Нақты сандар және олардың қасиеттері

МАЗМҰНЫ:


I Кіріспе

II Негізгі бөлім

2.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері

2.2 Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану

2.3 Рационал және иррационал сандар

2.4 Нақты сандар және олардың қасиеттері

III
2.1 Нақты сандар және оларды салыстыру, жуықтау

2.2 Нақты сандар қасиеттері және ережелері

2.3 Көрсеткіштік дәреже және олардың қасиеттері

Қорытынды

Пайдаланылған әдебиеттер
КІРІСПЕ

Сан ұғымы өте ерте заманда туған. Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп әрі жалпылана түскен. Адамзат мәдениетінің тууы және оның дамуымен тығыз байланысты ұғым — сан ұғымы. Тарихтан бұрынғы заманда сан ұғымының тууы және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр санды атау үшін тіл керек. Міне осы мәселелерді материалистік тұрғыдан талдап, танып білу жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады. Буржуазиялық идеалистік «теория» сан ұғымы адамға туа біткен табиғи категория деп тұжырымдайды. Неміс математигі Кронекер « 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,... натурал сандарды жасаған құдай, қалғандары -адамзаттың қолындағы іс» дейді.
Математиканың алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына түрткі болған адамның еңбек әрекеті. Еңбектену әрекетінде оған бұйымның мөлшерін өлшеп білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір күннің, әйтпесе бір жылдың тіпті бір ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына мыңдаған жылдар керек болды.
Адамзат мәдениет есігін аша бастаған шақта, ең алдымен натурал сандарды қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... жеке заттарды санаудың нәтижесінен келіп шыққан бұл сандар адамзат мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады. Егер сан ұғымы болмаса, рухани өміріміз бен практикалық қызметімізді өз дәрежесінде көрсете алмаған болар едік, есеп-қисап жүргізу, уақытты, қашықтықты өлшеу, еңбек нәтижелерінің қорытындыларын есептеп шығару сан ұғымынсыз мүмкін болмаған болар еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып келді. Теріс сандар ұзақ уақыт бойы “жалған” сандар деп есептеліп, “қарыз” (“борыш”), “жеткіліксіздік” (“жетімсіздік”) ретінде түсіндіріліп келген.
Оң және теріс сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы тек қосу және азайту жағдайлары үшін ғана ғарастырылып отырған.
XVII ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар әдісі пайдаланыла бастағаннан бері теріс сандар оң сандар мен тең праволы сандар ретінде қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. Бұл сандар есептеуге қолайлы: екі рационал санның қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі және бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез келген кесіндісі бірлік өлшем ретінде қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен өрнектеуге болады. Сондықтан рационал сандар ұзақ уақыт бойы адамзаттың іс жүзінде қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп келді (және де қазіргі кезге дейін қамтамасыз етуде). Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан, иррационал санның шығуына әкеп тіреді. Ежелгі Грецияда Пифагордың (біздің заманымызға дейінгі 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда квадраттың диагоналын рационал санмен өрнектеуге болмайтыны дәлелденген болатын. Квадраттың
ҚОЛДАНЫЛҒАН ӘДЕБИЕТТЕР:

1. «Бастауыш мектеп» №4.
2. «История математики» 2 бөлім 1979ж.
3. «Математика және физика», журнал, №2 2008ж.
4. Т.А. Алдамұратова «Математика» Жалпы білім беретін мектептің 5-сыныбына арналған оқулық. Алматы «Атамұра» 2005ж.
5. Е.Ж. Айдос, Т.О. Балыңбаев «Математика – оқу құралы».
6. Н.Я. Виленкин Алгебра 8 кл. Учеб.пособие для учащихся шк. и кл. с угубл. изуч. математики. Москва. Просвещение, 1997г.
7. Г.М. Фихтенгольц “Математикалыќ анализ негіздері” Гостехиздат 1956г.
8. Х.И. Ибрашев, Ш.Т. Еркеғұлов “Математикалыќ анализ курсы” 1 том Алматы:
“Мектеп”1970ж.
9. Н. Темірғалиев “Математикалыќ анализ” Алматы: “Мектеп”1987ж. 1том.
10. «Математика» О.М. Жолынбаев, Г.Е. Берікханова Алматы, 2004ж.
11. «Математикалық анализден лексиялар курсы» I том, Б.Т. Төлегенов, Алматы, 1973ж.
12. «Математика» В.А. Гусев, А.Г. Модкович, Алматы, 1993ж.
        
        ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ
Н.Құлжанова атындағы Торғай гуманитарлық ... ... ... ... және олардың қасиеттері
Математика
Орындаған: II курс студенті Алимгереев Д.
Жетекшісі:
Арқалық – 2012ж.
МАЗМҰНЫ:
I Кіріспе
II Негізгі бөлім
2.1 Натурал сандар және ... ... ... ... және оларға амалдар қолдану
2.3 Рационал және иррационал сандар
2.4 Нақты сандар және олардың қасиеттері
III
2.1 Нақты сандар және оларды ... ... ... ... қасиеттері және ережелері
2.3 Көрсеткіштік дәреже және олардың ... ... ... өте ерте ... ... Бұл ұғым ғасырлар бойы кеңейтіліп
әрі жалпылана түскен. Адамзат мәдениетінің тууы және оның ... ... ұғым — сан ... ... ... ... сан ... тууы
және дамуы тіл дамуымен байланысты болды, өйткені әр ... атау үшін ... Міне осы ... ... тұрғыдан талдап, танып білу
жаратылыстану ғылымдар философиясындағы мақсаттардың бірі болып табылады.
Буржуазиялық идеалистік ... сан ... ... туа ... ... деп ... ... математигі Кронекер « 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11,... натурал ... ... ... ... ... іс» ... алғашқы ұғымы — сан ұғымының тууына ... ... ... ... ... ... оған ... мөлшерін
өлшеп білу керек болды. Әрине бұл ұғым бір ... ... бір ... ... ғасырдың ішінде қалыптаса қойған жоқ. Сан ұғымының қалыптасуына
мыңдаған ... ... ... ... ... аша бастаған шақта, ең алдымен натурал
сандарды қолданды. Олар мыналар: 1, 2, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ... ... ... ... ... ... бұл сандар адамзат
мәдениетінің ең негізгі табыстарының бірі болып табылады. Егер сан ... ... ... бен ... ... өз ... ... болар едік, есеп-қисап жүргізу, уақытты, қашықтықты ... ... ... ... ... сан ұғымынсыз мүмкін
болмаған болар еді.
Теңдеулерді шешу теріс сандардың шығуына алып ... ... ... ... бойы ... ... деп ... “қарыз” (“борыш”),
“жеткіліксіздік” ... ... ... ... және ... сандарға амалдар қолдану ережесі ұзақ уақыт бойы ... және ... ... үшін ғана ... ... ғасырда ғана Декарт пен Ферма енгізген координаттар ... ... бері ... ... оң ... мен тең ... сандар
ретінде қабылданады. Бүтін және бөлшек сандар рационал жиынын құрайды. ... ... ... екі ... ... ... айырмасы,
көбейтіндісі және бөліндісі рационал сандар болып табылады.
Рационал сандардың тығыздық қасиеті бар, мұның арқасында кез ... ... ... ... қабылданған кесіндімін кез келген дәлдік
дәрежесі бойынша өлшеуге және де өлшеу нәтижесін рационал санмен ... ... ... ... ұзақ ... бойы ... іс жүзінде
қажеттіктерін толық қамтамасыз етіп ... ... де ... ... ... ... Соған қарамастан шамаларды өлшеу мәселесі жаңа сан,
иррационал санның шығуына әкеп ... ... ... ... ... ... 6 ғасырда) мектебінде, егер өлшеу бірлігі ретінде
квадраттың қабырғасы алынатын болса, онда ... ... ... ... ... ... ... Квадраттың диагоналы және
оның қабырғасы секілді кесінділерді өлшенбейтін кесінділер деп ... ... ... ... заманымызға дейінгі 5-4 ғасырларда) ... ... ... ... ... кез ... натурал n саны үшін
n санының ... ... ... ... ... сан координаттық түзудің бойында
нүктемен кескінделеді және керісінше, координаттық түзудің бойындағы ... ... бір ... немесе иррационал, яғни нақты сан ... ... ... ... ... ... ... барлық “бос орындар” толтырылды. Осы қасиетке ... ... ... ... ... табылады делінеді.
Кез келген нақты санды шектеусіз (периодты немесе периодсыз) ондық
бөлшек түрінде ... ... XVIII ... ... ... мен И.
Ламберт (1728-1777) кез келген шектеусіз ондық бөлшек иррационал сан
болатынын ... ... ... ... ... ... сандар
құруды неміс математигі К.Вейерштрасс (1815-1897) жасады. Нақты сандар
теориясын мазмұндаудың басқаша тәсілдерін ... ... ... пен ... (1845-1918) ұсынды.
Курстық жұмыстың мақсаты:
Нақты сандар және ... ... ... ... және ... зерттеу. Арифметикалық амалдар қолдану арқылы есептер ... ... ... ... ... материалдары тәжірибеде іске
асыру.
Курстық жұмыстың міндеттері:
- санның шығу тарихы туралы түсінік беру;
- мектеп курсында ... ... ... ... ... ... қасиеттерін ұғындыру;
- әр түрлі қасиетке ие болатын сандарды зерттеу.
Жұмыстың зерттелу деңгейі:
Егер сандар туралы ... ... оқып ... онда ... ... қаншалықты қажеттілігін толық түсінер еді.
Сандар мен оларға қолданылатын амалдардың қасиеттері ... ... ... ... деп ... Сандар теориясын құрудың
бастамасын ежелгі грек оқымыстылары Пифагор, Евклид, ... және ... ... ... сандар жиыны
1.1 Натурал сандар және олардың қасиеттері
Натурал сандардың жазылуы. Заттарды санау үшін немесе қандай да бір
заттың ... ... ... ... ... ... ... 1, 2, 3, 4, 5 . . . ... ... ... деп аталады.
Ондық санау системасында кез келген натурал сан 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9 ... ... ... ... 2457 ... 2 – ... ... – жүздіктер цифры, 5 – ондықтар цифры және 7 – ... ... ... яғни 2457 – 2 ∙ 1000 + 4 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 7. ... егер a ... ... b – ... ... c – ... цифры және d – бірліктер
цифры болса, онда a ∙ 1000 + b ∙ 100 + c ∙ 10 + d ... ... ... abcd (abcd деп ... ... ... ... жазуды математикада
қабылданған келісім бойынша a, b, c, d ... ... ... да ... Осы ... abcde ... a ∙ 10000 + b ∙ 1000 + c
∙ 100 + d ∙ 10 + e (a ≠ 0) ... ... ... ... амалдар.
Екі натурал санды қосудың немесе көбейтудің нәтижесі әрқашан натурал
сан болады: егер m, n ... ... ... онда p = m +n де натурал сан, m
мен n – қосылғыштар, p – ... p = mn де ... сан, m, n ... p – ... ... сандарды қосу мен көбейтудің келесі
қасиеттері орынды:
1°. a + b = b + a ... орын ... ... (a + b) + c = a + (b + c) ... ... қасиеті).
3°. ab = ba (көбейтудің орын ауыстырымдылық ... (ab)c = a(bc) ... ... ... a (b + c) = ab + ac ... ... қатысты үлестірімділік
қасиеті).
Натурал сандарды азайтудың немесе бөлудің нәтижесінде әрқашан натурал
сан алына бермейді: мысалы, 7 – 4 = 3 – ... сан, ал 4 – 7 = -3 ... сан ... 21 : 7 = 3 – ... ал 11 : 2 = 5,5 – ... сан емес.
Егер m, n, k – натурал сандар болса, онда m – n = k, ... ... m ... n – азайтқыш, k – айырым дейді; m : n = k ... ... m ... n – ... k – ... мәні ... бұл жағдайда m санын n
санының ... ал n ... m ... ... деп те айтады. Егер m – n
санының ... ... онда m = kn ... k натурал саны
табылады.Сандардан арифметикалық сандардың таңбалары (белгілері) ... ... ... ... құрылады. Егер сандақ ... ... ... ... ... ... орындайтын болсақ,
онда өрнектің мәні деп ... сан ... ... ... ... ... ... еске түсірейік: алдымен жақшалардың
ішіндегі амалдар орындалады; кез келген жақшалардың ішінде ... ... ... де ауд.) ... ... мен ... ал ... кейін қосу
мен азайту амалдары орындалады. Мысалы, егер
1 4 2 3 5 ... ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 - ... ... ... ... ... онда амалдардың орындалу реті
мынадай болады:
1 2 3 4 ... ∙ 93 + (1927 - 1873) ∙ 31) : 6 – ... ... Егер m натурал саны n натурал санына бөлінбейтін, яғни
m = nk ... k ... саны жоқ ... онда қалдықпен бөлуді
қарастырады мысалы, 43 санын 18 санына бөлгенде бөліндіде 2 және ... ... яғни 43 = 18 ∙ 2 + 7. ... жағдайда, егер m – бөлінгіш, n –
бөлгіш (m > n), p – ... және r – ... ... ... = np + ... r < n. Бұл ... m, n, p, r – натурал сандар (тек m ... ... және r = 0 ... жағдай өзгеше). Мысалы, егер n = 3, ал
r = 2 болса, онда m = 3p + 2. Бұл ... ... 2-ні ... формуласы.
Мысал. 36 421 санын 25 санына бөлгендегі бөлінді мен ... ... ... ... ... ... 25 1456
114
¯100
142
¯125
171
¯150
21
Сонымен, бөлінді 1456, ал қалдық 21 болды. (1) ... ... = 25 ∙ 1456 + 21 деп жаза ... ... ... ... m ... санын n натурал санына
бөлуді жүргізбей-ақ, «m-ды n-ға қалдықсыз бөлуге бола ма, әлде ... ... ... ... ... сұраққа жауапты әр түрлі бөліну белгілері арқылы алуға болады.
Т.1.1. Егер әрбір ... ... ... ... ... онда
қосынды да сол санға бөлінеді (қосындының бөлінгіштік ... ... егер ... ... ... да бір санға бөлінбесе, онда қосынды
да сол санға бөлінбейді деп ... ... ... 37 + 19 қосындысы 4-ке
бөлінеді, ал 37 де, 19 да 4-ке ... ... егер бір ... ... бәрі ... санға бөлінсе, онда қосынды сол ... атап ... Егер ... де ... бір ... қайсыбір санға
бөлінетін болса, онда көбейтінді де сол санға ... ... ... ... ... ... орындамай-ақ 105 ∙ 48 ∙ 93 ∙ 54 ... ... деп ... ... өйткені 105 көбейткіш 5-ке бөлінеді.
Т.1.3. Натурал сан оның соңғы цифры 2-ге бөлінгенде және тек ... 2-ге ... (2-ге ... ... ... сан оның ... цифры не 0, не 5 болғанда және тек сонда
ғана 5-ке бөлінеді (5-ке бөліну белгісі).
Т.1.5. Натурал сан оның ... ... 0 ... және тек сонда ғана 10-
ға бөлінеді (10-ға бөліну белгісі).
Т.1.6. Цифрларының саны үштен кем болмайтын ... сан ... ... ... екіорынды сан 4-ке бөлінгенде және тек сонда ғана 4-ке
бөлінеді (4-ке бөліну ... ... аbсdе саны үшін ... ... аbсdе – а ... + b ∙ 1000 + с ∙ 100 + d ∙ 10 + е. 100, 1000 және 10000 ... ... бөлінетін болғандықтан, 10 000 а + 1000 b + 100 с қосындысы да 4-ке
бөлінеді. Олай ... егер а ∙ 10 + с саны 4-ке ... ... онда ... да 4-ке ... егер де 10 d + е саны 4-ке ... болса, онда
аbсdе саны да 4-ке ... ... 15436 саны 4-ке ... өйткені 36
саны 4-ке бөлінеді. 372 514 саны 4-ке бөлінбейді, өйткені 14 саны ... ... сан оның ... ... 3-ке ... және тек
сонда ғана 3-ке бөлінеді (3-ке бөліну белгісі).
Дәлелдеуді ... аbсd саны үшін ... ... аbсd = 1000 а ... b + 10 с + d = (999 а + а) + (99 b + b) + (9с +с) + d = (999 а + 99 b
+ 9 с) + (а + b + с + d). 9, 99, 999 ... 3-ке ... және (999 а + 99
b + 9 с) + (а + b + с + d) ... ... а + b + с + d ... ... ... және тек ... ғана 3-ке ... Мысалы, 2742 саны 3-ке
бөлінеді, өйткені бұл санның ... 2 + 7 + 4 + 2 = 15 ... ... 17941 саны 3-ке бөлінбейді, өйткені бұл санның цифрларының
қосындысы 22, ал 22 саны 3-ке ... ... сан оның ... ... 9-ға ... және ... ғана 9-ға ... (9-ға бөліну белгісі).
Натурал санды жай көбейткіштерге жіктеу.
Егер ... тек екі ... ... өзі мен бір) ғана бар ... онда
ол жай сан деп аталады; егер санның екіден көп ... бар ... ... ... сан деп аталады. Солай, 19 жай сан, ... оның екі ... ... 1 мен 19; 35 сан ... сан: оның 4 ... бар: 1, 5, 7, 35. Жай ... екі натурал санның көбейтіндісі түрінде бір ғана тәсілмен өрнектеуге
болады: 19 = 1 ∙ 19 (көбейткіштертің ретін ескермегенде); ... 35 ... ... ... көбейтіндісі түрінде екі (бірден артық) ... ... 35 = 1 ∙ 35 = 5 ∙ 7. 1 саны жай ... да, ... санға
да жатпайтынын атап өтейік.
Т.1.9. Кез келген құрама натурал ... бір ғана ... ... ... жіктеуге болады.
Сандарды жай көбейткіштерге жіктегенде бөліну белгілерін ... ... ... оң ... ... ал сол жағында бөлінгіш, оның
астында бөліндінің мәні орналасатындай етіп бағаналап жазу ... 360 саны үшін ... бұл ... ... болады:
360 2
180 2
90 2
45 3
15 3
5 ... ... жай ... ... бір а ... n ... болса, қысқаша былай жазады: аn , яғни а ∙ а ∙ а ∙ ... ∙ а = ... ...... а саны – ... ... n саны – ... деп аталады. Сондықтан 360 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 23 ∙ 32 ∙ ... ... ... ... ... ең үлкен ортақ бөлгіші. 72 және 96 ... 72 ... ... ... ... 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, ... 24, 36, 72. 96 санының барлық бөлгіштерін жазайық: 1, 2, 3, 4, 6, ... 16, 24, 32, 48, 96. Осы ... ... ... ... бар: 1,
2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Бұл ... ... 72 мен 96 ... ... деп, ал ... ішіндегі ең үлкенін ең үлкен ортақ ... ... ... а мен b берілген натурал сандары үшін ең ... ... ... ... Ол Д (а, b) ... ... («Д – а, b» ... Егер а мен b – Д (а, b) = 1 болатындай сандар болса, онда а мен b
өзара жай ... деп ... ... 72 мен 35 ... ... ... сан ... да) өзара жай сандар.
Бірнеше санның ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін бұл ... ... ... керек те ең кіші дәрежелерімен алынған ортақ жай
көбейткіштердің көбейтіндісін табу керек.
1-мысал, Д (48, 60, 72)-ні табу ... 48 = 24 ∙ 3; 60 = 22 ∙ 3 ∙ 5; 72 = 23 ∙ 32. Олай ... (48, 60, 72) = 22 ∙ 3. ... Д (48, 60, 72) = ... Д (3780, ... табу керек.
3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ ... = 24 ∙ 32 ∙ ... 3780 2 7056 ... 2 3528 ... 2 1764 ... 2 882 ... 2 441 3
35 2 147 3
7 2 49 7
1 2 7 ... Д (3780, 7056) = 22 ∙ 32 ∙ 7, 3780 ... ... де, ... ... де ... жай көбейткіштер (ең кіші дәрежелі) алынған.
Жауабы: Д (3780, 7056) = 252.
Бірнеше натурал ... ең кіші ... ... 12 мен 18 сандары
берілсін. 12-ге еселі сандарды жазайық: 12, 24, 36, 48, 72, ... . ... ... ... 18, 36, 54, 72, 90, .... . ... еселік
сандардың ішінде бірдейлері бар: 36, 72, ... . Осы сандардаң бәрін 12 мен
18 сандарының ортақ еселіктері деп, ал ... ... ең ... 12 ... ... ең кіші ортақ еселігі деп атайды.
Кез келген а мен b ... ... ең кіші ... ... осы ... да, ол К (а, b) ... ... (оқылуы, «К – а, b»).
Бірнеше санның ең кіші ... табу үшін бұл ... ... ... ... те ... алынған жай көбейткіштердің (оларды
ең үлкен дәрежесімен алып) көбейтіндісін табу керек.
Мысал. К (3780, ... табу ... 3780 = 22 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, 7056 = 24 ∙ 32 ∙ 72. ... К ... = 24 ∙ 33 ∙ 5 ∙ 7, яғни 3780 мен 7056 ... кемінде біреуі
жіктелуіне енетін барлық жай көбейткіштер алынған. Сонымен, К (3780, 7056)
= 105 840.
Кез келген а мен b ... ... ... (а, b) ∙ К (а, b) = а ... ... ... дербес жағдайда, а мен b сандары өзара жай, яғни
Д (а, b) = 1 ... онда К (а, b) = а b. Бұл ... жай екі ... ең кіші
ортақ еселігі осы сандардың көбейтіндісіне тең болатынын білдіреді.
Алгебрада әріптерді қолдану. Айнымалылар. Алгебрада сандардың нақтылы
қасиеттері ... ... ... ... ... ... орын
ауыстырымдылық заңы (қосылғыштардың орындарын ауыстырғаннан ... ... ... а + b = b + а, ... а мен b-ның ... ... ... қоюға болады: 3 + 5 = 5 + 3; 100 + 3501 = 3501 + 100 ... ... ... ... ... оның мәні деп ... Кейбір
жағдайларда (мысалы, теңдеулерде) жазылған теңдік орынды болатындай ... ... тек ... ... ғана ... болады. Мысалы, 7 + х =
10 теңдігі тек х = 3 болғанда ғана орынды. Алгебрада қолданылатын ... деп ... ... ... ... ... ... мәнін
өзгертуге болатынында: мысалы, а + b = b + а теңдігінде а =3, b – 5 деп, а
= 7, b = 19 деп және ... ... ...... ... да ... 7 + х = 10 теңдігінде х = 3 деп, х = 5 деп ... ...... ... теңдік дұрыс, ал екінші жағдайда теңдік
дұрыс емес болуында. Д (а, b) = 1 ... а мен b ... ... ... ... а = 18, b = 25, а = 100, b = 99; а = 13, b = ... ... Бұл теңдік айнымалылардың келесі мәндерінде дұрыс емес: а = 8,
b = 6, а = 25, b = 150; а = 7, b = 777 және ... ... ... және ... ... ... байқағанымыздай натурал сан қатары, ноль саны, бірлік
ұғымдары адамдардың практикалық ... ... ... ... қолданылатын амалдар жөніндегі бастапқы біліміміздің көзі де
айналамыздағы нәрселердің арасындағы қатынастар болады.
Теріс емес ... ... ... ... ... жаңа сан ... ... – қосу, азайту, көбейту, және бөлу.
Қосу. Сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың ең ... ... қосу ... ... табылады. Бұл амал жиындарға ... ... ... да, ... элементтері жоқ, әр түрлі
және екі ... ... ... бір жиын етіп біріктіргенде, біз
жаңа жиынын шығарып аламыз, ал бұл жиын және ... ... ғана ... ... ... ... берілген М1 және М2 жиындарының қосындысы деп айтатын
боламыз. Сонымен, ортақ элементтері жоқ, ... М1 және М2 екі ... деп сол ... тек ... ... барлық элементтерінен
құралған жаңа жиынды айтамыз.
Жалпы алғанда, егер М1,М2 және олардың қосындысы М жиындарының тиісті
элементтері және ... мен ... ... құрастыру мен сандарын қосу деп аталады, ал ... ... ... ... деп аталады.Мұны былай
деп айтуға болады:натурал мен сандарының қосындысы деп ... жаңа ... ... ол саны ортақ элементтері болмайтын және
қуаттары мен ... ... М1 және М2 ... ... ... М ... қуатын көрсетеді.
Қосуды белгілеп көрсету үшін плюс деп аталатын + таңбасы қолданылады.
Жоғарыда баяндағанымызға қарағанда ... емес ... екі ... ... да орындауға болады, өйткен берілген екі ... ... ... ... ... ... санына санының
барлық бірліктерін қосып санау ... ... да ... ... емес ... сан -ға ... ... нөльге санын қосу
дегеніміз сол санының өзі шығады деген сөз екендігін ескертейік.
Демек, және ... ... ... яғни ... . Дербес жағдайда, болғанда, .
Бұған дейін екі ... ... және ... ... екі ... ... сөз болады.
Қосудың заңдары. Қосудың зандары деп қосындының ... ... ... (коммутативтік), терімділік (ассоциативтік) ... ... ... өзгертуден қосынды өзгермейді.
Расында да, біз екі санды қосу операциясын бір санға ... ... ... ... санау арқылы орындауға болатындығын байқадық, бірақ санау
нәтижесі санау тәртібіне байланысты болмайды. Демек, 5 пен 3 ... 5-ке 3-тің ... ... ... санаймыз ба, немесе,
керісінше, 3 санына 5 ... ... ... ... ... ба, ... бұл екі жағдайда да бір нәтиже шығады. Тек мұндағы ... ... ... ... ... қосындының құрамына кіретін болу
керек. Нақтысында да 5+3=8 және 3+5=8. ... 5+3=3+5, және ... ... ... да,
Терімділік. Егер қандай да бір қосылғыштарды топтарға біріктіріп,
қосуды топтар ... ... ... ... ... ... қоссақ,
берілген сандардың қосындыс өзгермейді.
Мысалы, егер 2, 4 және 3 ... ... ... ... ... ... ... сандардың қосындысының анықтамасы бойынша, біздің былай
істеуімізгі болар еді;: 2+4+3=(2+4)+3=6+3=9. ... ... ... та біз осы ... ... ... болар еді, атап айтқанда:
2+4+3=2+(4+3)=2+7=9.
және қандай сандар ... ... ... ... Егер берілген екі сан (және ) өзара тең болса, ... ... бір ғана ... () ... ... тең қосындылар
шығады.
Расында да, егер болса, онда өйткені бұл қосындылардың
әрқайсысындағы ... саны ... ... ... Егер ... екі ... біреуі () екіншісінен () артық
немесе кем болса, онда олардың әрқайсысына бір ғана санды () ... сай ... ... ... қосындыдан артық немесе кем болады.
болсын дейік. Мұнымыз санның құрамында саны ... тең ... тағы бір саны бар ... сөз болады, яғни
Олай болса,
Бұдан болады, өйткені алдындағы теңдікке қарағанда қосындысының
құрамында қосындысы және ... тең емес тағы да бір ... Екі ... және бірнеше сандардың қосындысы жөніндегі ұғымды
біз жиындардың бірігуін және сол сандарды қосуды ... ... ... және ... да ... ... ... жиындарға қолданатын сәйкес операцияларды қарастырмай-ақ, екі
санның қосындыс жөніндегі ұғымға сүйенуімізге болады.
Тең емес екі сан ... ... ... ... ... ... ... болады, яғни оны кіші санға бір үшінші ... қосу ... ... ... егер және санынан артық болса, онда оның
құрамында саны және оның ... тағы да бір саны ... оны мен ... ... ... көрсетуге болады,
яғни
Егер санынан бірлікті азайтсақ (шегерсек), онда ол саннан ... ... ... Егер мен сандарын ... ... ... ... ... қайтадан саны келіп шығады.
Бұған қарағанда, үлкен сан -дан кіші сан -ні ...... ... табу ... сөз, ... саны кіші сан
-ге қосқанда үлкен сан шығатын болу керек.
Демек, азайту деп ... ... () және ... ... ... ... қосылғыш () табылатын арифметикалық амал
аталады.
Азайту амалы «минус» деп аталатын (-) таңба арқылы былай ... - ... - ... - ... ... қалдық.
Біз тең емес екі санның айырмасы бір ... ... ... ... ... ... Азайғыш және азайтқыш өзара тең. Бұл ... ... ... ... ... ... сонша бірлік азайтылатындығы айқын. Демек
айырымы нөлге ... да: , ...
2) ... ... ... азайту дегеніміз – ол ... ... ... ... ...
3) 0-0=0, ... 0+0=0
Қосу және азайту өзара кері ... ... ... ... қосу
амалында қосылғыштар беріледі де, қосынды ізделінеді, ал азайту амалында,
керісінше, қосынды және бір ... ... де, ... қосылғыш
ізделінеді.
Көбейту. Қосу амалына берілген ... екі ... ... ... ... табу керек болатын жағдай жиі кездеседі. Мынадай
есептерді ... ... 420 км ... 4 ... ... ол неше ... ұшады? Бұл
есепті төрт тең санды қосумен шығаруға болады: 420+420+420+420=1680(км)
Бірдей екі немесе бірнеше сандардың ... табу жаңа ... ... алып ... ... емес бүтін сан -ны теріс емес бүтін
сан -ге көбейту дегеніміз - әрқайсысы -ға тең - ... табу ... ... көбейту былайша белгіленеді.
1) немесе 2) әріптер қолданылғанда әдетте нүкте жазылмайды да,
деп жазудың орнына деп ... ... ... деп, оның неше рет ... ... ... деп ... да, бұдан шығатын ... ... ... ... деп аталады. Бүтін санға көбейту деп берілген бір ... ... ... бір ... қанша бірлік болса, сонша қайталайтын
амалды айтамыз. Көбейту қосудың дербес түрі болғандықтан, оның ... ... ... және бір ғана нәтиже береді.
Егер көбейткіш бірге тең ... онда ... ... ... ... ... ... санды бірге көбейту дегеніміз – ол санды
өзгеріссіз қалдыру деген ... ... ... тең болса, онда көбейтінді де нолге тең болады:
немесе
Бөлу. Берілген санды тең бөліктерге жіктеу ... жаңа ... ... алып ... Берілген санын санына бөлу дегеніміз
санына көбейткенде саны ... бір жаңа ... табу ... сөз. ... ... мынадай анықтамасы шығады: Бөлу амалы деп берілген екі санның
көбейтіндісі және олардың біреуі бойынша екінші сан табылатын ... ... ... ... ... бөлу түрліше белгіленеді:
бөлінгіш (сол жақта) пен бөлгішті (оң жақта) бір-бірінен айырып тұратын екі
нүктемен ... ... пен ... ... ... ... ... белгілейді. Сөйтіп санын санына бөлуді екі
тәсілмен жазып көрсетуге болады:
1) ... 2) ... бұл ... ... санын
санына бөлгенде бөлінедіде натурал сан ... ... ... анықтамасына сүйеніп, тендігінен мынадай теңдік ... , яғни ... ... ... бөлгішке тең болады.
Біздің барлық байымдап талқылауларымызда бөлінді ... сан ... ... ескертелік.
1.3 Рационал және иррационал сандар
Жай бөлшектер. Дұрыс және бұрыс бөлшектер. Аралас сандар.
Жай бөлшек дегеніміз ... ... ... m мен n ... ... ... , . m саны бөлшектің алымы, n саны
бөлшектің ... деп ... ... ... n = 1 бола алады, бұл
жағдайда бөлшек түрінде болады, бірақ бұны көбінесе жай ғана m ... Бұл ... ... ... ... 1 ... жай ... түрінде
өрнектеуге болатынын білдіреді. жазылуы – жазылуының ... ... ... және бұрыс бөлшектер деп те ажыратады. m/n
бөлшегі, алымы бөлімінен кіші ... ... ... деп, ал ... ... ... оған тең ... бұрыс бөлшек деп аталады. Әрбір ... ... сан мен ... ... ... түрінде өрнектеуге
болады (егер m n-ге еселі ... онда ... сан ... ... ... ... бөлшекті натурал сан мен дұрыс бөлшектің қосындысы
түрінде өрнектеу керек: а) ; б) ... а) = = + = ... = = + = ... сан мен жай ... ... қосу ... ... яғни орнына деп, ал орнына деп жазады.
Осындай түрде жазылған сан аралас сан деп ... Ол екі ... ... ... пен бөлшек бөлік. Сонда саны үшін бүтін бөлік 3, ... ... . ... ... бөлшекті аралас сан түрінде (немесе натурал
сан түрінде) жазуға болады. Кері ... да ... ... ... ... ... бұрыс бөлшек түрінде жазуға болады. Мысалы, = =
+ = ; ... ... ... ... ... ... ... аd = bс болса, мен бөлшектері тең деп есептеледі.
Мысалы, пен ... тең, ... 3 ∙ 15 = 5 ∙ 9, ... тең, ... 12 ∙ 14 = 7 ∙ 24 ... ... ... мен бөлшектерінің теңдігі шығады, өйткені а(bm) =
b(аm), бұл жерде біз натурал сандарды көбейтудің ... және ... ... ... ... = , яғни егер
берілген бөлшектің алымы мен ... бір ғана ... ... көбейтсек
немесе бөлсек, онда берілген бөлшекке тең ... ... Бұл ... ... ... деп ... ... қасиетін пайдаланып, кейде берілген бөлшекті өзіне
тең, ... ... мен ... ... ... ... ... мен бөлімінен
кіші бөлшекпен ауыстыруға болады. Бұндай ауыстыруды бөлшекті қысқарту деп
атайды. ... = ... мен ... бір ғана 3 ... ... ... алымы мен бөлімін 5-ке бөліп, тағы да қысқартуға болады,
яғни = . Жалпы жағдайда, егер бөлшектің ... мен ... ... ... бөлшекті қысқартуға болады; егер де алым мен бөлім өзара жай
сандар болса, онда ... ... ... деп ... мысалы, -
қысқармайтын бөлшек.
Бөлшекті қысқартудың негізгі ... – осы ... ... ... ... ... ортақ бөлімге келтіру. және бөлшектері
берілсін. Олардың бөлімдері әр ... 3 және 8, ... ... ... ... бұл ... өздеріне тең басқа бөлшектермен
ауыстыруға болады, сонда алынған бөлшектердің бөлімдері тең ... ... ... ... ... бөлімге келтіру деп аталады.
бөлшегінің алымы мен бөлімін 8-ге көбейтіп, = ... ... алым мен ... 3-ке көбейтіп, = ... ... пен ... ... ... ... ... қойылған мәселенің жалғыз ғана шешімі емес екенін ескерте кетелік.
Мысалы, бөлшектерді ортақ 48 бөлімге келтіруге:
=, және ... 72 ... ... = , ... 3-ке де, 8-ге де бір мезгілде бөлінетін кез келген ортақ бөлімге
келтіруге ... ... ... ... ... ... ... бірақ әдетте бөлшектерді ең кіші ортақ бөлімге ... ... ... ... ... ең кіші ... еселігіне тең.
Мысал, мен бөлшектерін ең кіші ортақ бөлімге ... 24 пен 30 ... ең кіші ... ... ... К (24, ... 120 (7 пункті қараңыз). Сонда 120 : 24 = 5, ... ... ... ... келтіру үшін, оның алымын да, бөлімін де 5-ке көбейту керек:
= . Әрі қарай бөлімге ... ... оның ... да, бөлімін де 4-
ке көбейту керек: =. Бөлшектер ортақ бөлімге келтірілді: ;
. 4 пен 5 ... ... ... және екінші бөлшек қосымша
көбейткіштер деп ... ... ... ... пайдаланылады:
Сөйтіп, бөлшектердің ең кіші ортақ ... ... ... 1)
бөлшектердің бөлімдерінің ең кіші ортақ еселігін табу; 2) ең кіші ... ... ... ... ... көбейткіштерді есептеу; 3) әрбір
бөлшектің алымы мен бөлімін сәйкес қосымша ... ... ... ... ... ... ... Жай бөлшектерді
қосу былай орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері бірдей болса, онда бірінші бөлшектің
алымына екінші бөлшектің алымын ... да ... ... ... яғни
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болса, онда ... ... ... (ең кіші ортақ бөлім қолайлы) келтіреді, ал ... а) ... ... ... ... ... ... орындалады:
а) егер бөлшектердің бөлімдері тең болса, онда
;
б) егер бөлшектердің бөлімдері әр түрлі болса, онда ... ... ... келтіреді, ал содан кейін а) ережесін қолданады.
Жай бөлшектерді көбейту амалын былай орындайды:
,
яғни алымдары жеке, бөлімдерді жеке ... де ... ... ... ... көбейтіндіні бөлім етіп алады. Мысалы:
.
Жай бөлшектерді бөлуді былай орындайды:
,
яғни бөлінгіш -ны бөлшегіне кері болатын ... ... ... өрнегінің мәнін табу керек.
Шешуі. 1). Алым мәні бөлімді 3-ке қысқартып ... алым ... ... ... ... ... жасаған пайдалы), , яғни
бөлшегін аламыз. Сонымен, .
2) .
3) өрнегінің мәнін тапқанда қосу мен ... ... ... ... болады. 15, 20, 30 сандарының ең кіші ... ... ... ... ... ... ... бөлшек үшін 4, екінші бөлшек
үшін 3, үшінші бөлшек үшін 2) пайдаланып, үш ... де 60 ... ... а) ; б) ... ... керек.
Шешуі. а) Бірінші тәсіл. Берілген аралас сандардың әр бірін бұрыс
бөлшекке келтіреміз, содан кейін қосуды орындаймыз:
;
;
.
Енді ... ... ... ... ... ... ... сандарды көбейту мен бөлу жағдайларында әрқашан ... ... ... бөлшектер.
Бөлімі 10, 100, 1000 және жалпы 10 n ... ... ... ... ... ... ... Мысалы, ; 48/100 = 0,48; 21/1000 =
0,021. Дәл осылай ... ... ... бұрыс бөлшекті (бөлімдер жоғарыда
аталған сандар ... ... ... ... ; ;
Бұл жағдайларда аралас санның бүтін бөлігін бөлшек бөлігінің алымына
үтір арқылы ажыратады. Сонымен, ондық ... – шын ... ... 10 n
болатын бөлшектің басқаша жазылу түрі.
Бөлімі 10-ның қайсыбір дәрежесінің бөлгіші болатындай кез келген ... ... ... ... өрнектеуге болады. Мысалы, 4 – 100 ... ... ... ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болады:
; 125 – 1000 ... ... ... ... ... бөлшек
түрінде өрнектеуге болады: .
Жай бөлшекті ондық бөлшек ... ... ... ... ... егер ... ... жай көбейткіштерге жіктелуінде тек
екіліктер мен ... ғана бар ... онда бұл ... ... ... жазуға болады; егер де бөлшек қысқармайтын болса және оның
бөлімінің жай ... ... ... мен бестіктерден басқа
да көбейткіштер бар болса, онда бұндай бөлшекті ондық бөлшек түрінде жазуға
болмайды.
7,234 ондық ... ... ... ; ; . ... 7,234 = 7,2340 = 7,23400. ... егер ... ... оң жағынан
нольді немесе бірнеше нольді қосып (жалғастырып) жазса, онда оған ... ... Егер ... ... бір ... ... нольмен аяқталатын
болса, онда бұл нольдерді тастап кетуге ...... оған тең ... ... үшін ... цифр ... енгізіледі. Санның мағыналы
цифрлары деп алдыңғы нольдерден басқа оның барлық цифрларын айтады. Мысалы,
23,0009 санында мағыналы алты цифр бар; 0,1023 ... төрт ... ... 1, 0, 2, 3; 0,00004 ... бір ... цифр бар: ... бөлшектерге арифметикалық амалдар қолдану.
Ондық бөлшектерді қосқан кезде оларды бірінің астына бірін, бірдей
разрядтар бірінің ... ... ал үтір ... ... ... етіп ... те, ... натурал сандарды қосқандағыдай етіп, қосу керек.
Мысалы, 12,7 мен 3,442 ... ... ... ... ... бір ... ал ... бөлшекте – үш цифр
бар: 12,7 = 12,700, ... ... ... азайту амалы да осы сияқты орындалады. 13,1 мен 0,37
сандарының айырымын табайық:
13,10
‾ 0,37
12,73
Ондық бөлшектерді көбейткен кезде берілген ... ... ... (натурал сандар сияқты), көбейту жеткілікті, ... ... ... ... (қоса есептегенде) неше цифр ... ... оң ... ... ... үтірмен анықтау керек.
Мысалы, 2,7-ні 1,3-ке көбейтейік. Сонда 27 ∙ 13 = 351. Оң ... ... ... (көбейткіштердегі үтірден кейінгі цифрлардың қосынды саны екіге
тең) ажыратамыз. Нәтижеде 2,7 ∙ 1,3 = 3,51 екенін аламыз. Егер ... саны ... ... керек цифрлар санынан аз болса, онда алдыңғы
жағынан жетіспейтін цифрлар орнына нольдер жазады, мысалы:
2,12 ... 0,13 х ... ... 212
0,2756
Ондық бөлшектерді 10, 100, 1000 және т.с.с. сандарға көбейтуді
қарастырайық. 12,733 ... 10-ға ... ... болсын. Сонда 12733 ∙ 10
= 127330. Оң ... ... үш ... ... 12,733 ∙ 10 = 127,330.
Бірақ 127,330 = 127,33. Олай ... 12,733 ∙ 10 = 127,33. ... ... 10-ға көбейту үтірді оңға қарай бір орынға жылжытуға келтіріледі.
Жалпы ондық бөлшекті 10, 100, 1000 ... ... үшін ... ... 1, 2, 3 ... ... болған жағдайда бөлшектің оң жағына
нольдерді жалғап жазып) жылжыту керек. Мысалы, 1,47 ∙ 10000 = 14700.
Ондық ... ... ... бөлу ... ... натурал санға бөлу
сияқты орындалады, ал ... ... ... бөлікті бөлу аяқталғаннан
кейін қояды. 22,1 санын 13-ке бөлу ... ... ... 13 ... ... бөлінгіштің бүтін бөлігі бөлгіштен кіші болса, онда бөліндінің
бүтін бөлігі ноль болады, мысалы:
0,221 ... 13 ... ... ондық бөлшекті ондық бөлшекке бөлуді қарастырайық. 2,576 санын
1,12-ге бөлу керек болсын. Ол үшін бөлінгіште де, ... де ... ... ... ... ... неше цифр ... сонша (берілген жағдайда екі)
орынға жылжытамыз. Басқаша айтқанда, бөлінгішті де, бөлгішті де ...... ... ... Сонда 257,6 бөлшегін 112 натурал
санына бөлу керек, яғни есеп алдыңғы ... ... ... ... 224 ... ... бөлшекті 10n-не бөлу үшін, бұл бөлшекте үтірді n цифрға ... ... ... ... ... қажет болғанда сол жағынан керекті санды
нольдер жазылады). Мысалы, 27,344 : 104 = ... ... үшін бөлу ... ... орындала бермейтін болса, солай
ондық бөлшектер үшін де әрқашан орындала ... ... 2,8-ді ... 9
‾ 27 31,11 . . ... ... ... 9
1 . . .
Нәтижеде ақырсыз ондық бөлшек деп аталатын сан ... ... жай ... ... ... сандар жай бөлшектер түрінде, екіншілері аралас ... ... ... ... ... ... ... келуі мүмкін. Бұндай
сандарға амалдар қолданған кезде әр түрлі әрекет етуге болады: не ... жай ... ... жай ... ... ... ... не жай бөлшектер мен аралас сандарды ондық
бөлшектерге келтіріп ... бұл ... ... ондық бөлшектерге амалдар
қолдану ережелерін пайдаланады.
Проценттер.
Ондық бөлшектердің ішінде 0,01 ... ... ... жиі
пайдаланылады. Ол процент деп аталады да, 1 ℅ болып белгіленеді. Солай 1 ... 0,01, 2 ℅ = 0,02, 45 ℅ = 0,45, 350 ℅ = 3,5 және ... ... ... ... ... көптеген салаларында шамалардың
бөліктерін проценттермен өрнектеу қабылданған. Мысалы, 60 кг-ның 23 ℅- ... үшін 60 ... ... ... ... яғни 60 ∙ 0,23 = 13,8. Олай
болса, 60 кг-ның 23 ℅-і 13,8 кг ... ... ... 80 деталь жасауы керек еді. Жұмыс ... ол ... ... 150 ℅-ке ... ... болды. Жұмысшы
неше деталь жасады?
Шешуі. 1) 150 ℅ = 1,5. 2) 80 ∙ 1,5 = 120. ... 120 ... ... ... 80 ... жасауы тиіс еді. Сағат 12-ге ... 55 ... ... Осы уақыт ішінде жұмысшы тапсырманың неше ... ... 12-ге ... ... бөлшегімен өрнектелетін
бөлігі орындалды, оны проценттерге көшіреміз:
.
Жауабы: 66,75 ℅.
3-мысал. Жұмысшы сағат 12-ге дейін 55 ... ... бұл ... 66,75 ℅-і ... ... күніне неше деталь жасауға тиіс еді?
Шешуі. Күндік тапсырманы құрайтын санын х әрпімен белгілейік. Есептің
шартынан 68,75 ℅ ∙ х = 55, яғни ... ... ... . ... ... бөлшекті периодты ақырсыз ондық бөлшекке айналдыру.
2,73 ондық ... ... Егер оң ... ... кез ... ... ... оның мәні өзгермейді: 2,73 = 2,730 = 2,7300 = . .
. = 2,73000 . . . 0 ... ... n ноль тұр). 2,73 ... ... көп ... бар ... бөлшек, яғни 2,73 = 2,73000 . . . ... ... да ... ... ... ... ақырсыз көп ондық таңбалар ... ... ... ... ондық бөлшек деп аталады.
Т.1.10. Кез келген жай ... ... ... ... ... ... санын алайық та алымын бөліміне бөлейік, сонда ондық
таңбаларды біртіндеп таба береміз. Бұл ... кез ... ... санды
ақырсыз ондық бөлшек түрінде өрнектеуге болатынын ескерте кетейік, яғни 3 =
3,000 . . . . ... . . . ... 28 ... . . ... ... ... ... 112
80
‾ 70
100
‾ 98
20
‾ 14
60
‾ 56
40 . . ... 3/14 = ... . . . ... ... ... ... алынатын қалдықтарды біртіндеп жазып
шығайық: 2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, . . . . Осы ... ... яғни 14 ... кіші ... ... Олай болса, бөлудің қандай да
бір қадамында бұрын кездескен қалдық міндетті түрде тағы да ... ... ... ... қадамда бірінші қадамдағы қалдық 2 қайта пайда болды.
Сонымен бірге, ... ... ... ... ... соң, одан ... ... тобы қайталанатыны айқын. Біздің мысалымызда 2 қалдығынан
кейін 6 қалдығы, одан кейін 4, одан соң 12 және т.с.с. келіп ... ... ... ... тізбегін аламыз: 2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, 4, 12, 8,
10, . . . . ... ... ... ... ... ондық
жазылуындағы цифрлардың сәйкес периодты қайталанатын ... ... ... ... = ... . . .
екенін аламыз.
Санның ондық жазылуындағы үтірден кейін біртіндеп қайталана беретін
цифрлар тобы (минималь тобы) ... деп, ал ... ... ... бар ... ... ... периодты деп аталады. Ықшамдық үшін
периодты ... ... ... ... рет жазу қабылданған:
0,2142857142857142857. . . = 0,2(142857).
Егер период бірден үтірден кейін басталатын болса, онда ... ... деп ... егер де үтір мен ... ... ... ... бар болса, онда бөлшек аралас периодта деп аталады. Солай,
2,(23) = 2,232323232323 . . . – таза ... ... 0,2 142 857 ... ... бөлшек, 2,73 = 2,73000. . . = 2,73(0) – ... ... ... ... ... жай ... ... Ақырсыз ондық
бөлшекті 10, 100, 1000 және т.с.с. сандарға көбейту үшін, ақырлы ... ... ... бір, екі, үш ... және ... оңға қарай
жылжыту жеткілікті. Мысалы,
0,1(23) ∙ 100 = 0,1232323 . . . ∙ 100 = 12,323232. . . = ... ... ... жай ... ... ... ... Санды жай бөлшекке айналдыру керек: а) 0,(13); б) 2,(273); в)
0,2(54); г) 3,254(9).
Шешуі. а) х = 0,(13) = ... . . деп ... Таза ... ... ... оңға ... дәл бір ... орын ауыстыратындай
(жылжытатындай) ... ... ... екі цифр бар ... екі ... оңға ... ... керек, ал ол үшін х санын 100-ге
көбейту жеткілікті; сонда 100х = 0,131313. . . ∙ 100 = 13,1313. . . ... Енді ... х-ті ... 100х – х = 13,(13) – 0,(13). ... 99х – 13, ... х – 13/99 екенін табамыз.
б) х = 2,(273) деп алайық. Бұл таза периодты ... ... ... тұрады. х-ті 1000-ға көбейтіп, 1000х = 2273,(273) екенін аламыз.
Әрі қарай 1000х – х = 2273,(273) – 2,(273); 999х = ... х = 0,2(54) деп ... Бұл ... ... бөлшекте үтірден оңға
қарай таза периодты бөлшек алынатындай етіп жылжытайық. Ол үшін х-ті ... ... 10х = 2,(54), y = 2,(54) деп ... та таза ... алдыңғы мысалдардағыдай жай бөлшекке айналдырайық.
Сонда, y = 2,(54), бұдан 100y = 254,(54);
100y – y = 254,(54) – 2,(54);
.
Олай болса, , ... ... х = 3,254(9) деп ... 1000х = 3254,(9) ... табамыз. y = 1000х
белгілеуін енгізейік. Сонда, y = 3254,(9), бұдан 10y = ... – y = ...... = 29295; y = 3255; 1000х = ... байқаймыз, яғни біз ақыры ондық бөлшек немесе периодты ... ... ... бөлшек алдық. Олай болса, 3,254(9) = 3,255(0). ... ... ... ... кез ... ... бөлшектер үшін орынды: бұндай
бөлшекті периоды ноль болатын ... ... ... ... Ол ... ... ... соңғы ондық цифрды бірге арттыру ... 0,45(9) = 0,46 (0); 14,(9) = 15,(0) және ... ... ... жүргізейік, онда санаудың басы етіп 0 нүктесін белгілейік,
бағыт пен бірлік кесінді [0;1] ... ... ... Бұл ... түзу ... ... Әрбір натурал санға немесе бөлшекке l
түзуінің бір нүктесі ... ... ... 3 саны ... 0 нүктесінен
берілген бағытта бірлік кесіндіні үш рет салайық, сонда А нүктесін аламыз ... ... 3 ... ... ... санын алайық. 0 нүктесінен берілген
бағытта бірлік кесіндіні төрт рет саламыз, содан кейін тағы да ... ... ... В ... ... – ол ... ... l түзуінің М нүктесі қайсыбір r санына сәйкес келсе, онда ол сан
нүктенің координатасы деп аталады, бұл жағдайда ... ... М(r). ... А, В ... ... үшін ... координаталарын ноль (0) болып
есептеледі.
Енді 0 нүктесінен бастап бірлік кесіндіні берілген бағытқа ... ... үш рет ... ... санаудың басы 0 нүктесіне қатысты ... ... ... А′ ... ... А нүктесінің координатасы
3 саны болады, ал А′ нүктесінің координатасын былай жазады: -3 – ... 3» деп ... Дәл ... ... В ... симметриялы В′
нүктесінің координатасы болып - саны есептеледі. 3 пен -3, ... ... ... ... деп ... Координаталық түзуде
берілген бағытта жататын нүктелерге сәйкес келетін сандар оң сандар деп
аталады; ... 1, 3, 4 – оң ... Оң ... ... «плюс»
таңбасымен жазады: +1, +3, +4 . Координаталық түзуде берілген ... ... ... ... ... келетін сандар теріс сандар
деп аталады; солай, -3, - – ... ... 0 саны оң ... та, ... та ... 0 ... ... келетін 0 нүктесі ... оң ... бар ... теріс координаталары бар
нүктелерден ажыратып тұрады.
Координаталық түзуде берілген бағытта оң бағыт (ол ... оңға ... деп, ал ... ... қарам-қарсы бағытты теріс бағыт ... ... ... 1, 2, 3, 4, 5, . . . ... ... оң бүтін
сандар деп те атайды. Натурал сандарға қарама-қарсы -1, -2, -3, -4, -5, . .
. сандарын ... ... ... деп ... 0 ... да ... сан ... Сонымен, бүтін сандар – натурал сандар, натурал сандарға қарама-
қарсы сандар және 0 ... ... мен ... (оң және ... бірігіп рационал сандар
жиынын құрайды. Кез келген рационал сан қатынасы түрінде (мұндағы m –
бүтін, n – ... сан) ... ... ... ... бір ғана санды
қатынас түрінде көптеген тәсілдермен ... ... атап ... ... рационал санды белгілейтін бөлшектердің ішінде бір және ... ғана ... ... бар болады. Бүтін сандар үшін – бұл бөлімі I
болатын бөлшек.
Иррационал ... ... үшін тек ... сандар ғана емес, басқа табиғатта, яғни
бүтін немесе бөлшек болмайтын ... да ... ... ... ... сандар деп аталады. Мысалы, қабырғасы 1-ге тең ... ... r2 = 12 + 12 ... теоремасы бойынша, яғни r2 = 2
болатындай ... оң r ... ... ... R саны ... бола ... 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9 және т.с.с. r саны бөлшек те бола ... r = m/n (n≠1) ... ... ... ... онда r2 = m2/n2
бөлшегі де қысқармайтын болады (n2 ≠ 1), олай ... m2/n2 ... сан ... ... ол 2-ге тең бола ... ... ... диагоналінің
ұзындығы иррационал санмен өрнектеледі, ол сан √2 арқылы («2-нің ... деп ... ... 2, ... ... l ... ОАВJ – ... ОС = ОВ = ОD. Сонда С нүктесінің координатасы
√2 саны, ал D нүктесінің координатасы -√2 саны болады. С мен D ... де ...... ... ... ... 5-ке, 7-ге, 10-ға тең болатындай рационал сандар
жоқ. Сәйкес иррационал сандар √5, √7, √10 ... ... ... ... ... да иррационал сандар болады да -√5, -√7, -√10 ... ... ... ... оң санға тең болатындай санды
табу есебі ғана емес, басқа есептер де ... атап ... жөн. ... ... ... ... ... П санын жай бөлшек
түрінде өрнектеуге болмайды – ол ... ... ... ... саны периодты ақырсыз ондық бөлшек түрінде жазуға
және өз кезегінде кез келген периодты ақырсыз ондық бөлшек ... ... ... онда ... ... санды периодсыз ақырсыз
ондық бөлшек түрінде жазуға және өз кезегінде кез келген периодсыз ақырсыз
ондық ... ... сан ... ... ... және ... қасиеттері
2.1 Нақты сандар және оларды салыстыру, жуықтау.
Нақты сандар. Сандық түзу. Рационал сандар мен иррационал ... ... ... ... ... Әрбір нақты санға координаталық түзуде
жалғыз ғана нүкте сәйкес келеді. Координаталық түзудің әрбір нүктесі жалғыз
ғана нақты ... ... ... (осы ... ... басына дейінгі
қашықтықты табу және табылған санның ... ... ... ... оңға қарай немесе солға қарай орналасуына байланысты «+» немесе ... қою ... ... үшін ... «а ... ... түзудің нүктесі» деудің орнына «а нүктесі» дейді, ал «а саны»
терминін қолдана отырып, ол «а нақты ... ... есте ... ... ... ... түзу деп те ... Сандық түзудің
геометриялық моделі координаталық түзу болады.
Кейбір сандық жиындардың белгіленуі.
N – натурал сандар жиыны. Z – ... ... ... Q – ... ... R – нақты сандар жиыны. n ε N ... («n – N ... ... ... ... белгілеулер де осыған ұқсас мағынаға ие болады: m ε Z (m –
бүтін сан); r ε Q (r – ... сан); х ε R (х – ... ... ... А∍′ 0∍ J∍ А∍ В∍ ... 1/7 -3 0 1 3 ... ... ... = p(1;4) = 3
1 -2 0 1 ... D 0 J ... ... ... = (а – b) 2 2
а 0 b -3 -1 0 ... ... салыстыру.
Кез келген өзара тең емес а мен b нақты сандары үшін, олардың қайсы
үлкен, ал қайсы кіші екені ... ... ... Егер а – b ... оң ... онда а саны b санынан үлкен дейді де а > b деп жазады; егер де а – ... ... сан ... онда а саны b санынан кіші дейді де а < b деп
жазады. Осы анықтама ... кез ... оң сан ... ... кез келген
теріс сан нольден кіші және кез келген оң саннан кіші. Кез ... а мен ... ... үшін а > b, а < b, а = b ... ... және тек
біреуі ғана орынды. Геометриялық тұрғыдан а < b (а > b) ... ... а ... b ... солға қарай (оңға қарай)
орналасқанын білдіреді.
белгілері қатаң теңсіздік белгілері деп аталады. ... ≥, ...... емес теңсіздік белгілері пайдаланылады; а ≤ b ... ... саны b ... ... не а саны b ... тең екенін білдіреді. Мысалы, 3 ≤
5, 5 ≤ 5- дұрыс теңсіздіктер. а > b және с >d ... ... ... < b және с > d ... ... таңбалы (мағыналы)
теңсіздіктер деп аталады. Егер а, b, с сандары үшін а < b және b < с ... а < b < с ... ... мен 0,67 ... ... керек.
Шешуі. айырымын құрамыз да осы айырмалық мәнін табамыз:
.
Айырым теріс, сондықтан .
Нақты санның модулі.
Нақты санының модулі (абсолют шамасы) деп ... ... өзі, және ... оған ...... - саны аталады.
санының ... ... ... ... тұрғыдан координаталық түзуде ... ... ... білдіреді (3-сурет). Модульдердің қасиеттері:
Координаталық түзудің екі нүктесінің арасындағы қашықтық формуласы.
Егер мен - ... ... екі ... болса, онда
олардың арасындағы қашықтық формуласымен өрнектеледі (4-сурет).
екені айқын. Солай,
Санның бүтін ... ... ... ... сан ... аспайтын ең үлкен бүтін сан оның бүтін бөлігі деп аталады;
санының бүтін бөлігі ... ... өзі мен оның ... ... ... яғни ... бөлігі деп аталады; санның бөлшек бөлігі ... Олай ... . ... ал ; , ал ... .
Сандардың жуық мәндері. Абсолюттік және салыстырмалы қателіктер. Оның
бөлшекті қандай да бір ... ... ... осы ... ... ... ... ал егер олар үтірден кейін тұрған болса,
онда оларды ескермей тастайды. Егер осы ... ... ... ... тең ... одан үлкен болса, онда қалған ... ... ... Егер де осы ... ... ... цифр 5-тен кіші ... қалған ақырғы цифрды өзгертпейді.
Мысал: санын: а) ондықтарға; б) бірліктерге; в) ... г) ... ... д) ... ... ... ... а) ондықтар разрядынан кейінгі бірліктер цифыры бірге тең, яғни
5-тен кіші. Олай болса, ондықтарға дейін дөңгелектеп, ... ... жуық ... ... деп ... Б) ... бөліктер цифыры
0-ге тең, олай болса бірліктерге ... ... ... ... В)
жүздік бөліктер цифры 5-ке тең, олай болса ондық бөліктерге ... ... ... Г) ... ... ... 6-ға тең, олай
болса жүздік бөліктерге дейін дөңгелектеп ... ... Д) ... ... 2-ге тең. Олай болса мыңдық ... ... ... ... ... ... ... санының жуық мәндері деп
аталады.
Жуық мәндер сандары дөңгелектегенде ғана пайда ... ... ... әр ... ... (ұзындық, масса, температура және т.с.с) кезінде
пайда болады. Сонда өлшеудің ... ... білу ... ... жіық мәні болсын. Сонда мен сандары ... ... ... жуық ... ... ... деп ал абсолютті
қателіктің жуық мән модуліне қатынасы жуық мәнінің ... ... ... ... қателікті әдетте проценттермен өрнектейді.
Мысал. Массасы 54,12705г деталді шкаланың бөліну үлесі 0,1г болатын
таразыда өлшеп, массаның 54,1 г жуық ... ... осы жуық ... абсолютті
және салысстымалы қателіктерін табу керек.
Шешуі: Абсолютті қателік ... тең. ... %=0.05% ке ... ... ... ... дәл ... белгісіз болады,
сондықтан жуық мәндердің абсолютті қателіктері туралы мәліметтерді білу
маңызды. ... егер ... m ... детальді шкаланы бөлудің үлесі 0,1
г болатындай таразыда өлшесек онда өлшеудің абсолютті қателігі 0,1 ... ... ... ... егер ... ... 54,1 г ... алсақ,онда
масса m-ның дәл мәні 54,1 ... қай ... ... да 0,1 ... ... ... яғни Бұны ... былай жазады:
Жалпы, егер бізге керек саны үшін ... жуық ... ... ... һ санын ан аспайтын болса, онда ... ... һ-қа ... дәлдікпен алынған жуық мәні дейді.
Мысал.санның жуық мәнін 0,001-ге дейінгі дәлдікпен табу керек.
Шешуі. ... ... ... ... ... ... Осы жуық мәннің абсолютті қателігі мынаған тең: олай болса,
санының 0,01 – ге дейінгі дәлдікпен алынған жуық ... ... ... ... жуық мәндерінің дәлдігі
беріледі. Сонда абсалютті қателік соңғы разряд бірлігінің ... деп ... ... ... ... 2 санының 1,4142 мәнін
тауып, біз бұл 0,0001-ге дейінгі дәлдікпен алынған жуық мән ... ... ... ... ... ... ... керек:
Нақты санның кемімен және артығымен алынған ондық жуықтаулары.
Иррационал 2 ... ... ... 1,4142 ... ... 1-ге, 0,1-ге, 0,01-ге, 0,001-
ге, 0,0001-ге, дейінгі дәлдікпен кемімен алынған ... ... деп ... 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143 ... сәйкес
жоғарыдағыдай дәлдікпен артығымен алынған санының ондық жуықтаулар ... үшін ... ... бөлшек түрінде өрнектеу пайдаланылады:
=1,4142...
Жалпы кез келген нақты сан ақырсыз ондық бөлшек ... ... егер ... сан ... ... ... егер ... сан болса,
онда бөлшек периодты емес. Мысалы, .... санының 0,001-ге дейінгі
дәлдікпен ... ... ... ... ... тең, ал ... ондық жуықтауы 0,255-ке тең. саны мына түрде болады:
=3,1415926... ... ... ... ... ... ... жуықтауы 3,1415-ке, ал артығымен алынған ондық ... ... ... ... қасиеттері және ережелері.
Сандық теңсіздіктердің қасиеттері.
Кез келген а, b, с, d нақты сандары үшін келесі қасиеттер орындалады.
1°. Егер а < b ... онда b > ... Егер а > b және b > с ... онда а > с ... ... Егер а > b ... онда а + с > b + с.
4°. Егер а > b және с – оң сан (с > 0) ... онда ас > bс. ... ... ... бар: егер ... теңсіздіктің екі жағын да бір
ғана оң санға ... онда ... ... ... ас – bс айырымын қарастырайық. Сонда ас – bс = с(а - b).
Шарт бойынша с –оң сан, ал а > b ... а –b да оң сан. Екі ... ... оң сан ... олай ... с(а – b) > 0. ... ас –
bс > 0. ал егер ас – bс айырымы оң сан болса, онда ас > ... Егер а > b және с – ... сан (с < 0) ... онда ас < bс. ... ... ... бар: егер дұрыс теңсіздік екі жағын да бір ... ... ... және ... ... ... қарама-қарсыға
өзгертсе, онда дұрыс теңсіздік алынады.
6°. Егер а > b және с > d болса, онда а + с > b + d ... ... екі ... ... ... ... онда ... теңсіздік
алынады).
7°. Егер а, b, с, d – оң сандар және а > b, с > d ... онда ас > ... ... ... оң ... мен сол жақтары оң сандар болатын екі
дұрыс теңсіздікті мүшелеп көбейтсе, онда ... ... ... а > b және с > 0 болғандықтан, 4°-қасиет ... ... ... және ... . Әрі ... және
болғандықтан 20 – қасиет бойынша .
80. Егер және болса, онда .
90. Егер болса, онда ... Егер ... онда кез ... ... саны үшін
теңсіздігі орындалады.
Сандық аралықтар.
болатындай мен сандарын алайық та координаталық
түзуде ... ... ... ... мен ... ... ерікті нүктесі теңсіздіктерін қанағаттандырады.
Осы теңсіздіктерді қанағаттандыратын барлық сандарының жиыны интервал
деп аталады да ... ... ... теңсіздіктерін
қанағаттандыратын барлық сандарының жиыны ... ... ... да ... ... Интервал мен көсінді – ақырлы сандық
аралықтар. Ақырлы сандық ... тағы да екі түрі ... ... ... ... ... қанағаттандыратын сандарының жиыны. Бұл аралықтар
жартыинтервалдар (жартысегменттер) деп аталады.
Ақырсыз сандық аралықтар да болады. теңсізігін ... ... ... ... деп атайды да деп белгілейді, ал
теңсіздігін қанағаттандыратын барлық ... ... ашық ... ... да деп ... «» ... «плюс шексіздік» деп
оқылады. Осы сияқты ... ... ... ... және түріндегі ашық сәуле ... ... де ... «» ... ... ... ... келтірілген таблицада сандық аралықтың әрбір түрі үшін оның
геометриялық кесіні; ... және ... ... ... түрі ... ... ... |
| | ... ... | | ... ... | | ... | | ... | | ... | | ... | | ... сәуле | | ... ... | | ... ... ... «кесінді», «жартыинтервал», «сәуле»
терминдерін қолдана бермейді, кейде оларды «сандық аралық» деген жалпы
атпен ... ... ... ... ережелері.
Бірдей таңбалы екі санның қосындысы дәл сондай ... сан ... ... ... табу үшін қосылғыштардың модульдерін қосу керек.
Мысалы. (12) + (8) = 20; (-12) + (-8) = ... ... ... екі ... қосындысы модулі үлкен қосылғыштың таңбасы
бар сан болады; бұл қосындының модулін табу үшін ... ... ... ... ... ... (12) + (-8) = (12-8) = 4; (-12) + (8) = ... = ... ... ... ... ... үшін азайғышқа азайтқышқа қарама-қарсы
санды қосу керек. Мысалы, 12 - (-8) = 12 + 8 = 20; 12 - (8) = 12 + (-8) = ... ... екі ... көбейтіндісі оң сан, ал әр түрлі таңбалы ... ... ... сан болады; көбейтіндінің модулін табу ... ... ... ... ... ... (-12) ... сандарға қолданылатын арифметикалық амалдардың қасиеттері.
Бұл қасиеттерді кейде алгебраның негізгі зандары деп атайды, ... ... 50 ... ... қосу мен ... орны ... ... 20
мен 60 қасиеттерін – терулік заң, ал 70 қасиетін қосуға ... ... заңы деп ... ... ... ... ... Мысалы. . Шыныда да,
Пропорциялар. -ден ерекше нақты сандар және теңдігі орынды
болсын.Бұл теңдігі ... деп, мен ... ... ... ал мен ... ортаңғы мүшелері деп атайды.
Пропорция үшін ... да ... ... ... 2,5;-4;-5 және
8сандарын пропорция құруға болады: .
Келесі тұжырымдар орынды:
Т.1.11 Пропорцияның шеткі ... ... оның ... ... тең.
Т.1.12 Пропорцияның шеткі мүшелерінің орындарын ауыстыруға ... егер ... онда ... ... ортаңғы мүшелерінің орындарын ауыстыруға болады,
яғни егер ... онда ... ... түбір анықтамасы. Арифметикалық түбірдің
қасиеттері. Егер және - ден ... ... сан ... онда ... ... бір ғана оң саны бар ... Осы саны
оң санының - дәрежелі ... ... деп ... да ... белгіленеді. саны түбір астындағы сан деп, - ... деп ... Егер ... онда ... ... да ... ... түбір деп атайды. Көбінесе «түбір» терминінің орнына
«радикал» ... ... ... ... бойынша біріншіден
екенін, екіншіден яғни ... ... ... .
Егер және болса, онда келесі қасиеттер орынды:
1- қасиет кез ... ... ... бар ... ... Мысалы,
Мысал. а) б) в) г)
Шешуі. а) б) в) г) ... ... ... ... табу ережесі. натурал санының
квадратық түбірін табу керек болсын. Нәтижені алу үшін кейде келесі ережені
пайдаланған қолайлы. 1) ... ... ... ... ... ... ... бастап); әр жаққа қатар тұрған екі цифрды енгіземіз. Сонда
егерсаны жұп санды цифрлардан ... ... онда ... (сол ... жақты екі цифр, егердесаны тақ санды цифрлардан тұрса, ... ... бір цифр ... ... саны ... ... цифрлар санын
көрсетеді. 2) квадратты бірінші жақтағы саннан аспайтындай ең ... ... бұл ... ... ... ... 3) нәтиженің бірінші ... ... ... ... жақтағы саннан азайтамыз, табылған
айырымға оң ... ... ... ... тіркеп жазамыз. Қайсы бір
саны алынды, нәтиженің табылған бөлігін екі ... ... ... ... -ке ... ... аспайтындай етіп ең
үлкенцифрын ... ... Осы ... ... цифры болады. 4)
санының -ке көбейтіндісі санынан ... ... оң ... ... ... ... жазамыз, сонда қайсы бір саны
алынады. Нәтиженің әзірге белгілі бөлігін екі ... ... ... ... -ке ... санынан аспайтындай етіп ең
үлкен цифрын тандап аламыз. Осы нәтиженің үшінші цифры ... ... ... төрт ... қайталайды. Бұл процесс ақырғы жақ
пайдаланылғанға дейін жалғастыра береді. ... ... ... ... ... жақтарға жіктейміз 138384- олар ... олай ... үш ... сан ... ... Нәтиженің бірінші цифры 3, өйткені
, ал , 13 – тен 9 – ды ... 4 – ті ... 4 – ке ... ... ... ... ... нәтижені, яғни 3 –ті екі ... ... Екі ... ... -ке ... ... ... етіп, ең үлкен цифрын таңдап аламыз. Бұндай цифр ... ті ... ... , ал ... ... ... ... 7
болады. 483- тен 469-ды азайтып, 14 санын аламыз. Осы ... оң ... ... тіркеп жазып, екенін аламыз. Нәтиженің әзірге бар
бөлігін екі еселеп, ... ... Енді ... ... 1484- тен ... етіп ең ... цифрын таңдап
аламыз. Бұндай цифр 2 болрды, өйткені , 2- ... ... ... 372-ні ... ... қасиеттері.
Барлық рационал және иррационал сандар жиыны нақты сандар ... ... R ... ... ... ... санды шексіз ондық бөлшек түрінде жазу мүмкін.
Периодты шексіз ондық ... ... ... ал периодты емес шексіз ондық
бөлшек иррационал санды өрнектейді.
Мысалы,
1. Нақты сандар жиынының тәртіптелгендігі.
Кез келген екі ... ... х және у үшін х=y ,xy үш ... қана ... орындалады. Сонымен қатар, егер x

Пән: Математика, Геометрия
Жұмыс түрі: Курстық жұмыс
Көлемі: 36 бет
Бұл жұмыстың бағасы: 700 теңге









Ұқсас жұмыстар
Тақырыб Бет саны
Нақты сандар және олардың қасиеттері. Бүтін сандар және оларға амалдар қолдану39 бет
АҚХЗ туралы түсініктер13 бет
Нақты сандар20 бет
Нақты сандарды үздіксіз бөлшектермен жуықтау42 бет
Рационал сандар. Нақты сандар.3 бет
1999 жылғы Қазақстандағы халық санағы бойынша елдің деморафиялық жағдайы4 бет
TCP/IP хаттамаларының жұмыс жасау негіздері33 бет
Turbo pascal тілінің негізгі элементтері туралы83 бет
Алгоритм және оның қасиеттері109 бет
Біріншілік өлшеу түрлендіргіштерін монтаждау7 бет


+ тегін презентациялар
Пәндер
Көмек / Помощь
Арайлым
Біз міндетті түрде жауап береміз!
Мы обязательно ответим!
Жіберу / Отправить


Зарабатывайте вместе с нами

Рахмет!
Хабарлама жіберілді. / Сообщение отправлено.

Сіз үшін аптасына 5 күн жұмыс істейміз.
Жұмыс уақыты 09:00 - 18:00

Мы работаем для Вас 5 дней в неделю.
Время работы 09:00 - 18:00

Email: info@stud.kz

Phone: 777 614 50 20
Жабу / Закрыть

Көмек / Помощь