.3) теңсіздігінің оң жақ бөлігінде
мүше пайда болады. Біз қиылысу нүктелерінің айналасында
(2.3.11)
теңсіздік ... ... ... ... ... ... және
сәйкес бөлігін нүктесі арқылы өтетін ... доға ... ... осы ... ... және ... Онда
арақатынасы орындалады. Сондықтан, бұрынғыдай
.
(2.3.11) және болғанда теңсіздіктерінен
аламыз. Сондықтан, егер аз ... ... (2.3.4) ... ... Айырмашылығы, бұл жағдайда оң жақ бөлігінің екінші мүшесі
қалған мүшелерден тұрады. Осымен 2.3.2 теоремасы толығымен дәлелденді.
Теорема 2.3.3. Егер ... ... ... ... Егер бойынша бірыңғай сипаттамасы және
функциясына сәйкес бірыңғай нөлі бар болса, онда екінші ... тең ... (2.3.2) ... және 2.3.2 ... Егер ... және , ... ... осы жерден (2.3.12) алуға болады.
-« интегралды логарифм» функциясы
формуласымен анықталады.
(2.3.13)
болатыны анық. Кез келген ... саны ... ... ... арқылы
(2.3.15)
болады.
Лемма 2.3.1. Егер , болса, онда
(2.3.16)
теңдігі орындалады. Сонымен ... кез ... ... ... ... болғанда, мұндағы дан тәуелсіз,
функциясы монотонды өседі деп жорамалдаймыз. Айталық, ... ... ... үшін ...
бойынша бірқалыпты шектелген болуы керек. Егер осы шарттар орындалса, ... ... ... алуға болады.
Дәлелдеу. Кез келген болғанда
болғандықтан,
болады. (2.3.16) ... ... ... дөңгелегінде регулярлы және келесі шартты
қанағаттандырсын. Егер дөңгелегінде ... ... ... ... ... ... Бөліктеп интегралдасақ
.
монотондығынан x>x0 болғанда
аламыз. Мұндағы O(l) де тұрақты сан k дан тәуелсіз. және ... ... Егер (2.3.13) ... онда (2.3.17) ... 2.3.4. Егер ... ... және ... пайдалансақ, қалдық мүшесін азайтсақ,
онда дәлелдеуі 2.3.3 ... және 2.3.1 ... ... 2.3.5. Егер k ... ... ... ... жағдайда
(2.3.21)
болады.
Дәлелдеу. 1.3.2 теоремасы бойынша ие боламыз. Сондықтан, егер k
белгіленсе, онда (2.3.18) ... ... (2.3.20) ... ... сонымен қатар тұрақты сан k дан
тәуелді болуы мүмкін.
болғанда
(2.3.22)
аламыз. Және (2.3.13), (2.3.15) ... ... 2.3.6. Егер ... ... ... ... Құрамында бөлінетін кейбір болатын k ... (1.4.14) ... ... жағдайында модулі
болғанда пайда болатын бірыңғай нөлі үшін
(2.3.25)
аламыз. ( белгілегендіктен ... нөлі бар ... сол ... ... үшін және үшін ... теңсіздігі бізге
береді және (2.3.18) да мұнда қалған мүшелері ке ... ... ...

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Көлемі: 50 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 1 100 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
AVR тегінденгі микроконтроллерларды пайдалану ерекшеліктері4 бет
Арифметикалық амалдар26 бет
Арифметикалық амалдар және олардың қасиеттері мен заңдары.6 бет
Арифметикалық ұғымдарды оқытуда ақпараттық құзыреттіліктерді дамыту25 бет
"Қазақ жеріндегі исламның таралуы."96 бет
1. Вирустардың организмге енуі, таралуы, орналасуы. Инфекция түрлері және оларға сипаттама. 2. Иммунитеттің механизмдері. Иммунитеттің гуморальдық, клеткалық, жалпы физиологиялық факторлары20 бет
1. Вирустардың организмге енуі, таралуы, орналасуы. Инфекция түрлері және оларға сипаттама. 2. Иммунитеттің механизмдері. Иммунитеттің гуморальдық, клеткалық, жалпы физиологиялық фактролары11 бет
1. Вирустардың организмге енуі, таралуы, орналасуы. Инфекция түрлері және оларға сипаттама.2. Иммунитеттің механизмдері. Иммунитеттің гуморальдық, клеткалық, жалпы физиологиялық фактролары11 бет
Айнымалы токтың таралуы, түрленуі10 бет
Арифметикалық амалдарды жазбаша орындау тәсілдері18 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь