Интегралдық теңдеулер

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Тегін: Антиплагиат
Көлемі: 60 бет
Таңдаулыға:

Интегралдық теңдеулерді кластарға бөлу

Белгісіз функциялар интегралдардың астында кездесетін теңдеулер интегралдық теңдеулер деп аталады. Егер белгісіз функция интегралдық теңдеуге сызықтық түрде қатынасса, онда теңдеуді сызықтық деп атайды.

$\varphi(x) = \leftthreetimes \int_{a}^{b}{k(x, s) \ \varphi(s) }ds + f(x), \ a \leq x \leq b$ (1)

Түріндегі теңдеу Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуі деп аталады. Мұндағы $\varphi(х)$ -нақты айнымалы х аргументіне тәуелді белгісіз функция, $f(x)$ функциясы $\lbrack a, s\rbrack$ кеіснідісінде, $k(x, s)$ функциясы $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$

$D = \left\{ a \leq x, s \leq b \right\}$

Жиынында анықталған белгілі функциялар: $f(x)$ пен $k(x, s)$ сәйкес интегралдық теңдеудің бос мүшесі мен ядросы деп аталады, ал $\leftthreetimes$ - параметр. Интегралдық жоғарғы және төменгі шектері ( а мен b ) жалпы жағдайда тұрақты шамалар; олар шектелген де, шектелмеген де болуы мүмкін. Егер $f(x) = 0$ болса, онда жоғарыдағы (1) интегралдық теңдеу біртекті, ал $f(x) \neq 0$ болған жағдайда - біртекті емес деп аталады.

Фредгольмнің 1-текті интегралдық теңдеуінде белгісіз функция интегралдық мүшеде ғана қатынасады, дәлірек айтқанда, ол теңдеу

$\int_{a}^{b}{k(x, s) \varphi(s) ds = f(x) }$

Түрінде жазылады.

Больтерраның 2-текті интегралдық теңдеу деп

$\varphi(x) = \leftthreetimes \int_{a}^{x}{k(x, s) \varphi(s) ds + f(x) }$ (2)

Түріндегі, ал 1-текті интегралдық теңдеу деп

$\int_{a}^{x}{k(x, s) \varphi(s) ds = f(x) }$

Түріндегі теңдеуді айтады.

Егер $\varphi(х)$ функциясын интегралдық теңдеуге қойғанда теңдеу тепе-теңдікке айналса, онда $\varphi(х)$ функциясы интегралдық теңдеудің шешімі деп аталады. Интегралдық теңдеудің шешімі бар және оның жалғыз болуы 𝝀 параметріне байланысты екенін көреміз. Мәселен, Фредгольмнің біртекті интегралдық

$\varphi(x) = \int_{a}^{x}{k(x, s) \varphi(s) ds}$

Теңдеуінің 𝝀 параметрінің кез келген мәндерінде $\varphi(x) = 0$ шешімі бар болады, ал нольден ерекше шешімдер әрқашан бар бола бермейді.

Фредгольмнің біртекті интегралдық теңдеуінің нольге тең емес шешімдері бар болатын 𝝀 параметрінің мәндері меншікті мәндер деп, ал оларға сәйкес нольден ерекше шеішімдер меншікті функциялар деп аталады.

Вольтерра теңдеуін Фредгольм теңдеуінің дербес түрі деп қарауға болады. Снбебі (2) теңдеуінің $k(x, s)$ ядросы $a \leq x \leq b$ , $a \leq s \leq b$ жағдайында $k(x, s) = 0$ деп алсақ, онда біз (1) теңдеуінің ядросын

$K_{0}(x, s) = \left\{ \begin{array}{r} k(x, s), x \geq s \\ 0, \ x \leq s \end{array} \right. \$

түрінде анықтаймыз.

Бұл ескерту бойынша Фредгольм теңдеуі үшін дәлелденген қасиеттер Вольтерра теңдеу үшін де орындалады. Бірақ Вольтерра теңдеунің тек өзіне тән ерекше қасиеттері бар, сондықтан Фредгольм теңдеуімен қатар вольтерра теңдеуін де қарастырамыз.

Келешекте (1) және (2) интегралдық теңдеулеріндегі берілген бос мүше $f(x)$ пен ядро $k(x, s)$ үзіліссіз немесе квадраттарымен интегралданатын функциялар:

$\int_{a}^{b}{\left f(x) \right^{2}dx < + \infty; \int_{a}^{b}{\int_{a}^{b}{\left k(x, s) \right^{2}dxdy < + \infty}}}$

яғни $f(x)$ , $\ k(x, s)$ ) $\in$ L ₂ (D) деп ұйғарамыз. Осы шартты қанағаттандырушы $k(x, s)$ функциясын Фредгольм ядросы деп аталады. Фредгольм ядроларына мысалдар келтірейік.

1-мысал. $\ k(x, s) = e^{- xs}$ ядросындағы айнымалылар $1 \leq x, s < \infty$ болғанда $e^{- xs}$ фредгольмдік ядро болады, ал $0 \leq x, s < \infty$ болса, онда ол фредгольмдік ядро болмайды. Расында

$\int_{1}^{\infty}{\int_{1}^{\infty}\left e^{- xs} \right^{2}}$ dxds= $\frac{1}{2}\int_{1}^{\infty}{e^{- 2x}dx < \infty, \ }$ $\int_{0}^{\infty}{\int_{0}^{\infty}{e^{- 2xs}dsdx = \frac{1}{2}}}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x} = \infty$

2-мысал. Егер интегралдық теңдеудің ядросы

$k(x, s) = \frac{A(x, s) }{x - s^{\alpha}}, \ a \leq x, s \leq b$ (3)

Мұндағы $A(x, s)$ -үзіліссіз функция және 0 $\leq \alpha < \frac{1}{2}$ болса, онда ядро фредгольмдік болмайды.

Егер (3) ядросында 0 $\leq \alpha < 1$ болса, онда ол ядро ерекшелігі әлсіз немесе полярлық ерекшелікті ядро деп, ал теңдеу ерекшелігі әлсіз интегралдық теңдеу деп аталады. Егер $\alpha = 1$ болса, онда $k(x, s) = A(x, s) (x - s) ^{- 1}$ түріндегі интегралдық теңдеуді сингулярлық интегралдық теңдеулер деп атайды. Бір аргументті сингулярлық интегралдық теңдеудің жалпы түрі:

$a(x) \varphi(x) - \frac{b(x) }{2\pi}\int_{Г}^{}\frac{\varphi(s) }{s - x}ds + \int_{Г}^{}{k(x, s) \varphi(s) ds = f(x) }$

Мұнда Г-комплекс жазықтықтағы тұйық немесе тұйық емес қарапайым доғалар жиыны; $x, s \in Г, \ a(x), b(x)$ және $f(x)$ функциялар Г доғасында анықталған, ал $K(x, s) \in L_{2}(Г*Г)$ .

Біз тек сызықтық регулярлық интегралдық теңдеулерді ғана қарастырамыз. Интегралдық теңдеулерді бір аргументті функция үшін ғана емес, көп аргументті функциялар үшін де қарастыруға болады. Мәселен, Фредгольмнің 2-текті интегралдық $\varphi(x) = \leftthreetimes \int_{a}^{x}{k(x, s) \varphi(s) ds + f(x) }$ теңдеуінде ядро $K(x, s) \in L_{2}(\mathrm{\Omega}*\mathrm{\Omega})$ , бос мүше $f(x) \in L_{2}(\mathrm{\Omega})$ , ал $x = \left( x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n} \right) \in R^{n}, \ s = \left( S_{1}, S_{2}, \ldots S \right) \in \mathrm{\Omega} \in R^{n}$ . Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеулері системасы

$\varphi_{l}(x) - \leftthreetimes \sum_{j = 1}^{n}{\int_{a}^{b}{K_{lj}(x, s) }}\varphi_{j}(s) ds = f_{l}(x), \ l = 1, 2, \ldots, n$

түрінде өрнектеледі. Егер $\varphi(x) = \left( \varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots\varphi_{n} \right), \ f(x) = \left( f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n} \right)$ - векторлар, ал ядро $k(x, s)$ элементтері $K_{lj}(x, s)$ болатын матрица деп қарасақ, онда системаны (1) теңдеуі түрінде жазуға болады.

Дәл осылай екі аргументті функция үшін Вольтерра теңдеуі

$\varphi(x, s) = \leftthreetimes \int_{a}^{x}{\int_{a}^{y}{K(x, y; s, t) \varphi(s, t) dsdt + f(x, y) }}$

түрінде, ал системасын

$\varphi_{l}(x) = \leftthreetimes \sum_{j = 1}^{n}{\int_{a}^{x}{K_{lj}(x, s) }}\varphi_{j}(s) ds + f_{l}(x), \ l = 1, 2, \ldots, n$

Түрінде өрнектеуге болады.

Математикалық, физикалық кейбір қолданбалы есептерді шешу сызықтық емес интегралдық теңдеулерді шешуге алып келеді. Сондықтан кейбір практикалық және теориялық маңызы бар бірнеше сызықтық емес интегралдық теңдеулерді зерттеусіз келтірейік.

1) Гаммерштейн теңдеуі

$\varphi(x) = \int_{\mathrm{\Omega}}^{}{K(x, s) F\left( s, \varphi(s) \right) ds + f(x) }$

Мұндағы $K(x, s)$ - фредгольмдік ядро.

2) Урысон теңдеуі

$\varphi(x) = \int_{\mathrm{\Omega}}^{}{K\left( x, s\ \varphi(s) \right) ds + f(x) }$

Мұндағы $K\left( x, s\ \varphi(s) \right)$ -үзіліссіз функция; $x, s \in \mathrm{\Omega}, \varphi < M$ , ал М-шенелген шама.

3) Вольтерраның сызықтық емес теңдеуі

$\varphi(x) = \int_{a}^{x}{F\left( x, s\ \varphi(s) \right) ds +}\ f(x)$

Мұндағы $F(x, s, \ t)$ -үзіліссіз функция, $D = \left\{ a \leq x, s \leq b \right\}, \ t \leq M$ облысында анықталған.

4) Ляпунов-Лихтенштейн теңдеуі.

$\varphi(x) = f(x) + \leftthreetimes \int_{a}^{b}K_{1}(x, s) \varphi(s) ds + \int_{a}^{b}{\int_{a}^{b}K_{11}}(x, s, t) \varphi(t) \varphi(s) dsdt$

Мұндағы $K_{1}\$ мен $K_{11}$ үзіліссіз функциялар.

Егер теңдеулерде белгісіз функцияның интегралымен қоса туындылары да бар болса, ондай теңдеулерді интегро-дифференициалдық теңдеулер дейміз. Мысал үшін ең қарапайым интегро-дифференциалдық теңдеулерді келтірейік:

$\frac{d\varphi}{dx} = a(x) \varphi(x) + \int_{\alpha}^{x}{K(x, s) \varphi(s) ds + f(x) }$ (4)

$\frac{d\varphi}{dx} = b(x) \varphi(x) + \int_{\alpha}^{x}{K(x, s) \varphi(s) ds + F(x) }$ (5)

Мұнда белгісіз функциялардың бірінші ретті туындылары бар болғандықтан, бұл теңдеулердің шешімі жалғыз болуы үшін қосымша $\varphi(\alpha) = A, \ \varphi(\alpha) = B$ шарттары қажет.

Қолданбалы математикада интегро-дифференциалдық сызықтық, сызықтық емес теңдеулер немесе теңдеулер системасы және жоғарғы ретті туындылы (кәдуілгі және дербес туындылы) интегро-дифференциалдық теңдеулер көп кездеседі. Мысалы,

$L\varphi = \frac{d^{2}\varphi}{dx^{2}} + a_{1}(x) \frac{d\varphi}{dx} + a_{2}(x) \varphi(x) = \int_{\alpha}^{B}{K(x, s) \varphi(s) ds + f(x) }$

Теңдеуінің $\varphi(\alpha) = A_{0}, \ \varphi^{1}(\alpha) = A_{1}$ бастапқы шарттарын немесе $\$

$\varphi(\alpha) = A_{0}, \ \varphi(\beta) = B$ шекаралық шартарын қанағаттанатын шешімін табу есебін қарастыруға болады. Егер белгісіз функция көп аргументті болса, онда интегро-дифференциалдық теңдеулерде белгісіз функциялардың дербес туындылары мен интегралдары көп өлшемді болады. Интеграл астындағы өрнекте белгісіз функциялардың туындылары болатын интегро-дифференциалдық теңдеулер де жиі кездеседі. Кейбір жағдайларда интеграл астындағы туындының реті жоғары болса, ондай теңдеулердің шешімдері барлық уақытта бола бермейді және шешімнің бар екенін дәлелдеген күнде оны табу оңай емес. Ал егер интеграл сыртындағы өрнекте белгісіз функциялардың туындылары жоғарғы ретті болса, көп жағдайда мұндай интегро-дифференциалдық теңдеулерді системаларға дифференциалдық және интегралдық теңдеулердің системалардың жалпы теориясын пайдаланып шешуге болады.

3-мысал ретінде (4) мен (5) теңдеулерін сызықтық интегралдық теңдеулерге келтірейік. Ол үшін

$\int_{\alpha}^{\beta}{K(x, s) }\varphi(s) ds + f(x) = Q(x)$

деп белгілесек, онда (4) теңдеуінен $\varphi'(x) - a(x) \varphi(x) = Q(x)$ 1-ретті сызықтық дифференциалдық теңдеуін аламыз. Оның шешімі

$\varphi(x) = e^{\int_{\alpha}^{x}{a(s) ds}}\left\lbrack A + \int_{\alpha}^{x}{Q(S) e^{\int_{\alpha}^{S}{a(\tau) d\tau}}ds} \right\rbrack$

Бұл өрнекке $Q(S)$ -тің мәнін қойсақ,

. $\varphi(x) = \int_{\alpha}^{x}\left\{ \int_{t}^{x}{K(s, t) e^{\int_{\alpha}^{S}{aa(\tau) d\tau}}}ds \right\}\varphi(t) dt + Ae^{\int_{\alpha}^{s}{a(s) ds}} + \int_{\alpha}^{x}{f(s) e^{\int_{\alpha}^{S}{aa(\tau) d\tau}}ds}$

Мұнда $K(x, t) = \int_{t}^{x}{K(s, t) e^{\int_{\alpha}^{S}{aa(\tau) d\tau}}ds, }\ \ \ \ \ f(x) = Ae^{\int_{\alpha}^{x}{a(s) ds}} + \int_{\alpha}^{x}{f(s) }e^{- \int_{\alpha}^{S}{aa(\tau) d\tau}}$

Белгілеулер енгізсек, онда біз Вольтерраның 2-текті сызықтық

$\varphi(x) = \int_{\alpha}^{x}{(x, t) \varphi(t) dt + f(x) }$

Ңдеуін аламыз. Осы әдіспен (5) теңдеуін Фредгольмнің 2-текті сызықтық интегралдық теңдеуіне келтіруге болады.

Интегралдық келтірілетін есептер

1. Абель есебі. ( $\varepsilon, ἠ$ ) вертикаль жазықтығында материалдық нүкте өзінің ауырлық күші әсерінен қисық сызық боымен қозғалады. Берілген $f(y) = t\$ уақытта дене алғашқы жылдамдықсыз ординатасы у болған нүктеден $\varepsilon$ осіне жететін қисық сызықты табу керек. Қозғалатын нүктенің жылдамдығының абсолютті шамасы $v = \sqrt{2g(y - \eta) }$ . Егер $\alpha = \alpha(\eta)$ арқылы белгісіз қисықтың $(\xi, \eta)$ нүктесіне жүргізілген жанаманың 𝞷 осімен жасайтын бұрышын белгілесек, онда

$\frac{d\eta}{dt} = - \sqrt{2g(y - \eta) }sin\alpha$

шамасы жылдамдықтың 𝜼 осі бойынша құраушысы болады. Соңғы теңдіктен

$dt = \frac{d\eta}{\sqrt{2g(y - \eta) }sin\alpha}$

Мұны 0-ден у -ке дейін интегралдап, әрі деп белгілесек, Абель теңдеуін аламыз:

$\int_{0}^{y}{\frac{\varphi(\eta) }{\sqrt{y - \eta}}d\eta = - \sqrt{2g}}f(y), \ \ \ \ \varphi(\eta) = \frac{1}{sin\alpha(\eta) }$

Егер бұл өрнектен $\ \varphi(у)$ функциясын анықтасақ, онда іздеген қисық сызықты табу қиын емес. $\varphi(\eta) = \frac{1}{sin\alpha(\eta) }$ теңдігінен $\eta = \psi(\alpha)$ екенін анықтаймыз. Содан кейін $\eta'(\xi) = \frac{d\eta}{d\xi} = tg\alpha$ болғандықтан, $d\xi = \frac{d\eta}{tg\alpha} = \frac{\psi'(\alpha) d\alpha}{tg\alpha}$ . Бұл өрнекті интегралдап,

$\xi = \int_{}^{}\frac{\psi'(\alpha) }{tg\alpha}d\alpha = \psi_{1}(\alpha)$

екенін анықтаймыз. Сонымен, анықтайтын сызық $\xi = \varphi_{1}(\alpha), \ \mathbf{\eta =}\mathbf{\varphi}_{\mathbf{2}}\left( \mathbf{\alpha} \right)$ параметрлік теңдеулермен беріледі.

2. Шектік тербелуі. Ұзындығы l серпімді шек тыныштық кезінде Ох осіндегі ОА кесіндісімен дәл келсін. Шектің шекаралары О мен А нүктелерде бекітілген. Т шектің кеілу күші. Шекке х=𝞷 болатындай В нүктесінде вертикаль Р күші әсер етсін. Бұл күштің әсерінен ОА шек ОВА сынық сызығы түрін қабылдайды. Сонда ВВ ₁ = 𝜹 шамасын ОВ мен ВА мен салыстырғанда өте аз шама қарастырамыз. Тепе-теңдік заңының шарты бойынша шығатыны: Tsinα+Tsinβ=p. 𝜹-ның өте аз шама екенін ескерсек,

$sin\alpha \approx \frac{\delta}{\xi}, \ sin\beta \approx \frac{\delta}{l - \xi} = P$