Салу есептерін алгебралық әдіспен шешу

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Дипломдық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:

Мазмұны

Кіріспе . . . 4

І бөлім. Салу есептерінің пайда болу тарихына шолу . . . 6

1. 1 Алгебралық геометрия негіздеріне сипаттама . . . 6

1. 2 Салу есептерін шешудің алгебралық тәсілдерінің пайда болуы . . . 11

ІІ бөлім. Салу есептерін алгебралық әдіспен шешу . . . 22

2. 1 Салу есептерін орындаудағы алгебралық өрнек . . . 22

2. 2 Циркульмен орындалатын салу есептерін алгебралық шешу мүмкіндіктері . . . 28

2. 3 Салу есептерін орындау және шешу тәсілдері . . . 35

2. 4 Инверсия және оның қасиеттері . . . 43

2. 5 Салу есептерін квадрат теңдеулер әдісімен шешу . . . 51

Қорытынды . . . 59

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі . . . 61

Кіріспе

ҚР білім беру жүйесінің дамуы - жаңа ақпараттық технологиялар мен компьютерлердің қолданылу деңгейіне, шығармашыл білімнің қалай , оның әлеуеттік мүмкіндігінің күшеюіне байланысты.

Ал бұл міндеттің іске асырылуы мектептегі оқу үдерісіне жаңа технологиялар мен ақпараттық құралдардың қаншалықты, сонымен қатар қандай негізде енгізілуіне тәуелді екені түсінікті. Жалпы орта білім берудің математика пәні бойынша мемлекеттік жалпыға міндетті стандартында бұл пәннің саласында онымен іргелес өзге де ғылым салаларындағыдай жаңалықтар мен жаңа білім көлемі жедел қарқынмен жыл сайын артып отырғаны айтылып, осы нормативтік құжаттың мақсат-міндеттерін анықтауда ескерілген қоғамдық өзгерістің бірінде былай делінген: « . . . Қоғамның жоғары деңгейде ақпараттандырылуы, ақпараттық техника мен технологиялардың кеңінен қолданылуы математиканы оқыту барысында оқушылардың алгоритмдік мәдениетін дамуды талап етеді».

Бұл мәселені шешудегі басты міндет мектепке, әсіресе, математиканы оқытуға жүктеледі.

Жалпы, геометрияны оқыту әдістемесіне үлес қосқан ғалымдар Н. М. Бескин, В. Г. Чичигин, А. Н. Колмогоров, В. А. Гусев. Геометрия есептерін шығару мен теоремаларды дәлелдеуді оқып үйретуге Д. Пойа, М. Б. Волович, К. С. Богушевский, Л. С. Карнацевич, мектеп геометриясы оқулығындағы тарауларды оқытуға Т. М. Мищенко, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, С. Е. Ляпин, В. А. Оганесян, А. Я. Блох, И. Ф. Тесленко т. б. еңбектері бар.

Орта мектепте математика пәнiн оқытуда жаңа педагогикалық технологияны пайдалану Е. Баранова, Р. Б. Бекмолдаева, С. С. Дайырбеков, В. С. Свиридовтар, диссертацияларының зерттеу пәніне енген.

Соңғы кезде электрондық оқулық басылымдармен жұмыс мәселелерi дезерттелiнiп, (Г. К. Нургалиева, Ж. Қайдасов, В. В. Гриншкун т. б. ) тура және керi байланысты іске асыратын автоматтандырылған кешен түрiндегi жүйелер ұсынылуда.

Компьютер арқылы оқу материалдарын көрнекі ұсынып оқытатын «Живая геометрия» бағдарламасы Ресейде қолданысқа еніп, оқушылардың қызығушылығын арттыруға тиімді пайдаланылуда.

Келтірілген қысқаша шолу қазіргі бiлiм саласында жаңа, ақпараттық парадигманың қалыптаса бастағанын көрсетеді.

Алайда геометрия пәнін оқытуда ақпараттық технологияны пайдалану мәселелеріне арналған зерттеу жұмыстарын талдау біз қарастырып отырған мәселелердің толық қамтылмағанын көрсетті. Негізгі мектепте планиметрия курсын оқыту барысында оқушылардың іс-әрекеттерін ақпараттық технология арқылы ұйымдастыру мен басқару, теоремаларды дәлелдеу мен есептер шығару кезінде ұғымдар арасындағы байланыстарды бекітетін іс-әрекеттерді ақпараттық технология қолдауымен жүргізу, бағдарламалық кұрал-жабдықтың көмегімен оқушылардың білім-білік, дағдыларын тиянақтау мен бекіту, есте сақтау ерекшеліктері мен табиғаты психология-дидактикалық және әдістемелік зерттеулерде тиісті аспектілер тұрғысынан талқыға салынған.

Негізгі мектептегі салу есептерін алгебралық әдіспен шешуде оқушылардың тиісті ұғымды нәтижелі қалыптастыру, есептер шығару мен теоремаларды дәлелдеу біліктерін игерту қызметін ақпараттық технология мүмкіндігімен жетілдіру қажеттілігі мен оның іс жүзінде әдістемелік тұрғыдан қамтамасыз етілуі арасында қарама-қайшылық туындайды. Осыған орай, мектепте планиметрия курсын оқыту сапасын жетілдіру үшін ақпараттық технологияны пайдалану жолдарын анықтау осы курсты оқыту әдістемесіндегі көкейкесті мәселе болып табылады.

Диплом жұмысының мақсаты мен міндеті: Салу есептерін алгебралық әдіспен шешудің тиімділігін, оқу процесіндегі басымдылығын айқындау.

Диплом жұмысының зерттеу әдістері:

- мектептердің жұмыс бағдарламаларын, оқулықтары мен оқу құралдарын, психология-педагогикалық, математикалық және әдiстемелiк әдебиеттерді талдау;

- негізгі мектептегі оқу үдерісін ақпараттық технологияны пайдалануға қатысты елімізде және әлем елдерінде жинақталған тәжiрибелердi зерттеу, жалпылау;

- математика пәнiнің мұғалiмдерiмен пiкiр алмасу, мұғалімдер арасында сауалнама жүргізу;

- негізгі мектепте тәжiрибелiк-эксперименттік жұмыс жүргiзу және оның нәтижелерiн математика-статистикалық әдістер арқылы өңдеп-талдау.

Зерттеудiң ғылыми жаңалығы: Салу есептерін алгебралық әдіспен шешу оқушылардың математикалық ой-өрісін дамытудың негізгі компоненті болып табылады.

Дипломдық жұмыс кіріспеден, екі бөлімнен, қорытындыдан және пайдаланылған әдебиеттер тізімінен тұрады.

І бөлім. Салу есептерінің пайда болу тарихына шолу

1. 1 Алгебралық геометрия негіздеріне сипаттама

Algebraic geometry . Қазіргі математиканың тармақтарының маңызды бір саласы. оның негізгі зерттеу объектісі кез-келген өлшемдегі (кескіндеу не көлеңке) кеңестікте, бір неше алгебралық теңдеулердің ортақ нөлдік нүктелерінен құралған жыйынның геометриялық қасиеттері болып табылады. Мұндай жыйын әдетте алгебралық үйір деп аталады, ал бұл теңдеулер осы алгебралық үйірдің анықтаушы теңдеулер жүйесі деп аталады.

Бір алгебралық үйір V дің анықтаушы теңдеулерінің коэффиценті және V дағы нүктенің координаталары әдетте бір тұрақты K өрісінен талдап алынады, бұл өріс V-ның базалық өрісі деп аталады. V қысқартылмайтын болғанда (яғни V өзінен кіші екі алгебралық үйірдің бірігуіне жіктелмеген кезде), V дағы барлық алгебралық өрнек ретінде анықталған функциялардың бәрі бір өріс құрайды да, оны V-ның рационалды функциялық өрісі деп аталады, ол K-ның шекті жасаушы кеңейтуі. Осылайша анықталған сәйкестік қатынас бойынша алгебралық геометрияны геометрияның тілі мен көзқарасы арқылы жүргізілген шекті өлшемді жасаушы кеңейтілген кеңестікті зерттеу деп қарауға болады.

Алгебралық үйір V-ның базалық өріс K дағы өлшемін V-ның рационалды функциялық өрістің K дағы транценденттік дәрежесі деп анықтауға болады. Бір өлшемді алгебралық үйір алгебралық қисық деп, екі өлшемді алгебралық үйір алгебралық бет деп аталады.

Алгебралық үйірдің ең қарапайым мысалы жазықтықтағы алгебралық қисық. Мысалға атақты Ферма жорамалын(Ферманың үлкен теоремасы деп те аталады) төмендегі мәселеге жинақтауға болады, жазықтықта теңдеуімен анықталған қисықтың(Ферма қисығы деп аталады) n≥3 болғанда координаттарының бәрі нөлге тең емес рационал сан болатын нүкте табылмайды.

Енді бір жағынан төмендегі бір текті теңдеулер жүйесі комплекс сандар өрісіндегі проекциялық кеңестікте бір эллипстік қисықты анықтайды. Алгебралық үйірді зерттеу әдетте екі жаққа бөлінеді: аймақтық және жалпылық. Аймақтық жағындағы зерттеу негізінен алгебралық әдісті алмастыру арқылы алгебралық үйірдің ерекше нүктелерін және алгебралық үйірдің сол ерекше нүктенің маңайындағы қасиеттерін зерттейді.

Ерекше нүктенің мысалы ретінде теңдеуімен анықталған қисықтың бас нүктесін (0, 0) ді алуға болады. бүл бір айырық нүкте.

Ерекше нүктесі жоқ алгебралық үйір ерекше емес алгебралық үйір деп аталады. Бір алгебралық үйір ден екінші алгебралық үйір ге берілген бейнелеу қос рационалды бейнелеу деп аталады: егер ол рационалдық функциялық өрістер арасындағы изоморфизымнан келтіріліп шығатын болса.

Екі алгебралық үйір мен қос рационалды баламалы деп аталады егер дағы бір тығыз ашық жиын -дегі бір тығыз ашық жиынға изоморфты болса. Бүл шарт мен -нің рационалдық функциялық өрісінің изоморфты болуымен баламалы. Осы баламалық шарт болғандықтан алгебралық үйірдің бөлінуін алгебралық үйірдің қос рационалды функциялық өрісінің бөлінуімен түсіндіруге болады. Қазіргі кезде алгебралық геометрияның негізгі бағыты жалпылық жақтағы зерттеу, бастысы алгебралық өрістің бөлінуімен берілген алгебралық үйірдің ішкі үйірінің қасиеті болып саналады. Хомологикалдық алгебраның (homological algebra) амалдары осы жақта көптеп рөл атқарады. Қысқаша айтқанда: Математиканың алгебралық қисықтарды (беттерді) және олардың көп өлшемді жадпыламалары－алгебралық көпбейнелерді зеріттейтін бөлімі. А. г 17ғ-да геометрияға координат ұғымы енгізілгеннен кейін пайда болды. Ол, негізінен 19ғ дың ортасынан бастап жеке ғылым ретінде қалыптаса бастады. Қазыргі А. г алгебралық қисықтар теориясы ретінде дүниеге келді. Жазықтықтағы геометрияда А. г нің зеріттейтін негізгі обьектісі－жазық аффиндік алгебралық қисық, яғни f(x, y) =0 теңдеуімен берілген жиын(мұндағы －f-көпмүше ) . Түзу, шеңбер, эллипс, гипербола, парабола, декарт жапарғы, Аньези локоны және лемниската алгебралық қисықтың мысалына жатады, ал синусойда－трансценденттік қисық(яғни алгебралық қисық емес) . Қисықтарды алгебралық және трансценденттік қисықтар деп алғаш жігін ашып берген Р. Декарт болды. Осыған сәйкес оларды “геометриялық” және “механикалық”қисықтар деп атаған. f(x, y) =0 теңдеуімен өрнектелген қисықтар өздеріне сәйкесті дәрежелері (қисықтың реті) бойынша түрге бөлінеді. 1- дәрежелі алгебралық қисықтарға －түзулер, ал 2-дәрежелі алгебралық қисықтарға конустық қималар, шеңберлер, т. б жатады. 3-дәрежелі жазық алгебралық қисықтардың түрін 1704жылы И. Ньютон ұсынған. Алгебрық теңдеулерді геометриялық обьектілерге(сызықтарға, беттерге т. б) сәйкестендіруді алғаш ұсынған Р. Декарт пен П. Ферма болды. Үш өлшемді геометрияда алгебралық бет деп g(x, y, z) =0 теңдеуімен берілген жиынды айтады(мүндағы － g- x, y, z координаталарынан алынған көпмүше) . Алгебралық сандар теориясында, функциялық талдауда теориялық физика мен кодьау теориясында қолданылады.

Кеңістіктегі негізгі фигуралар: нүкте, түзу және жазықтық. Стереометрияда, планиметриядағы сияқты геометриялық фигуралардың қасиеттері сәйкес теоремаларды дәлелдәу арқылы тағайындалады. Жаңа геометриялық бейне-жазықтықты енгізу аксиомалар жүйесін кеңейте түсуге мәжбүр етеді. Сондықтан біз жазықтықтардың кеңістіктегі негізгі қасиеттерін өрнектейтін аксиомалардың С тобын енгіземіз. Бұл топ мына үш аксиомалардан тұрады:А. с. 1. Қандай жазықтық болса да, ол жазықтыққа тиісті нүктелер және оған тиісті емес нүктелер бар болады.

А. с. 2. Егер әр түрлі екі жазықтықтың ортақ нүктесі бар болса, онда олар осы нүкте арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

А. с. 3. Егер әр түрлі екі түзудің ортақ нүктесі болса, онда олар арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Осы аксиомаларды және планиметрияның аксиомаларын қолданып, стереометрияның алғашқы теоремаларын дәлелдеуге болады. Мысалы, келесідей:

Т. 1. Берілген түзуде жатпайтын үш нүкте арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Т. 2. Егер түзудің екі нүктесі жазықтыққа тиісті болса, онда түзу тұтастай сол жазықтыққа тиісті болады.

Т. 3. Егер АВ түзуі СD түзуін қиятын болса, онда А, В, С және D нүктелері бір жазықтықта жатады.

1-теореманы дәлелдейміз

А, В және С нүктелері бір түзудің бойына тиісті емес дейік. А. с. 2. бойынша АВ және АС түзулерін жүргізуге болады. Бұл түзулердің ортақ нүктесі бар. Ендеше А. с. 3. бойынша олар арқылы жазықтық жүргізуге болады. А. с. 2. бойынша АВ түзуі -жалғыз және АС түзуі-жалғыз. Сонымен, АВС жазықтығы да жалғыз.

Стереометрияның аксиомалар жүйесіне және жоғарыдағы теоремаларға сүйеніп, көпжақтардың жазықтықтармен қиылысуын салуға болады.

Мысалы: МАВСD пирамиданың МС, МD қабырғаларында сәйкес Р және Q нүктелері алынған, ал МАВ жақтарында R нүктесі алынған. P, Q және R нүктелері арқылы өтетін пирамиданың a-жазықтығымен қиылысуын көрсетеміз.

1) Р нүктесінің проекциясы- P´, Q´, R´ нүктелерін салайық, М центрінен АВС жазықтығына Q және R-ді саламыз.

2) RR´1 QQ´ болғандықтан, Т3. бойынша бұл түзулер бір жазықтықтың бойында жатады. Бұл жазықтықта Т2. бойынша сонымен қатар RQ және R´Q´ түзулері де жатыр. S1 =RQ1 R´Q´ нүктесін саламыз.

3) Аналогиялық тұрғыдан S2 =PQ1 P´Q нүктесін құрамыз.

4) Сондықтан S1 нүктесі RQ түзуінде жатады, ал RQ түзуі a жазықтығында жатады, онда S1 нүктесі де a жазықтығында жатады.

S1 нүктесі R´Q´ түзуінде де жатады, ал R´Q´ түзуі АВС жазықтығында жатыр. Сонымен S1 нүктесі АВС жазықтығында жатыр. Сондықтан, a жазықтығы мен АВс жазықтығының ортақ S1 нүктесі бар. Бұдан А. с. 2 бойынша бұл жазықтықтар S1 нүктесі арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

Аналогиялық тұрғыдан аяқтасақ, a және АВС жазықтықтары S2 нүктесі арқылы өтетін түзу бойымен қиылысады.

S1 және S2 нүктелері a жазықтығына тиісті болғандықтан, Т2. бойынша S1S2 түзулері a жазықтығында жатады. Сол сияқты S1S2 түзулері де АВС жазықтығында жатыр. Сондықтан, a жазықтығы АВС жазықтығын S1S2 түзуінде қияды. Бұл түзуді a жазықтығының АВС жазықтығындағы ізі деп атайды.

5) S3 = AB1 S1S2 нүктесін құрамыз. S3 нүктесі S1S2 түзуінде жатыр, яғни ол a жазықтығында жатыр. S3 нүктесі АВ түзінде де жатып, яғни ол МАВ жазығында жатыр. Сондықтан, бұл екі жазықтық S3R түзінде қиылысады.

6) S3R түзуі МА және МВ түзулерімен бір жазықтықтың бойында жатыр. А1= S3R1MA және В1 = S3R1MB нүктелерін табамыз. a жазықтығымен МАВ жағының қиылысуы болатын А1В1кесіндісін аламыз.

7) В1 нүктесін Р нүктесімен және А1 нүктесін Q нүктесімен қосамыз.

Қорытындысында PQA1B1 төртбұрышын аламыз.

Түзулер мен жазықтықтардың параллельдігі.

Анықтама. ( Кеңістіктегі параллель түзулер) Кеңістіктегі екі түзу бір жазықтықта жатса және өзара қиылыспаса, онда ондай екі түзу параллель түзулер деп аталады.

Анықтама( Айқас түзулер) Өзара қиылыспайтын және бір жазықтықта жатпайтын түзулер айқас тузулер деп аталады.

Т. 1. Егер aïïb және PÎa, QÎb, онда a, b түзулері және PQ түзулері бір жазықтықта жатады.

Т. 2. Берілген түзуден тыс жатқан нүкте арқылы сол түзуге параллель түзу жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Т. 3. ( Түзудің параллельдігінің белгісі) . Қандай да бір түзуге параллель болатын екі түзу өзара параллель болады.

Т. 4. Екі параллель түзу арқылы жазықтық жүргізуге болады және ол тек біреу ғана болады.

Анықтама. ( Түзу мен жазықтықтың параллельдігі) Түзу мен жазықтық қиылыспайтын болса, онда олар параллель деп аталады.

Т. 5. ( Түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі) . Егер a жазықтыққа тиісті емес а түзуі осы a жазықтықтағы қандай да бір b түзуге параллель болса, онда ол a жазықтықтың өзіне де параллель болады.

Т. 6. Егер m түзуі a жазықтығы мен b жазықтығына параллель m түзуі арқылы өтетін болса, a жазықтығын m1 түзуінде қияды.

Анықтама. ( параллель жазықтықтар) . Егер екі жазықтық қиылыспайтын болса, онда олар параллель жазықтықтар деп аталады.

Т. 7. ( Параллель жазықтықтардың қасиеттері) 1. Егер параллель екі жазықтықты үшінші жазықтық қиятын болса, онда қиылысу түзулері параллель болады

2. Параллель екі жазықтықтың арасындағы параллель түзулердің кесінділері тең болады.

Т. 8. ( Жазықтықтардың параллельдігінің белгісі. ) Егер бір жазықтықта жатқан өзара қиылысатын екі түзу, екінші жазықтықта жатқан өзара қиылысатын екі түзуге сәйкесінше параллель болса, онда ол екі жазықтық параллель болады.

Т. 9. ( Берілген жазықтыққа параллель жазықтықтың бар болуы. ) Берілген жазықтықтан тыс жатқан нүкте арқылы берілген жазықтыққа параллель жазықтық жүргізуге болады және ло тек біреу ғана болады.

Стереометрияның аксиомалар жүйесіне және кеңістіктегі түзулер мен жазықтықтардың параллельдігінің теоремасына сүйеніп, көпжақтардың жазықтықтармен қиылысуын салуға болады.

Мысалы. МАВС пирамиданың АВ және АС қабырғаларында сәйкес D және E нүктелері алынған. D және E нүктелері арқылы өтетін МА түзуіне параллель пирамиданың a жазықтығымен қиылысуын көрсетеміз.

1) D және E нүктелері a жазықтығында жатқандықтан және де АВС жазықтығында да, онда бұл жазықтықтар DE түзуінің бойында қиылысады, ал DE кесіндісі a жазықтығы мен АВС шоғының қиылысуы болып табылады.

2) Сонымен, a жазықтығының МАВ жазықтығымен D ортақ нүктесі бар, онда А. с. 2. бойынша бұл жазықтықтар D нүктесі арқылы өтетін түзу бойында қиылысады. Шарт бойынша МА түзуі a жазықтығына параллель. Онда Т. 6. бойынша МА түзу арқылы өтетін МАВ жазықтық, МА параллель жазықтығын түзу бойымен қияды. Сондықтан, жазықтығы МАВ жазықтығын D нүктесі арқылы өтетін МА түзуіне параллель түзу бойымен қияды. Осы түзуді жүргіземіз және В1 нүктесімен оның МВ түзуімен қиылысуын табамыз. DB1 кесіндісі жазықтығы мен МАВ жағының қиылысуы болып табылады.

3) Аналогиялық тұрғыдан, МА түзуіне параллель Е нүктесі арқылы МАС жазықтығында түзу жүргіземіз, яғни a жазықтығы мен МАС жағының қиылысуы болатын ЕС1 кесіндісін аламыз.

4) В1 және С1 нүктелері жазықтығында да МВС жазықтығында да жатады. Сондықтан, В1С1 түзулері олардың қиылысу сызығы болады, ал В1С1 кесінділері жазықтығы мен МВС жағының қиылысуы болады.

Сонымен, төртбұрыш DEC1B1 - бұл ізделінген пирамиданың жазықтығымен қиылысуы.

Түзулер мен жазықтықтардың перпендикулярлығы

Анықтама. Жазықтықтағы сияқты, егер екі түзу тік бұрыш жасап қиылысатын болса, онда олар перпендикуляр түзулер деп аталады.

Т. 1. Егер перпендикуляр екі түзу қиылысатын екі түзуге сәйкесінше параллель болса, онда олар өзара перпендикуляр болады.

Анықтама. Егер жазықтықты қиятын түзу сол жазықтықта жатқан және түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі арқылы өтетін кез келген түзуге перпендикуляр болса, онда түзу жазықтыққа перпендикуляр деп аталады.

Т. 2. (Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының белгісі. ) Егер жазықтықты қиятын түзу осы жазықтықта жатқан қиылысатын екі түзуге перпендикуляр болса, ол түзу жазықтыққа перпендикуляр болады.

Ескерту. Егер айқас түзулердің арасындағы бұрыштың анықтамасын қолдансақ(айқас түзулердің арасындағы бұрыш деп берілген айқас түзулерге параллель болатын қиылысатын түзулердің арасындағы бұрышты айтамыз. ), онда алдыңғы анықтама мен 2-ші теореманы келесідей жағдайлар арқылы көрсетеміз:

Анықтама. (Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының жалпы белгісі) .

Егер түзу осы жазықтықтың бойында жатқан барлық түзуге перпендикуляр болса онда ол осы жазықтыққа да перпендикуляр деп аталады.

Т. 2. (Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығының жалпы белгісі. )

Егер түзу бір жазықтықтың бойында жататын қиылысатын екі түзуге де перпендикуляр болса, онда ол осы жазықтыққа да перпендикуляр.

Т. 3. (Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлығы мен параллельдігінің байланысы. )

1. Егер жазықтық параллель екі түзудің біреуіне перпендикуляр болса онда ол екіншісіне де перпендикуляр.

2. Нүкте мен жазықтықтың арақашықтығы деп осы нүктеден берілген жазықтыққа түсірілген перпендикулярды айтамыз.

3. Бір нүктеден жазықтыққа жүргізілген көлбеу деп жазықтыққа перпендикуляр емес, бірұшы жазықтықта, екінші ұшы берілген нүктеде жататын кез келген түзуді айтамыз.

4. Бір нүктеден жүргізілген көлбеу мен перпендикулярдың табандарын қосатын түзуді көлбеудің проекциясы деп атаймыз.

Т. 4. (Үш перпендикуляр туралы. ) Жазықтықта көлбеудің табаны арқылы оның проекциясына перпендикуляр етіп жүргізілген түзу сол көлбеудің өзіне де перпендикуляр болады.

Т. 4′. (Т. 4. -ке кері. ) Егер жазықтықтағы түзу көлбеуге перпендикуляр болса, онда ол проекциясына да перпендикуляр болады

Анықтама. (Жазықтықтардың перпендикулярлығы. ) Егер қиылысатын екі жазықтықтың қиылысу түзуіне перпендикуляр үшінші жазықтық оларды перпендикуляр түзулер бойымен қиятын болса, оларды перпендикуляр жазықтықтар деп атайды

Т. 5. (Жазықтықтардың перпендикулярлығының белгісі. ) Егер жазықтық басқа бір жазықтыққа перпендикуляр жазықтық арқылы өтетін болса, онда бұл жазықтықтар перпендикуляр болады.

Т. 6. Егер түзу, екі перпендикуляр жазықтықтың біреуінде жататын болса, онда ол үшінші жазықтыққа да перпендикуляр.

... жалғасы

Сіз бұл жұмысты біздің қосымшамыз арқылы толығымен тегін көре аласыз.